© Skolverket
Formler till nationellt prov i matematik, kurs 1 PREFIX
Beteckning T G M k h d c m µ n p Namn tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko Tiopotens 1012 109 106 103 102 10!1 10!2 10!3 10!6 10!9 10!12 POTENSER För reella tal x och y och positiva tal a och b gäller axa y = ax+ y ax
a y= ax! y
ax
bx= ab
!"#
$%&
x
a! x = 1
ax
ax( )y = ax y axbx = ab( )x a
1n = an
a0 =1
FUNKTIONS- LÄRA
Linjär funktion y = k x +m om y = k x är y proportionell mot x Exponentialfunktion y =Cax där C och a är konstanter a > 0 och a ! 1 Potensfunktion y =Cxa där C och a är konstanter
GEOMETRI Pythagoras sats a2 + b2 = c2
Triangel area = bh
2
Parallellogram area = bh
Parallelltrapets area =
h a + b( )2
Cirkel area = ! r2 = ! d 2
4
omkrets = 2! r = ! d
Cirkelsektor bågen b = !
360!2" r
area = !360
!" r2 = b r2
© Skolverket
Prisma volym = Bh
Cylinder Rak cirkulär cylinder volym = ! r2h mantelarea = 2! r h
Pyramid volym = Bh
3
Kon Rak cirkulär kon
volym = ! r2h3
mantelarea = ! r s
Klot volym = 4! r3
3
area = 4! r2
Skala areaskala = (längdskala)2
volymskala = (längdskala)3
TRIGONOMETRI Rätvinklig triangel
Definitioner cos v = a
c sin v = b
c tan v = b
a
Enhetscirkel OP är radie i en enhetscirkel. Koordinaterna för P är ( x1, y1 )
Definitioner cos v = x1 sin v = y1 tan v =y1x1
1(4)
17-02-03 © Skolverket
Formelblad matematik 2
Algebra
Regler Andragradsekvationer
222 2)( bababa 222 2)( bababa 22))(( bababa
02 qpxx 02 cbxax
qppx
2
22
aacb
abx
24
2
2
Aritmetik
Prefix
T G M k h d c m n p
tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko
1012 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12
Potenser
yxyx aaa yxy
xa
aa xyyx aa )( x
x
aa 1
xxx abba )(
x
x
x
ba
ba
nn aa
1
10 a
Logaritmer
yxy x lg10
xyyx lglglg yxyx lglglg
xpx p lglg
2(4)
17-02-03 © Skolverket
Funktioner
Räta linjen Andragradsfunktioner
mkxy 12
12xxyyk
cbxaxy 2 0a
0 cbyax , där inte både a och b är noll
Potensfunktioner Exponentialfunktioner
axCy xaCy 0a och 1a
Geometri
Triangel
Parallellogram
2
bhA bhA
Parallelltrapets
Cirkel
2
)( bahA
4ππ
22 drA
drO ππ2
Cirkelsektor
Prisma
rvb π2
360
2π
3602 brrvA
BhV
Cylinder
Pyramid
hrV 2π
Mantelarea
rhA π2
3
BhV
3(4)
17-02-03 © Skolverket
Kon
Klot
3π 2hrV
Mantelarea
rsA π
3π4 3rV
2π4 rA
Likformighet Skala
Trianglarna ABC och DEF är likformiga.
fc
eb
da
Areaskalan = (Längdskalan)2 Volymskalan = (Längdskalan)3
Topptriangel- och transversalsatsen
Bisektrissatsen
Om DE är parallell med AB gäller
BCCE
ACCD
ABDE
och
BECE
ADCD
BCAC
BDAD
Vinklar
180vu Sidovinklar
vw Vertikalvinklar
L1 skär två parallella linjer L2 och L3
wv Likbelägna vinklar
wu Alternatvinklar
4(4)
17-02-03 © Skolverket
Kordasatsen
Randvinkelsatsen
cdab vu 2
Pythagoras sats
Trigonometri
222 cba
cav sin
cbv cos
bav tan
Avståndsformeln Mittpunktsformeln
212
212 )()( yyxxd
2och
22121 yyyxxx mm
Statistik och sannolikhet
Standardavvikelse för ett stickprov
1)(...)()( 22
22
1
nxxxxxxs n
Lådagram
Normalfördelning
1(6)
17-02-03 © Skolverket
Formelblad matematik 3 Algebra
Regler 222 2)( bababa 222 2)( bababa
22))(( bababa
32233 33)( babbaaba 32233 33)( babbaaba
))(( 2233 babababa ))(( 2233 babababa
Andragradsekvationer 02 qpxx
qppx
2
22
02 cbxax
aacb
abx
24
2
2
Aritmetik
Prefix
T G M k h d c m n p
tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko
1012 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12
Potenser yxyx aaa yxy
xa
aa xyyx aa )( x
x
aa 1
xxx abba )(
x
x
x
ba
ba
nn aa
1
10 a
Geometrisk summa 1där
1)1( ... 12
kkkaakakaka
nn
Logaritmer yxy x lg10
yxy x lne
xyyx lglglg yxyx lglglg
xpx p lglg
Absolutbelopp
0om0om
aaaa
a
2(6)
17-02-03 © Skolverket
Funktioner
Räta linjen Andragradsfunktioner
mkxy 12
12xxyyk
cbxaxy 2 0a
0 cbyax , där inte både a och b är noll
Potensfunktioner Exponentialfunktioner
axCy xaCy 0a och 1a
Statistik och sannolikhet
Standardavvikelse för ett stickprov
1)(...)()( 22
22
1
nxxxxxxs n
Lådagram
Normalfördelning
3(6)
17-02-03 © Skolverket
Differential- och integralkalkyl
Derivatans definition ax
afxfh
afhafafaxh
)()(lim)()(lim)(0
Derivator Funktion Derivata
nx där n är ett reellt tal 1nnx
xa ( 0>a ) aax ln
xe xe
kxe kxk e
x1
21x
)(xfk )(xfk
)()( xgxf )()( xgxf
Primitiva funktioner
Funktion Primitiva funktioner
k Ckx
)1( nxn C
nxn
1
1
xe Cx e
kxe C
k
kx
e
)1,0( aaa x C
aa x
ln
4(6)
17-02-03 © Skolverket
Geometri
Triangel
Parallellogram
2bhA
bhA
Parallelltrapets
Cirkel
2
)( bahA
4ππ
22 drA
drO ππ2
Cirkelsektor
Prisma
rvb π2360
2π
3602 brrvA
BhV
Cylinder
Pyramid
hrV 2π
Mantelarea
rhA π2
3
BhV
Kon
Klot
3π 2hrV
Mantelarea
rsA π
3π4 3rV
2π4 rA
Likformighet
Skala
Trianglarna ABC och DEF är likformiga.
fc
eb
da
Areaskalan = (Längdskalan)2 Volymskalan = (Längdskalan)3
5(6)
17-02-03 © Skolverket
Topptriangel- och transversalsatsen
Bisektrissatsen
Om DE är parallell med AB gäller
BCCE
ACCD
ABDE
och
BECE
ADCD
BCAC
BDAD
Vinklar
180vu Sidovinklar
vw Vertikalvinklar
L1 skär två parallella linjer L2 och L3
wv Likbelägna vinklar
wu Alternatvinklar
Kordasatsen
Randvinkelsatsen
cdab vu 2
Pythagoras sats
222 cba
Avståndsformeln Mittpunktsformeln
212
212 )()( yyxxd
2och
22121 yyyxxx mm
6(6)
17-02-03 © Skolverket
Trigonometri
Definitioner cav sin
cbv cos
bav tan
Enhetscirkeln
yv sin
xv cos
xyv tan
Sinussatsen c
Cb
Ba
A sinsinsin
Cosinussatsen Abccba cos2222
Areasatsen 2sin CabT
Cirkelns ekvation 222 )()( rbyax
Exakta värden
Vinkel v 0 30 45 60 90 120 135 150 180
vsin 0 21
21
23
1 23
21
21 0
vcos 1 23
21
21 0
21
2
1
23
1
vtan 0 3
1 1 3 Ej def. 3 1 3
1 0
1(8)
17-02-03 © Skolverket
Formelblad matematik 4 Algebra
Regler 222 2)( bababa 222 2)( bababa
22))(( bababa
32233 33)( babbaaba 32233 33)( babbaaba
))(( 2233 babababa ))(( 2233 babababa
Andragradsekvationer 02 qpxx
qppx
2
22
02 cbxax
aacb
abx
24
2
2
Aritmetik
Prefix
T G M k h d c m n p
tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko
1012 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12
Potenser yxyx aaa yxy
xa
aa xyyx aa )( x
x
aa 1
xxx abba )(
x
x
x
ba
ba
nn aa
1
10 a
Geometrisk summa 1där
1)1( ... 12
kkkaakakaka
nn
Logaritmer yxy x lg10
yxy x lne
xyyx lglglg yxyx lglglg
xpx p lglg
Absolutbelopp
0om0om
aaaa
a
2(8)
17-02-03 © Skolverket
Funktioner
Räta linjen Andragradsfunktioner
mkxy 12
12xxyyk
cbxaxy 2 0a
0 cbyax , där inte både a och b är noll
Potensfunktioner Exponentialfunktioner
axCy xaCy 0a och 1a
Statistik och sannolikhet
Standardavvikelse för ett stickprov
1)(...)()( 22
22
1
nxxxxxxs n
Lådagram
Normalfördelning
Täthetsfunktion för normalfördelning
2
21
e2
1)(
x
xf
3(8)
17-02-03 © Skolverket
Differential- och integralkalkyl
Derivatans definition ax
afxfh
afhafafaxh
)()(lim)()(lim)(0
Derivator Funktion Derivata
nx där n är ett reellt tal 1nnx
xa ( 0>a ) aax ln
xln ( 0x )
x1
xe xe
kxe kxk e
x1
21x
xsin xcos
xcos xsin
xtan
xx 2
2
cos1tan1
)(xfk )(xfk
f x g x( ) ( ) f x g x( ) ( )
)()( xgxf )()()()( xgxfxgxf
)()(
xgxf )0)(( xg 2))((
)()()()(xg
xgxfxgxf
Kedjeregeln Om )(och )( xgzzfy är två deriverbara funktioner så gäller för ))(( xgfy att
)())(( xgxgfy eller xz
zy
xy
dd
dd
dd
4(8)
17-02-03 © Skolverket
Primitiva funktioner
Funktion Primitiva funktioner
k Ckx
)1( nxn Cnxn
1
1
x1 Cx ln )0( x
xe Cx e
kxe C
k
kx
e
)1,0( aaa x C
aa x
ln
xsin Cx cos
xcos Cx sin
Komplexa tal
Representation )sini(cosei i vvrryxz v där 1i2
Argument vz arg xyv tan
Absolutbelopp 22 yxrz
Konjugat Om yxzyxz isåi
Räknelagar ))sin(i)(cos( 21212121 vvvvrrzz
))sin(i)(cos( 21212
1
2
1 vvvvrr
zz
de Moivres formel )sini(cos))sini(cos( nvnvrvvrz nnn
5(8)
17-02-03 © Skolverket
Geometri
Triangel
Parallellogram
2bhA bhA
Parallelltrapets
Cirkel
2
)( bahA
4ππ
22 drA
drO ππ2
Cirkelsektor
Prisma
rvb π2360
2π
3602 brrvA
BhV
Cylinder
Pyramid
hrV 2π
Mantelarea
rhA π2
3
BhV
Kon
Klot
3π 2hrV
Mantelarea
rsA π
3π4 3rV
2π4 rA
Likformighet
Skala
Trianglarna ABC och DEF är likformiga.
fc
eb
da
Areaskalan = (Längdskalan)2 Volymskalan = (Längdskalan)3
6(8)
17-02-03 © Skolverket
Topptriangel- och transversalsatsen
Bisektrissatsen
Om DE är parallell med AB gäller
BCCE
ACCD
ABDE
och
BECE
ADCD
BCAC
BDAD
Vinklar
180vu Sidovinklar
vw Vertikalvinklar
L1 skär två parallella linjer L2 och L3
wv Likbelägna vinklar
wu Alternatvinklar
Kordasatsen
Randvinkelsatsen
cdab vu 2
Pythagoras sats
222 cba
Avståndsformeln Mittpunktsformeln
212
212 )()( yyxxd
2och
22121 yyyxxx mm
7(8)
17-02-03 © Skolverket
Trigonometri
Definitioner cav sin
cbv cos
bav tan
Enhetscirkeln
yv sin
xv cos
xyv tan
Sinussatsen c
Cb
Ba
A sinsinsin
Cosinussatsen Abccba cos2222
Areasatsen 2sin CabT
Trigonometriska formler 1cossin 22 vv
uvuvuv sincoscossin)sin(
uvuvuv sincoscossin)sin(
uvuvuv sinsincoscos)cos(
uvuvuv sinsincoscos)cos(
vvv cossin22sin
(3) sin21
(2) 1cos2
(1) sincos
2cos2
2
22
v
v
vv
v
)sin(cossin vxcxbxa där 22 bac och abv tan
Cirkelns ekvation
222 )()( rbyax
8(8)
17-02-03 © Skolverket
Exakta värden
Vinkel v
(grader) 0 30 45 60 90 120 135 150 180
(radianer) 0 6π
4π
3π
2π
3π2
4π3
6π5 π
vsin 0
21
21
23 1
23 2
1 21 0
vcos 1
23 2
1 21 0
21
2
1
23
1
vtan 0
31 1 3
Ej def. 3 1
31
0
1(8)
17-02-03 © Skolverket
Formelblad matematik 5 Algebra
Regler 222 2)( bababa 222 2)( bababa
22))(( bababa
32233 33)( babbaaba 32233 33)( babbaaba
))(( 2233 babababa ))(( 2233 babababa
Andragradsekvationer 02 qpxx
qppx
2
22
02 cbxax
aacb
abx
24
2
2
Binomialsatsen
n
k
nnnnkknn bnn
ban
ban
an
bakn
ba0
221 ...210
)(
Aritmetik
Prefix
T G M k h d c m n p
tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko
1012 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12
Potenser yxyx aaa yxy
xa
aa xyyx aa )( x
x
aa 1
xxx abba )(
x
x
x
ba
ba
nn aa
1
10 a
Logaritmer yxy x lg10
yxy x lne
xyyx lglglg yxyx lglglg
xpx p lglg
Absolutbelopp
0om0om
aaaa
a
2(8)
17-02-03 © Skolverket
Funktioner
Räta linjen Andragradsfunktioner
mkxy 12
12xxyyk
cbxaxy 2 0a
0 cbyax , där inte både a och b är noll
Potensfunktioner Exponentialfunktioner
axCy xaCy 0a och 1a
Statistik och sannolikhet
Standardavvikelse för ett stickprov
1)(...)()( 22
22
1
nxxxxxxs n
Lådagram
Normalfördelning
Täthetsfunktion för normalfördelning
2
21
e2
1)(
x
xf
3(8)
17-02-03 © Skolverket
Differential- och integralkalkyl
Derivatans definition
axafxf
hafhafaf
axh
)()(lim)()(lim)(0
Derivator Funktion Derivata
nx där n är ett reellt tal 1nnx
xa ( 0>a ) aa x ln
xln ( 0x )
x1
xe xe
kxe kxk e
x1
21x
xsin xcos
xcos xsin
xtan
xx 2
2
cos1tan1
)(xfk )(xfk
f x g x( ) ( ) f x g x( ) ( )
)()( xgxf )()()()( xgxfxgxf
)()(
xgxf )0)(( xg 2))((
)()()()(xg
xgxfxgxf
Kedjeregeln Om )(och )( xgzzfy är två deriverbara funktioner så gäller för ))(( xgfy att
)())(( xgxgfy eller xz
zy
xy
dd
dd
dd
4(8)
17-02-03 © Skolverket
Primitiva funktioner
Funktion Primitiva funktioner
k Ckx
)1( nxn Cnxn
1
1
x1 Cx ln )0( x
xe Cx e
kxe C
k
kx
e
)1,0( aaa x C
aa x
ln
xsin Cx cos
xcos Cx sin
Komplexa tal
Representation )sini(cosei i vvrryxz v där 1i2
Argument vz arg xyv tan
Absolutbelopp 22 yxrz
Konjugat Om yxzyxz isåi
Räknelagar ))sin(i)(cos( 21212121 vvvvrrzz
))sin(i)(cos( 21212
1
2
1 vvvvrr
zz
de Moivres formel )sini(cos))sini(cos( nvnvrvvrz nnn
5(8)
17-02-03 © Skolverket
Geometri
Triangel
Parallellogram
2
bhA bhA
Parallelltrapets
Cirkel
2
)( bahA
4ππ
22 drA
drO ππ2
Cirkelsektor
Prisma
rvb π2360
2π
3602 brrvA
BhV
Cylinder
Pyramid
hrV 2π
Mantelarea
rhA π2
3
BhV
Kon
Klot
3π 2hrV
Mantelarea
rsA π
3π4 3rV
2π4 rA
Likformighet
Skala
Trianglarna ABC och DEF är likformiga.
fc
eb
da
Areaskalan = (Längdskalan)2 Volymskalan = (Längdskalan)3
6(8)
17-02-03 © Skolverket
Topptriangel- och transversalsatsen
Bisektrissatsen
Om DE är parallell med AB gäller
BCCE
ACCD
ABDE
och
BECE
ADCD
BCAC
BDAD
Vinklar
180vu Sidovinklar
vw Vertikalvinklar
L1 skär två parallella linjer L2 och L3
wv Likbelägna vinklar
wu Alternatvinklar
Kordasatsen
Randvinkelsatsen
cdab vu 2
Pythagoras sats
222 cba
Avståndsformeln Mittpunktsformeln
212
212 )()( yyxxd
2och
22121 yyyxxx mm
7(8)
17-02-03 © Skolverket
Trigonometri
Definitioner
cav sin
cbv cos
bav tan
Enhetscirkeln
yv sin
xv cos
xyv tan
Sinussatsen c
Cb
Ba
A sinsinsin
Cosinussatsen Abccba cos2222
Areasatsen 2sin CabT
Trigonometriska formler 1cossin 22 vv
vuvuvu sincoscossin)sin(
vuvuvu sincoscossin)sin(
vuvuvu sinsincoscos)cos(
vuvuvu sinsincoscos)cos(
vvv cossin22sin
(3) sin21
(2) 1cos2
(1) sincos
2cos2
2
22
v
v
vv
v
)sin(cossin vxcxbxa där 22 bac och abv tan
Cirkelns ekvation
222 )()( rbyax
8(8)
17-02-03 © Skolverket
Exakta värden
Vinkel v (grader) 0 30 45 60 90 120 135 150 180
(radianer) 0 6π
4π
3π
2π
3π2
4π3
6π5 π
vsin 0
21
21
23
1 23
21
21 0
vcos 1
23
21
21 0
21
2
1
23
1
vtan 0
31
1 3 Ej def. 3 1 3
1 0
Mängdlära
BxAxxBA och BxAxxBA eller
A \ BxAxxB och AxGxxAC och Talteori
Kongruens )(mod cba om differensen ba är delbar med c
Om )(mod11 cba och )(mod22 cba gäller att
1. )(mod2121 cbbaa 2. )(mod2121 cbbaa Om )(mod cba gäller att 3. )(mod cbmam för alla heltal m
4. )(modcba nn för alla heltal 0n
Aritmetisk summa 2
1 nn
aans där dnaan )1(1
Geometrisk summa 1
11
kkas
n
n där 11
nn kaa
Kombinatorik
Permutationer ! )(
! )1(...)2()1(),(kn
nknnnnknP
där nk 0
Kombinationer !)(!
!!
),(),(knk
nk
knPkn
knC
där nk 0