FORMATION TIC (Phymed, STIC)COMPLEMENTS EN TOMOGRAPHIE MEDICALE
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Denis Mariano-Goulart
Faculté de médecine & CHRU de Montpellier
http:\\scinti.etud.univ-montp1.fr
I0
XX
p
p
p
γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
µi
ai
ai
2D 2D 3D
Tomographie: problème inverse linéaire
jj
ji,i a r p ∑=CT SPECT PET
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
φ
s
p(s,φ,z,θ) : plansp(s,φ) : lignes
Codage en tomographie 2D et 3D
p
p
x1
x2
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Modélisation analytique
( ) ( ) φωωφ
d x., p x p) (Rπ
0∫=
⊥∗ = rrrr
s1
⊥ωrxr
s3
s2
( ) ( )
Rf
p
=
+== ∫⊥
p
dt )tf(s sps,t
ωωω ωrr
r
x1
x2
s
t
f
cos
sin - ω
φφ r
=
φ
x.2
rr⊥= ωs
Natterer F. The mathematics of computerized tomography. New York: Wiley; 1986.
transformée de Radon
rétroprojection = épandage
xr
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Modélisation algébrique
f1
f4f3
f2 p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2
p2 = r2,3 f3 + r2,4 f4
p3 = r3,1 f1 + r3,3 f3
p4 = r4,2 f2 + r4,4 f4
=
4
3
2
1
4
3
2
1
4,4 4,3 4,2 4,1
3,43,3 3,2 3,1
2,4 2,3 2,2 2,1
1,4 1,3 1,2 1,1
pppp
ffff
.
rrrrrrrrrrrrrrrr
p fR.rr
=ri,j = % du pixel j intersecté par la projection i
b1 = r1.1 p1 + r3,1 p3 p1
p2
p4
b2 = r1.2 p1 + r4,2 p4
b3 = r2.3 p2 + r3,3 p3 b4 = r2,4 p2 + r4,4 p4
p3
=
4
3
2
1
4
3
2
1
4,4 3,4 2,4 1,4
4,33,3 2,3 1,3
4,2 3,2 2,2 1,2
4,1 3,1 2,1 1,1
bbbb
pppp
.
rrrrrrrrrrrrrrrr
b pR.trr
=
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Algorithmes analytiques
f1s p abs] . p[TF ωω rr =−
s1
s2
s3
( ) ( )x )p (R xf f rr ∗=
( ) ( )⊥= ωωr
r σ.f σp
TF1 TFI2
X ABS
TFI1
ωrp
fωrp
R*
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
∆1 : p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2
∆2 : p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2
f1 f2
r1,2r1,1 r2,1
r2,2
1
1n1n
ω
ω d f f r
rrr+=+
12
1
n11n1n ω
ω
pp f fr
r
rr −+=+
)pp( f f n11*n1n −+=+ R
rr
f1
f2 ∆1
∆2
1,2
1,11 r
rωr
1nf +r
n2
n1n
ff f
rdr
1
1n
1
ω
ω . f p d r
rr−
=
n1p
Kaczmarz S. Angenährte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen. Bull Int Acad Pol Sci Lett A 1937;35:355-7.
S. Kaczmarz1895-1940
Algorithmes algébriques
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
)f( ).f/p()p()/f( ).f/p()p/f(rrrrrrrrr
ΡΡ=ΡΡΡ=ΡBayes :
[ ])f( log )f/p(logminargf~
f
rrrrr Ρ−Ρ−=
Adéquation aux données
!p
p~ elog
i
pi
p~
i
ii−
∏
∑∑∑ =
==
=+ P
lN
s
nssl
lilP
lil fr
pr
r 1
1,
,
1','
1.n
if1n
if
Dempster A et al. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm. J R Stat Soc 1977;39:1-38. Hudson H et al. .Accelerated image reconstruction using ordered subsets of projection data. IEEE Trans Med Imaging 1994;13:601-9.
MLEM et OSEM
∗ p
p R
nl
l
f1
f2
∆1 ∆2
∆’2
OSEM
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
p .R r d *00 rrr==
j*j
2j
j
d.R.Rd
rω rr
r
=
jjj1j d.ωffrrr
+=+
j*jj1j d.R..Rωrrrrr
−=+
j2j
21j
1j1j d.r
rrd
r
r
rrr +
++ +=
2
Cf
p - fR min arg frr
∈=
Initialisation :
Gradient Conjugué
Gilbert P Iterative methods for the three-dimensional reconstruction of an object from projections. J. Theor. Biol. 1972; 36:105-17
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Exemples
MLEM Gradient Conjugué
6 200 6 16
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Approche intuitive (I)
f1 f2
: p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2
: p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2
f1
f2
∆1
∆1
∆2
∆2
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
64² = 4 096128² = 16 384256² = 65 536512² = 262 144
f1
f2
∆1
∆2
f1 f2
: p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2
: p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2
∆1
∆2
Approche intuitive (II)
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Exemple
=
=
31
33
23
32
1
1
1
1
10 9 5 7
9 10 6 8
5 6 5 7
7 8 7 10
1
1
1
1
R.
=
−
30,933,122,932,1
1,15,4
12,6-9,2
10 9 5 79 10 6 85 6 5 77 8 7 10
=
−
31,132,923,131,9
1,35,2
14,67,2-
10 9 5 79 10 6 85 6 5 77 8 7 10
( ) 302901.0
29,30 R 30,29 3,86; 0,84; 0,01; Sp(R) ≈≈⇒≈ κ
Matrice de Wilson1Det =
( )
RR de propres valeurs où
R.R R κ
t
min
max1
=
== −
µ
µµ
La matrice de Wilson est très mal conditionnée (κ>>1)
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
f p
En continu : , R bijectif d’inverse continue (conditions d’Hadamard).
En discret, les choses sont moins simples :
R surjectif ?
R injectif ? : choix parmi les solutions possibles
R-1 continue mais ||R-1|| grande :
2
Cf
tt fRpmin arg fqpR.fA fR.Rrrrrrr
−=⇐===∈
( ) 1 R R Rκmin
max1- >>==µµ
( )( )
+
−≤
RδR
ppδ
RδR
R κ 1
Rκ f
fδr
r
r
r
Problème d’Hadamard bien posé ?
( ) ( )⊥= ωωr
r σ.f σp
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Gradient conjugué
Approximation de Lanczos-Galerkin
dont le spectre CV vers celui de R: estimation de κ(R)
Estimation de κ(R)
+−
−
+−
−
−
−
−
−
−
−
1j
1j
j1j
1j
1j
1j
0
0
10
0
0
0
0
ω
β
ω
1
ω
β00
ω
β0
0ω
β
ω
1
ω
β
00ω
β
ω
1
OO
O
j*j
2j
j
d.R.Rd
rω rr
r
= 2j
21j
j
r
r β r
r +
=
www.inma.ucl.ac.be/~vdooren/Krylov.pdfAnalyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. P. Lascaux & R. Théodor (II), p. 516, 1987. MASSON
D. Mariano-Goulart, P. Maréchal, S. Gratton, et al. Comput. Med. Imaging & Graphics 2007; 31 : 502-509
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Exploitation du spectre
Estimation du conditionnement Ajustement d’un paramètre (ex: fréquence de coupure) en fonction du conditionnement
Majoration des erreurs Permet de fixer un critère d’arrêt des itérations
Sur les coupes
Sur le spectre
min
max
λλ N =
f
r
λ ε
j
j
jr
r
max
1=
v λ
vω
β
λ λλiλi
iλ
der
i
i
,
max
,
1
1
~~
~
)~
(~
r+
+
=≤− η
D. Mariano-Goulart, P. Maréchal, S. Gratton, et al. Comput. Med. Imaging & Graphics 2007; 31 : 502-509
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
2
CffRpmin arg frr
−=∈
Remplacer : par
Adéquation aux donnéesSurjectivité du problème inverse
Régularisationinjectivité
Régularisation
( ) ∑∈i
ii
2
... ; fln f ; fQf ; f )fρ(rrrr
Exemples :
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
)fα.ρ(fRp fCf
rrr +−=∈
2
minarg
(cf. pseudo-inverse de Moore-Penrose)
+−=
∈
22
Cf
fα.fRp min arg frrr
Adéquation aux donnéesSurjectivité du problème inverse
Régularisationinjectivité
Régularisation de Tikhonov
( ) pRf αIRRfα.fRp min arg f tt22
f
=+⇔
+−=
rrrr
r
( ) pRαIRR f t-1t +=r
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
)f( ).f/p()p()/f( ).f/p()p/f(rrrrrrrrr
ΡΡ=ΡΡΡ=ΡBayes :
[ ])f( log )f/p(logminargf~
f
rrrrr Ρ−Ρ−=
Adéquation aux données ?
Régularisation MAP-EM-OSL
!p
p~ elog
i
pi
p~
i
ii−
∏
Green PJ. Bayesian reconstructions from emission tomography data using a modified EM algorithm. IEEE Trans Med Imaging 1990;9:84-93
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
)f( ).f/p()p()/f( ).f/p()p/f(rrrrrrrrr
ΡΡ=ΡΡΡ=ΡBayes :
[ ])f( log )f/p(logminargf~
f
rrrrr Ρ−Ρ−=
Adéquation aux données
Régularisation MAP-EM-OSL
!p
p~ elog
i
pi
p~
i
ii−
∏
Green PJ. Bayesian reconstructions from emission tomography data using a modified EM algorithm. IEEE Trans Med Imaging 1990;9:84-93
( )∑=
−ji,
jiji, f -f.Vwβ.
K1 e)fΡ(
r
Distribution de Gibbs
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
∑∑∑ ∂β+
=+=
==
P
1lN
1s
nss,l
li,lP
1'li,'l fr
pr.
U .r
1.n
if1nif
( )
+−= ∑
ji,jiji,f)f-V(fwβ f/pΡ logminargf
~ rrrr
∑ −∂∂=∂
∈ )f(Vfki.k,i
ik
)ff(r
VwU
Green PJ. Bayesian reconstructions from emission tomography data using a modified EM algorithm. IEEE Trans Med Imaging 1990;9:84-93
Régularisation MAP-EM-OSL
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Régularisation de Fourier FRECT
fc( ) f.B1 fB. f −+=
pB.TF p' pB. fB. ' f ' p -1s=⇒===
à régulariser
Adéquation à p’ = R.f ’
( ) ( ) ( ) 221s f.B1 Rf pB.TF fE −+−= −
D Mariano-Goulart, P Maréchal, S Gratton, L Giraud, M Fourcade. Comput Med Imaging Graph 07 & Lect Notes Comput Sci. 04
N
fc
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
RPF
FRECT
20 % 50 %40 %30 %
Comparaison RPF-FRECT
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
GC 16GC 6MLEM 6 MLEM 200
FRECT 34 (CV)
Comparaison MLEM-GC-FRECT
( ) ( ) ( ) 221s f.B1 Rf pB.TF fE −+−= −
D Mariano-Goulart, P Maréchal, S Gratton, L Giraud, M Fourcade. Comput Med Imaging Graph 07 & Lect Notes Comput Sci. 04
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Tomographie en coïncidence 3D
ai
γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
189 F
188 O
Projections 3D Projections 3D Projections 3D Projections 3D redondantesredondantesredondantesredondantes et et et et incomplètesincomplètesincomplètesincomplètes
• Recherche de f(x,y,z) connaissant p(s,φ,z,θ)
• Certaines projections obliques ne sont pas enregistrées si θ ≠ 0
Exemple de la TEP
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Tomographie en coïncidence 3D
ai
γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
189 F
188 O
Projections 3D Projections 3D Projections 3D Projections 3D redondantesredondantesredondantesredondantes et et et et incomplètesincomplètesincomplètesincomplètes
• Reconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2D• Utilisation d’un collimateur• statistique de comptage, S/B
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Tomographie en coïncidence 3D
ai
γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
189 F
188 O
Projections 3D Projections 3D Projections 3D Projections 3D redondantesredondantesredondantesredondantes et et et et incomplètesincomplètesincomplètesincomplètes
• Reconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2D• Utilisation d’un collimateur• γ détectés N, S/B=N/√N= √N
• Réarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3D• Algorithmes de «rebinning » • S/B mais approximation
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Tomographie en coïncidence 3D
ai
γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
189 F
188 O
Projections 3D Projections 3D Projections 3D Projections 3D redondantesredondantesredondantesredondantes et et et et incomplètesincomplètesincomplètesincomplètes
• Reconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2D• Utilisation d’un collimateur• γ détectés N, S/B=N/√N= √N
• Réarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3D• Algorithmes de «rebinning » • S/B mais approximation
• Reconstruction 3D de données 3DReconstruction 3D de données 3DReconstruction 3D de données 3DReconstruction 3D de données 3D• Algorithmes algébriques 3D• RPF 3D si projections complètes• S/B mais temps de calcul
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Un théorème de Radon 3D…
⊥ωr
ωr
( ) ( )ξ=ξ⊥∈ξ∀rrrr
r f p ,ω ω
( ) ( )ds syf yp ,ω y S, ω ∫ ω+=ω⊥∈∀∈∀ rrr
rrrr
TF2
TF3
f
f
( ) ( ) yd ds e syf p .y i2 rrrr rr
r
r ξπ−
ωω ∫∫ ∫
⊥
ω+=ξ
( ) ( ) ( )ξ==ξ ∫∫∫ ξπ−ω
rrrr rrr f xd exf p .x i2
yr
ξr
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Condition nécessaire à l’affectation de toutes les fréquences spatiales de ℝ3:
Ω contient au moins un cercle équatorial de Si.eΩ intersecte tout cercle équatorial de S
ωr
⊥ωr
z
Ω
SS. Orlov. Sov.Phys. Crystallogr.,1976. Vol 20, 3:312-4 et 4:429-433
1- Condition d’Orlov :
…
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
ωr
… plutôt difficile à appliquer !
2 - Projections non tronquées
ωr
3 – moyennant une interpolation 3D dans le domaine des fréquences
1- Condition d’Orlov
( ) )cos,cossinsin ,sinsincos(ˆ ,ˆ 1212121 φξθξφθξθξφθξξξ −+−= fp
x1
x3
x2
θφ
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Solutions possibles1– Condition d’Orlov
- Détecteur TEP cylindrique
2 – Projections tronquées- Estimées par reconstruction 2D puis projection ou rebining
3 –Interpolation 3D en fréquence - Optimisation de l’interpolation (fonctions de Kaiser-Bessel)- Utilisation d’une rétro-projection filtrée (filtre de Colsher)
Fourier-based reconstruction for fully 3-DPET. Matej S, Kazantsev IG. IEEE Trans Med Imaging 2006;25:845-54. Evaluation of a new gridding method for fully 3D direct Fourier PET reconstruction based on a two-plane geometry
F Ben Bouallègue, J F Crouzet, D Mariano-Goulart. Comput Med Imaging Graph. 2008;32:580-589.Colsher JG. Fully three-dimensional PET. Phys Med Biol 25(1), 103-115, 1980
En « routine » : Utilisation d’algorithmes algébriques (OSEM 3D)Reconstruction 2D après rebining des projections 3D
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
ai
Reconstruction 2D
Calcul des projections 3D manquantes
Reconstruction 3D
Reprojection après RPF 2D
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Ré-arrangement (rebining) exact
,2
,, 33
=+= θδφ tg
xxzsp
BA
TF(s,φ) puis TF(z)si invariance en Tz
( ) ( )0 , ,k ,1 p e , ,k , p 2)arctan( ik ζα+ω=δζω α−
ωδζ=α
Defrise M, Kinahan PE, Townsend DW, Michel C, Sibomana M, Newport DF. Exact and approximate rebinning algorithms for3-D PET data. IEEE Trans Med Imaging 1997;16:145-58.
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Ré-arrangement approximatif
ωδζ=α
Ben Bouallègue F, Crouzet JF, Comtat C, Fourcade M, Mohammadi B, Mariano-Goulart D. Exact & approximate Fourier rebinning algorithms for the solution of the data truncation problem in 3-DPET. IEEE Trans Med Imaging 2007;26:1001-9.
DL à l’ordre 1 sur
( ) ( )0 , ,k , p e , ,k , p ik ζω≈δζω α−
( ) ( )0 ,k-z ,k , p ,z ,k , p ωδω≈δω
( ) ( )δωδ+ω≈ω ,kz ,k , p 0 ,z ,k , p
( ) ( )
δω
δ−δ−ω≈δω ' ,'kz ,k , p ,z ,k , p
SYNTHESE DE DONNEES 2D à S/B ↑ :
SYNTHESE DE DONNEES MANQUANTES :
( ) ( )0 , ,k ,1 p e , ,k , p 2)arctan( ik ζα+ω=δζω α−
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Merci de votre attention…
Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur.P. Lascaux et R. Théodor. 2 tomes.MASSON.
The Mathematics of Computerized Tomography.F. Natterer. 2001. SIAM.
Positron Emission Tomography. Basic Sciences and Clinical Practice.PE Valk, DL Bailey, DW Towsend, MN Maisey. 2003. Springer.
Reconstruction tomographique en imagerie médicale. D. Mariano-GoulartEncyclopédie Médico-chirurgicale, 35-105-A-10, 2009.
INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D