Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria
Esercitazione del 23 gennaio 2012:1. spazi e tempi di percorrenza in accelerazione2. spazi e tempi di percorrenza in frenatura
Master universitario di II livello inIngegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi
FerroviariAnno Accademico 2011/2012
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Condizioni di moto
Equazione generale del moto:
dt
dvmsRvRvT e )()()(
Sosta o quiete: velocità nulla e assenza di forze attive e resistenze
Movimento o moto: velocità diversa da zero, resistenze sempre presenti e forze attive presenti o assenti nelle diverse fasi (forze attive assenti = deriva), caratterizzato da fasi a: velocità costante (di regime) T-R=0 → dv/dt=0 velocità crescente (accelerazione) T-R>0 →
dv/dt>0 velocità decrescente (decelerazione) T-R<0 →
dv/dt<0
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Soluzione dell’equazione generale del moto
Equazione generale del moto:
dt
dvmsRvRvT e )()()(
con: )1()1( mmmm caricotarae
Separando le variabili ed integrando si ottiene il diagramma del moto:
)()()( sRvRvT
dvmdt e
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Integrazione per differenze finite (metodo del Δv)
Caratteristica meccanica di trazione T del mezzo, resistenze al moto R e sforzi acceleratori T - R
T
v
Tmax
vmax
T
R(T – R)m
vmv1 v2
Δv = v2 – v1
vm = v1 + Δv/2
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Integrazione per differenze finite (metodo del Δv)
Approssimazione: all’interno dell’intervallo di velocità Δv si considera il moto ad accelerazione costante pari al valore dell’accelerazione nel punto medio (am)
iPRT
v
g
P
iPvRvT
vmt
mmme
)(
6,3/)1(
1000
)()(
con P espresso in [t], T ed R in [kg] e Δv in [km/h].Ricavato l’andamento della velocità in funzione del tempo, essendo ds=vdt, integrando ancora per differenze finite si ottiene la curva dello spazio percorso in funzione del tempo (diagramma di marcia), che costituisce l’obiettivo della presente esercitazione:
tvs m
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È la componente della forza peso lungo l’asse della traiettoria con verso opposto a quello della velocità
con:
per angoli piccoli. E quindi:
senPRsalita
P
P sin α
α
vitgsen o oo[ / ]
kNNir
NiPR
salita
salita
/
Resistenza alla salita
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Esempi di diagrammi di marcia
Diagramma del moto ad accelerazione costante
Diagramma del moto ad accelerazione linearmente decrescente
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Integrazione per differenze finite (metodo del Δv)
Sostituendo un’accelerazione variabile con un valore medio si commette un errore, per ridurre il quale è necessario ridurre l’ampiezza degli intervalli finiti Δv.Si potevano calcolare gli spazi percorsi anche direttamente dall’equazione generale del moto:
)()()( sRvRvT
dvmdt e
ricordando che v=ds/dt → dt=ds/v e quindi:
)()()( sRvRvT
vdvmds e
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Fasi del moto analizzate col metodo del Δv (esempio)
Metodi alternativi al Δv: metodo Δs (si parte fissando gli intervalli di spazio) o Δt (si fissano gli intervalli di tempo).
V1
[km/h] 1
V2
[km/h] 2
V [km/h]
3
Vm
[km/h] 4
Tm
[kg] 5
Rm
[kg] 6
(T-R)m
[kg] 7
t=Y (*) (s) 8
t=t [s] 9
s=Vmt/3,6
(m) 10
s=s (m) 11
0 10 10 5 16000 2000 14000 10,7 10,7 14,8 14,8 10 20 10 15 18000 2000 16000 9,7 20,4 40,5 65,3 20 30 10 25 17500 2200 15300 9,8 30,2 68,0 133,3 30 40 10 35 15000 2400 12600 12,0 42,2 116,5 249,8
(*) Y = 1000 P v (1 + ) / [3,6 g (T - R)m]
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Esempio di soluzione per il gruppo “B”:
1. spazi e tempi di percorrenza in accelerazione2. spazi e tempi di percorrenza in frenatura
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1. Spazi e tempi di percorrenza in accelerazione
con:
iPRT
v
g
P
iPvRvT
vmt
mmme
)(
6,3/)1(
1000
)()(
273273
71,010005,05,1
005,05,1)( 22
mmm vPvP
KSvR
0,1t273 P
e quindi:
iPRT
v
iPRT
vt
mm
)(8503
)(
6,3/)1(
81,9
2731000
tv
s m 6,3
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1. Spazi e tempi di percorrenza in accelerazione
Gli spazi percorsi si possono calcolare, con maggior precisione, partendo direttamente dall’equazione generale del moto. Infatti:
iPRT
VV
iPRT
VV
iPRT
VV
g
Pvdv
iPRT
ms
m
if
m
if
m
ifV
vm
e f
i
)(1181
)(96,12281,9
1,1273
)(
6,32/)1(
)(
2222
222
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1. Spazi e tempi di percorrenza in accelerazione
Caratteristica meccanica di trazione del TAF:
T≈214 kN==214·(1.000/9,81
)kg ≈21.814 kg
65 km/h
T≈200 kN==200·(1.000/9,81
)kg ≈20.387 kg
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1. Spazi e tempi di percorrenza in accelerazione
Soluzione se il tracciato fosse piano:[km/h] [km/h] [km/h] [km/h] [kg] [kg] [t] [‰] [kg] [kg] [s] [s] [m] [m]
Vi Vf V Vm F R P i P·i F-R-P·i t t s s
0 10 10 5 21800 410 273 0 0 21390 4,0 4,0 5,5 5,5
10 20 10 15 21800 417 273 0 0 21383 4,0 8,0 16,6 22,1
20 30 10 25 21800 432 273 0 0 21368 4,0 11,9 27,6 49,7
30 40 10 35 21800 453 273 0 0 21347 4,0 15,9 38,7 88,5
40 50 10 45 21800 481 273 0 0 21319 4,0 19,9 49,9 138,3
50 60 10 55 21800 517 273 0 0 21283 4,0 23,9 61,0 199,3
60 70 10 65 20400 559 273 0 0 19841 4,3 24,2 77,4 276,7
N.B. È possibile notare come nel tratto da 0 a 60 km/h, nel quale la caratteristica meccanica è costante, si possano scegliere Δv maggiori ottenendo circa la medesima approssimazione:
[km/h] [km/h] [km/h] [km/h] [kg] [kg] [t] [‰] [kg] [kg] [s] [s] [m] [m]
Vi Vf V Vm F R P i P·i F-R-P·i t t s s
0 20 20 10 21800 413 273 0 0 21387 8,0 8,0 22,1 22,1
20 40 20 30 21800 441 273 0 0 21359 8,0 15,9 66,4 88,4
40 60 20 50 21800 498 273 0 0 21302 8,0 23,9 110,9 199,3
60 70 10 65 20400 559 273 0 0 19841 4,3 20,2 77,4 276,7
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1. Spazi e tempi di percorrenza in accelerazione
Ma attenzione alla pendenza del tracciato che varia:
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1. Spazi e tempi di percorrenza in accelerazione
Soluzione che tiene conto delle livellette:
Controllare di non aver considerato la pendenza del tracciato pari al 1,47% per una estensione maggiore di quella effettiva. Altrimenti occorre ridurre il Δv (procedimento iterativo).
[km/h] [km/h] [km/h] [km/h] [kg] [kg] [t] [‰] [kg] [kg] [s] [s] [m] [m]
Vi Vf V Vm F R P i P·i F-R-P·i t t s s
0 10 10 5 21800 410 273 2,5 692 20698 4,1 4,1 5,7 5,7
10 20 10 15 21800 417 273 2,5 692 20691 4,1 8,2 17,1 22,8
20 30 10 25 21800 432 273 2,5 692 20677 4,1 12,3 28,6 51,4
30 40 10 35 21800 453 273 2,5 692 20655 4,1 16,4 40,0 91,4
40 50 10 45 21800 481 273 2,5 692 20627 4,1 20,6 51,5 142,9
50 60 10 55 21800 517 273 14,7 4015 17268 4,9 25,5 75,2 218,2
60 70 10 65 20400 559 273 14,7 4015 15826 5,4 26,8 97,0 315,2
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2. Spazi e tempi di percorrenza in frenatura
Equazione generale del moto in caso di frenatura:
dt
dvmiPRF ef
da cui, integrando, si ottiene:
iPRF
vviPRF
vviPRF
vv
g
PiPRF
vvm
iPRF
dvmt
f
fi
f
fi
f
fi
f
fie
v
v fe
f
i
8503
6,3
1,1
81,9
2731000
6,3)1(
1000
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2. Spazi e tempi di percorrenza in frenatura
Analogamente, ricordando che dt=ds/v, per gli spazi si ha:
iPRF
vdvmds
ds
dvvmiPRF
f
eef
da cui, integrando, si ottiene:
iPRF
vv
iPRF
vv
iPRF
vv
g
P
vv
iPRF
m
iPRF
vdvms
f
fi
f
fi
f
fi
fi
f
ev
v fe
f
i
22
22
2
22
22
1181
296,12
1,1
81,9
2731000
26,3)1(
1000
2
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2. Spazi e tempi di percorrenza in frenatura
Nel caso in esame per la forza frenante si ha:
kgfffPF ff 3003002731,110001000
con:
t3,300t2731,11,1frenatopeso
attritod'tecoefficien
pP
f
f
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2. Spazi e tempi di percorrenza in frenatura
Soluzione:[km/h] [km/h] [km/h] [km/h] [kg] [t] [‰] [-] [kg] [kg] [m] [m] [s] [s] [m/s2]
Vi Vf V Vm R P i f Ff R+Pi+Ff s s t t d
60 50 10 55 517 273 0 0,15 45045 45562 28,51 28,51 1,866 1,87 1,49
50 40 10 45 481 273 0 0,16 48048 48529 21,90 50,42 1,752 1,75 1,59
40 30 10 35 453 273 0 0,17 51051 51504 16,1 66,5 1,65 5,27 1,68
30 20 10 25 432 273 0 0,20 60060 60492 9,8 76,2 1,41 4,81 1,98
20 10 10 15 417 273 0 0,25 75075 75492 4,7 80,9 1,13 5,94 2,47
10 0 10 5 410 273 0 0,35 105105 105515 1,1 82,0 0,81 6,74 3,45
1. Verificare che il treno possa arrestarsi iniziando a frenare dalla velocità massima di 60 km/h nell’ultima tratta orizzontale (di lunghezza pari a 279 m).
2. Provare ad imporre una decelerazione massima di2 m/s2:
d
vvs
t
vvd fifi
2
222
6,32;sm2
6,3