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Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen
Bisher: - Einzel-Teilchenbeschreibung - kinetische Gleichung (statistische Beschreibung)
Einfacher: Flüssigkeitsbeschreibung
• betrachte nur gemittelte Größen: Dichte, Temperatur, mittlere Geschwindigkeit
• eigentlich mehrere Flüssigkeiten: v.a. Elektronen und Ionen (unterschiedliche Massen!)
• elektrische und magnetische Felder
Speziell im Plasma:
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• Vernachlässigung kinetischer Effekte (unterschiedliche Antwort von Teilchen mit verschiedenen Geschwindigkeiten auf externe Felder, z.B. Landau-Dämpfung)
Stovr t
ffBvE
m
qfv
t
f
dt
df
Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen
Starte von kinetischer Gleichung:
• Momente der Verteilungsfunktion: v),,v()v(
dtrfk
Betrachte nicht Verteilungsfunktion selbst, sondern
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Momente der Verteilungsfunktion
v),,v()v(),( 0 dtrftrn
Dichte (k=0):
),(/v),,v()v(),(u 1 trndtrftr
Schwerpunktsgeschwindigkeit (k=1):
),(/v),,v()v(3
),( 2 trndtrfum
trkT
Temperatur (k=2): 2
22
3aB uv
mTk
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Momente der Verteilungsfunktion
Dies sind lokale Größen, d.h. Flüssigkeitsbeschreibung nur möglich, wenn mittlere freie Weglänge viel kleiner als Skalenlänge der untersuchten Prozesse
Hc L
Probleme für:• stoßfreie Plasmen• kleinskalige Prozesse
Zeitskala der betrachteten Prozesse muss viel länger als Stoßzeit sein:
Hii
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Kontinuitätsgleichung
0-tes Moment der kinetischen Gleichung:
0
vdt
f
Sto
Energie-und Impulserhaltung:
(falls nur Teilchen einer Sorte)
fBvEm
qfv
t
fvr
vd
t
n
unvdfvvdfv rr
v und u unabhängige Phasenraumvariablen, daher 0r
v
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Kontinuitätsgleichung
t
n
un
+ = 0
fBvEm
qfv
t
fvr
vd
t
n
un
vdBvEfm
qfBvE
m
qvdfBvE
m
qvv
0
• E unabhängig von v
0 Bvv
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Kraftgleichung
1-tes Moment der kinetischen Gleichung:
0,
wdt
fwmtrR
Sto
Reibungskraft:
(w: Relativgeschwindigkeit)
fBvEvqfvmt
fvm vr
2 vd
unt
mvdt
vfmvdfv
tmvd
t
fvm
vtrvw
,
Integration über Relativgeschwindigkeit = Integration über v
bei gegebener Verteilungsfunktion werden genauso viele Teilchen abgebremst oder beschleunigt, um f wieder herzustellen
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Kraftgleichung
fBvEvqfvmt
fvm vr
2 vd
unt
m
vdvfmvdfvmvdfvm rrr
222 0r
v
vdfuvuuuvm
vdfvuuuvm
r
r
2
2
22
22
uvvfd
nu
m
Tnkm B
r23
2
22
3uv
mTkB
uumnunump
uumnnmup
rrr
rrr
22
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Kraftgleichung
fBvEvqfvmt
fvm vr
2 vd
unt
m
vdBvEvfqvfBvEqvdfvBvEq vv
0
uunmunumP
)(
P: anisotroper Drucktensor
vdBvEvfqvdBvEfq v
BuEnq
wie vorher
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Kraftgleichung
RPBuEnquut
unm
uunmunumP
)( unt
m
+ RBuEnq
t
n
un
+ = 0
t
num
=
aus
t
unm
+ RPBuEnq
uunm
)(
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Kraftgleichung
RPBuEnquut
unm
Kräfte-Gleichgewicht
ggf. zusätzlich Gravitationskraft: gnm
Flüssigkeitselement wird beschleunigt durch einwirkende Kräfte:- auf Grund elektrischer Felder- Lorentz-Kraft- Reibungskraft- Gewichtskraft
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Energiegleichung
Multiplikation der kinetischen Gleichung mit 2
2v
m
wdt
fw
mtrQ
Stöße
2
2),(
Qppt
kTn
vv2
3
Es entsteht wieder eine Hierarchie von Gleichungen, einfachstes System:
- Kontinuitätsgleichung- Bewegungsgleichung- Gleichung für den Druck (aus Thermodynamik)
+ Maxwell-Gleichungen
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Magnetohydrodynamik (MHD)
Einflüssigkeitsbeschreibung:
Annahme: Flüssigkeiten und Felder variieren auf gleichen Zeit- und Längenskalen (die der Ionen)
Alle Effekte, die speziell die Elektronendynamik betreffen, werden vernachlässigt
cuL
k iH
H ~~
nichtrelativistische Beschreibung
Te = Ti noch höhere Stoßfrequenz als für Zwei-Flüssigkeit gefordert
Auf betrachteter Zeitskala muss Energieaustausch zwischen Elektronen und Ionen erfolgen:
Hi
eii m
m
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MHD-Gleichungen
(1) Kontinuitätsgleichung:
Gleichung für Massendichte iiiie mnmnmn
t u
+ = 0
Gleichung für Massendichte statt Teilchendichte
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MHD-Gleichungen
(2) Kraftgleichung: Addition der Kraftgleichungen für Elektronen und Ionen (einfach geladene Ionen, isotroper Druck)
eieeeeee
ee RpBuEenuut
unm
eiiiiiii
ii RpBuEenuut
unm
)( gBjpuut
u
ie mm Elektronenträgheit vernachlässigbar
0)(
pBuuenuut
uie
iei nnuu ,
Im statischen Fall wird Druckgradient gerade durch Ströme senkrecht zum MF (und evtl. Gravitation kompensiert)
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MHD-Gleichungen
(3) Verallgemeinertes Ohmsches Gesetz:
Kraftgleichung für Elektronen eieeeeee
ee RpBuEenuut
unm
iiiee uen
juuuu
)(
eieieei
ee Rpen
BjBuEen
dt
jd
e
m
dt
udnm
Kraftgleichung: pBjdt
ud i
1
eieiee
i
e RpBjBuEendt
jd
e
mpBj
m
m
me<<mi
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MHD-Gleichungen
(3) Verallgemeinertes Ohmsches Gesetz:
e
ei
en
Rj
dt
jd
ne
mp
enBj
enjBuE
e
e
eei
2
11
Resistivität Hall-Termin MHD vernachlässigt
Plasmabewegung senkrecht zu B
e
eie
eee
ei en
Rp
enBj
endt
jd
en
mBuE
112
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Zusammenfasung: MHD-Gleichungen
0)v(
tKontinuitätsgleichung
Bjpt
v)v(vKraftgleichung
Maxwell-Gleichungen
0,,0
BBjEt
B
Adiabatische Zustandsänderung: 0)(
dt
pd
Und dazu noch:
Ohmsches Gesetz Bjen
jBuEe
1
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MHD-Gleichgewicht
Bjp
Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft(Ströme senkrecht zum Magnetfeld)
0 pB
Druck entlang von MF-Linien ist konstant
Kraftgleichung (stationär)
Grundlage des magnetischen Einschlusses von Plasmen
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Ideales Ohmsches Gesetz: 0 BuE
Betrachte Änderung des magnetischen Flusses durch eine Schleife, die sich mit Geschwindigkeit v durch das Plasma bewegt:
)(tA
)( ttA
ldtv
n
tv
ld
)( )()(
1
ttA tAtA
AdBAdBt
Adt
B
dt
d
mit
0.
Oberfl
FdBdVB
ldtvBt
AdBAdBt
ttA tA
11
)( )(
ldvBAdt
B
dt
d
Konsequenzen aus dem Ohmschen Gesetz
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Der eingefrorene Fluss
ldBuAdBuAdt
B
ldvBAdt
B
dt
d
Das Magnetfeld ist in idealer MHD im Plasma “eingefroren”, d.h. es bewegt sich mit dem Plasma
lduBldvBdt
d Fluss durch Spule verschwindet, wenn sie sich mit Plasmageschwindigkeit bewegt
0 BuE
,Et
B
Bu
t
B
Zeitliche Änderung des Magnetfeldes nur durch Plasmabewegung
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Konsequenzen der Flusserhaltung
.constAdB
Plasmakontraktion führt zu MF-Erhöhung!
A1 A2
B1 B2
12
12 B
A
AB
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Konsequenzen der Flusserhaltung
Beispiel: In Neutronensternen Magnetfelder bis 108 T, erreichbar durch Kontraktion bei hohen Temperaturen
Radius von Neutronensternen: r2 ~ 20 kmSonnenradius r1 ~ 700 000 km
19
122
21
2 10~~ BBr
rB
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Endliche Resitivität
jBE uOhmsches Gesetz
Maxwell-Gleichungen BujE
t
B
BuBt
B
2
0
1
Endliche Resistivität erlaubt Änderung der MF-Topologie!
Typische Zeiten für Rekonnektion: 0
2
~L
rec
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Magnetische Inseln Erdmagnetfeld
Beispiele für Rekonnektion
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Rekonnektionszeiten
0
2
~L
rec2/3~
eT -> sehr lange Rekonnektionszeiten
Solar flares: s
mKTe
26 1~,10~
L=107m, rec=1014 s, aber Beobachtung: 103 s
Fusionsplasmen: s
mKTe
238 10~,10~
L=0.2 m, rec=40 s, aber Beobachtung: 100 s (“Sägezähne”)
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Sweet-Parker-Rekonnektion
Kontinuitätsgleichung (inkompressibles Plasma)
t u
+ = 0
außerhalb der resistiven Schicht: ideal MHD
in resistiver Schicht: resistive MHD
1
0
inu
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Sweet-Parker-Rekonnektion
MF-Energie = kinetische Energie
Ausströmgeschwindigkeit = Maximalgeschwindigkeit in MHD
1
0
inu
Aout
in
vLu
u 11
0
Av
1~
0
![Page 29: Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen Bisher: - Einzel-Teilchenbeschreibung - kinetische Gleichung (statistische Beschreibung) Einfacher: Flüssigkeitsbeschreibung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062417/55204d8049795902118d30f9/html5/thumbnails/29.jpg)
Sweet-Parker-Rekonnektion
Ain vu00
~1
Av
1~
0
Charakteristische Zeit für Rekonnektion
1
~~in
rec u
L
Schneller als vorher (1/), aber immer noch viel zu langsam
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Rekonnektion ohne Zusatztermen (MHD)
Av
1~
0
• MHD (one fluid) theory valid only for L >> i
• however: thin current layer, width smaller than i for realistic :
![Page 31: Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen Bisher: - Einzel-Teilchenbeschreibung - kinetische Gleichung (statistische Beschreibung) Einfacher: Flüssigkeitsbeschreibung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062417/55204d8049795902118d30f9/html5/thumbnails/31.jpg)
dt
jd
ne
mp
enBj
enjBuE
e
e
eei
2
11
Important for small MF (astrophysics)
Two fluid theory
Generalised Ohm‘s law:
Significant motion perpendicular to strong magnetic field only due to ExB drift
E
B
Ionaccelerated,
= largergyro radius
Elektrondecelerated,= smaller
gyro radius
2B
BEvD
for electrons and ions in the same direction
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dt
jd
ne
mp
enBj
enjBuE
e
e
eei
2
11
large MF (Fusion)
Two fluid theory
Generalised Ohm‘s law:
Time varying electric fields: polarisation drift
dt
Ed
qB
mpol
2v
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dt
jd
ne
mp
enBj
enjBuE
e
e
eei
2
11
Important for small MF (astrophysics)
large MF(Fusion)
Important in thin layer
Two fluid theory
Generalised Ohm‘s law:
![Page 34: Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen Bisher: - Einzel-Teilchenbeschreibung - kinetische Gleichung (statistische Beschreibung) Einfacher: Flüssigkeitsbeschreibung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062417/55204d8049795902118d30f9/html5/thumbnails/34.jpg)
X point geometry in two fluid theory
![Page 35: Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen Bisher: - Einzel-Teilchenbeschreibung - kinetische Gleichung (statistische Beschreibung) Einfacher: Flüssigkeitsbeschreibung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062417/55204d8049795902118d30f9/html5/thumbnails/35.jpg)
Outflow channel much wider in two fluid theory
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Reconnection times close to Alfvén times!
Much higher reconnection rate in two-fluid theory
MHD
Increasing influence of polarisation drift
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Rekonnektion mit Zusatztermen (“beyond MHD: ||p”)
![Page 38: Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen Bisher: - Einzel-Teilchenbeschreibung - kinetische Gleichung (statistische Beschreibung) Einfacher: Flüssigkeitsbeschreibung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062417/55204d8049795902118d30f9/html5/thumbnails/38.jpg)
Rekonnektion mit Zusatztermen (“beyond MHD: ||p”)
Rekonnektionszeiten im Bereich von Alfvenzeiten!
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Der Hall-Effekt
Bjen
jBuEe
1Ohmsches Gesetz
Strom senkrecht zu Magnetfeld
Bedeutung des Hall-Effekts in der Niedertemperatur-Plasmaphysik:
Ex
jxEy=0 Bz
Betrachte:
01
1
zxyy
zyxx
Bjen
jE
Bjen
jE
Aus Ohmschem Gesetz:
Strom in y-Richung, obwohl Ey=0!
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Der Hall-Effekt
01
zxyy Bjen
jE zxy Bjen
j
zyxx Bjen
jE1
eieeie m
eB
en
B
m
ne
2
ec m
eB
xei
cy jj
ei
c
ei
c
xx
ei
cy
Ejj
2
2
1
2
22
2
1ei
c
xx
ei
cxx
EjEj
Strom in Richtung des Ex-Feldes wird abgeschwächt durch jy
Verringerte Leitfähigkeit in Richtung des elektrischen Feldes, höherer Strom senkrecht zu E und B
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Elektrische Leitfähigkeit in magnetisierten Plasmen
BE
||
BE
: Strom in E-Richtung, Spitzer-Leitfähigkeit
||1
2 B
BEEj ce
stoß
ce
: zwei Strombeiträge, Leitfähigkeit in E-Richtung erheblich reduziert in heißen Plasmen bei hohen Magnetfeldern
Strom in Richtung von E,verringert durch MF
Strom durch Hall-Effekt, wichtig für ce>, also für stark magnetisierte Plasmen
![Page 42: Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen Bisher: - Einzel-Teilchenbeschreibung - kinetische Gleichung (statistische Beschreibung) Einfacher: Flüssigkeitsbeschreibung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062417/55204d8049795902118d30f9/html5/thumbnails/42.jpg)
Der Hall-Generator
Betrachte zusätzlich Plasmaströmung ux:
zxxei
cy Bujj
Ex
jx Bzux
Ey=0
zxyzxy Bjen
jBuE1
ei
czxx
ei
c
x BuEj
2
2
1
ei
czxx
ei
c
effx BuEE
2
2
1
1
zyxx Bjen
jE1
wievorher
![Page 43: Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen Bisher: - Einzel-Teilchenbeschreibung - kinetische Gleichung (statistische Beschreibung) Einfacher: Flüssigkeitsbeschreibung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062417/55204d8049795902118d30f9/html5/thumbnails/43.jpg)
Der Hall-Generator
Betrachte zusätzlich Plasmaströmung ux:
jx Bzux
Ey=0
ei
czxx
ei
c
effx BuEE
2
2
1
1
Für Niedertemperaturplasmen (ce<zusätzliche Spannung durch Strömung über Widerstand RL
![Page 44: Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen Bisher: - Einzel-Teilchenbeschreibung - kinetische Gleichung (statistische Beschreibung) Einfacher: Flüssigkeitsbeschreibung](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062417/55204d8049795902118d30f9/html5/thumbnails/44.jpg)
Der Faraday-Generator
zxyzxy Bjen
jBuE1
•Plasmabewegung erzeugt Strom in y-Richtung
zyxx Bj
enjE
1
• Umkehrung des Generator-Prinzips: Plasmatriebwerke für Weltraumanwendungen
•J x B – Kraft bremst Plasmabewegung
jx unterdrückt durch Segmentierung der Elektrode