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Exercice1:
1/ f est dérivable sur IR et f'(x)=3x²-2x+3>0
f continue, strictement croissante sur IR donc réalise une bijection de IR
sur f<IR>=] lim ( ), lim ( )x x
f x f x
[=]- ,+ [
2/ f est une bijection de IR dans IR; 0IR donc possède dans IR un seul
antécédent par f
f(x)=0 admet dans IR un unique solution .
f(0)=1 et f(-1
3)=
4
27
f(0) f(-
1
3) <0 ]-
1
3,0[.
Exercice 2:
1)0 0 0 0
( ) (0) 2 (2 ) 2lim lim lim limx x x x
f x f x x x x x
x x x x
Donc f n’est pas dérivable à droite en 0 .
1 1
2
1 1 1
( ) (1) 2 1lim lim
1 1
2 1 ( 1) 1lim lim lim 0
1 ( 1)( 1) 1
x x
x x x
f x f x x
x x
x x x x
x x x x
Donc f est dérivable à gauche en 1.
La fonction x x est dérivable sur 0, donc sur ]0,1[, les fonction
x 2 et x x sont dérivable sur IR donc sur ]0,1[ .
On en conclut alors que f est dérivable sur ]0,1].
2) Pour x de ]0,1] 1 1
'( ) 1 0x
f xx x
.
f est continue et strictement croissante sur
[0,1] donc elle réalise une bijection de [0,1]sur
f< [0,1]>=[0,1].
3) pour tout x[0,1] et y[0,1]; y = f -1
(x)
f(y)=x .
Résolvons l'équation f(y)=x d'inconnue y:
x 0 1
f’(x) + 0
f
1
0
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21
2 2
2 2
2 2 2
2
1
1
( ) ( ) 2 4 ; 0
2 4 0 ; 0
2 ( 2) 0 ; 0
( ( 2)) ( 2) 0 ; 0
( ( 2)) 4(1 ) ; 0
2 1 ( 2) ; 0
(0) 0
, [0,1] : ( ) 2 2 1
y f x f y x y y x y x y x y
y xy x y x y
y y x x x y
y x x x x y
y x x x y
y x x x y
comme f
alors pour tout x f x x
x
4) dérivabilité de f -1
à gauche en 1:
1
( ) (0)lim 0
x
f x f
x
f admet au point d'abscisse 1 une demie
tangente horizontale f -1 admet au point d'abscisse 1 une demie
tangente verticale f -1
n'est pas dérivable à gauche en 1.
Dérivabilité de f -1
à droite en 0:
0
( ) (0)lim
x
f x f
x
f admet au point d'abscisse 1 une demie
tangente verticale f -1 admet au point d'abscisse 1 une demie
tangente horizontale f -1
est dérivable à droite en 0.
Dérivabilité de f -1
sur ]0,1[:
f est dérivable et f ' non nulle sur ]0,1[ donc f -1
est dérivable sur ]0,1[.
Pour tout x[0,1[; 1 1( ) '( ) 1
1f x
x
Exercice 3:
1) a) Df={xIR; 4x²+x 0}
Donc Df= 1
] , [ 0,4
.
La fonction 24x x x est continue, positive sur Df
24x x x est continue sur Df f est continue sur Df comme étant
la somme de fonctions continues..
b) dérivabilité de f sur ]- 1
4[ ]0,+ [:
La fonction 24x x x est dérivable, strictement positive sur
1
] , [ 0,4
x
1
4 0
24x x + - +
0 0
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24x x x est dérivable sur 1
] , [ 0,4
et 2 1x x 1
] , [ 0,4
f est dérivable sur 1
] , [ 0,4
.
Dérivabilité de f à gauche en -1
4:
2 2
1 1 1
4 4 4
1 1 1( ) ( ) 4 2 1 4 2
4 2 2lim lim lim1 1 1
4 4 4x x x
f x f x x x x x x
x x x
1 1
4 4
1 1
4 4
1 1 14 ( ) 2( ) 4 ( )
4 4 4lim lim 21 1
4 4
14 ( )
44lim 2 lim 21 1 1
4 ( ) 4 ( )4 4 4
x x
x x
x x x x x
x x
x xx
x x x x x
f n’est pas dérivable à gauche en 1
4 .
Dérivabilité de à droite en 0:
2
0 0 0 0
14 2
( ) (0) 4 2 1 1 1lim lim lim lim 4 2x x x x
x xf x f x x x x
x x x x
f n’est pas dérivable à droite en 0 .
Conclusion : f est dérivable sur 1
, 0,4
.
Pour x de 1
, 0,4
2
8 1'( ) 2
2 4.
xf x
x x
.
2) a) Pour x de IR+
f’(x) >0 .
f est strictement croissante et continue sur
IR+ donc f réalise une bijection de IR+ sur
J=f<[0,+ [>=[1,+ [.
x 0
f’(x) +
f
1
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b) f est continue sur [0,+ [ donc f-1
est continue sur [1,+ [ .
Dérivabilité de f -1
sur ]1,+ [:
f est dérivable et f' non nulle sur ]0,+ [ f-1
est dérivable sur ]1,+
[
Dérivabilité de f-1
à droite en 1: 1 1
1 1
1
0 0
( ) (1)lim ( ) ( ); (0) 1 0 (1)
1
0 1lim lim 0
( ) (0)( ) (0)
x
x x
f x fsoit f x y x f y f f
x
y
f y ff y f
y
f-1
est dérivable à droite en 1.
En conclusion f-1
est dérivable sur [1,+ [
Pour tout x[1,+ [; 2
1
2
2 4( ) '( )
8 4 4 1
x xf x
x x x
.
3/ pour tout x [1,+ [ et y[0,+ [; y=f-1
(x) f(y)=x.
Résolvons l'équation f(y)=x d'inconnue y:
2
22
2 2 2
2
2
( ) 4 2 1
4 (2 1) ; (2 1)
4 4 1 4 4 2 ; (2 1)
( 3 4 ) 1 2 ; (2 1)
( 1); (2 1)
4 3
f y x y y y x
y y x y x y
y y x y y xy x x y
y x x x x y
xy x y
x
Donc pour tout x de [1,+ [ 2
1 ( 1)( )
4 3
xf x
x
4/ f est une bijection de [0,+ [ sur [1,+ [ et 2[1,+ [ donc admet un
unique antécédent par f dans [0,+ [
f(x)=2 admet une unique solution dans [0,+ [.
De plus ( f(0)-2).(f(1
2)-2) <0 ]0,
1
2[.
Exercice 4:
1/ a) la fonction cosx xest dérivable sur IR donc sur 0,2
.
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0 0 0 0
0 0
2
11
( ) (0) 1 cos 1 coscoslim lim lim lim . 0 cos cos
1 cos 1car lim 0 lim
cos 2
x x x x
x x
f x f x x xx
x x x x x x
x xet
x x
Donc f est dérivable à droite en 0
En conclusion f est dérivable sur 0,2
b) Pour tout x 0,2
; 2
sin'( )
cos
xf x
x 0
2) f est continue et strictement croissante sur
0,2
et f( 0,2
)=[1,+ [ donc f réalise une
bijection de 0,2
sur f( 0,2
)=[1,+ [ .
3) ' (0) 0df donc f admet au point d'abscisse 0 une demie tangente
horizontale
f -1 admet au point d'abscisse 1 une demie tangente verticale
f -1
n’est pas dérivable à droite1.
4) f est dérivable et f' non nulle sur 0,2
f -1
est dérivable sur ]1,+
[
pour tout x]1,+ [;
1 1
1
1 1 cos ² 1( ) '( ) ( ) ( )
'( ( )) '( ) sin cos
11 ² 1² cos sin
² 1
1
² 1
yf x f x y x f y
f f x f y y y
xx y yx xx
x
x x
. Exercice 5:
1/ a) Df=]1,2]
b) f(2)=0; 1
lim ( )x
f x
2/ f admet au point d'abscisse 2 une demie tangente verticale
f n'est pas dérivable à gauche en 2
x 0
2
f’(x) 0 +
f
1
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3/
4/ a) f continue strictement décroissante sur ]1,2] donc réalise une
bijection de ]1,2] sur f<]1,2]>=[0,+ [.
b) f admet au point d'abscisse 2 une demie tangente verticale donc f
-1 admet au point d'abscisse 0 une demie tangente horizontale par suite f -
1 esr dérivable à droite en 0 et (f
-1)'(0)=0.
c)
f
f -1
Exercice 6:
1/ Df={xIR; x²+2x 0}=]- ,-2] [2,+ [.
2/ x x²+2x est dérivable, strictement positive sur ]- ,-2[ ]2,+ [
² 2x x x est dérivable sur IR
f est dérivable sur IR .
3/
x 1 2
+
f
0
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0 0
0
0
( ) (0) ² 2lim lim
2| | 1
1 lim
21 lim 1
x x
x
x
f x f x x x
x x
xx
x
x
f n'est pas dérivable à droite en 0 et f admet que point d'abscisse
0 une demie tangente verticale dirigée vers le haut.
4/ pour tout x]0,+ [; f '(x)=1
1² 2
x
x x
>0
5/ a) f continue, strictement croissante sur [0,+ [ donc réalise une
bijection de [0,+ [ sur f<[0,+ [>=[0,+ [.
b) pour tout x [0,+ [ et y[0,+ [; f -1
(x)=y x=f(y).
résolvons l'équation f(y)=x d'inconnue y:
( ) ² 2
² 2 ( )² ; 0
(2 2 ) ² ; 0
²
2 2
f y x y y y x
y y x y x y
y x x x y
xy
x
pour tout x[0,+ [; f -1
(x)=²
2 2
x
x.
Exercice 7:
1/ f(x)=gou(x) avec g(x)=tgx et u(x)=2
x.
u est dérivable sur ]- , [ et u'(x)=1
2.
g est dérivable sur u<]- , [>= ] , [2 2
et g'(x)=1+tg²(x).
f = gou est dérivable sur ]- , [ et f '(x)=u'(x)g'(u(x)).
Pour tout x]- , [; f '(x)=1
[1 ²( )]2 2
xtg >0
2/
x 0 +
f' +
+
f
0
x -
f' +
+
f -
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lim ( )
lim ( )
x
x
f x
f x
3/ f continue strictement croissante sur ]- , [ donc réalise une bijection
de ]- , [ sur f<]- , [=IR.
1
1
1
( ) 1 (1)2 2
1 1( ) '(1) 1
'( (1)) '( )2
f f
ff f f
4/ f dérivable et f ' non nulle sur ]- , [ donc f -1
est dérivable sur f<]-
, [>=IR.
Pour tout xIR;
1 1
1
1 1( ) '( ) ( ) ( )
'( ) 2'( ( ))
1
1(1 ²( ))
2 2
2
1 ²
yf x f x y x f y tg
f yf f x
ytg
x
Exercice 8:
I/ 1/ 1
lim ( ) lim 1 1 lim 01 1
| | 1 1² ²
1lim ( ) lim 1 1 lim 2
1 1| | 1 1
² ²
x x x
x x x
xg x
xx x
xg x
xx x
2/ x x²+1 dérivable, strictement positive sur IR
x ² 1x dérivable sur IR et non nulle
x 1
² 1x dérivable sur IR
f est dérivable sur IR comme étant somme et produit de fonctions
dérivables.
3/ xIR;
2² 1
12 ² 1'( )
² 1 ( ² 1) ² 1
xx x
xg x
x x x
>0
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4/ g continue strictement croissante sur IR donc réalise une bijection de
IR sur f<IR>=]-2,0[.
II/ 1/ lim ( )
² 1 ² 1lim ( ) 2 lim 2 lim 2
² 1 ² 1
x
x x x
f x
x xf x
x x x x
2/ xIR; '( ) 1 ( ) 0² 1
xf x g x
x
3/ f continue strictement décroissante sur IR donc réalise une bijection de
IR sur f<IR>=]2,+ [.
4/ f est une bijection de IR sur ]2,+ [ et 0]2,+ [ donc possède par f
un seul antécédent f(x)=4 admet dans IR une unique solution .
f(-2)-4= 5 et f(0)-4=-1 (f(-2)-4)(f(0)-4)<0 ; d'après le théorème des
valeurs intermédiaires ]-2,0[.
5/ f(0)=3 0=f -1
(3)
(f-1
)'(3)=1
1 11
'(0)'( (3)) ff f
6/ pour tout yIR; x]2,+ [; f -1
(x)=y x=f(y)
Résolvons l'équation f(y)=x d'inconnue y:
( ) 2 ² 1
² 1 ( 2 )² ; 2 0
2 ( 2) 1 ( 2)² ; 2 0
1 ( 2)²
2( 2)
f y x y y x
y x y x y
y x x x y
xy
x
Pour tout x]2,+ [; f -1
(x)=1 ( 2)²
2( 2)
x
x
Exercice 9:
x - +
g' +
0
g -2
x - +
f' -
+
f 2
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1/ Df={xIR; 4x²-1 0}=]- ,-1
2] [
1
2,+ [
2/ x 4x²-1 est dérivable, strictement positive sur ] 1
2,+ [
x 4 ² 1x est dérivable sur ] 1
2,+ [
et f '(x)=4
24 ² 1
x
x
3/
1 1
2 2
1
2
1( ) ( )
4 ² 12lim 2 lim1 1
( ) 4 ² 12 2
14( )
22 lim4 ² 1
x x
x
f x fx
x x x
x
x
II/ 1/ x cosx dérivable et non nulle sur ]0,2
[ h est dérivable sur
]0, 2
[.
2/ x[0, 2
[; h'(x)=
1 sin
2 cos ²
x
x>0
h continue, strictement
croissante sur ]0, 2
[
h<]0, 2
[>=]
1
2,+ [
3/ h dérivable sur ]0, 2
[ et f dérivable sur h<]0,
2
[> g=foh est
dérivable sur ]0, 2
[.
4/ x]0, 2
[; g'(x)=h'(x)f '(g(x))
x 0 2
h' +
+
h
1
2
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14
1 sin 2cos'( ) (2 )2 cos ² 1
4 14cos ²
2
1 sin cos(2 )2 cos ² 1 cos ²
cos ²
2
1 sin cos(2 )2 cos ² sin ²
cos ²
1 sin 2(2 )
2 cos ² sin
1 sin
cos ²
x xg xx
x
x x
x x
x
x x
x x
x
x
x x
x
x
6/ g continue strictement croissante sur [0, 2
[ donc réalise une bijection
de [0, 2
[ sur g<[0,
2
[>=[g(0),
2
lim ( )
x
g x
[
2
lim ( )
x
g x
en effet
2
lim ( ) lim ( )x
x
h x et f x
Exercice 10:
1/ Df=IR\{1,-1}; f continue dérivable sur Df.
f '(x)=4 x ( 1 x²) ( 2 x )( 2 x ² 1 ) 2 x
( 1 x ²)² ( 1 x ²)²
.
Pour tout x]1,+∞[; f '(x) >0 et f est strictement croissante.
f continue, strictement croissante sur ]1,+∞[ donc réalise une
bijection
de ]-1,+∞[ sur J=f<]-1,+∞[>=]xx 1
lim f ( x ), lim f ( x )[ ] , 2 [
.
2/ pour tout x]-∞,-2[ et y]1,+∞[; x=f(y) f -1
(x)=y.
Résolvons l'équation x= 2 y ² 1
1 y ²
d'inconnue y.
(1-y²)x=2y²-1 (2+x)y²= x-1 ( est une équation de second degré en
y).
y'=x 1 x 1
; y '2 x 2 x
mais y >0
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d'ou f -1
(x)=x 1
x 2
; xJ.
3/ a) pour tout x]0,2
[; g'(x)=
cos x
sin² x
< 0.
g continue, strictement décroissante sur ]0, 2
[ donc réalise une
bijection
de ]0, 2
[ sur I=g<]0,
2
[>=]
x 0x
2
lim g( x ), lim g( x )[
=]1,+∞[.
b) g est dérivable sur ]0, 2
[ et g' non nulle sur ]0,
2
[ d'ou g
-1 est
dérivable
sur I.
g -1
(2)=x , x]0, 2
[ 2=g(x) sinx=
1
2 x=
6
Donc g -1
(2)= 6
.
(g -1
)'(2)=1
1 12 3
g '( ( 2 )) g '( )6
g
Exercice 11:
1/
x x
x
x
x ² x ²1
4 4lim f ( x ) limx x ²
12 4
1lim
x x 41
2 2 x ²
1lim 0
x x 41
2 2 x ²
2/ Df={xIR; 1
4x²-1≥0}=]-∞,-2] [2,+∞[.
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xx
2 est continue sur Df
1x x² 1
4 continue et positive sur Df
1x x ² 1
4 continue sur
Df.
D'ou f est continue sur Df comme étant la somme de fonctions continues.
3/ a)
x x2 2
x 2
x 2
x 2
x 1x ² 1 1
f ( x ) f ( 2 ) 2 4lim lim
x 2 x 2
1x ² 1
1 4lim
2 x 2
( x 2 )( x 2 )1 4lim2 1
( x 2 ) x ² 14
1 x 2lim
2 14 x ² 1
4
donc f n'est pas dérivable à gauche en -2.
f admet au point d'abscisse -2 une demi tangente verticale.
b) x
x2
est dérivable sur ]-∞,-2[
1x x² 1
4 dérivable et strictement positive sur ]-∞,-2[
1
x x ² 14
dérivable sur ]-∞,-2[
D'ou f est dérivable sur ]-∞,-2[comme étant la somme de fonctions
dérivables.
c) x]-∞,-2[;
1 11x² 1 x2 x
1 14 24f '( x )2 1 1 1 1 1
2 x² 1 2 x ² 1 2 x ² 1 ( x ² 1 x )4 4 4 4 2
1 1
1 1x² 1 2 x ² 1 x
4 4
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d) x]-∞,-2[ -x ≥ 0 21
x ² 14
- x ≥ 0 f'(x) ≤ 0
4/ f continue strictement décroissante sur ]-∞,-2[ donc réalise une
bijection
de ]-∞,-2[ surJ= f<]-∞,-2[>=[-1,0[.
5/ a) f(-2)=-1 -2=f -1
(-1)
1 1
1
x x1 2
x 2
( x ) ( 1 ) y ( 2 )lim lim ; f ( y ) x y ( x )
x 1 f ( y ) f ( 2 )
1lim 0
f ( y ) f ( 2 )
y ( 2 )
f ff
d'ou f -1
est dérivable à droite en -1.
Par suite f -1 admet au point d'abscisse -1 une demie tangente
horizontale
b) f est dérivable sur ]-∞,-2[ et f ' non nulle sur ]-∞,-2[
f -1
est dérivable sur ]-1,0[
et comme f -1
est dérivable à droite en -1 alors f -1
est dérivable sur [-1,0[.
c) pour tout y]-∞,-2] et x[-1,0[; f(y)=x y=f -1
(x)
Résolvons l'équation f(y)=x d'inconnue y.
f(y)=x x=1 1
y y ² 12 4
x-1 1
y y ² 12 4
1 1 1
( x y )² y² 1 ; x y 02 4 2
x²+1=xy ; x-1
2y ≥0
x -∞ -2
f ' -
0
f
-1
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x² 1
yx
; x-
1
2y≥0
d'ou f -1
(x)= x² 1
x
; xJ.
Exercice 12:
1/ x]3,+∞[; f '(x)=1
2 x 3
<0
2/ f continue, strictement croissante
sur [3,+∞[ donc réalise une bijection
de [3,+∞[ sur J= f<[3,+∞[=]-∞,2]
3/ a) x[3,+∞[; x= f -1
(0) f(x)=0 x 3 2 x 7 .
D'ou f -1
(0)=7.
b) f est dérivable en 7 et f'(7)0 d'ou f -1
est dérivable en 0
et (f -1
)'(0)=1
1 14
f '(7 )f '( ( 0 ))f
.
4/ f est continue sur [3,+∞[ donc f -1
est continue sur ]-∞,2].
F est dérivable sur ]3,+∞[ et f ' non nulle sur ]3,+∞[ donc f -1
est
dérivable sur ]2,+∞[.
5/ pour tout x]-∞,2] et y[3,+∞[; f(y)=x y= f -1
(x)
Résolvons l'équation f(y)=x d'inconnue y.
f ( y ) x 2 y 3 x
2 x y 3
( 2 x )² y 3 ; 2 x 0
y ( 2 x )² 3 ; 2 x 0
D'ou f -1
(x)=(2-x)²+3 ; x]-∞,2]
Exercice 13:
1/ Df=[-1,+∞[
2/ a)
x 3 +∞
f' -
2
f
-∞
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x x1 1
x 1
x 1
f ( x ) f ( 1 ) x 1 x 1lim lim
x 1 x 1
x 1lim 1
x 1
1lim 1
x 1
D'ou f n'est pas dérivable à droite en -1
f admet au point d'abscisse -1 une demie tangente verticale.
b) x x+1 est dérivable et strictement positive sur ]-1,+∞[
Donc x x 1 est dérivable sur ]-1,+∞[
Par suite f est dérivable sur ]-1,+∞[ comme étant la somme de deux
fonctions dérivables.
c) pour tout x]-1,+∞[; f '(x)=1+1
2 x 1 >0
3/ T: y=f '(0)(x-0)+f(0)
T:y=3
2x+2
4/ soit g(x)=f(x)+x
g continue sur ]-1,0[ et g(-1).g(0)<0
donc g(x)=0, par suite f(x)= -x admet au
moins une solution dans ]-1,0[.
5/ a) f continue strictement croissante sur [1,+∞[ donc réalise une
bijection
de [-1,+∞[ sur f<[-1,+∞[>=IR+.
b) dérivabilité de f -1
à droite en 0:
f admet au point d'abscisse 0 une demie tangente verticale donc f -1
admet au point d'abscisse 0 une demie tangente horizontale et par suite f -
1 est dérivable à droite en 0.
Dérivabilité de f -1
sur ]0,+∞[:
f est dérivable sur ]-1,+∞[ et f ' non nulle sur ]-1,+∞[ donc f -1
est
dérivable sur ]0,+∞[.
c) f(0)=2 0=f -1
(2)
(f -1
)'(2)=1
1 1 2
f '( 0 ) 3f '( ( 2 ))f
d) pour tout x[0,+∞[ et y[-1,+∞[; x=f(y) f -1
(x)=y
Résolvons l'équation x=f(y):
x -1 +∞
f' +
+∞
f
0
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f ( y ) x x 1 y y 1
( x 1 y )² y 1 ; x 1 y 0
y ² y ( 1 2 x ) x ² 2 x 0 ; x 1 y 0
= (1-2x)²-4(x²-2x)=4x+1>0
2 x 1 1 4 x 2 x 1 1 4 xy ou y
2 2
comme f -1
(2)=0
alors f -1
(x)= 2 x 1 1 4 x
2
; x[0,+∞[
Exercice 14:
1/ xIR; f'(x)= -1+x
x ² 3
pour tout xIR, x < x ² 3 x
1 f '( x ) 0x² 3
x
x x
x
lim f ( x )
x ² 3 x ²lim f ( x ) lim 1
x² 3 x
3lim 1 1
x² 3 x
2/ f continue strictement décroissante sur IR donc réalise une bijection de
IR
sur J= f<IR>=]1,+∞[.
3/ a) f(1)=2
b) f -1
est dérivable en 2 car f est dérivable en 1 et f'(1)0
et (f -1
)'(2)=1
1 12
f '( 1 )f '( ( 2 ))f
.
4/ a) pour tout yIR et x]1,+∞[: f(y)=x y= f -1
(x).
résolvons l'équation f(y)=x d'inconnue y:
x -∞ +∞
f' -
+∞
f
1
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f ( y ) x 1 y y² 3 x
y² 3 x 1 y
y² 3 ( x 1 y )² ; x 1 y 0
2 y ( x 1 ) 3 ( x 1 )² ; x 1 y 0
3 ( x 1 )²y ; x 1 y 0
2( x 1 )
d'ou f -1
(x)=3 ( x 1 )²
2( x 1 )
; xJ.
b) soit g(x)=f -1
(x)-x ; xJ
g'(x)=(f -1
)'(x)-1 ≤0
g continue strictement décroissante sur J donc réalise une bijection de J
sur g<J>=IR; comme 0IR alors il possède un unique antécédent par g
par suite g(x)=0 d'ou f-1
(x)=x possède une seul solution dans J
et g(2) . x 1
lim g ( x )
<0 alors ]1,2[