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Fraes Contnuas que correspondem a sries de
potncias em dois pontos
Manuella Aparecida Felix de Lima
Dissertao de Mestrado
Ps-Graduao em Matemtica
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Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
em dois pontos
Manuella Aparecida Felix de Lima
Dissertao apresentada ao Instituto de Biocincias,
Letras e Cincias Exatas da Universidade Estadual
Paulista "Julio de Mesquita Filho", Campus de So
Jos do Rio Preto, So Paulo, para a obteno do
ttulo de Mestre em Matemtica.
Orientadora: Profa. Dra. Eliana Xavier Linhares de
Andrade.
So Jos do Rio Preto
2010
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Lima, Manuella Aparecida Felix de.Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias em dois
pontos/ Manuella Aparecida Felix de Lima. So Jos do Rio Preto:
[s.n.], 2010.
71 f.: il. ; 30 cm.
Orientadora: Eliana Xavier Linhares de Andrade.
Dissertao (mestrado) - Universidade Estadual Paulista "Julio
de Mesquita Filho", Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas.
1. Polinmios ortogonais. 2. Fraes contnuas. 3. Sries de po-
tncias. 4. Pad, Aproximante de. I. Andrade, Eliana Xavier Linhares
de II. Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas III. Ttulo.
CDU - 517.587
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Manuella Aparecida Felix de Lima
Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias em doispontos
Dissertao apresentada para obteno do ttulo de
Mestre em Matemtica, rea de Anlise Aplicada,
junto ao Instituto de Biocincias, Letras e Cincias
Exatas da Universidade Estadual Paulista "Julio
de Mesquita Filho", Campus de So Jos do Rio
Preto.
Banca Examinadora
Profa. Dra. Eliana Xavier Linhares de Andrade
Professor Adjunto
UNESP - So Jos do Rio Preto
Orientadora
Profa. Dra. Vanessa Avansini Botta Pirani
Professor Assistente Doutor
UNESP - Presidente Prudente
Profa. Dra. Cleonice Ftima Bracciali
Professor Adjunto
UNESP - So Jos do Rio Preto
So Jos do Rio Preto, 19 de Fevereiro de 2010.
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i
Aos meus pais, Helena e Laerci.
Dedico.
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ii
AgradecimentosPrimeiramente a Deus, que me deu a vida e a oportunidade de conhecer pessoas
maravilhosas com as quais muito aprendi.
Um agradecimento mais que especial Profa. Dra. Eliana Xavier Linhares de
Andrade, pelos incontveis esforos, carinho e apoio na orientao deste trabalho.
Aos professores de graduao e ps-graduao, em especial Profa. Dra. Cleonice
Ftima Bracciali e ao Prof. Dr. Alagacone Sri Ranga, e Profa. Dra. Vanessa Avansini
Botta Pirani, membro da banca, pelo auxlio e contribuio intelectual.
minha famlia, que sempre me apoiou e torceu por mim.
Ao Leandro, pela compreenso, carinho e apoio principalmente nos momentos di-
fceis.
Ao Coral Ibilce, em especial querida regente Zuleica e aos amigos coralistas
Alexandre, Ana Cludia, Ana Paula, Andresa, Antoniana, Carolina, Fabola, Fernanda,
Guilherme, Lilian, Marcos, Nara, Paulo, Renato, Rodrigo, Sara, Tati, Zelo e a todos
os outros coralistas e ex-coralistas que, mesmo no tendo seus nomes aqui mencionados,
sabem que esto guardados no meu corao por proporcionarem os momentos mais felizes
e mgicos dos ltimos 5 anos.
Aos amigos de graduao Alyne, Ana Cludia, Ana Paula, Antoniana, Cristiane,
Fernanda, Inai, ris, Josy, Juliana, Marcos, Marjory, Renata, Vanessa, Viviane, Wallace,
Yen e a todos os outros colegas, pelos 4 anos que passamos juntos, pelos incontveis dias
de estudo na biblioteca, pelas aventuras no bosque e pela amizade.
Aos amigos de ps-graduao Alyne, Cintya, Cristiane, Fbio, Fernando, Heron,
Jos Augusto, Jucilene, Junior, Marcos, Mirela, Regina, Wallace e a todos os outros
colegas, pelas risadas, pelas lgrimas, pelo auxlio na dissertao e por tudo que passamos
juntos nesses 2 anos.
A todas as pessoas e funcionrios do IBILCE que, direta ou indiretamente, contri-buram para a elaborao deste trabalho.
Capes, pelo auxlio financeiro.
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iii
Resumo
O principal objetivo deste trabalho estudar mtodos para construir os numera-
dores e denominadores parciais da frao contnua que corresponde a duas expanses em
srie de potncias de uma funo analtica f(z), em z = 0 e em z = . Alm disso,consideramos casos em que h coeficientes nulos nas expanses e, tambm, quando os co-
eficientes apresentam simetria. Alguns exemplos numricos so apresentados para ilustrar
dois dos algoritmos estudados, o Q-D e o Q-D modificado.
Palavras-chave: funes analticas, aproximantes de Pad, fraes contnuas, polinmios
ortogonais.
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iv
Abstract
The main purpose of this work is to study some methods for deriving a continued
fraction that corresponds to two series expansions of an analytic function f(z), in z = 0
and z = simultaneously. Furthermore we considered the case when there are zerocoefficients in the series and also when there is symmetry in the coefficients of the two
series. Some examples are given.
Keywords: analytic functions, Pad approximants, continued fractions, orthogonal poly-
nomials.
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v
Sumrio
Introduo 1
1 Preliminares 3
1.1 Aspectos histricos das fraes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Convergncia de fraes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Polinmios ortogonais e similares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Polinmios ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Polinmios similares aos ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3 Conexo com fraes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Aproximantes de Pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Conexo com fraes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2 Tabela de Pad de dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Fraes contnuas que correspondem a expanses em sries de potncias
em dois pontos 30
2.1 Construo de fraes contnuas pelos determinantes de Hankel . . . . . . 322.1.1 Caso i = j = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Caso i = j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Construo de fraes contnuas pelo algoritmo Q-D . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 Caso em que as sries de potncias apresentam coeficientes nulos . . 49
2.3 Sries de potncias que apresentam simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1 Caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.2 Caso s = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.3 Caso s = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
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Sumrio vi
2.3.4 Caso s = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Erros nas aproximaes e resultados computacionais 59
3.1 Erros nas aproximaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Resultados computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.1 A funo F(z) =1
1 + z2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.2 A funo F(z) = arccot(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Referncias Bibliogrficas 69
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1
Introduo
As fraes contnuas, assim como os aproximantes de Pad, tm vasta aplicao em
muitos problemas da Matemtica Pura e Cincias Aplicadas. So ferramentas essenciais
para a soluo de muitos problemas relacionados aproximao de nmeros irracionais eracionais, aproximao de funes, aplicaes na fsica terica, soluo de equaes diofan-
tinas e equaes integrais de Volterra no lineares, resoluo de problemas de momento,
entre outras. Essa grande variedade de aplicaes foi a motivao para esse trabalho.
Seja f(z) uma funo analtica que possui expanses em sries de potncias em
z = 0 e em z = dadas, respectivamente, por
f(z) = a0 + a1z + a2z2 + a3z
3 +
(1)
e
f(z) = a1z
a2z2
a3z3
a4z4
. (2)
Suponhamos que f(z) seja aproximada por funes racionais da forma
Pm(z)
Qm(z)=
m,0 + m,1z + + m,m1zm11 + m,1z + + m,mzm , m = 0, 1, 2, . . . , (3)
em que os coeficientes m,i e m,i+1, i = 0, 1, . . . , m 1, so independentes de z. Esses 2m
coeficientes podem ser determinados de tal forma que, quando a funo racional em (3) expandida para |z| pequeno e para |z| grande, haja coincidncia com i termos de (1) e jtermos de (2), respectivamente, totalizando i + j = 2m termos ao todo.
Assim,
f(z) Pm(z)Qm(z)
= O
zi, z(j+1)
, (4)
em que o smbolo no lado direito significa que o lado esquerdo da ordem de zi para |z|pequeno e da ordem de z(j+1) para |z| grande.
Seja a frao contnua
p1(z)
q1(z) +p2(z)
q2(z) +p3(z)
q3(z) + . . . +pm(z)
qm(z) + . . .
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Introduo 2
cujo m-simo convergente exatamente a funo racionalPm(z)
Qm(z). bem conhecido que
os polinmios Pm(z) e Qm(z) satisfazem as relaes de recorrncia (ver, por exemplo,
Chihara [6])
Pm+1(z) = qm+1(z)Pm(z) + pm+1(z)Pm1(z)
e (5)
Qm+1(z) = qm+1(z)Qm(z) + pm+1(z)Qm1(z),
para m = 0, 1, 2, . . . , com valores iniciais P0(z) = 0, P1(z) = p1(z), Q0(z) = 1 e Q1(z) =
q1(z).
O principal objetivo deste trabalho estudar mtodos para, a partir dos polinmios
Pm(z) e Qm(z), determinar os elementos da frao contnua correspondente s duas sries
(1) e (2). Murphy (1966) mostrou que ela da forma
n11 + d1z +
n2z
1 + d2z +n3z
1 + d3z + . . . +nmz
1 + dmz + . . .(6)
em que nm e dm so constantes independentes de z. Essa frao contnua chamada
M-frao.
Para realizarmos o estudo proposto, organizamos a presente dissertao da seguinte
forma.
No Captulo 1, introduzimos alguns conceitos bsicos sobre fraes contnuas,
polinmios ortogonais e aproximantes de Pad, onde, tambm, relacionamos tais tpicos.
Os conceitos dados neste captulo so fundamentais para o entendimento e desenvolvi-
mento dos demais captulos.
No Captulo 2, apresentamos os mtodos para a obteno da frao contnua corres-pondente s sries de potncias, em z = 0 e z = , de uma funo f(z) dada. Taismtodos so construdos a partir dos determinantes de Hankel e do algoritmo Q-D. Apre-
sentamos, ainda, o caso em que h coeficientes nulos em uma ou em ambas as sries de
potncias e, tambm, quando os coeficientes das sries apresentam simetria.
Por fim, no Captulo 3, fizemos um breve estudo sobre erros nas aproximaes por
funes racionais, alm de dois exemplos computacionais utilizando os algoritmos obtidos
no Captulo 2.
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3
Captulo 1
Preliminares
Neste captulo, faremos um estudo sucinto, porm consistente, sobre fraes cont-
nuas, polinmios ortogonais e similares e aproximantes de Pad. Sobre fraes contnuas,
comearemos por uma breve introduo histrica, passando por suas definies e pro-
priedades e, por fim, mostraremos alguns resultados sobre convergncia. Quanto aos
polinmios ortogonais e similares, daremos suas definies, algumas propriedades e a co-
nexo dos mesmos com fraes contnuas. Finalmente, sobre os aproximantes de Pad,
apresentamos a definio da tabela de Pad em um ponto, sua conexo com fraes con-tnuas e a definio de tabela de Pad em dois pontos. Embora esses assuntos sejam bem
conhecidos, a apresentao necessria pois fundamentam os prximos captulos. Muitos
textos podem ser utilizados para o estudo de tais tpicos como, por exemplo, [5], [6], [8],
[14], [21], [23].
1.1 Aspectos histricos das fraes contnuas
Para se fazer matemtica, isto , a fim de compreender e fazer contribuies a esta
cincia, importante estudar sua histria. A matemtica est sendo construda constan-
temente atravs de descobertas. Aqueles que desejam estudar um campo particular da
matemtica, seja estatstica, lgebra abstrata ou fraes contnuas, necessitaro primei-
ramente estudar seu passado. Assim, podem-se fazer melhorias em resultados j obtidos,
sem repet-los.
A origem das fraes contnuas difcil de se precisar. Isto devido ao fato de que
podemos encontrar exemplos dessas fraes por toda a matemtica nos ltimos 2000 anos,
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1.1. Aspectos histricos das fraes contnuas 4
mas seus verdadeiros fundamentos no foram colocados at o final de 1600, incio de 1700.
Sua origem tradicionalmente atribuda ao desenvolvimento do Algoritmo de Euclides.
O Algoritmo de Euclides, entretanto, usado para encontrar o mximo divisor comum
(mdc) entre dois nmeros. Porm, manipulando algebricamente o algoritmo, pode-se
obter a frao contnua simples de um nmero racional p/q. H dvida se Euclides ou
seus antecessores usaram realmente este algoritmo dessa maneira. Mas, devido a seu
estreito relacionamento com fraes contnuas, o Algoritmo de Euclides significou o incio
de seu desenvolvimento.
Por mais de mil anos, todo trabalho que usava fraes contnuas era restrito a
exemplos especficos. O matemtico indiano Aryabhata (476-550) utilizou-as para resolverequaes lineares diofantinas. Entretanto, no desenvolveu um mtodo geral; particular-
mente, usou fraes contnuas somente em exemplos especficos. Durante toda a escrita
matemtica grega e rabe, podemos encontrar exemplos e sinais de fraes contnuas.
Mas, novamente, seu uso era limitado a aplicaes especficas.
Dois cientistas da cidade de Bolonha, Itlia, Rafael Bombelli (1526-1572) e Pietro
Cataldi (1548-1626), contriburam tambm neste campo, embora apenas fornecendo mais
exemplos. Bombelli expressou a raiz quadrada de 13 como uma frao contnua dada por
13 3 + 46 +
4
6
=18
5,
que um caso especial da frmula
a2 + b a + b
2a +b
2a +b
2a +b
2a + . . ..
No sculo XV I j se conhecia a aproximao
a2 + b a + b
2a +b
2a.
Cataldi fez o mesmo para a raiz quadrada de 18:
18 4& 2
8&2
8&2
8& . . .
= 4 +2
8 +2
8 +2
8 + . . .
,
que ele abreviou como
4&2
8&
2
8&
2
8. . . .
-
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1.1. Aspectos histricos das fraes contnuas 5
Ambos os matemticos forneceram somente estes exemplos, mas no foram alm.
As fraes contnuas transformaram-se num campo de estudos atravs do trabalho
de John Wallis (1616-1703). Em seu livro "Arithmetica Infinitorium"(1655), desenvolveu
e apresentou a identidade:
4
=
3 3 5 5 7 7 9 . . .2 4 4 6 6 8 9 . . . .
O primeiro presidente da Royal Society of London, Lord Brouncker (1620-1684),
transformou esta identidade em
4
= 1 +12
2 + 3
2
2 +52
2 +72
2 +92
2 + . . .
= 1 +12
2 +
32
2 +
52
2 +
72
2 +
92
2 + . . .
.
Essa descoberta foi um passo importante na histria de = 3, 14159 . . . .
Embora Brouncker no tenha enfatizado a frao contnua, Wallis tomou a inicia-
tiva e introduziu as primeiras etapas para generalizar essa teoria.
Em seu livro "Opera Mathematica"(1695), Wallis colocou alguns dos fundamentos
bsicos das fraes contnuas. Explicou como calcular o n-simo convergente e descobriu
algumas das propriedades, agora familiares, dos convergentes. Foi tambm neste trabalho
que o termo "frao contnua" foi usado pela primeira vez.
O matemtico e astrnomo holands Christiaan Huygens (1629-1695) foi o primeiro
a demonstrar uma aplicao prtica de fraes contnuas. Escreveu um artigo explicando
como usar os convergentes de uma frao contnua para encontrar as melhores aproxi-
maes racionais para as relaes entre as engrenagens. Essas aproximaes permitiram-
lhe escolher as engrenagens com o nmero correto de dentes. Seu trabalho foi motivado
pelo desejo de construir um planetrio mecnico.
Embora Wallis e Huygens trabalhassem com fraes contnuas, esse campo de pes-
quisa s comeou a florescer quando Leonard Euler (1707-1783), Johan Heinrich Lambert
(1728-1777) e Joseph Louis Lagrange (1736-1813) abraaram o tpico.
Muito da teoria moderna foi desenvolvida por Euler em seu trabalho de 1737, "De
Fractionlous Continious". Ele Mostrou que cada racional pode ser expresso como uma
frao contnua simples finita, e forneceu, tambm, uma expresso para o nmero e na
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1.1. Aspectos histricos das fraes contnuas 6
forma de frao contnua:
e= 2 +1
1 +
1
2 + 1
1 +1
1 +1
4 +1
1 +1
1 + . . .
ou
e= 2 +1
1 +1
2 +1
1 +1
1 +1
4 +1
1 +1
1 +1
6 +1
1 +1
1 +1
8 + . . ..
Usou esta expresso para mostrar que e e e2 so irracionais. Demonstrou, tambm, como
representar uma srie como frao contnua, e vice-versa.
Lambert generalizou o trabalho de Euler sobre o nmero e. Em 1766, ele mostrou
queex 1ex + 1
=1
2
x+ 16
x+ 1
10
x
+ 1
14x+ ...
.
Em 1768, ele encontrou expanses em fraes contnuas para as funes log(1 + x),
arctg(x) e tg(x). Para tg(x), ele encontrou
tg(x) =1
1
x 13
x 1
5
x
1
7
x
...
,
e usou essas expresses para mostrar que ex e tg(x) so irracionais se x for racional.
Lagrange usou fraes contnuas para encontrar o valor de razes irracionais. Pro-
vou tambm que os nmeros quadrticos irracionais so dados por uma frao contnua
peridica.
O sculo XIX provavelmente pode ser considerado como a idade dourada das
fraes contnuas. Como Claude Brezinski escreveu em "History of Continued Fractions
and Pad Approximants", "o sculo dezenove pode ser considerado o perodo popular
das fraes contnuas". Foi uma poca em que "o assunto era conhecido por todos os
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1.2. Conceitos bsicos 7
matemticos". Como consequncia, houve uma exploso no crescimento deste campo. A
teoria de fraes contnuas foi desenvolvida significativamente, especialmente com respeito
aos convergentes. Tambm eram estudadas as fraes contnuas com variveis comple-
xas como termos. Alguns dos matemticos mais proeminentes que contriburam para
este campo foram Karl Jacobi (1804-51), Oskar Perron (1880-1975), Charles Hermite
(1822-1901), Karl Friedrich Gauss (1777-1855), Augustin Cauchy (1789-1857) e Thomas
Stieltjes (1856-94). No princpio do sculo XX, a teoria tinha avanado muito alm do
trabalho inicial de Wallis.
Desde o comeo do sculo XX, o uso das fraes contnuas tem aparecido em outros
campos. Para dar um exemplo de sua versatilidade, uma publicao recente de RobertM. Corless [7] examinou a conexo entre fraes contnuas e a teoria do caos. As fraes
contnuas foram utilizadas, tambm, em algoritmos para computador calculando aproxi-
maes racionais para os nmeros reais, bem como para resolver equaes diofantinas.
Este breve resumo do passado das fraes contnuas fornece uma viso geral do
desenvolvimento deste campo. Embora seu desenvolvimento inicial parea ter levado um
longo tempo, uma vez iniciado, o campo e sua anlise cresceram rapidamente. Mesmo
hoje, o fato de as fraes contnuas ainda estarem sendo usadas significa que o assuntoest longe de se esgotar.
1.2 Conceitos bsicos
Veremos, nesta seo, os conceitos bsicos sobre fraes contnuas que sero neces-
srios para o bom entendimento deste trabalho.
Uma frao contnua uma expresso da forma
b0 +a1
b1 +a2
b2 +a3
b3 + . . .
,
onde {an}n=1 e {bn}n=0 so sequncias de nmeros complexos ou funes complexas sim-ples com an = 0. Uma frao contnua pode, tambm, ser denotada das seguintes formas:
b0 +a1
b1 +
a2
b2 + . . .
(1.1)
ou
b0 + Kn=1
anbn
.
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1.2. Conceitos bsicos 8
Outra maneira de definir fraes contnuas, segundo Henrici e Pfluger [11], uti-
lizando transformaes lineares fracionais, conhecidas tambm como transformaes de
Mebius.
Definio 1.1. Uma transformao linear fracional (t.l.f.) definida por
t(w) =a + cw
b + dw,
onde a,b,c,d e w so nmeros complexos e ad bc = 0.
Definio 1.2. Uma frao contnua um par ordenado
(({an} , {bn}) , {fn}) ,
onde {an}n=1 e {bn}n=0 so sequncias de nmeros complexos ou, ainda, funes com-plexas simples com an = 0 e {fn} uma sequncia em C, o plano complexo estendido(C ), dada por
fn = Sn(0), n = 0, 1, 2, . . . ,
onde Sn(w), para n = 1, 2, . . . , so t.l.f. definidas por
Sn(w) = Sn1(sn(w)), sn(w) =an
bn + w(1.2)
com
S0(w) = s0(w) e s0(w) = b0 + w.
Os nmeros an e bn so chamados, respectivamente, n-simos numeradores e deno-
minadores parciais. Esses nmeros tambm so chamados de elementos da frao cont-
nua. O valor
fn = Sn(0) = b0 +a1
b1 +a2
b2 +a3
b3 + . . . +anbn
chamado de n-simo convergente ou aproximante da frao contnua. Podemos usar as
seguintes notaes
fn = b0 +a1b1 +
a2b2 + . . . +
anbn
ou fn = b0 + Knj=1
ajbj
.
Correspondentes a cada frao contnua da forma (1.1), existem sequncias de
nmeros ou funes complexas{
An}
e{
Bn}
definidas por A1
B1
=
1
0
,
A0
B0
=
b0
1
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1.2. Conceitos bsicos 9
e
An
Bn
= bn
An1
Bn1
+ an
An2
Bn2
, n = 1, 2, . . . . (1.3)
Os nmeros An e Bn, n = 1, 2, . . . , so chamados de n-simos numeradores e
denominadores de (1.1), respectivamente (tambm so chamados de numeradores e de-
nominadores cannicos). O resultado (1.3) facilmente verificado por induo (veja, por
exemplo, Chihara [6]). A importncia desses nmeros mostrada no teorema a seguir.
Teorema 1.1. Se An, Bn e fn denotam os n-simos numerador, denominador e conver-
gente da frao contnua (1.1), respectivamente, e se {Sn} a sequncia de t.l.f. (1.2),
entoSn(w) =
An + An1w
Bn + Bn1w, fn = Sn(0) =
AnBn
n = 0, 1, 2, . . . e
fn1 = Sn() = An1Bn1
, n = 1, 2, . . . .
Alm disso,
AnBn1 An1Bn = (1)n1n
k=1
ak = 0, n = 1, 2, . . . .
A ltima equao pode ser escrita como
AnBn
An1Bn1
= (1)n1n
k=1 akBn1Bn
. (1.4)
Sejam An e Bn os numeradores e denominadores de
b0 +a1b1 +
a2b2 +
a3b3 + . . .
, (1.5)
respectivamente, e Cn e Dn os numeradores e denominadores de
d0 +c1d1 +
c2d2 +
c3d3 + . . .
, (1.6)
respectivamente.
Definio 1.3. A frao contnua (1.6), com
Ck = A2k, Dk = B2k, k = 0, 1, 2, . . . ,
chamada contrao par (ou parte par) da frao contnua (1.5).
Definio 1.4. A frao contnua (1.6), com
Ck = A2k+1, Dk = B2k+1, k = 1, 2, 3, . . . ,
chamada contrao mpar (ou parte mpar) da frao contnua (1.5).
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
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1.3. Convergncia de fraes contnuas 10
Teorema 1.2. A parte par de (1.5) existe se, e somente se, b2k = 0 para k = 1, 2, 3, . . . ,e dada por
b0 + b2a1b2b1 + a2 a2a3b4/b2a4 + b3b4 + a3b4/b2
a4a5b6/b4a6 + b5b6 + a5b6/b4 . . ..
Teorema 1.3. A parte mpar de (1.5) existe se, e somente se, b2k+1 = 0 para k =0, 1, 2, . . . , e dada por
b0b1 + a1b1
a1a2b3/b1b1(a3 + b2b3) + a2b3
a3a4b5b1/b3a5 + b4b5 + a4b5/b3
a5a6b7/b5
a7 + b6b7 + a6b7/b5 a7a8b9/b7
a9 + b8b9 + a8b9/b7 . . ..
1.3 Convergncia de fraes contnuas
Nesta seo, trataremos da convergncia de fraes contnuas. Daremos sua defi-
nio e um resultado importante.
Definio 1.5. Convergncia clssica de uma frao contnua da forma (1.5) para um
nmero f C
significa a convergncia da sequncia de convergentes{fn} para f e, nestecaso, o valor da frao contnua o limite da sequncia {fn}. Ento, podemos escrever
f = b0 +a1b1 +
a2b2 +
a3b3 + . . .
.
Como existe uma correspondncia biunvoca entre os pontos do plano complexo
estendido e a esfera de Riemann, aceitamos tambm o conceito de convergncia para o
infinito. Assim, dizemos que uma frao contnua diverge se a sequncia {fn} converge
para mais de um valor ou quando no converge para nenhum valor.
Teorema 1.4. Se an+1 > 0 e bn > 0, n = 0, 1, 2, . . . , ento os convergentes de ordem
par, f2n, da frao contnua (1.5) formam uma sequncia numrica crescente, enquanto
que os convergentes de ordem mpar, f2n+1, formam uma sequncia decrescente e todo
convergente de ordem par menor do que qualquer convergente de ordem mpar. Alm
disso, cada convergente fn, n 2, est entre os convergentes fn1 e fn2. Os termos dasequncia
{fn
}satisfazem
f0 < f2 < f4 < < f2n < < f2n+1 < < f5 < f3 < f1. (1.7)
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
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1.4. Polinmios ortogonais e similares 11
Demonstrao: De (1.3) e (1.4), encontramos que
fn fn2 = bn(1)n
n1k=1 ak
BnBn2, n 2. (1.8)
Desta equao, obtemos
f2n f2n2 = b2n(1)2n2n1
k=1 akB2nB2n2
> 0 = f2n2 < f2n, (1.9)
e
f2n+1 f2n1 = b2n+1(1)2n+1
2nk=1 ak
B2n+1B2n1< 0 = f2n+1 < f2n1. (1.10)
Alm disso, de (1.4), temos
f2n f2n1 = (1)2n12nk=1 akB2nB2n1
< 0 = f2n < f2n1, (1.11)
e
f2n+1 f2n = (1)2n2n+1
k=1 akB2n+1B2n
> 0 = f2n < f2n+1. (1.12)
De (1.9) e (1.10) conclumos que {f2n} uma sequncia crescente e que {f2n+1} umasequncia decrescente. De (1.9), (1.12) e (1.10) podemos escrever
f2n2 < f2n < f2n+1 < f2n1. (1.13)
Portanto, fn est entre fn1 e fn2. Em (1.13), fazendo
n = 1, obtemos f0 < f2 < f3 < f1.
n = 2, temosf2 < f4 < f5 < f3. Portanto, f0 < f2 < f4 < f5 < f3 < f1.
n = 3, obtemos f4 < f6 < f7 < f5. Logo, f0 < f2 < f4 < f6 < f7 < f5 < f3 < f1.
Continuando desta forma, obtemos
f0 < f2 < < f2n2 < f2n < < f2n+1 < f2n1 < < f3 < f1,
concluindo, assim, a demonstrao do teorema.
1.4 Polinmios ortogonais e similares
Faremos, nesta seo, um breve estudo sobre os polinmios ortogonais e os similaresaos ortogonais e suas conexes com as fraes contnuas. Para maiores detalhes veja [4],
[6], [8], [21].
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1.4. Polinmios ortogonais e similares 12
Definio 1.6. Seja uma funo real, no decrescente, definida em [a, b]. Um ponto
[a, b] chamado de ponto de aumento de se ( + ) ( ) > 0, para todo > 0.
Seja (x) uma funo real, no decrescente e com infinitos pontos de aumento emum intervalo (a, b), a < b . Se os momentos
m =
ba
xmd(x)
existem para m = 0, 1, 2, . . . , d(x) chamada uma distribuio em (a, b). Se os momentos
existem para todo m inteiro, d(x) uma distribuio forte. Se, alm disso, (a, b) (0, ), d(x) uma distribuio forte de Stieltjes.
Definio 1.7. Os determinantes definidos por
H(m)n =
m m+1 m+n1m+1 m+2 m+n
......
. . ....
m+n1 m+n m+2n2
, n 1, m = 0, 1, 2, . . . , (1.14)
so chamados determinantes de Hankel, onde H(m)1 = 0 e H(m)0 = 1.
Esses determinantes possuem a importante propriedade dada abaixo, cuja demons-
trao pode ser encontrada em [10]:
H(m)n
2 H(m1)n H(m+1)n + H(m1)n+1 H(m+1)n1 = 0, n, m Z, n 1. (1.15)1.4.1 Polinmios ortogonais
Entre os polinmios que satisfazem uma relao de recorrncia de trs termos,
esto os polinmios ortogonais. As aplicaes desses polinmios na Anlise Aplicada so
muitas e novas aplicaes surgem a cada dia.
Definio 1.8. Uma sequncia{Pn (x)}n=0 de polinmios ortogonais relativamente a umadistribuio d(x) em um intervalo (a, b), a < b , pode ser definida por
(i) Pn (x) um polinmio de grau exatamente n, n 0,(ii) xm, Pn (x) =
ba
xmPn (x)d(x) = 0, m = 0, 1, . . . , n 1.
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1.4. Polinmios ortogonais e similares 13
A existncia dessa sequncia de polinmios depende da condio
H(0)n = 0, n = 0, 1, 2, . . . .
Do item (i) da definio anterior, temos que {P0 (x), P1 (x), . . . , P n (x)} um con-junto linearmente independente, portanto, formam uma base para Pn, o espao vetorial
dos polinmios de grau n.Os polinmios ortogonais possuem muitas propriedades interessantes. Vejamos
algumas delas.
Teorema 1.5 (Relao de recorrncia de trs termos). Seja{Pn (x)}n=0 uma sequn-cia de polinmios ortogonais em (a, b) relativamente distribuio d(x). Ento,
Pn+1(x) = (n+1x n+1)Pn (x) n+1Pn1(x), n 0, (1.16)
comP0 (x) = 1, P1(x) = 0,
n+1,
n ,
n R, n 1, e
n+1 =an+1,n+1
an,n= 0, n+1 = n+1
xPn , P
n
Pn , P
n
, n 0e n+1 =
n+1n
Pn , Pn Pn1, P
n1
= 0 n 1.(1.17)
Demonstrao: Usaremos a notao Pn (x) =ni=0
an,ixi, an,n = 0.
Como xPn (x) um polinmio de grau n + 1, podemos escrever
xPn (x) =n+1i=0
biPi (x).
Igualando os coeficientes dos termos de maior grau em ambos os membros da
igualdade acima, obtemos
an,n = bn+1an+1,n+1.
Logo,
bn+1 =an,n
an+1,n+1= 0.
Porm, das relaes de ortogonalidade,
xPn , P
j
=ba
Pn (x)xPj (x)d(x) = 0 para 0 j n 2.
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1.4. Polinmios ortogonais e similares 14
Assim,
xPn , P
j =
n+1
i=0bi P
i , P
j = bj P
j , P
j = 0 bj = 0 para 0 j n 2.
Logo,
xPn (x) = bn+1Pn+1(x) + bnP
n (x) + bn1P
n1(x),
que pode ser escrito como
Pn+1(x) = (n+1x n+1)Pn (x) n+1Pn1(x), (1.18)
com
n+1 = 1bn+1= an+1,n+1an,n
, n+1 = bnbn+1e n+1 = bn1bn+1
.
Calculemos, agora, os valores de n+1 e n+1. De (1.18), obtemos
0 =
Pn+1, Pn
= n+1
xPn , P
n
n+1 Pn , Pn n+1 Pn1, Pn .Da,
n+1 = n+1
xPn , P
n
P
n , P
n
.
Analogamente,
0 =
Pn+1, Pn1
= n+1
xPn , P
n1
n+1
Pn , P
n1
n+1
Pn1, P
n1
.
Logo,
n+1 = n+1
xPn , P
n1
Pn1, Pn1
.Mas, como
Pn (x) = (nx n)Pn1(x) nPn2(x),
obtemos
xPn1(x) =1
nPn (x) +
n
nPn1(x) +
n
nPn2(x).
Ento,xPn , P
n1
=
ba
Pn (x)xPn1(x)d(x)
=1
nba
Pn (x)Pn (x)d(x) +n
nba
Pn (x)Pn1(x)d(x)
+n
n
ba
Pn (x)Pn2(x)d(x) =
1
n
Pn , P
n
.
-
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1.4. Polinmios ortogonais e similares 15
Portanto,
n+1 =n+1
n
Pn , P
n
P
n1, P
n1
.
Para construirmos a sequncia de polinmios ortogonais mnicos
Pn (x)n=0
com
relao distribuio d(x), basta dividirmos cada polinmio pelo correspondente coefi-
ciente do termo de maior grau, ou seja,
Pn (x) =Pn (x)
an,n, n 1.
Dividindo a relao de recorrncia (1.16) por an+1,n+1 e fazendo os ajustes neces-
srios, obtemos
Pn+1(x) = (x n+1)Pn (x) n+1Pn1(x), n 0, (1.19)
onde
n+1 =
xPn , P
n
Pn , Pn
, n+1 =
Pn , Pn
Pn1, Pn1
, (1.20)
com
P
0 (x) = 1 e
P
1 (x) = x
1 .
Teorema 1.6. Seja Pn (x), n 1, uma sequncia de polinmios ortogonais no intervalo(a, b) com relao distribuio d(x). Ento, as razes de Pn (x) so reais, distintas e
pertencem ao intervalo (a, b).
Demonstrao: Suponhamos que Pn (x) no mude de sinal em (a, b). Ento, Pn (x) 0
(ou Pn (x) 0), mas no identicamente nulo, em (a, b). Logo,ba
Pn (x)d(x) > 0 (ou
ba
Pn (x)d(x) < 0), o que contradiz a propriedade de ortogonalidade dos polinmios Pn,
pois ba
Pn (x)w(x)dx =
ba
x0Pn (x)d(x) = 0. (1.21)
Assim, Pn (x) deve mudar de sinal em (a, b) pelo menos uma vez. Logo, existe pelo menos
uma raiz real de Pn (x) de multiplicidade mpar em (a, b).
Suponhamos que xn,1, xn,2, . . . , xn,r (r < n) sejam as razes distintas de multiplici-
dade mpar de Pn
(x) em (a, b). Ento,
Pn (x) = (x xn,1)(x xn,2) . . . (x xn,r)Qnr(x) = qr(x)Qnr(x),
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1.4. Polinmios ortogonais e similares 16
onde Qnr(x) um polinmio de grau (n r) que tem somente razes complexas ou razesde multiplicidade par em (a, b) ou razes fora de (a, b). Logo, Qnr(x) no muda de sinal
em (a, b). Porm, pela relao de ortogonalidade,ba
qr(x)Pn (x)d(x) = 0. (1.22)
Mas, ba
qr(x)Pn (x)d(x) =
ba
q2r (x)Qnr(x)d(x) = 0. (1.23)
Por (1.22) e (1.23) temos um absurdo. Assim, Pn (x) tem r n razes de multipli-
cidade mpar em (a, b). Mas, como Pn (x) um polinmio de grau n, ento r = n. Deste
modo, Pn (x) tem n razes de multiplicidade mpar em (a, b), da seguinte forma
Pn (x) = (x xn,1)i1(x xn,2)i2 . . . (x xn,n)in.
Como i1, i2, . . . , in so potncias positivas e mpares e i1 + i2 + . . . + in = n, temos que
i1 = i2 = = in = 1.Outra propriedade muito interessante a do entrelaamento dos zeros, cuja de-
monstrao pode ser encontrada, por exemplo, em Chihara [6].
Teorema 1.7. Seja
Pj (x)j=0
uma sequncia de polinmios ortogonais. Ento, entre
dois zeros consecutivos do polinmio de grau n 1, Pn1(x), existe somente um zero dePn (x).
Podemos definir uma segunda sequncia de polinmios, {Qn(x)}n=0, do seguintemodo:
Qn(x) =ba
Pn (x) P
n (y)
x y d(y), n 0.
Esses so os polinmios associados que aparecem na teoria dos polinmios ortogo-
nais. Podemos mostrar que esses polinmios satisfazem a mesma relao de recorrncia
dos polinmios ortogonais, mas com condies iniciais diferentes, ou seja,
Qn+1(x) = (n+1x n+1)Qn(x) n+1Qn1(x),
para n 1, com as condies iniciais Q
0(x) = 0, Q
1(x) =
1
0 . Logo, Q
n+1(x) tem graun, n 0.
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1.4. Polinmios ortogonais e similares 17
claro que os polinmios associados aos polinmios ortogonais mnicos Pn (x)
satisfazem a mesma relao de recorrncia dos mnicos,
Qn+1(x) = (x n+1)Qn(x) n+1Qn1(x), (1.24)
com as condies iniciais Q0(x) = 0, Q1(x) =
0 . Portanto, no so mnicos e todos tm
o coeficiente do termo de maior grau igual a 0 .
1.4.2 Polinmios similares aos ortogonais
A introduo do problema forte de momento, veja [13], abriu caminho para o estudo
de polinmios que apresentam propriedades semelhantes s dos polinmios ortogonais.
Este problema pode ser expresso por:
Dada uma sequncia {m}m= de nmeros reais, sob que condies existe umamedida no negativa d(t) tal que
m = m =
ba
tmd(t), m = 0, 1, 2, . . .?
Jones, Thron e Waadeland [13] resolveram este problema quando (a, b) (0, ).Sri Ranga [20], usando conceitos de fraes contnuas, resolveu o problema forte de mo-
mento de Hamburger, isto , quando a < b .Vamos, aqui, definir uma sequncia de polinmios similares aos ortogonais ou,
simplesmente, polinmios similares,
Bn (z)n=0
, por
(i) Bn (z) um polinmio mnico de grau exatamente n, n 0,
(ii)
ba
zn+mBn (z)d(z) = 0, m = 0, 1, . . . , n 1,
onde d(z) uma distribuio forte de Stieltjes em (a, b).
Uma condio necessria e suficiente para a existncia dessa sequncia de polin-
mios que os determinantes de Hankel definidos por (1.14) satisfaam
H(m)n = 0, n 0, m = 0, 1, 2, . . . .
Na verdade, podemos demonstrar que, para uma distribuio forte de Stieltjes,
H(m)n > 0, n 0, m = 0, 1, 2, . . . .
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1.4. Polinmios ortogonais e similares 18
Esses polinmios satisfazem, por exemplo, a relao de recorrncia de trs termos
Bn+1(z) = (z n+1)Bn (z) n+1zBn2(z), n 0, (1.25)
com B1(z) = 0 e B0 (z) = 1. Os coeficientes
n e
n+1, n 1, podem ser dados em
termos dos determinantes de Hankel por
n+1 =H
(n)n+1 H
(n+1)n1
H(n)n H
(n+1)n
e n =H
(n1)n H
(n1)n1
H(n)n1 H
(n2)n
n 1. (1.26)
Do mesmo modo que fizemos para os polinmios ortogonais, podemos definir os
polinmios associados de grau n 1 por
An(z) =ba
Bn (t) Bn (z)t z d(t), n 0, (1.27)
com A0 (z) = 0 e A1 (z) =
0 .
fcil ver que o coeficiente do termo de maior grau desses polinmios 0 . Como
Bn (t) Bn (z) = (tn zn) + bn,n1(tn1 zn1) + + bn,1(t z),
temos
Bn (t) Bn (z)t z =
n1j=0
tn1jzj + bn,n1
n2j=0
tn2jzj + + bn,2(t + z) + bn,1
= zn1 + (t + bn,n1)zn2 + + (tn2 + bn,n1tn3 + + bn,2)z
+(tn1 + bn,n1tn2 + + bn,1).
Portanto, integrando ambos os lados no intervalo (a, b) relativamente distribuio ,
obtemos
An(z) = 0 z
n1 + (1 + bn,n10 )z
n2 + + (n2 + bn,n1n3 + + bn,20 )z+(n1 + bn,n1
n2 + + bn,10 ). (1.28)
Os polinmios An(z) tambm satisfazem a mesma relao de recorrncia dos po-
linmios similares, ou seja,
An+1(z) = (z n+1)An(z) n+1zAn1(z), n 1, (1.29)
com as condies iniciais A0 (z) = 0, A1 (z) =
0 .
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
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1.4. Polinmios ortogonais e similares 19
Alm disso, o quocienteAn(z)
Bn (z)satisfaz
An(z)Bn (z)
=
0z +
1z2 + +
n1zn + O 1zn+1 ,
1 2z nzn1 + O(zn).(1.30)
De fato, fazendo a diviso de An(z), dado em (1.28), por Bn (z) encontramos
An(z)
Bn (z)=
0z
+1z2
+ + n1
zn+ O
1
zn+1
Para a segunda srie, sabendo que
1
t z =1
t
1 zt
= 1t + zt2 + + zn1
tn +
zn
tn+1 + , (1.31)
obtemosba
1
t
1 zt
d(t) = 1 + 2z + + nzn1 + n1zn + . (1.32)De (1.31) e da definio de polinmios similares, temos que
b
a
Bn (t)
t1 ztd(t) =
b
a
Bn (t) 1
t
+z
t2
+
+
zn1
tn
+zn
tn+1
+
d(t)=
ba
Bn (t)
zn
tn+1+
zn+1
tn+2+
d(t) = O(zn). (1.33)
Logo, como
An(z)
Bn (z)=
1
Bn (z)
ba
Bn (t)
t
1 zt
d(t) ba
1
t
1 zt
d(t),de (1.32) e (1.33), obtemos que
An(z)
Bn (z)= 1 2z nzn1 + O(zn).
Veja Andrade [3] e Ranga [20] para outras propriedades sobre esses polinmios.
1.4.3 Conexo com fraes contnuas
Faremos, agora, a associao dos polinmios ortogonais e similares aos ortogonais
com as fraes contnuas. As frmulas de Wallis (1.3) levam-nos diretamente a isso. Se,
em (1.1), tomarmos
b0 = 0, a1 = 0 = 0, an+1 = n+1 = 0, bn = x n , n 1,
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
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1.5. Aproximantes de Pad 20
obtemos a frao contnua
0
x
1 2
x
2 3
x
3 . . . n
x
n . . ., (1.34)
cujo n-simo denominador parcial, Bn, o polinmio ortogonal Pn (x) que satisfaz a
relao de recorrncia (1.19). A frao contnua (1.34) conhecida como frao contnua
do tipo Jacobi ou, simplesmente, J-frao, devido sua relao com certos tipos de
matrizes conhecidas por matrizes de Jacobi, cujos autovalores so os zeros dos polinmios
ortogonais a elas associados.
Retornando s frmulas de Wallis, vemos que An = Qn(x), e, ento, satisfazem
a relao de recorrncia (1.24). Observe, tambm, que o n-simo convergente a razoentre o polinmio associado de grau n 1 e o ortogonal de grau n.
Vamos obter, agora, a conexo entre os polinmios similares e fraes contnuas.
Retornemos s frmulas de Wallis. Tomando, em (1.1),
b0 = 0, a1 = 0 = 0, an+1 = n+1z = 0, bn = z n , n 1,
obtemos a frao contnua,
0z 1
2 z
z 2 3 z
z 3 . . . nz
z n . . ., (1.35)
conhecida como T-frao, cuja forma geral ser definida mais adiante.
Observe que os n-simos numerador e denominador parciais so, respectivamente,
o polinmio associado de grau n 1, An(z), e o polinmio similar de grau n, Bn (z).Portanto, satisfazem as relaes de recorrncia (1.29) e (1.25).
Conhecendo-se, pois, as relaes de recorrncia dos polinmios ortogonais ou si-
milares, possvel construir as correspondentes fraes contnuas a partir dos coeficientes
dessas relaes.
1.5 Aproximantes de Pad
A classe Pdas sries de potncias formais sobre C consiste de todas as expressesda forma
C(z) c0 + c1z + c2z2 +
m=0
cmzm
com coeficientes cm C.
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
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1.5. Aproximantes de Pad 21
Seja C(z) Pe sejam m e n inteiros no negativos. A forma racional complexau(z)
v(z)=
u0 + u1z + + umzmv0 + v1z +
+ vnzn
uma forma de Pad do tipo (m, n) para C(z) se v = 0 e
C(z)v(z) u(z) = O(zm+n+1). (1.36)
O smbolo O indica que o lado direito uma srie de potncias da forma
j=m+n+1 cjzj+k,
0 k +; onde k = + significa que C(z)v(z) u(z) = 0.A equao (1.36) equivalente ao sistema linear de m+n+1 equaes nas m+n+2
incgnitas u0, . . . , um, v0, . . . , vn :
Smn =n
j=0
cijvj =
ui, i = 0, 1, . . . , m , (S
umn)
0, i = m + 1, . . . , m + n, (Svmn)
ou seja,
Smn =
c0v0 = u0
c1v0 + c0v1 = u1...
......
cmv0 + cm1v1 + cm2v2 + + cmnvn = um
Sumn
cm+1v0 + cmv1 + cm1v2 + + cm+1nvn = 0cm+2v0 + cm+1v1 + cmv2 + + cm+2nvn = 0...
......
......
...
cm+nv0 + cm+n1v1 + cm+n2v2 + + cmvn = 0
Svmn
.
Observe que se m < n, cmk = 0, k = m + 1, m + 2, . . . , n .
Teorema 1.8. [Frobenius]. Sempre existem formas de Pad do tipo (m, n) para C(z).
Cada forma uma representao da mesma funo racional Rmn(z). A representao
reduzida
Rmn(z) =Pmn(z)
Qmn(z)
possvel com Pmn(z) e Qmn(z) relativamente primos e Pmn(0) = c0, Qmn(0) = 1.
Demonstrao: Sempre existem solues no triviais (u0, . . . , um, v0, . . . , vn)T de Smn.
De fato, basta tomar uma soluo v = 0, pois, caso contrrio, Su
mn implicaria em u = 0.Da mesma forma, se v(z) = O(z), temos v = 0 e, ento, u(z) = O(z), u = c0v.Portanto, a representao reduzida de
u
vpode ser normalizada como desejado.
-
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1.5. Aproximantes de Pad 22
Seu
ve
u
vso duas formas de Pad do tipo (m, n) para C(z), ento
Cv u = O(zm+n+1), Cv u = O(zm+n+1) e
uv uv = (Cv u)v (Cv u)v = O(zm+n+1).
O lado esquerdo um polinmio de grau no mximo m + n e o lado direito uma
srie de potncias comeando com a potncia zm+n+k+1, k 0. Portanto, ambos os ladosse anulam e as funes racionais determinadas por
u
ve
u
vso idnticas. Isso completa a
demonstrao.
Definio 1.9. A funo racional unicamente determinada Rmn
(z) =Pmn(z)
Qmn(z) chamada
frao de Pad do tipo (m, n) para C(z).
Definio 1.10. A tabela de Pad (estendida) para C(z) definida por:
R00 R01 R02 R03 R10 R11 R12 R13 R20 R21 R22 R23 R30 R31 R32 R33
... ... ... ... . . .
(1.37)
A primeira coluna desta tabela contm as somas parciais Cm(z) =m
k=0 ckzk de
C(z). Tambm associadas com C(z) esto as matrizes
Cmn =
cm cm1 cmn+2 cmn+1cm+1 cm cmn+3 cmn+2
......
. . ....
...
cm+n2 cm+n3 cm cm1cm+n1 cm+n2 cm+1 cm
, n
1.
Definio 1.11. Sejacmn = det Cmn, cm0 = 1. A c-tabela (estendida) paraC(z) definida
por:
c00 c01 c02 c03 c10 c11 c12 c13 c20 c21 c22 c23
c30 c31 c32 c33
......
......
. . .
-
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1.5. Aproximantes de Pad 23
Evidentemente cm0 = 1, cm1 = cm, c0n = cn0 .
Fraes de Pad iguais ocorrem em blocos quadrados na tabela de Pad. A c-tabela
tem uma estrutura de blocos correspondente, com grupos de determinantes cij ocorrendo
em blocos quadrados maximais da forma:
O prximo resultado uma extenso de um teorema de Pad. Ele caracteriza as formas
de Pad do tipo (i, j) para C(z) e d uma frmula para os postos dos sistemas lineares
Sij e Svij.
Teorema 1.9. SejaP(z)
Q(z)
uma frao de Pad para a srie de potncias C(z)
P,
c0 = 0. Sejam m e n os graus de P e Q, respectivamente, e suponha que a srie de potn-cias C(z)Q(z) P(z) comece exatamente com a potncia zm+n+k+1. Ento, as seguintesafirmaes so verdadeiras:
(a) k 0;
(b) R(z) =P(z)
Q(z)se, e somente se,
m m + k e n n + k. (1.38)Se (, ) satisfaz (1.38), ento:
(c)u(z)
v(z) uma forma de Pad do tipo (, ) para C(z) se, e somente se,
u(z) = zd(z)P(z), v(z) = zd(z)Q(z),
com = max{0, ( m) + ( n) k} e d(z) = 0 de grau no mximo
=
k
2
max m k2 , n k2 , k < ,min { m, n} , k = .
-
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1.5. Aproximantes de Pad 24
(d) + posto (S) = posto (Sv) = .
(e)
cn = 0, m m + k,cm = 0, n n + k,c = 0, m < m + k e n < n + k.
Demonstrao: Sejamu(z)
v(z)uma forma de Pad do tipo (, ) e R(z) =
P(z)
Q(z). Ento,
grau(u) , grau(v) , C(z)v(z) u(z) = O(z++1). (1.39)
Desde que c0 = 0 e (u0, . . . , um, v0, . . . , vn)T
= 0, segue, da forma de S, que v = 0 eu = 0. Colocando em evidncia o mximo divisor comum entre u e v, obtemos
u(z) = z(d0 + d1z + + dz)P(z)
v(z) = z(d0 + d1z + + dz)Q(z)(1.40)
com d0d = 0. Ento, de (1.39),
C(z)[z(d0 + d1z +
+ dz)Q(z)]
z(d0 + d1z +
+ dz
)P(z) = O(z++1).
Logo,
z(d0 + d1z + + dz)[C(z)Q(z) P(z)] = O(z++1)
e, assim,
z [C(z)Q(z) P(z)] = O(z++1). (1.41)
Como e so graus de polinmios, ento
0 e 0. (1.42)
De (1.39) e (1.40), segue que
+ + m e + + n . (1.43)
Por hiptese, a srie C(z)Q(z) P(z) comea exatamente na potncia zm+n+k+1. Logo,de (1.41),
+ m + n + k + . (1.44)
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1.5. Aproximantes de Pad 25
As desigualdades (1.42), (1.43) e (1.44) so equivalentes a
0,
max{0, ( m) + ( n) k}, + min{ m, n}.
(1.45)
Reciprocamente, sejam os inteiros e tais que existem inteiros e satisfazendo (1.45).
Para d(z) = d0 + d1z + + dz = 0 arbitrrio, definimos u e v por (1.40). Ento, (1.39)vale em razo das desigualdades (1.45),
u
v uma forma de Pad do tipo (, ) e R =
P
Q.
Desde queP
Q uma frao de Pad para C(z), existem inteiros ,, e satisfa-
zendo (1.45). Ento,
k ( m) +
+ ( n) +
2 + 2 = 2 + 0,
o que demonstra (a).
Alm disso, R =P
Qse, e somente se, existe uma soluo (, ) de (1.45). Isto
possvel se, e somente se,
max{0, ( m) + ( n) k} min{ m, n} min{ m, n}.
Isto , se, e somente se,
0 mu m e ( m) + ( n) k n m m + k,0 n e ( m) + ( n) k m n n + k,
(1.46)
ou seja, (1.38) vale, provando, assim, (b).
Figura 1.1: Regio factvel para encontrar e .
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1.5. Aproximantes de Pad 26
A forma de Pad mais geral do tipo (, ) obtida quando minimizado e
maximizado, sujeitos s desigualdades (1.45). Clculos simples de otimizao mostram
que os valores timos so = e = (veja a Figura 1.1). Isto prova (c). Isso
significa que o grau do polinmio d(z) na forma de Pad mais geral do tipo (, ) .
A afirmao (d) segue uma vez que as solues gerais de S e Sv contm + 1
parmetros.
Agora, c = 0 se, e somente se, Sv tem uma soluo no trivial com v0 = 0. Mas,
segue de (1.45) que
+ = min{ m, n},
e o inteiro maximal para o qual v(z) = O(z) em alguma forma de Pad do tipo(, ). Logo, c = 0 se, e somente se, > 0 e, portanto, min{ m, n} > 0. Ouseja,
m > 0 > m e n > 0 > n.
Isto, junto com (1.46), prova (e), completando a demonstrao do teorema.
Os blocos quadrados descritos no teorema anterior, R-bloco e c-bloco, so chamados
de blocos de ordem k.
Definio 1.12. A frao de Pad Rmn normal se o R-bloco que a contm de ordem
k = 0, isto , Rmn ocorre apenas uma vez na tabela de Pad.
Definio 1.13. A srie de potncias C(z) normal se todas as suas fraes de Pad
so normais. Isto , no h duas fraes de Pad iguais.
Corolrio 1.1. Uma frao de Pad Rmn normal se, e somente se, os determinantes
cmn, cm,n+1, cm+1,n ecm+1,n+1
no se anulam. A srie de potncias C(z) normal se, e somente se,
cmn = 0, m 0, n 0.
Em particular, os coeficientes cm1 = cm, m 0, no devem se anular.
1.5.1 Conexo com fraes contnuas
O resultado abaixo nos mostra como as sries de potncias, ou os aproximantes de
Pad, esto relacionadas a fraes contnuas, conhecidas como C-fraes.
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1.5. Aproximantes de Pad 27
Definio 1.14. Uma C-frao uma frao contnua da forma
c0 +a1z
i1
1 +a2z
i2
1 +a3z
i3
1 + . . .
comc0 C, an C e in N, n 1.
A frao contnua
c0
1 +a1z
i1
1 +a2z
i2
1 +a3z
i3
1 + . . .
tambm chamada C-frao.
Teorema 1.10. Seja
1 + c1z + c2z2 + c3z
3 + (1.47)
uma srie de potncias formal tal que seus aproximantes de Pad
R00(z), R10(z), R11(z), R21(z), R22(z), R32(z), . . .
so normais. Ento, srie de potncias (1.47), corresponde uma C-frao regular
1 + a1z1 + a2z1 + a
3z1 + . . . + anz1 + . . . , (1.48)
cujos aproximantes Cn satisfazem
C2m = Rmm, C2m+1 = Rm+1,m, m = 0, 1, 2, . . . . (1.49)
Para a demonstrao referimo-nos a Jones e Thron [12], pg. 191. Vale, tambm,
a recproca desse resultado.
Podemos observar que aproximantes consecutivos Cn e Cn+1 da C-frao formamdegraus na tabela de Pad (1.37) da srie (1.47).
1.5.2 Tabela de Pad de dois pontos
A tabela de Pad usual interpola apenas uma srie de potncias formal em um
ponto, normalmente z = 0, e est relacionada a fraes contnuas do tipo C-frao regular.
Vimos que, neste caso, os aproximantes formam degraus na tabela de Pad.
As T-fraes
z
1 + d1z +z
1 + d2z +z
1 + d3z + . . . +z
1 + dnz + . . ., (1.50)
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1.5. Aproximantes de Pad 28
introduzidas em 1948 por Thron [22] e minuciosamente estudadas por ele, tm uma es-
trutura simples e tambm correspondem a sries de potncias. Entretanto, nenhum dos
aproximantes esto na tabela de Pad (exceto o caso dn = 0 para todo n). Muito mais
tarde descobriu-se que, alm da correspondncia com a srie de potncias
c0 + c1z + c3z2 + ckzk1 + , (correspondncia em 0), (1.51)
a T-frao geral
c0 +F1z
1 + G1z +F2z
1 + G2z +F3z
1 + G3z + . . . +Fnz
1 + Gnz + . . ., Fn = 0, (1.52)
corresponde, tambm, srie de potncias
c0z
+c1z2
+c2z3
+ + ck
zk+1+ (correspondncia no ), (1.53)
se Gn = 0 para todo n. Sob determinadas condies sobre os coeficientes, tambm valea recproca, isto , para cada par de sries de potncias (1.51) e (1.53) corresponde uma
T-frao geral (1.52). A interpolao fornecida pela T-frao geral dividida entre inter-
polao em 0 e .A tabela de Pad de dois pontos (em 0 e ) construda a partir de um par de
sries (1.51) e (1.53) de maneira semelhante ao caso de apenas um ponto. Nesta tabela,
encontram-se os aproximantes da T-frao geral (1.52). Esta surpreendente propriedade
das T-fraes gerais (a de corresponderem a duas sries de potncias simultaneamente,
uma em z = 0 e uma em z = ) foi primeiramente observada por McCabe e Murphy[17]. Eles chamaram sua frao contnua de M-frao, dada por
n11 + d1z +
n2z
1 + d2z +
n3z
1 + d3z + . . . +
nmz
1 + dmz + . . . . (1.54)
Mas, M-fraes so, essencialmente, T-fraes.
Denotemos por F(z) e F(z) as duas sries (1.51) e (1.53), respectivamente. Ento,
o aproximante de Pad de dois pontospm,n(z)
qm,n(z)de (F, F) obtido de modo a ajustar,
simultaneamente, um determinado nmero de termos (os primeiros) de cada srie. Isto
pode ser feito de diversas maneiras. Podemos exigir, por exemplo, que
pm,n(z)F(z) qm,n(z) = O z(m+n+1)/2 e pm,n(z)F(z) qm,n(z) = O 1z(m+n+3)/2se m + n + 1 par.
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1.5. Aproximantes de Pad 29
Logo, podemos escrever
qm,n(z)
pm,n(z)=
c0 + c1z + c2z2 + + c(m+n1)/2 z(m+n1)/2 + O
z(m+n+1)/2
,
c0z
+ c1
z2+ + c(m+n+1)/2
z(m+n+1)/2+ O
z(m+n+3)/2
.
Analogamente para o caso m + n + 1 mpar.
No prximo captulo, veremos mais detalhes sobre a tabela de Pad de dois pontos.
Veja, por exemplo, [15] para uma definio mais precisa e propriedades sobre essa tabela.
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30
Captulo 2
Fraes contnuas que correspondem a
expanses em sries de potncias em
dois pontos
Neste captulo, baseado nos artigos [1], [2], [9], [16] e [17], apresentamos os mtodos,
construdos a partir dos determinantes de Hankel e do algoritmo Q-D, para a obteno
da frao contnua correspondente s sries de potncias, em z = 0 e z = , de umafuno f(z) dada. Apresentamos, ainda, o caso em que h coeficientes nulos em uma ou
em ambas as sries de potncias e, tambm, quando os coeficientes das sries apresentam
simetria.
Uma funo f : U C C chamada analtica em U se, para todo ponto z0 Uexiste uma vizinhana Vz0 U tal que f(z) pode ser expressa como uma srie de potnciasde centro z0 para todo z
Vz0.
Seja f(z) uma funo analtica que possui expanses em sries de potncias em
z = 0 e em z = . Resultados anlogos podem ser obtidos para dois pontos finitosaplicando-se uma transformao bilinear varivel z.
Assim, consideremos o caso em que, para |z| pequeno, temos
f(z) = a0 + a1z + a2z2 + a3z
3 + (2.1)
e, para|z|
grande,
f(z) = a1z
a2z2
a3z3
a4z4
. (2.2)
Suponhamos que a0, a1 = 0 e explicaremos a razo desta restrio mais adiante.
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31
Os coeficientes ai, i Z, podem ser complexos, mas para muitas aplicaes os tomamosreais. A razo para a notao em (2.2) ficar clara posteriormente.
Suponhamos, ainda, que f(z) seja injetora e que no tenha singularidades no eixo
real positivo, salvo, possivelmente, em z = 0 e z = . Os sinais de igual em (2.1) eem (2.2) no so estritamente necessrios, as expanses podem ser consideradas como em
carter assinttico, valendo para alguns intervalos de valores de argz que contm argz = 0.
Aproximemos f(z) por funes racionais da forma
m,0 + m,1z + + m,m1zm11 + m,1z + + m,mzm := fi,j(z), m = 0, 1, 2, . . . , (2.3)
em que os coeficientes m,i e m,i+1, i = 0, 1, . . . , m
1, so independentes de z. Esses 2m
coeficientes podem ser escolhidos de tal forma que, quando a funo racional em (2.3)
expandida para |z| pequeno e para |z| grande, haja coincidncia com i termos de (2.1) ej termos de (2.2), totalizando i + j = 2m termos ao todo. Portanto, esta a razo de
denotarmos a aproximao por fi,j(z).
Assim,
f(z) fi,j(z) = O
zi, z(j+1)
, (2.4)
em que o smbolo no lado direito significa que o lado esquerdo da ordem de zi para |z|pequeno e da ordem de z(j+1) para |z| grande.
Seja a frao contnua
p1q1 +
p2q2 +
p3q3 + . . . +
pmqm + . . .
com m-simo convergentePmQm
, em que Pm e Qm satisfazem as relaes de recorrncia
Pm+1 = qm+1Pm + pm+1Pm1 e Qm+1 = qm+1Qm + pm+1Qm1, (2.5)
para m = 0, 1, 2, . . . , com valores iniciais P0 = 0, P1 = p1, Q0 = 1 e Q1 = q1.
Definindo r,s por
r,s := PrQs PsQr,
de (2.5) encontramos que
pm+1 = m,m+1m1,m
e qm+1 =m1,m+1
m1,m, (2.6)
para m = 1, 2, 3, . . . . Tomando Pm(z) e Qm(z) das formas
Pm(z) = m,0 + m,1z + + m,m1zm1 e Qm(z) = 1 + m,1z + + m,mzm,
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2.1. Construo de fraes contnuas pelos determinantes de Hankel 32
temos
fi,j(z) Pm(z)Qm(z)
, i + j = 2m, m = 1, 2, 3, . . . .
Assim, a partir dos polinmios Pm(z) e Qm(z) podemos determinar os elementosda frao contnua. Como j mencionamos, Murphy, em (1966), mostrou que a frao
contnua desejada da forma
n11 + d1z +
n2z
1 + d2z +n3z
1 + d3z + . . . +nmz
1 + dmz + . . .(2.7)
em que nm e dm so constantes independentes de z. De fato, mostraremos que as fraes
contnuas so dessa forma. Vamos supor que nm, m 1, sejam no nulos, mas que dm,
m 1, podem ser iguais a zero.
2.1 Construo de fraes contnuas pelos determinan-
tes de Hankel
2.1.1 Caso i = j = m
Consideremos a sequncia de funes racionais
f1,1, f2,2, f3,3, . . . , f m,m, . . . ,
que aproximam f(z).
Temos, de (2.4), que
fm,m(z) f(z) = O
zm, z(m+1)
(2.8)
e, tambm, que
m,m+1(z)
Qm(z)Qm+1(z)= fm,m(z) fm+1,m+1(z) =
Pm(z)
Qm(z) f(z)
Pm+1(z)
Qm+1(z) f(z)
.
Os termos entre parnteses so, respectivamente, de ordens O(zm, z(m+1)) e
O(zm+1, z(m+2)). Logo,
Pm(z) Qm(z)f(z) = O(zm, z1) e Pm+1(z) Qm+1(z)f(z) = O(zm+1, z1)
e, ento,
m,m+1(z) = Qm+1(z) [Pm(z) Qm(z)f(z)] Qm(z) [Pm+1(z) Qm+1(z)f(z)]= O(zm, zm),
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2.1. Construo de fraes contnuas pelos determinantes de Hankel 33
uma vez que a primeira parcela de ordem O(zm, zm) e a segunda, de ordem O(zm+1, zm1).
Portanto, como m,m+1(z) um polinmio de grau no mximo 2m, ele ter um
nico termo em zm. Esse termo facilmente determinado considerando-se o termo em zm
de Qm+1(z) {Pm(z) Qm(z)f(z)} , isto , de
Qm(z)f(z) = (1 + m,1z + . . . + m,mzm)
a0 + a1z + a2z2 + . . .
.
Portanto,
m,m+1(z) = mzm, (2.9)
com
m = (am + am1m,1 + + a0m,m) . (2.10)Usando as expanses (2.1) e (2.2) para f(z) junto com (2.8), obtemos as 2m equa-
es lineares
m,0 = a0
m,1 = a1 + a0m,1
m,2 = a2 + a1m,1 + a0m,2...
.
.....
.
.... .
m,m1 = am1 + am2m,1 + + a0m,m1
(2.11)
e
m,m1 = a1m,mm,m2 = a2m,m + a1m,m1m,m3 = a3m,m + a2m,m1 + a1m,m2
......
......
. . .
m,0 = amm,m + am+1m,m1 + + a1m,1
. (2.12)
Substituindo os valores dos m,i, i = 0, 1, . . . , m 1, dados em (2.11), em (2.12),chegamos ao sistema linear de m equaes com m + 1 incgnitas
a0 + a1m,1 + a2m,2 + + amm,m = 0a1 + a0m,1 + a1m,2 + + am+1m,m = 0a2 + a1m,1 + a0m,2 +
+ am+2m,m = 0
... ... ... ... ... ...
am1 + am2m,1 + am3m,2 + + a1m,m = 0
. (2.13)
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2.1. Construo de fraes contnuas pelos determinantes de Hankel 34
Sejam os determinantes Dr,s definidos por:
Dr,s :=
ar ar+1 ar+s
ar1 ar ar+s1...
.... . .
...
ars ars+1 ar
para r = 0, 1, 2, . . . , s = 0, 1, 2, . . . e Dr,s 1 para s < 0. Note que estes determinantesso bastante similares aos determinantes de Hankel definidos no Captulo 1. Na verdade,
a relao entre os determinantes a seguinte:
Dr,s = (1)s12
H(rs)
s+1 . (2.14)
Portanto, a diferena, se houver, apenas no sinal.
Acrescentando a equao (2.10) ao sistema (2.13), obtemos
a0 a1 a2 ama1 a0 a1 am+1...
......
. . ....
am1 am2 am3 a1am am1 am2 a0
1
m,1...
m,m1m,m
=
0
0...
0m
.
Resolvendo o sistema linear acima pela regra de Cramer, pelo Teorema de Laplace
encontramos m = (1)m+1 D0,mD1,m1
e, assim, de (2.9),
m,m+1(z) = (1)m+1 D0,mD1,m1
zm.
Temos, ainda, que m,m+2(z) um polinmio de grau no mximo 2m + 1 e que
m,m+2(z)
Qm(z)Qm+2(z)= fm,m(z) fm+2,m+2(z) =
Pm(z)
Qm(z) f(z)
Pm+2(z)
Qm+2(z) f(z)
.
Como, na equao anterior, o primeiro termo entre parnteses de ordem
O(zm, z(m+1)) e o segundo de ordem O(zm+2, z(m+3)), ento,
Pm(z) Qm(z)f(z) = O(zm, z1) e Pm+2(z) Qm+2(z)f(z) = O(zm+2, z1).
Assim,
m,m+2(z) = Qm+2(z) [Pm(z) Qm(z)f(z)] Qm(z) [Pm+2(z) Qm+2(z)f(z)]= O(zm, zm+1),
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
45/82
2.1. Construo de fraes contnuas pelos determinantes de Hankel 35
uma vez que a primeira parcela O(zm, zm+1) e a segunda de O(zm+2, zm1).
Portanto, m,m+2 consiste de apenas dois termos e da forma mzm + m+1zm+1,
onde os k, k = m, m+1, so constantes. Claramente mzm exatamente m,m+1 e o outro
termo calculado considerando-se o termo em zm+1 de Qm+2(z) {Pm(z) Qm(z)f(z)}para |z| grande, ou seja, o termo em zm+1 de
(1 + m+2,1z + . . . + m+2,m+2zm+2)
(m,0 + a1m,1 + . . . + amm,m)
+
m,1 + a1m,2 + . . . + a(m1)m,m
z + . . . + (m,m1 + a1m,m) zm1
+
a1 + a2m,1 + . . . + a(m+1)m,m
z1 + O (z2)
.
(2.15)
Lembrando que Pm(z) Qm(z)f(z) = O(z1) para |z| grande, ento o termo entrecolchetes na expresso (2.15) nulo.
Portanto, o termo em zm+1 de m,m+2(z) da forma
m+2,m+2Cmzm+1,
onde
Cm = a1 + a2m,1 + + a(m+1)m,m.
Agora, usando a equao acima e (2.13), obtemos o sistema linear
a1 a2 a3 am1a0 a1 a2 am...
......
. . ....
am2 am3 am4 a2am1 am2 am3 a1
1
m,1...
m,m1
m,m
=
Cm
0...
0
0
. (2.16)
Novamente, usando Cramer e Laplace, obtemos
Cm =D1,m
D1,m1, m = 0, 1, 2, . . . .
Resolvendo, agora, (2.16) para m,m e substituindo o valor de Cm, encontramos
m,m = (1)m D0,m1D1,m1
m = 1, 2, 3, . . . .
Assim, temos
m,m+2(z) = m,m+1(z) + (1)m D1,mD0,m+1D1,m1D1,m+1
zm+1.
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
46/82
2.1. Construo de fraes contnuas pelos determinantes de Hankel 36
Portanto, de (2.6), obtemos
pm+1 =D0,mD1,m2
D1,m1D0,m1z e qm+1 = 1 D0,mD1,m1
D1,mD0,m1z,
para m = 1, 2, 3, . . . .
Para m = 0 encontramos que a frmula ainda vale, desde que p1 independente
de z. Assim, a frao contnua (2.7), que tem convergentes f1,1(z), f2,2(z), f3,3(z), . . . , tem
coeficientes
nm =D0,m1D1,m3D1,m2D0,m2
e dm = D0,m1D1,m2D1,m1D0,m2
, m = 1, 2, 3, . . . . (2.17)
2.1.2 Caso i= j
No caso em que i = j, podemos construir a frao contnua usando praticamente omesmo mtodo anterior, ainda que pequenas diferenas ocorram. Como, nas aproximaes
pelas funes racionais, apenas um nmero par de parmetros est disponvel, vamos
considerar as aproximaes da forma fm+2r,m(z), r = 0, 1, 2, . . . . Para obter uma frao
contnua cujos elementos podem ser expressos de maneira simples, para r = 1, 2, 3, . . . ,
tomamos, primeiramente, a sequncia
f1,1(z), f2,2(z), . . . , f m,m(z), fm+1,m1(z), fm+2,m(z), . . . , f m+2r1,m1(z), fm+2r,m(z), . . . .
(2.18)
Essa sequncia de funes racionais so os sucessivos convergentes da frao con-
tnua
n11 + d1z +
n2z
1 + d2 +n3z
1 + d3z + . . . +nmz
1 + dmz +nm+1z
1 +nm+2z
1 + . . .. (2.19)
De fato, nr e dr, r = 1, 2, . . . , m , so dados por (2.17) e para calcular os demais coeficientes
nr, dr, r m + 1, notemos quefm+2r2,m(z) =
Pm+2r2(z)
Qm+2r2(z) i + j = 2m + 2r 2 = 2(m + r 1),
ou seja, Pm+2r2 tem grau m + r 2 e Qm+2r2 tem grau m + r 1. Da mesma forma,
fm+2r1,m1(z) =Pm+2r1(z)
Qm+2r1(z) i + j = 2m + 2r 2 = 2(m + r 1),
ou seja, Pm+2r1 tem grau m + r 2 e Qm+2r1 tem grau m + r 1. Lembremos que
fm+2r,m(z)
f(z) = O(zm+2r, z(m+1)),
fm+2r1,m1(z) f(z) = O(zm+2r1, zm),fm+2r2,m(z) f(z) = O(zm+2r2, z(m+1)). (2.20)
-
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2.1. Construo de fraes contnuas pelos determinantes de Hankel 37
Assim,
m+2r2,m+2r1(z)
Qm+2r2(z)Qm+2r1(z)= fm+2r2,m(z) fm+2r1,m1(z)
=Pm+2r2(z)
Qm+2r2(z) f(z)
Pm+2r1(z)
Qm+2r1(z) f(z)
= O(zm+2r2, zm).
Logo,
m+2r2,m+2r1(z) = Qm+2r1(z) [Pm+2r2(z) Qm+2r2(z)f(z)]
O(zm+2r2,zr2)
Q
m+2r2(z) [P
m+2r1(z)
Q
m+2r1(z)f(z)]
O(zm+2r1,zr1)
= O(zm+2r2, zm+2r2).
Portanto, m+2r2,m+2r1 consiste de um nico termo em zm+2r2, que facilmente deter-
minado considerando-se o termo em zm+2r2 de Qm+2r1(z) {Pm+2r2(z) Qm+2r2(z)f(z)} ,isto , de Qm+2r2(z)f(z). Logo,
m+2r2,m+2r1(z) = m+2r2zm+2r2,
com
m+2r2 = (am+2r2 + am+2r3m+2r2,1 + + ar1m+2r2,m+r1) . (2.21)
De (2.20), obtemos o seguinte sistema:
ar1 + ar2m+2r2,1 + + amm+2r2,m+r1 = 0ar + ar1m+2r2,1 + + am+1m+2r2,m+r1 = 0
ar+1 + arm+2r2,1 + + am+2m+2r2,m+r1 = 0...
......
......
am+2r3 + am+2r4m+2r2,1 + + ar2m+2r2,m+r1 = 0
. (2.22)
Acrescentando a equao (2.21) ao sistema linear (2.22), obtemos
ar1 ar2 ar3 amar ar1 ar2 am+1.
..
.
..
.
.... .
.
..am+2r3 am+2r4 am+2r5 ar2am+2r2 am+2r3 am+2r4 ar1
1
m+2r2,1.
..m+2r2,m+r2
m+2r2,m+r1
=
0
0.
..0
m+2r2
.
-
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48/82
2.1. Construo de fraes contnuas pelos determinantes de Hankel 38
Novamente, resolvendo pela regra de Cramer e usando o Teorema de Laplace,
encontramos
m+2r2,m+2r1(z) = (
1)m+r+1Dr1,m+r1
Dr2,m+r2zm+2r2.
Fazendo os mesmos clculos para m+2r3,m+2r2(z), obtemos
m+2r3,m+2r2(z) = (1)m+r Dr1,m+r2Dr2,m+r3
zm+2r3.
Temos, ainda, que
m+2r2,m+2r(z)
Qm+2r2(z)Qm+2r(z)= fm+2r2,m(z) fm+2r,m(z)
= Pm+2r2(z)Qm+2r2(z)
f(z) O(zm+2r2,z(m+1))
Pm+2r(z)Qm+2r(z)
f(z) O(zm+2r,z(m+1))
.
Logo,
m+2r2,m+2r(z) = Qm+2r(z) [Pm+2r2(z) Qm+2r2(z)f(z)]Qm+2r2(z) [Pm+2r(z) Qm+2r(z)f(z)]
= O(zm+2r2, zm+2r2).
Portanto, m+2r2,m+2r consiste de apenas um termo em zm+2r2, que calculado
considerando-se o termo em zm+2r2 de Qm+2r(z) {Pm+2r2(z) Qm+2r2(z)f(z)} ou deQm+2r2(z)f(z). Encontramos, ento,
m+2r2,m+2r(z) m+2r2zm+2r2 = 0,
onde
m+2r2 = am+2r2 + am+2r3m+2r2,1 + + ar1m+2r2,m+r1. (2.23)
De (2.20), obtemos o sistema linear:
ar1 + ar2m+2r2,1 + + amm+2r2,m+r = 0ar + ar1m+2r2,1 + + am+1m+2r2,m+r = 0
ar+1 + arm+2r2,1 + + am+2m+2r2,m+r = 0...
.
.....
.
.....
am+2r3 + am+2r4m+2r2,1 + + ar2m+2r2,m+r = 0
. (2.24)
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
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2.1. Construo de fraes contnuas pelos determinantes de Hankel 39
Acrescentando (2.23) a (2.24), obtemos
ar1 ar2 ar3 amar ar1 ar2 am+1...
......
. . ....
am+2r3 am+2r4 am+2r5 ar2am+2r2 am+2r3 am+2r4 ar1
1
m+2r2,1...
m+2r2,m+r2
m+2r2,m+r1
=
0
0...
0
m+2r2
.
Por Cramer e Laplace, encontramos
m+2r2,m+2r(z) = (1)m+r+1Dr1,m+r1Dr2,m+r2
zm+2r2.
Fazendo os mesmos clculos para m+2r3,m+2r1(z), obtemos
m+2r3,m+2r1(z) = (1)m+r Dr1,m+r2Dr2,m+r3
zm+2r3.
Portanto, de (2.6),
pm+2r1 = m+2r2,m+2r1m+2r3,m+2r2
=Dr1,m+r1Dr2,m+r3Dr2,m+r2Dr1,m+r2
z,
qm+2r1 =m+2r3,m+2r1m+2r3,m+2r2 = 1,
r = 1, 2, 3, . . .
e
pm+2r = m+2r1,m+2rm+2r2,m+2r1
= Dr,m+r1Dr2,m+r2Dr1,m+r2Dr1,m+r1
z,
qm+2r =m+2r2,m+2r
m+2r2,m+2r1= 1,
r = 1, 2, 3, . . . .
Ou seja,
nm+2r1 =Dr1,m+r1Dr2,m+r3Dr2,m+r2Dr1,m+r2
, dm+2r1 = 0,
nm+2r = Dr,m+r1Dr2,m+r2Dr1,m+r2Dr1,m+r1
, dm+2r = 0,
r = 1, 2, 3 . . . . (2.25)
Um caso particular de (2.19) obtido quando m = 0. Exceto para um mltiplo
de z, encontramos a frao contnua que corresponde a (2.1) apenas. As equaes (2.25)
tornam-se as expresses convencionais para os coeficientes dessa frao contnua.
Considerando a aproximao fm+2r,m, podemos, tambm, tomar a sequncia
f1,0(z), f2,0(z), f3,0(z) . . . , f 2r,0(z), f2r+1,1(z), . . . , f 2r+m,m(z), . . . .
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
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2.1. Construo de fraes contnuas pelos determinantes de Hankel 40
Vamos mostrar que essa sequncia nos leva frao contnua
n11 +
n2z
1 +n3z
1 + . . . +n2rz
1 +n2r+1z
1 + d2r+1z + . . . +n2r+mz
1 + d2r+mz + . . .. (2.26)
Assim como para (2.18), usando o mesmo raciocnio encontramos que
n2r+m =Dr,r+m1Dr1,r+m3Dr1,r+m2Dr,r+m2
e d2r+m = Dr,r+m1Dr1,r+m2Dr1,r+m1Dr,r+m2
,
para m = 1, 2, 3, . . . .
Agora, vamos calcular os coeficientes nm e dm, m = 1, 2, . . . , 2r. Observando o com-
portamento dos graus dos polinmios P2s, P2s1, Q2s e Q2s1, s = 1, 2, . . . , r , encontramos
que P2s, P2s1 e Q2s1 tm graus s 1 e que Q2s tem grau s.Note que no utilizaremos a srie para |z| grande, pois temos j = 0. Alm disso,
f2s,0(z) f(z) = O(z2s),f2s1,0(z) f(z) = O(z2s1), (2.27)f2s3,0(z) f(z) = O(z2s3). (2.28)
Como 2s1,2s(z) tem grau 2s 1, ento2s1,2s(z)
Q2s1(z)Q2s(z)= f2s1,0(z)
f2s,0(z) = P2s1(z)Q2s1(z) f(z)
O(z2s1)
P2s(z)
Q2s(z) f(z)
O(z2s)
.
Logo,
2s1,2s(z) = Q2s(z) [P2s1(z) Q2s1(z)f(z)] Q2s1(z) [P2s(z) Q2s(z)f(z)]= O(z2s1).
Portanto, 2s1,2s consiste de apenas um termo em z2s1, que calculado considerando-
se o termo em z2s1
de Q2s(z) {P2s1(z) Q2s1(z)f(z)} , isto , de Q2s1(z)f(z). En-contramos, ento, 2s1,2s(z) = 2s1z2s1, com
2s1 = a2s1 + a2s22s1,1 + + as+12s1,s2. (2.29)
De (2.27) e (2.29), obtemos
as as1 as2 a1as+1 as as1 a2
.
..
.
..
.
.... .
.
..a2s2 a2s3 a2s4 as1a2s1 a2s2 a2s3 as
1
2s1,1.
..2s1,s2
2s1,s1
=
0
0.
..0
2s1
.
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
51/82
2.1. Construo de fraes contnuas pelos determinantes de Hankel 41
Resolvendo o sistema usando Cramer e Laplace, encontramos
2s1,2s(z) = (1)s+1 Ds,s1Ds1,s2
z2s1.
Fazendo os mesmos clculos para 2s2,2s1(z), obtemos
2s2,2s1(z) = (1)s+1Ds1,s1Ds2,s2
z2s2.
Temos, ainda, que 2s3,2s1(z) tem grau 2s 3. Assim,2s3,2s1(z)
Q2s3(z)Q2s1(z)= f2s3,0(z) f2s1,0(z)
= P2s3(z)Q2s3(z) f(z) O(z2s3)
P2s1(z)
Q2s1(z) f(z)
O(z2s1)
.
Logo,
2s3,2s1(z) = Q2s1(z) [P2s3(z) Q2s3(z)f(z)] Q2s3(z) [P2s1(z) Q2s1(z)f(z)]= O(z2s3).
Portanto, 2s3,2s1 consiste de apenas um termo em z2s3, que facilmente cal-
culado considerando-se o termo em z2s3 de Q2s3(z)f(z). Encontramos, ento,
2s3,2s1(z) + {a2s3 + a2s42s3,1 + + as12s3,s2} z2s3 = 0.
Seja
2s3 = a2s3 + a2s42s3,1 + + as12s3,s2. (2.30)
De (2.28) e (2.30), obtemos
as1 as2 as3
a1
as as1 as2 a2...
......
. . ....
a2s4 a2s5 a2s6 as2a2s3 a2s4 a2s5 as1
1
2s3,1...
2s3,s3
2s3,s2
=
0
0...
0
2s3
.
Logo,
2s3,2s1(z) = (1)s Ds1,s2Ds2,s3
z2s3.
Fazendo os mesmos clculos para 2s2,2s(z), encontramos
2s2,2s(z) = (1)s+1Ds1,s1Ds2,s2
z2s2.
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
52/82
2.1. Construo de fraes contnuas pelos determinantes de Hankel 42
Portanto, de (2.6),
p2s1 = 2s2,2s12s3,2s2
=Ds1,s1Ds2,s3Ds2,s2Ds1,s2
z,
q2s1 =2s3,2s12s3,2s2
= 1
e
p2s = 2s1,2s2s2,2s1
= Ds,s1Ds2,s2Ds1,s2Ds1,s1
z,
q2s =2s2,2s
2s2,2s1= 1,
para s = 1, 2, . . . , r . Ou seja,
n2s1 =Ds1,s1Ds2,s3Ds2,s2Ds1,s2
, d2s1 = 0,
n2s = Ds,s1Ds2,s2Ds1,s2Ds1,s1
, d2s = 0,
s = 1, 2, . . . , r .
Assumindo que a expanso (2.1) conhecida, a frao contnua (2.19) til quando
apenas um nmero finito de termos de (2.2) est disponvel ou facilmente determinado,
ou se h uma boa razo para se usar apenas um nmero finito de termos, como no caso
em que a srie assinttica.
O resultado (2.26) pode ser til quando a0 ou a1 zero. At aqui assumimos que
ambos so no nulos. Assim, n1 = a0 e d1 = a0/a1 so no nulos. Se essa condiono satisfeita, pequenas modificaes podem ser feitas. Por exemplo, se a0 = 0, mas
a1, a2 = 0, podemos considerar a funo g(z) = {f(z) a1z}/z2. As expanses para g(z)para |z| pequeno e para |z| grande possuem termos lderes a2 e a1/z, respectivamente.Podemos, ento, proceder da mesma forma que para g(z). Por outro lado, podemos formar
uma frao contnua da forma (2.26) para a funo f(z)/z no caso em que a0 = 0, mas
a1, a2 = 0. Assim, temosn11 +
n2z
1 +n3z
1 + d3z +n4z
1 + d4z + . . .
onde os dois primeiros termos da srie
f(z)
z= a1 + a2z + a3z
2 + a4z3 +
so ajustados antes de qualquer termo de
f(z)
z=
a1z2
+a2z3
+a3z4
+
.
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
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2.2. Construo de fraes contnuas pelo algoritmo Q-D 43
2.2 Construo de fraes contnuas pelo algoritmo Q-
D
Uma das muitas aplicaes em Anlise Numrica do algoritmo Q-D de Rutishauser
[19], transformar uma nica expanso em srie de potncias na frao contnua corres-
pondente. Mesmo no caso em que as fraes contnuas correspondem a sries de potncias
em dois pontos, podemos construir um algoritmo, que essencialmente o Algoritmo Q-D.
Comeamos supondo que, em (2.1) e (2.2), ar = 0, r = 0, 1, 2, . . . , e definindo
f(r)(z) :=f(z) (a0 + a1z + + ar1zr1)
zr,
f(r)(z) :=
f(z) +a1
z+
a2z2
+ + arzr
zr,
(2.31)
para r = 1, 2, 3, . . . , onde f(0)(z) f(z).Temos que f(r)(z) possui as expanses
f(r)(z) = ar + ar+1z + ar+2z2 + ar+3z
3 + , |z| pequeno,
f(r)(z) =
ar1
z+
ar2
z2+
ar3
z3+
ar4
z4+
, |z| grande,e que f(r)(z) possui as expanses
f(r)(z) = ar + ar+1z + ar+2z2 + ar+3z
3 + , |z| pequeno,
f(r)(z) = ar1
z+
ar2z2
+ar3
z3+
ar4z4
+
, |z| grande,
para r = 1, 2, 3, . . . .
Assim, f(r)
(z), r = 0, 1, 2, . . . , corresponde frao contnuaar
1 + d(r)1 z +
n(r)2 z
1 + d(r)2 z +
n(r)3 z
1 + d(r)3 z +
n(r)4 z
1 + d(r)4 z + . . .
. (2.32)
Agora, a frao contnua (2.32) pode ser considerada como a parte par (Teorema
1.2) dear1 +
d(r)1 z
1 l(r)2
1 +m
(r)2 z
1 l(r)3
1 +m
(r)3 z
1 . . ., (2.33)
onde
l(r)i =
n(r)i
n(r)i + d
(r)i1
e m(r)i =d(r)i d(r)i1
n(r)i + d
(r)i1
,
para r = 0, 1, 2, . . . e i = 2, 3, 4, . . . .
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
54/82
2.2. Construo de fraes contnuas pelo algoritmo Q-D 44
A parte mpar (Teorema 1.3), de (2.33) dada por
ar ard(r)1 z
1 l(r)
2 + d
(r)
1 z +
l(r)2 m
(r)2 z
1 l(r)
3 + m
(r)
2 z +
l(r)3 m
(r)3 z
1 l(r)
4 + m
(r)
3 z +. . .
. (2.34)
SejamP(r)m (z)
Q(r)m (z)
,R(r)m (z)
S(r)m (z)
eU(r)m (z)
V(r)m (z)
os m-simos convergentes das fraes contnuas
(2.32), (2.33) e (2.34), respectivamente.
Temos que R(r)2m+2(z) e S(r)2m+1(z) tm grau m, R
(r)2m+1(z) tem grau m 1 e S(r)2m+2(z)
tem grau m + 1. Assim, por (1.4),
R(r)2m+2(z)
S
(r)
2m+2(z)
R(r)2m+1(z)
S
(r)
2m+1(z)
=m+1z
m+1
S
(r)
2m+2(z)S
(r)
2m+1(z)
= O(zm+1, zm),
onde m+1 o produto dos numeradores parciais de (2.33).
Portanto, devemos terR(r)2m+2(z)
S(r)2m+2(z) f(r)(z)
R(r)2m+1(z)
S(r)2m+1(z) f(r)(z)
= O(zm+1, zm). (2.35)
ComoR(r)2m+2(z)
S(r)2m+2(z)=
P(r)m+1(z)
Q(r)m+1(z), ento
R(r)2m+2(z)
S(r)2m+2(z) f(r)(z)
= O(zm+1, zm2).
Assim, de (2.35), R(r)2m+1(z)
S(r)2m+1(z)
f(r)(z)
= O(zm+1, zm).
Logo, comoR(r)
2m+1(z)
S(r)2m+1(z)
=U(r)
m(z)
V(r)m (z)
, obtemos
U(r)m (z)
V(r)m (z)
arz
f(r)(z) ar
z= O(zm, zm1). (2.36)
Portanto, de (2.34) e (2.36), temos quef(r)(z) ar
zgera a frao contnua
ard
(r)
11 l(r)2 + d(r)1 z +
l(r)
2
m(r)
2
z
1 l(r)3 + m(r)2 z +l(r)
3
m(r)
3
z
1 l(r)4 + m(r)3 z + . . . . (2.37)
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
55/82
2.2. Construo de fraes contnuas pelo algoritmo Q-D 45
Dividindo o numerador e o denominador do primeiro quociente parcial da frao
contnua (2.37) por (1 l(r)2 ), o numerador e o denominador do segundo quociente parcialpor (1
l(r)3 ) e, assim, sucessivamente, obtemos a frao contnua equivalente
ard(r)1 /(1 l(r)2 )1 + d(r)1 z/(1 l(r)2 ) +
l(r)2 m(r)2 z/[(1 l(r)2 )(1 l(r)3 )]1 + m(r)2 z/(1 l(r)3 ) +
l(r)3 m(r)3 z/[(1 l(r)3 )(1 l(r)4 )]1 + m(r)3 z/(1 l(r)4 ) + . . .
.
(2.38)
Mas, comof(r)(z) ar
z= f(r+1)(z), de (2.32) ela gera a frao contnua
ar+1
1 + d(r+1)1 z +
n(r+1)2 z
1 + d(r+1)2 z +
n(r+1)3 z
1 + d(r+1)3 z +
n(r+1)4 z
1 + d(r+1)4 z + . . .
. (2.39)
Comparando (2.38) e (2.39), para r = 0,
1,
2, . . . , obtemos
d(r+1)1 z =
d(r)1 z
1 l(r)2 d(r+1)1 =
d(r)1
1 n(r)2
n(r)2 + d
(r)1
d(r+1)1 = n(r)2 + d(r)1 .
Ento,
ar+1 = ard(r)1
1 l(r)2 ar+1 = ar(n(r)2 + d(r)1 ) d(r+1)1 =
ar+1ar
, (2.40)
para r = 0,
1,
2, . . . .
Temos, ainda, que
l(r)i
1 l(r)i=
n(r)i
n(r)i + d
(r)i1
1
1 n(r)i /(n(r)i + d(r)i1)
=n(r)i
n(r)i + d
(r)i1
1
d(r)i1/(n
(r)i + d
(r)i1)
=n(r)i
d(r)i1
e
m(r)i
1 l(r)i+1= d
(r)
i d(r)
i1
n(r)i + d
(r)i1
11 n(r)i+1/(n(r)i+1 + d(r)i )
=d(r)i d
(r)i1
n(r)i + d
(r)i1
1
d(r)i /(n
(r)i+1 + d
(r)i )
= d(r)i1
n(r)i+1 + d(r)i
n(r)i + d
(r)i1
.
Assim,
n(r+1)i =l(r)i m
(r)i
(1 l(r)
i )(1 l(r)
i+1)
=n(r)i
d
(r)
i1
d(r)i1n(r)i+1 + d
(r)i
n
(r)
i + d
(r)
i1
, (2.41)
d(r+1)i =
m(r)i
1 l(r)i+1= d
(r)i1
n(r)i+1 + d(r)i
n(r)i + d
(r)i1
, (2.42)
-
7/31/2019 Fraes Contnuas que correspondem a sries de potncias
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2.2. Construo de fraes contnuas pelo algoritmo Q-D 46
para i = 2, 3, . . . e r = 0, 1, 2, . . . .Substituindo (2.42) em (2.41), obtemos
n(r+1)i = n(r)
i
d(r)i1
d(r+1)i n(r+1)i d(r)i1 = n(r)i d(r+1)i .
Agora, somando (2.41) e (2.42), encontramos
n(r+1)i + d
(r+1)i =
n(r)i + d
(r)i1
n(r)i+1 + d(r)in(r)i + d
(r)i1
n(r+1)i + d(r+1)i = n(r)i+1 + d(r)i .
Portanto,
n(r+1)i+1 d(r)i = n(r)i+1 d(r+1)i+1
n(r+1)i + d(r+1)i = n
(r)i+1 + d
(r)i
, (2.43)
para i = 2, 3, . . . e r = 0, 1, 2, . . . .Ento, se definirmos n(r)1 0 e calcularmos d(r)1 por (2.40), as equaes em (2.43)
podem ser usadas para calcularmos n(r)i e d(r)i , para i = 2, 3, . . . e r = 0, 1, 2, . . . . As
regras de formulao seguem a caracterstica padro do algoritmo Q-D.
Referimo-nos tabela abaixo como tabela n-d.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.0 d(4)1 n
(4)2 d
(4)2 n
(4)3 d
(4)3 n
(4)4 d
(4)4
0 d(3)1 n(3)2 d
(3)2 n
(3)3 d
(3)3 n
(3)4 d
(3)4
0 d(2)1 n(2)2 d
(2)2 n
(2)3 d
(2)3 n
(2)4 d
(2)4
0 d(1)1 n(1)2 d
(1)2 n
(1)3 d
(1)3 n
(1)4 d
(1)4
0 d(0)1 n(0)2 d
(0)2 n
(0)3 d
(0)3 n
(0)4 d
(0)4
0 d(1)1 n(1)2 d
(1)2 n
(1)3 d
(1)3 n
(1)4 d
(1)4
0 d(2)1 n
(2)2 d
(2)2 n
(2)3 d
(2)3 n
(2)4 d
(2)4
0 d(3)1 n(3)2 d
(3)2 n
(3)3 d
(3)3 n
(3)4 d
(3)4
0 d(4)1 n(4)2 d
(4)2 n
(4)3 d
(4)3 n
(4)4 d
(4)4
......
......
......
......
O bloco interno mostra como os n e d subsequentes so calculados a partir de n(r)1
e d(r)1 . A frao contnua que ajusta um nmero igual de termos de (2.1) e (2.2) , ento,
a0
1 + d(0)1 z +
n(0)2 z
1 + d(0)2 z +
n(0)3 z
1 + d(0)3 z + . . .
(2.44)
-
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2.2. Construo de fraes contnuas pelo algoritmo Q-D 47
e seus coeficientes esto na linha central da tabela n-d. Por exemplo, dados os quatro
primeiros termos de (2.1) e (2.2), isto , ar, para r = 4, 3, . . . , 3, calculamos os coe-ficientes que esto no bloco externo na tabela n-d. Esses coeficientes incluem os quatro
primeiros quocientes parciais da frao contnua (2.44).
fcil ver que podemos obter as fraes contnuas correspondentes a todas as
funes f(r)(z) que possuem as sries
ar + ar+1z + ar+2z2 + ar+3z
3 + , |z| pequeno (2.45)
e
ar1
z ar2
z2 ar3
z3 ar4
z4 , |z| grande, (2.46)que geram a frao contnua
ar
1 + d(r)1 z +
n(r)2 z
1 + d(r)2 z +
n(r)3 z
1 + d(r)3 z +
n(r)4 z
1 + d(r)4 z + . . .. (2.47)
Alm disso, desde que em (2.43) as equaes so lineares, os elementos da tabela
n-d podem ser gerados a partir de condies iniciais diferentes das dadas em (2.40). Por
exemplo, se f(z) possui apenas uma expanso em sries de potncias, digamos (2.1),
podemos construir (na nossa notao) a frao contnua correspondente
a01 +
n(0)2 z
1 +n(0)3 z
1 + . . ..
Esse problema resolvido, convencionalmente, pela aplicao direta do algoritmo Q-D.
Aqui, o problema pode ser resolvido se tomarmos
d(r)1 = ar
ar1, r = 1, 2, 3, . . . e d(0)i = 0, i = 1, 2, 3, . . . .
Ento, a equao (2.43) permite que os elementos da tabela n-d sejam completados
da maneira usual na linha n(0) d(0) e abaixo dela. Se necessrio, os elementos das linhasabaixo da linha n(0) d(0) podem ser obtidos isolando-se n(r)i+1 e d(r)i na primeira equaode (2.43) e substituindo-os na segunda. Obtemos, ento,
n(r+1)i+1 + d
(r+1)i+1
d(r)i =
n(r+1)i + d
(r+1)i
d(r+1)i+1 ,
n(r+1)i+1 + d(r+1)i+1 n(r)i+1 = n(r+1)i + d(r+1)i n(r+1)i+1 .Podemos, tambm, usar (2.43) para construir a frao contnua que ajusta um
nmero finito de termos de, digamos, (2.2) e todos os termos de (2.1). Nesse problema,
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2.2. Construo de fraes contnuas pelo algoritmo Q-D 48
conhecemos ar para r = m, (m 1), (m 2), . . . , e fazemos
d(r)1 =
arar1
, r = (m 1), (m 2), . . .
d(0)i = 0, i = (m + 1), (m + 2), . . . .
Na frao contnua resultante, o (m + 2r)-simo conve