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8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
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FSICAVOLUMEN II
ONDAS ELECTROMAGNTICAS
SOLUCIONARIO
Alonso Finn
Por:
Prof. J.W. Flores S. V.H. Castaeda .
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DEDICATORIA
A mis queridos padres y hermanos.W. Flores S.
A mi madre y hermanas
H. Castaeda M.
AGRADECIMIENTO
A todos los que hicieron posible esta publicacin.
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1. El caro de una onda electroman!tica plana en el "ac#o se
representa$ usando unidades M%SC$ por E&' ($ Ey' )$* cos+,&
1)-
t / &0c2$ E3' ). a 4eterminar la lonitud de onda$ elestado de polari3acin y la direccin de propaacin. b Calcular
el campo man!tico de la onda. c Calcular la intensidad media o
5lu6o de ener#a por unidad de 7rea.
Solucin:
Si el campo E de una onda e.m. est7 dada por8
E&'Ey' ).* cos +,& 1)-t / &0c2
E3' )
a 4eterminar ' 9 y la direccin de la propaacin
Ey' ).* cos +,& 1)-t / &0c2 cos: ' cos
' ).* cos +,& 1)-t / &0c / t2
Ey' ).* cos
-, 1)& ct
c
= = =
1- -
- - 1
ms, , 1) c ; 1)%
c 1) 1) s
' ; mts.
El estado de polari3acin y la direccin de
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b El campo man!tico de la onda
=a =ey de Ampere / Henry 5orma di5erencial>
Et
=
$i 6 ?
&E rot E d 0 d& d 0 dy d 0 d3
E& Ey E3
= = =
$ $
$dE dE dE dE dE dEi 6 ?dy d3 d3 d& d& dy
= + +
$ $
$d d> d>&$>y$>3rotE Ey?
d& dt dt
= = =
$ $dEy d>3rot E ? ?d& dt
= =
Calculando8
- -dE , 1) , 1) d>3).* sen & ct
d& c c dt
= =
- -t
3 )
, 1) , 1)> ).* sen & ct dt
c c
=
- -
-).* , 1) 1) &cos & ct cos , 1) tc c @ c
= =
--
3
1) &
> cos , 1) t@ c
=
Entonces el campo > de una onda e.m. est7 dado por8
>&' )
>y' )
--
3
1) &> cos , 1) t
@ c
=
esla
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El estado de 3
D
3
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=a Ener#a Ma. ,
,> ,
e c
1 1 EE >
,u ,u C= = adem7s
) )
1c
u @=
Entonces
,
,)>
)
) )
c1 cE E1,u ,u c
= =
) )
1 1E E E C E E E
, ,= + = +
E ' E)E,
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a =a lonitud de la onda
En eneral la ecuacin de una onda es8E ' E)cos %& : Jt KKKKKKKKKKKK 1
de Eytenemos que8 Ey' ).* cos +G& 1)It / &0c2
Iy
&E ' ).* cos G 1) t
c
II
y
G 1)E ' ).* cos & G 1) t
c
K ,
Bualando las ecuaciones 1 y , tenemos8
IG 1) ,%
c
= =
-
I I
c ; 1)
, 1) , 1)
= =
;)
mts.
,
=
' 1* mts. =onitud de la onda e.m.
El Estado de
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L satis5ace la ecuacin G que es de una circun5erencia por lo
tanto el campo el!ctrico est7 circularmente polari3ado y la
direccin de propaacin est7 en el e6e &.
b El campo man!tico de la onda de la =ey de Ampere / Henry
>rot E
t
=
$
& y 3
i 6 ?
rot E 0 & 0 y 0 3
E E E
=
$ $
$y y3 & & &E EE E E Ei 6 ?y 3 3 & & y
= + +
$ $
$y3 EE >&$>y$>3rotE 6 ?& & t
= + =
$
$ $y y3 3> EE >6 6 y ? ?
& t & t
= =
$ $
II3E G 1) >y).*cos G 1) t & 0c
& c t
= =
II
y
G 1)d> ).*cos G 1) t & 0 c dt
c
=
Bnterando tenemos8
It
I
y )
G 1) ).*
> cos G 1) t & 0 c dtc
=
II
y I
).* G 1)> sen G 1) t & 0 c
c G 1)
=
Iy
).*> sen G 1) t & 0 c
c =
3y
E> esla
c=
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&).* sen G 1) t & 0 c
& c t
= =
II
3
G 1)> ).* sen G 1) t & 0 c dt
c
=
Bnterando tenemos8
It
I3 )
G 1)> ).* sen G 1) t & 0 c dt
c
=
II
I
G 1) 1
).* cos G 1) t & 0 cc G 1)
=
I).*
cos G 1) t & 0 cc
=
y
3
E> esla
c=
Entonces el campo > de una onda e.m. est7 dada por8
>&' )>y' :E3 0 c
>3' Ey 0 c
Al iual que el campo E el campo > est7 circularmente
polari3ada y la direccin de propaacin est7 en el e6e &.
c =a Bntensidad media o 5lu6o de Ener#a por unidad de 7rea ( )B .
4e la parte c del problema anterior. enemos8
,)B c E=
,) )
1B c E
,=
- 1, ,
,
1 6oulesB ; 1) -.-* 1) ).*
, se m
=
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G
,
JattsB ;.;, 1)
m=
;. Escribir las ecuaciones de los campos E y > que describen las
siuientes ondas electroman!ticas que se propaan seNn el
e6e &8 a Ona onda polari3ada linealmente cuyo plano de "ibracin
5orma un 7nulo de G*P con el plano L. b Ona onda polari3ada
linealmente cuyo plano de "ibracin 5orma un 7nulo de 1,)P con
el plano L$ c Ona onda de polari3acin circular derecha d Ona
onda con polari3acin el#ptica derecha$ con el e6e mayor paralelo al
e6e L y de la lonitud doble de la del e6e menor.
Solucin:
a Ona onda polari3ada linealmente cuyo plano de "ibracin
5orma un 7nulo de G*P con el plano L.
Suponiendo que el e6e es perpendicularmente a la ho6a del
papel entonces tenemos8
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rot Et
$
& y 3
i 6 ?
rot E 0 & 0 y 0 3
E E E
=
$ $
$E3 Ey E& E3 Ey E&i 6 ?y 3 3 & & y
+ + $ $
$ ( )E3 Ey
6 ? >y$>3& & t
+ =
$
E3 >y Ey >3M
& t & t
= =
d>y ' % E)cos ?& : Jt dt
interando tenemos8
t
y ) )> % E cos%& Jtdt=
)1
% E sen%& JtJ
=
)%
E sen%& Jt
J
=
EyE
Ez
z
"
y
#y
#z
z#
"
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y 3
1> E esla
c=
3' :%E)cos %& / Jtdt
Bnterando tenemos8
3 )
1> %E sen%& Jt
J
=
)
%E sen%& Jt
J=
3 31> E eslac
=
&' )
y 3
1> E
c=
3 3
1
> E c=
b Ona onda polari3ada linealmente cuyo plano de "ibracin
5orma un 7nulo de 1,)Q con el plano L.
Suponiendo que el e6e es perpendicular a la ho6a del papel
entonces. enemos8
El plano de "ibracin 5orma un 7nulo de 1,)Q con el plano
L.
Plano devibracin
y
z
Ez $%&!
EE
y
'&!
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4e la 5iura tenemos8
E&' )
Ey' :cos@)P E)sen%& / Jt ' )1 E sen%& Jt,
E3' :cos;)P E)sen%& / Jt ' );
E sen%& Jt,
El "ector del campo el!ctrico
$y 3E E 6 E ?= +
$
$) )1 ;
E E sen?& Jt6 E sen?& Jt?, ,= + $
$)
1 ;E E sen%& Jt6 sen%& Jt?
, ,
= +
$
rotE
t
=
$
& y 3
i 6 ?
rot E 0 & 0 y 0 3
E E E
=
$ $
y
Ey
Ez
z
E
"
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$E3 Ey E& E3 Ey E&i 6 ?y 3 3 & & y
= + + $ $
$( )
E3 Ey6 ? >y$>3& & t
+ =
$
E3 >y Ey >3
& t & t
= =
)
;d>y ? E cos?& Jtdt
,=
Bnterando tenemos8
t) )
;>y ? E cos?& Jtdt,
=
)
; 1>y ? E sen%& Jt
, J
=
)
; %>y E sen%& Jt
, J
=
3
1>y E esla
c=
% E cos%& Jtdt
,=
Bnterando tenemos8
t
3 ) )
1> % E cos%& Jtdt
,=
)1 1
%E sen%& Jt, J
=
)1 %
E sen%& Jt, J
=
3 y
1> E esla
c=
-
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>&' )
y 3
1> E
c=
3 y
1> E
c=
=a parte c queda como tarea para el alumno.
G. Considerar la onda representada por Ey' E)cos ,t0
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( ), ,)E E cos cos= + + ' 0G
,
,
)
, ,
E E cos cos sen, ,
= +
( ),,
)
1E E cos cos sen
,= +
( ),)1
E E cos 1 sen,
= +
( ))1 1
E E 1 cos, 1 sen,
, ,
= + +
)
,E E , cos, sen,
,= +
)
,E E , 1 senG
,= +
)
,E E , 1 sen- t 0< & 0
,= +
a
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El campo man!tico >8 en mdulo.
E>
c=
E esla
,c=
E esla
,c=
El 7nulo que 5orma el "ector el!ctrico y el e6e L
El "ector el!ctrico es8
$y &E E 6 E ?= +
$
$)
1E E cos, t 0< & 0 6 cos, t 0< & 0 ?
-
= + + $
$)E E cos, t 0< & 0 6 cos, t 0< & 0 ? = +
$
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& ' ) & ' 0G & ' 0, & '
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Ey' A cos J t:&0c6$
E3' A sen J t:&0c $?
=a
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El "ector del campo E ira en la direccin de las au6as del relo6
cuya manitud es A$ tal como se dice tiene una polari3acincircular a la derecha.
El campo man!tico a medida que a"an3a la onda.
4e las ecuaciones de Ampere / Henry$ en la 5orma di5erenciamos8
= =
y y3 3
E >> Ey
& t & t
= =
y 3E >J
A sen Jt & 0 c& c t
= 3J
> A sen Jt & 0 cdtc
Bnterando tenemos8
= t
3 )
J> A sen Jt & 0 cdt
c
= 3
J 1> A cos Jt & 0 cc J
= 3A
> cos Jt & 0 cc
= y3E
> eslac
E J A cos Jt & 0 c
& c t
= yJ
> A cos Jt & 0 cdtc
Bnterando tenemos8
= t
y )
J> A cos Jt & 0 cdt
c
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=
J 1A sen Jt & 0 c
c J
= A
sen Jt & 0 cc
= 3yE
> eslac
Ura5icando el campo man!tico en las coordenadas &$ y$ 3.
enemos8
El "ector de campo > ira en la direccin de las au6as del relo6
cuya manitud es A. tal como se dice tiene una polari3acin
circular a la derecha.
b El estado de
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=os componentes del campo el!ctrico en 5orma "ectorial
EL' A cos J t:&0cj$
$ $zE A cos w(t x /c )k A(cos[w(t x /c ) ])k= = +
=a
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t ' 0,
t ' ;0G E)$ ;0G ' Acos ;0,j$Tcos *0, $k ' )
t ' ;0G
t ' E)$ ' Acos ,j$T cos ;$k ' j$: $k
t '
En conclusin8 el campo E oscila en la diaonal de los planos /L$ D
! L$ :D y la 5ase relati"a es $ lueo la resultante del campo
el!ctrico est7 linealmente polari3ado.
Ura5icando el campo el!ctrico en las coordenadas $ L$ D.
enemos8
)
yE
)
A
(A
y
E
z
Ez Ey
y
E
Ez
Ey
E
"
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El Campo Man!tico a medida que a"an3a la onda.4e las ecuaciones de Ampere / Henry en 5orma di5erencial
tenemos8
yz z BB EEy
yx t x t
= =
zBEy w
A sen w(t x / c)x c t
= =
z
wB A sen w(t x /c)
c =
Bnterando tenemos8
t
z0
wB A sen w(t x / c)dt
c=
z
w 1B A cos w(t x / c)
c w
=
A
cos w(t x / c)c
=
y
z
EB Tesla
c=
-
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y
w 1B A cos w(t x / c)
c w
=
z
y
E
B cos w(t x / c)c=
zy
EB Tesla
c=
Ura5icando el campo man!tico en las coordenadas $ L$ D$
tenemos8
El campo > oscila en la diaonal de los planos LD e /L:D y la 5ae
relati"a tambi!n es $ lueo la resultante del campo man!tico
est7 linealmente polari3ado.
=as soluciones c y d del problema se de6a como tarea para el
alumno por ser seme6antes a la parte b del problema.
z
#z
#y
#
y
#"
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@. Ona onda luminosa plana sinusoide con polari3acin lineal y
lonitud de onda ' *$) & 1):Im$ se propaa en el "ac#o. =a
intensidad media es )$1 Wm:,
. =a direccin de propaacin est7 enel plano L a un 7nulo de G*P con respecto al e6e . El campo
el!ctrico oscila paralelo al e6e D. Escribir las ecuaciones que
describen los campos el!ctricos y man!ticos esta onda.
Solucin:
Ona onda luminosa plana sinusoidal de '*.) & 1):Im$ "ia6a el
"ac#o. =a intensidad media B ' ).1 W0m,
. =a
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y 0
2 2B K E cosK X ct dt
2 2
=
Bnterando tenemos8
y 0
2 2B K E cosK X ct dt
2 2
=
02 2
K E senK x ct2Kc 2
=
02 2E senK x ct2c 2
=
y Z
2B E
2= . esla. =a ecuacin del campo man!tico
2
0 0 0
0
1 2c E E
2 c
= =
0 ! 122 0"1E # 10 !"!$ 10=
2000
%olt/ !"!$
=
0E 2'= "olt.0m Se puede reempla3ar en E3y >y
Ura5icando la onda e.m. en las coordenadas $ L$ D tenemos8
z
y
Ez
#y
4!
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=os campos el!ctricos E man!ticos > de la onda electroman!ticaes armnica y plana sinusoidal con polari3acin lineal.
I. Ona onda electroman!tica plana sinusoidal con polari3acin
circular y lonitud de onda ' *.) & 1):Im$ se propaa en el
"ac#o en la direccin del e6e . Su intensidad media por unidad de
7rea es ).1 Wm:,y el plano de "ibracin del "ector el!ctrico es
paralelo al e6e L. escribir las ecuaciones que describen los camposel!ctrico y man!tico de esta honda.
Solucin:
Ona onda e.m. plana sinusoidal con polari3acin circular y
'*.)&1):Im. "ia6a en el "ac#o en el e6e y ').1 W0m,el plano
de "ibracin del E es paralela al e6e L.
=a ecuacin del Campo El!ctrico8
2
0 0
1c E
2 =
0 ! 12
0
2 2 0"1E
c # 10 !"!$ 10
= =
2000
%olt / !"!$
=
0E 2' %olt / &"= =
Ey' E)cos % / J t
' E)cos %& / ct
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2 102' cos (x ct)
$
=
yE 2' cos ' 10 (x ct)* / C=
=a ecuacin del Campo Man!tico
Aplicando la ecuacin de Ampere / Henry en 5orma di5erencial
Bot E
t
=
$
x y z
+ j k
, E / x / y / z
E E E
=
$ $
$y yz x z xE EE E E E+ j ky z z x x y
= + + $ $
$ $ zBot E 2' (' 10 )sen' 10 (x cy)k kt
= =
zB
2' (' 10 ) sen ' 10 (x ct )t
=
Bnterando tenemos8
t
z0
B 2' (' 10 ) sen' 10 (x ct)dt=
2' (' 10 )( )cos' 10 (x ct )
(' 10 )
=
2'
cos' 10 (x ct )
c
=
y
z
EB
c= esla
Ura5icando la onda e.m. en las coordenadas $ L$ D tenemos8
z
#z
Ey
y
"
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=os campos E y man!tico > de la onda electroman!tica es
armnica y plana con polari3acin lineal.
-. El campo el!ctrico de una onda electroman!tica plana tiene unaamplitud de 1):, R m:1. Encontrar8 a el mdulo del campo
man!tico$ b la ener#a de la onda por unidad de "olumen$ c Si
la onda es completamente absorbida cuando incide sobre un
cuerpo$ determinar la presin de radiacin d Contestar la
preunta anterior para el caso de que el cuerpo sea un re5lector
per5ecto.Solucin:
a El mdulo del Campo Man!tico Y>Y ' 9
El campo ma.1
B Ec
=
2 10
!
1 1B 10 10
# 10 #
= =
Jeber 0 m,
Y>Y ' ;.;G & 1):11Jeber 0 m,
b =a unidad de la onda por unidad de "olumen.
4e la parte c del problema 1:1
=a Ener#a E ' )E,
2
0 0
1E C E
2
=
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( ) ( )2
12 21 !"!$ 10 102
= oules0m;
11E !"!$ 102
= oules 0 m;
E ' G.G,* & 1):1@oules 0 m;
c =a
-
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1 2
c
= =
2-
t tc
= =
=lamamos8- 2 2
.A c tA c
= = =
2
0 0
2 1c E
c 2
= =
2
0 0E=
' ;.-* & 1):1,
1):,
,
-
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H ' 9 B ' E & H
Ey' E)sen Jt
0 01E (1)2 =
H3' H)sen Jt.
0 0 0 0E 3 (2) = K K K
4e la ec. ,
00 0
0
E (#)3
= K K K
; en 1
200
0
1E
2 3
=
1/2
00
0
3E 2
=
1/2
121"2 102 20!"!$ 10
=
E)' 1,,.-* "olt0n KKKKKK G
4e G en ;
00 0
0
E
3
=
12
!"!$ 10122"!$
1"2 10
=
H)' ).;; esla
1). =a potencia media de una estacin di5usora es 1)* W.
Suponiendo que la potencia se irradia uni5ormemente sobre
-
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cualquier semies5era con centro en la estacin encontrar el
mdulo del "ector
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#
! 12
2 1"$5 10
# 10 !"!$ 10
=
E)' 1.) "olt0m
00
EB
c=
0 !
1"05 %olt / &B
# 10 & / se6=
>)' ;.@G & 1):Webber0m,
>)' ;.@G & 1): esla
11. On transmisor de radar emite su ener#a dentro de un cono que
abarca un 7nulo slido de 1):,sterad. El campo el!ctrico tiene
una amplitud de 1) R m:1a una distancia de 1);m. Encontrar la
amplitud del campo mantico y la potencia del transmisor.
Solucin:
El cono de 2s 10= =S Stereorrad.
El campo el!ctrico E ' 1) R m:1
A una distancia r ' 1);mts
Hallar8 > ' 9 y la potencia < ' L
12
! 1
1 1 , &B E 10
c # 10 & s
= =
21B 10 4e7e /
=
> ' ;.;G & 1):-Webber0m,
> ' ;.;G & 1):-esla
4e la =ey de >oite$ =a
-
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. A (1)= K K K K K
El 7nulo slido82
2
AA
= =
A ' 1):,& 1);,
A ' 1)Gm, KKKKKKK. ,
=a intensidad de radiacin8
2
0 0
1c E
2 =
2
0 0
1c E
2
= KKKKKKK. ;
, y ; es 1
2 2
0 0
1. c E
2=
( ) ( )( )2! 12 '1 # 10 !"!$ 10 10 10
2
=
2# #"!$ 10
2
=
< ' 1$;,I.* Jatts
1,. Suponer que una l7mpara de 1)) J y -)[ de e5iciencia irradia
toda su ener#a en su 5orma istropa. Calcular la amplitud de los
cupos el!ctricos y man!tico a , m. de la l7mpara.
Solucin:=a potencia que pasa a tra"!s de una es5era de radio r es 5
Gr,
2. ' =
2. ' = KKKKKK 1
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
37/81
0
1E"B 8 E cB
3
= =
2
0
1E3 c =
El "alor medio de2 2
0
1E E
2= $ en un ciclo y 2 20
1B B
2=
2
0
c. B
2=
eempla3ando en 1
2
20
0
E. (' )23 c
=
00
.3 c1E (2)
2=
K K K K
Si < ' 1))W$ con -)[ de e5iciencia es )' ,;.1 & 1):-Webber0m,
>)' ,;.1 & 1):-esla
1;. =as ondas de radio recibidas en un radiorreceptor tienen campo
el!ctrico de amplitud m7&ima iual a 1):1R m:1. Suponiendo que
la onda se puede considerar plana$ calcular8 a la amplitud del
campo man!tico$ b la intensidad media de la onda$ c la
densidad media de ener#a$ d Suponiendo que el receptor est7
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
38/81
a 1 ?m de la radioemisora y que !sta irradia ener#a en 5orma
istropa$ determinar la potencia de la estacin.
Solucin:Ona onda de radio cuya amplitud m7&ima de Campo el!ctrico es
E)' 1):1Rolt0m.$ considerando la onda plana.
a =a amplitud del Campo man!tico >)' 9
00
EB
c=
1
!
10 %olt /&
# 10 &/ se6
=
51 10
#
= esla.
' ).;;G & 1):esla
>)' ;.;G & 1):1)esla
b =a intensidad media de la onda ' 9
2
0 0
1c E
2 =
( ) ( ) ( )2
! 12 11 # 10 !"!$ 10 102
=
# !"!$ 10
2
=
$ 21"## 10 4atts /& =
c =a densidad media de ener#a ' 9
2
0 0E =
c
=
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
39/81
$
! 2
1"## 10 4att 1
# 10 & & / se6
=
1#
#
9o3les
0"''# 10 &
=
1' #'"'# 10 9o3les/& =
d r ' 1 ?m. ' 1);m distancia$ entonces la oite
. d=
' A
'$ 2 2
2
4atts1"## 10 (' ) &
&
' G& 1.;; & 1):*& 1);,
< ' 1@I Watts.
1G. 4os ondas electroman!ticas armnicas$ ambas de 5recuencia
y amplitud E)"ia6an en el "ac#o en las direcciones de los e6es e
L$ respecti"amente.
=os campos el!ctricos de ambas ondas son paralelos al e6e D.
calcular$ para la onda resultante de la superposicin de las dos$
a los componentes del campo el!ctrico E$ b los componentes
del campo man!tico >$ c la densidad de ener#a E$ d los
componentes del "ector de reali3a
oscilaciones circulares.
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
40/81
Solucin:
4os ondas e.m. armnicas$ ambas de 5recuencia y amplitud E)
"ia6an en el "ac#o en direcciones e L$ los campos E de ambas
ondas son paralelos al e6e D.
Si los campos E est7n en el e6e D
entonces los planos de "ibraciones
de las ondas E est7n en el e6e D.tal como en la 5iura.
=as ecuaciones son8
z 0
xE E sen2 t +
c
=
$
:
z 0
y
E E sen2 t jc
=
$
a =a onda resultante de la superposicin de las dos ondas
el!ctricas aplicando al principio de la superposicin para dos
ondas el!ctricas. enemos8
:
z z zE E E= +
Entonces8:
z 0 0
y yE E sen 2 t + E sen 2 t j
c c
= +
$ $
z 0
y yE E sen 2 t + sen 2 t j
c c
= + $ $
Finalmente8
E&' Ey' )
z
y
"
zE :
zE
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
41/81
z 0
y yE E sen 2 t + sen 2 t j %olt /&"
c c
= + $ $
b =os componentes del campo man!tico
$
x y z
+ j k
/ x / y / z , E ot E
E E E
= =
$ $
$y yz x z xE EE E E E+ j ky z z x x y
= + + $ $
x y zz z (B ;B ;B )E E B
ot E + jy x t dt
= + = =
$ $
Bualando tenemos8
z0
E + 2 y BxE cos2 t j (1)
y c c t
= =
$$ K K K
y z0
E j 2 x BxE cos2 t + (2)
x c c t
= =
$$ K K K
4e la ecuacin 1 tenemos8
t
x 00
2 yB E cos2 t j dt
c c
=
$
Bnterando tenemos8
tx 0
02 yB E cos2 t j dtc c =
$
x 0
2 1 yB E sen2 t j
c 2 c
= $
:
zE
c= esla > y E son armnicas y onales.
4e la ecuacin , tenemos8
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
42/81
y 0
2 xB E cos2 t + dt
c c
=
$
Bnterando tenemos8
y 0
2 xB E cos2 t + dt
c c
=
$
y 0
2 1 xB E sen 2 t +
c 2 c
= $
0E xsen 2 t +
c c
=
$
zy
EBc
= esla > y E son ondas armnicas planas
hay , ondas electroman!ticas.
:
zx
EB
c= esla
zy
EB
c= esla
>3' )
c =a densidad de Ener#a E
por de5inicin de densidad
de Ener#a$ tenemos8
' )E,KKKKKKK ;
4onde82 2 2 2
x y zE E E E= + +
2
2 2
0
x yE 0 0 E sen2 t 2 t (')
c c
= + + + K K K K
eempla3ando la ecuacin G en ; tenemos8
2
2
0 0
x yC E sen2 t sen2 t
c c
= +
z
y#y #"
zE :
zE
-
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43/81
2
12 2
0 #
x y 9o3les!"!$ 10 E sen2 t sen2 t
c c &
= +
d =os componente del "ector de son perpendiculares a ? en el "ac#o$ por lo
que los resultados de la seccin , tienen "alide3 eneral.
Solucin:
4emostrar que8 R ' R)sen ?.r. / Jt di" R ' ) %. R)' )
% R)
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
44/81
Entonces8 sen?.r / Jt ' ) ?.r / Jt ' )P y
0 0 0
0
,d+% , K , cos(k" wt) 0 K", 0 K ,
= = =
1 44 2 4 43
Si8 R ' E
di" E ' )
y Si8 R ' E
di" > ' )
1@. 4emostrar que si8
R ' R)sen?.r / Jt$
rot R ' ? & R)cos ?.r. / Jt$ por lo que las ecuaciones 1I.@*
implican que ? & > ' : u))J E y % & E ' J>. 4emostrar que los
resultados son compatibles.
Osando los resultados de este problema y los del anterior discutir
la orientacin relati"a de los "ectores$ ?$ E y >. comparar con losresultados de la seccin 1.,.
Solucin:
4e R ' R)sen ?.r. / Jt rot R ' % & R)cos ?.r / Jt
1I.@* % & > ' :)u)JE y
% & E ' J>
rot R ' % & R)cos ?.r. / Jt KKKKKKKKKKKK 1
=a =ey de Ampere / Ma&Jell en 5orma di5erencial8
Sea8 E ' E)sen?.r. / Jt
> ' >)sen?.r. / Jt
j 0=$ rot > ' )u)E
t
y rot > ' )u):J E)cos ?.r. : Jt KKKKKKK ,
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
45/81
de 1 rot > ' % & >)cos ?.r. : Jt KKKKKKKK ;
, ' ; % & >)' )u)J E)
=a =ey de Faraday / Henry en 5orma di5erencial8
Bot E
t
=
y rot E ' ::J >)Cos ?.r. / Jt KKKKKKKKKKK G
de 1 rot E ' % & E)cos ?.r. / Jt KKKKKKK *
G ' * % & E)' J >)
El "ector onda % es perpendicular a E y >.
1I. Osando los resultados anteriores$ demostrar que los campos E y
> de una onda electroman!tica plana deben estar en 5ase.
Solucin:
Sea8 El 5actor de 5ase8
Entonces 8 E ' E)sen ?.r. / Jt
y 8 > ' >)sen +?.r. / JtT2
' )u)E
t
rot > ' )u):JE)cos ?.r. /Jt KK 1
Condicin8 rot > ' % & >)cos?.r. / Jt KKKKK. ,
1 ' , % & >)' :)u)JE)
)cos+?.r. / Jt T 2 KKK ;
Condicin8 rot E ' % & E)cos ?.r. / Jt KKKKK. G
; ' G % & E)cos ?.r. / Jt ' J>)cos +?.r. / Jt T 2
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
46/81
y para que8 % & E)' J>)
Se debe cumplir que8
cos ?.r. / Jt ' cos +?.r. : Jt T 2
' )Es decir8 el 5actor de la 5ase es cero y por lo tanto los campos E
y > est7n en 5ase.
1-. 4emostrar que el "ector de pero > ' u)H
' c,)E & u)H
' c,)u)& E & H
2
2
1c E
c= $ teniendo en cuenta que8
0 0
1c
3=
B ' E & H =.q.q.d.
*ren+ede onda
E " #
"
#
E
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
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1. 4emostrar que el "alor medio del mdulo del "ector de )0,u)
Comparar con la ecuacin 1.1I
Solucin:
=a Bntensidad de la radiacin en el "ac#o es8
B ' c KKKKK 1 ' Ener#a e.m.
y ' ET >KK. ,
=a2
E 01 E2
= el "alor medio de 2 2 2 2E E E sen (kx wt) =
2
B 0
1E
2 = 2 2
0
1E E
2=
Entonces8
en , ' )E,
en 1 B ' c )E,
El "alor medio8
2
0 0
1c E
2 = K K K K Ec. 1:1I$ Alonso / Finn
KKKKKKK. ;
2 2
0
1 c E
c =
YBY ' c,)E,
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
48/81
El "alor medio de la Bntensidad8
2
0c E =
2 20 0c C E sen (kx wt)=
2
0 0
1c E
2 =
=a ecuacin es an7loa a la Ec. 1:1I Alonso Finn
de la ec. ; B ' c,)E >
' c,)+E)sen?& / Jt2+>)sen ?& / Jt2
B ' c,)E)>)sen,?& / Jt
2 2
0 0 0c E B sen (kx wt) =
2 2
0 0 0
0 0
1 1c E B eo = c
2 3 = =
2
0 0 0
0 0
1 1c E B
2 3=
0 0
0
E B
23 = =.q.q.d.
,). 4emostrar que si un sistema de caras oscilantes irradia ener#a
electroman!tica en 5orma istropa$ el "alor medio del mdulo
del "ector de
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
49/81
2
0 *s
dEc E B 3 d?
dt = tambi!n es ' a la ec. 1.1-
2
0s
dE Ec EBd? ade&@s = B
dt c = =2
2
0s
E dEc d?
c dt =
2
0s
dEc E d?
dt =
( )2 2 2 20 0dE 1
c E ' ade&@s = E Edt 2
= =
KKKKKK 1
2
0 2
dE 1c E
dt '
= KKKKKKKKKKKKKKKK ,
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
50/81
distancias de la 5uente$ una porcin pequea del 5rente de onda
se puede considerar plana2.
Solucin:< ' 1)GWatts
r ' 1 mt.
a '9 El "alor medio del mdulo del "ector de oite8'
2 2
. 10 4attsA
A ' & = = =
'
2
10 4atts
' & = =
2
4atts5
& =
b El mdulo de las amplitudes de los campos E y >
El mdulo del "ector de
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
51/81
00
EB
c=
2
!
"' 10
# 10
= esla
>)' ,.*- & 1):@esla
c =as densidades de Ener#a y nomentun y
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
52/81
el!ctrico de 1)) "oltios0m$ para encender un anuncio de nen \A
qu! distancia del transmisor deber7 estar el anuncio de nen9
Solucin:< ' *)$))) "atios
E ' 1)) "olt0m
r ' 9
=ey de >oite8
A. "dA= 0 0
1. dA A""""""( ) E
2= = =
00 0
0
E3
=
200
0
1E """""""""""""(2)
2 3
=
4e , en 1 tenemos8
0
2
0 0
3. 2.A
E= =
2 0
2
0 0
32.'
E =
1/ 2
0
0 0
3. 1
2 E
=
1/ 2'
2$ 10 1 #" 102 100
=
1/ 2$ #"
10 1"1$5 &2
= =
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
53/81
r ' 1I.1@ mts.
,;. Ona 5uente aseosa emite lu3 y lonitud de onda * & 1)
:I
m.suponer que cada mol!cula actNa como un oscilador de cara e y
amplitud 1):1)m. a Calcular la rapide3 promedio de irradiacin de
ener#a por mol!cula. b Si la rapide3 total de irradiacin de
ener#a por la 5uente es de 1W$ \Cu7ntas mol!culas est7
emitiendo simult7neamente9
Solucin:Ona lu3 cuya lonitud de onda ' * & 1):Im.
y una amplitud de la oscilacin D)' 1):1)m.
de cara e ' 1.@ & 1):1-C.
a =a rapide3 es promedio de irradiacin de ener#a.
=a ener#a irradiada por unidad de tiempo que atra"iesa una
super5icie es5!rica de radio r alrededor de la cara es8
2 2
0 #
dE a(Ec" de a&o)
dt c=
K K K K
Cuando una cara oscila seNn la direccin del e6e D$ la
aceleracin es a ' :J,3 entonces$ la ener#a promedio
( )2 20Z 1/ 2z=
2 2 '
0
#
0ad
z wdE(1)
dt 12 c
=
K K K K
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
54/81
En 1
'2 2
0
#
0ad
e zdE 2 c
dt 12 c
=
'2 2
0
0
e z c 2
12
=
2 2 '
0
'
0ad
e z c 1dE
dt 12
=
# 2 2
0
'
0
' e z c
#
=
# 15 2 10 !
12 '
' (1" 10 ) (10 )(# 10 )
# !"!$ 10 ($ 10 )
=
# $0
'0
' 2"$ # 10
# !"!$ 2$ 10
=
' *.IG & 1):,& 1):1)Watts
12
ad
dE$"' 10 4atts
dt
=
' !' ' ' ' 12
ad
dE 2 c 2 # 1010 w w 10 w 10 4 2;02 10 watts
dt $ 10
= = = =
SidE
1 4atts
dt
=
12
1 watts&olDc"
2"02 10 watts=
' G.* & 1):1& 1)1,
]mol!c.' G.* & 1)11mol!c.
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
55/81
,G. Osando la ec. ,I$ estimar el "alor de dE/dt para un protn
dentro de un nNcleo. omar 3)del orden de 1):1*m y J del orden
de * & 1),)
s:1
que corresponde a rayos amma de ba6a ener#a.=a Ener#a media Brradiada en la unidad de tiempo es8
2 2 '
0
#
0ad
e z wdE(15"2)
dt 12 c
=
K K K K
=a ec. 1.,I es "7lida porque8
2 2 '
0
#
0ad
e z wdE(1)
dt c
=
K K K K
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
56/81
1
ad
dE1" 10 4atts"
dt
=
ener#a de los rayos amma.
,*. =a e&presin 1,.; de la Bntensidad de la radiacin
pro"eniente de una cara acelerada en 5uncin de la direccin de
dicha radiacin. Bnterando la misma respecto a todas las
direcciones$ obtener la ec. 1.;- +Suerencia8 multiplicar B por
el elemento de 7rea8 dS ' ,r,sen de interar de ) a 2.
Solucin:eniendo en cuenta la suerencia del problema es decir multiplicar
B por el elemento del 7rea8
dS ' ,r,sen de interar de ) a .
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
57/81
2 2 2
#
00 0
a sen cos 2cos
! c # #
=
2 2 2
#
00
a sen cos 2cos
! c # #
=
( )2 2
2
#
0 0
a cos2 sen
! c #
= +
2 2
#
0 0
a cos 1 12 cos2
! c # 2 2
= +
2 2
#
0 0
a cos $ 1cos2
! c # 2 2
=
2 2
#
0
a cos $ 1 cos0 $ 1cos2 cos0! c # 2 2 # 2 2
= +
2 2
#
0
a 1 $ 1 1 $ 1
! c # 2 2 # # 2
= +
2 2
#
0
a 2 '
! c # 2
=
2 2
#es>ea0
a
( )d? c = que es iual a la ec. ;- es decir8
2 2
#
0
dE a
dt c
= Ec. de =armor
4onde8 a es la aceleracin de la cara.
Comprobando de paso la ec. 1.,*
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
58/81
es>eaad
dE( )d?
dt
=
,@. (btener una e&presin para la ener#a irradiada por unidad de
tiempo por una part#cula carada que se mue"e con "elocidad ^"_
perpendicular al campo man!tico >.
Solucin:
=a 5iura podr7 tratarse de un
ciclotn donde la aceleracin
centr#peta que e&perimenta la
part#cula est7 dada por8
2
c
%a (1)
= K K K K
4onde8 " es la "elocidad tanencial rbita.
r es el radio de la rbita.
y la "elocidad de la part#cula en el ciclotn es8
% B (2)
&
=
K K K K
4onde8
q 8 es la cara de la part#cula.
m 8 es la masa de la part#cula.
> 8 es el campo man!tico aplicado.
, en 1
2 2 2 B a
&
=
2
2 2a B
&
=
#
3rbi+a
r
-
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'
2 ' 2a B &
=
2 2
2 2 %a B & =
2
2 2 2a B %&
=
-
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2 2 kk e
e
2E1E & , %
2 &= = KKKKKKKKKKK 1
222 2
2 k
e
2 E% %a a & = = =
KKKKKKKKKKK ,
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
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" ',.1--,@G1 & 1)@ms:1
pero la "elocidad8
" ' J r ' , rentonces8
%9
2 =
1
11
2"1!!2'1 10 & s
2 $"25 10 &
=
1 12"1!!2'1 10 s
2 $"25
=
' @.*-;@ & 1):,& 1)1Is:1
' @.*-;@ & 1)1*s:1
eempla3ando en G
11 1
1$ 1
ad
dE 1 2"5 10 e, s
dt "$!# 10 s
=
' G.G@*@ & 1):1& 1):GeR
$
ad
dE 1'"' 10 e,
dt
=
b
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
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" ' 1.;,@@G & 1)-m s:1
" ' 1.;; & 1)-m s:1c "elocidad de la lu3
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
63/81
2 2
# 2 2 2
0
dE a 1
dt c (1 % / c )
=
eempla3ando la ecuacin , en esta Nltima y teniendo en
cuenta *
2 2
k
# 2 2 2 2 2
ad 0 e
'e EdE
dt c & (1 % / c )
= KKKKKKKKK I
15 2 # 2 2
12 ! # 2 #1
' (1" 10 ) ($0 10 ) (e,)
!"!$ 10 (# 10 ) (1) (5"1 10 )(0"')9 s
=
#0 2
$0
2 (2"$) (2$) 10 (e,)
# !"!$ 2 !2"!1 10 9 s
=
1 2
1!
"!#$ 10 (e,)
"2'2 10 e, s
=
' 1.)@@IG & 1):,eR:s:1
2 1
ad
dE1"10 10 e, s
dt
=
=a Ener#a irradiada por re"olucin8
2 1
ad
dE 1 1"10 10 e, s
dt
= KKKKKKKKKKK -
-
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' ,.11 & 1):1& 1)-se:1
' ,.11 & 1)Is:1
eempla3ando en -
2 1
1
ad
dE 1 1"10 10 e, s
dt 2"11 10 s
=
' *.,1* & 1):1& 1):eR
10
ad
dE 1$"22 10 e,
dt
=
-
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eempla3ando en la ecuacin I
2 2
k
22
ad # 2 2
0 2
'e EdE
dt % c & 1 c
=
15 2 # 2
12 ! # 2 2 2
' (1" 10 ) ($0 10 )
!"!$ 10 (# 10 ) (1) (1" 10 ) (0"55)9 s
=
#0 2
'2
2 2"$ 2$ 10 (e,)
# !"!$ 2 2"!!5 0"55 10 9 s
=
22 2"$ 2$ 10 (e,)
# !"!$ 2 2"!!5 0"559 s
=
2 12 2
1!
2"0#5 10 10 (e,)
0"55 "2'2 10 e, s
=
' ;.,@G- & 1):1& 1):-eRs:1
5 1
ad
dE#"2 10 e, s
dt
=
=a ener#a irradiada por re"olucin
5 1
ad
dE 1 #"2 10 e, s
dt
= KKKKKKKKKK
-
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eempla3ando en la ecuacin
5 1
1
ad
dE 1 #"2 10 e, s
dt 0"'5 10 s
=
$
ad
dE 1"$ 10 e,
dt
=
,-. 4emostrar que para una part#cula que se mue"e en un
acelerador lineal la potencia que irradia es8
2 2 # 2
0 0 k(dE/dt)ad G ( / & c )(dE /dx) donde E?es la ener#a cin!tica de
la part#cula.
Solucin:
En un acelerador lineal la part#cula irradia ener#a tal como. =a
ecuacin de =armor.
2 2
#
ad 0
dE a
dt c
KKKKKKKKKK 1
-
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eempla3ando , en 1
2
# k0 0 2
ad 0
dEdE 1 c
dt & dt
=
22
2 #
ad 0 0
dE dE
dt & c dt
= =.q.q.d.
,. 4emostrar que en un acelerador circular una part#cula irradia
ener#a a ra3n de dE0dtrad ' q,c0@)r, "0cG
E0m)c
,
G
Solucin:
En un acelerador circular la part#cula irradia una ener#a acuerdo a
la ec. 1G,.
2 2
# 2 2 2
ad 0
dE a(1)
dt c (1 % / c )
= K K K K
-
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'
222
0
2
E 1
& c %1
c
=
KKKKKKKK G
eempla3ando G en ;
''2
2 2
ad 0 0
dE % E
dt c & c
= =.q.q.d.
;). 4emostrar que en el caso de los ases$ el seundo t!rmino en
la ec. 1.*- es pequeo y que podemos escribir.
2
+
2 2+e 0 +
>*nH1
2& w w
+
En caso de que haya una sola 5recuencia resonante$ esta e&presin
se con"ierte en8
( )
2
2 2
e 0 +
*en 1
2& w w +
Solucin:
El #ndice de re5accin para los ases est7 dado por8
22
2 2+e 0 +
>*en 1 (15"$!)
& w w
= +
K K K K
2
2 2+e 0 +
>*en 1
& w w
= +
4onde8
Z8 es el ] de electrones por unidad de "olumen.
5i8 intensidad de oscilacin.
Ji8 5recuencias caracter#sticas.
J8 5recuencia de la onda.
-
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4esarrollando el binomio8
2
2 2+e 0 +
>1 *e1
2 & w w
+
;
Cuando la intensidad de oscilacin contribuye a la polari3acin del
7tomo se tiene que8
++
> 1=
( )
2
2 2
e 0 +
*en 1
2& w w+
; para una 5recuencia resonante.
;1. El #ndice de re5raccin de hidreno aseoso a temperatura y
presin normales es n ' 1 T 1$G)) & 1) :Gpara ' *$G@ & 1):Im y
n ' 1 T 1$*GI & 1):Gpara ',$*G & 1):Im. Suponiendo que hay
una sola 5recuencia resonante$ calcular esta 5recuencia y el
nNmero de osciladores electrnicos por unidad de "olumen.
Comparar con el nNmero de mol!culas por unidad de "olumen.
Suerencia8 Osar el resultado del problema ;).
Solucin:
=a 5recuencia y nNmeros de osciladores electrnicos por unidad de
"olumen.
El #ndice de re5accin del hidreno aseoso a temperatura y
presin normales$ es8
nH' 1 T 1.G)) & 1):Gpara X ' *.G) & 1):Im y
nH' 1 T 1.*GI & 1):Gpara X ' ,.*G & 1):Im
4el resultado del problema ;)
-
8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II
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( )
2
2 2
e 0 +
*en 1
2& w w+
;
c ' J ' ,
cw 2=
( ) ( ) = +
22 2 2
1 1
e 0
*en w w w 2
n&
( )( ) +
22 2
1e 0
*e
w w n 1 """""""""""""""""(1)n&
4e 1 para nX y n tenemos8
( )( ) ( )( ) = =
22 2 2 2
1 1
e 0
*ew w n 1 w w n 1
2n&
( ) = 2 2 2
1w n 1 (n 1) w (n 1) w (n 1)
[ ]
=
2 22
1
w (n 1)w (n 1)
w (n 1) (n 1)
[ ]
=
1/ 22 2
1
w (n 1)w (n 1)w
(n 1) (n 1)
=
1/ 2
2 2
n 1 n 1
2 cn n
=
1/ 22 2
2 2
(n 1) (n 1)2 c
(n n)
=
1/ 2' 2 ' 2
1 2 2 '
(1"$' 10 )($"' 10 ) (1"'00 10 )(2"$' 10 )w 2 c
(0"1')(2"$' 10 ) ($"' 10 ) 10
=
1/ 22 1! 2 1!
2 2 #2
1"$'($"') 10 1"' (2"$') 102 c
0"1' (2"$') ($"') 10
-
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=
1/ 22 2
1"$'($"') 1"' (2"$')2 c 100"1' (2"$') ($"')
=
1/ 2
1$1"$'($"') 1"' (2"$') 100"1' (2"$') ($"')
' ,1.* & 1)1*se:1
J1' ,.1* & 1)1@se:1
ZNmero de osciladores electrnicos por unidad de "olumen de la
ec. 1
( )( ) =
2 2
e 0 1
2
2& w w n 1*
e
=
'
2!
#1 12 1 2
(1"$' 10 )
15 2
102 5"1 10 !"!$ 10 (2"1$ 10 )
2"$' 10
(1" 10 )
=
2
2 2#2 5"1 !"!$ $' (2"1$) 102"$'
2"$
' ;@.;,,*G & 1),;
Z ' ;.@ & 1),* Elect0m;
;,. Con re5erencia al problema anterior$ calcular el #ndice d
re5raccin del hidreno para ' G & 1):Im$ a la presin de 1)
atm y a la temperatura de ;))Q%
Solucin:
El #ndice de re5raccin del H. para ' G & 1):Im. a la presin
-
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( )
,
, ,e ) i
Zen 1 1
,m J J= +
K K K K
4onde8e ' 1.@ & 1):1d cara de elect.
me ' .1 & 1):;1? masa de elect.
,1,
) ,
d-.-* 1)
Z.m =
1Z < mol!c.
R % Onid.= por Ec. Ueneral de los ases de "olumen
,; % 1.;-)G* 1) Cte. de>olt3mann%
=
En cada mol!cula e&isten , electrones Hidreno H, entonces
,