Download - Fractais: Conceitos Básicos, Representações Gráficas e Aplicações ao Ensino não Universitário
UNIVERSIDADE DE LISBOA
FACULDADE DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
FRACTAIS: CONCEITOS BASICOS,
REPRESENTACOES GRAFICAS E
APLICACOES AO ENSINO NAO
UNIVERSITARIO
Celia Maria Filipe Santos Jordao Alves
MESTRADO EM MATEMATICA PARA O ENSINO
Dissertacao orientada pela
Professora Doutora Ana Maria Ribeiro Ferreira Nunes
i
ii
2007
iii
A presente obra encontra-se licenciada sob a licenca Creative Commons Attribution-
NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported. Para visualizar uma copia da licenca, visite
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ ou mande uma carta para: Crea-
tive Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA.
iv
Dedico este trabalho ao meu marido e ao meu filho.
v
vi
Agradecimentos
Muito ha o que e a quem agradecer depois desta longa jornada.
Em primeiro lugar, agradeco a minha orientadora, Professora Doutora Ana Nunes,
por ter aceite acompanhar-me nesta caminhada e por ter uma paciencia tao grande ou
maior que a minha persistencia.
Agradeco a todos quantos escreveram e editaram livros sobre fractais, em parti-
cular aos autores dos livros que eu consultei e que foram a minha principal fonte de
informacao e a base de inspiracao de todo o meu trabalho. Obrigada tambem aos que
disponibilizaram material escrito na internet sobre o tema, em particular ao Profes-
sor Doutor Joao Carlos Alves Barata, da Universidade de Sao Paulo, pelo manual de
Fısica-Matematica que disponibilizou on-line e que tao util me foi para a compreensao
das bases da Teoria da Medida, e ainda pela sua prontidao e simpatia na resposta as
minhas questoes.
Outros autores eu tive a ousadia de importunar e a todos agradeco a paciencia e
a amabilidade com que sempre contestaram aos meus emails ; sao eles Michael Frame
da Yale University, Michael Barnsley da Australian National University e Kenneth
Falconer da University of St Andrews.
Agradeco ainda a todos aqueles que produziram software e applets para representar
fractais e que colocaram esse material para acesso gratuito na internet. Esse material
serviu nao so para compreender melhor alguns conceitos, como tambem para utilizar
em algumas propostas de trabalho para alunos.
O meu muito obrigada ao Professor Doutor Luıs Sequeira, da Universidade de
Lisboa, por ter ministrado um curso de Latex, onde eu pude aprender as bases para
a utilizacao desta linguagem, e por ter respondido tao atenciosa e prontamente as
questoes que lhe fui colocando ao longo de todo o meu trabalho. Agradeco ainda a
todos aqueles que disponibilizaram textos na internet com instrucoes para o LaTex
que me permitiram esclarecer muitas duvidas e aborrecer menos vezes o Professor Luıs
Sequeira.
vii
Obrigada a Ana Paula Jordao pelo apoio prestado aquando da elaboracao do meu
pedido de licenca sabatica e a Sonia Figueinhas que, nao acreditando que este trabalho
algum dia pudesse ter fim, se muniu de toda a paciencia necessaria para digitalizar e
enviar-me por email material impresso que eu nao possuıa.
Um agradecimento muito especial a todos os meus amigos que se ofereceram para
ler as versoes previas desta tese de modo a ajudar na deteccao de gralhas, em particular
a Marta Carapuco a quem eu incumbi essa tarefa e que a cumpriu sempre com muito
boa disposicao, muita eficiencia e ainda com um enorme sentido crıtico-construtivo.
Por fim agradeco aqueles que me acompanharam de perto, dia-a-dia, ao longo de
toda esta viagem, e que testemunharam todos os momentos nao so de entusiasmo mas
tambem de angustia que fazem parte de tarefas como esta: o meu marido e o meu
filho. Nao esqueco a resignacao, a compreensao e o amor com que aceitaram a minha
ausencia no tempo que roubei a convivencia familiar para dedicar a finalizacao deste
trabalho.
viii
�As nuvens nao sao esferas, as montanhas nao sao cones, as linhas
costeiras nao sao cırculos, a casca das arvores nao e lisa e os relampagos
nao viajam em linha recta.�
Benoıt Mandelbrot
ix
x
RESUMO O objectivo deste trabalho e a elaboracao e a apresentacao de propostas
de trabalho sobre Fractais para serem utilizadas na sala de aula de Matematica, com
alunos do ensino nao universitario. Para alem disso, sao tambem apresentadas algumas
propostas para serem desenvolvidas na modalidade de Projecto, na disciplina de Area
de Projecto. De modo a atingir este objectivo, patente no ultimo capıtulo, apresentam-
se previamente tres outros capıtulos. O primeiro que consiste na apresentacao do con-
ceito de Fractal enquanto ponto fixo de um Sistema de Funcoes Iteradas; o segundo
que consta na apresentacao do conceito de Dimensao Fractal, em particular das de-
finicoes de Dimensao de Hausdorff e de Dimensao de Contagem de Caixas, sendo a
primeira feita a partir da Construcao de Medida de Caratheodory; e o terceiro que
contem uma compilacao de aplicacoes possıveis da Geometria Fractal com o intuito de
dar a perceber a importancia que esta geometria tem vindo a alcancar pela sua enorme
utilidade e aplicabilidade nas mais variadas areas do conhecimento. No ultimo capıtulo
e, entao, apresentado um conjunto de propostas de actividades que pretendem levar
o aluno a compreender o conceito de Fractal, estudar algumas propriedades de casos
concretos e entender a importancia da Geometria Fractal para o mundo actual, sendo
evidenciados, sempre que possıvel, os conteudos programaticos dos programas oficiais
de Matematica portugueses em vigor actualmente que podem ser trabalhados nessa
actividade a par dos conceitos da Geometria Fractal.
Palavras-Chave: geometria, fractal, sistema de funcoes iteradas, dimensao fractal, di-
mensao de Hausdorff, dimensao de contagem de caixas, aplicacoes, aula de matematica,
representacao grafica
xi
ABSTRACT The main objective of this work is the elaboration and presentation of
some proposals for classroom activities about fractals to be used in Mathematic classes,
with non-University students. In addition, it is also presented some activities for being
developed as a project. To reach this goal, which is highlighted in the last chapter,
three previous chapters are introduced. The first presents the concept of Fractal as a
fixed point of a Iterated Function System; the second relies on the concept of Fractal
Dimension, in particular in the definition of both the Hausdorff Dimension and the Box
Counting Dimension, being the first created from the Caratheodory Measure Theory;
and the third includes a compilation of possible applications of the Fractal Geometry
in order to emphasize the importance that this geometry has been gaining due to its
vast utility and applicability in various areas of knowledge. In the last chapter it is
presented a collection of classroom activities, which pretend to take the pupil into the
concept of Fractal and into the study of some properties of some particular cases. At
the same time, it is pretended that the students deep their knowledge about the impor-
tance of the Fractal Geometry in the current world. Whenever possible, the contents
of the current Portuguese official learning programmes of Mathematics were pointed
out in a way that they can be worked in parallel with the Fractal Geometry concepts.
Keywords: geometry, fractal, iterated function system, fractal dimension, Hausdorff
dimension, box counting dimension, applications, mathematics lessons, graphical re-
presentations
Conteudo
Lista de Figuras xv
Lista de Tabelas xxi
Introducao xxiii
As Minhas Motivacoes xxv
As Origens da Geometria Fractal xxviii
Os Conceitos de Fractal e de Dimensao Fractal xxxi
A Estrutura deste Trabalho xxxvi
Capıtulo 1. Fractais definidos por Sistemas de Funcoes Iteradas 1
1. Conceito de espaco metrico 5
2. Conceito de espaco metrico com metrica de Hausdorff 5
3. Ponto fixo de uma transformacao 22
4. Sistemas de Funcoes Iteradas 26
5. Exemplos de Fractais definidos por Sistemas de Funcoes Iteradas 36
6. Fractais parecidos com objectos naturais 42
7. Sistemas de Funcoes Iteradas com Conjunto de Condensacao 44
8. O Problema Inverso - Modelacao com Sistemas de Funcoes Iteradas 47
Capıtulo 2. A Dimensao Fractal 53
1. Construcao de uma Medida pelo metodo de Caratheodory 57
2. Medida e Dimensao de Hausdorff 86
3. Definicoes alternativas de Dimensao 109
Capıtulo 3. Aplicacoes da Geometria Fractal 139
1. Fractais Naturais 142
xiii
xiv CONTEUDO
2. Fractais criados pelo Homem 158
3. Fractais aplicados as Ciencias Economicas, Sociais e Humanısticas 171
4. Os Fractais e a Teoria do Caos 175
Capıtulo 4. Exploracao de Fractais em contexto de Sala de Aula 179
1. Tipos de Actividades 184
2. Conexoes matematicas proporcionadas pelo topico “Fractais” 186
3. Competencias, Capacidades e Atitudes 186
4. Exploracao de Fractais com software 191
5. Propostas de Actividades para a Aula de Matematica 194
6. Propostas para a disciplina de Area de Projecto 265
Conclusao 289
Anexos 297
Bibliografia 321
Lista de Figuras
1.1 Distancia de um ponto x a um conjunto compacto A. 6
1.2 Distancia de A a B. 8
1.3 Distancia de A a B e distancia de B a A. 8
1.4 Distancia de pontos ”estrategicos”aos conjuntos A, B e C. 10
1.5 Lema da Extensao 18
1.6 Dois elementos de H(R2). 21
1.7 Contraccao em R 23
1.8 Representacao grafica de um ponto f de C[0, 1], da sua imagem pela funcao
w(f) =12f + 1 e do ponto fixo de w. 23
1.9 Contraccao no espaco das funcoes contınuas em [0,1 29
1.10Iteradas sucessivas de um compacto de R pela funcao f definida em H(R). 31
1.11Iteradas sucessivas de um compacto de R2 pela funcao w definida em H(R2). 32
1.12A distancia de B1 a C1 ∪ C2 e igual ao menor valor entre d(B1, C1) e d(B1, C2). 33
1.13Um Fractal definido por um SFI e independente do elemento inicial de H(X ) ao qual
se aplica esse SFI. 38
1.14As primeiras duas iteradas de um SFI nao linear. 40
1.15Resultado da primeira iterada do SFI que gera a curva de Peano. 41
1.16Resultado das cinco primeiras iteradas do SFI que gera a curva de Peano. 42
1.17Reescalamento de um quadrilatero com distorcao. 43
1.18Representacao grafica de algumas das iteradas de um SFI que define um fractal que
se assemelha a um feto. 44
xv
xvi LISTA DE FIGURAS
1.19Imagem obtida depois de cinco iteracoes num SFI com conjunto de condensacao. 46
1.20Imagens de plantas virtuais geradas a partir de Sistemas de Funcoes Iteradas com
Conjunto de Condensacao. 47
1.21Simulacao de avenida ladeada por arvores, gerada a partir de um Sistema de Funcoes
Iteradas com Conjunto de Condensacao. 48
1.22A esquerda a folha que se pretende representar atraves do ponto fixo de um SFI
e a direita a imagem dessa folha por seis contraccoes diferentes juntamente com o
contorno da folha original. 50
1.23A iteracao zero e o resultado obtido ao fim de seis iteracoes atraves de um SFI
constituıdo por seis contraccoes em R2. 51
2.1 Grafico de µsH em funcao de s. 92
2.2 Relacao entre medidas de figuras semelhantes. 97
2.3 As primeiras tres iteracoes na construcao do conjunto Poeira de Cantor. 98
2.4 As primeiras quatro iteracoes na construcao do Conjunto de Cantor. 99
2.5 As primeiras tres iteracoes na construcao de um conjunto totalmente desconexo em
R2 com dimensao de Hausdorff igual a r. 106
2.6 Rede-δ em R, R2 e R3. 113
2.7 Ilustracao em R e em R2 de “Em Rn, cada bola fechada de raio δ intersecta, no
maximo, 3n cubos da rede-δ. 114
2.8 Se a dimensao de caixas de um conjunto A e maior que a dimensao de caixas de um
conjunto B, entao a dimensao de caixas de A∪B e igual a dimensao de caixas de A.117
2.9 Primeiras quatro iteradas da construcao da Curva de Koch. 122
2.10Para δ =(
13
)ksao necessarios, no maximo, 4k conjuntos de diametro δ para cobrir
a Curva de Koch. 122
2.11Para δ =(
13
)kconseguem-se, pelo menos, 4k + 1 bolas de diametro δ com centro
em pontos da Curva de Koch. 123
LISTA DE FIGURAS xvii
2.12Recobrimento do Triangulo de Sierpinski por quadrados de lado 12 ,
14 e 1
8 . 126
2.13Arvore de uma das variedades de acer palmatum. 127
2.14Versao binaria da imagem digital da folha. 127
2.15Divisao da imagem em caixas de lado 512, 256, 128, 64, 32, 16 e 8 pixels
respectivamente. 128
2.16Numero de caixas que intersectam a folha (Nδ(G)) em funcao do comprimento (em
pixels) do lado da caixa (δ). 129
2.17Logaritmo do Numero de caixas que intersectam a folha (log (Nδ(G))) em funcao
do Logaritmo do inverso do comprimento (em pixels) do lado da caixa (− log(δ)) e
recta de regressao linear para o conjunto de pontos representados. 130
2.18Primeiras duas iteradas da construcao um fractal que pode ser definido por um SFI
constituıdos por cinco contraccoes, com dois factores de contraccao diferentes. 132
2.19Resolucao Grafica, pelo Metodo Heurıstico, para determinar a dimensao de um
fractal definido por um SFI constituıdo por contraccoes de diferentes factores de
contraccao. 133
2.20Primeiras quatro iteradas da construcao do Triangulo de Sierpinski. 134
2.21Esquema de construcao da primeira iterada e as primeiras cinco iteradas da
construcao da Curva de Peano. 135
2.22Primeiras iteradas da construcao de duas curvas com processo de construcao identico
a Curva de Koch. 136
2.23Primeiras iteradas da construcao da Ilha de Minkowski. 137
3.1 Diversos elementos da flora que exibem a repeticao da mesma forma a varias
escalas. 144
3.2 Vegetais com estrutura fractal. 145
3.3 Imagem do sistema pulmonar e de um modelo fractal desse sistema. 145
3.4 Modelo do sistema de irrigacao do coracao humano. 146
xviii LISTA DE FIGURAS
3.5 Neuronio. 147
3.6 Padrao formado por bacterias em crescimento, em laboratorio, em prato petri. 150
3.7 Vista aerea de uma rede fluvial e fotografia de uma cascata. 151
3.8 Imagens de grutas onde a geometria fractal e bem visıvel. 152
3.9 Imagens de montanhas onde a geometria fractal esta bem patente. 153
3.10As nuvens apresentam uma estrutura fractal 154
3.11A luz de um relampago percorre um caminho fractal. 154
3.12Agregacao por Difusao Limitada 156
3.13Flocos de neve com estrutura fractal. 157
3.14Galaxia criada por computador. 158
3.15Paisagens criadas por computador. 159
3.16Dithering com a curva de Hilbert. 161
3.17Antena com formato fractal. 162
3.18Seccao de cabo de fibra optica com a colocacao das fibras segundo uma
estrutura fractal. 163
3.19Misturadores de fluıdos com forma fractal, 164
3.20Conjunto de Mandelbrot 165
3.21Imagens digitais criadas por processos identicos ao do Conjunto de Mandelbrot.166
3.22Quadro de Paul Jackson Pollock. 169
3.23Padrao fractal obtido pela compressao de tinta entre duas folhas de papel. 169
3.24Vista aerea de uma povoacao em Ba-Ila e as primeiras tres iteracoes do modelo
fractal correspondente. 170
3.25Vista aerea da cidade de Logone-Birni 171
3.26Projecto de Kazimir Malevich. 172
3.27Mosteiro da Batalha. 173
3.28Esboco de Da Vinci de uma catedral. 174
LISTA DE FIGURAS xix
3.29Atractor de Lorenz. 176
4.1 Esta folha foi, na verdade, desenhada por computador a partir de um SFI; mas
parece bem verdadeira! 241
4.2 A folha e a reuniao de tres contraccoes de si mesma. 242
4.3 A esquerda, a folha que se pretende representar atraves de um fractal definido por
um SFI e a direita, a reuniao de seis imagens dessa folha atraves de seis contraccoes
diferentes juntamente com o contorno da folha original. 246
4.4 Comparacao da forma original com a forma obtida ao fim de seis iteracoes atraves
de um SFI constituıdo por seis contraccoes. 246
Lista de Tabelas
1.1 Coeficientes de cada uma das contraccoes do Exemplo 17. 50
2.1 Valores obtidos a partir da contagem de caixas que intersectam a Figura 2.14. 129
4.1 Conceitos matematicos implıcitos em cada uma das Propostas. 187
4.2 Conceitos matematicos implıcitos em cada uma das Propostas. 188
xxi
Introducao
xxiii
xxiv INTRODUCAO
AS MINHAS MOTIVACOES xxv
As Minhas Motivacoes
Ao longo do tempo, na minha actividade como docente tenho-me preocupado em
leccionar Matematica aos alunos da forma o mais atractiva possıvel, tentando ir ao
encontro das suas expectativas e dos seus interesses. A intencao e conseguir que os
conteudos programaticos adquiram um sentido pratico e, daı, sejam melhor compreen-
didos e adquiridos. Apresentar actividades que relacionem a Matematica com o real
e utilizar as novas tecnologias foram sempre duas das minhas apostas por considerar
que sao estrategias bastante eficazes no que diz respeito a motivacao dos alunos para
o estudo da Matematica. Entender a relacao da Matematica com a realidade aclara
nos alunos a ideia da utilidade da aprendizagem que se pretende que efectuem. Por
conseguinte, a Matematica pode tornar-se necessaria para eles, o que por si so pode
ser um factor facilitador da aquisicao e compreensao dos conceitos. Por outro lado, a
utilizacao do computador, das calculadoras graficas e de outros aparelhos electronicos
pode tornar mais visual, mais concreta e, portanto, mais apelativa, qualquer tarefa que
se apresente aos alunos da era actual.
Com base nestes dois pontos, e a medida que fui tendo contacto com o tema dos
Fractais, este veio a suscitar-me um interesse crescente, por notar que tem potenciali-
dades para ir ao encontro desse objectivo. Comecei por notar a forma como o estudo
de um so fractal pode conectar uma vasta lista de conceitos matematicos e como a sua
representacao grafica no computador pode tornar esse objecto de estudo muito inte-
ressante e apelativo. Depois, de forma mais gradual, fui-me dando conta da enorme
aplicabilidade destes objectos geometricos ao estudo de elementos e fenomenos naturais
o que torna, portanto, perfeitamente evidente a ligacao da Matematica com o real.
A primeira vez que ouvi falar sobre Fractais foi no primeiro ano da licenciatura em
Ensino da Matematica. Nao existia no curso uma disciplina dedicada ao assunto, mas
o topico foi referido algumas vezes pelo Professor Sousa Ramos durante as suas aulas
de Introducao a Computacao. Apesar de ter recebido muito pouca informacao sobre o
xxvi INTRODUCAO
assunto, de algum modo ele me suscitou interesse que me incitou a aproveitar outras
oportunidades que foram surgindo para escutar varias pessoas a falarem sobre fractais.
Mais tarde aproveitei a oportunidade oferecida pela disciplina de “Seminario de
Matematica para o Ensino” integrada na parte curricular do Mestrado em Matematica
para o Ensino, para explorar o tema dos Fractais. Produzi um trabalho que consistiu
no estudo teorico do conceito enquanto ponto fixo de um sistema de funcoes itera-
das seguido da enumeracao dos conceitos matematicos constantes nos programas de
Matematica do ensino basico e secundario que podem estar associados ao estudo de
sistemas de funcoes iteradas. Este trabalho veio a constituir a base de desenvolvimento
do Capıtulo 1 desta dissertacao.
No congresso anual de professores de Matematica (Profmat 2003) em Santarem
orientei uma sessao pratica de tres horas sobre fractais onde, depois de uma explicacao
sobre o conceito, apresentei aos professores participantes algumas das actividades que
podem ser realizadas com os alunos para que as resolvessem eles mesmos e depois
as comentassem. Voltei depois a dinamizar uma accao identica na Escola Secundaria
c/ 3o C.E.B. da Batalha tambem dirigida aos professores de Matematica e, das duas
experiencias, depreendi que seria importante organizar melhor as actividades que tinha
ja pensadas para os alunos de forma a que estas pudessem estar disponıveis e acessıveis
a mais professores que possam interessar-se pelo assunto.
Em Setembro de 2004 participei numa Accao de Formacao onde estavam presentes
professores de diversas disciplinas, intitulada “Interdisciplinaridade e Computacao no
Ensino Secundario” e cujo objectivo era aprender as bases de programacao em NetLogo,
uma linguagem que funciona com uma plataforma auxiliar de apresentacao grafica e
que permite criar programas de simulacao de situacoes reais nas mais variadas vertentes
do estudo das ciencias. O trabalho que realizei como produto final e para avaliacao da
minha aprendizagem nessa accao de formacao, incidiu mais uma vez sobre o tema dos
fractais e consistiu na criacao de programas em NetLogo que permitem ao utilizador a
construcao de fractais e na elaboracao de algumas propostas de trabalho para alunos do
AS MINHAS MOTIVACOES xxvii
ensino secundario, que lhes pede que explorem alguns conceitos matematicos atraves da
construcao e analise de fractais recorrendo ao software criado. Mais uma vez senti que
seria importante aprofundar este trabalho de forma a introduzir mais alguns aspectos e
a melhorar outros, para depois o poder aplicar na sala de aula e tambem disponibiliza-lo
a quem possa estar interessado em o utilizar.
O trabalho resultante destas ultimas experiencias constituiu o ponto de partida
para o Capıtulo 4 onde e apresentado um conjunto de propostas de actividades para
trabalhar com os alunos, tendo o NetLogo perdido alguma relevancia em detrimento
de outros softwares que tambem sao sugeridos.
Foi com a realizacao do trabalho de “Seminario de Matematica para o Ensino”
que comecei a aperceber-me que o estudo dos fractais se encontrava em franca ex-
pansao devido a sua aplicabilidade num vasto leque de areas. Apesar de se tratar
de um tema bastante recente (so lhe foi dada importancia a partir da segunda me-
tade do seculo XX), os fractais ja demonstraram ter correlacao com quase todos os
domınios do conhecimento e surgem constantemente novas aplicacoes dos mesmos. Os
fractais “puros” estao patentes apenas na Matematica, mas podem servir para modelar
fenomenos e objectos da Fısica, da Astronomia, da Sismologia, da Meteorologia, da Bi-
ologia, da Medicina, das Ciencias Humanas, da Economia, de diversas formas de Arte,
da Informatica, da Industria, etc, etc,... Esta constatacao levou-me a considerar que
a Geometria Fractal merece ser apresentada aos alunos a partir do ensino basico e fez
com que o seu papel nas propostas de actividades apresentadas no ultimo capıtulo deste
trabalho deixasse de ser apenas o de elo de conexao entre conceitos matematicos e o de
ilustracao da aplicacao dos mesmos, para passar a ser como que o actor principal, isto e,
o assunto que interessa realmente estudar. A necessidade de fundamentar esta opiniao
deu origem ao Capıtulo 3, onde tento dar uma visao abrangente das possibilidades de
utilizacao e aplicacao da Geometria Fractal.
Assim, e possıvel encontrar no estudo dos conjuntos fractais um manancial de
topicos para trabalhar com os alunos em actividades de exploracao e de investigacao
xxviii INTRODUCAO
tanto na aula de Matematica, como noutras situacoes em que a Matematica se pode
conectar de forma estreita com outras disciplinas. Um dos espacos privilegiados para
esse efeito podera ser a disciplina de Area de Projecto, quer no ensino basico, quer no
ensino secundario, pelo que algumas das propostas mais abertas e multidisciplinares
serao apresentadas para o ambito desta disciplina.
O conceito de fractal, nao sendo facil de definir formalmente, e bastante facil de
entender e pode ser trabalhado com alunos desde os mais jovens ate aos do ensino
secundario. Ao realizar tarefas sobre fractais, desde a interiorizacao do conceito, a
construcao dos mesmos (apoiada ou nao por suporte informatico) ou a analise das suas
propriedades, o aluno pode aplicar, desenvolver, aprofundar e conectar variadıssimos
conceitos matematicos, muitos dos quais fazem parte dos conteudos programaticos do
ensino basico e do ensino secundario. No Capıtulo 4 e indicada a lista dos conteudos
programaticos da disciplina de Matematica que podem estar, de alguma forma, relaci-
onados com as actividades propostas.
As Origens da Geometria Fractal
A partir da segunda metade do seculo XIX, foram sendo apresentados alguns dos
objectos hoje tidos como fractais. Exemplos disso sao alguns dos Fractais classicos fa-
mosos que serao mostrados durante este trabalho, como e o caso do Conjunto de Cantor
(ver Exemplo 11, pagina 38) introduzido pelo matematico alemao Georg Cantor (1845-
1918) em 1883, da Curva de Peano que percorre todos os pontos de um quadrado (ver
Exemplo 13, pagina 40), apresentada em 1890 pelo matematico alemao Giuseppe Pe-
ano (1858-1932), da Curva de Koch (ver Exemplo 40, pagina 122) que apareceu num
trabalho do matematico sueco Helge von Koch (1870-1924) em 1904 e do Triangulo de
Sierpinski (ver Exemplo 1, pagina 21 e Exemplo 9, pagina 37) apresentado pelo ma-
tematico polaco Waclaw Sierpinski (1882-1969) em 1915.[48] Nao havia, nessa altura,
quase nenhuma representacao grafica destes conjuntos porque a inexistencia de com-
putadores na epoca obrigava a que se dispendesse muito tempo em calculos fastidiosos
sem, no entanto, se produzirem grandes resultados graficos. Por vezes, conjuntos deste
AS ORIGENS DA GEOMETRIA FRACTAL xxix
tipo, com propriedades estranhas - curvas que nao eram diferenciaveis em nenhum
ponto, auto-semelhantes, com comprimento indefinido ou que nao podia ser medido,
as quais o conceito de dimensao topologica parecia nao se adequar - eram vulgarmente
apelidados de “monstros” e de “casos patologicos” sem interesse matematico e eram
apresentados sem qualquer suporte de imagem ou apenas acompanhados por esbocos
de pouca qualidade grafica. Exemplos disso sao esbocos de movimentos fısicos e de
movimentos brownianos simulados nos livros Les Atomes do fısico frances Jean Perrin
(1870-1942) de 1913 e Introduction to Probability do matematico croata William Feller
(1906-1970) de 1950, e aqueles que viriam a ser dos primeiros conjuntos a ser apelidados
de fractais, que apareceram no trabalho dos matematicos franceses Pierre Fatou (1878-
1929) e Gaston Julia (1893-1978), por volta de 1918, sem terem sido representados
graficamente nessa epoca[5].
Em 1945, um tio de Benoıt Mandelbrot - Szolem Mandelbrot, um matematico
franco-polaco - recomendou-lhe a leitura de um trabalho de 300 paginas de Gaston
Julia intitulado Memoire sur la iteration des fonctions rationelles, publicado em 1918
no Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, e que foi um documento precursor
da moderna teoria dos sistemas dinamicos.
Em 1970 Benoıt Mandelbrot, tambem ele matematico frances nascido na Polonia
em 1924, retomou o interesse pelas questoes relacionadas com a publicacao de Gas-
ton Julia e, com a ajuda dos meios computacionais que tinha ao seu dispor na IBM,
onde trabalhava, iniciou a partir de 1957 no centro de investigacao Thomas J. Wat-
son, o seu estudo. Comecou por estudar series temporais relacionadas com precos e
posteriormente com um problema que, naquela epoca, preocupava os tecnicos da mul-
tinacional, e que estava relacionado com o ruıdo das linhas telefonicas utilizadas para
interligar computadores. A informacao transmitia-se mediante impulsos electricos, e
a consequencia do ruıdo era o eventual desaparecimento de um fragmento de sinal.
Mandelbrot propos um modelo que se inspirava directamente no conjunto de Cantor
xxx INTRODUCAO
e demonstrou que nao era possıvel eliminar os ruıdos, mas poder-se-ia estabelecer um
controlo dos mesmos mediante oportunas estrategias de redundancia.
Em 1962, Mandelbrot publicou a memoria Sur certains prix speculatifs: faits em-
piriques et modele base sur les processus stables additifs de Paul Levy, uma das suas
primeiras referencias sobre series temporais em financas. Em 1967 publicou How Long
is the Coast of Britain? Statistical Self-similarity and Fractional Dimension, sobre um
tema que encontrou numa publicacao postuma do cientista britanico Lewis F. Richard-
son.
E assim se foram dando os primeiros passos do desenvolvimento de uma geome-
tria fractal sistematica, que incluıa o seu aspecto grafico, levado a cabo por Benoıt
Mandelbrot, praticamente sozinho durante dez anos. Posteriormente passou a incluir
programadores que foram sendo pessoas diferentes ao longo do tempo, parte deles
estagiarios na IBM[5].
Todo este trabalho de investigacao viria a dar origem ao seu ensaio de 1975 in-
titulado Les objects fractales: forme, hasard et dimension. E nesse trabalho que e
introduzido o termo fractal a partir do adjectivo latino fractus, do verbo frangere,
que significa quebrar[48]. E por isso que este matematico e hoje apelidado de pai da
geometria fractal ja que foi tambem a partir deste seu ensaio que comecou verdadei-
ramente a desenvolver-se um interesse crescente, por parte da comunidade cientıfica,
pela geometria fractal.
A partir de 1975 foi sendo possıvel desenhar fractais com recurso aos computadores.
Mais tarde, Benoıt Mandelbrot, foi um dos primeiros a utilizar o computador para
processar iteracoes sucessivas de equacoes[6].
Em 1980, novamente com a ajuda de um computador, Mandelbrot apresenta o pri-
meiro tracado detalhado do grafico de um conjunto deduzido da avaliacao do parametro
de um sistema dinamico no campo complexo: z → z2 + c sendo c um numero com-
plexo, que e o parametro em questao. O dito conjunto (hoje denominado conjunto de
OS CONCEITOS DE FRACTAL E DE DIMENSAO FRACTAL xxxi
Mandelbrot) e provavelmente o fractal mais popular e, possivelmente, um dos objectos
matematicos contemporaneos visualmente mais conhecidos pelo grande publico.
Richard F. Voss que tambem trabalhou temporariamente na IBM, apareceu quando
Mandelbrot estava a traduzir o livro Les objects fractals e criou um sistema grafico
computacional inovador que permitiu criar imagens de fractais ate entao nunca vistas
e que foram publicadas no livro Fractals. Os graficos com cor apareceram no livro
seguinte de Mandelbrot, Fractal Geometry of Nature, na edicao de 1982. Trata-se de
un ensaio onde Mandelbrot coloca os fractais num sem numero de contextos cientıficos.
Um pouco mais tarde aplicaram-se estes metodos e outros mais avancados a criacao de
imagens de paisagens e de galaxias para filmes como os da saga Star Trek [5].
Benoit B.Mandelbrot, com o seu enorme e criativo trabalho introduziu o conceito
de geometria fractal e ao escrever variadıssimos artigos que lidam com a geometria
de fenomenos observados em varios campos da ciencia, gerou um interesse sobre este
assunto que se foi alastrando[4, pag. 3].
A geometria fractal fomenta a interdisciplinaridade, comecando nos proprios li-
vros de Mandelbrot que discutem arvores, rios, pulmoes, linhas de agua, turbulencia,
economia, frequencia de palavras num texto, e muitos outros topicos interligados por
conceitos geometricos[4, pag. 3].
Os Conceitos de Fractal e de Dimensao Fractal
Durante seculos, os objectos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana
foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. No
entanto, outras geometrias nao-euclidianas foram sendo descobertas e aplicadas a mo-
delacao de certos fenomenos do Universo. O mesmo sucedeu com a geometria fractal
que pode ser aplicada a um quase sem numero de objectos e de fenomenos naturais, de
fenomenos sociais, e ser ainda usada como fonte de inspiracao para varios tipos de arte
e, de mao dada com a Teoria do Caos, permitir a modelacao e o estudo de movimentos
ou fenomenos aparentemente totalmente aleatorios[4, pag. 3].
xxxii INTRODUCAO
A geometria euclidiana e aquela que e apresentada na escola a todas as criancas. Os
polıgonos e os poliedros regulares fazem parte da historia da Matematica como elemen-
tos que serviram de base para a compreensao da Natureza atraves da Matematica. As
criacoes humanas servem-se maioritariamente das formas geometricas euclidianas para
as suas construcoes. Edifıcios, objectos industriais e do quotidiano podem, por norma,
ser modelados de modo aceitavel por essas formas de limites “lisos” - paralelepıpedos,
cilindros, quadrilateros, entre outros. Essas mesmas formas tambem serviram, durante
muito tempo, para modelar a Natureza. Em alguns casos continua a fazer sentido
utiliza-las. E o caso da esfera que serve perfeitamente como primeira aproximacao de
modelo da forma da Terra, da elipse como modelo das orbitas celestes e da parabola
como trajectoria de projecteis. No entanto, a maior parte das formas apresentadas pela
Natureza nao sao regulares nem suaves; pelo contrario, sao extremamente complexas,
recortadas e irregulares. E o caso da grande parte das arvores e plantas (ramos, folhas,
tronco,...), das rochas, das nuvens, dos relampagos, etc. So de uma maneira muito
tosca se podera modelar formas deste tipo pela geometria euclidiana. A geometria
fractal, essa sim, fornece algoritmos para construcao de formas identicas as naturais e
tambem ferramentas para o estudo das mesmas.
Nao ha uma definicao exacta e acabada de fractal. Inicialmente, Benoit Mandelbrot
apresentou, com relutancia uma definicao de fractal, reforcando que se tratava apenas
de uma tentativa de definicao e, mais tarde, retirou essa definicao[4, pag. 1-2].
Foi na obra The Fractal Geometry of Nature que definiu fractal como um conjunto
cuja dimensao de Hausdorff-Besicovitch e estritamente maior que a sua dimensao to-
pologica (A dimensao topologica de um conjunto e sempre um numero inteiro e e 0
se for totalmente desconexo, 1 se cada um dos seus pontos possuir vizinhancas ar-
bitrariamente pequenas com fronteiras de dimensao 0, etc...) Esta definicao, apesar
de correcta e precisa, revelou-se insatisfatoria ja que excluıa alguns casos de conjun-
tos que deveriam ser considerados fractais. Outras tentativas de definir fractal foram
OS CONCEITOS DE FRACTAL E DE DIMENSAO FRACTAL xxxiii
surgindo, mas todas pareciam ter o mesmo problema[2, pag. XX]. Mais tarde, Man-
delbrot propos outra definicao: Um fractal e uma forma composta de partes que de
algum modo sao semelhantes ao todo[4, pag. 11]. Tem sido propostas varias outras
definicoes e, de facto, esta-se diante de um conceito geometrico para o qual ainda nao
existe uma definicao precisa, nem uma teoria unica e genericamente aceite[39].
Segundo a primeira definicao, um quadrado nao e um fractal. Mas se for visto
como o resultado de uma Curva de Peano (ver Exemplo 13, pagina 40), cuja dimensao
topologica e 1, ja podera ser considerado um fractal. Um objecto geometrico e tido
como um fractal se possuir pelo menos algumas das seguintes caracterısticas:
• Tem uma “estrutura fina”, isto e, contem detalhe a escala arbitrariamente
pequena e quanto mais se amplia a sua imagem, mais detalhes e possıvel
observar.
• E demasiado irregular para poder descrever-se facilmente nos termos classicos,
quer em termos globais quer ao nıvel da sua geometria local, isto e, nao se trata
do lugar de pontos que satisfaz uma determinada condicao nem dos pontos
que representam o conjunto-solucao de uma equacao simples, sendo tambem
complicado descrever o que se passa a volta de cada um dos seus pontos.
• Possui algum tipo de auto-semelhanca (exacta, aproximada ou estatıstica), isto
e, contem copias de si proprio a varias escalas. Um fractal auto-semelhante
“puro” contem copias de si proprio a escalas tao pequenas quanto se queira.
Na Natureza, o intervalo de escalas a que o fractal se representa dentro de si
mesmo e limitado.
• Pode construir-se a partir de um processo muito simples e directo podendo
eventualmente obter-se atraves de um procedimento recursivo que gera, em
cada passo (iteracao), uma melhor aproximacao do fractal.
• As definicoes classicas de medida (como a de Lebesgue, por exemplo), podem
nao ser apropriadas para indicar o seu “tamanho”, e a sua dimensao fractal e
maior que a sua dimensao topologica.
xxxiv INTRODUCAO
Um fractal pode ter todas estas caracterısticas, ou apenas algumas. Pode ainda,
apresentar outras caracterısticas nao mencionadas aqui mas que sejam de interesse.
De qualquer forma, qualquer fractal que se preze desse nome tera uma estrutura fina
com detalhes a qualquer escala, isto e, complexidade infinita, que permite amplia-lo
infinitamente obtendo sempre “copias” dele mesmo no seu interior. E esta aborda-
gem parece ser melhor do que optar por uma definicao que possa excluir alguns casos
eventualmente interessantes.
Podem ser considerados varios tipos de auto-semelhanca. Um fractal dir-se-a estri-
tamente auto-semelhante ou com auto-semelhanca exacta quando for composto apenas
por reducoes de si mesmo a varias escalas, como e o caso do Triangulo de Sierpinski
(ver Exemplo 1, pagina 21 e Exemplo 9, pagina 37). Um fractal dir-se-a auto-afim
ou com auto-semelhanca aproximada quando for composto por varias contraccoes (ver
Definicao 13, pagina 22) de si mesmo, como e o caso do feto do Exemplo 14, pagina 42.
Um fractal pode ainda ter uma auto-semelhanca estatıstica quando contiver dentro si,
a escalas tao pequenas quanto se queira, formas estatisticamente identicas a sua forma
global. E o caso do fractal que se obtem com o mesmo processo da Curva de Koch
(ver Exemplo 40, pagina 122) acrescentando o facto de se sortear, em cada passo, o
lado para o qual se constroi a nova saliencia da curva. Os fractais com este tipo de
auto-semelhanca dizem-se aleatorios e nao serao estudados neste trabalho.
Entretanto, nem todos os objectos auto-semelhantes sao considerados fractais. A
recta real (uma linha recta Euclidiana), por exemplo, e exactamente auto-semelhante,
mas nao tem uma estrutura fina, tıpica de um fractal.
Nao ha fractais “puros” na Natureza, tal como nela tambem nao existem esferas
perfeitas. Os fractais podem ser uteis para modelar objectos e fenomenos naturais,
desde a escala atomica (na turbulencia de fluidos, por exemplo) ate ao tamanho do
Universo (constituicao de galaxias, por exemplo), porem, em cada caso, a sua auto-
semelhanca nao sera repetida infinitamente, mas apenas num determinado intervalo de
escalas.
OS CONCEITOS DE FRACTAL E DE DIMENSAO FRACTAL xxxv
Os fractais podem tambem ser divididos em varias categorias segundo o modo como
sao formados ou gerados:
• Fractais definidos por uma relacao de recorrencia em cada ponto do espaco,
como e o caso do Conjunto de Mandelbrot.
• Fractais aleatorios, gerados por processos estocasticos ao inves de determinısticos.
• Ponto fixo de um sistema de funcoes iteradas: Um conjunto de funcoes e
aplicado sucessivamente, a um subconjunto compacto de um espaco metrico,
um numero infinito de vezes.
Apenas este ultimo tipo de fractais referido sera tratado neste trabalho.
Uma das ferramentas importantes para o estudo e analise de conjuntos fractais e
a dimensao fractal. Existem varias definicoes que podem nao gerar o mesmo valor
quando aplicadas ao mesmo conjunto e e necessario saber sempre, em cada momento,
com qual das definicoes se esta a trabalhar.
O valor da dimensao e um indicador da quantidade de espaco que ocupa um deter-
minado conjunto. E uma medida das proeminencias das irregularidades de um conjunto
quando observado a uma escala muito pequena. No Capıtulo 2 serao tratadas duas das
mais utilizadas habitualmente: a dimensao de Hausdorff e a dimensao de contagem
de caixas. Quando nao for relevante acerca de qual das duas se fala, dir-se-a dimensao
fractal.
Curiosamente, o conceito de dimensao de Haudorff foi apresentado muito antes dos
ditos “casos patologicos” constituıdos por conjuntos hoje conhecidos como fractais, em
1918, pelo matematico alemao Felix Hausdorff (1868-1942)[48] e e util como quantifi-
cador da dimensao de conjuntos muito irregulares em qualquer espaco metrico sendo,
por isso, uma das definicoes de dimensao fractal mais usadas. E muitas vezes dita di-
mensao de Hausdorff-Besicovitch por ter sido Besicovitch (1891-1970), um matematico
russo, a introduzir muitos desenvolvimentos tecnicos que permitem a computacao da
dimensao de Hausdorff em conjuntos muito irregulares[48].
xxxvi INTRODUCAO
A origem da dimensao de contagem de caixas nao e facil de determinar; parece ter
sido considerada primeiramente pelos pioneiros estudiosos da dimensao e da medida
de Hausdorff, mas tera sido inicialmente rejeitada por parecer menos satisfatoria do
ponto de vista matematico.
A ideia de definir medida a partir de recobrimentos do conjunto, foi introduzida em
1914 pelo matematico grego Caratheodory (1873-1950).
Os fractais sao conhecidos por terem habitualmente uma dimensao fractal nao in-
teira. No entanto, ha fractais com dimensao inteira e ha conjuntos com dimensao fractal
nao inteira que nao deverao ser considerados fractais por nao possuırem algumas das
propriedades tıpicas dos fractais.
A Estrutura deste Trabalho
Este trabalho e baseado em muitos documentos, mas os que fundamentam a maior
parte do seu conteudo sao os seguintes: No Capıtulo 1, Fractals Everywhere de Mi-
chael Barnsley[1]; no Capıtulo 2, Curso de Fısica-Matematica de Joao Barata[33],
Fractal Geometry - Mathmatical Foundations and Applications de Keneth Falconer[2]
e novamente Fractals Everywhere de Michael Barnsley[1]; no Capıtulo 3, predominan-
temente os livros Fractals de Jens Feder[4] e Fractals in Biology and Medicine de T.
F.Nonnenmacher, G. A. Losa e E. R. Weibel[14] entre outros e, entre muitos textos
disponıveis na internet, destaca-se o artigo Fractals in the Biological Sciences de N.C.
Kenkel e D.J. Walker[34] e o conteudo do site A Panorama of Fractals and Their
Uses [40]; no Capıtulo 4, para alem da consulta aos varios programas oficiais para a
disciplina de Matematica, quer para o ensino basico, quer para o ensino secundario,
foram de grande importancia os livros Fractals for the Classroom, Part One, Intro-
duction to Fractals and Chaos de Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jurgens e Dietmar
Saupe[10] bem como os tres volumes de Fractals for the Classroom, Strategic Activi-
ties de Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jurgens, Dietmar Saupe, Evan Maletsky, Terence
Perciante e Lee Yunker[11][12][13] e ainda Fractals, A tool Kit of Dynamics Activi-
ties de Jonathan Choate, Robert Devaney e Alice Foster[9], Descobrindo a Geometria
A ESTRUTURA DESTE TRABALHO xxxvii
Fractal para a Sala de Aula de Ruy Madsen Barbosa[7], Fractais no Ensino Secundario
de Ana Paula Canavarro e Outros[21], Els Fractals - Introduccio practica als fractals
IFS. Credit de Iliure eleccio per a alumnes d’ESO um trabalho nao editado de Oriol
OLIVE [30] e todo o conteudo dos sites Fractal Geometry da responsabilidade de Mi-
chael Frame, Benoıt Mandelbrot e Nial Neger[41], Pattern Exploration: Integrating
Math and Science for the Middle School, um projecto para formacao de professores do
Departamento de Ciencias Matematicas da Florida Atlantic University[43] e Patterns
in Nature, um projecto do Center for Polymer Studies da Universidade de Boston[42].
Dada a diversidade de notacao de livro para livro, foi necessario proceder a escolhas
e a ajustes de modo a torna-la uniforme em todo este trabalho.
No Capıtulo 1 e apresentado o conceito de fractal enquanto ponto fixo de um Sis-
tema de Funcoes Iteradas, com a devida apresentacao dos elementos teoricos necessarios
e a analise de alguns exemplos. No Capıtulo 2, e apresentado o conceito de dimensao
fractal sendo estudadas duas das possıveis definicoes de dimensao fractal - a dimensao
de Hausdorff e a dimensao de contagem de caixas. A primeira e feita a partir da
Construcao de Medida de Caratheodory pelo que os conceitos matematicos necessarios
serao previamente apresentados, sendo tambem mostrados alguns exemplos ao longo
de todo o capıtulo. O Capıtulo 3 contem uma compilacao de aplicacoes possıveis da
geometria fractal e, sendo um capıtulo ligeiro na medida em que os exemplos apresen-
tados nao estao fundamentados teoricamente, tem interesse, para se poder perceber
a importancia que esta geometria tem vindo a alcancar dada a sua enorme utilidade
e aplicabilidade nas mais variadas areas do conhecimento. Finalmente, o Capıtulo 4
contem um conjunto de propostas de actividades para realizar com os alunos do ensino
nao universitario quer na aula de Matematica, quer noutros ambientes mais abertos
como e o caso do da disciplina de Area de Projecto. A ideia inicial era a de encontrar
propostas de actividades que utilizassem os fractais como meio de estudo de varios
conceitos matematicos, ja que isso e possıvel, dada a grande conexao que existe entre
xxxviii INTRODUCAO
a geometria fractal e diversos topicos da matematica. Essas actividades estariam per-
feitamente enquadradas nos programas actuais. No entanto, o interesse pela geometria
fractal em si falou mais alto. Com o desenrolar deste trabalho, a geometria fractal dei-
xou de ser apenas um meio que eu poderia utilizar para estudar com os alunos outros
topicos da matematica de forma mais apelativa, para passar a ser o objecto principal
de estudo. E o que aqui se apresenta e um conjunto de actividades que, fazendo a ponte
com muitos conteudos programaticos dos programas oficiais de matematica pretende,
acima de tudo, explicar o conceito de fractal, estudar algumas das suas propriedades e
revelar a sua importancia para o mundo actual.
CAPıTULO 1
Fractais definidos por Sistemas de Funcoes Iteradas
1
2 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 3
O conceito de fractal e simples e, no entanto, nao e facil defini-lo de modo formal;
dir-se-a ate que se trata de uma ideia que se torna mais util quando entendida de
forma abrangente atraves das muitas imagens e contextos que a ele se referem. Neste
capıtulo ver-se-a como pode definir-se um fractal atraves de um sistema de funcoes
iteradas. Fractais deste tipo sao a reuniao de varias partes que sao, de alguma forma,
semelhantes ao todo. Por exemplo, o Conjunto de Cantor (um dos fractais classicos
mais famosos), como se vera (na pagina 38), e a reuniao de duas copias reduzidas de
si mesmo e tem, por isso, auto-semelhanca exacta.
Esta propriedade da auto-semelhanca, para alem de ser uma das caracterısticas dos
fractais, pode tambem ser usada para os definir. Sera esse o assunto principal deste
capıtulo. Demonstrar-se-a que aplicando a um conjunto, em simultaneo e sucessivas
vezes, uma famılia de transformacoes que o contraem (chamada Sistema de Funcoes
Iteradas - SFI), obter-se-a, apos a repeticao deste processo infinitas vezes, um conjunto
que e unico e que pode ter as caracterısticas de um fractal. Sera interessante reparar em
como um pequeno numero de aplicacoes pode definir um conjunto com uma estrutura
altamente intrincada.
Para a definicao de um SFI sera necessario introduzir previamente os conceitos de
metrica, de espaco metrico, de metrica de Hausdorff, de contraccao e de ponto fixo.
Para alem destes, todos os outros conceitos matematicos necessarios serao tambem
apresentados oportunamente.
Serao tambem dados exemplos dos diversos conceitos que irao sendo apresentados e
construir-se-ao alguns fractais (melhor dito, aproximacoes de fractais), quer recorrendo
a SFI simples, quer a SFI com condensacao.
A ultima parte do capıtulo e dedicada ao Teorema da Colagem que indica o grau de
aproximacao entre o fractal produzido por um SFI e um objecto previamente escolhido,
que se pretenda modelar com esse SFI.
4 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Os fractais definidos por sistemas de funcoes iteradas constituem apenas uma pe-
quena classe dos fractais, mas esta forma de construir fractais e muito util para traba-
lhar o conceito de fractal com os alunos dos ensinos basico e secundario porque, por um
lado e simples de entender e, por outro, pode interligar muitos conceitos matematicos.
No Capıtulo 4 serao apresentadas algumas propostas de actividades para a sala de
aula, em que se utilizam sistemas de funcoes iteradas, e onde se podera notar a grande
conexao entre este topico e um vasto leque de conceitos matematicos. Alem disso, o
facto de se conseguirem desenhar fractais, recorrendo a SFI’s, que se assemelham a
objectos naturais (como folhas e plantas, por exemplo) e, nao so muito interessante,
como pode ser o mote para um conjunto alargado de actividades com fractais de ındole
multi e interdisciplinar.
Para principiar, pode dizer-se que um Fractal e um subconjunto “complicado”de
um espaco metrico “simples”, tal como R, R2, [0, 1], C e C, entre outros. Teoricamente,
qualquer espaco metrico, desde que completo, serve para construir um fractal, mas na
pratica interessam aqueles que facilmente se podem representar graficamente, como e
o caso de R, R2, C e C e seus subespacos.
Essa forma ”complicada”pode obter-se como resultado de um sistema de funcoes
iteradas (SFI). Segundo a abordagem que se apresenta de seguida: Um Fractal e o ponto
fixo de um sistema de funcoes iteradas num espaco metrico munido de uma metrica
de Hausdorff. De seguida, explicar-se-ao todos os aspectos necessarios a compreensao
desta definicao, a saber:
• O que e um espaco metrico;
• O que e um espaco metrico munido de uma metrica de Hausdorff;
• O que e um sistema de funcoes iteradas;
• O que e um ponto fixo de um sistema de funcoes iteradas.
2. CONCEITO DE ESPACO METRICO COM METRICA DE HAUSDORFF 5
1. Conceito de espaco metrico
Qualquer conjunto X pode ser encarado como um espaco, em que os seus elementos
sao os “pontos” desse espaco. Para se obter um espaco metrico, e necessario definir em
X uma metrica que e uma aplicacao d : X ×X → R com as seguintes propriedades:
• d(x, y) = d(y, x),∀x, y ∈ X;
• 0 < d(x, y) <∞,∀x, y ∈ X, x 6= y;
• d(x, x) = 0,∀x ∈ X;
• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y),∀x, y, z ∈ X.
Tendo uma aplicacao deste tipo definida em X, diz-se que X, juntamente com essa
aplicacao formam um espaco metrico (e. m.) que se designa por (X, d).
2. Conceito de espaco metrico com metrica de Hausdorff
Antes de se construir a metrica de Hausdorff e necessario introduzir alguns concei-
tos, o que se fara de imediato.
Definicao 1. Seja (X, d) um espaco metrico. Diz-se que X e completo se para
cada sucessao de Cauchy {xn}∞n=1 de elementos X, existe x ∈ X tal que xn → x .
Definicao 2. Seja (X, d) um espaco metrico e A um subconjunto de X. Diz-se
que A e compacto se toda a sucessao de elementos de A admite pelo menos uma
subsucessao com limite em A.
Assim, dado um e.m. completo (X, d), designe-se por H(X ) o espaco cujos
pontos sao os subconjuntos compactos e nao vazios de X. E agora define-se uma
metrica em H(X ).
Sendo (X, d) um e.m. completo, x um elemento de X e A e B elementos de H(X ),
definir-se-a a metrica de Hausdorff, percorrendo as seguintes etapas:
(1) Definicao de distancia de x a A;
(2) Definicao de distancia de A a B;
(3) Definicao de uma metrica em H(X ).
6 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Faca-se agora, entao, esse percurso.
Definicao 3. Seja (X, d) um e.m., A ∈ H(X ) e x um ponto de X. A distancia
do ponto x ao subconjunto compactoA e dada por d(x,A) = min{d(x, a) : a ∈ A}.
Figura 1.1. Distancia de um ponto x a um conjunto compacto A.
E necessario verificar que a distancia de x a A esta bem definida desta forma,
isto e, que o conjunto {d(x, a) : a ∈ A} tem mınimo. Sabe-se, desde ja, que esse
conjunto e nao vazio porque A, sendo um elemento deH(X ), tambem e nao vazio. Para
chegar a conclusao pretendida sera necessario introduzir previamente uma definicao e
demonstrar duas proposicoes.
Definicao 4. Seja S ⊂ R diz-se que o ınfimo de S e −∞ se S contem numeros
tao arbitrariamente grandes negativos quanto se queira. Caso contrario, diz-se que o
ınfimo de S = max{x ∈ R : x ≤ s,∀s ∈ S} e denota-se o ınfimo de S por inf S.
De seguida, define-se em X a funcao distancia a um ponto e verifica-se a sua con-
tinuidade.
Proposicao 1. Seja X um e.m. e seja x ∈ X. Considere-se a aplicacao
dx : X → R
y → d(y, x).
Entao, dx(y) e uma funcao contınua.
2. CONCEITO DE ESPACO METRICO COM METRICA DE HAUSDORFF 7
Demonstracao. Sabe-se, pela propriedade da desigualdade triangular, que para
quaisquer elementos y, z e x de X se tem d(y, x) ≤ d(y, z) + d(z, x) donde, d(y, x) −
d(z, x) ≤ d(y, z). Invertendo os papeis de y e de z tambem se pode escrever que
d(z, x)− d(y, x) ≤ d(z, y) = d(y, z). Entao, |d(y, x)− d(z, x)| ≤ d(y, z), para quaisquer
elementos x, y e z de X, o que permite concluir que dx(y) e uma funcao contınua
porque para cada valor δ > 0, existe ε > 0 tal que d(y, z) < ε ⇒ |dx(y) − dx(z)| < δ,
bastando para tal escolher ε = δ . �
Proposicao 2. Seja (X, d) um e.m. completo, seja x ∈ X seja A ∈ H(X ). Entao
o conjunto {d(x, y) : y ∈ A} tem mınimo.
Demonstracao. Seja P = inf{d(x, y) : y ∈ A}. P e finito porque A e compacto
e a distancia entre dois pontos de um e.m. e sempre nao negativa. Quer-se mostrar
que existe a ∈ A tal que P = d(x, a).
Considere-se a funcao dx(y) definida na proposicao anterior. Seja {yn}∞n=1 uma
sucessao de elementos de A tal que d(x, yn) − P ≤ 1n, ∀n ∈ N. Desta forma, dx(yn)
tende para P quando n tende para infinito.
Sendo A um conjunto compacto, sabe-se que {yn}∞n=1 admite uma subsucessao
{yNi}∞i=1 em que N1 < N2 < N3 < . . ., com limite a ∈ A. Como dx(y) e uma funcao
contınua, entao {dx(yNi)}∞i=1 sera uma subsucessao de {dx(yn)}∞n=1, convergente para
dx(a). Mas, se dx(yn) tende para P , o mesmo acontecera com qualquer sua subsucessao,
donde P = dx(a) e, portanto, o conjunto {d(x, y) : y ∈ A} tem mınimo. �
E possıvel agora prosseguir o caminho rumo a definicao da metrica de Hausdorff.
Definicao 5. Seja (X, d) um e.m. e A e B dois subconjuntos compactos de X. A
distancia de A a B e dada por d(A,B) = max {d(a,B) : a ∈ A}.
Pelo mesmo argumento usado antes, e sabido que existe pelo menos um elemento
a de A e pelo menos um elemento b de B tais que d(A,B) = d(a, b).
8 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Figura 1.2. Distancia de A a B.
Como facilmente se pode ver, esta definicao de distancia entre os subconjuntos A
e B de X nao pode ser encarada como uma metrica em H(X ) pois, em geral, nao se
tem d(A,B) = d(B,A).
Figura 1.3. Distancia de A a B e distancia de B a A.
Definicao 6. Sendo (X, d) um e.m. completo e dados A, B ∈ H(X ), a distancia
de Hausdorff entre A e B e dada por h(A,B) = max {d(A,B), d(B,A)}.
Proposicao 3. Seja (X, d) um e.m. completo e A e B dois elementos de H(X ).
Entao a distancia de Hausdorff dada por h(A,B) = max {d(A,B), d(B,A)} e uma
metrica em H(X ).
Demonstracao. A propriedade da simetria resulta imediatamente da definicao:
para quaisquer dois elementos A e B de H(X ), h(A,B) = max {d(A,B), d(B,A)} =
max {d(B,A), d(A,B)} = h(B,A).
Veja-se agora que, sendo A e B elementos de H(X ) com A 6= B, entao h(A,B) e
um numero real positivo. Existem pelo menos um elemento a de A e um elemento b
de B tais que d(A,B) = d(a, b). Como d e uma metrica em X, entao 0 ≤ d(a, b) <∞
2. CONCEITO DE ESPACO METRICO COM METRICA DE HAUSDORFF 9
e, consequentemente, 0 ≤ d(A,B) <∞ e, de forma analoga, 0 ≤ d(B,A) <∞ , donde
0 ≤ h(A,B) <∞, quaisquer que sejam A e B de H(X ).
Mas, se A 6= B, entao pode dizer-se sem perda de generalidade que existe pelo
menos um elemento a de A que nao pertence a B, e portanto d(a,B) e positiva, o
mesmo acontecendo com d(A,B), que e limitada inferiormente por d(a,B). Assim,
0 < h(A,B) <∞.
A terceira propriedade a demonstrar e que para qualquer elemento A de H(X ) se
tem h(A,A) = 0. Ora,
h(A,A) = max {d(A,A), d(A,A)} = d(A,A) =
= max {d(a,A) : a ∈ A)} =
= max {min {d(a, a′) : a′A} : a ∈ A} = 0
porque a distancia entre dois pontos distintos e sempre positiva e d(a, a) = 0.
Finalmente ha que demonstrar a desigualdade triangular, ou seja, que para quais-
quer elementos A, B e C de H(X ) se tem h(A,B) ≤ h(A,C) + h(C,B). Sejam, entao,
A, B e C elementos de H(X ). Verifique-se primeiro que d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B),
quaisquer que sejam A,B,C ∈ H(X ). Como A, B e C sao compactos e nao vazios,
sabe-se que: existem os pontos a de A e b de B, tais que d(A,B) = d(a, b); da mesma
forma, existem os pontos a′ de A e c de C, tais que d(A,C) = d(a′, c); e ainda, existem
os pontos b′ de B e c′ de C, tais que d(C,B) = d(c′, b′). Por outro lado, tem-se que a
distancia de A a C dada por d(a′, c) e maior ou igual que a distancia de qualquer outro
elemento de A a C; em particular,
d(A,C) ≥ d(a, C). (1.1)
Analogamente, a distancia de C a B dada por d(c′, b′) e maior ou igual que a distancia
de qualquer outro elemento de C a B; em particular
d(C,B) ≥ d(c′′, B) (1.2)
10 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
onde c′′ ∈ C e tal que d(a, C) = d(a, c′′). Considere-se tambem b′′ ∈ B tal que d(c′′, B) =
d(c′′, b′′).
Figura 1.4. Distancia de pontos ”estrategicos”aos conjuntos A, B e C.
Entao, de (1.1) e (1.2) vem: d(A,C) + d(C,B) ≥ d(a, C) + d(c′′, B) = d(a, c′′) +
d(c′′, b′′) ≥ d(a, b′′) pela propriedade da desigualdade triangular da metrica d. Por
outro lado, d(a, b′′) ≥ min {d(a, y) : y ∈ B} = d(a, b) = d(A,B). Portanto, d(A,B) ≤
d(A,C) + d(C,B), quaisquer que sejam A,B,C ∈ H(X ). Pela arbitrariedade de A, B
e C, tambem pode escrever-se que d(B,A) ≤ d(B,C) + d(C,A). Destas duas ultimas
desigualdades obtem-se que
h(A,B) = max {d(A,B), d(B,A)} ≤ max {d(A,C) + d(C,B), d(B,C) + d(C,A)}.
De quaisquer duas parcelas, uma de cada soma, escolha-se a maior. Somando essas
duas parcelas maiores, obtem-se uma soma que e maior ou igual a qualquer das duas
somas anteriores. Entao,
2. CONCEITO DE ESPACO METRICO COM METRICA DE HAUSDORFF 11
max {d(A,C) + d(C,B), d(B,C) + d(C,A)} ≤
≤max {d(A,C), d(C,A)}+ max {d(C,B), d(B,C)} =
=h(A,C) + h(C,B).
Assim, h(A,B) ≤ h(A,C) +h(C,B), para quaisquer elementos A, B e C de H(X ),
pelo que a desigualdade triangular fica demonstrada.
Conclui-se, portanto, que a distancia de Hausdorff e uma metrica em H(X ). �
Entao, dado um e. m. completo (X, d) existe, associado a este, um novo
e.m. com metrica de Hausdorff, que passara a ser representado por (H(X ), h(d)).
De seguida, pretende-se demonstrar que o e.m. (H(X ), h(d)) agora definido e com-
pleto. Para isso e necessario introduzir algumas definicoes e demonstrar alguns resul-
tados previos.
Definicao 7. Seja (X, d) um e.m., A um subconjunto nao vazio de X e ε ≥ 0.
AA+ ε = {y ∈ X : d(y, x) ≤ ε para algum x ∈ A} chama-se dilatacao de
A por uma bola de raio ε.
Definicao 8. Seja A ⊂ X um subconjunto do e.m. (X, d). Um ponto x ∈ X diz-se
ponto de acumulacao de A se existe uma sucessao {xn}∞n=1 de pontos pertencentes
a A\{a} tal que limn→∞
xn = x.
Definicao 9. Seja A ⊂ X um subconjunto do e.m. (X, d). Designa-se por
aderencia de A o conjunto ad(A) = A ∪ {pontos de acumulacao de A}.
Definicao 10. Seja A ⊂ X um subconjunto do e.m. (X, d). Diz-se que A e um
conjunto fechado se se tiver ad(A) = A.
Sera util, para mais a frente, demonstrar agora o seguinte:
Proposicao 4. Seja (X, d) um e.m. e A um subconjunto nao vazio de X. Se A e
fechado, entao A+ ε tambem e fechado.
12 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Demonstracao. Uma vez que para um subconjunto arbitrario de X se tem sem-
pre que ele esta contido na sua aderencia, para comprovar que A + ε e fechado basta
verificar que ad(A+ ε) ⊂ A+ ε, ou seja, que todos os pontos de acumulacao de A+ ε
pertencem a A+ ε.
Seja, entao, a um ponto de ad(A + ε). Sabe-se que existe uma sucessao {xn}∞n=1
de pontos de A + ε \ {a} tal que limn→∞
xn = a. Como A e fechado, vem que para cada
xn existe yn ∈ A tal que d(xn, yn) = d(xn, A). Entao, aplicando a propriedade da
desigualdade triangular de d, vem d(a, yn) ≤ d(a, xn) + d(xn, yn), para todo n ∈ N,
sendo que a primeira parcela do segundo membro tende para zero quando n tende
para infinito e a segunda e sempre menor ou igual a ε porque todos os termos xn sao
elementos de A+ ε. Donde, existe pelo menos um ponto yn de A que dista de a tanto
ou menos que ε. Entao, a ∈ A+ ε, logo A+ ε e um conjunto fechado. �
Lema 1. Sejam A,B ∈ H(X ), em que (X, d) e um e.m. completo, e seja ε > 0.
Entao, h(A,B) ≤ ε se e so se A ⊂ B + ε ∧ B ⊂ A+ ε .
Demonstracao. Prove-se primeiro que, se h(A,B) ≤ ε, entao A ⊂ B+ ε ∧ B ⊂
A + ε. Para isso, suponha-se, sem perda de generalidade, que h(A,B) = d(A,B) ≤ ε.
Entao, como d(A,B) = max{d(a,B) : a ∈ A}, vem que d(a,B) ≤ ε, qualquer que seja
a pertencente a A, ou seja, qualquer elemento a de A pertence a B + ε e, portanto,
A ⊂ B + ε. Se h(A,B) = d(A,B) ≤ ε entao, por definicao de h(A,B), vem d(B,A) ≤
d(A,B) ≤ ε e, analogamente, tem-se tambem B ⊂ A+ ε.
Demonstre-se agora que, se A ⊂ B+ε e B ⊂ A+ε, entao h(A,B) ≤ ε. Se A ⊂ B+ε
entao, para qualquer elemento a de A, existe pelo menos um elemento b de B tal que
d(a, b) ≤ ε, isto e, d(a,B) ≤ ε. Portanto, max{d(a,B) : a ∈ A} = d(A,B) ≤ ε, donde
d(A,B) ≤ ε.
De forma semelhante, se B ⊂ A+ ε, entao d(B,A) ≤ ε.
Ora, se d(A,B) ≤ ε e d(B,A) ≤ ε entao, max{d(A,B), d(B,A)} ≤ ε, ou seja,
h(A,B) ≤ ε. �
2. CONCEITO DE ESPACO METRICO COM METRICA DE HAUSDORFF 13
Lema 2 (Lema da Extensao). Seja (X, d) um e.m. completo e seja {An}∞n=1 uma
sucessao de Cauchy de pontos em (H(X ), h(d)). Seja {nj}∞j=1, uma sucessao infinita de
inteiros tais que 0 < n1 < n2 < n3 < . . . . Supondo que existe uma sucessao de Cauchy
{xnj ∈ Anj}∞j=1 em (X, d), entao existe tambem uma sucessao de Cauchy {xn ∈ An}∞n=1
tal que xnj = xnj ,∀j = 1, 2, 3, . . . .
Demonstracao. Comece-se pela construcao de uma sucessao {xn ∈ An}∞n=1. Para
todo n ∈ {1, 2, . . . , n1} escolhe-se xn ∈ {x ∈ An : d(xn1 , x) = d(xn1 , An)}, ou seja, xn e
o ponto mais proximo (ou um dos pontos mais proximos) em An de xn1 . Esse ponto
existe porque An e compacto.
Analogamente, para todo j ∈ {1, 2, 3, 4 . . .} e todo n ∈ {nj+1, . . . , nj+1}, escolha-se
xn ∈ {x ∈ An : d(xnj+1, x) = d(xnj+1
, An)}.
Mostre-se agora que {xn}∞n=1 tem as propriedades desejadas.
Obviamente, por construcao, xnj = xnj , para qualquer j ∈ N, porque o ponto de Anj
mais proximo de xnj e o proprio xnj ; e tambem se tem xn ∈ An, para todo n ∈ N. Para
mostrar que se trata de uma sucessao de Cauchy, considere-se ε > 0. Existe uma ordem
N1 ∈ N a partir da qual, para quaisquer dois termos nk, nj se tem d(xnk , xnj) ≤ ε/3
(porque, por hipotese, {xnj}∞j=1 e uma sucessao de Cauchy). Tambem existe uma ordem
N2 ∈ N a partir da qual, para quaisquer dois termos Am e An da sucessao {An}∞n=1
se tem d(Am, An) ≤ ε/3 (porque, tambem por hipotese, {An}∞n=1e uma sucessao de
Cauchy). Seja, N = max{N1, N2} e sejam m,n, nj, nk ≥ N , com m ∈ {nj−1 +1, nj−1 +
2, . . . , nj} e n ∈ {nk−1 + 1, nk−1 + 2, . . . , nk}. Aplicando duas vezes a propriedade
da desigualdade triangular vem que d(xm, xn) ≤ d(xm, xnj) + d(xnj , xnk) + d(xnk , xn).
Como h(Am, Anj) < ε/3, entao, pelo lema 1, Am ⊂ Anj + ε/3 e Anj ⊂ Am + ε/3. Sendo
xnj = xnj ∈ Anj , entao existe ym ∈ Am tal que d(ym, xnj) ≤ ε/3. Como xm e, por
construcao, o ponto de Am mais proximo de xnj , entao d(xm, xnj) ≤ ε/3. Analogamente,
d(xnk , xn) ≤ ε/3. Logo, para quaisquer dois termos de ordem m e n superior a N da
sucessao {xn}∞n=1, tem-se d(xm, xn) ≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε, donde {xn}∞n=1 e sucessao
de Cauchy. �
14 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Definicao 11. Seja X um e.m. e seja S ⊂ X. Diz-se que S e totalmente
limitado se para qualquer ε > 0, existe um conjunto finito de pontos {y1, y2, . . . , yn} ⊂
S tal que ∀x ∈ S,∃yi : d(x, yi) < ε. Ao conjunto {y1, y2, . . . , yn} chamamos rede-ε .
Lema 3. Seja X um e.m. e seja S ⊂ X. Se S nao e totalmente limitado, entao
existe ε > 0 e uma sucessao {xn}∞n=1 de pontos de S tal que d(xi, xj) > ε, sempre que
i 6= j.
Demonstracao. Se S nao e totalmente limitado, existe ε > 0 para o qual nao
ha uma rede-ε finita de S, isto e, nao e possıvel cobrir S com uma coleccao finita de
bolas de raio ε. Seja x1 ∈ S e seja B1 a bola de centro em x1 e de raio ε. Como B1
nao cobre S, pode escolher-se x2 ∈ S \ B1 e sabe-se que d(x1, x2) > ε. Seja B2 a bola
de centro em x2 e de raio ε. Como B1 ∪B2 nao cobre S, entao existe x3 ∈ S \B1 ∪B2
tal que d(x1, x3) > ε e d(x2, x3) > ε. Seja B3 a bola de raio ε com centro em x3.
Como B1 ∪ B2 ∪ B3 nao cobre S, entao seja x4 um ponto de S \3⋃i=1
Bi. Sabe-se que
d(xi, x4) > ε, para i ∈ {1, 2, 3}.
E desta forma determina-se um conjunto {x1, x2, . . . , xk} de k elementos de S, tais
que d(xi, xj) > ε, para quaisquer i, j ∈ {1, 2, . . . , k} desde que i 6= j. Como, por
hipotese,k⋃i=1
Bk (sendo Bk a bola de raio ε com centro em xk) nao cobre S, pode
encontrar-se um elemento xk+1 ∈ S \k⋃i=1
Bk tal que d(xi, xk+1) > ε, para qualquer
i ∈ {1, 2, . . . , k}. Por inducao matematica e possıvel construir a pretendida sucessao
infinita de pontos de S. �
Teorema 1. Seja (X, d) um e.m. completo e seja S ⊂ X. Entao, S e compacto se
e so se for fechado e totalmente limitado.
Demonstracao. Suponha-se primeiro que S e fechado e totalmente limitado e
prove-se que S e compacto.
Seja {xn ∈ S}∞n=1, uma sucessao de pontos de S. Como S e totalmente limitado,
pode encontrar-se uma coleccao finita de bolas de raio 1 cuja reuniao contem S. Sendo
2. CONCEITO DE ESPACO METRICO COM METRICA DE HAUSDORFF 15
a sucessao infinita, pelo menos uma das bolas da coleccao - designe-se por B1 - contem
uma quantidade infinita de termos.
Seja N1 ∈ N tal que xN1 ∈ B1. Sabe-se que B1∩S e totalmente limitado porque esta
contido em S que tambem e um conjunto totalmente limitado, por hipotese. Entao e
possıvel cobrir B1∩S com uma famılia finita de bolas de raio 12. Novamente, uma dessas
bolas - designada por B2 - contem uma quantidade infinita de termos de {xn}∞n=1.
Seja N2 ∈ N tal que N2 > N1 e xN2 ∈ B2. Continuando desta forma, constroi-se
uma sucessao de bolas {Bn}∞n=1 tal que para qualquer n ∈ N, Bn tem raio 12n−1 e
(B1 ∩ S) ⊃ (B2 ∩ S) ⊃ (B3 ∩ S) ⊃ . . . ⊃ (Bn ∩ S) ⊃ . . . e obtem-se tambem uma
sucessao de inteiros {Nn}∞n=1 tal que xNn ∈ Bn.
Verifique-se que {xNn}∞n=1 (que e uma subsucessao da sucessao original {xn}∞n=1,) e
uma sucessao de Cauchy. Seja ε > 0. Se se escolher k ∈ N tal que 12k−1 ≤ ε
2, (ou seja,
k ≥ 2− log2 ε), sabe-se que para todo n ≥ k, os termos xNn pertencem a bola Bk, cujo
raio e igual a 12k−1 e inferior ou igual a ε
2, pelo que a distancia entre quaisquer dois
termos xNn e xNm tais que n,m ≥ k e inferior ou igual a ε. Entao, {xNn}∞n=1 e uma
sucessao de Cauchy e, portanto, convergente, de elementos de S. Como, por hipotese,
S e fechado, o limite desta sucessao pertence a S, pelo que S e compacto.
Demonstre-se agora o recıproco. Suponha-se que S e compacto. Para provar que
S e totalmente limitado, suponha-se que para determinado ε > 0 nao existe uma rede-
ε para S. Entao, pelo lema 3, poder-se-ia construir uma sucessao infinita de pontos
{xn ∈ S} tal que
d(xi, xj) > ε, (1.3)
sempre que i 6= j. Mas como, por hipotese, S e compacto, esta sucessao tera que
ter uma subsucessao {xNi}∞i=1 convergente e, portanto, de Cauchy. Entao e possıvel
encontrar inteiros Ni e Nj, com Ni 6= Nj, tais que d(xNi , xNj) < ε, o que contradiz
(1.3). Portanto, tera que existir uma rede-ε para S e S e totalmente limitado.
Prove-se agora que S e fechado. Seja a ∈ ad(S). Entao existe uma sucessao {yn}∞n=1
de pontos de S \ {a} tal que limnyn = a. Como S e compacto, entao {yn}∞n=1 tem uma
16 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
subsucessao convergente em S, cujo limite tem que ser a. Entao, a ∈ S. Portanto
ad(S) ⊂ S, ou seja, S e fechado. �
Teorema 2 (Completude do Espaco dos Fractais). Seja (X, d) um e.m. completo.
Entao (H(X ), h(d)) e um e.m. completo. Alem disso, se {An}∞n=1 e uma sucessao
de Cauchy em H(X ), entao A = limn→∞
An ∈ H(X ), sendo A = {x ∈ X : existe uma
sucessao de Cauchy {xn ∈ An} que converge para x}.
Demonstracao. Seja {An}∞n=1 uma sucessao de Cauchy em H(X ) e seja A o
conjunto definido no enunciado do Teorema.
Esta demonstracao sera repartida nas seguintes partes:
a) A 6= ∅.
b) A e fechado.
c) ∀ε > 0,∃N ∈ N : ∀n ≥ N,A ⊂ An + ε.
d) A e totalmente limitado (e portanto, por b) e pelo Teorema 1, tambem sera
compacto - ou seja, A ∈ H(X )).
e) limAn = A.
Provar-se-a a) mostrando que existe de uma sucessao de Cauchy {ai ∈ Ai}∞i=1 em
X. Ora, sendo {An}∞n=1 uma sucessao de Cauchy em H(X ), pode considerar-se uma
sucessao de inteiros positivos N1 < N2 < N3 < . . . < Nn < . . . tal que h(Am, An) <1
2i,
para m,n > Ni. De AN1 escolhe-se um elemento xN1 . Como h(AN1 , AN2) ≤1
2, pode
encontrar-se xN2 ∈ AN2 tal que d(xN1 , xN2) ≤1
2. Pode prosseguir-se este processo
ate ser seleccionada uma sequencia finita xNi ∈ ANi , i = 1, 2, . . . , k, para a qual
d(xNi−1, xNi) ≤
1
2i−1. Novamente, como h(ANk , ANk+1
) <1
2ke xNk ∈ ANk , pode
encontrar-se xNk+1∈ ANk+1
tal que d(xNk , xNk+1) ≤ 1
2k- basta que xNk+1
seja um dos
pontos de ANk+1mais proximos de xNk . Por inducao matematica, pode encontrar-se
uma sucessao infinita {xNi ∈ ANi}∞i=1 tal que d(xNi , xNi+1) ≤ 1
2i.
Veja-se agora que {xNi}∞i=1 e uma sucessao de Cauchy em X. Seja ε > 0 e escolha-se
Nε ∈ N tal que∞∑
i=Nε
1
2i< ε. Entao, sempre que n > m ≥ Nε tem-se d(xNm , xNn) ≤
2. CONCEITO DE ESPACO METRICO COM METRICA DE HAUSDORFF 17
d(xNm , xNm+1)+d(xNm+1 , xNm+2)+· · ·+d(xNn−1 , xNn) <∞∑
i=Nε
d(xNi , xNi+1) =
∞∑i=Nε
1
2i< ε,
o que quer dizer que para qualquer ε > 0 existe uma ordem Nε a partir da qual a
distancia entre quaisquer dois termos xNm e xNn desta sucessao e inferior a ε, ou seja,
{xNi}∞i=1 e uma sucessao de Cauchy. Usando agora o Lema da Extensao (Lema 2), pode
afirmar-se que tambem existe uma sucessao de Cauchy {ai ∈ Ai}∞i=1 tal que aNi = xNi
cujo limite existe e que, por definicao de A, sera um elemento de A. Fica entao provado
que A e um conjunto nao vazio.
Para demonstrar b), considere-se uma sucessao {ai}∞i=1 de elementos de A conver-
gente para um ponto a. Para provar que A e fechado basta mostrar que a ∈ A, isto e,
que existe uma sucessao de Cauchy {zn ∈ An}∞n=1 que converge para a. Por definicao do
conjunto A, sabe-se que para qualquer termo da sucessao {ai}∞i=1 existe uma sucessao
{xi,n ∈ An}∞n=1 tal que limnxi,n = ai. Como {ai ∈ A}∞i=1 e uma sucessao convergente
para a, podem escolher-se nela termos tao proximos de a quanto se queira. Por exem-
plo, existe uma sucessao crescente de numeros positivos {Ni}∞i=1 tal que d(aNi , a) ≤ 1
i.
Olhando agora para o conjunto das sucessoes {xNi,n ∈ An}∞n=1 sabe-se que existe
em cada uma delas uma sucessao de inteiros {mi}∞i=1 tal que d(xNi,mi , aNi) ≤1
iporque
{xNi,n ∈ An}∞n=1 converge para aNi . Donde, d(xNi,mi , a) ≤ d(xNi,mi , aNi) + d(aNi , a) ≤1
i+
1
i=
2
i.
Designando xNi,mi por ymi obtem-se uma sucessao {ymi ∈ Ami}∞i=1 tal que para
todo ε > 0, existe uma ordem i ∈ N a partir da qual d(ymi , a) < ε, bastando para isso
escolher i ≥ 2
ε. Entao, {ymi ∈ Ami}∞i=1 e uma sucessao convergente e lim
i→∞ymi = a.
Para se obter uma sucessao de Cauchy, que converge para a, nas condicoes exigidas
pela definicao do conjunto A, basta usar novamente o Lema da Extensao (lema 2), que
diz que e possıvel encontrar uma sucessao {zn ∈ An}∞n=1 tal que zmi = ymi , convergente
para a. Portanto, a ∈ A donde A e fechado.
Demonstre-se agora c). Dado ε > 0, sabe-se que existe uma ordem N a partir da
qual quaisquer dois termos Am e An da sucessao {An}∞n=1 estao a uma distancia de
Hausdorff inferior ou igual a ε. Pelo lema 1, de h(Am, An) < ε vem que Am ⊂ An + ε
18 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Figura 1.5. Dada uma sucessao {ai}∞i=1 de elementos de A convergente para
um ponto a, a imagem representa a construcao de uma sucessao de Cauchy
{zn ∈ An}∞n=1 a convergir para a. Esta sucessao e construıda a partir da
sucessao {ymi ∈ Ami}∞i=1 usando o Lema da Extensao que diz que e possıvel
encontrar uma sucessao {zn ∈ An}∞n=1 tal que zmi = ymi .
e An ⊂ Am + ε. Em particular, pode considerar-se m ≥ n ≥ N e, tendo Am ⊂ An + ε,
quer-se demonstrar que tambem A ⊂ An + ε. Para isso, tome-se um elemento a de A.
Por definicao deste conjunto, existe uma sucessao {ai ∈ Ai} que converge para a. Pode
considerar-se que N e tambem suficientemente grande para que se tenha d(am, a) < ε
para m ≥ N . Entao, para todo m ≥ N vem que am pertence a Am que, por sua vez,
esta contido em An + ε, pelo que se tem em An + ε uma sucessao que tende para a.
Como An e compacto, e portanto fechado, entao, pela proposicao 4, An + ε tambem e
fechado e, desta forma, a tem que estar tambem em An + ε, ou seja, A ⊂ An + ε.
Para demonstrar d) recorrer-se-a ao metodo de reducao ao absurdo, supondo que
A nao e totalmente limitado. Nesse caso, para um certo ε > 0 nao existe uma rede-ε
2. CONCEITO DE ESPACO METRICO COM METRICA DE HAUSDORFF 19
finita, pelo que, pelo lema 3, seria possıvel encontrar uma sucessao {xi}∞i=1 em A tal
que
d(xi, xj) ≥ ε, i 6= j. (1.4)
Mas, pela alınea c) desta demonstracao, existe n suficientemente grande tal que
A ⊂ An + ε/3 o que significa que, para cada xi ∈ A, existe yi correspondente em An
para o qual
d(xi, yi) ≤ ε/3. (1.5)
Considere-se a sucessao {yi}∞i=1. Como An e compacto, {yi}∞i=1 tem uma subsucessao
{yni} convergente em An; o que quer dizer que se podem encontrar pontos da sucessao
{yni} tao proximos quanto se queira. Em particular, podem encontrar-se dois pontos
yni e ynj tais que
d(yni , ynj) < ε/3. (1.6)
Mas, nesse caso, d(xni , xnj) ≤ d(xni , yni) + d(yni , ynj) + d(ynj , xnj) ≤ε
3+ε
3+ε
3= ε
(por (1.5),(1.6) e (1.5), respectivamente) o que contradiz (1.4). Logo, A e totalmente
limitado e, como pela alınea b) tambem e fechado, entao, pelo Teorema 1, A e compacto.
Por a) sabe-se, ainda, que A e nao vazio; donde se conclui que A ∈ H(X ).
Finalmente, demonstre-se e). Ja se sabe que A ∈ H(X ). Pretende-se demonstrar
que tendo uma sucessao de Cauchy {An}∞n=1 em H(X ), ela convergira para A que e o
conjunto de todos os pontos limite de sucessoes de Cauchy do tipo {xn ∈ An}∞n=1. Ou
seja, quer-se mostrar que para qualquer ε > 0 se tem h(An, A) ≤ ε a partir de certa
ordem.
Seja ε > 0. Por c) e pelo lema 1 basta provar que a partir de certa ordem se
tem An ⊂ A + ε. Como {An}∞n=1 e uma sucessao de Cauchy, entao existe uma ordem
M ∈ N a partir da qual, para quaisquer dois termos An e Am da sucessao, se tem
h(An, Am) ≤ ε
2, o que, pelo lema 1, nos permite concluir que
para quaisquer m,n ≥M se tem An ⊂ Am +ε
2(e tambem Am ⊂ An +
ε
2). (1.7)
20 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Seja n > M e seja y ∈ An. Sendo {An}∞n=1 uma sucessao de Cauchy e usando novamente
o lema 1, pode afirmar-se que existe uma sucessao crescente {Nj}∞j=1 de inteiros, com
n = N1 < N2 < . . . < Nk < . . ., tais que An ≡ AN1 ⊂ AN2 +ε
2e ANj ⊂ ANj+1
+
ε
2j+1para todo j ∈ N. A partir desta nova sucessao, pode construir-se uma outra
sucessao {xNj ∈ ANj}∞j=1 tal que y ≡ xN1 e d(y, xN2) ≤ε
22, d(xN2 , xN3) ≤
ε
23, . . . e
d(xNj , xNj+1) ≤ ε
2j+1, para todo j ∈ N. Esta sucessao constroi-se do seguinte modo:
Tem-se M ≤ n = N1 e An ⊂ AN2 +ε
2. Entao, sendo y (≡ xN1) um elemento de
An (≡ AN1), existira pelo menos um elemento xN2 de AN2 tal que d(y, xN2) ≤ε
22. De
seguida, para j = 2 vem que AN2 ⊂ AN3 +ε
23e se xN2 ∈ AN2 , entao existe pelo menos
um elemento xN3 de AN3 tal que d(xN2 , xN3) ≤ε
23. De forma analoga, e por inducao
matematica, pode encontrar-se uma sucessao xN1 , xN2 , xN3 , . . . tal que xNj ∈ ANj e
d(xNj , xNj+1) ≤ ε
2j+1.
Mas como Nj ≥ n > M para todo j ∈ N, tambem se tem, por (1.7) que ANj ⊂
An +ε
2, para todo j ∈ N. Pelo que {xNj}∞j=1 e, portanto, uma sucessao de pontos de
An +ε
2. Alem disso, {xNj}∞j=1 e uma sucessao de Cauchy. Veja-se porque: Sabe-se
que para qualquer ε > 0 existe uma ordem a partir da qual quaisquer dois termos
consecutivos de {xNj}∞j=1 estao entre si uma distancia igual ou inferior a ε/2j+1. Para
dois termos xNj e xNk , eventualmente nao consecutivos, tais que Nk > Nj, vem:
d(xNj , xNk) ≤k∑p=j
ε
2p+1=
ε
2j+1·
1−(
1
2
)k−j+1
1− 1
2
= ε · 2k+1 − 2j
2k+j+1< ε · 2k+1
2k+j+1< ε.
Portanto, para qualquer ε positivo existe uma ordem n a partir da qual quaisquer dois
termos de {xNj}∞j=1 estao a uma distancia entre si inferior a ε, isto e, {xNj}∞j=1 e uma
sucessao de Cauchy.
Assim, obtem-se uma sucessao de Cauchy de pontos de An+ε
2que, pelo Teorema 1
e pela Proposicao 4, e um conjunto fechado. Donde se conclui que a sucessao {xNj}∞j=1
converge para um ponto x que pertence a An +ε
2e,
a partir de certa ordem tem-se d(xNj , x) ≤ ε
2, para todo j ∈ N. (1.8)
2. CONCEITO DE ESPACO METRICO COM METRICA DE HAUSDORFF 21
Por outro lado,
d(y, xNj) ≤ε
2, para todo j ∈ N, (1.9)
ja que, usando a desigualdade triangular um determinado numero de vezes, se obtem
que, para um dado termo xNj da sucessao {xNj ∈ ANj}∞j=1, se tem d(y, xNj) ≤
d(y, xN2) + d(xN2 , xN3) + · · · + d(xNj−1, xNj) ≤
j−1∑k=1
ε
2k+1; passando ao limite quando
j tende para infinito, vem que d(y, xNj) ≤∞∑k=1
ε
2k+1= ε · 1
22× 1
1− 1
2
=ε
2.
De (1.8) e de (1.9), novamente pela propriedade da desigualdade triangular de d,
vem que d(y, x) ≤ ε. Aplicando agora o lema 2 a sucessao {xNj}∞j=1, sabe-se que existe
uma sucessao de Cauchy {xn ∈ An} que converge para x, o que, por definicao de A,
permite dizer que x ∈ A.
Ora, se x ∈ A e se d(x, y) ≤ ε, isso e equivalente a dizer que y ∈ A+ ε. Mas como
y e um elemento qualquer de An, entao An ⊂ A+ε, que era o que se pretendia. Assim,
vem finalmente que limAn = A. �
H(X ) sera, entao, o espaco onde “vivem” os fractais e, para ja, um fractal e um
qualquer dos seus pontos, ou seja, um subconjunto compacto nao vazio de um e.m X
completo.
Exemplo 1. A Figura 1.6 mostra dois exemplos de subconjuntos compactos de R2.
A esquerda um compacto simples em R2 e a direita o Triangulo de Sierpinski. Este
Figura 1.6. Dois elementos de H(R2).
triangulo constroi-se da seguinte forma: Comecando com um triangulo identico ao da
figura anterior, marcam-se os pontos medios de cada um dos seus lados e unem-se por
segmentos. Obtem-se quatro novos triangulos mais pequenos, semelhantes ao inicial.
22 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Retira-se o triangulo do meio e faz-se o mesmo processo em cada um dos triangulos que
sobram. E assim sucessivamente... A imagem mostra o resultado que se obtem depois
de se realizar esta operacao tres vezes. O conjunto que se obteria, se se realizasse
esta tarefa um numero infinito de vezes, chama-se Triangulo de Sierpinski e so na
mente pode ser concebido. Representa-lo graficamente e impossıvel: nao ha tempo e,
ainda que o houvesse, a definicao do monitor do computador seria insuficiente por ser
demasiado “grosseira”. �
Prossiga-se entao com a construcao do conceito de fractal como ponto fixo de um
sistema de funcoes iteradas.
3. Ponto fixo de uma transformacao
Definicao 12. Seja f : X → X uma aplicacao de um e.m. nele proprio. Chama-
se ponto fixo de f a um elemento xf de X tal que f(xf ) = xf .
Para o proposito deste trabalho interessam, entre as transformacoes de X, aquelas
que sao contraccoes.
Definicao 13. Uma transformacao f : X → X num e.m. (X, d) diz-se uma
contraccao se existe uma constante s, com 0 ≤ s < 1, tal que d(f(x), f(y)) ≤
s.d(x, y),∀x, y ∈ X. A s chama-se factor de contraccao.
Vejam-se alguns exemplos de contraccoes:
Exemplo 2. Sendo R o espaco metrico com a metrica d(x, y) = |x−y|, considere-se
nele a aplicacao f(x) =1
2x (veja-se a figura 1.7).
Trata-se de uma contraccao com factor de contraccao igual a 1/2 e cujo ponto fixo
e o zero ja que, para quaisquer pontos x e y de R se tem d(f(x), f(y)) =
∣∣∣∣12x− 1
2y
∣∣∣∣ =
1
2|x − y| =
1
2d(x, y) e sendo x um ponto de R tem-se f(x) = x se e so se
1
2x = x, ou
seja, se e so se x = 0. �
3. PONTO FIXO DE UMA TRANSFORMACAO 23
Figura 1.7. Contraccao em R
Exemplo 3. Seja X o conjunto das funcoes contınuas f : [0, 1]→ R que se repre-
sentara por C[0, 1]. Um “ponto” de X e, portanto, uma funcao. Considere-se agora a
seguinte metrica definida neste espaco: d(f, g) = max{|f(x)−g(x)| : x ∈ [0, 1]},∀f, g ∈
C[0, 1]. Esta metrica esta bem definida porque f e g sao contınuas em [0, 1].
Um exemplo de uma contraccao em C[0, 1] podera ser a aplicacao w : C[0, 1] →
C[0, 1] que aplica cada funcao f em w(f) =1
2f + 1 em que
(1
2f + 1
)(x) =
1
2f(x) +
1,∀x ∈ [0, 1]. Veja-se que w e uma contraccao com factor de contraccao igual a 1/2 e
que tem como ponto fixo a funcao p(x) = 2,∀x ∈ [0, 1].
Figura 1.8. Representacao grafica de um ponto f de C[0, 1], da sua imagem
pela funcao w(f) =12f + 1 e do ponto fixo de w.
24 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Para quaisquer funcoes f e g de C[0, 1] vem que
d(w(f), w(g)) = max{|(w(f))(x)− (w(g))(x)| : x ∈ [0, 1]} =
= max
{∣∣∣∣12f(x) + 1− 1
2g(x)− 1
∣∣∣∣ : x ∈ [0, 1]
}=
= max
{1
2|f(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1]
}=
=1
2max{|f(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1]} =
=1
2d(f, g).
Por outro lado, se f for um elemento qualquer de C[0, 1], tem-se w(f) = f se e so
se1
2f(x) + 1 = f(x),∀x ∈ [0, 1], o que equivale a
1
2f(x) = 1, ∀x ∈ [0, 1], ou seja, f(x)
e a funcao constante igual a 2 no intervalo [0, 1]. �
Exemplo 4. Um outro exemplo podera ser uma aplicacao definida em R2 com a
distancia euclidiana como metrica associada, isto e, dados dois pontos x = (x1, x2) e
y = (y1, y2) de R2, a distancia entre eles e dada por d(x, y) =√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.
Considere-se entao, em R2, a aplicacao w(x) = Ax+ t sendo
A =
12
cos 120o −12
sin 120o
12
sin 120o 12
cos 120o
e t =
12
0
.
Aplicar esta funcao a um ponto de R2 corresponde a roda-lo 120o em torno da origem,
de seguida aproxima-lo desta, reduzindo para metade a distancia a que dela se encontra
e, finalmente, transladar o ponto resultado das operacoes anteriores meia unidade, na
horizontal, para a direita.
Verifique-se que esta aplicacao e uma contraccao com factor de contraccao igual a
1
2e que tem, como ponto fixo, o ponto
(5
14;
√3
14
):
Seja x = (x1, x2) um ponto de R2. Entao,
w(x) = Ax+ t =
12
cos 120o −12
sin 120o
12
sin 120o 12
cos 120o
x1
x2
+
12
0
=
−14x1 −
√3
4x2 + 1
2√
34x1 − 1
4x2
.
3. PONTO FIXO DE UMA TRANSFORMACAO 25
Assim, dados quaisquer dois pontos x e y de R2, a distancia entre w(x) e w(y) e
dada por:
d(w(x), w(y)) =
=
√√√√(−1
4x1 −
√3
4x2 +
1
2+
1
4y1 +
√3
4y2 −
1
2
)2
+
(√3
4x1 −
1
4x2 −
√3
4y1 +
1
4y2
)2
=
=1
4
√[(y1 − x1) +
√3 (y2 − x2)
]2
+[√
3 (x1 − y1)− (x2 − y2)]2
=
=1
4
√4 (x1 − y1)2 + 4 (x2 − y2)2 =
=1
2
√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 =
1
2d(x, y)
Donde, w e, em R2, uma contraccao com factor de contraccao igual a1
2.
Determine-se agora o ponto fixo de w:
w(x) = x⇔
14x1 −
√3
4x2 + 1
2= x1
√3
4x1 − 1
4x2 = x2
⇔
√35x1 = x2
⇔
⇔
−1
4x1 −
√3
4·√
35x1 + 1
2= x1
⇔
x1 = 5
14
x2 =√
314
O ponto fixo de w e, portanto,
(5
14;
√3
14
).
�
No que diz respeito as contraccoes, serao uteis os dois resultados que se seguem.
Proposicao 5. Seja w : X → X uma contraccao com factor de contraccao s num
espaco metrico X. Entao w e uma funcao contınua.
Demonstracao. Seja ε > 0 e x, y ∈ X. Sendo s o factor de contraccao de w,
se d(x, y) < ε/s, entao d(w(x), w(y)) ≤ s.d(x, y), isto e, d(w(x), w(y)) ≤ s.ε/s = ε.
Portanto, se w e uma contraccao de factor s, dado ε > 0, existe δ = ε/s tal que, se para
dois elementos x e y de X se tem d(x, y) < δ, entao tambem se tera d(w(x), w(y)) < ε.
Portanto, w e uma aplicacao contınua em X. �
26 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Proposicao 6. Se f, g : X → X sao contraccoes de factores de contraccao s e t
respectivamente, entao fog e uma contraccao de factor de contraccao st.
Demonstracao. Sendo f uma contraccao de factor de contraccao s entao, para
quaisquer dois pontos x e y de X sabe-se que
d(f(x), f(y)) ≤ s.d(x, y). (1.10)
Analogamente, sendo g uma contraccao de factor de contraccao t, tambem se tem que,
para quaisquer dois pontos x e y de X,
d(g(x), g(y)) ≤ t.d(x, y). (1.11)
Mas, dados x e y de X, d(fog(x), fog(y)) = d(f(g(x)), f(g(y))) que, por (1.10), e
menor ou igual a s.d(g(x), g(y)) e isto, por (1.11) , e menor ou igual a st.d(x, y). Para
alem disto, se 0 ≤ s < 1 e se 0 ≤ t < 1, entao tambem 0 ≤ st < 1 pelo que st e factor
de contraccao de fog. �
Definir-se-a agora o que falta para construir o conceito de Fractal.
4. Sistemas de Funcoes Iteradas
Definicao 14. Seja f : X → X uma transformacao num e.m. As iteradas
sucessivas de f sao transformacoes fn : X → X definidas por:
f 0(x) = x
f 1(x) = f(x)
f (n+1)(x) = (fofn)(x) = f(fn(x)), n = 1, 2, 3, . . .
Tendo em conta agora as iteradas sucessivas de uma contraccao, verifique-se
o que sucede ao factor de contraccao de f .
Proposicao 7. Se f : X → X e uma contraccao de factor de contraccao s, entao
fn : X → X e uma contraccao de factor de contraccao sn.
Demonstracao. Basta aplicar a Proposicao 6 n-1 vezes. �
4. SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 27
Teorema 3. Se f : X → X e uma contraccao definida num e.m. (X, d) completo,
entao f possui exactamente um ponto fixo xf ∈ X e, para qualquer ponto x ∈ X, a
sucessao {fn(x)}∞n=0 converge para xf , isto e, limn→∞
fn(x) = xf ,∀x ∈ X.
Demonstracao. Para esta demonstracao percorrer-se-ao as seguintes tres etapas:
a) {fn(x)}∞n=0 e uma sucessao de Cauchy, ∀x ∈ X.
b) {fn(x)}∞n=0 converge para o ponto fixo de f .
c) f tem exactamente um ponto fixo.
Comece-se, entao, pela demonstracao de a) e, para tal, fixe-se um ponto x ∈ X.
Sendo s o factor de contraccao de f e m e n dois numeros naturais , sabe-se que
d(fn(x), fm(x)) ≤ smin{m,n}.d(x, f |m−n|(x)) (1.12)
Em particular, para k = 0, 1, 2, . . . , tem-se, pela propriedade da desigualdade
triangular de d aplicada k vezes, que d(x, fk(x)) ≤ d(x, f(x)) + d(f(x), f 2(x)) +
d(f 2(x), f 3(x)) + · · ·+ d(f (k−1)(x), fk(x)). Tendo em conta que f e uma contraccao de
factor s, pode dizer-se que o anterior e menor ou igual que d(x, f(x)) + s.d(x, f(x)) +
s.d(f(x), f 2(x)) + · · · + s.d(f (k−2)(x), f (k−1)(x)). Aplicando agora o mesmo, sucessi-
vamente a cada uma das parcelas anteriores, vem que o designado pela ultima ex-
pressao e menor ou igual a (1 + s + s2 + · · · + sk−1).d(x, f(x)) que e igual a 1 ·1− sk
1− s· d (x, f(x)). Tendo em conta que f e uma contraccao, tem-se que 1 − sk < 1,
donde d(x, fk(x)) ≤ (1 − s)−1.d(x, f(x)). Aplicando agora isto a (1.12) vem ∀m,n =
0, 1, 2, . . . , d(fn(x), fm(x)) ≤ smin{m,n}.(1− s)−1.d(x, f(x)).
Seja ε > 0. Tem-se as seguintes equivalencias: smin{m,n}.(1−s)−1.d(x, f(x)) < ε⇔
⇔ smin{m,n} <ε(1− s)d(x, f(x))
⇔ smin{m,n} < slogs(ε(1−s)d(x,f(x))). A ultima expressao equivale a
min {n,m} > logs
(ε(1−s)d(x,f(x))
)porque 0 ≤ s < 1 e pode aplicar-se o logaritmo porque
ε, (1− s) e d(x, f(x)) pertencem a R+o .
Entao, dado x ∈ X fixo e dado ε > 0, basta escolher N o menor inteiro tal que
N ≥ logs
(ε(1−s)d(x,f(x))
)e obter-se-a que para quaisquer m,n > N, d(fn(x), fm(x)) < ε, o
que prova que {fn(x)}∞n=0 e uma sucessao de Cauchy.
28 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Demonstracao de b): Como X e, por hipotese, um e.m. completo, entao sendo
{fn(x)}∞n=0 uma sucessao de Cauchy, sabe-se que tem limite em X - designe-se por xf .
Pretende-se demonstrar que xf e ponto fixo de f . Ora, f(xf ) = f(
limn→∞
fn(x))
=
lim fn→∞
(fn(x)) = limn→∞
f (n+1)(x) = xf porque {f (n+1)(x)}∞n=0 e uma subsucessao de
{fn(x)}∞n=0. E, portanto, xf e ponto fixo de f .
Demonstre-se, por fim, c). Para isso, suponha-se que f tem dois pontos fixos xf
e yf . Nesse caso, f(xf ) = xf e tambem f(yf ) = yf , o que faz com que d(f(xf ), f(yf )) =
d(xf , yf ). Mas como f e uma contraccao de factor s, entao d(f(xf ), f(yf )) ≤ s.d(xf , yf ).
Juntando estes dois factos vem que d(xf , yf ) ≤ s.d(xf , yf ) o que equivale a (1 −
s).d(xf , yf ) ≤ 0. Daqui, como (1 − s) > 0 porque 0 ≤ s < 1 e d(xf , yf ) ≥ 0 por-
que d e metrica, vem obrigatoriamente que d(xf , yf ) = 0, o que corresponde a dizer
que xf = yf , ou seja, xf e o unico ponto fixo de f . Em conclusao, partindo de qualquer
elemento x de X, a sucessao das suas iteradas sucessivas por f converge para xf , que
e o (unico) ponto fixo de dessa aplicacao. �
Exemplo 5. Considere-se a aplicacao w ja apresentada, definida no espaco C[0, 1]
em que w(f) =1
2f+1. Ja se viu que se trata de uma contraccao de factor de contraccao
1
2, cujo ponto fixo e a funcao p(x) = 2,∀x ∈ [0, 1]. Sabe-se agora que a sucessao das
iteradas sucessivas de uma qualquer funcao f de C[0, 1] tende para a funcao p. A
Figura 1.9 ilustra dois casos desses. �
O trabalho que se apresenta de seguida realiza-se no e.m. (H(X ), h(d)). Como se
trata de um espaco metrico completo, tendo uma contraccao definida nesse e.m., pode
afirmar-se que a sucessao das iteradas sucessivas de um elemento de H(X ) por essa
aplicacao e uma sucessao de Cauchy de sub-conjuntos compactos de X que convergira
para o ponto fixo dessa contraccao. Veja-se que, a partir de uma contraccao em X,
fica definida de uma maneira natural uma contraccao em (H(X ), h(d)). Falta apenas
definir essa contraccao em (H(X ), h(d)), mas antes e necessario provar o seguinte lema.
4. SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 29
Figura 1.9. .
Dois exemplos apresentando as quatro primeiras iteradas por w de duas funcoes do espaco
C[0,1], iteradas essas que se aproximam progressivamente do ponto fixo de w que e a funcao
constante p(x) = 2 definida no intervalo [0,1].
30 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Lema 4. Seja f : X → X uma aplicacao contınua num espaco metrico (X, d) e
seja S ∈ H(X ). Entao f(S) ∈ H(X ).
Demonstracao. Seja {yn = f(xn)}∞n=1 uma sucessao infinita de pontos em f(S).
Entao, {xn}∞n=1 e uma sucessao em S, que e compacto e, por isso, {xn}∞n=1 tem uma
subsucessao que e convergente em S - diga-se {xNn}∞n=1 , em que N1 < N2 < . . . <
Nn < . . .. Como f e contınua, entao {yNn = f(xNn)}∞n=1 e uma subsucessao de {yn}∞n=1
que tambem e convergente em f(S). Portanto, f(S) e compacto. �
Proposicao 8. Seja w : X → X uma contraccao num espaco metrico (X, d),
com factor de contraccao s e com ponto fixo xw. Seja w : H(X ) → H(X ) tal que
w(B) = {w(x) : x ∈ B},∀B ∈ H(X ). Entao w esta bem definida e e uma contraccao
em (H(X ), h(d)) com factor de contraccao s e cujo ponto fixo e {xw}.
Demonstracao. Sejam A,B ∈ H(X ). Se w e uma contraccao, e tambem uma
funcao contınua. Entao, sendo B um conjunto compacto, pelo lema 4, w(B) tambem
e um conjunto compacto. Portanto, w esta bem definida porque aplica H(X ) nele
proprio. Para provar que w e uma contraccao em H(X ) ha que usar a metrica h(d)
definida nesse espaco. Sabe-se que
h(w(A), w(B)) = max{d(w(A), w(B)); d(w(B), w(A))}.
Relativamente a d(w(A), w(B)) pode escrever-se que
d(w(A), w(B)) = max{d(w(x), w(B)) : x ∈ A} =
= max{min{d(w(x), w(y)) : y ∈ B} : x ∈ A} ≤
≤ max{min{sd(x, y) : y ∈ B} : x ∈ A} =
= max{smin{d(x, y) : y ∈ B} : x ∈ A} =
= max{sd(x,B) : x ∈ A} = smax{d(x,B) : x ∈ A} = sd(A,B)
4. SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 31
Analogamente, d(w(B), w(A)) ≤ sd(B,A). Entao,
h(w(A), w(B)) ≤ max{sd(A,B); sd(B,A)} =
= smax{d(A,B); d(B,A)} = sh(A,B).
Portanto, w e uma contraccao com factor de contraccao s. Ja se sabe, pelo Teorema
3, que w e w tem, cada uma, um ponto fixo. Seja xw o ponto fixo de w e seja {xw} um
ponto de H(X ). Entao, w ({xw}) = {w (xw)} = {xw}, pelo que {xw} e o ponto fixo de
w. �
Apresentam-se agora dois exemplos, um com uma contraccao em (R) e outro com
uma contraccao em (R2).
Exemplo 6. Usando o exemplo ja apresentado em R, f(x) = 12x, cujo ponto fixo
e x = 0, diz a Proposicao 8 que f induz em H(R) uma contraccao f , tal que f(A) =
{12x : x ∈ A},∀A ∈ H(R), cujo ponto fixo e {0}. Pelo Teorema 3, lim
nfn([0, 1]) = {0}.
A Figura 1.10 ilustra este exemplo. �
Figura 1.10. Iteradas sucessivas de um compacto de R pela funcao f defi-
nida em H(R).
Exemplo 7. Empregando agora o outro exemplo definido em R2, cujo ponto fixo
e(
514,√
314
), e aplicando os mesmos resultados utilizados no exemplo anterior, vem que
w(x) definida em R2 induz uma aplicacao w em H(R2) tal que a sucessao das iteradas
sucessivas de qualquer ponto deste e.m. converge para{(
514,√
314
)}. Por exemplo,
partindo de um triangulo equilatero de lado 1 e aplicando w sucessivas vezes, obtem-
se, no limite, o ponto fixo de w que e{(
514,√
314
)}(veja-se a Figura 1.11). �
Este resultado, embora importante e interessante, na pratica nao e muito signi-
ficativo, pelo menos em termos graficos, ja que apos infinitas iteracoes sucessivas de
32 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Figura 1.11. Iteradas sucessivas de um compacto de R2 pela funcao w
definida em H(R2).
qualquer subconjunto compacto de X, se obtem sempre um e apenas um ponto de
X. No entanto, o resultado final pode ser interessante se se operar com varias con-
traccoes em simultaneo.
Teorema 4. Seja (X, d) um e.m., seja {wn : n = 1, 2, . . . , N} um conjunto de
contraccoes em (H(X ), h(d)) cada uma delas com o seu respectivo factor de contraccao
sn, n = 1, 2, . . . , N . Seja WN : H(X ) → H(X ) tal que WN(B) = w1(B) ∪ w2(B) ∪
4. SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 33
. . . ∪ wN(B) =N⋃n=1
wn(B),∀B ∈ H(X ). Entao WN e uma contraccao em H(X ) com
factor de contraccao s = max{sn : n = 1, 2, . . . , N}.
Demonstracao. Use-se o metodo de inducao matematica.
Para N = 2 pretende-se provar que W2 : H(X ) → H(X ) tal que W2(B) =
w1(B) ∪ w2(B) =2⋃
n=1
wn(B),∀B ∈ H(X ), e uma contraccao em H(X ) com factor
de contraccao s = max{s1, s2}. Para isso, considere-se que B e C sao dois pontos de
H(X ). Entao, h(W2(B),W2(C)) = h(w1(B)∪ w2(B), w1(C)∪ w2(C)). Simplifique-se a
escrita designando w1(B) por B1, w2(B) por B2, w1(C) por C1 e w2(C) por C2. Vem
h(B1 ∪B2, C1 ∪ C2) = max{d(B1 ∪B2, C1 ∪ C2), d(C1 ∪ C2, B1 ∪B2)}. Ora,
d(B1 ∪B2, C1 ∪ C2) = max{d(x,C1 ∪ C2) : x ∈ B1 ∪B2} =
= max{max{d(x,C1 ∪ C2) : x ∈ B1}; max{d(x,C1 ∪ C2) : x ∈ B2}} =
= max{d(B1, C1 ∪ C2), d(B2, C1 ∪ C2)}.
Para obter a distancia de B1 ao conjunto reuniao de C1 com C2, basta considerar
as distancias de B1 a C1 e de B1 a C2 e escolher a menor delas (veja-se a Figura 1.12).
Figura 1.12. A distancia de B1 a C1 ∪ C2 e igual ao menor valor entre
d(B1, C1) e d(B1, C2).
De forma analoga, obtem-se a distancia de B2 a C1 ∪ C2. Entao, retomando o
raciocınio anterior vem:
max{d(B1, C1 ∪ C2), d(B2, C1 ∪ C2)} =
= max{min{d(B1, C1), d(B1, C2)},min{d(B2, C1), d(B2, C2)}}.
34 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Agora, de cada um destes dois pares de distancias, convem, para o que se pretende, es-
colher d(B1, C1) no primeiro par e d(B2, C2) no segundo. Como os elementos escolhidos
podem nao ser os menores valores em cada par de distancias, entao o mınimo e menor
ou igual que a distancia escolhida. Com tudo isto obtem-se que d(B1 ∪B2, C1 ∪C2) ≤
max{d(B1, C1), d(B2, C2)} e, de forma analoga,
d(C1 ∪ C2, B1 ∪B2) ≤ max{d(C1, B1), d(C2, B2)}.
Daqui vem que
h(W2(B),W2(C)) = h(B1 ∪B2, C1 ∪ C2) =
= max{d(B1 ∪B2, C1 ∪ C2), d(C1 ∪ C2, B1 ∪B2)} ≤
≤ max{d(B1, C1), d(B2, C2), d(C1, B1), d(C2, B2)}.
Mas, escolher o maximo entre estas quatro entidades e o mesmo que dividi-las em dois
pares, escolher o maximo em cada um desses pares, e depois o maximo entre os dois
valores obtidos. Assim, como e conveniente neste caso, dir-se-a que a ultima expressao
designatoria e igual a
max{max{d(B1, C1), d(C1, B1)},max{d(B2, C2), d(C2, B2)}},
que corresponde a max{h(B1, C1), h(B2, C2)}, isto e,
max{h(w1(B), w1(C)), h(w2(B), w2(C))}.
Como w1 e w2 sao contraccoes de factor s1 e s2 respectivamente, entao este ultimo
resultado e menor ou igual a max{s1.h(B,C), s2.h(B,C)} o que equivale a s.h(B,C),
sendo s = max{s1, s2}. Portanto, W2 e uma contraccao de factor de contraccao s.
Suponha-se agora que para N = k e verdade o seguinte: a aplicacao Wk : H(X )→
H(X ) tal que Wk(B) = w1(B) ∪ w2(B) ∪ . . . ∪ wk(B) =k⋃
n=1
wn(B),∀B ∈ H(X ) e uma
contraccao em H(X ) com factor de contraccao sk = max{sn : n = 1, 2, . . . , k}.
Prove-se agora que a proposicao tambem sera verdadeira para N = k + 1. Sejam,
entao, w1, w2, . . . , wk, wk+1 : H(X )→ H(X ) as contraccoes com factores de contraccao
4. SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 35
s1, s2, . . . , sk, sk+1 respectivamente, que definem Wk+1. Dados dois pontos quaisquer B
e C de H(X ), vem que
h(Wk+1(B),Wk+1(C)) =
=h(w1(B) ∪ . . . ∪ wk(B) ∪ wk+1(B), w1(C) ∪ w2(C) ∪ . . . ∪ wk(C) ∪ wk+1(C)) =
=h(Wk(B) ∪ wk+1(B),Wk(C) ∪ wk+1(C)).
Pelo resultado ja comprovado para N = 2, sabe-se que o anterior e menor ou igual a
max{h(Wk(B),Wk(C)), h(wk+1(B), wk+1(C))}.
Utilizando agora a hipotese e o facto de wk+1 ser uma contraccao de factor sk+1 vem
que o anterior e menor ou igual a
max{sk.h(B,C), sk+1.h(B,C)}
que e igual a s.h(B,C), sendo s = max{sn : n = 1, 2, . . . , k + 1}.
Portanto, pelo metodo de inducao matematica, a proposicao e verdadeira para todo
N ∈ N, isto e, W e contraccao em H(X ) com factor de contraccao s. �
Definiu-se o que e necessario para ter um Sistema de Funcoes Iteradas (SFI)
que consiste num e.m. (X, d) no qual se define um conjunto finito de contraccoes
wn : X → X com os respectivos factores de contraccao sn, n = 1, 2, . . . , N . Denota-se
este SFI por {X;wn, n = 1, 2, ..., N} e o seu factor de contraccao e
s = max{sn : n = 1, 2, . . . , N}.
Como W (definida como no Teorema 4, pagina 32), e uma contraccao no espaco
metrico completo (H(X ), h(d)) entao, pelo Teorema 3, pagina 27, {W n(B)}∞n=1 e uma
sucessao de Cauchy emH(X ), que converge para o ponto fixo de W independentemente
do ponto B de H(X ) com que se inicia a iteracao. Diz-se que esse ponto fixo de W e
o ponto fixo do SFI e chama-se-lhe Fractal.
Finalmente pode apresentar-se uma definicao de fractal.
36 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Definicao 15. Seja (X,d) um e.m. completo. Seja {X;wn, n = 1, 2, . . . , N} um
SFI em X, constituıdo por N contraccoes, cada uma com o respectivo factor de con-
traccao sn. O ponto fixo deste SFI diz-se um FRACTAL.
Esta nao e “a” definicao de fractal. Na verdade, como ja foi dito na Introducao,
nao existe uma definicao de fractal porque qualquer uma delas pode excluir conjuntos
ou objectos com caracterısticas que permitem considera-los de natureza fractal. Esta
definicao apenas define fractal enquanto ponto fixo de um sistema de funcoes iteradas.
Trata-se apenas de uma das classes de fractais. Por outro lado, esta definicao inclui
alguns conjuntos que, na pratica, nao sao habitualmente considerados fractais. E o
caso do de um Intervalo em R (ver Exemplo 10, pagina 37) que, sendo o ponto fixo de
um SFI, e um conjunto que pode descrever-se de forma simples, quer a nıvel global,
quer local, ao contrario daqueles conjuntos que sao tidos, por quem conhece o conceito,
como fractais.
Tal como todos os entes matematicos, os fractais so existem em estado puro na
mente humana, pois e impossıvel, em tempo e em espaco, concretiza-los graficamente,
ja que nao e possıvel determinar um numero infinito de iteradas de uma funcao. O
computador e uma ferramenta muito valiosa no estudo e na construcao de fractais
porque permite realizar com rapidez uma enorme quantidade de calculos e representa-
los graficamente com grande precisao, dando ainda a possibilidade de facilmente poder
observar-se na figura as implicancias da alteracao de alguns parametros nas expressoes
das funcoes que constituem o SFI que ela representa. Ainda assim, e por muito potente
que seja a maquina, a sua capacidade de calculo e de representacao grafica e sempre
limitada; ha que ter isso em consideracao e imaginar o que esta nao consegue executar.
5. Exemplos de Fractais definidos por Sistemas de Funcoes Iteradas
Apresentam-se agora alguns exemplos de Fractais segundo a Definicao 15 e tambem
algumas observacoes.
5. EXEMPLOS DE FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 37
Exemplo 8 (Ha unicidade do SFI que produz um fractal?). Nao ha uni-
cidade. Por exemplo, os SFI’s {R; w1 = 12x, w2 = 1
2x + 1
2} e {R; w1 = 1
3x, w2 =
13x+ 1
3, w3 = 1
3x+ 2
3} definem ambos o mesmo fractal - o intervalo [0, 1]. �
Exemplo 9 (Triangulo de Sierpinski). Apresenta-se de novo este exemplo, desta
vez indicando um SFI que o produz: {R2;w1, w2, w3} em que
w1(x, y) = (12x, 1
2y),
w2(x, y) = (12x, 1
2y) + (1
2, 0), e
w3(x, y) = (12x, 1
2y) + (1
4,√
34
).
Viu-se que um sistema de funcoes iteradas converge sempre para o mesmo ponto
de H(R2) independentemente do ponto com o qual se comece a iteracao. Assim, para
obter o Triangulo de Sierpinski, nao e obrigatorio comecar com um triangulo, podendo
iniciar a iteracao a partir de qualquer conjunto compacto nao vazio de R2, como por
exemplo um quadrado “cheio’. A partir de uma ordem suficientemente grande, e irre-
levante a diferenca entre cada uma das figuras que compoem cada iteracao e cada um
dos triangulos que a comporiam caso se iniciasse com um triangulo (veja-se a Figura
1.13). Comecando com um triangulo de lado lo, a n-esima iteracao e composta por
3n triangulos de lado (12)n × lo e a sua area total e de A0 × (3
4)n (em que A0 e a area
do triangulo inicial), que tende para zero quando o numero de iteracoes tende para
infinito; ou seja, o fractal Triangulo de Sierpinski tem area nula. No entanto, o seu
perımetro e infinito. Iniciando com um triangulo equilatero de lado lo, o perımetro da
figura correspondente a n-esima iteracao e Pn = (12)n × lo × 3× 3n = 3× (3
2)n × lo que
tende para +∞ quando n tende para +∞. �
Exemplo 10 (Um Intervalo em R). O SFI {R;w1, w2} em que w1(x) = 13x
e w2(x) = 23x + 1
3tem factor de contraccao igual a max{1
3; 2
3} = 2
3. Iniciando com
B0 = [0, 1], determine-se a primeira iteracao B1 :
B1 = W (B0) = w1(B0) ∪ w2(B0) = [0; 13] ∪ [1
3; 1] = [0; 1] = B0. Entao B0 = B1 =
B2 = . . . = Bn = [0, 1] que tende para [0, 1] quando n tende para infinito; logo, segundo
a Definicao 15, [0, 1] e um fractal em R. Na pratica, este conjunto nao e considerado
38 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Figura 1.13. Um Fractal definido por um SFI e independente do elemento
inicial de H(X ) ao qual se aplica esse SFI.
um fractal por nao ter uma estrutura de detalhe intrincado, sendo um conjunto que se
pode definir facilmente tanto a nıvel global, como local. �
Exemplo 11 (O Conjunto de Cantor). O SFI {R;w1, w2} com w1(x) = 13x e
w2(x) = 13x + 2
3tem factor de contraccao igual a 1
3. A diferenca entre as expressoes
destas funcoes e as das funcoes do exemplo anterior e que os coeficientes da segunda
aplicacao foram trocados. Esta alteracao, aparentemente pouco significativa, e sufici-
ente para se obter um fractal mais interessante.
Aplique-se este SFI ao intervalo B0 = [0, 1].
B0
O resultado da primeira iteracao e B1 = W (B0) = w1(B0) ∪ w2(B0) = [0; 13] ∪ [2
3; 1] =
[0, 1] \]
13; 2
3
[.
B1
5. EXEMPLOS DE FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 39
A segunda iteracao sera B2 = W (B1) = w1(B1) ∪ w2(B1) =
= w1([0; 13] ∪ [2
3; 1]) ∪ w2([0; 1
3] ∪ [2
3; 1]) =
= w1([0; 13]) ∪ w1([2
3; 1]) ∪ w2([0; 1
3] ∪ w2([2
3; 1]) =
= [0; 19] ∪ [2
9; 1
3] ∪ [2
3; 7
9] ∪ [8
9; 1].
B2
E de seguida obtem-se os conjuntos abaixo representados:
B3
B4
O termo Bn da sucessao e constituıdo pela reuniao disjunta de 2n intervalos fecha-
dos, cada um de amplitude (13)n. O limite dos conjuntos Bn e definido por A =
∞⋂n=0
Bn
e chama-se “Conjunto de Cantor”. Trata-se de um conjunto compacto por ser a inter-
seccao de conjuntos compactos. Por outro lado, e um conjunto totalmente desconexo
(os seus unicos subconjuntos conexos sao formados por um unico ponto; veja-se a De-
finicao 53 na pagina 104). A nao seria totalmente desconexo se contivesse pelo menos
um intervalo [a, b]. No entanto, existe uma ordem N a partir da qual uma parte desse
intervalo e removida para formar o termo BN+1, logo, A nao contem intervalos mas
apenas conjuntos singulares. Tambem nao e um conjunto vazio ja que, por exemplo, 1
e 0 pertencem a A.
Sobre este fractal pode ainda dizer-se que e um conjunto perfeito (nao tem pontos
isolados) porque todos os seus pontos, sao pontos de acumulacao. Veja-se porque: Seja
x um elemento qualquer de A e seja ε > 0. Se x pertence a A, entao pertence a inter-
seccao de todos os conjuntos Bn que constituem cada uma das iteracoes. Sabe-se que
cada um desses conjuntos Bn e constituıdo por 2n intervalos fechados In1 , In2 , . . . , In2n
e x pertence a um desses intervalos - designe-se por Ink . Como todos esses interva-
los sao fechados, podem definir-se duas sucessoes: {mn}n∈N = {min{y ∈ Ink}}n∈N e
{Mn}n∈N = {max{y ∈ Ink}}n∈N. Entao, para qualquer iteracao n, existe um termo de
cada uma das duas sucessoes tal que mn ≤ x ≤ Mn. Por outro lado, cada intervalo
Ink tem amplitude (13)n, amplitude essa que tende para zero a medida que aumenta o
40 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
numero de iteracoes; pelo que a diferenca entre Mn e mn tambem tende para zero e,
portanto, ambas as sucessoes convergem para x, sendo que pelo menos uma delas nao
e constante a partir de certa ordem. Entao, dado ε > 0, existe pelo menos um ponto
de A na vizinhanca de x de raio ε e, por isso, x nao e ponto isolado de A.
Note-se ainda a propriedade de auto-semelhanca, caracterıstica dos fractais, e que
neste caso e exacta: em qualquer escala, ou seja, em qualquer das iteracoes, cada parte
que compoe o conjunto nela obtido e semelhante a uma das iteracoes anteriores. �
Exemplo 12. Um Caso Nao Linear
SFI: {R;w1, w2} em que: w1(x) = 19x2 e w2(x) = 3
4x+ 1
2.
Neste caso, umas das equacoes e do segundo grau, o que faz com que os intervalos
abertos eliminados em cada iteracao nao tenham todos a mesma amplitude, mas o
fractal obtido tem as mesmas propriedades gerais que o Conjunto de Cantor (veja-se a
Figura 1.14).
Figura 1.14. As primeiras duas iteradas de um SFI nao linear.
O factor de contraccao de w1 e4
9porque d (w1(x), w1(y)) =
∣∣∣∣19x2 − 1
9y2
∣∣∣∣ = =
1
9|x− y| |x+ y| ≤ 4
9d(x, y),∀x, y ∈ [0, 2] e o factor de contraccao de w2 e
3
4; pelo que
o factor de contraccao deste SFI e3
4. �
Exemplo 13 (A Curva de Peano). Esta curva inventada em 1890 por Giuseppe
Peano e um fractal cujo SFI e constituıdo por nove contraccoes do tipo w
xy
=
a b
c d
xy
+
ef
, todas de factor de contraccao 13
e cujos parametros sao os seguintes:
5. EXEMPLOS DE FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 41
a b c d e f
1/3 0 0 1/3 0 0
1/3 0 0 -1/3 0 -1/3
1/3 0 0 1/3 -1/3 -1/3
-1/3 0 0 1/3 1/3 -2/3
-1/3 0 0 -1/3 -2/3 0
-1/3 0 0 1/3 0 -1/3
1/3 0 0 1/3 -1/3 1/3
1/3 0 0 -1/3 1/3 -2/3
1/3 0 0 1/3 -2/3 0
Para construirmos a curva podemos comecar, por exemplo, com um segmento de
recta unitario e em seguida colocamos os nove segmentos de comprimento 13
como
mostra a Figura 1.15.
Figura 1.15. Resultado da primeira iterada do SFI que gera a curva de Peano.
O resultado que se obtem nas primeiras iteracoes e o que esta na Figura 1.16.
Prova-se que o fractal Curva de Peano e uma curva que cobre por completo um
quadrado e, assim sendo, faz sentido perguntar: Qual e a dimensao desta curva? �
Foi criado o conceito de dimensao fractal que mede a “quantidade” de recta, plano
ou espaco que ocupa um fractal. Tambem se pode pensar no valor da dimensao de
42 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Figura 1.16. Resultado das cinco primeiras iteradas do SFI que gera a
curva de Peano.
um fractal como um quantificador da sua “rugosidade”. Deste modo, a dimensao de
uma curva no plano pode ser um qualquer valor do intervalo [1, 2]. No Capıtulo 2, sera
explorado este conceito.
6. Fractais parecidos com objectos naturais
Exemplo 14 (Feto Fractal). Um dos exemplos mais conhecidos de forma fractal
na Natureza e a folha do feto. Nesta planta e muito facil observar e compreender a pro-
priedade da auto-semelhanca de um fractal ja que esta cresce repetindo sensivelmente
a mesma forma em escalas cada vez menores (uma parte da folha, parece-se muito
com a folha inteira). O SFI que se apresenta, definido em R2, e formado por quatro
contraccoes e tem um ponto fixo cuja forma e muito semelhante a folha do feto. A pri-
meira contraccao define a “subfolha” esquerda de baixo como reducao da folha inteira,
a segunda define a “subfolha” direita de baixo, a terceira define o conjunto formado
pelas restantes “subfolhas” e a quarta, que define o caule, e uma contraccao cujo factor
de reducao na horizontal e muito menor que o factor de reducao na vertical. Cada
uma das quatro contraccoes consiste num reescalamento, seguido de uma rotacao (que
pode ser diferente relativamente a cada um dos eixos coordenados, produzindo, nesse
caso, uma “distorcao”), e finalmente uma translacao. Cada uma delas pode, portanto,
escrever-se analiticamente na forma w(x) = w
x1
x2
=
a b
c d
x1
x2
+
ef
= Ax+ t
sendo a matriz A do tipo A =
r1 cos θ1 −r2 sin θ2
r1 sin θ1 r2 cos θ2
em que r1 e r2 correspondem aos
factores de reescalamento horizontal e vertical, respectivamente, e θ1 e θ2 correspondem
aos angulos de rotacao relativamente a cada um dos eixos coordenados (veja-se a Figura
6. FRACTAIS PARECIDOS COM OBJECTOS NATURAIS 43
1.17). Este tipo de transformacao e uma transformacao afim; e quando 0 ≤ r1 ≤ 1,
0 ≤ r2 ≤ 1 e pelo menos um dos factores r1 e r2 e diferente de 1, trata-se de uma con-
traccao (ver a Definicao 13, pagina 22). Se 0 < r1 = r2 < 1 tem-se uma reducao (ver
a Definicao 47, pagina 96). Se r1 for negativo, a transformacao w contem, em si, uma
simetria relativamente ao eixo das coordenadas e se r2 for negativo, a transformacao
w contem em si uma simetria relativamente ao eixo das abcissas.
Como a ordem em que as transformacoes sao aplicadas pode ter influencia no re-
sultado, a ordem sera sempre a seguinte:
1o - reescalamentos,
2o - simetrias,
3o - rotacoes,
4o - translacoes.
Figura 1.17. Reescalamento de um quadrilatero com distorcao.
Os coeficientes de cada uma das aplicacoes que constituem o SFI apresentam-se na
tabela que se segue:
Contraccao r1 r2 θ1 θ2 e f
w1 0,3 0,5 45 45 0,4 0
w2 0,3 0,5 -45 -45 0,4 0,15
w3 0,8 0,78 5 5 0,1 0,2
w4 0,02 0,3 0 0 0,49 0
O resultado de algumas iteracoes estao na Figura 1.18.
�
44 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
iterada 0 iterada 1 iterada 2
iterada 3 iterada 4 iterada 7
iterada 10 iterada 15 iterada 30
Figura 1.18. Representacao grafica de algumas das iteradas de um SFI que
define um fractal que se assemelha a um feto.
7. Sistemas de Funcoes Iteradas com Conjunto de Condensacao
Vejam-se agora exemplos de fractais definidos por SFI com conjunto de condensacao.
Um “SFI com Conjunto de Condensacao” e um SFI ao qual se acrescenta uma aplicacao
constante em H(X ). Antes de um exemplo, apresentam-se as definicoes e os resultados
necessarios para a sua compreensao.
7. SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS COM CONJUNTO DE CONDENSACAO 45
Definicao 16. Seja (X, d) um e.m. e seja C ∈ H(X ). Considere-se a trans-
formacao w0H(X ) → H(X ) tal que w0(B) = C, ∀B ∈ H(X ). A w0 chama-se trans-
formacao de condensacao e diz-se que C e o seu conjunto de condensacao
associado.
Proposicao 9. Seja (X, d) um e.m. e seja wo : H(X ) → H(X ) uma trans-
formacao de condensacao cujo conjunto de condensacao associado e C ∈ H(X ). Entao
w0 e uma contraccao com factor de contraccao igual a zero e C e o seu ponto fixo.
Demonstracao. Sejam A, B ∈ H(X ). Entao, h (wo(A), wo(B)) = h(C,C) = 0 =
0 · h(A,B). Portanto, wo e uma e uma contraccao em H(X ) com factor de contraccao
igual a zero. Para alem disso, w0(C) = C, pelo que C e o ponto fixo de w0. �
Definicao 17. Seja {X;w1, w2, . . . , wn} um SFI com factor de contraccao 0 ≤
s < 1. Seja w0 : H(X ) → H(X ) uma transformacao de condensacao. Entao, a
{X;w0, w1, w2, . . . , wn} chama-se SFI com condensacao com factor de contraccao
s.
Pode agora adaptar-se o Teorema 4 para sistemas de funcoes iteradas com conjunto
de condensacao:
Teorema 5. Seja (X, d) um e.m. e seja (X;wn : n = 0, 1, 2, . . . , N} um SFI com
condensacao com factor de contraccao s. Entao, a transformacao W : H(X )→ H(X )
definida por W (B) =N⋃n=0
wn(B), ∀B ∈ H(X ) e uma contraccao em (H(X ), h(d)) com
factor de contraccao s.
Demonstracao. A demonstracao e identica a do Teorema 4 ja que neste caso se
tem um SFI com N + 1 contraccoes sendo o factor de contraccao de pelo menos uma
delas igual a zero. �
Note-se que o unico ponto fixo da funcao W definida no Teorema anterior e A ∈
H(X ) tal que A = W (A) =⋃Nn=0Wn(A) e e dado por A = lim
nW n(B),∀B ∈ H(X ).
46 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Exemplo 15 (SFI com Condensacao no Plano Complexo). Considere-se o
SFI com condensacao: {C;w0, w1, w2} em que:
w0(B) = T com T = {z ∈ C : −12≤ Re(z) ≤ 1
2∧ 0 ≤ Im(z) ≤ 10}, ∀B ∈ H(X ),
w1(x) = 0, 75eπ4iz + 10i e w2(x) = 0, 75e−
π4iz + 10i
O factor de contraccao deste SFI e de 0, 75 e o conjunto que se obtem depois de
cinco iteracoes do conjunto Bo = T e o que esta representado na figura 1.19.
Figura 1.19. Imagem obtida depois de cinco iteracoes num SFI com con-
junto de condensacao.
Poder-se-ia depois modificar alguns parametros nas funcoes e verificar que alteracoes
isso provoca na imagem obtida. Com SFI’s identicos ao anterior podem obter-se con-
juntos como os representados na Figura 1.20.
Este e um dos exemplos onde se pode observar a estreita relacao existente entre a
Geometria Fractal e a Natureza. Na verdade, e contrariamente a Geometria Euclidiana
que dificilmente tera na Natureza uma fiel representacao de algum dos seus objectos, a
Geometria Fractal sera talvez aquela que melhor se adequa, de uma forma umas vezes
mais, outras vezes menos grosseira (ja que, como foi dito, os fractais no seu estado puro
so existem na mente humana) ao estudo das formas da Natureza: arvores e plantas,
flocos de neve, sistemas de irrigacao sanguınea e de distribuicao de oxigenio, galaxias,
recortes da costa dos continentes, nuvens, relampagos, ... e ainda numa multiplicidade
de processos fısicos e quımicos como a cristalizacao, movimentos de partıculas num
fluıdo, electrolise, etc. ... �
Exemplo 16 (Serie geometrica de ciprestes - um fractal em R2 gerado
por por um SFI com condensacao). A imagem representada na Figura 1.21 e
8. O PROBLEMA INVERSO - MODELACAO COM SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 47
Figura 1.20. Imagens de plantas virtuais geradas a partir de Sistemas de
Funcoes Iteradas com Conjunto de Condensacao.
conseguida com o SFI com condensacao {R2;w0, w1} em que: w0(B) = C, ∀B ∈ H(X ),
com
C = {(x, y) ∈ R2 : (−0, 5 ≤ x ≤ 0, 5 ∧ 0 ≤ y ≤ 3) ∨ 4
9x2 +
(y − 6)2
9= 1} e
w1(x, y) = w1
xy
=
2225
0
0 2225
xy
+
3
0
.
O factor de contraccao deste SFI e de22
25e o conjunto que se obtem apos oito
iteracoes do conjunto Bo = C e o que esta representado na Figura 1.21.
Com este tipo de procedimento, utilizando uma arvore mais “verıdica” e mais al-
gumas contraccoes, pode conseguir-se a simulacao virtual de uma paisagem. �
8. O Problema Inverso - Modelacao com Sistemas de Funcoes Iteradas
Ate agora mostrou-se como se constroem (aproximacoes de) fractais definidos por
sistemas de funcoes iteradas e um dos resultados conseguidos foi a obtencao de imagens
identicas as de objectos naturais como os que estao representados na Figura 1.20, pagina
47 e na Figura 1.18, pagina 44. O que se pretende ver agora e o processo inverso, isto
48 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Figura 1.21. Simulacao de avenida ladeada por arvores, gerada a partir de
um Sistema de Funcoes Iteradas com Conjunto de Condensacao.
e, dada uma imagem de um objecto natural, encontrar um SFI cujo ponto fixo seja a
imagem dada ou algo aproximado. Parte da resposta para este problema e dada pelo
Teorema da Colagem, que da uma ideia de quao proximo esta um conjunto dado do
ponto fixo de um SFI.
Teorema 6 (Teorema da Colagem). Seja (X, d) um e.m. completo. Seja L ∈
H(X) um conjunto dado e seja ε > 0. Escolha-se um SFI (ou um SFI com Con-
densacao) {X; (w0), w1, w2, . . . , wN} com factor de contraccao 0 ≤ s < 1, de modo
que h
(L,
N⋃n=1(n=0)
wn(L)
)≤ ε, onde h(d) e a metrica de Hausdorff. Entao, para todo
L ∈ H(X ), h(L,A) ≤ ε
1− s, sendo A o ponto fixo do SFI (ou, de forma equivalente,
h(L,A) ≤ (1− s)−1h
(L,
N⋃n=1(n=0)
wn(L)
)).
Para demonstrar este Teorema e necessario demonstrar previamente o lema que se
segue.
Lema 5. Seja (X, d) um e.m. completo. Seja f : X → X uma contraccao com
factor de contraccao 0 ≤ s < 1 e seja xf ∈ X o ponto fixo de f . Entao, d(x, xf ) ≤
(1− s)−1d(x, f(x)), para todo x ∈ X.
8. O PROBLEMA INVERSO - MODELACAO COM SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 49
Demonstracao. Sabe-se, pela Proposicao 1, que a funcao distancia a um ponto
dado de X e uma funcao contınua em X. Entao, aplicando o Teorema 3, pagina 27 e
a Proposicao 7, pagina 26, vem que para qualquer x ∈ X
d(x, xf ) = d(x, lim
n→∞fn(x)
)= lim
n→∞d(x, fn(x))
≤ limn→∞
n∑m=1
d(f (m−1)(x), f (m)(x))
≤ limn→∞
d(x, f(x))(1 + s+ · · ·+ sn−1) ≤ (1− s)−1d(x, f(x)).
�
Demonstracao do Teorema da Colagem. Para demonstrar este Teorema basta usar
o Lema 5 substituindo f porN⋃
n=1(n=0)
wn(L), xf por A e x por L pois, pelo Teorema 4,
pagina 32,N⋃
n=1(n=0)
wn(L) e uma contraccao de factor de contraccao s. �
O Teorema da Colagem diz que para se encontrar um SFI cujo ponto fixo seja
“proximo” ou “se pareca com” um conjunto previamente dado, ha que procurar um
conjunto de contraccoes definidas num espaco metrico adequado, de tal modo que a
reuniao (ou a “colagem”) das imagens do conjunto, obtidas atraves dessas contraccoes,
seja proxima do conjunto dado. Essa proximidade e medida usando a metrica de Haus-
dorff. Como consequencia deste Teorema, tem-se que qualquer compacto nao vazio de
Rn pode ser aproximado por um conjunto auto-semelhante de forma tao arbitraria-
mente proxima quanto se queira.
Este Teorema leva a possibilidade de substituir uma imagem real pelo ponto fixo
de un SFI; ou seja, oferece a possibilidade de representar uma imagem atraves de um
modelo fractal da mesma. Como um conjunto de expressoes matematicas ocupa, em
geral, muito menos espaco na memoria de um computador que o conjunto de pixels que
constituem essa imagem, este Teorema leva tambem a possibilidade de armazenamento
de imagens digitais de forma muito mais economica. Alem disso, consegue-se uma
representacao da imagem considerada que e independente da resolucao, visto que, ao
calcular numericamente o ponto fixo do SFI, e possıvel realizar iteracoes sucessivas,
acrescentando progressivamente mais detalhe.[38]
50 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Veja-se agora um exemplo de aplicacao do Teorema da Colagem.
Exemplo 17. Pretende-se encontrar um SFI que defina uma imagem semelhante
a folha a esquerda na Figura 1.22. Para tal, efectuou-se uma “colagem” com seis
contraccoes dessa folha como se mostra na mesma figura, a direita.
Figura 1.22. A esquerda a folha que se pretende representar atraves do
ponto fixo de um SFI e a direita a imagem dessa folha por seis contraccoes
diferentes juntamente com o contorno da folha original.
Os coeficientes de cada uma das aplicacoes sao apresentados na Tabela 1.1 (ver a
matriz no Exemplo 14, pagina 42 e a Figura 1.17, pagina 43).
Contraccao r1 r2 θ1 θ2 e f
w1 0,436 0,595 -8,5 -8,5 0,18 0,55
w2 0,338 0,573 42,9 42,9 0,37 0,42
w3 0,423 0,665 -37 -37 0,22 0,53
w4 0,469 0,672 66,2 66,2 0,62 0,16
w5 0,408 0,804 -42 -42 0,15 0,21
w6 0,713 0,675 2,5 2,5 0,12 0
Tabela 1.1. Coeficientes de cada uma das contraccoes do Exemplo 17.
8. O PROBLEMA INVERSO - MODELACAO COM SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS 51
Os factores de contraccao das seis transformacoes usadas, w1, w2, . . . , w6, sao, res-
pectivamente, s1 = 0, 595, s2 = 0, 573, s3 = 0, 665, s4 = 0, 672, s5 = 0, 804, e s6 =
0, 713. Portanto, o SFI tem factor de contraccao s = 0, 804.
De seguida introduziram-se os coeficientes de cada uma das aplicacoes num soft-
ware1 para representacao grafica de SFI Deterministas. A distancia de Hausdorff entre
a reuniao das seis imagens da folha original e a propria folha, representada na Figura
1.22 pela sua fronteira, e de, aproximadamente, 0,85 unidades (tendo a moldura da
imagem 11 unidades de largura e 14 unidades de comprimento). O Teorema da Cola-
gem garante, entao, que a distancia de Hausdorff h(Euclideana) entre a folha original
e o ponto fixo do SFI utilizado sera inferior a0, 85
1− 0, 804≈ 4, 33 unidades, o que nao
e nada prometedor... Ainda assim, com este SFI, iniciando-se o processo de iteracao
com um quadrado, ao fim de seis iteradas obteve-se a imagem da Figura 1.23 que,
apesar das fracas expectativas, revela alguma semelhanca com a folha que se pretendia
representar. �
Figura 1.23. A iteracao zero e o resultado obtido ao fim de seis iteracoes
atraves de um SFI constituıdo por seis contraccoes em R2.
1Deterministic IFS - Applet interactivo disponıvel em
http://classes.yale.edu/Fractals/Software/detifs.html.
52 1. FRACTAIS DEFINIDOS POR SISTEMAS DE FUNCOES ITERADAS
Por norma e facil a computacao necessaria para desenhar um objecto recorrendo a
um IFS, dados os parametros das contraccoes e, alem disso, pequenas alteracoes nos
mesmos produzem pequenas alteracoes nos pontos fixos do IFS. Saliente-se ainda que
as transformacoes do IFS definem a imagem a escalas arbitrariamente pequenas o que
permite conseguir zooms de pequenas regioes da mesma. A construcao de objectos
naturais recorrendo a IFS e, portanto, muito pratica e util, sobretudo se o que se
pretende e uma perspectiva global do objecto. Se, pelo contrario, a alta correlacao
entre diferentes partes da imagem for um obstaculo e se, por exemplo, se pretenderem
posicoes e arranjos diferentes de folhas em cada ramo de uma arvore, entao a construcao
com recurso a um IFS nao servira de nada. Para alem disso, conseguir um conjunto
optimo de contraccoes para representar bem um dado objecto, nem sempre e simples.
CAPıTULO 2
A Dimensao Fractal
53
54 2. A DIMENSAO FRACTAL
2. A DIMENSAO FRACTAL 55
Nos “Elementos” de Euclides ja se define, implicitamente, o conceito de dimensao.
Diz-se que uma figura tem dimensao 1 se a sua fronteira e composta por pontos; tem
dimensao dois se a sua fronteira e composta por linhas e tem dimensao tres se a sua
fronteira for constituıda por superfıcies. Se um conjunto for totalmente desconexo,
a sua dimensao topologica e zero. Em geral, um objecto tem dimensao n se a sua
fronteira tiver dimensao n − 1. A dimensao euclidiana de um objecto e sempre um
numero inteiro e representa a menor dimensao do espaco em que esse objecto pode
estar inserido.
Das caracterısticas que definem um fractal, uma das mais importantes e a dimensao
fractal que representa o nıvel de irregularidade de um objecto geometrico. A dimensao
fractal de um conjunto pode ser diferente da sua dimensao topologica e, inclusivamente,
pode ser um numero nao inteiro. Sendo assim, quanto maior a irregularidade de uma
forma, isto e, quanto maior for a densidade do espaco ocupado pelo objecto no espaco
metrico em que se insere, maior e a diferenca entre a sua dimensao fractal e a sua
dimensao topologica. Por isso, a dimensao fractal pode ser uma ferramenta util e
objectiva de comparacao entre duas formas fractais. Objectos “pouco irregulares” e
compactos tem, em geral, a dimensao fractal igual a dimensao topologica.
Existem varias definicoes de dimensao fractal e cada uma tem os seus metodos para
estimar o seu valor. Nem todos os metodos podem ser aplicados a qualquer tipo de
estrutura e em cada caso ha que escolher um que seja adequado. E necessario que,
quando se fale de dimensao fractal, se saiba qual e o metodo de calculo que esta a ser
usado nessa situacao. A utilizacao de definicoes diferentes de dimensao pode originar a
obtencao de resultados diferentes para um mesmo objecto. A maior parte das definicoes
de dimensao de um conjunto dependem de uma medicao desse conjunto a escala r, que
quantifica a sua irregularidade quando observado a essa escala. A dimensao e, entao,
usualmente definida em termos do comportamento da lei potencial dessa medicoes, a
medida que r tende para zero. De entre as diversas definicoes de dimensao fractal, as
mais conhecidas e utilizadas sao a Dimensao de Hausdorff e a Dimensao de Contagem
56 2. A DIMENSAO FRACTAL
de Caixas. A primeira porque e baseada em medidas que sao relativamente faceis de
manipular (embora em muitos casos seja difıcil de calcular ou de estimar, mesmo por
metodos computacionais) e a segunda porque e bastante simples de estimar. Ambas sao
matematicamente convenientes por estarem definidas para qualquer conjunto. Estas
duas definicoes serao aqui apresentas e analisadas.
As dimensoes fractais podem ser associadas a objectos reais tais como a superfıcie
das nuvens e superfıcies topograficas, arvores e folhas, linhas costeiras, redes de neuronios
e redes de irrigacao sanguınea, po no ar num determinado instante, constituicao de te-
cidos, a superfıcie rugosa do mar durante uma tempestade, a superfıcie de uma celula
cancerıgena, etc, etc. . . Estes numeros permitem modelar fractais do mundo real com
fractais de laboratorio, tais como os pontos fixos de sistemas de funcoes iteradas; isto
e, permitem que se modele o mundo fısico real. Ter-se-a particular atencao nos sub-
conjuntos compactos de espacos metricos com especial preferencia por Rn com a metrica
euclidiana. A assuncao da compacidade com que ja se trabalhou no Capıtulo I permite
que os modelos se adaptem melhor aos objectos estudados e que sejam manuseados
teoricamente com alguma facilidade.
A dimensao de Hausdorff e baseada na construcao de medida de Caratheodory. As-
sim, far-se-a primeiro essa construcao, com a devida apresentacao dos conceitos basicos
necessarios para tal e so depois sera apresentada a definicao de dimensao de Hausdorff.
Depois de analisadas algumas das suas propriedades segue-se a apresentacao da de-
finicao de dimensao de contagem de caixas; o estudo de algumas das suas propriedades
e, finalmente, sera feita a comparacao entre as duas definicoes.
A estimativa da Dimensao Fractal determina a complexidade de objectos fractais,
e pode ser estendida para diversas aplicacoes.
Ao longo de todo o capıtulo serao apresentados exemplos sempre que se considerar
oportuno.
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 57
1. Construcao de uma Medida pelo metodo de Caratheodory
Para definir dimensao de Hausdorff e necessaria a definicao de medida de Haudorff,
pelo que antes e necessario definir “medida”. Definir uma medida corresponde a de-
terminar uma forma de atribuir um valor numerico ao “tamanho” de um conjunto,
de modo que se um conjunto for decomposto, respeitando determinadas regras, num
numero finito ou numeravel de partes, entao o “tamanho” do todo e a soma dos “ta-
manhos” das partes. As nocoes mais intuitivas de medida sao as de comprimento, area
e volume de subconjuntos de Rn. Porem, contrariamente ao que a intuicao de cada um
possa dizer, ha conjuntos que nao sao mensuraveis, isto e, para os quais nao pode ser
definida uma medida.
As σ-algebras sao o ambiente ideal para desenvolver a nocao de medida de conjuntos.
Por isso vai usar-se aqui a definicao de medida em σ-algebras.
Todos estes conceitos necessarios para chegar a definicao de dimensao de Hausdorff
serao agora introduzidos.
Dado um conjunto X nao vazio, denota-se por P(X) a coleccao de todos os
subconjuntos de X. Matematicamente, sera equivalente escrever A ⊂ X ou escre-
ver A ∈ P(X). Alem disso, X e subconjunto de si proprio, por isso X ∈ P(X) e
convenciona-se que ∅ ∈ P(X). Para cada A ⊂ X, denota-se por Ac o conjunto X \ A
que se designa por complementar de A em X.
Definicao 18. Seja X um conjunto nao vazio e M uma coleccao de subconjuntos
de X, isto e, M⊂ P(X). Diz-se que M e uma σ-algebra em X se se verificarem os
seguintes requisitos:
(1) ∅ ∈ M e X ∈M.
(2) Se A ∈M, entao Ac ∈M.
(3) Se {An}n∈N e uma coleccao numeravel arbitraria de elementos de M, entao⋃n∈N
An tambem e um elemento de M.
58 2. A DIMENSAO FRACTAL
Definicao 19. Seja X um conjunto nao vazio e M uma σ-algebra em X. Ao par
(X,M) chama-se espaco mensuravel.
Definicao 20. Seja (X,M) um espaco mensuravel. Os subconjuntos A ⊂ X
que sao membros da σ-algebra M dizem-se conjuntos mensuraveis (em relacao a
σ-algebra M).
O conceito de medida sera introduzido mais a frente para conjuntos que sejam
mensuraveis. Ha que ter em consideracao que um conjunto pode ser mensuravel em
relacao a uma σ-algebra e nao o ser em relacao a outra.
De seguida apresentam-se alguns resultados uteis.
Proposicao 10. Se A1, A2, . . . , An e uma coleccao de n elementos de uma σ-
algebra M, entao A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An e tambem um elemento de M.
Demonstracao. Se se definir Am = ∅ para todo m > n tem-se, pelo item 3 da
definicao de σ-algebra, que A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An =⋃a∈N
Aa e um elemento de M. �
Proposicao 11. Seja X um conjunto nao vazio. Se M e uma σ-algebra em X, e
A e B sao elementos de M, entao A ∩B tambem pertence a M.
Demonstracao. Sabe-se que A ∩ B = (Ac ∪Bc)c. Pelo item 2 da definicao de
σ-algebra (Definicao 18) tem-se que se A e B pertencem a M, entao Ac e Bc tambem
sao elementos deM, e pela Proposicao 10, a sua reuniao tambem o e. Novamente pelo
item 2 ja referido, tem-se que o complementar de Ac ∪Bc tambem pertence a M. �
Proposicao 12. Seja X um conjunto nao vazio. Se M e uma σ-algebra em X,
e se {An}n∈N e uma coleccao numeravel de elementos de M, entao⋂n∈N
An tambem
pertence a M.
Demonstracao. Sabe-se que⋂n∈N
An =
( ⋃n∈N
(An)c)c
. Pelo item 2 da definicao
de σ-algebra tem-se que Acn ∈ M para todo n ∈ N. Pelo item 3 vem que a reuniao
numeravel desses elementos de M tambem pertence a M e novamente pelo item 2,
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 59
tem-se que o complementar da reuniao dos complementares de todos os An tambem
pertence a M. �
Apresentam-se, de seguida, alguns exemplos muito simples de σ-algebras.
Exemplo 18. Seja X um conjunto nao vazio e M = {∅, X}. Entao, M e uma
σ-algebra em X.
O item 1 da definicao de σ-algebra esta automaticamente verificado. O mesmo
acontece com o item 2, visto que X e o complementar de ∅ em X e vice-versa. Tambem
se verifica o item 3, ja que X ∪∅ = X, ∅∪∅ = ∅ e X ∪X = X e estes sao os resultados
possıveis de reunioes com os elementos de M.
Esta σ-algebra chama-se σ-algebra indiscreta ou σ-algebra trivial e e a menor σ-
algebra que se pode formar em X. �
Exemplo 19. Seja M = P(X) a coleccao de todos os subconjuntos de X. Entao,
M e uma σ-algebra em X.
Verifica-se o item 1 da definicao de σ-algebra porque tanto X como ∅ sao elementos
de P(X). Alem disso, dados A e B dois subconjuntos de X, entao Ac ⊂ X e tambem
A ∪ B ⊂ X pelo que tanto Ac como a reuniao numeravel de subconjuntos de X serao
elementos de P(X). Portanto, M e uma σ-algebra em X.
Esta σ-algebra chama-se σ-algebra discreta e e a maior σ-algebra que se pode formar
em X. �
Exemplo 20. Seja X um conjunto nao vazio e A ⊂ X. Entao, a coleccao M =
{∅, A,Ac, X} e uma σ-algebra em X.
Visto que (Ac)c = A ficam verificados os items 1 e 2 da definicao de σ-algebra.
Quanto ao item 3, este tambem fica verificado se se tiver em conta que a reuniao de
∅ com qualquer conjunto e igual a esse mesmo conjunto, que a reuniao de X com
qualquer elemento de M e igual a X e que A ∪ Ac = X.
Esta σ-algebra e a menor σ-algebra em X que contem A. �
60 2. A DIMENSAO FRACTAL
Sabendo que cada σ-algebra consiste num subconjunto de P(X), faz sentido consi-
derar interseccoes e reunioes de σ-algebras. Apresenta-se agora a nocao de σ-algebra
gerada que ira ser necessaria um pouco mais adiante.
Proposicao 13. Seja X um conjunto nao vazio e {Mλ, λ ∈ I} uma coleccao de
σ-algebras em X (cada uma indexada por um elemento λ de um conjunto de ındices I
arbitrario). Entao, o subconjuntoMI de P(X) dado porMI =⋂λ∈IMλ e tambem uma
σ-algebra em X.
Demonstracao. Ha que ver se MI =⋂λ∈IMλ verifica os tres items da definicao
de σ-algebra. Como ∅ e X pertencem, por definicao de σ-algebra, a todos os conjuntos
Mλ com λ ∈ I, entao tambem pertencem a MI , ficando o primeiro item resolvido.
Para verificar o segundo item, considere-se que A ⊂ X e um elemento de MI .
Nesse caso, por definicao de MI , sabe-se que A ∈ Mλ para todo λ ∈ I. Como Mλ
e uma σ-algebra, entao tambem se tem que Ac ∈ Mλ, para todo λ ∈ I. Portanto,
A ∈⋂λ∈IMλ =MI .
O item 3 demonstra-se de forma analoga. Considera-se que {An, n ∈ N} e uma
coleccao numeravel de elementos deMI ; entao {An, n ∈ N} e uma coleccao numeravel
de elementos de cadaMλ qualquer que seja λ ∈ I. Como, para todo λ ∈ I,Mλ e uma
σ-algebra, entao sabe-se que⋃n∈N
An e tambem um elemento de cada Mλ e, portanto,
tambem e um elemento de⋂λ∈IMλ =MI . �
O resultado anterior e importante porque fornece um metodo para gerar σ-algebras.
Definicao 21. Seja A uma coleccao qualquer de subconjuntos de X. A interseccao
de todas as σ-algebras que contem A como um subconjunto chama-se σ-algebra ge-
rada por A e denota-se por M[A].
Assim, cada coleccao A de subconjuntos de um conjunto X tem automaticamente
uma σ-algebra associada: aquela que e gerada por A. Coleccoes convenientes de sub-
conjuntos de X podem gerar σ-algebras uteis.
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 61
De entre os muitos tipos de σ-algebras existentes, tem particular destaque aquelas
que sao geradas por topologias, as quais se chama σ-algebras de Borel e que desem-
penham um papel importante na Teoria da Medida. Estes conceitos irao ser agora
introduzidos e explicados ja que depois vao ser necessarios para a construcao da me-
dida de Hausdorff.
Definicao 22. Seja X um conjunto nao vazio. Uma coleccao τ de subconjuntos
de X (isto e, τ ⊂ P(X)) diz-se uma topologia em X se verificar o seguinte:
(1) ∅ ∈ τ e X ∈ τ .
(2) Se A ∈ τ e B ∈ τ , entao A ∩B ∈ τ .
(3) Se I e um conjunto arbitrario de ındices e Aλ ∈ τ para todo λ ∈ I, entao⋃λ∈I
Aλ tambem e um elemento de τ .
Observe-se que no item 3 da definicao anterior, nao e feita qualquer restricao ao
conjunto I de ındices, pelo que o mesmo pode ser um conjunto nao numeravel.
Definicao 23. Seja X um conjunto nao vazio e τ uma topologia em X. Ao par
(X, τ ) chama-se espaco topologico.
Definicao 24. Seja X um conjunto nao vazio e τ uma topologia em X. Se A ∈ τ
diz-se que A e um conjunto aberto em relacao a topologia τ . Se Ac ⊂ τ , entao
A diz-se fechado relativamente a topologia τ .
Note-se que ha conjuntos que podem ser simultaneamente abertos e fechados em
relacao a mesma topologia. Por exemplo, como ∅ e X pertencem sempre a τ e sao o
complementar um do outro, entao ∅ e X sao sempre abertos e fechados para qualquer
topologia. Note-se tambem que um conjunto pode ser aberto para uma topologia e nao
o ser para outra.
Proposicao 14. Seja X um conjunto nao vazio e τ uma topologia em X. Se
A1, . . . , An e uma coleccao de n conjuntos abertos em relacao a topologia τ , entao
A1 ∩ . . . ∩ An e tambem um conjunto aberto relativamente a essa topologia.
62 2. A DIMENSAO FRACTAL
Demonstracao. Se A1, A2 ∈ τ sabe-se, por definicao de topologia, que A1∩A2 ∈
τ . Agora, se A1∩A2, A3 ∈ τ entao (A1∩A2)∩A3 ∈ τ . Repetindo este processo recursivo
mais n− 3 vezes chega-se ao resultado pretendido. �
Apresentam-se agora alguns exemplos muito simples de topologias a semelhanca
dos exemplos ja apresentados de σ-algebras.
Exemplo 21. Seja X um conjunto nao vazio e τ = {∅, X}. Entao, τ e uma
topologia em X.
O item 1 da definicao de topologia esta automaticamente verificado. O mesmo
acontece com o item 2, visto que ∅ ∩X = X ∩ ∅ = ∅ ∈ τ . Tambem se verifica o item
3, ja que X ∪ ∅ = X ∈ τ .
Esta topologia chama-se topologia indiscreta ou topologia trivial e e a menor topo-
logia que se pode formar em X. �
Exemplo 22. Seja τ = P(X) a coleccao de todos os subconjuntos de X. Entao, τ
e uma topologia em X.
Verifica-se o item 1 da definicao de topologia porque tanto X como ∅ sao elementos
de P(X). Alem disso, dados A e B dois subconjuntos de X, entao A∩B ⊂ X pelo que
A∩B e um elemento de P(X). Se I e um conjunto arbitrario de ındices e Aλ ⊂ X para
todo λ ∈ I, entao⋃λ∈I
Aλ tambem e um subconjunto de X e, portanto, e um elemento
de τ = P(X).
Esta topologia chama-se topologia discreta e e a maior topologia que se pode formar
em X. �
Exemplo 23. Seja X um conjunto nao vazio e A ⊂ X. Entao, {∅, A,X} e uma
topologia em X.
O primeiro item da definicao de topologia esta verificado por definicao e tendo em
conta que A ∩ X = A e A ∩ ∅ = ∅ fica tambem verificado o item 2 da definicao de
topologia. Quanto ao item 3, este tambem fica verificado ja que a reuniao de ∅ com
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 63
qualquer conjunto e igual a esse mesmo conjunto e a reuniao de X com qualquer seu
subconjunto e igual a X.
Esta topologia e a menor topologia em X que contem A. �
Exemplo 24. Seja X um conjunto nao vazio e A,B ⊂ X. Entao, {∅, A,B,A ∩
B,A ∪ B,X} e uma topologia em X. Esta topologia e a menor topologia em X que
contem A e B. �
No Capıtulo 1 foi introduzida a definicao de conjunto fechado (Definicao 10, pagina
11) num espaco metrico; apresenta-se agora, por ser necessario mais a frente, a definicao
de conjunto aberto.
Definicao 25. Seja (X, d) um e.m. e A um subconjunto de X. A diz-se um
conjunto aberto em relacao a metrica d se para todo x ∈ A existe pelo menos
um numero real δ > 0 de modo a que para todo x′ ∈ X tal que d(x, x′) < δ tem-se que
x′ tambem pertence a A.
Note-se que, por definicao, o conjunto X e um conjunto aberto em relacao a metrica
d. Convenciona-se que ∅ e tambem um conjunto aberto em relacao a metrica d.
Proposicao 15. Seja (X, d) um espaco metrico e seja τd a coleccao de todos os
subconjuntos abertos de X em relacao a d. Entao τd e uma topologia.
Demonstracao. Tal como ja foi dito, X e ∅ sao conjuntos abertos em relacao a
metrica d, pelo que pertencem a τd.
Sejam A e B dois subconjuntos de X pertencentes a τd. Se A ∩ B = ∅ entao
A ∩ B ∈ τd, caso contrario, considere-se x ∈ A ∩ B. Por x ser um elemento de A e
A pertencer a τd, sabe-se que existe pelo menos um valor δ1 > 0 tal que para todo
o elemento x′ de X que esteja a uma distancia inferior a δ1 de x se tem x′ ∈ A.
Analogamente, por x ser um elemento de B e B pertencer a τd, sabe-se que existe pelo
menos um valor δ2 > 0 tal que para todo o elemento x′ de X que verifica d(x, x′) < δ2
se tem x′ ∈ B. Basta agora escolher δ = min{δ1, δ2} e tem-se que todo o elemento de
64 2. A DIMENSAO FRACTAL
X que diste de x menos que δ sera um elemento de A ∩ B. Logo, se A, B ∈ τδ entao
A ∩B ∈ τδ.
Considere-se agora I, um conjunto arbitrario de ındices e {Aλ}λ∈I uma coleccao de
elementos de τδ. Seja x ∈⋃λ∈I
Aλ; entao existe pelo menos um λ∗ ∈ I tal que x ∈ Aλ∗ .
E, nesse caso, existe pelo menos um δ > 0 tal que todos os elementos de X que distem
de x menos que δ sao tambem elementos de Aλ∗ ⊂⋃λ∈I
Aλ. Logo, se {Aλ}λ∈I e uma
coleccao arbitraria de elementos de τδ, entao⋃λ∈I
Aλ e tambem um elemento de τδ. �
Definicao 26. Seja (X, d) um espaco metrico. A topologia τd constituıda pela
coleccao de todos os subconjuntos abertos de X em relacao a metrica d chama-se to-
pologia induzida pela metrica d.
Definicao 27. Seja X um conjunto nao vazio e τ uma topologia em X. τ diz-se
uma topologia metrica se existir em X uma metrica d tal que τ = τd.
Exemplo 25. Quando X = R, o conjunto dos numeros reais, pode definir-se a
topologia metrica definida pela metrica euclidiana d(x, y) = |x − y|. Esta topologia
designa-se por topologia usual da recta, denota-se por τR e e constituıda pela coleccao
de todos os subconjuntos abertos de R em relacao a metrica euclidiana.
Para a < b ∈ R, todo o intervalo ]a, b[ e um elemento de τR e todo o intervalo [a, b]
e um conjunto fechado em relacao a τR. Veja-se, de seguida, porque:
]a, b[∈ τR se for aberto para a metrica d. Para qualquer x ∈]a, b[ seja δ = min{d(x, a),
d(x, b)}. Para todo x′ ∈ R tal que d(x, x′) < δ vem d(x, x′) < d(x, a) e d(x, x′) < d(x, b).
Usando estas duas desigualdades tem-se, por um lado, d(x′, a) ≤ d(x′, x) + d(x, a) <
d(x, b) + d(x, a) = d(a, b) (porque a < x < b) e, por outro lado, de forma analoga,
d(x′, b) ≤ d(x′, x) + d(x, b) < d(x, a) + d(x, b) = d(a, b).
Se as distancias de x′ a a e de x′ a b sao ambas inferiores a distancia entre a e b,
entao x′ ∈]a, b[. Portanto, ]a, b[ e aberto para a metrica euclidiana e, consequentemente,
]a, b[∈ τR.
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 65
Veja-se agora o caso do conjunto [a, b] cujo complementar e R\[a, b] =]−∞, a[∪]b,+∞[.
Verifique-se que ] −∞, a[∈ τR. Para isso, seja x ∈] −∞, a[ e seja δ = d(x, a). Para
qualquer x′ ∈ R tal que d(x, x′) < δ vem que x′ < x + d(x, a) = a porque x < a,
donde x′ ∈]−∞, a[ e, portanto, ]−∞, a[ e aberto para a metrica d. De forma analoga
tambem se prova que ]b,+∞[ e aberto para d. Como foi visto na demonstracao da
Proposicao 15, se ] −∞, a[ e ]b,+∞[ sao ambos abertos para a metrica euclidiana, o
mesmo se podera dizer de ]−∞, a[∪]b,+∞[. Entao ([a, b])c ∈ τR e [a, b] e fechado em
relacao a τR. �
Como cada topologia e, por si, um subconjunto de P(X), entao faz sentido consi-
derar reunioes e interseccoes de topologias.
Proposicao 16. Seja X um conjunto nao vazio e {τλ, λ ∈ I} uma coleccao de
topologias em X (cada uma indexada por um elemento λ de um conjunto de ındices
I arbitrario). Entao, o subconjunto τI de P(X) dado por τI =⋂λ∈I
τλ e tambem uma
topologia em X.
Demonstracao. Ha que ver se τI =⋂λ∈I
τλ verifica os tres items da definicao de
topologia. Como ∅ e X pertencem, por definicao de topologia, a todos os conjuntos τλ
com λ ∈ I, entao tambem se tem que ∅ ∈ τI e que X ∈ τI , pelo que o primeiro item
esta resolvido.
Para verificar o segundo item, considere-se que A,B ⊂ X sao elementos de τI .
Nesse caso, por definicao de τI , sabe-se que A,B ∈ τλ para todo λ ∈ I. Como τλ
e uma topologia, entao tambem se tem que A ∩ B ∈ τλ para todo λ ∈ I. Entao,
A ∩B ∈⋂λ∈I
τλ = τI , como se pretendia.
O item 3 demonstra-se de forma analoga. Considera-se que {Aµ, µ ∈ J} (onde
J e uma coleccao arbitraria de ındices) e uma coleccao de elementos de τI ; entao
{Aµ, µ ∈ J} e uma coleccao de elementos de cada τλ qualquer que seja λ ∈ I. Como,
para todo λ ∈ I, τλ e uma topologia, entao sabe-se que⋃µ∈J
Aµ e tambem um elemento
de cada τλ e, portanto, tambem e um elemento de⋂λ∈I
τλ = τI . �
66 2. A DIMENSAO FRACTAL
O resultado anterior e importante porque fornece um metodo para gerar topologias.
Definicao 28. Seja A uma coleccao qualquer de subconjuntos de X. A interseccao
de todas as topologias que contem A como um subconjunto chama-se topologia gerada
por A e denota-se por τ [A].
Assim, cada coleccao A de subconjuntos de um conjunto X tem automaticamente
uma topologia associada: a que e gerada por A. Coleccoes convenientes de subconjun-
tos de X podem gerar topologias uteis.
Existem agora as condicoes necessarias para definir a σ-algebra de Borel.
Definicao 29. Seja X um conjunto nao vazio e τ uma topologia em X. A σ-
algebra gerada pela topologia τ chama-se σ-algebra de Borel associada a topologia τ
em X e denota-se porM[τ ]. Os seus elementos chamam-se conjuntos de Borel ou
conjuntos Borelianos.
De outro modo, pode dizer-se que a famılia de subconjuntos de Borel de um dado
conjunto X e a menor famılia de conjuntos que verifica:
a) Qualquer conjunto aberto e um conjunto de Borel e qualquer conjunto fechado
e um conjunto de Borel.
b) Se A1, A2, . . . e uma coleccao numeravel de conjuntos de Borel, entao∞⋃i=1
Ai,∞⋂i=1
Ai e A1 \ A2 sao conjuntos de Borel.
Exemplo 26. A topologia usual da recta, τR, definida no Exemplo 25 que e cons-
tituıda pela coleccao de todos os subconjuntos abertos de R em relacao a metrica
euclidiana pode tambem ser definida de outra forma: seja A a coleccao de todos os
intervalos abertos ]a, b[ de R, com a < b. Tem-se que τR = τ [A], isto e, a topologia
usual e equivalente a topologia gerada pela coleccao de todos os intervalos abertos de
R.
Ja se sabe, pelo Exemplo 25, que A ⊂ τR. Como, por definicao, τ [A] e a menor
topologia que contem A, tem-se que τ [A] ⊂ τR. E necessario entao provar que τR ⊂
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 67
τ [A]. Pelo item 3 da definicao de topologia sabe-se que qualquer topologia que contenha
A contem tambem as reunioes arbitrarias de elementos de A. Se B e um elemento de
τR entao para cada x ∈ B existe um valor δ(x) > 0 tal que se |y− x| < δ, entao y ∈ B.
Pode portanto escrever-se que B =⋃x∈B
]x − δ(x), x + δ(x)[. Como todo o intervalo
do tipo ]x − δ(x), x + δ(x)[ e um elemento de A, vem que B, que e uma reuniao de
elementos de A, pertence a qualquer topologia que contenha A, nomeadamente a τ [A].
Portanto, τR ⊂ τ [A], como se pretendia. �
Exemplo 27. Os intervalos ]a, b[, [a, b[, ]a, b], com a < b e [a, b], com a ≤ b, sao
elementos da σ-algebra de Borel M[τR].
Como foi dito no Exemplo 25, pagina 64, para a, b ∈ R com a < b, tem-se que
]a, b[∈ τR e [a, b] e fechado relativamente a τR. Logo, o complementar de [a, b] e aberto
para τR, isto e, ] −∞; a[∪]b; +∞[ pertence a τR. Pode entao dizer-se que os conjun-
tos ]a, b[ e ] − ∞; a[∪]b; +∞[ sao elementos da σ-algebra gerada por τR - designada
por M[τR]. Por definicao de σ-algebra, se ] − ∞; a[∪]b; +∞[∈ M[τR] entao tambem
(]−∞; a[∪]b; +∞[)c = [a, b] ∈M[τR].
Sejam agora [a, b] e ]a′, b′[ elementos de M[τR] tais que a < a′ < b < b′. Entao,
pela Proposicao 11, pagina 58, [a, b]∩]a′, b′[=]a′, b] ∈M[τR]. Do mesmo modo, se ]a, b[ e
[a′, b′] sao elementos deM[τR], com a < a′ < b < b′, entao ]a, b[∩[a′, b′] = [a′, b[∈M[τR].
Se a = b, vem [a, b] = {a}. Por outro lado, ({a})c =] − ∞; a[∪]a; +∞[. Usando
de novo o Exemplo 25, pagina 64, sabe-se que os conjuntos ] − ∞; a[ e ]a; +∞[ per-
tencem a τR que e um subconjunto de M[τR]. Sendo M[τR] uma σ-algebra, entao
] − ∞; a[∪]a; +∞[∈ M[τR], o mesmo acontecendo com o seu complementar; isto e,
{a} ∈ M[τR]. �
Exemplo 28. Q e o Conjunto de Cantor (definido no Capıtulo 1, pagina 38) sao
ambos Borelianos.
Como foi visto no Exemplo 27, um conjunto do tipo {a}, com a ∈ R, pertence a
σ-algebra de Borel M[τR]. Considerem-se os conjuntos do tipo {a′}, tais que a′ ∈ Q.
68 2. A DIMENSAO FRACTAL
Por Q ser numeravel e por definicao de σ-algebra tem-se que Q =⋃a′∈Q{a′} ∈ M[τR],
ou seja, o conjunto dos numeros racionais e um conjunto de Borel.
Ja o Conjunto de Cantor e nao numeravel. No entanto, em cada iteracao Bk da
sua construcao tem-se uma reuniao finita de intervalos fechados de R. Portanto cada
conjunto Bk correspondente a cada uma das iteracoes na construcao do Conjunto de
Cantor e um conjunto Boreliano. Como o Conjunto e Cantor e a interseccao numeravel⋂k∈N
Bk entao, pela Proposicao 12, pagina 58, conclui-se que o Conjunto de Cantor
tambem e um elemento da σ-algebra M[τR], ou seja, e Boreliano. �
Em geral, pode dizer-se que qualquer conjunto que possa ser construıdo, comecando
com conjuntos abertos ou fechados e tomando depois reunioes ou disjuncoes numeraveis
um numero finito de vezes, e um Conjunto de Borel. Os subconjuntos de Rn encontra-
dos neste trabalho sao, por norma, conjuntos de Borel.
Estao agora criadas as condicoes necessarias para a introducao do conceito de me-
dida.
Definicao 30. Seja X um conjunto nao vazio e M uma σ-algebra em X. Uma
medida em M e uma funcao µ que associa a cada elemento da σ-algebra M um
numero real nao negativo ou +∞, ou seja µ :M→ R+0 ∪ {+∞} tal que:
(1) µ(∅) = 0;
(2) Se {Ai}i∈N e uma coleccao numeravel e disjunta de elementos de M, entao
µ
(∞⋃i=1
Ai
)=∞∑i=1
µ(Ai).(Propriedade da aditividade numeravel ou σ-aditividade.)
Denota-se medida do conjunto A por µ(A).
A nocao de medida ultrapassa a nocao geometrica de comprimento, area e volume
que, alias, sao conceitos que so se aplicam a alguns sub-conjuntos de Rn. Pode-se,
por exemplo, definir uma medida que conta o numero de pontos de um conjunto ou
outra cujo valor para um conjunto seja 1 se ele contiver um determinado elemento
pre-definido, ou 0 no caso contrario. As medidas referentes as nocoes geometricas
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 69
de comprimento, area, etc. de sub-conjuntos de Rn sao conhecidas como medidas de
Lebesgue.
Vejam-se agora algumas propriedades basicas de uma medida decorrentes da
definicao anterior. Para tal, considere-se X um conjunto nao vazio, M uma σ-algebra
em X e µ uma medida em M.
Propriedade 1. Se A1, . . . , An e uma coleccao finita de elementos disjuntos de M,
entao µ(A1 ∪ . . . ∪ An) = µ(A1) + . . .+ µ(An).
Para obter esta igualdade, tendo em conta que µ(∅) = 0, basta definir Am = ∅
para m > n e aplicar o segundo item da definicao de medida.
Propriedade 2. Se A e B sao elementos de M tais que A ⊂ B, entao µ(A) ≤ µ(B).
Como A ⊂ B, entao B = A∪ (Ac ∩B) que e uma uniao disjunta de elementos
deM. Logo, pela propriedade anterior, vem µ(B) = µ(A) +µ(Ac∩B). Como
µ(Ac ∩B) ≥ 0, entao µ(A) ≤ µ(B).
Propriedade 3. Se {Aj}, j ∈ N, sao elementos de M com Aj ⊂ Aj+1, para todo
j ∈ N, entao limn→∞
µ(An) = µ(A), onde A =⋃n∈N
An.
Defina-se B1 = A1 e Ba = Aa \ Aa−1, para a ≥ 2. Entao, pelas hipoteses
enunciadas tem-se que An = B1 ∪ . . . ∪ Bn e A =⋃a∈N
Ba sendo as reunioes
disjuntas em ambos os casos. Assim, pela propriedade 1 e pelo item 2 da
definicao de medida, vem que µ(An) = µ(B1)+. . .+µ(Bn) e µ(A) =∑a∈N
µ(Ba),
donde µ(A) = limn→∞
µ(An).
Propriedade 4. Se {Aj}, j ∈ N, sao elementos de M com Aj+1 ⊂ Aj, para todo
j ∈ N, e se µ(A1) for finito, entao limn→∞
µ(An) = µ(A), onde A =⋂n∈N
An.
Defina-se Ca = A1 \Aa. Entao, pelas hipoteses enunciadas tem-se Cj ⊂ Cj+1.
Pela propriedade anterior, limn→∞
µ(Cn) = µ(C), onde C =⋃a∈N
Ca = A1 \ A.
Tem-se agora que A1 = An ∪ Cn e A1 = A ∪ C, duas reunioes disjuntas.
Portanto, µ(An) + µ(Cn) = µ(A) + µ(C). Assim, limn→∞
µ(An) + limn→∞
µ(Cn) =
µ(A) + µ(C) e, entao, limn→∞
µ(An) + µ(C) = µ(A) + µ(C).
70 2. A DIMENSAO FRACTAL
Como µ(A1) e finito, entao µ(C) e µ(A) tambem sao finitos (porque sao
subconjuntos de A1). Subtraindo µ(C) a cada membro da ultima igualdade
obtem-se o pretendido.
As duas primeiras propriedades sao resultados desejados pela nocao intuitiva de
medida. A terceira propriedade diz que a medida de um conjunto mensuravel pode
ser aproximada “por dentro” pelas medidas de conjuntos mensuraveis, nele contidos,
termos de uma sucessao que convirja para ele. A ultima propriedade, de forma analoga
a anterior, diz que se um conjunto mensuravel tem medida finita, essa pode ser “apro-
ximada por fora” pelas medidas finitas de conjuntos mensuraveis de uma sucessao que
tenda para ele.
Definicao 31. Seja X um conjunto nao vazio e µ uma medida definida em X.
Se uma determinada afirmacao acerca dos elementos de X for falsa apenas para um
subconjunto de X de medida µ nula, diz-se que que essa afirmacao vale em quase
toda a parte relativamente a µ ou que e µ-quase em toda a parte. Escreve-se
de forma abreviada como q.t.p. ou µ-q.t.p..
Ha varios processos para a construcao de medidas que obedecam a determinadas
caracterısticas. Um desses processos e o de Caratheodory que e importante para a
construcao da medida de Hausdorff. Para compreender essa construcao e necessaria a
introducao do conceito de medida exterior. A Teoria da Medida Exterior foi, em grande
parte, desenvolvida por Caratheodory que foi tambem quem introduziu esse conceito.
Definicao 32. Seja X um conjunto nao vazio. Uma medida exterior µ em X
e uma funcao que a cada subconjunto de X associa um numero real maior ou igual a
zero, ou infinito, de modo que:
(1) µ(∅) = 0.
(2) Se A ⊂ B entao µ(A) ≤ µ(B).
(3) Para qualquer coleccao numeravel {Aj, j ∈ N} de subconjuntos de X tem-se
que µ
(⋃j∈N
Aj
)≤∑j∈N
µ(Aj).
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 71
Note-se que as medidas exteriores sao definidas sobre a totalidade dos subconjuntos
de X, ao contrario das medidas que sao definidas apenas sobre σ-algebras em X.
Outra distincao importante entre uma medida e uma medida exterior e que se A
for um conjunto e A1 e A2 forem dois subconjuntos proprios tais que A = A1 ∪A2, ha
casos em que µ(A) 6= µ(A1) + µ(A2). Isto contraria a nocao intuitiva de medida de
um conjunto. E, pela definicao de medida apresentada atras (Definicao 30, pagina 68),
isto nunca acontece com uma medida µ, se A, A1 e A2 forem elementos da σ-algebra
dos conjuntos mensuraveis por µ.
Relativamente a µ, se A1 e A2 sao dois subconjuntos de X, tem-se que µ(A1∪A2) ≤
µ(A1) + µ(A2). (Para confirmar isto basta considerar, no terceiro item da definicao de
medida exterior em X, Aj = ∅, para j > 2.)
A proposicao que se segue sera importante para a construcao da medida de Haus-
dorff.
Proposicao 17. Se {µλ, λ ∈ Λ} for uma famılia de medidas exteriores em X,
entao µ definida por µ = supλ∈Λ
µλ e tambem uma medida exterior em X.
Demonstracao. Ha que verificar se µ obedece aos tres items da definicao de
medida exterior.
Como µλ(∅) = 0, para todo λ ∈ Λ, entao µ(∅) = supλ∈Λ{µλ(∅)} = 0.
Sejam agora A e B dois subconjuntos de X tais que A ⊂ B. Como, por definicao
de medida exterior, µλ(A) ≤ µλ(B), para todo λ ∈ Λ, entao µ(A) = supλ∈Λ{µλ(A)} ≤
supλ∈Λ{µλ(B)} = µ(B).
Finalmente, seja {An, n ∈ N} uma coleccao numeravel de subconjuntos de X.
Como, novamente por definicao de medida exterior, se tem, para cada λ ∈ Λ, que
µλ
( ⋃n∈N
An
)≤∑n∈N
µλ(An), entao µ
( ⋃n∈N
An
)= sup
λ∈Λ
{µλ
( ⋃n∈N
An
)}≤
≤ supλ∈Λ
{∑n∈N
µλ(An)
}≤∑n∈N
supλ∈Λ{µλ(An)} =
∑n∈N
µ(An). �
O conceito de medida exterior sera agora utilizado no Teorema de Caratheodory.
72 2. A DIMENSAO FRACTAL
Teorema 7 (Teorema de Caratheodory). Seja X um conjunto nao vazio, µ uma
medida exterior em X e Mµ a coleccao de todos os subconjuntos A de X que tenham
a seguinte propriedade:
Para todo E ⊂ X tem-se µ(E) = µ(E ∩ A) + µ(E ∩ Ac). (2.1)
Entao, Mµ e uma σ-algebra e a restricao µ de µ a Mµ e uma medida.
Este Teorema, embora pouco intuitivo, e importante porque fornece um metodo
para a construcao de medidas. E que por vezes e mais facil construir primeiro a medida
exterior sobre um conjunto X do que uma medida, ja que isso implicaria a definicao
previa de uma σ-algebra conveniente. O Teorema permite exibir a tal σ-algebra Mµ
para a qual µ e uma medida. Para a demonstracao deste Teorema sera necessario
provar previamente o resultado que se segue.
Lema 6. Seja X um conjunto nao vazio e Mµ a coleccao de todos os subconjuntos
de X que tenham a propriedade indicada no Teorema anterior. Se A1, . . . , An e uma
coleccao finita de n elementos de Mµ, entao, A1 ∪ . . .∪An tambem e um elemento de
Mµ, qualquer que seja n ∈ N.
Demonstracao. Prove-se primeiro para o caso n = 2. Para tal e necessario
verificar que µ(E) = µ(E∩(A∪B))+µ(E∩(A∪B)c), qualquer que seja o subconjunto
E de X. Dado um subconjunto qualquer E de X, seja E ′ = (A∪B)∩E. Como A ∈Mµ
tem-se que
µ(E ′) = µ(E ′ ∩ A) + µ(E ′ ∩ Ac),
isto e,
µ((A ∪B) ∩ E) = µ((A ∪B) ∩ E ∩ A) + µ((A ∪B) ∩ E ∩ Ac).
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 73
Mas,
(A ∪B) ∩ E ∩ A = (A ∪B) ∩ (E ∩ A) =
= (A ∩ (E ∩ A)) ∪ (B ∩ (E ∩ A)) =
= (E ∩ A) ∪ (B ∩ (E ∩ A)) = E ∩ A.
porque B ∩ (E ∩ A) ⊂ E ∩ A. E tambem,
(A ∪B) ∩ E ∩ Ac = [(A ∩ Ac) ∪ (B ∩ Ac)] ∩ E = B ∩ Ac ∩ E.
Donde,
µ((A ∪B) ∩ E) = µ(A ∩ E) + µ(B ∩ Ac ∩ E). (2.2)
Por outro lado, como A e um elemento de Mµ tem-se que µ(E) = µ(A ∩ E) +
µ(Ac ∩ E); aplicando nesta segunda parcela o facto de B tambem ser um elemento de
Mµ vem que µ(E) = µ(A∩E) +µ(Ac∩E ∩B) +µ(Ac∩E ∩Bc). Aplicando agora aos
dois primeiros termos do segundo membro a igualdade (2.2) e aplicando ao terceiro o
facto de Ac ∩Bc = (A∪B)c obtem-se µ(E) = µ((A∪B)∩E) +µ(E ∩ (A∪B)c), como
se pretendia demonstrar.
Aplicando agora o metodo da inducao matematica obtem-se o que se pretende. �
Demonstracao do Teorema de Caratheodory. Em primeiro lugar demonstrar-se-a
que o conjunto Mµ e uma σ-algebra. Para tal, considere-se A um elemento de Mµ
e E um subconjunto qualquer de X. Para ver se Ac tambem pretence a Mµ ha que
confirmar se esse conjunto obedece a propriedade que define Mµ no enunciado do
Teorema. Ora, tendo em conta que (Ac)c = A tem-se que
µ(E ∩ (Ac)) + µ(E ∩ (Ac)c) = µ(E ∩ (Ac)) + µ(E ∩ (A)
que e igual a µ(E) por hipotese, porque A ∈Mµ. Por outro lado, como ∅ e o comple-
mentar de X e vice-versa e como tambem se tem E∩X = E, E∩∅ = ∅ e µ(∅) = 0, entao
vem que µ(E) = µ(E∩∅)+µ(E∩∅c) que e equivalente a µ(E) = µ(E∩Xc)+µ(E∩X)
e, portanto, fica provado que ∅ e X pertencem a Mµ.
74 2. A DIMENSAO FRACTAL
Mµ verifica, portanto, os dois primeiros items da definicao de σ-algebra. Para
demonstrar que tambem verifica o terceiro item, convem provar previamente que, se
A e B forem dois elementos de Mµ o mesmo acontece com A ∩ B e A \ B. Ora,
A ∩ B = (Ac ∪ Bc)c. Pelo que foi visto no inıcio desta demonstracao sabe-se que Ac
e Bc pertencem a Mµ. Pelo lema 6 tem-se que Ac ∪ Bc tambem pertence a Mµ, logo
A ∩ B ∈ Mµ. Por outro lado, A \ B = A ∩ Bc. Como A e Bc sao elementos de Mµ
entao, pelo que foi visto agora, tambem A ∩Bc = A \B esta em Mµ.
Verifique-se entao agora que Mµ obedece a terceira propriedade da definicao de
σ-algebra. Pretende-se demonstrar que se {Aj, j ∈ N} e uma coleccao numeravel de
elementos deMµ, entao A′ =⋃j∈N
Aj tambem o e. Sendo E um subconjunto generico de
X, tem-se sempre que E = (E∩A′)∪(E∩A′c), pelo que µ(E) ≤ µ(E∩A′)+µ(E∩A′c)
por µ ser uma medida exterior. Basta provar que µ(E) ≥ µ(E ∩A′) + µ(E ∩A′c) para
demonstrar que A′ ∈Mµ.
Sabe-se que, para qualquer sub-conjunto E ′ de X e para qualquer elemento A de
Mµ se tem, por definicao de Mµ, que
µ(E ′) = µ(E ′ ∩ A) + µ(E ′ ∩ Ac). (2.3)
Considere-se E ′ da forma
E ′ = (A ∪B) ∩ E, (2.4)
com E ⊂ X e A,B ∈ Mµ com A ∩ B = ∅. Como (A ∪ B) ∩ E ∩ A = [(A ∩ E) ∪
(B ∩ E)] ∩ A = (A ∩ E ∩ A) ∪ (B ∩ E ∩ A) = (A ∩ E) ∪ ∅, porque A ∩ B = ∅, entao,
(A ∪B) ∩E ∩A = A ∩E; e tambem,(A ∪B) ∩E ∩Ac = [(A ∩Ac) ∪ (B ∩Ac)] ∩E =
B∩Ac∩E = B∩E porque, se A∩B = ∅, entao Ac∩B = B; entao, de (2.3) e de (2.4)
vem que µ((A ∪B) ∩E) = µ(A ∩E) + µ(B ∩E). Daqui pode retirar-se em particular
que, se B1, . . . , Bn sao elementos disjuntos de Mµ, entao µ(E ∩ (B1 ∪ . . . ∪ Bn)) =
µ(E ∩B1) + . . .+ µ(E ∩Bn).
Defina-se, para n ≥ 2, B1 = A1 e Bn = An \ (A1 ∪ . . . ∪ An−1). Tem-se que para
todo i, j ∈ {1, . . . , n} com i 6= j, Bj e elemento de Mµ, Bi ∩Bj = ∅ en⋃k=1
Bk =n⋃k=1
Ak.
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 75
Tem-se ainda, pelo Lema 6, que se B1, . . . , Bn e uma coleccao finita de n elementos de
Mµ, entaon⋃k=1
Bk tambem e um elemento de Mµ e, portanto,
µ(E) = µ
(E ∩
(n⋃k=1
Bk
))+ µ
(E ∩
(n⋃k=1
Bk
)c), (2.5)
para todo E ⊂ X, sendo a primeira parcela da adicao igual an∑k=1
µ(Bk ∩E) porque os
conjuntos Bk sao disjuntos dois a dois.
Se se considerar agora uma coleccao numeravel de conjuntos {B′k, k ∈ N} em que
B′k = Bk, para k = 1, . . . , n tem-se quen⋃k=1
B′k ⊂⋃k∈N
B′k e, portanto,
(n⋃k=1
Bk
)c⊃( ⋃
k∈NB′k
)c. Daı vem que
µ
(E ∩
(n⋃k=1
Bk
)c)≥ µ
(E ∩
(⋃k∈N
B′k
)c).
Voltando a equacao (2.5) tem-se agora que
µ(E) ≥n∑k=1
µ(Bk ∩ E) + µ
(E ∩
(⋃k∈N
B′k
)c).
Como esta desigualdade e valida para qualquer n ∈ N, entao tambem se tem que
µ(E) ≥∞∑k=1
µ(B′k ∩ E) + µ
(E ∩
(⋃k∈N
B′k
)c). (2.6)
Mas a primeira parcela da adicao, pela definicao de medida exterior, e maior ou igual
que µ
( ⋃k∈N
(B′k ∩ E)
)que, por sua vez, e igual a µ
(E ∩
( ⋃k∈N
B′k
)).
Das duas ultimas desigualdades obtem-se, finalmente, que
µ(E) ≥ µ
(E ∩
(⋃k∈N
B′k
))+ µ
(E ∩
(⋃k∈N
B′k
)c)
que e o mesmo que µ(E) ≥ µ
(E ∩
( ⋃k∈N
Ak
))+µ
(E ∩
( ⋃k∈N
Ak
)c)porque
n⋃k=1
B′k =
n⋃k=1
Bk =n⋃k=1
Ak. Esta, entao, demonstrado que Mµ e uma σ-algebra.
Falta agora provar a segunda parte do Teorema que diz que a medida exterior µ
e uma medida quando restrita aos elementos da σ-algebra Mµ. Para isso, ha que
76 2. A DIMENSAO FRACTAL
demonstrar que µ
( ⋃k∈N
Bk
)=∑k∈N
µ(Bk). De (2.6) e tendo em conta que para qual-
quer k ∈ N, B′k = Bk, vem que µ(E) ≥∞∑k=1
µ(Bk ∩ E) + µ
(E ∩
( ⋃k∈N
Bk
)c)≥
µ
(E ∩
( ⋃k∈N
Bk
))+ µ
(E ∩
( ⋃k∈N
Bk
)c)= µ(E), pelo que se obtem a igualdade
µ(E) =∞∑k=1
µ(Bk ∩ E) + µ
(E ∩
( ⋃k∈N
Bk
)c)para todo E ⊂ X; em particular, esta
igualdade e valida para E =⋃k∈N
Bk. Fazendo essa substituicao na expressao anterior
vem µ
( ⋃k∈N
Bk
)=∑k∈N
µ(Bk) que era o que se pretendia. �
Esta demonstrado o Teorema de Caratheodory que sera utilizado na construcao da
medida de Hausdorff.
Definicao 33. Seja X um conjunto nao vazio, M uma σ-algebra em X e µ uma
medida em M. Diz-se que µ e uma medida completa se todos os elementos A de
M com medida nula verificam o seguinte: se B ⊂ A, entao B ∈M.
Por outras palavras, uma medida em M e completa se todos os subconjuntos de
um conjunto de medida nula forem mensuraveis relativamente a M.
O Teorema que se segue relaciona medidas completas com o Teorema de Ca-
ratheodory.
Teorema 8. Seja µ uma medida exterior em X, um conjunto nao-vazio. Sejam
Mµ e µ a σ-algebra e a medida associadas a µ pela construcao de Caratheodory. Entao,
µ e completa.
Demonstracao. Considerem-se as condicoes enunciadas no Teorema e sejam A,
B e E subconjuntos de X tais que B ⊂ A, com µ(A) = 0. Pretende-se mostrar que B
e µ-mensuravel. Entao, pelo segundo item da definicao de medida exterior tem-se as
seguintes desigualdades
µ(E ∩B) ≤ µ(E ∩ A) ≤ µ(A) = µ(A) = 0, (2.7)
µ(E ∩Bc ∩ A) ≤ µ(A) = µ(A) = 0, (2.8)
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 77
e
µ(E ∩ A) ≤ µ(A) = µ(A) = 0, (2.9)
porque E ∩B esta contido em E ∩A e os conjuntos E ∩B, E ∩Bc ∩A e E ∩A estao
todos contidos em A.
Verifique-se agora que B e µ-mensuravel. De (2.7) vem que µ(E∩B)+µ(E∩Bc) =
µ(E ∩Bc). Aplicando agora o facto de A ser µ-mensuravel vem que µ(E ∩Bc) e igual
a µ(E ∩Bc∩Ac) +µ(E ∩Bc∩A), que e o mesmo que µ(E ∩ (B∪A)c) +µ(E ∩Bc∩A),
que se resume a µ(E ∩ Ac) porque B esta contido em A e por (2.8). Como, por (2.9),
µ(E ∩A) = 0, entao tambem se pode escrever que µ(E ∩Ac) = µ(E ∩Ac) + µ(E ∩A)
que e igual a µ(E) porque A e µ-mensuravel. Assim, estabeleceu-se que para todo
E ⊂ X se tem µ(E) = µ(E ∩B) +µ(E ∩Bc) e, portanto, B e µ-mensuravel e µ e uma
medida completa. �
Discutir-se-a agora a classe de medidas exteriores que sao definidas em conjuntos
dotados de uma metrica e que tenham uma relacao “cordial” com a topologia in-
duzida por essa metrica - as chamadas medidas exteriores metricas. O Teorema de
Caratheodory, por si so, nao diz que conjuntos sao mensuraveis. A grande importancia
das medidas exteriores metricas reside no facto, demonstrado mais a frente, de que
todo conjunto o Boreliano (em relacao a topologia induzida pela metrica) e mensuravel
no sentido de Caratheodory, ou seja, satisfaz a condicao do Teorema de Caratheodory.
Assim, a σ-algebra dos conjuntos mensuraveis por uma medida exterior metrica contem
a σ-algebra de Borel, isto e, provar-se-a que os Conjuntos de Borel sao mensuraveis no
sentido de Caratheodory.
Definicao 34. Seja X um conjunto nao vazio dotado de uma metrica d. Dados
dois conjuntos A,B ⊂ X define-se a distancia entre A e B, denotada por d∗(A,B),
da seguinte forma: d∗(A,B) = inf{d(a, b), a ∈ A, b ∈ B}.
Note-se que esta definicao e diferente e nao equivalente as definicoes de “distancia
de A a B” (Definicao 5, pagina 7) e de “distancia de Hausdorff entre A e B” (Definicao
78 2. A DIMENSAO FRACTAL
6, pagina 8) introduzidas no Capıtulo 1. Alem disso, e facil verificar que d∗ nao e uma
metrica em P(X) (basta ver que para dois conjuntos A e B diferentes entre si, mas de
interseccao nao vazia nao se tem d∗(A,B) > 0).
Proposicao 18. Seja X um conjunto nao vazio dotado de uma metrica d e sejam
A e B dois subconjuntos de X tais que d∗(A,B) > 0. Entao, as aderencias de A e de
B nao tem pontos em comum, isto e, ad(A) ∩ ad(B) = ∅.
Demonstracao. Sejam A e B dois subconjuntos de X tais que d∗(A,B) =
inf{d(a, b), a ∈ A, b ∈ B} > 0 e considere-se que existe c ∈ ad(A) ∩ ad(B). Nesse
caso existe tambem uma sucessao de Cauchy {an}n∈N de pontos A que converge
para c e existe uma sucessao {bn}n∈N de pontos B que tambem converge para c.
Entao, pela propriedade da desigualdade triangular de d tem-se, para todo n ∈ N
que d(an, bn) ≤ d(an, c) + d(c, bn). Como o segundo membro desta desigualdade tende
para zero quando n tende para∞ e como d(an, bn) ≥ 0 para todo n ∈ N, obtem-se que
d(an, bn) tambem tende para zero quando n tende para∞, o que contraria a hipotese de
d∗(A,B) = inf{d(a, b), a ∈ A, b ∈ B} > 0. Portanto, se a distancia entre dois conjuntos
e positiva, a interseccao das suas aderencias e vazia. �
Definicao 35. Uma medida exterior µ em X diz-se uma medida exterior metrica
(em relacao a metrica d) se para todos os conjuntos A,B ⊂ X tais que d∗(A,B) > 0
se tiver µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B).
Definicao 36. Seja X um conjunto nao vazio e {An}n∈N uma sucessao de sub-
conjuntos de X. Designa-se por limite maximo da sucessao de conjuntos e
representa-se por limAn o conjunto de todos os elementos de X que pertencem a uma
infinidade de conjuntos da sucessao; designa-se por limite mınimo da sucessao de
conjuntos e representa-se por limAn o conjunto de todos os elementos de X que per-
tencem a todos os conjuntos da sucessao a partir de certa ordem em diante. Quando
coincidam os limites maximo e mınimo de uma sucessao de conjuntos, ao conjunto
comum chama-se limite da sucessao de conjuntos e representa-se por limAn.
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 79
Definicao 37. Uma sucessao {An}n∈N de conjuntos diz-se crescente, ou ex-
pansiva, se An ⊂ An+1 para todo n ∈ N. Uma sucessao {An}n∈N de conjuntos diz-se
decrescente, ou contractiva, se An ⊃ An+1 para todo n ∈ N.
Proposicao 19. Se uma sucessao de conjuntos {An}n∈N for crescente ou decres-
cente entao limAn existe. Se {An}n∈N e crescente, tem-se limAn =∞⋃k=1
Ak. Se {An}n∈N
e decrescente, entao limAn =∞⋂k=1
Ak.
Demonstracao. Seja {An}n∈N uma sucessao crescente de conjuntos. Entao,∞⋂k=n
Ak = An Logo, limAn =∞⋃n=1
∞⋂k=n
Ak =∞⋃n=1
An. Por outro lado, pelo facto de An ser
crescente tem-se que∞⋃k=n
Ak =∞⋃k=1
Ak. Logo, limAn =∞⋂n=1
∞⋃k=n
Ak =∞⋂n=1
∞⋃k=1
Ak =∞⋃k=1
Ak.
Assim, limAn = limAn e, portanto, limAn existe e e igual a∞⋃k=1
Ak.
A demonstracao para o caso das sucessoes decrescentes e analoga. �
O lema tecnico que se segue tem consequencias importantes a respeito da mensu-
rabilidade de conjuntos Borelianos, assunto que se ira tratar logo a seguir.
Lema 7. Sejam X um conjunto nao vazio dotado de uma metrica d, τd a topologia
em X induzida por d e µ uma medida exterior metrica em X. Seja {An}n∈N uma
sucessao crescente de subconjuntos de X tal que d∗(An, A\An+1) > 0 para todo n ∈ N,
onde A = limn→∞
An =⋃m∈N
Am. Entao, µ(
limn→∞
An
)= lim
n→∞µ(An).
Demonstracao. Defina-se uma nova sucessao {Bn, n ∈ N} de subconjuntos de
X de modo que B1 = A1, Bk = Ak \ Ak−1, k ≥ 2. Por definicao vem que
Bk ⊂ Ak para todo k ∈ N (2.10)
e que,
para l − k ≥ 2, Bl ⊂ A \ Ak+1 (2.11)
porque Bl = Al \ Al−1 ⊂ A \ Al−1 ⊂ A \ Ak+1 sendo que a ultima relacao se deve ao
facto de Al−1 ⊃ Ak+1. Entao,
para todos k e l com l − k ≥ 2 tem-se d∗(Bk, Bl) > 0 (2.12)
80 2. A DIMENSAO FRACTAL
porque d∗(Bk, Bl) = inf{d(x, y), x ∈ Bk, y ∈ Bl} que, por (2.10) e por (2.11) e maior
que
inf {d(x, y), x ∈ Ak, y ∈ A \ Ak+1} isto e, que d∗(Ak, A \ Ak+1), que e positiva por
hipotese. Por definicao de medida exterior metrica, vem de (2.12) que µ(B1 ∪ B3) =
µ(B1)+µ(B3), µ(B2∪B4) = µ(B2)+µ(B4) e, por inducao matematica, tem-se tambem
que
µ
(m⋃a=1
B2a−1
)=
m∑a=1
µ (B2a−1) e µ
(m⋃a=1
B2a
)=
m∑a=1
µ (B2a) para todo m ≥ 1.
(2.13)
Ha dois casos a considerar:
(1) Pelo menos uma das somas em (2.13) diverge quando m→∞;
(2) Ambas as somas em (2.13) convergem quando m→∞.
No primeiro caso observe-se que
para todo k ∈ N, Ak =k⋃a=1
Ba. (2.14)
Logo, para todo k ∈ N tem-seA2k−1 ⊃k⋃a=1
B2a−1 eA2k ⊃k⋃a=1
B2a. Portanto, µ (A2k−1) ≥
µ
(k⋃a=1
B2a−1
)que, por (2.13), e igual a
k∑a=1
µ (B2a−1) e µ (A2k) ≥ µ
(k⋃a=1
B2a
)que, no-
vamente por (2.13), e igual ak∑a=1
µ (B2a) .
Consequentemente, se qualquer das somas em (2.13) divergir quando m→∞ ter-
se-a limn→∞
µ (An) = ∞, o que implica µ(A) = ∞ porque se A ⊃ An para todo n, entao
µ(A) ≥ µ(An), tambem para todo n. Nesse caso ter-se-ıa, entao, µ(A) = limn→∞
µ(An) =
∞, provando o lema nas condicoes do caso 1.
Veja-se agora o segundo caso. De (2.14) vem que A =∞⋃a=1
Aa = Aj ∪∞⋃
a=j+1
Ba para
qualquer j. Logo,
µ(A) = µ
(Aj ∪
∞⋃a=j+1
Ba
)≤ µ(Aj) + µ
(∞⋃
a=j+1
Ba
)≤ µ (Aj) +
∞∑a=j+1
µ(Ba), (2.15)
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 81
sendo a ultima soma convergente, por hipotese. Pela mesma razao, tem-se que
limj→∞
∞∑a=j+1
µ(Ba) = 0
e, portanto, de (2.15) vem que
µ(A) ≤ limj→∞
µ(Aj). (2.16)
Do facto de A ⊃ An para todo n, segue que µ(A) ≥ µ(An), donde
µ(A) ≥ limn→∞
µ(An). (2.17)
Daqui, (2.16) e (2.17) implicam a conclusao da demonstracao do lema para as condicoes
do caso 2. �
Teorema 9. Sejam X um conjunto nao vazio dotado de uma metrica d, τd a
topologia em X induzida por d e µ uma medida exterior metrica em X. EntaoM[τd] ⊂
Mµ, isto e, os conjuntos Borelianos de X (segundo a topologia τd) sao mensuraveis
para a medida exterior metrica µ.
Demonstracao. E suficiente demonstrar que todo abertoA ∈ τd satisfaz a condicao
de mensurabilidade de Caratheodory (2.1), pagina 72, para todo E ⊂ X, pois isso ga-
rantira que τd ⊂Mµ, o que implica queM[τd] ⊂Mµ. Para tal, e suficiente provar que
µ(E) ≥ µ(E ∩ A) + µ(E ∩ Ac) para todo A ∈ τd e todo E ⊂ X, pois a desigualdade
oposta, µ(E) ≤ µ(E ∩A) + µ(E ∩Ac), e sempre satisfeita por uma medida exterior µ.
Para cada m ∈ N, seja Em ⊂ E ∩ A o conjunto
Em =
{x ∈ E ∩ A : d(x, y) ≥ 1
mpara todo y ∈ Ac
}.
Para todo x ∈ Em e para todo y ∈ E ∩ Ac tem-se d(x, y) ≥ 1m
porque E ∩ Ac ⊂ Ac e,
portanto, d(Em, E ∩ Ac) ≥ 1m
para todo m ∈ N. Logo, por µ ser uma medida exterior
metrica, tem-se
µ (Em ∪ (E ∩ Ac)) = µ(Em) + µ(E ∩ Ac). (2.18)
82 2. A DIMENSAO FRACTAL
Porem, como Em ⊂ E ∩ A, vem que Em ∪ (E ∩ Ac) ⊂ (E ∩ A) ∪ (E ∩ Ac) = E e,
portanto, µ (Em ∪ (E ∩ Ac)) ≤ µ(E). Assim, por (2.18) tem-se que
para todo m ∈ N, µ(E) ≥ µ(Em) + µ(E ∩ Ac). (2.19)
Se se provar que limm→∞
µ(Em) = µ(E∩A), ter-se-a por (2.19) que µ(E) ≥ µ(E∩A)+
µ(E ∩Ac) o que completara esta demonstracao. Para estabelecer a relacao pretendida,
percorrer-se-ao tres passos sucessivos.
O primeiro passo e provar que
E ∩ A =⋃m∈N
Em. (2.20)
Prove-se isto agora. Sabe-se que para todo m ∈ N se tem Em ⊂ E ∩A e, portanto,⋃m∈N
Em ⊂ E∩A. Por outro lado, se x ∈ E∩A entao existe r(x) > 0 tal que todo z ∈ X
com d(z, x) < r(x) tambem pertence a A, pois, por hipotese, A e aberto relativamente
a τd. Logo, para todo y ∈ Ac tem-se obrigatoriamente que d(y, x) ≥ r(x). Assim, se
x ∈ E∩A existe algum m grande o suficiente tal que d(y, x) ≥ 1m
para todo y ∈ Ac. Isso
equivale a dizer que se x ∈ E∩A, entao x ∈ Em para algum m. Logo, E∩A ⊂⋃m∈N
Em,
o que prova (2.20).
O segundo passo e demonstrar que,
limm→∞
Em = E ∩ A. (2.21)
Ora, como a sucessao de conjuntos Em e crescente, ou seja, Em ⊂ Em′ para todos
m ≤ m′, tem-se que⋃m∈N
Em = limm→∞
Em; daqui e de (2.20), sai imediatamente (2.21).
No terceiro passo demonstra-se que
para todo m ∈ N se verifica d (Em, (E ∩ A) \ Em+1) > 0. (2.22)
De facto, se z ∈ (E ∩ A) \ Em+1 entao, pela definicao de Em+1, existe pelo menos
um ponto y ∈ Ac tal que d(z, y) < 1/(m + 1). Alem disso, para qualquer x ∈ Em
ter-se-a pela definicao de Em que d(x, y) ≥ 1m
. Da desigualdade triangular de d vem
que d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) e, portanto, que d(x, z) ≥ d(x, y)−d(z, y) >1
m− 1
m+ 1.
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 83
Assim, d∗ (Em, (E ∩ A) \ Em+1) = inf {d(x, z), x ∈ Em, z ∈ (E ∩ A) \ Em+1} >1
m−
1
m+ 1> 0, o que prova (2.22).
Por (2.21), por (2.22) e pelo Lema 7, tem-se µ(E ∩ A) = limm→∞
µ(Em).
Logo, de (2.19) vem que µ(E) ≥ limm→∞
µ(Em) + µ(E ∩Ac) = µ(E ∩A) + µ(E ∩Ac),
o que completa a demonstracao. �
Definicao 38. Seja X um conjunto nao vazio e A um subconjunto nao vazio de
X. Seja B = {Bn ⊂ X,n ∈ N} uma coleccao numeravel de subconjuntos de X. B
diz-se um recobrimento numeravel de A se A ⊂⋃n∈N
Bn.
Convenciona-se que {∅} e um recobrimento numeravel de ∅.
Apresenta-se agora um esquema para a construcao de medidas exteriores que sera
aplicavel na construcao da medida de Hausdorff.
Proposicao 20. Seja X um conjunto nao vazio e seja R ⊂ P(X) uma coleccao
nao vazia de subconjuntos de X tal que ∅ ∈ R. Denote-se por GR a coleccao de todos
os subconjuntos numeraveis de R. Considere-se a funcao h : R → R+0 ∪ {∞} tal que
h(∅) = 0. Defina-se a funcao H : GR → R+0 ∪ {∞} da seguinte forma: para cada
R = {Rn ∈ R, n ∈ N} ∈ GR tem-se H(R) =∑
Rn∈Rh(Rn). Entao:
(1) H(∅) = 0.
(2) Se Rb ∈ GR para todo b ∈ N, entao H
(⋃b∈NRb
)≤∑b∈N
H(Rb).
(H
(⋃b∈NRb
)esta bem definida porque uma reuniao numeravel de conjuntos
numeraveis e tambem numeravel.)
Demonstracao. Tem-se ∅ ∈ R. A coleccao {∅}n∈N = {∅} ∈ GR. H(∅) =∑n∈N
h(∅) = 0 porque h(∅) = 0. Passe-se agora a demonstracao do segundo ponto. Se
Rb ∈ GR, entao e da forma Rb = {Rbn ∈ R, n ∈ N}. Logo,
⋃b∈NRb = {Rb
n ∈ R, n ∈
N, b ∈ N}. Portanto, H
(⋃b∈NRb
)=∑′ h(Rb
n) sendo∑′ a soma feita entre elementos
distintos de {Rbn ∈ R, n ∈ N}. Entao,
∑′ h(Rbn) ≤
∑b∈N
∑n∈N
h(Rbn) =
∑b∈N
H(Rb), como se
pretendia. �
84 2. A DIMENSAO FRACTAL
O Teorema seguinte descreve um esquema para a construcao de medidas exteriores.
Teorema 10. Seja X um conjunto nao vazio. Suponha-se que existe uma coleccao
nao vazia R ⊂ P(X) de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:
(1) ∅ ∈ R.
(2) Se GR denota a coleccao de todos os subconjuntos numeraveis de R, entao
existe uma funcao H : GR → R+0 ∪ {∞} com as seguintes propriedades:
(a) H({∅}) = 0.
(b) Se Rb ∈ GR para todo b ∈ N, entao H
(⋃b∈NRb
)≤∑b∈N
H(Rb)
(3) Todo o subconjunto A de X possui pelo menos um recobrimento numeravel por
elementos de R. Denote-se por CR(A) ∈ GR a coleccao (nao vazia) de todos
os recobrimentos numeraveis de A por elementos de R
Com isto, defina-se para cada A ⊂ X, µ(A) ≡ µR(A) = inf{H(R),R ∈ CR(A)}.
Entao, a aplicacao µ : P(X)→ R+0 ∪ {∞}, definida acima, e uma medida exterior
em X.
Alguns comentarios antes da demonstracao:
(1) Cada R ∈ CR(A) e uma coleccao numeravel do tipo {Bn ∈ R, n ∈ N} de
elementos de R tais que⋃
Bm∈RBm ⊃ A.
(2) Como CR(A) ∈ GR, entao CR(A) pertence ao domınio da funcao H.
(3) Se {Rb, b ∈ N} for uma coleccao numeravel de elementos de CR(A), entao⋃b∈NRb e tambem um elemento de CR(A):
Rb ∈ CR(A),∀b ∈ N⇒⋃b∈N
Rb ∈ CR(A).
(4) No Teorema 10 a funcao H desempenha um papel especial, pois µ e definida
como o ınfimo entre certos valores de H. Em algumas situacoes, como e o
caso da medida de Hausdorff, a funcao H e definida a partir de uma funcao h,
dotada de significado geometrico, definida em R como descrito na Proposicao
20.
1. CONSTRUCAO DE UMA MEDIDA PELO METODO DE CARATHEODORY 85
Demonstracao. E necessario provar que µ verifica os tres items da definicao de
medida exterior; veja-se a Definicao 32, pagina 70.
Quanto ao primeiro item, como {∅} e um recobrimento numeravel de ∅, entao
H({∅}) = 0 e, por definicao de µ, tem-se que µ(∅) = 0, ja que uma medida nao toma
valores inferiores a zero.
Passando a verificacao do segundo item, considere-se A e B dois subconjuntosX tais
que A ⊂ B. Entao, CR(B) ⊂ CR(A) porque qualquer coleccao R ∈ R que recobre B
tambem recobre qualquer subconjunto de B. Entao infR∈CR(A)
{H(R)} ≤ infR∈CR(B)
{H(R)},
ou seja, µ(A) ≤ µ(B).
Falta provar o terceiro item, isto e, que µ
(⋃i∈N
Ai
)≤∑i∈N
µ (Ai) onde Ai ⊂ X para
todo i ∈ N. Para isso, observe-se previamente que se A e um subconjunto qualquer de
X, entao, pela definicao de ınfimo de um conjunto de numeros, e possıvel encontrar,
para qualquer numero real r > 0, pelo menos um elementoR de CR(A) tal que H(R) ≤
µ(A) + r. Assim, fixado ε > 0, existe para cada b ∈ N um Rb ∈ CR(Ab) tal que
H(Rb) ≤ µ(Ab) +ε
2b. (2.23)
Sabe-se que a coleccao J =⋃b∈NRb e tambem uma coleccao numeravel de conjuntos
que cobre o conjunto⋃i∈N
Ai e que, por isso, pertence a CR
(⋃i∈N
Ai
). Assim, por de-
finicao de H, tem-se que H(J ) e menor ou igual a∞∑b=1
H(Rb) que, por (2.23), e menor
ou igual a∞∑b=1
(µ(Ab) +
ε
2b
), que e o mesmo que
∑b∈N
µ(Ab) + ε.
Como J ∈ CR
(⋃i∈N
Ai
), segue que
µ
(⋃i∈N
Ai
)= inf
{H(R),R ∈ CR
(⋃i∈N
Ai
)}≤ H(J ) ≤
∑b∈N
µ(Ab) + ε.
Como isto e valido para qualquer ε > 0, entao µ
(⋃i∈N
Ai
)≤∑b∈N
µ(Ab), que e o que
faltava para provar que µ e uma medida exterior. �
Os dois ultimos resultados (a Proposicao 20 e o Teorema 10 indicam os ingredientes
necessarios para a construcao de uma medida exterior em X - a saber: uma coleccao R
86 2. A DIMENSAO FRACTAL
de subconjuntos de X e uma funcao positiva h, definida em R - que devem satisfazer
as condicoes dessa proposicao e desse Teorema.
2. Medida e Dimensao de Hausdorff
Vai agora proceder-se a construcao da medida de Hausdorff. A construcao do
conceito de medida foi feita no contexto geral dos espaco metricos; porem, nesta seccao,
a medida de Hausdorff sera introduzida nos espacos Rn com a metrica usual ja que sao
estes os espacos que contem a maior parte dos fractais que interessa estudar. Portanto,
doravante, e quando nada for dito em contrario, considera-se X = Rn, d a metrica
euclidiana e τd a topologia induzida em Rn por essa metrica.
Depois de construıda a medida de Hausdorff, sera definida a dimensao de Hausdorff.
2.1. A Medida de Hausdorff.
Definicao 39. Seja R um subconjunto nao vazio do espaco euclidiano Rn. Chama-
se diametro de R a |R| = sup{|x− y| : x, y ∈ R}.
O diametro de um conjunto e, portanto, em limite, a maior distancia que pode obter-
se entre dois pontos seus. Para o conjunto vazio, convenciona-se que o seu diametro e
zero.
Definicao 40. Seja A um subconjunto nao vazio de Rn e {Ri} uma coleccao finita
ou numeravel de subconjuntos nao vazios de Rn de diametro menor ou igual a δ, isto
e, 0 < |Ri| ≤ δ, ∀i. Diz-se que {Ri} e um recobrimento-δ de A se A ⊂⋃i
Ri.
Rn munido da metrica euclidiana e um espaco metrico no qual todo o seu subcon-
junto possui pelo menos um recobrimento-δ, qualquer que seja δ > 0. Basta pensar em
Rn coberto por uma rede de “cubos” de diametro δ. Dado A ⊂ Rn, um recobrimento-δ
possıvel para A e aquele constituıdo pelos “cubos” dessa rede que intersectam A.
E necessario agora, para δ > 0 fixo, definir os ingredientes que satisfazem as
condicoes da Proposicao 20 e do Teorema 10.
2. MEDIDA E DIMENSAO DE HAUSDORFF 87
(1) Uma coleccao de conjuntos Rδ de Rn: Seja Rδ a coleccao de todos os subcon-
juntos de Rn com diametro menor ou igual a δ. Rδ = {R ⊂ Rn : |R| ≤ δ}
Considera-se que ∅ ∈ Rδ.
(2) Uma funcao positiva hs definida em Rδ, para s ≥ 0: Para cada R ∈ Rδ, seja
hs(R) = |R|s. Define-se tambem hs(∅) = 0.
(3) Para cada subconjunto A de Rn, uma coleccao CRδ(A) de recobrimentos nu-
meraveis de A por elementos de Rδ : Seja CRδ(A) a coleccao de todos os
recobrimentos de A por coleccoes numeraveis de sub-conjuntos de Rn com
diametro menor ou igual a δ.
Note-se que CRδ(A) e, portanto, a coleccao de todos os recobrimentos-δ de A por
elementos de Rn e inclui recobrimentos-δ finitos: como ∅ ∈ Rδ, basta considerar que um
recobrimento-δ finito e um recobrimento-δ numeravel em que apenas uma quantidade
finita de elementos da coleccao que o constitui e diferente do conjunto vazio.
Ora, com os elementos que agora se definiram e com o facto de todo o subconjunto
de Rn possuir um recobrimento-δ, a Proposicao 20 e o Teorema 10 garantem que
µδ,sH (A) = inf{Hs(R),R ∈ CRδ(A)} =
= inf
{∑Rn∈R
hs(Rn),R ∈ CRδ(A)
}=
= inf
{∑Rn∈R
|Rn|s,R ∈ CRδ(A)
} (2.24)
definida para todo A ⊂ Rn, e uma medida exterior em Rn. De uma forma mais simples
e de modo a aliviar a notacao, agora que o conceito de medida esta explanado, pode
escrever-se
µδ,sH (A) = inf
{∑n
|Rn|s : {Rn} e um recobrimento-δ de A
}(2.25)
Ou seja, consideram-se todos os recobrimentos de A de conjuntos com diametro menor
ou igual a δ e procura-se o ınfimo das somas das s-potencias dos diametros dos conjuntos
que constituem cada um desses recobrimentos.
88 2. A DIMENSAO FRACTAL
Pela proposicao 17,
µsH(A) = supδ>0
µδ,sH (A)
= supδ>0
inf {Hs(R),R ∈ CRδ(A)}
= supδ>0
inf
{∑Rn∈R
hs(Rn),R ∈ CRδ(A)
}
= supδ>0
inf
{∑Rn∈R
|Rn|s,R ∈ CRδ(A)
},
(2.26)
definida para todo A ⊂ Rn, e tambem uma medida exterior em Rn, denominada
medida exterior de Hausdorff de dimensao s. Simplificando a notacao escreve-se
µsH(A) = supδ>0
inf
{∑n
|Rn|s : {Rn} e um recobrimento-δ de A
}. (2.27)
Os resultados que se seguem revelam algumas propriedades das medidas exteriores
de Hausdorff e a proxima proposicao fornece uma definicao alternativa e util da medida
exterior de Hausdorff de dimensao s ≥ 0.
Proposicao 21. Para cada s ≥ 0 e todo A ⊂ Rn tem-se que se 0 < δ1 < δ2, entao
µδ1,sH (A) ≥ µδ2,sH (A). Logo, para todo A ⊂ Rn,
µsH(A) = limδ→0
µδ,sH (A) =
= limδ→0
inf{Hs(R),R ∈ CRδ(A)} =
= limδ→0
inf
{∑Rn∈R
hs(Rn),R ∈ CRδ(A)
}.
(2.28)
Demonstracao. Quanto menor for δ, menos recobrimentos-δ de A existem por-
que a classe dos recobrimentos-δ1 de A esta contida na classe dos recobrimentos δ2 de
A, sempre que δ1 ≤ δ2; portanto, o ınfimo µδ,sH (A) aumenta. Isto e, se δ1 < δ2 entao
Rδ1 ⊂ Rδ2 , porque todo o recobrimento-δ1 e tambem um recobrimento-δ2. Logo, para
todo A ⊂ Rn tem-se que CRδ1(A) ⊂ CRδ2
(A) e, portanto, inf{Hs(R),R ∈ CRδ1(A)} ≥
inf{Hs(R),R ∈ CRδ2(A)}, o que significa que µδ1,sH (A) ≥ µδ2,sH (A). Portanto, µδ,sH (A)
2. MEDIDA E DIMENSAO DE HAUSDORFF 89
cresce a medida que δ tende para zero, pelo que tomar o supremo de µδ,sH (A) e o equi-
valente a determinar o limδ→0
µδ,sH (A). Este existe e pode ser zero ou finito ou infinito. �
Antes de se explorarem as consequencias da proposicao anterior, prove-se o resul-
tado que se segue, que sera importante para a discussao da nocao de dimensao Hausdorff
de um conjunto.
Proposicao 22. Para todo δ > 0 e para cada A ⊂ Rn tem-se que δ−t(µδ,tH (A)
)≥
δ−u(µδ,uH (A)
)sempre que 0 ≤ t ≤ u.
Demonstracao. Por definicao, todo conjunto R ∈ Rδ tem diametro menor ou
igual a δ donde, evidentemente, 0 ≤ |R|δ≤ 1. Como se escolheu atras, tem-se, para
s ≥ 0, hs(R) = |R|s. Portanto, para cada R ∈ Rδ a funcao de s, h∗s(R), definida para
s ≥ 0 por h∗s(R) = δ−rhs(R) =
(|R|δ
)se decrescente. Portanto, h∗t (R) ≥ h∗u(R),
ou seja, δ−tht(R) ≥ δ−uhu(R) sempre que 0 ≤ t ≤ u. A conclusao pretendida segue
imediatamente a partir da definicao (2.24). �
E possıvel agora afirmar o seguinte:
Proposicao 23. Para cada s ≥ 0, a medida exterior de Hausdorff de dimensao s
definida por
µsH(A) = supδ>0
inf
{∑n
|Rn|s : {Rn} e um recobrimento-δ de A
}, para todo A ⊂ Rn
ou por
µsH(A) = limδ→0
inf
{∑n
|Rn|s : {Rn} e um recobrimento-δ de A
}, para todo A ⊂ Rn
e uma medida exterior metrica.
Demonstracao. Recorde-se a definicao de medida exterior metrica (Definicao 35,
pagina 78). Suponha-se que A e B sao dois subconjuntos de Rn tais que d∗(A,B) = ε,
com ε > 0. Se R e um recobrimento-δ de A∪B e se δ e escolhido de forma a ser menor
que ε, entao pode afirmar-se que R e a reuniao de tres conjuntos disjuntos: RA, RB
e R0, sendo RA um recobrimento de A que nao intersecta B, RB um recobrimento de
90 2. A DIMENSAO FRACTAL
B que nao intersecta A e R0 que nao intersecta nem A nem B. Se assim nao fosse,
existiria um aberto em R que intersectaria A e B, o que so seria possıvel se o seu
diametro fosse maior que ε.
Note-se que RA ∈ CRδ(A), que RB ∈ CRδ
(B) e que R0 pode ser vazio. Tem-se,
portanto,
∑Rn∈R
hs(Rn) =∑
Rn∈RA
hs(Rn) +∑
Rn∈RB
hs(Rn) +∑
Rn∈R0
hs(Rn)
porque RA, RB e R0 sao conjuntos disjuntos. Logo,
∑Rn∈R
hs(Rn) ≥∑
Rn∈RA
hs(Rn) +∑
Rn∈RB
hs(Rn).
Assim, para todo δ tal que 0 < δ < ε, ao tomar o ınfimo de∑
Rn∈Rhs(Rn) para
todos os elementos R de CRδ(A ∪ B), podem restringir-se aos conjuntos da forma
R = RA ∪RB, como descrito acima, com R0 vazio. Daqui vem que
µδ,sH (A ∪B) = inf{Hs(R),R ∈ CRδ(A)}+ inf{Hs(R),R ∈ CRδ
(B)} =
= µδ,sH (A) + µδ,sH (B).
Entao, passando ao limite quando δ → 0 obtem-se
µsH(A ∪B) = limδ→0
µsH(A ∪B) = limδ→0
µδ,sH (A) + limδ→0
µδ,sH (B) = µsH(A) + µsH(B).
Portanto, µsH e uma medida exterior metrica. �
Na posse da construcao e dos factos acima descritos e evocando o Teorema de Ca-
ratheodory (Teorema 7), o Teorema 8 e o Teorema 9 retiram-se as conclusoes expressas
a seguir:
Teorema 11 (A Medida de Hausdorff de Dimensao s ≥ 0). Para cada s ≥ 0,
considere-se no e.m. Rn com a metrica usual, a medida exterior µsH definida por
µsH(A) = limδ→0
µδ,sH (A) =
= limδ→0
inf
{∑n
|Rn|s : {Rn} e um recobrimento-δ de A
},
(2.29)
2. MEDIDA E DIMENSAO DE HAUSDORFF 91
para todo A ⊂ Rn. Seja MµsHa σ-algebra formada por todos os conjuntos A ⊂ Rn
mensuraveis segundo Caratheodory, ou seja, que satisfazem µsH(E) = µsH(E ∩ A) +
µsH(E∩Ac) para todo E ⊂ Rn. A restricao de µsH aMµsHdefine uma medida, denotada
por µsH , denominada medida de Hausdorff de dimensao s. Essa medida e com-
pleta e todo conjunto Boreliano de Rn segundo τd, a topologia induzida pela metrica
euclidiana, e mensuravel, ou seja M[τd] ⊂MµsHpara todo s ≥ 0.
Definicao 41. A medida µsH restrita a M[τd] denomina-se medida de Borel-
Hausdorff e denota-se por µsH .
Note-se queM[τd] nao depende de s e, portanto, faz sentido perguntar como varia
com s a medida de um conjunto Boreliano fixo. A proposicao que se segue fornece
algumas respostas.
Proposicao 24. Seja E ∈M[τd]. Entao sao validas as seguintes afirmacoes:
(1) µs1H (E) ≥ µs2H (E) sempre que 0 ≤ s1 ≤ s2 <∞.
(2) Se existir t ≥ 0 tal que 0 < µtH(E) <∞, entao µsH(E) =
∞, se 0 ≤ s < t
0, se s > t
.
Demonstracao. Por definicao, todo conjunto R ∈ Rδ tem diametro menor ou
igual a δ. Logo, se 0 < δ < 1 vem 0 ≤ |R| < 1 para todo R ∈ Rδ. Consequentemente,
para δ fixo e 0 < δ < 1 e para cada R ∈ Rδ, a funcao de s definida para s ∈ [0,+∞[
por hs(R) = |R|s e decrescente, ou seja, hs1(R) ≥ hs2(R) sempre que 0 ≤ s1 ≤ s2.
Logo, pela definicao (2.25) de µδ,sH , tem-se para 0 < δ < 1 e 0 ≤ s1 ≤ s2 que µδ,s1H (E) ≥
µδ,s1H (E), para todo E ⊂ Rn. Pela definicao (2.28) tem-se µsH(E) = limδ→0
µδ,sH (E) para
todo s ≥ 0 e, portanto, segue que µs1H (E) ≥ µs2H (E) sempre que 0 ≤ s1 ≤ s2 < ∞ ja
que δ se torna menor que 1 quando tende para zero.
Pela Proposicao 22, sabe-se que para todo δ > 0 e sempre que 0 ≤ s ≤ t se
tem µδ,sH (E) ≥ δs−t(µδ,tH (E)
). Neste caso, se µtH(E) = lim
δ→0µδ,tH (E) for nao-nulo, o
limite µsH(E) = limδ→0
µδ,sH (E) sera infinito. Se s > t, tambem pela Proposicao 22, vem
µδ,sH (E) ≤ δs−t(µδ,tH (E)
), para todo δ > 0. Neste caso, se µtH(E) = lim
δ→0µδ,tH (E) < ∞
92 2. A DIMENSAO FRACTAL
tem-se µsH(E) = limδ→0
µδ,sH (E) = 0 sempre que s > t. Assim, se 0 < µtH(E) < ∞ para
algum t > 0 vem µsH(E) =∞ para todo 0 ≤ s < t e µsH(E) = 0 para todo s > t. �
2.2. A Dimensao de Hausdorff. A partir da Proposicao 24 define-se o seguinte:
Definicao 42. Seja E um subconjunto boreliano de Rn. Se existir um numero
dimH(E) com 0 ≤ dimH(E) ≤ ∞ tal que µsH(E) =
∞, se 0 ≤ s < dimH(E)
0, se dimH(E) < s <∞, e
com 0 < µsH(E) <∞ para s = dimH(E), ao numero dimH(E), que e unico, chama-se
dimensao Hausdorff do conjunto Boreliano E.
O grafico de µsH(E) em funcao de s, na Figura 2.1 mostra que existe um valor crıtico
da variavel onde µsH(E) “salta” de ∞ para 0; a esse valor crıtico chama-se dimensao
de Hausdorff de E e representa-se por dimH(E).
Figura 2.1. Grafico de µsH em funcao de s.
Tem-se dimH(E) = inf{s : µsH(E) = 0} = sup{s : µsH(E) =∞} porque
µsH(E) =
∞ se s < dimH E
0 se s > dimH E
e se s = dimH(E), entao µsH(E) pode ser 0 ou ∞ ou 0 < µsH(E) <∞.
Exemplo 29. Seja A um conjunto de k pontos distintos em (Rn,Euclidiana). Entao
µ0H(A) = k e µpH(A) = 0, para p > 0.
2. MEDIDA E DIMENSAO DE HAUSDORFF 93
µ0H(A) = lim
δ→0µδ,0H (A) = lim
δ→0inf{
∑n
|Rn|0 : {Rn} e recobrimento-δ de A}.
Como A e constituıdo por k pontos distintos de Rn, para δ suficientemente pequeno
serao necessarios k subconjuntos distintos de Rn para formar um recobrimento-δ de
A (note-se que δ pode ser tao pequeno quanto se queira, mas nao zero porque, por
definicao de recobrimento-δ, toma-se δ 0) e tem-se:
µ0H(A) = lim
δ→0inf{
k∑n=1
|Rn|0 : {Rn} e recobrimento-δ de A} = k.
Seja p > 0.
µpH(A) = limδ→0
µδ,pH (A) =
= limδ→0
inf{k∑
n=1
|Rn|p : {Rn} e recobrimento-δ de A} =
=k∑
n=1
0p = 0.
Alem disso, ja se sabia pela Proposicao 24 que, se µ0H = k < ∞, entao µpH(A) = 0
para todo p > 0. Portanto, dimH(A) = 0. �
Exemplo 30. Se A e um conjunto infinito e numeravel de pontos distintos em
(Rn,Euclidiana), entao, µ0H(A) =∞ e µpH(A) = 0, para p > 0.
Basta substituir no exemplo anterior k por +∞. Obtem-se µ0H(A) = +∞ e µpH(A) =
0 para p > 0. Como µsH(A) so esta definida para s ≥ 0, entao tambem se tem neste
caso que dimH(A) = 0. �
Portanto, se A e um conjunto finito ou numeravel de pontos distintos de
(Rn, Euclidiana), entao µ0H(A) e igual ao numero de pontos de A e esse conjunto tem
dimensao de Hausdorff igual a zero.
A seguinte proposicao e util:
Proposicao 25. Se E1 e E2 sao conjuntos Borelianos e E1 ⊂ E2, entao dimH(E1) ≤
dimH(E2).
Demonstracao. Como µsH e uma medida em M[τd] para todo s ≥ 0, tendo
E1 ⊂ E2, vem que µsH(E1) ≤ µsH(E2). Quando µsH(E2) = 0 para algum s segue que
94 2. A DIMENSAO FRACTAL
µsH(E1) = 0 para o mesmo s, porque uma medida nao toma valores negativos. Assim,
a dimensao de Hausdorff de E1 que e o valor de s em que µsH(E1) “salta” de ∞ para
0, sera sempre igual, ou inferior, a dimensao de Hausdorff de E2. �
Note-se que, para um espaco metrico X em geral, e possıvel haver conjuntos com
dimensao de Hausdorff infinita. Porem, no caso em que X = Rn com a metrica
Euclidiana usual, pode provar-se que dimH(E) ≤ n para todo o Boreliano E ⊂ Rn.
Isso sera discutido de seguida, apos a introducao de uma definicao que sera necessaria.
Definicao 43. Em Rn com a metrica euclidiana, chama-se cubo compacto a um
conjunto K da forma K = [a1; a1 + 1]× . . .× [an; an + 1], com a1, . . . , an ∈ R.
Em R, K e um intervalo unitario; em R2, K e um quadrado de lado 1 e em R3, K
e um cubo com 1 de aresta. O diametro de K ⊂ Rn e√n.
Proposicao 26. Considere-se o espaco metrico Rn com a metrica usual. Seja K ⊂
Rn um cubo compacto. Entao, µnH(K) <∞ e, portanto, dimH(K) ≤ n, dimH(Rn) ≤ n
e dimH(E) ≤ n para todo o Boreliano E ⊂ Rn.
Demonstracao. K e um Boreliano de Rn por ser fechado. Tomando um numero
inteiro positivo m e dividindo a aresta de K em m partes iguais, pode escrever-se K
como uma uniao de mn cubos fechados, cada um de aresta 1m
. O diametro de cada um
desses cubos fechados menores e 1m
√n. Logo, se δ > 1
m
√n, o conjunto dos mn cubos
forma um recobrimento-δ de K pelo que, pela definicao, µδ,nH (K) ≤ mn(
1m
√n)n
= nn2 .
Como nn2 nao depende de m, conclui-se que µδ,nH (K) ≤ n
n2 para todo δ > 0 e, portanto,
µnH(K) ≤ nn2 <∞ para qualquer n ∈ N. Pela Proposicao 24 vem, entao, que µsH(K) =
0 para todo s > n, pelo que dimH(K) ≤ n. Como Rn e a soma numeravel de cubos
fechados limitados (compactos), segue tambem que µsH(Rn) = 0 para todo s > n e,
portanto, que dimH(Rn) ≤ n, donde, pela Proposicao 25, dimH(E) ≤ n para todo o
Boreliano E ∈ Rn. �
2. MEDIDA E DIMENSAO DE HAUSDORFF 95
Portanto, todo o conjunto Boreliano de Rn tem uma dimensao Hausdorff finita e
menor ou igual a n. A dimensao Hausdorff pode assumir valores nao-inteiros. Ver-se-ao
exemplos disso em breve.
As medidas de Hausdorff generalizam as ideias comuns de comprimento, area, vo-
lume, etc.
Havera interesse em perceber o que acontece a medida de uma conjunto quando
este e transformado por uma aplicacao, em particular por uma aplicacao que verifica
a condicao de Holder de expoente α.
Definicao 44. Seja F ⊂ Rn e f : F → Rm uma aplicacao. Diz-se que f verifica
a condicao de Holder de expoente α se |f(x)− f(y)| ≤ c|x− y|α,∀x, y ∈ F para
constantes c > 0 e α > 0.
Proposicao 27. Se f e uma aplicacao que verifica a condicao de Holder de expo-
ente α entao f e contınua.
Demonstracao. Pretende-se mostrar que para qualquer δ > 0, existe um valor
ε > 0 tal que, se |x − y| < ε, entao |f(x) − f(y)| < δ. Ora, se f e uma aplicacao que
verifica a condicao de Holder para determinados c > 0 e α > 0 entao, dado δ > 0,
basta escolher ε = α
√δc
e, sempre que |x−y| < ε tem-se que |f(x)−f(y)| ≤ c|x−y|α <
c εα = δ. �
Proposicao 28. Seja F ⊂ Rn e f : F → Rm uma aplicacao que verifica a
condicao de Holder de expoente α para constantes c > 0 e α > 0. Entao, para cada
s, µsαH(f(F )) ≤ c
sαµsH(F ).
Demonstracao. Se {Ri} for um recobrimento-δ de F , entao, como para qual-
quer dos conjuntos Ri se tem |f(F ∩ Ri)| ≤ c|Ri|α vem que {f(F ∩ Ri)} e um
recobrimento-ε de f(F ), sendo ε = c δα. Assim,∑i
|f(F ∩ Ri)|sα ≤ c
sα
∑i
|Ri|s e,
portanto, µε, sα
H (f(F )) ≤ csα µδ,sH (F ). Quando δ tende para zero, o mesmo acontece com
ε, o que origina µsαH(f(F )) ≤ c
sαµsH(F ). �
96 2. A DIMENSAO FRACTAL
Definicao 45. Uma aplicacao f : F ⊂ Rn → Rm que verifica a condicao de Holder
de expoente α = 1 diz-se uma aplicacao de Lipschitz. Nesse caso, para quaisquer
dois elementos x e y de F tem-se |f(x)− f(y)| ≤ c|x− y|, com c > 0.
Uma contraccao (veja-se a Definicao 13, pagina 22) e uma aplicacao de Lipschitz
em que 0 < c < 1.
Definicao 46. Uma aplicacao f : F ⊂ Rn → Rm que verifica c1 |x− y| ≤
|f(x)− f(y)| ≤ c2 |x− y| ,∀x, y ∈ F , onde 0 < c1 ≤ c2 < ∞ diz-se uma aplicacao
bi-Lipschitz.
Corolario 1. Seja F ⊂ Rn e f : F → Rm uma aplicacao.
a) Se f e uma transformacao de Lipschitz, entao µsH(f(F )) ≤ csµsH(F ).
b) Se f : F → Rm e uma aplicacao bi-Lipschitz, entao cs1µsH(F ) ≤ µsH(f(F )) ≤
cs2µsH(F ).
Demonstracao. Para demonstrar a) basta substituir α por 1 na Proposicao 28.
A demonstracao de b) e identica a da Proposicao 28 fazendo α = 1 e invertendo os
sinais de desigualdade. �
Corolario 2 (Propriedade do Redimensionamento a Escala). Se F ⊂ Rn e λ > 0,
entao µsH(λF ) = λsµsH(F ) onde λF = {λx : x ∈ F}, isto e, o conjunto F redimensio-
nado pelo factor λ .
Demonstracao. Basta considerar f : F ⊂ Rn → Rn tal que f(x) = λx. Tem-se
que, para quaisquer x, y ∈ F, |f(x) − f(y)| = λ|x − y| donde f e uma aplicacao de
Lipschitz em que c = λ. Pelo Corolario 1 tem-se que µsH(λF ) ≤ λsµsH(F ). Para obter
a desigualdade contraria, basta considerar a aplicacao g : λF → Rn tal que g(x) = 1λx.
Entao, g e uma aplicacao de Lipschitz com c = 1λ
e, novamente pelo Corolario 1, tem-se
µsH( 1λλF ) ≤
(1λ
)sµsH(λF ), isto e, µsH(λF ) ≥ λsµsH(F ). �
Definicao 47. Uma funcao f : F ⊂ Rn → Rn diz-se uma semelhanca se |f(x)−
f(y)| = c|x− y|, com c > 0, quaisquer que sejam x, y ∈ F.. Em particular,
2. MEDIDA E DIMENSAO DE HAUSDORFF 97
Semelhanca de razao λ
Comprimento → λ× Comprimento
Area → λ2×Area
Volume → λ3×Volume
µsH → λs × µsH
Figura 2.2. Relacao entre medidas de figuras semelhantes.
a) se c = 1, f diz se uma isometria (tem-se |f(x) − f(y)| = |x − y| quaisquer
que sejam x, y ∈ F );
b) se c < 1, f diz-se, uma reducao;
c) se c > 1, f diz-se, uma ampliacao.
A c da-se o nome de razao de semelhanca.
As reducoes sao casos particulares de contraccoes.
Corolario 3. Se f e uma isometria, entao, µsH(f(F )) = µsH(F ).
Demonstracao. Basta considerar c1 = c2 = 1 no Corolario 1 ou considerar λ = 1
no Corolario 2. �
Isto significa que as medidas de Hausdorff sao invariantes para as isometrias como
e o caso da translacao e da rotacao.
Apresentam-se agora dois exemplos onde serao utilizados alguns dos resultados
demonstrados.
Exemplo 31. Seja C o conjunto Poeira de Cantor no quadrado unitario. Em cada
iteracao, da construcao cada quadrado da lugar a quatro quadrados com lado igual a 14
do comprimento do lado dos quadrados da iteracao anterior, tal como mostra a Figura
2.3. Entao, 1 ≤ µ1H(C) ≤
√2, donde dimH(C) = 1.
98 2. A DIMENSAO FRACTAL
Figura 2.3. As primeiras tres iteracoes na construcao do conjunto Poeira de Cantor.
Tomando o recobrimento-δ obvio para C constituıdo pelos 4k quadrados de lado
4−k (e portanto com diametro δ = 4−k√
2) de Ek, a k-esima iteracao da construcao
do conjunto, obtem-se a estimativa µδ,1H ≤ 4k4−k√
2. Quando k tende para infinito, δ
tende para zero e obtem-se µ1H ≤
√2.
Para se conseguir um ınfimo de µ1H considere-se a projeccao ortogonal no eixo das
abcissas, denotada por proj. A projeccao ortogonal nao aumenta as distancias, isto
e, |projx − projy| ≤ |x − y| para todo x, y ∈ R2. Portanto, proj e uma aplicacao de
Lipschitz. Considera-se que E0 e o quadrado unitario com o vertice inferior esquerdo
coincidente com a origem de um referencial ortonormado cujos semi-eixos positivos
contem os dois lados do quadrado adjacentes a esse vertice. Pela forma como C e
construıdo, a projeccao de C no eixo Ox e o intervalo [0, 1]. Pelo Corolario 1 vem
µ1H(f(C)) ≤ 11µ1
H(C), isto e, 1 = µ1H([0, 1]) ≤ µ1
H(C), porque µ1H([0, 1]) corresponde
ao comprimento de [0, 1]. Portanto, 1 ≤ µ1H(C) ≤
√2, pelo que dimH(C) = 1.
O mesmo se manteria se o processo de divisao de E0 fosse o de obter m2 quadrados
de lado 1m
, retendo um quadrado de cada coluna.
Usar a projeccao ortogonal para minimizar a medida de Hausdorff e um truque
que so funciona em circunstancias especiais e nao e a base de um metodo mais geral.
Normalmente conseguir um mınimo da muito mais trabalho do que neste exemplo.[2]
�
Exemplo 32. Seja C o Conjunto de Cantor em [0, 1]. Como foi visto no Exemplo
11 do Capıtulo 1, pagina 38, C e compacto e e totalmente desconexo (veja-se a Definicao
53 na pagina 104). O seu processo de construcao esta ilustrado na Figura 2.4.
2. MEDIDA E DIMENSAO DE HAUSDORFF 99
Figura 2.4. As primeiras quatro iteracoes na construcao do Conjunto de Cantor.
Inicia-se com o intervalo [0, 1] e cada conjunto Bk correspondente a k-esima iteracao
e constituıdo por 2k intervalos de diametro igual a(
13
)k.
Ver-se-a em seguida que µ0H(C) = ∞ e que µ1
H(C) = 0, donde se conclui que o
conjunto de Cantor tem dimensao de Hausdorff entre 0 e 1. Depois disso, demonstrar-
se-a que para s = log 2/ log 3 = 0, 6309 . . . tem-se1
2≤ µsH(C) ≤ 1, donde se pode
concluir que dimH(C) = log 2log 3
.
Demonstre-se a primeira afirmacao. Para s = 0, seja δ <(
13
)k. Existem pelo menos
2k conjuntos em qualquer recobrimento-δ de C. Basta que os extremos maximos de
cada um dos 2k intervalos disjuntos, de diametro(
13
)ksejam elementos de C e nao
pertencam a um mesmo subconjunto de Bk. Logo,
µδ,0H = inf
{∑i
|Ri|0 : {Ri} e recobrimento-δ de C
}≥ 2k
[(1
3
)k]0
e µ0H(C) = lim
δ→0µδ,0H ≥ lim
δ→02k = +∞.
Para s = 1, seja δ > 0. Escolhe-se o menor k tal que(
13
)k ≤ δ e considera-se
o recobrimento-δ de C com exactamente 2k subconjuntos com diametro menor ou
igual a δ, tomando a interseccao de C com subintervalos de [0, 1]. Tem-se µδ,1H (C) =
inf
{∑i
|Ri|1 : {Ri} e recobrimento-δ deC
}≤ 2k
[(13
)k]1
e, quando δ tende para zero,
k tende para infinito. E vem µ1H(C) = lim
δ→0µδ,1H (C) ≤ lim
k→∞
(23
)k= 0.
Para demonstrar a segunda parte, utilize-se um metodo heurıstico: O Conjunto de
Cantor divide-se em duas partes: a parte esquerda, CE = C ∩ [0, 13] e a parte direita,
CD = C ∩ [23, 1]. Ambas sao semelhantes a C porque sao reducoes de C a escala de
13. Tem-se a reuniao disjunta C = CE ∪CD. Entao, pela Proposicao 23, para qualquer
s > 0 vem µsH(C) = µsH(CE) + µsH(CD). E pela propriedade do redimensionamento
100 2. A DIMENSAO FRACTAL
a escala, Corolario 2, tanto µsH(CE) como µsH(CD) equivalem a(
13
)sµsH(C). Como na
primeira parte deste exemplo se concluiu que no valor crıtico s = dimH(C) se tem
0 ≤ µsH(C) ≤ 1, assuma-se que µsH(C) 6= 0; tem-se:
µsH(C) = 2
(1
3
)sµsH(C)⇔
⇔ 1 = 2
(1
3
)s⇔
⇔ s =log 2
log 3.
(2.30)
Para uma demonstracao mais rigorosa, considerem-se os intervalos de comprimento
3−k (k = 0, 1, 2, . . .) que constituem os conjuntos Bk de cada iteracao da construcao de
C e que formam um recobrimento {Ri} de C.
Daı, pode escrever-se que µ3−k,sH (C) ≤ 2k
(3−k)s
, porque s > 0.
Se s = log2log3
vem:
µsH(C) ≤ limk→∞
2k(3−k) log2log3 =
= limk→∞
[2
3log2log3
]k=
= limk→∞
1k = 1.
(2.31)
Demonstre-se agora que µsH(C) ≥ 12. Seja {Ri} um recobrimento-δ de C. Estando a
trabalhar em R pode assumir-se que Ri e sempre um intervalo ja que o seu diametro
tem que ser positivo. Como C e compacto, {Ri} pode ser uma coleccao finita de
subintervalos fechados de [0, 1]. Para cada um dos conjuntos Ri que constituem o
recobrimento {Ri}, seja k o inteiro tal que 3−(k+1) ≤ |Ui| ≤ δ < 3−k. Entao Ri
intersecta, no maximo, um dos intervalos de Bk ja que eles distam entre si pelo menos
3−k.
Se j ≥ k entao, por construcao, Ri intersecta, no maximo, 2j−k intervalos de Bj.
Se s = log 2log 3
, entao 12
= 3−s e pode escrever-se 2j−k = 2j3−sk ≤ 2j3s|Ri|s.
2. MEDIDA E DIMENSAO DE HAUSDORFF 101
Se se escolher j suficientemente grande para que 3−(j+1) ≤ |Ri| ≤ δ para todos os
conjuntos Ri que compoem o recobrimento, entao, como {Ri} intersecta todos os 2j in-
tervalos de comprimento 3−j, contando os intervalos obtem-se 2j ≤∑i
2j3s|Ri|s. Daqui
vem∑|Ri|s ≥ 3−s = 1
2, donde µsH(C) = inf{
∑i
|Ri|s : {Ri} e recobrimento-δ de C} ≥1
2, como se pretendia.
Pode, portanto, concluir-se que dimH(C) = log 2log 3
.
Com esforco extra poder-se-ia mostrar que efectivamente µsH(C) = 1 para s = log2log3
.
O calculo da dimensao de Hausdorff pode ser muito trabalhoso mesmo para conjuntos
simples e normalmente a estimativa inferior e a mais difıcil de obter.[2] �
Veja-se agora o que acontece a dimensao de Hausdorff de um conjunto quando sofre
uma transformacao que verifica a condicao de Holder de expoente α.
Proposicao 29. Seja F ⊂ Rn e seja f : F → Rn uma aplicacao que satisfaz a
condicao de Holder de expoente α. Entao, dimH f(F ) ≤ 1
αdimH F .
Demonstracao. Se f satisfaz a condicao de Holder de expoente α, entao, |f(x)−
f(y)| ≤ c|x−y|α, quaisquer que sejam x, y ∈ F com c > 0 e α > 0. Pela Proposicao 28,
µsαH (f(F )) ≤ c
sαµsH(F ). Quando µH(F ) = 0, o mesmo acontece com µ
sαH (f(F )), entao
o valor de s em que µsαH (f(F )) “salta” de ∞ para zero e menor ou igual ao valor de s
em que o mesmo acontece com µsH(F ). Portanto, dimH (f(F )) ≤ sα
= 1α
dimH(F ). �
Corolario 4. a) Se f : F → Rm e uma aplicacao de Lipschitz, entao
dimH(f(F )) ≤ dimH F .
b) Se f : F → Rm e uma aplicacao bi-Lipschitz, entao dimH(f(F )) = dimH F .
Demonstracao. Para demonstrar a) basta substituir α por 1 na Proposicao 29.
Demonstra-se b) usando a alınea b) do Corolario 1: pela segunda desigualdade vem que,
sempre que µsH(F ) for zero, o mesmo acontece com µsH (f(F )) , donde dimH (f(F )) ≤
dimH(F ). Pela primeira desigualdade vem que, sempre que µsH(F ) for infinito, o mesmo
acontece com µsH (f(F )) , pelo que dimH(F ) ≤ dimH (f(F )) . Portanto, dimH (f(F )) =
dimH(F ). �
102 2. A DIMENSAO FRACTAL
Portanto, a dimensao de Hausdorff e invariante para a transformacao bi-Lipschitz,
ou seja, nao pode haver uma transformacao bi-Lipschitz entre dois conjuntos com di-
mensoes de Hausdorff diferentes. Em topologia, dois conjuntos sao vistos como o mesmo
conjunto se existe um homeomorfismo entre eles; da mesma forma, em geometria frac-
tal, dois conjuntos poderao considerar-se o mesmo se existir uma bi-transformacao de
Lipschitz entre eles. Ou, de outra forma, dois fractais podem considerar-se o mesmo
(no sentido em que tem a mesma dimensao) se forem metricamente equivalentes. Para
utilizar este conceito ha que recordar as nocoes de espaco metrico e de metrica, intro-
duzidas no Capıtulo 1.
Definicao 48. Duas metricas d1 e d2 num espaco X dizem-se equivalentes se
existirem constantes 0 < c1 < c2 <∞ tais que c1d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ c2d1(x, y),∀(x, y) ∈
X ×X.
Uma ideia subjacente ao conceito de metricas equivalentes e a de que qualquer par
de metricas equivalentes dao a mesma nocao acerca da distancia entre dois pontos. E
como pensar numa maneira de deformar, de modo limitado, um espaco, e comparar
as distancias entre dois pontos, antes e depois da deformacao. Requerer a condicao de
equivalencia e o mesmo que exigir que nao haja uma deformacao (esticar ou encolher)
ilimitada do espaco. Isto introduz a ideia de espacos metricos equivalentes.[1]
Definicao 49. Dois espacos metricos (X1, d1) e (X2, d2) sao equivalentes se
existir uma funcao bijectiva h : X1 → X2 tal que a metrica d1 definida em X1 por
d1(x, y) = d2(h(x), h(y)),∀x, y ∈ X1 e equivalente a d1.
A definicao anterior corresponde a ter dois espacos metricos em que um deles e o
resultado de uma deformacao limitada do outro, sem esticar ou encolher infinitamente
e sem “dobragens”, “sobreposicoes” ou “rasgoes”.
Proposicao 30. Sejam A e B dois subconjuntos de Rn. Se A e B sao metricamente
equivalentes, entao existe entre eles uma aplicacao bi-Lipschitz.
2. MEDIDA E DIMENSAO DE HAUSDORFF 103
Demonstracao. Sejam A e B dois subconjuntos de Rn metricamente equivalen-
tes. Entao existe uma funcao bijectiva h : A → B tal que c1|x− y| ≤ |h(x)− h(y)| ≤
c2|x− y|, para todo (x, y) ∈ A×A com 0 < c1 < c2 <∞. Dado isto, pode dizer-se que
h e uma aplicacao bi-Lipschitz entre A e B. �
O inverso desta proposicao so nao e assegurado porque na definicao de aplicacao
bi-Lipschitiz as constantes c1 e c2 tem de verificar 0 < c1 ≤ c2 < ∞ e a definicao de
espacos metricos equivalentes exige que 0 < c1 < c2 <∞.
Proposicao 31. A dimensao de Hausdorff de dois subconjuntos limitados e me-
tricamente equivalentes de (Rn,Euclidiana) e igual.
Demonstracao. Se A e B sao dois subconjuntos de Rn limitados e metricamente
equivalentes entao, pela Proposicao 30, sabe-se que existe entre eles uma funcao bijec-
tiva h : A → B (portanto B = h(A)) tal que h e uma aplicacao bi-Lipschitz e daqui,
pela alınea b) do Corolario 4, pagina 101, tem-se que dimH B = dimH A. �
Exemplo 33. Se f : R→ R e a funcao f(x) = x2 e F e um subconjunto qualquer
de R, entao dimH (f(F )) = dimH(F ).
Tem-se |f(x) − f(y)| = |x2 − y2| = |x − y||x + y|. Seja M = sup{|x| : x ∈ F} e
m = inf{|x| : x ∈ F}. Pode escrever-se m|x− y| ≤ |x− y||x+ y| ≤ 2M |x− y|. Entao f
e uma aplicacao bi-Lipschitz e, pelo Corolario 4, vem que dimH(f(F )) = dimH(F ). �
Exemplo 34. Seja f : R2 → R tal que f(x) = projx, isto e, f(x1, x2) = x1 para
todo (x1, x2) ∈ R2. Entao, como foi visto no Exemplo 31, pagina 97, tem-se, para
quaisquer x, y ∈ R2, |f(x) − f(y)| = |projx − projy| ≤ |x − y|. Mas nao existe c > 0
tal que para quaisquer x, y ∈ R2 seja valido que c|x− y| ≤ |projx− projy| porque se
x e y forem dois pontos de R2 com a mesma abcissa, entao |projx− projy| = 0. Logo
f e uma aplicacao de Lipschitz mas nao e uma aplicacao bi-Lipschitz. Assim, dado
F ⊂ R2, vem dimH (f(F )) < dimH(F ). �
Vejam-se agora alguns aspectos relacionados com a dimensao de conjuntos total-
mente desconexos.
104 2. A DIMENSAO FRACTAL
Definicao 50. Seja (X, τ) um espaco topologico. Um conjunto F ⊂ X diz-se um
conjunto desconexo em relacao a topologia τ , se existirem dois abertos A1, A2 ∈ τ ,
tais que:
(1) F ∩ A1 6= ∅ e F ∩ A2 6= ∅,
(2) (F ∩ A1) ∩ (F ∩ A2) = ∅,
(3) F = (F ∩ A1) ∪ (F ∩ A2).
Definicao 51. Seja (X, τ) um espaco topologico. Um conjunto F ⊂ X diz-se um
conjunto conexo em relacao a topologia τ se nao for desconexo em relacao a τ .
Definicao 52. Seja (X, τ) um espaco topologico e F ⊂ X. Aos subconjuntos
conexos de F que nao estejam contidos em mais nenhum subconjunto tambem conexo
de F chamam-se componentes conexas em relacao a topologia τ de F .
Definicao 53. Seja (X, τ) um espaco topologico. Um conjunto F ⊂ X diz-se
um conjunto totalmente desconexo em relacao a topologia τ se todas as suas
componentes conexas forem constituıdas apenas por um ponto.
Definicao 54. Seja (X, d) um e.m. e F ⊂ X. Diz-se que F e denso em X se
ad(F ) = X.
Por outras palavras, existem pontos de F tao proximos quanto se queira de qualquer
ponto de X. Por exemplo, Q e denso em R relativamente a metrica usual; tem-se
ad(Q) = R. Contudo, Q e numeravel e R nao.
Lema 8. Seja F um subconjunto do e.m. (R, Euclideana). Se µ1H(F ) = 0 entao o
complementar de F e denso em R.
Demonstracao. Suponha-se que o complementar de F nao e denso em R. Entao
F contem uma “bola”, isto e, contem um intervalo de R e, nesse caso, µ1H(F ) 6= 0, o
que contradiz a hipotese. Portanto, se µ1H(F ) = 0 entao o complementar de F e denso
em R. �
2. MEDIDA E DIMENSAO DE HAUSDORFF 105
Proposicao 32. Um conjunto F ⊂ Rn com dimH(F ) < 1 e totalmente desconexo.
Demonstracao. Sejam x e y dois pontos distintos de F . Considere-se a aplicacao
f : Rn → [0;∞[ tal que f(z) = |z − x|. Tem-se |f(z) − f(w)| = ||z − x| − |w − x|| =
||z| − |w|| ≤ |z −w|, o que mostra que f nao aumenta as distancias e e uma aplicacao
de Lipschitz. Pelo Corolario 4, dimH (f(F )) ≤ dimH(F ) < 1. Portanto, pelo Lema 8,
µ1H (f(F )) = 0, logo f(F ) tem um complementar denso em [0;∞[. Escolhendo r tal
que r 6= f(F ) e 0 < r < f(y) vem que F = {z ∈ F : |z−x| < r}∪{z ∈ F : |z−x| > r}.
Donde, F esta contido na reuniao de dois conjuntos abertos disjuntos com x num dos
conjuntos e y no outro, isto e, x e y pertencem a diferentes componentes conexas de
F . Como x e y eram quaisquer dois elementos de F , conclui-se que F e totalmente
desconexo. �
Proposicao 33. Para qualquer s tal que 0 ≤ s ≤ 2, existe um conjunto totalmente
desconexo do plano com dimensao de Hausdorff igual a s.
Demonstracao. Designe-se por E0 um quadrado unitario em R2. Tome-se um
valor r, fixo, tal que 0 < r < 12. Coloque-se em cada vertice de E0 um quadrado de lado
r de modo a que fiquem os quatro totalmente contidos em E0 como mostra a figura
2.5. Seja E1 o conjunto formado por esses quatro quadrados. De seguida, substitui-se
cada um dos quatro quadrados de E1 por uma reducao de E1 de factor de reducao r.
Obtem-se E2, o conjunto formado por 16 quadrados de lado r2.
Repetindo sucessivamente este processo, na k-esima iterada obtem-se Ek, um con-
junto constituıdo por 4k quadrados de lado rk. Entao Fr =∞⋂k=1
Ek e um subconjunto
totalmente desconexo de R2. Veja-se porque: se se supoe que dois pontos x e y estao
na mesma componente conexa de Fr, entao pertencerao a um mesmo quadrado de Ek,
para k = 1, 2, 3, . . .. Donde |x− y| ≤√
2rk para todo k ∈ N, portanto |x− y| = 0, ou
seja, x = y.
Tem-se ainda que Fr e composto por quatro reducoes de si mesmo de factor de
reducao r, disjuntas duas a duas; designem-se por Fr,1, Fr,2, Fr,3, e Fr,4. Por µsH
106 2. A DIMENSAO FRACTAL
Figura 2.5. As primeiras tres iteracoes na construcao de um conjunto to-
talmente desconexo em R2 com dimensao de Hausdorff igual a r.
ser uma medida exterior metrica (Proposicao 23, pagina 89), e pela Propriedade do
Redimensionamento a Escala (Corolario 2, pagina 96), vem que, para s ≥ 0, µsH(Fr) =4∑i=1
µsH(Fr,i) =4∑i=1
rsµsH(Fr). Assumindo que quando s = dimH Fr se tem 0 < µsH(Fr) <
∞ e aplicando o metodo heurıstico ja usado no Exemplo 32, obtem-se 1 = 4rs donde
s = − log 4
log r. Fazendo r variar entre 0 e 1
2, a dimensao de Hausdorff de Fr tomara todos
os valores entre 0 e 2.
Falta apenas encontrar um subconjunto do plano que seja totalmente desconexo
com dimensao de Hausdorff igual a zero e outro que seja totalmente desconexo com
dimensao de Hausdorff igual a 2.
Para o primeiro caso e muito simples: basta considerar um conjunto formado por
um unico ponto de R2.
Para o caso de s = 2, considere-se o conjunto G =∞⋃k=3
Gk em que Gk = F 12− 1k+(k, 0).
Em termos praticos, G e o conjunto que se obtem colocando todos os F 12− 1k
lado a lado,
sem que dois conjuntos sucessivos se intersectem. Os conjuntos Gk sao disjuntos e cada
2. MEDIDA E DIMENSAO DE HAUSDORFF 107
Gk e congruente com F 12− 1k
e, portanto, totalmente desconexo. Assim, G e tambem um
subconjunto de R2 totalmente desconexo. Pela Propriedade da Estabilidade Numeravel
da dimensao de Hausdorff (que sera explicada ja de seguida) tem-se que dimH G =
supk≥3
dimH Gk = supk≥3
dimH
(F 1
2− 1k
)= 2 �
Quanto a dimensao de Hausdorff podem, portanto, listar-se as seguintes proprieda-
des:
Propriedade 1. Monotonia - Se E ⊂ F , entao dimH E ≤ dimH F .
Foi visto na Proposicao 25, na pagina 93.
Propriedade 2. Estabilidade Numeravel - Se {Fi} e uma coleccao numeravel de con-
juntos, entao
dimH
(∞⋃i=1
Fi
)= sup
1≤i≤∞{dimH Fi}.
Como qualquer elemento Fj da coleccao esta contido em∞⋃i=1
Fi entao, pela
propriedade anterior tem-se que dimH Fj ≤ dimH
(∞⋃i=1
Fi
)qualquer que seja
j e, portanto,
sup1≤i≤∞
{dimH Fi} ≤ dimH
(∞⋃i=1
Fi
). (2.32)
Por outro lado, se s > dimH Fj qualquer que seja j, entao µsH(Fj) = 0
para todos os elementos da coleccao de conjuntos e µsH
(∞⋃i=1
Fi
)= 0. Este
ultimo valor deixa de ser zero quando, ao diminuir o valor de s, este toma o
maior valor para o qual um dos Fi tem dimensao de Hausdorff diferente de
zero. Portanto,
dimH
(∞⋃i=1
Fi
)≤ sup
1≤i≤∞{dimH Fi}. (2.33)
De (2.32) e de (2.33) conclui-se que dimH
(∞⋃i=1
Fi
)= sup
1≤i≤∞{dimH Fi}.
Propriedade 3. Conjuntos numeraveis - Se F e numeravel, entao dimH F = 0. Ver o
Exemplo 30, na pagina 93.
Propriedade 4. Conjuntos abertos - Se F ⊂ Rn e aberto e contem uma bola de
volume n-dimensional positivo, entao dimH F = n. Um aberto em Rn e um
108 2. A DIMENSAO FRACTAL
Boreliano. Esta propriedade esta demonstrada na Proposicao 26, na pagina
94.
Nos casos de Fractais definidos por um SFI {Rm;w1, w2, . . . , wN}, com semelhanca
exacta (diz-se que um conjunto tem auto-semelhanca exacta se corresponder a reuniao
de varias reducoes de si mesmo, ou seja, wn e uma reducao de razao de semelhanca
sn para cada n ∈ {1, 2, . . . N}), totalmente desconexos ou justapostos (isto e, para
quaisquer i, j ∈ {1, 2, . . . , N}, wi(F ) e wj(F ) “tocam-se” mas nao se sobrepoem), a
medida s-dimensional de Hausdorff, µsH , pode ser utilizada para comparar os tamanhos
de fractais que tenham a mesma dimensao. Quanto maior for o valor de µsH de um
conjunto, “maior” ele e. Se dois fractais tiverem dimensoes diferentes, considera-se
“maior” aquele cujo valor da dimensao de Hausdorff for mais alto.
E possıvel demonstrar que a Dimensao de Hausdorff pode ser definida de ou-
tras formas usando outro tipo de recobrimentos que determinam medidas que levam
a dimensoes de valor igual ao da dimensao de Hausdorff para o mesmo conjunto.
Por exemplo, poderiam usar-se apenas recobrimentos-δ constituıdos apenas por bo-
las “esfericas”, ou entao recobrimentos-δ constituıdos unicamente por conjuntos aber-
tos, ou por conjuntos fechados. Outra hipotese e considerar uma medida de redes em
que os recobrimentos-δ usados sao constituıdos por intervalos binarios (sendo F um
subconjunto do intervalo [0, 1[, chama-se intervalo binario a um intervalo da forma[r.2−k; (r + 1).2−k
[com k = 0, 1, 2, . . . e r = 0, 1, 2, . . . , 2k − 1). As medidas de rede
sao convenientes porque quaisquer dois conjuntos binarios ou sao disjuntos, ou um esta
contido no outro, permitindo que qualquer recobrimento de intervalos binarios seja re-
duzido a uma recobrimento de intervalos binarios disjuntos. Em cada caso, para cada
conjunto em particular, pode adoptar-se a definicao que melhor convier ao calculo da
sua dimensao de Hausdorff. Na seccao que se segue apresentam-se outras definicoes de
dimensao que, em geral, nao sao equivalentes a definicao de dimensao de Hausdorff.
Apenas em alguns casos especıficos podera haver igualdade entre os valores obtidos
atraves das diferentes definicoes. Isso tambem sera abordado.
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 109
3. Definicoes alternativas de Dimensao
O que e fundamental para quase todas as definicoes de dimensao e a ideia de medida
a escala δ: para cada δ, o conjunto e medido desprezando as irregularidades de tamanho
inferior a δ, depois observam-se como os resultados dessas medicoes se comportam a
medida que δ tende para zero.
Por exemplo, se F e uma curva plana, designe-se por Mδ(F ) o numero de passos
de tamanho δ necessarios para percorrer F . A dimensao de F e determinada pelo
expoente da potencia a que Mδ(F ) obedece quando δ tende para zero. Escreve-se
Mδ(F ) ∼ cδ−s, com c e s constantes, (2.34)
significando que a diferenca relativa entre Mδ(F ) e cδ−s tende para zero com δ, e diz-se
que F tem “dimensao” s olhando c como o “comprimento s-dimensional” de F .
Aplicando o logaritmo a ambos os membros de (2.34) obtem-se logMδ(F ) ∼ log c−
s log δ; dividindo ambos membros por − log δ vemlogMδ(F )
− log δ∼ − log c
log δ+s log δ
log δe
passando ao limite quando δ tende para zero, obtem-se s = limδ→0
logMδ(F )
− log δ.
Esta formula leva a procedimentos computacionais, pois s pode ser estimado atraves
do declive de uma grafico log-log desenhado num intervalo apropriado de δ (ver-se-a
um exemplo mais adiante). No entanto, quando isto e aplicado ao estudo de fenomenos
naturais, so e possıvel considerar “intervalos” finitos de valores de δ, ja que a experiencia
e a teoria divergem antes ainda de se alcancar a escala atomica. Por isso, quando se
estudam fractais naturais so se utiliza uma certa gama de escalas que sera apropriada
e adequada a cada caso. Tambem pode acontecer que nao se consiga alcancar o valor
exacto de s e que apenas se possam determinar os seus limites superior e inferior.
De salientar ainda que para que o valor de s determinado da forma dada acima se
comporte como uma dimensao e necessario que o metodo de medicao seja tal que, ao
redimensionar F e, proporcionalmente, a escala a que se fez a medicao, isso nao afecte
a resposta; isto e: Mδ(δF ) = M1(F ), qualquer que seja δ. E que, se por exemplo se
alterar a definicao de Mδ(F ) para que passe a ser a soma dos comprimentos dos passos,
110 2. A DIMENSAO FRACTAL
tem-se que Mδ(δF ) = δ1M1(F ) para δ > 0; e e necessario ter isto em conta quando e
definida a dimensao.
Mas nao ha regras rapidas para decidir se uma determinada quantidade e uma
dimensao; tudo depende da definicao. E muitas vezes sao necessarias a experiencia
e a intuicao para decidir se uma definicao de dimensao e aceitavel. Pode acontecer
que definicoes muito parecidas de dimensao tenham propriedades muito diferentes e
como tal nao se deve assumir que definicoes diferentes de dimensao produzem o mesmo
valor de dimensao, mesmo tratando-se de conjuntos “bons”. As propriedades de cada
de dimensao devem, portanto, retirar-se da sua propria definicao e nao inferirem-se de
propriedades de outras definicoes de dimensao. Nem todas as propriedades da dimensao
de Hausdorff se mantem necessariamente validas para as outras definicoes de dimensao,
no entanto, e desejavel que outras definicoes de dimensao mantenham as seguintes:
• Monotonia: se E ⊂ F , entao dimH E ≤ dimH F .
• Estabilidade: dimH(E ∪ F ) = max{dimH E, dimH F}.
• Estabilidade Numeravel: dimH
(∞⋃i=1
Fi
)= sup
1≤i≤∞dimH Fi.
• Invariancia Geometrica: dimH f(F ) = dimH F se f e uma transformacao de
Rn como uma translacao, rotacao, ampliacao ou reducao, etc. . .
• Invariancia de Lipschitz: dimH f(F ) = dimH F se f e uma aplicacao bi-
lipschitz, isto e, c1 |x− y| ≤ |f(x)− f(y)| ≤ c2 |x− y| para quaisquer x e
y pertencentes a F e com 0 < c1 ≤ c2 <∞.
• Conjuntos Numeraveis: dimH F = 0 se F e finito ou numeravel.
• Conjuntos Abertos: Se F e um conjunto aberto de Rn, contendo uma bola de
volume n-dimensional positivo, entao dimH F = n.
A definicao de dimensao de Hausdorff pode ser entendida uma extensao da definicao
classica de dimensao topologica. Normalmente, todas as definicoes sao Lipschitz-
invariantes, e portanto geometricamente invariantes, mas definicoes diferentes de di-
mensao podem produzir valores diferentes.
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 111
3.1. Dimensoes de Contagem de Caixas (”Box-Counting Dimensions”).
Esta e uma das definicoes de dimensao mais usadas e a sua popularidade deve-se
essencialmente a facilidade com que se pode calcular e estimar empiricamente. Na
literatura podera aparecer com outras designacoes mas aqui utilizar-se-a a designacao
de dimensao de contagem de caixas ou, de forma mais simples, dimensao de caixas e
representar-se-a por dimB, em conformidade com a bibliografia utilizada, que e mai-
oritariamente de lıngua inglesa, onde esta dimensao se designa por “box-counting di-
mension” ou por “box dimension”, tendo-se optado aqui pela traducao directa destes
termos.
Definicao 55. Seja F um subconjunto de Rn, nao vazio e limitado e seja Nδ(F )
o menor numero de conjuntos de diametro no maximo δ que pode cobrir F .
A dimensao de caixas superior de F e a dimensao de caixas inferior de
F sao definidas respectivamente por
dimBF = limδ→0
logNδ(F )
− log δ(2.35)
e por
dimBF = limδ→0
logNδ(F )
− log δ. (2.36)
Se estes dois limites forem iguais, designa-se o seu valor por dimensao de con-
tagem de caixas de F (ou dimensao de caixas de F) e tem-se ,
dimB F = limδ→0
logNδ(F )
− log δ. (2.37)
Ha varias definicoes equivalentes de dimensao de contagem de caixas. Consoante a
situacao, umas poderao ser mais convenientes de utilizar que outras.
Definicao 56. Chama-se cubo da rede-δ coordenada de Rn a um conjunto
da forma [m1δ; (m1 + 1)δ]× . . .× [mnδ; (mn + 1)δ] com m1, . . . ,mn ∈ Z.
Em R1 este “cubo” e um intervalo de comprimento δ, em R2 e um quadrado de
lado δ, etc. . .
112 2. A DIMENSAO FRACTAL
Teorema 12. Seja F um subconjunto nao vazio e limitado de Rn. Sendo as di-
mensoes de contagem de caixas superior e inferior de F definidas respectivamente por
dimBF = limδ→0
logNδ(F )
− log δe por dimBF = lim
δ→0
logNδ(F )
− log δe sendo, se estes dois li-
mites forem iguais, a dimensao de contagem de caixas de F definida por dimB F =
limδ→0
logNδ(F )
− log δ, entao Nδ(F ) pode ser qualquer dos seguintes numeros:
i) o menor numero de bolas fechadas com raio δ que cobre F ;
ii) o menor numero de “cubos” de lado δ que cobre F ;
iii) o menor numero de cubos da rede-δ coordenada que intersectam F ;
iv) o menor numero de conjuntos de diametro no maximo δ que cobrem F ;
v) o maior numero de bolas disjuntas de raio δ com centro em F .
Demonstracao. Comeca-se por demonstrar que a definicao em iii) e equivalente
a definicao em iv). Seja Nδ(F ) o menor numero de conjuntos de diametro no maximo
δ que pode cobrir F . Seja N ′δ(F ) o numero de cubos da rede-δ coordenada de Rn que
intersectam F . Esses cubos fornecem uma coleccao de N ′δ(F ) conjuntos de diametro
δ√n que cobrem F , donde Nδ
√n(F ) ≤ N ′δ(F ). Quando δ
√n < 1, tem-se − log(δ
√n) >
0 e pode escrever-se
logNδ√n(F )
− log (δ√n)≤ logN ′δ(F )
− log√n− logδ
.
Tomando o limite quando δ tende para zero obtem-se
dimBF ≤ limδ→0
logN ′δ(F )
− log δe dimBF ≤ lim
δ→0
logN ′δ(F )
− log δ
( porque limδ→0
logN ′δ(F )
− log√n− logδ
= limδ→0
logN ′δ(F )
− log δ).
Por outro lado, qualquer conjunto de diametro menor ou igual a δ esta contido em
3n cubos de lado δ da rede-δ coordenada (escolhendo um cubo que contenha algum
ponto do conjunto, juntamente com os cubos seus vizinhos); veja-se a Figura 2.6.
Donde, N ′δ(F ) ≤ 3nNδ(F ). Efectuam-se agora as seguintes operacoes a ambos os
membros: divide-se por 3n, toma-se o logaritmo e divide-se por − log δ (que e positivo
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 113
Figura 2.6. Rede-δ em R, R2 e R3.
sempre que δ < 1). Obtem-se
logN ′δ(F )− log 3n
− log δ≤ logNδ(F )
− log δ.
No limite, quando δ tende para zero, vem
limδ→0
logN ′δ(F )
− log δ≤ dimBF e lim
δ→0
logN ′δ(F )
− log δ≤ dimBF.
Portanto, para determinar dimBF , dimBF e dimB F pode considerar-se que Nδ(F )
e o numero de cubos da rede-δ coordenada que intersectam F .
Demonstre-se agora a equivalencia das definicoes em ii) e em iv). Essa equivalencia
demonstra-se como no caso da rede-δ de cubos notando que qualquer cubo de lado δ
tem diametro δ√n e que qualquer conjunto de diametro no maximo δ esta contido num
cubo de lado δ.
Para demonstrar a equivalencia entre as definicoes de i) e de iii), seja NBδ(F ) o
menor numero de bolas fechadas de raio δ (diametro 2δ) que cobrem F . Considere-se
tambem uma rede-δ de cubos construıda sobre F ⊂ Rn.
Em Rn, cada bola fechada de raio δ intersecta, no maximo, 3n cubos da rede-δ,
veja-se a Figura 2.7.
Portanto, NCδ(F ) ≤ 3nNBδ(F ) em que NCδ(F ) e o numero de cubos da rede-δ que
intersecta F . De forma analoga ao que ja foi feito antes, efectuam-se as operacoes
seguintes a ambos os membros: divide-se por 3n, toma-se o logaritmo e divide-se por
114 2. A DIMENSAO FRACTAL
Figura 2.7. Ilustracao em R e em R2 de “Em Rn, cada bola fechada de raio
δ intersecta, no maximo, 3n cubos da rede-δ.
− log δ (que e positivo sempre que δ < 1). No limite, quando δ tende para zero, vem
dimBCF ≤ dimBB
F e dimBCF ≤ dimBBF
em que dimBC F representa a dimensao de caixas usando a contagem de cubos da rede-
δ e dimBB F representa a dimensao de caixas usando a contagem de bolas fechadas que
cobrem F .
Por outro lado, se se considerar a rede-δ de cubos e se contar o numero NCδ(F ) de
cubos da rede-δ que intersectam F , e em cada um deles se considerar um bola fechada
de raio δ e com centro coincidente com o centro do cubo, tem-se que essa coleccao de
NCδ(F ) bolas cobre F porque cada bola intersecta 3n cubos.
Vem NBδ(F ) ≤ NCδ(F ) donde (para δ < 1 e passando ao limite quando δ tende
para zero)
dimBBF ≤ dimBC
F e dimBBF ≤ dimBCF.
Portanto, dimBCF = dimBB
F e dimBCF = dimBBF e se as dimensoes superior
e inferior coincidirem, entao dimBC F = dimBB F. Logo, as definicoes i) e iii) sao
equivalentes.
Finalmente, demonstre-se a equivalencia entre iv) e v). Seja N ′δ(F ) o maior numero
de bolas disjuntas de raio δ com centro em F designadas por B1, . . . , BN ′δ(F ). Se
x ∈ F , entao x esta a uma distancia menor ou igual a δ de uma das bolas Bi (caso
contrario, a bola de centro em x e de raio δ poderia ser acrescentada para formar uma
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 115
coleccao ainda maior de bolas). Entao, as N ′δ(F ) bolas concentricas com as Bi mas de
raio 2δ (diametro 4δ), cobrem F e N4δ(F ) ≤ N ′δ(F ).
Por outro lado, suponha-se que B1, . . . , BN ′δ(F ) sao bolas disjuntas de raio δ com
centro em F e seja U1, . . . , Uk uma coleccao de conjuntos de diametro menor ou
igual a δ que cobre F . Como o centro de cada uma das bolas Bi e um elemento de
F , entao cada bola Bi tem que conter pelo menos um dos conjuntos Uj. Como as
bolas Bi sao disjuntas, entao ha pelo menos tantos conjuntos Uj como bolas Bi; donde,
N ′δ(F ) ≤ Nδ(F ). Tomando em cada membro o logaritmo e em seguida o limite quando
δ tende para zero, obtem-se o mesmo valor para a dimensao de caixas se se utilizar na
respectiva definicao, N ′δ em vez de Nδ. �
Na pratica, adopta-se a definicao mais conveniente em cada caso. A definicao
que utiliza Nδ(F ) como o menor numero de cubos da rede-δ coordenada e a mais
usada empiricamente. Para determinar a dimensao de caixas de um conjunto plano F
desenha-se a rede-δ de quadrados (caixas) e conta-se, para varios valores de δ cada vez
menores, o numero Nδ(F ) de quadrados (“caixas”) que se sobrepoem ao conjunto. Daı
o nome “dimensao de contagem de caixas”. A dimensao e a razao logarıtmica a qual
Nδ(F ) cresce quando δ tende para zero e pode ser estimada pelo declive do grafico de
logNδ(F ) em funcao de − log δ. Esta definicao da uma interpretacao do significado de
dimensao de caixas. O numero de cubos da rede-δ que intersecta F e um indicador
de quao “espalhado” ou “irregular” e o conjunto, quando examinado a escala δ. A
dimensao reflecte quao rapidamente as irregularidades se desenvolvem a medida que δ
tende para zero.
Exemplo 35. No espaco metrico (R2; Euclidiana) considere-se o conjunto singular
A = {a}. Entao, para qualquer δ > 0, tem-se Nδ(A) = 1 e dimB A = 0.
dimB(A) = limδ→0
Nδ(A)
− log δ= lim
δ→0
1
− log δ= 0 e, analogamente, dimB(A) = 0, pelo que
dimB(A) = 0. �
116 2. A DIMENSAO FRACTAL
Da mesma forma se determina que um conjunto finito de pontos de Rn tem dimensao
de caixas igual a zero. Se A for um conjunto infinito numeravel, ver-se-a mais a frente
(Exemplo 38, pagina 121) que a sua dimensao de caixas pode nao ser zero.
Teorema 13. Seja n um inteiro positivo e considere-se o espaco metrico
(Rn,Euclidiana). Para todo o elemento A de H(Rn) existe dimB(A) e se A e B sao
elementos de H(Rn) tais que A ⊂ B, entao 0 ≤ dimBA ≤ dimBB ≤ n.
Demonstracao. Efectuar-se-a a demonstracao para o caso de n = 2. Sem perda
de generalidade, como A e limitado, pode considerar-se que o conjunto A esta contido
num quadrado C. Entao, Nδ(A) ≤ Nδ(C) para qualquer δ > 0. Daı, sempre que
0 < δ < 1, vem que 0 ≤ logNδ(A)
− log δ≤ logNδ(C)
− log δ.
Segue que limδ→0
logNδ(A)
− log δ≤ lim
δ→0
logNδ(C)
− log δ, onde o limite do segundo membro existe
e e 2, pelo que o limite do primeiro membro tambem existe e e limitado superiormente
por 2.
Se A, B ∈ H(Rn) com A ⊂ B, substituindo no argumento anterior C por B vem
que dimBA ≤ dimBB. �
Teorema 14. Seja n um inteiro positivo e considere-se o espaco metrico
(Rn,Euclidiana). Sejam A e B elementos de H(Rn) tais que dimBB < dimBA. Entao
dimB(A ∪B) = dimB(A).
Demonstracao. Do Teorema 13 vem que dimB(A ∪ B) ≥ dimB(A) porque A ⊂
A ∪ B. Quer-se demonstrar agora que dimB(A ∪ B) ≤ dimB(A). Note-se que, para
todo δ > 0, Nδ(A ∪B) ≤ Nδ(A) +Nδ(B). Segue que
dimB(A ∪B) ≤ limδ→0
logNδ(A ∪B)
− log δ≤
≤ limδ→0
log [Nδ(A) +Nδ(B)]
− log δ=
= limδ→0
log Nδ(A)
− log δ+ lim
δ→0
log
(1 +
Nδ(B)
Nδ(A)
)− log δ
.
(2.38)
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 117
Como dimBB < dimBA, entao limδ→0
logNδ(B)
− log δ< lim
δ→0
logNδ(A)
− log δ, ou seja,
limδ→0
(logNδ(B)− logNδ(A)
− log δ
)< 0. Para δ < 1 tem-se − log δ > 0 pelo que, obriga-
toriamente, logNδ(B) − logNδ(A) < 0, isto e, log
(Nδ(B)
Nδ(A)
)< 0, logo
Nδ(B)
Nδ(A)< 1.
Voltando a (2.38), tem-se que a segunda parcela tende para zero e a primeira converge
para dimB(A) (que existe, por hipotese). Concluindo, dimB(A ∪B) = dimB(A). �
Exemplo 36. A dimensao de caixas do conjunto “cabeludo” A ⊂ R2 apresentado
na Figura 2.8 e 2, porque se trata de um conjunto que e a reuniao de um quadrado
(com dimensao de caixas igual a 2) com um conjunto de linhas (com dimensao de caixas
menor que 2).
Figura 2.8. Se a dimensao de caixas de um conjunto A e maior que a
dimensao de caixas de um conjunto B, entao a dimensao de caixas de A ∪ B
e igual a dimensao de caixas de A.
Na verdade, a medida que δ → 0, a contribuicao dos ditos “cabelos” para Nδ(A),
torna-se exponencialmente pequena comparada com a contribuicao do quadrado.
�
3.2. Relacao entre a Dimensao de Contagem de Caixas e a Dimensao de
Hausdorff.
Proposicao 34. Seja F um subconjunto de Rn. Entao dimH(F ) ≤ dimB(F ).
118 2. A DIMENSAO FRACTAL
Demonstracao. Tem-se por definicao que dimB(F ) = limδ→0
logNδ
− log δem que Nδ e
o menor numero de conjuntos de diametro δ necessarios para cobrir F . Seja {Bi}
uma tal coleccao de conjuntos. Quando δ e muito pequeno tem-se s ≈ log 1δNδ com
s = dimB(F ). Daqui vem1
δs≈ Nδ que e equivalente a 1 ≈ Nδ.δ
s =Nδ∑i=1
δs.
Seja {Ui} uma coleccao de conjuntos tais que Ui = Bi ∩ F. Entao {Ui} e um
recobrimento-δ de F e µδ,sH (F ) ≤Nδ∑i=1
δs < ∞ porque dimB(F ) converge por hipotese e
e menor que n.
Assim, limδ→0
µδ,sH (F ) = limδ→0
inf{Nδ∑i=1
|Ui|s : {Ui} e recobrimento-δ de F} ≤ limδ→0
Nδ∑i=1
δs que
existe e finito, com s = dimB(F ).
Se este limite for zero para s = dimB(F ), entao o valor em que limδ→0
µδ,sH (F ) “salta”
de infinito para zero e dimH(F ) ≤ s = dimB(F ). Se este limite nao for zero, sendo
finito, tem-se dimH(F ) = dimB(F ).
�
Normalmente nao se obtem aqui a igualdade estrita, excepto em casos em que o
conjunto e suficientemente regular.
Exemplo 37. Seja C o Conjunto de Cantor. Entao dimBC = dimBC = log 2log 3
.
O recobrimento-δ de cada iteracao Bk da construcao de C (ver Figura 2.4, pagina
99) de 2k intervalos da que Nδ(C) ≤ 2k se 3−k < δ ≤ 3−k+1 e tem-se
dimBC = limδ→0
logNδ(C)
− log δ≤ lim
k→∞
log 2k
log 3k−1=
log 2
log 3.
Por outro lado, qualquer intervalo de comprimento δ com 3−k−1 ≤ δ < 3−k in-
tersecta, no maximo um dos intervalos binarios de diametro 3−k que compoem cada
estadio Bk. Ha 2k intervalos desses em Bk e portanto, sao necessarios pelo menos 2k
intervalos de comprimento δ para cobrir C. Daı, Nδ(C) ≥ 2k o que da dimBC ≥log 2
log 3.
Logo, dimB C =log 2
log 3, valor esse que e igual a dimensao de Hausdorff de C deter-
minada no Exemplo 32, pagina98. Portanto, no caso do Conjunto de Cantor tem-se
dimH C = dimB C. �
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 119
O Conjunto de Cantor e um fractal com auto-semelhanca exacta. Diz-se que um
conjunto tem auto-semelhanca exacta se puder construir-se como uma reuniao de varias
reducoes de si mesmo. Em geral todos os fractais deste tipo tem a dimensao de Haus-
dorff igual a dimensao de caixas. Noutro tipo de fractais, o mais habitual e definicoes
diferentes de dimensao gerarem valores diferentes.
A Definicao 2.37, pagina 111, que diz que dimB F = limδ→0
logNδ(F )
− log δindica, gros-
seiramente falando, que para valores pequenos de δ, Nδ(F ) ≈ δ−s, onde s = dimB F
(ou seja, Nδ(F )δs ≈ 1). Mais precisamente, diz que Nδ(F )δs → ∞ se s < dimB F e
Nδ(F )δs → 0 se s > dimB F. Mas
Nδ(F )δs = inf{∑i
δs : {Ui} e um recobrimento-δ (finito) de F}
deveria ser comparado com
µsH(F ) = inf{∑i
|Ui|s : {Ui} e um recobrimento-δ de F}.
Ao calcular a dimensao de Hausdorff |Ui|s pode tomar valores diferentes consoante
varia i, enquanto que para a dimensao de caixas se atribui o mesmo peso de δs a todos
os conjuntos do recobrimento.
A dimensao de caixas pode ser tida como indicadora da eficiencia com que um
conjunto pode ser coberto por pequenos conjuntos de tamanho igual, enquanto que a
dimensao de Hausdorff envolve recobrimentos por conjuntos de diametros pequenos,
mas eventualmente de valores muito variados.
Como na dimensao de Hausdorff se utilizam recobrimentos compostos por conjuntos
de diametros diferentes e na dimensao de box-counting se usam recobrimentos compos-
tos por conjuntos todos com o mesmo diametro, esta ultima tende a ser mais facil
de calcular. No entanto, tem algumas propriedades com consequencias indesejaveis.
Vejam-se algumas propriedades e alguns inconvenientes da dimensao por caixas.
As seguintes propriedades elementares da dimensao de caixas espelham as proprie-
dades da dimensao de Hausdorff e podem ser verificadas de forma muito identica.
120 2. A DIMENSAO FRACTAL
Propriedade 1. Uma hipersuperfıcie regular Rn tem dimensao de caixas igual a m
com m ∈ {1, 2 . . . , n}.
Propriedade 2. dimB e dimB sao monotonas.
Basta usar o Teorema 13 e, de forma analoga se prova que, se dimB(A)
e dimB(B) existirem, estando A contido em B, tambem se tem dimB(A) ≤
dimB(B).
Propriedade 3. dimB e finitamente estavel, isto e,
dimB(E ∪ F ) = max{dimBE, dimBF},
mas dimB nao o e.
Propriedade 4. Se f : F → Rn e uma funcao de Lipschitz, entao, dimBf(F ) ≤
dimBF e dimBf(F ) ≤ dimBF .
Isto acontece porque se |f(x)− f(y)| ≤ c|x− y| e F tem um recobrimento
constituıdo por Nδ(F ) conjuntos de diametro menor ou igual a δ, entao as
Nδ(F ) imagens por f desses conjuntos formam um recobrimento de f(F ) por
conjuntos de diametro, no maximo cδ, donde dimB f(F ) ≤ dimB F. A di-
mensao de caixas comporta-se de forma analoga as dimensoes de Hausdorff
sob transformacoes bi-Lipschitz e de Holder.
Vejam-se agora algumas desvantagens da dimensao de contagem de caixas. A
proxima Proposicao e, a princıpio, apelativa, mas tem consequencias indesejaveis.
Proposicao 35. Seja ad(F ) a aderencia de F (ou seja, o menor subconjunto
fechado de Rn que contem F ). Entao, dimB[ad(F )] = dimBF e dimB[ad(F )] = dimBF .
Demonstracao. Seja B1, . . . Bk uma coleccao finita de bolas fechadas, de raio
δ. Se o conjunto fechadok⋃i=1
Bi contem F , entao tambem contem ad(F ). Portanto, o
menor numero de bolas fechadas de raio δ que cobre F e suficiente para cobrir ad(F )
(que pode ser um conjunto “maior” que F ). Donde se conclui o que se pretende. �
Uma consequencia imediata disto e que se F e um subconjunto denso de uma regiao
aberta de Rn, entao dimBF = dimBF = n.
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 121
Exemplo 38. Sendo F o conjunto (numeravel) dos numeros racionais entre 0 e 1,
entao ad(F ) e todo o intervalo [0,1] e dimBF = dimBF = 1. �
Daqui se conclui que conjuntos numeraveis podem ter dimensao de caixas dife-
rente de zero, o que nao acontecia com a dimensao de Hausdorff. Alem disso, a di-
mensao de caixas de qualquer numero racional olhado como um conjunto singular e
zero (como foi visto no Exemplo 35 na pagina 115); no entanto, a uniao numeravel
destes conjuntos singulares tem dimensao 1. Entao, nem sempre sera verdade que
dimB
∞⋃i=1
Fi = supi dimB Fi como se passa com a dimensao de Hausdorff.
Isto limita a utilidade da dimensao de caixas ja que, introduzindo um “pequeno”
conjunto, isto e, um conjunto numeravel de pontos, isso pode alterar completamente a
dimensao do conjunto ao contrario do que acontecia com a dimensao de Hausdorff.
Exemplo 39. F = {0; 1; 12; 1
3; . . .} e um conjunto compacto com dimB F = 1
2.
Vejam-se os calculos: Se |U | = δ < 12
e k e o inteiro que satisfaz1
(k − 1)k> δ ≥
1
k(k + 1), entao U pode cobrir, no maximo, um dos pontos {1;
1
2; . . . ;
1
k}. Assim, pelo
menos k conjuntos de diametro δ sao necessarios para cobrir F , dondelogNδ(F )
− log δ≥
log k
log k(k + 1). Quando δ → 0, vem dimBF ≥
1
2.
Por outro lado, se1
2> δ > 0, toma-se k tal que
1
(k − 1)k> δ ≥ 1
k(k + 1). Entao,
k + 1 intervalos de comprimento δ cobrem [0; 1k], deixando k − 1 pontos de F que
podem ser cobertos por outros k− 1 intervalos. Logo,logNδ(F )
− log δ≤ log(2k)
log k(k + 1)o que
da dimBF ≤1
2.
A partida, nao seria de esperar que este conjunto cujos pontos sao todos isolados,
excepto um, fosse um fractal; no entanto, tem dimensao de caixas fraccionaria. �
Tal como sao muito convenientes na pratica, as dimensoes de caixas sao tambem
muito uteis na teoria. Se, como acontece regularmente, se puder demonstrar que um
conjunto tem dimensao de caixas igual a dimensao de Hausdorff, da relacao entre essas
duas definicoes podem surgir resultados profıcuos.
122 2. A DIMENSAO FRACTAL
Exemplo 40. A Curva de Koch e um conjunto em R2 que se constroi da seguinte
forma: a um segmento de recta de comprimento l dividido em tres partes iguais, retira-
se o segmento do meio que se substitui por dois segmentos, ambos de comprimento l3.
Os primeiros estadios de construcao desta curva estao representados na Figura 2.9.
Figura 2.9. Primeiras quatro iteradas da construcao da Curva de Koch.
Se C for a Curva de von Koch, entao, pela alınea iv) do Teorema 12, dimBC e, no
maximo, log 4/ log 3 e pela alınea v) do mesmo Teorema, dimBC e, no mınimo, esse
mesmo valor; donde dimB C = log 4/ log 3.
Vejam-se os pormenores: Para
(1
3
)k≤ δ <
(1
3
)k−1
sao necessarios, no maximo,
4k conjuntos de diametro δ para cobrir C; veja-se a Figura 2.10.
Figura 2.10. Para δ =(
13
)ksao necessarios, no maximo, 4k conjuntos de
diametro δ para cobrir a Curva de Koch.
Pela alınea iv) do Teorema 12 da pagina 112 vem
logNδ(C)
− log δ≤ log 4k
− log
(1
3
)k =log 4
log 3
donde, dimBC ≤log 4
log 3.
Por outro lado, para
(1
3
)k+1
< δ ≤(
1
3
)kconseguem-se, pelo menos, 4k + 1 bolas
de diametro δ com centro em C; veja-se a Figura 2.11.
Pela alınea v) do Teorema 12 da pagina 112 vem
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 123
Figura 2.11. Para δ =(
13
)kconseguem-se, pelo menos, 4k + 1 bolas de
diametro δ com centro em pontos da Curva de Koch.
logNδ(C)
− log δ≥
log(4k + 1
)− log
(1
3
)k ≥ log 4k
− log
(1
3
)k =log 4
log 3
donde, dimBC ≥log 4
log 3.
Portanto, dimB C =log 4
log 3≈ 1, 262. Este valor, sendo maior que 1 e menor que 2,
e consistente com o facto de se tratar de uma linha com comprimento infinito e com
area nula.
�
O Teorema seguinte simplifica o processo de calculo da dimensao de caixas porque
permite que se substitua a variavel contınua δ por uma variavel discreta.
124 2. A DIMENSAO FRACTAL
Teorema 15. Seja F ∈ H(X ), sendo (X, d) um espaco metrico. Seja δk = C.rk
para numeros reais 0 < r < 1 e C > 0 e para k ∈ N. Se D = limk→∞
logNδk(F )
− log δkentao,
F tem dimensao de caixas igual a D.
Demonstracao. Considerem-se os numeros reais r e C e a sucessao {δk}k∈N como
definidos no enunciado do Teorema.
Considere-se δ ≤ r e seja f(δ) = max{δk : δk ≤ δ, k ∈ N}. Entao, Crk = f(δ) ≤
δ ≤ f(δ)
r= Crk−1 (porque 0 < r < 1) e, portanto,
Nf(δ)(F ) ≥ Nδ(F ) ≥ N f(δ)r
(F ). (2.39)
Para valores de δ pequenos tais que f(δ) ≤ δ ≤ f(δ)
r< 1 vem
1
f(δ)≥ 1
δ≥ r
f(δ)> 1.
Como log x e uma funcao crescente e positiva para x ≥ 1, vem que log
(1
f(δ)
)≥
log
(1
δ
)≥ log
(r
f(δ)
)que e o mesmo que escrever
− log f(δ) ≥ − log δ ≥ − log
(f(δ)
r
). (2.40)
De (2.39) e de (2.40) vem
log(N f(δ)
r
(F ))
− log f(δ)≤ log (Nδ(F ))
− log δ≤
log(Nf(δ)(F )
)− log
(f(δ)r
) . (2.41)
Assumindo que Nδ(F ) → ∞ a medida que δ → 0 (caso contrario, o Teorema e
verdadeiro porque se tera D = 0) o segundo membro da segunda desigualdade em
(2.41) verifica
limδ→0
logNf(δ)(F )
− log(f(δ)r
) = lim
k→∞
(logNδk(F )
− log(δkr
) ) =
=
[limk→∞
log r − log δklogNδk(F )
]−1
=
= limk→∞
logNδk(F )
− log δk.
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 125
O primeiro membro da primeira desigualdade em (2.41) verifica
limδ→0
log(N f(δ)
r
(F ))
− log f(δ)
= limk→∞
(logNδk−1
(F )
− log δk
)=
= limk→∞
logNδk−1(F )
− log r − log δk−1
=
= limk→∞
logNδk−1(F )
− log δk−1
=
= limk→∞
logNδk(F )
− log δk.
Portanto, a medida que δ → 0, ambos os extremos de (2.41) tendem para o valor D
indicado no enunciado do Teorema donde, o limite quando δ → 0 do termo intermedio
de (2.41) tambem existe e tem o mesmo valor D. �
Este ultimo resultado permite que o calculo da dimensao de caixas se torne mais
simples, sempre que seja possıvel determinar uma sucessao {δk} adequada.
Exemplo 41. O conjunto Poeira de Cantor apresentado no Exemplo 31 da pagina
97 tem dimensao de caixas igual a 1.
Considere-se a sucessao δk =1
4kcom k = 1, 2, 3, . . .. Usando a alınea ii) do Teorema
12, na pagina 112, basta considerar que, para cada valor de δk os cubos pretendidos
coincidem com os quadrados que constituem cada um dos conjuntos Ek correspondentes
as varias etapas de construcao do conjunto C. Para cada δk, tem-se Nδ(C) = 4k para
todo k ∈ N. Quando k tende para infinito, δ tende para zero e pelo Teorema 15
dimB C = limδ→0
log(4k)
−log(4−k)= 1.
Para este conjunto ja tinha sido determinada a sua dimensao de Hausdorff, cujo
valor e tambem 1 (Exemplo 31, na pagina 97). �
Exemplo 42. Considere-se em (R2, Euclideana) o subconjunto F denominado
Triangulo de Sierpinski cujo processo de construcao se inicia com um triangulo equilatero
com uma unidade de comprimento de lado e foi explicado nos Exemplos 1 e 9, paginas
21 e 37 respectivamente, no Capıtulo 1. Entao, dimB F = log 3log 2
.
126 2. A DIMENSAO FRACTAL
Considere-se a sequencia δk =
(1
2
)k. SendoNδk(F ) o numero mınimo de quadrados
de lado δk que cobre F , tem-se: δ1 =1
2e Nδ1(F ) = 3; δ2 =
1
4e Nδ2(F ) = 9; δ3 =
1
8e
Nδ3(F ) = 27;. . . e, em geral, Nδn(F ) = 3n; veja-se a Figura 2.12.
Figura 2.12. Recobrimento do Triangulo de Sierpinski por quadrados de
lado 12 ,
14 e 1
8 .
Entao, pela alınea ii) do Teorema 12 e pelo Teorema 15, a dimensao de caixas do
Triangulo de Sierpinski e
limk→∞
log 3k
− log
(1
2
)k =log 3
log 2.
�
Exemplo 43. Na Figura 2.13 esta uma imagem de uma das arvores da especie acer
palmatum cujas folhas sao muito recortadas. Mostra-se de seguida como determinar a
dimensao de caixas de uma delas.
Em primeiro lugar procedeu-se a obtencao de uma imagem digital da folha. Neste
caso foi usado um scaner, tendo o cuidado de espalmar o melhor possıvel a folha e de
a abrir de modo a evitar a sobreposicao das suas diversas componentes. De seguida
produziu-se uma versao da imagem a preto e branco (Figura 2.14). E de salientar que,
neste caso, a a atribuicao da cor branca ou preta a cada um dos pixels foi feita de modo
automatico, pelo programa usado para trabalhar a imagem.
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 127
Figura 2.13. Arvore de uma das variedades de acer palmatum.
Figura 2.14. Versao binaria da imagem digital da folha.
Depois, a imagem foi dividida em quadrados (“caixas”) de lado δ cada vez menor.
Para cada valor escolhido para δ contou-se o numero de quadrados da rede-δ que
intersectavam a imagem (Figura 2.15).
Os dados dados obtidos sao os que estao registados nas duas primeiras colunas da
Tabela 2.1 e a respectiva representacao grafica encontra-se na Figura 2.16.
Como o numero de quadrados a cobrir a area total da figura e proporcional ao qua-
drado do inverso da medida do lado de cada quadrado em que se dividiu a mesma, basta
agora usar os resultados obtidos nas medicoes anteriores, e representar graficamente
o logaritmo do numero de caixas que intersectam a figura em funcao do logaritmo do
128 2. A DIMENSAO FRACTAL
Figura 2.15. Divisao da imagem em caixas de lado 512, 256, 128, 64, 32,
16 e 8 pixels respectivamente.
inverso do lado de cada quadrado (Figura 2.17). O declive da recta de regressao linear
que melhor se ajusta ao conjunto de pontos obtidos e uma estimativa da dimensao de
caixas da imagem. Neste caso obteve-se 1, 5362 como valor aproximado da dimensao
de contagem de caixas desta folha de acer palmatum.
Convem referir que uma gama diferente de escalas pode originar outro valor para a
dimensao. Um alinhamento diferente da grelha que forma a rede-δ pode tambem pro-
duzir resultados ligeiramente diferentes; e um tratamento diferente da imagem quando
se produz a imagem a preto e branco tambem pode interferir em todo o processo,
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 129
δ Nδ(G)
logNδ(G) − log δLado da Caixa Numero de caixas que
(em pixels) intersectam a folha
512 4 0,6021 0,3010
256 13 1,1139 0,6021
128 36 1,5563 0,9031
64 96 1,9823 1,2041
32 280 2,4472 1,5051
16 851 2,9299 1,8062
8 2574 3,4106 2,1072Tabela 2.1. Valores obtidos a partir da contagem de caixas que intersectam
a Figura 2.14.
Figura 2.16. Numero de caixas que intersectam a folha (Nδ(G)) em funcao
do comprimento (em pixels) do lado da caixa (δ).
provocando alteracoes nos resultados finais. Alem disso, o comprimento do lado do
quadrado da rede-δ coordenada esta limitado inferiormente pelo comprimento do lado
do pixel e, por isso, nao se consegue efectivamente obter o limite, quando δ tende para
130 2. A DIMENSAO FRACTAL
Figura 2.17. Logaritmo do Numero de caixas que intersectam a folha
(log (Nδ(G))) em funcao do Logaritmo do inverso do comprimento (em pi-
xels) do lado da caixa (− log(δ)) e recta de regressao linear para o conjunto
de pontos representados.
zero, delogNδ(G)
− log δ. Tudo isto indica que este metodo e, apesar de muito pratico e facil
de utilizar, tambem bastante empırico. �
Veja-se agora que relacao existe entre as dimensoes de caixas de dois conjuntos
metricamente equivalentes.
Teorema 16. Sejam (X1, d1) e (X2, d2) dois espacos metricos equivalentes. Seja
h : X1 → X2 a transformacao que providencia a equivalencia dos espacos. Seja A1
um elemento de H(X1) com dimensao de caixas D. Entao, A2 = h(A1) tambem tem
dimensao de caixas igual a D.
Demonstracao. Basta usar a Proposicao 30 da pagina 102 e a propriedade 4
da dimensao de caixas mencionada na pagina 119 (uma vez para h e outra vez para
h−1). �
O Teorema anterior permite-nos concluir que dois objectos fractais que resultam um
do outro por uma “distorcao simples” tem a mesma dimensao de caixas. Alem disso,
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 131
uma aplicacao bi-Lipschitz entre dois conjuntos garante que estes tenham a mesma
dimensao de caixas, tal como acontecia para a dimensao de Hausdorff (Proposicao 31,
pagina 103).
Exemplo 44. O Conjunto de Cantor que se constroi tendo como ponto de partida
o intervalo [0; 1] ou o Conjunto de Cantor que se obtem da mesma forma mas iniciando
com o intervalo [0; 3] tem ambos a mesma dimensao de caixas.
Considerem-se os espacos metricos (X1, d1) e (X2, d2) em que X1 = [0, 1], X2 =
[0, 3] e d1 e d2 sao ambas a metrica euclidiana. Considere-se tambem a aplicacao
h : [0, 1]→ [0, 3] tal que h(x) = 3x que e invertıvel. Defina-se em [0, 1] a metrica d1 tal
que d1(x, y) = d2(h(x), h(y)), para quaisquer dois elementos x e y de X1. Tem-se
d1(x, y) = |x− y| ≤ 3|x− y| = |3x− 3y| = |h(x)− h(y)| = d1(x, y);
e tambem
1
3d1(x, y) =
1
3|h(x)− h(y)| = 1
3|3x− 3y| = |3x− 3y| = |x− y| = d1(x, y);
isto e,
1
3d1(x, y) ≤ d(x, y) ≤ d1(x, y), ∀x, y ∈ [0, 1].
Portanto, d1 e d1 sao metricas equivalentes em [0, 1] e ([0, 1], d1) e ([0, 3], d2) sao
espacos metricos equivalentes (ver Definicao 48 e Definicao 49 na pagina 102).
Se A1 for o Conjunto de Cantor em [0, 1] e A2 o Conjunto de Cantor em [0, 3],
tem-se A1 ∈ H([0, 1]), A2 ∈ H([0, 3]) e A2 = h(A1); pelo Teorema 16 ambos terao a
mesma dimensao de caixas. �
A seguir apresenta-se um algoritmo para determinar a dimensao de fractais com
auto-semelhanca exacta e funciona para aqueles cujas reducoes de si mesmo que o
compoem nao se sobreponham ou nao se sobreponham “demasiado”. O resultado que
enuncia esse algoritmo nao se demonstra aqui, designar-se-a por “Metodo Heurıstico”
e diz que sendo m e N numeros inteiros positivos, F o fractal definido pelo SFI
{Rm;w1, w2, . . . , wN} em que wn e uma reducao de razao de semelhanca sn para cada
132 2. A DIMENSAO FRACTAL
n ∈ {1, 2, . . . N} e D ∈ [0,m], a unica solucao deN∑n=1
|sn|D = 1, entao se o SFI e total-
mente desconexo ou justaposto (isto e, para quaisquer i, j ∈ {1, 2, . . . , N}, wi(F ) e
wj(F ) “tocam-se” mas nao se sobrepoem), vem que a dimensao de Hausdorff (dimH F ) e
a dimensao de caixas (dimB F ) do fractal F sao iguais e tem-se dimH F = dimB F = D.
Se existir sobreposicao no SFI, entao dimB F ≤ D.
Um exemplo de aplicacao deste resultado foi ja apresentado no Exemplo 32, pagina
98, em que uma parte foi resolvida atraves de um metodo heurıstico. De seguida,
apresentam-se mais exemplos da sua aplicacao a fractais definidos por sistemas de
funcoes iteradas em que a imagem produzida por cada uma das contraccoes nao se
sobrepoe a nenhuma das imagens produzidas pelas restantes. Nesses casos, a dimensao
de Hausdorff e igual a dimensao de caixas.
Exemplo 45. Seja F o fractal cujos primeiros estadios de construcao estao repre-
sentados na Figura 2.18. Este fractal pode ser definido por um SFI constituıdo por
Figura 2.18. Primeiras duas iteradas da construcao um fractal que pode
ser definido por um SFI constituıdos por cinco contraccoes, com dois factores
de contraccao diferentes.
cinco contraccoes, uma delas de factor de contraccao 12
e as restantes de factor de con-
traccao 14. O Metodo Heurıstico diz que a dimensao fractal (quer de Hausdorff, quer
de caixas) deste conjunto e a solucao de 4
(1
4
)s+
(1
2
)s= 1. Pode obter-se a solucao
desta equacao quer algebricamente, quer graficamente.
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 133
Resolucao algebrica com a mudanca de variavel y =
(1
2
)s:
4
[(1
2
)s]2
+
(1
2
)s− 1 = 0
⇔4y2 + y − 1 = 0
⇔y =1±√
17
8
⇒s = − log2
(−1 +
√17
8
)= − log2
(√17− 1
)+ 3 ≈ 1, 357.
Resolucao grafica: Representam-se graficamente as funcoes f(s) = 4
(1
4
)s+
(1
2
)se g(s) = 1. O valor pretendido corresponde a abcissa do ponto de interseccao entre os
graficos destas duas funcoes; veja-se o grafico na Figura 2.19.
Figura 2.19. Resolucao Grafica, pelo Metodo Heurıstico, para determinar
a dimensao de um fractal definido por um SFI constituıdo por contraccoes de
diferentes factores de contraccao.
134 2. A DIMENSAO FRACTAL
Exemplo 46. O Triangulo de Sierpinski pode ser definido por um SFI constituıdo
por 3 contraccoes de factor de contraccao1
2(veja-se o Exemplo 9, pagina 37 do Capıtulo
1). As primeiras iteradas desse SFI estao tambem representadas na Figura 2.21.
Figura 2.20. Primeiras quatro iteradas da construcao do Triangulo de Sierpinski.
A sua dimensao fractal e D tal que 3
(1
2
)D= 1. Tem-se 3 ×
(1
2
)D= 1 ⇔
log 12
(1
3
)= D ⇔ D =
ln 3
ln 2≈ 1, 585.
Este valor ja tinha sido encontrado quando se calculou a dimensao de caixas do
Triangulo de Sierpinski no Exemplo 42 da pagina 125. �
Quando o SFI e constituıdo por N contraccoes que nao se sobreponham, todas com
factor de contraccao igual a r, a dimensao do fractal e o valor D tal que NrD = 1, isto
e, N =
(1
r
)Dou entao, D =
logN
log
(1
r
) . Mas este valor para a dimensao so faz sentido
no caso de fractais com auto-semelhanca exacta em que as varias partes que o compoem
sao copias de si mesmo, todas elas a mesma escala. Esta definicao de dimensao so se
aplica, portanto, a uma pequena classe de conjuntos estritamente auto-semelhantes.
O numero obtido desta forma e por vezes chamado de dimensao de semelhanca do
conjunto.
Exemplo 47. No caso da Curva de Peano ja apresentada no Exemplo 13, pagina
40 do Capıtulo 1, utilizam-se nove contraccoes (N = 9) com factor de reducao igual
a 1/3 (r = 1/3). Entao D = log9/log3 = 2. Este e um exemplo interessante por se
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 135
tratar de uma curva no plano (em R2) com dimensao 2. O ponto fixo do SFI que a
define e uma curva que passa por todos os pontos do interior de um quadrado.
Figura 2.21. Esquema de construcao da primeira iterada e as primeiras
cinco iteradas da construcao da Curva de Peano.
�
Exemplo 48. Este mesmo processo pode servir para verificar que imagens com
dimensao euclidiana tem dimensao fractal com igual valor. Por exemplo, um segmento
de recta e feito de quatro copias de si mesmo a uma escala de 1/4. O segmento tem
dimensao log 4
log 14
= 1. Um quadrado e composto de quatro copias de si mesmo a uma
escala de 12
e tem dimensao log 4
log 12
= 2. �
Exemplo 49. A Curva de Koch cuja dimensao fractal ja foi calculada no Exemplo
40 na pagina 122 e constituıda por 4 copias de si mesma a uma escala de1
3. Tem
dimensaolog 4
log 3≈ 1, 286.
Esta curva tem algumas propriedades interessantes (tais como nao ter derivada em
nenhum dos seus pontos e ter comprimento infinito) que serao utilizadas no Capıtulo
4 em propostas de actividades para realizar com os alunos na aula de Matematica. �
Exemplo 50. As curvas cujas primeiras iteradas estao representadas na Figura 2.22
constroem-se de uma forma identica a Curva de Koch, variando o factor de reducao
de cada um dos segmentos relativamente ao segmento inicial e, automaticamente, o
angulo entre estes segmentos. Ambas sao definidas por SFI’s constituıdos por quatro
136 2. A DIMENSAO FRACTAL
contraccoes de igual factor de contraccao; no primeiro caso o factor de contraccao e 920
e no segundo e 12.
. . .
. . .
Figura 2.22. Primeiras iteradas da construcao de duas curvas com processo
de construcao identico a Curva de Koch.
A dimensao da primeira curva elog 4
log 209
≈ 1, 736 e a dimensao da segunda elog 4
log 2= 2.
�
Exemplo 51. A Ilha de Minkowski e o fractal construıdo da forma ilustrada na
Figura 2.23. Em cada iteracao, o perımetro da “ilha” aumenta (tendendo para infinito)
mas a sua area mantem-se constante.
A dimensao da linha que delimita a “ilha” elog 8
log 4≈ 1, 5. �
Exemplo 52. O Conjunto de Cantor tambem pode ser visto como compreendendo
quatro copias de si mesmo a uma escala de 1/9. Com base nisso pode calcular-se a sua
dimensao da seguinte forma: D =log 4
log 1/9=
log 2
log 3≈ 0, 631. O valor que se obtem e o
3. DEFINICOES ALTERNATIVAS DE DIMENSAO 137
Figura 2.23. Primeiras iteradas da construcao da Ilha de Minkowski.
mesmo que ja se tinha obtido por outros metodos, como e o caso do calculo efectuado
no Exemplo 32. �
CAPıTULO 3
Aplicacoes da Geometria Fractal
139
140 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL 141
Em cada campo da ciencia os conceitos de geometria vao sendo adaptados as ne-
cessidades do que se estuda (morfologia, espaco de 4 dimensoes, textura, etc.) sendo
frequentemente utilizados de forma intuitiva. Durante seculos, a geometria euclideana
serviu de base para a modelacao e para a compreensao da geometria da Natureza. Com
o aparecimento da geometria fractal nos anos ’70 do seculo XX, pela mao de Mandel-
brot, que escreveu artigos que a relacionam com a geometria de fenomenos observados
em diversas areas da ciencia, o conceito de fractal acabou por captar a atencao de cien-
tistas de muitos campos diferentes e hoje aparecem diariamente artigos sobre fractais
aplicados nos mais diversos contextos .
A geometria fractal pode ser utilizada para modelar objectos naturais desde a escala
atomica (por exemplo na dinamica de fluıdos) ate ao tamanho do universo (como no
caso do estudo da formacao de galaxias). Porem, ha que ter em conta que em cada caso
a aplicacao dos fractais esta sempre limitada a um intervalo de escalas, fora do qual
a propriedade da auto-semelhanca, seja ela exacta ou estatıstica, ja nao se verifica.
Isso faz com que, em geral, nao se possa aplicar directamente a teoria as situacoes
praticas; por exemplo, para o calculo da dimensao de contagem de caixas, na pratica,
nao se pode considerar o diametro das caixas a tender para zero, porque isso deixa
de fazer sentido fora de um determinado intervalo de valores. Assim, a modelacao
de objectos ou fenomenos naturais com a geometria fractal, e feita considerando uma
serie de aproximacoes que dependerao do grau correccao que se pretende nos resultados
finais, tal como ja se fazia antes com a geometria euclideana onde, por exemplo o
globo terrestre e, em muitos casos, estudado como se de uma esfera se tratasse. Ha
tambem que ter em conta que nem tudo na Natureza e fractal, pelo que a geometria
euclideana continuara a ser util e necessaria. Por exemplo, a luz, constituıda por
partıculas elementares e sem subestruturas nao e fractal, no entanto, um relampago
viaja segundo uma linha fractal. Porcoes de agua parada, ou gotas de agua nao sao
fractais, mas as ondas do oceano e as correntes e percursos dos rios sao, muitas vezes,
fractais.
142 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
Neste capıtulo serao apresentadas algumas das aplicacoes possıveis da geometria
fractal. Nao se pretende que a lista seja exaustiva nem que cada uma das aplicacoes
seja explicada detalhadamente. As possibilidades de utilizacao da geometria fractal sao
crescentes e, como se vera, existe uma enorme variedades de areas do conhecimento
onde os fractais sao uteis. O que se pretende e dar isso a conhecer neste pequeno
capıtulo para que sirva de apoio ao capıtulo que se segue sobre actividades com fractais
na sala de aula e tambem ao argumento ultimo e principal deste trabalho: E urgente
e importante que os nossos alunos contactem com a geometria fractal e adquiram e
compreendam alguns dos seus conceitos basicos.
As aplicacoes dos fractais estao divididas em tres grupos: aquelas que se aplicam
a objectos ou fenomenos da Natureza, aquelas que sao criacoes humanas e aquelas
que se destinam a modelar ocorrencias das ciencias economico-sociais ou das areas
humanısticas. Ha ainda uma referencia a ligacao entre os fractais e a Teoria do Caos.
1. Fractais Naturais
1.1. Fractais na Biologia e na Medicina. Os biologos e os ecologistas, a se-
melhanca dos cientistas de outras areas, comecaram por modelar a Natureza usando
a geometria euclidiana. Por exemplo, os batimentos cardıacos comecaram por ser
modelados por sinusoides, as arvores conıferas por cones, os habitats de animais por
areas simples e as membranas de celulas por curvas ou superfıcies simples. Contudo,
acabaram por reconhecer que muitas das estruturas naturais sao melhor modeladas,
caracterizadas ou representadas atraves da geometria fractal. Os sistemas e os proces-
sos biologicos sao tipicamente constituıdos por varios nıveis ou subestruturas em que
o mesmo padrao geral se repete em escalas menores. Muitos sao os exempos de estru-
turas fractais que podem ser encontrados na Natureza. Basta um olhar minimamente
atento e, com um pouco de treino, poder-se-ao observar varios objectos com geometria
fractal durante um passeio.
Apesar de nao haver fractais verdadeiros na Natureza (porque geralmente ha sempre
um limite para a escala menor de auto-semelhanca no objecto, e porque a Natureza
1. FRACTAIS NATURAIS 143
inclui, por norma, um coeficiente de aleatoriedade nos seus processos) a geometria
fractal revela-se muito mais proxima da Natureza que a geometria euclidiana. Sabe-se
hoje que as relacoes que dependem da escala tem profundas implicacoes na fisiologia
humana, na ecologia e em muitas outras subdisciplinas da biologia. O facto da fisiologia
animal ser muito regida pela geometria fractal faz com que os fractais sejam cada vez
mais uteis em diversas areas da medicina.
A relevancia da geometria fractal na biologia depende dos objectivos. Se se quiser
estimar a espessura media do tronco das arvores de uma determinada especie, aproxima-
lo a um cilindro pode muito bem ser suficiente; mas se se quiser modelar o habitat de
pequenos insectos que vivem nesses troncos, a geometria fractal podera ser muito mais
adequada. E que se se tratar de um tronco rugoso, a distancia que um insecto de 10
mm tera que percorrer para o contornar sera maior que o diametro da circunferencia
inicialmente considerada. E se o insecto medir 1 mm, maior ainda sera essa distancia.
Quanto mais rugoso for o tronco, maior sera a diferenca nos comprimentos e nas areas
de superfıcie notada entre insectos maiores e insectos menores.
Vejam-se agora alguns exemplos da aplicabilidade dos fractais na biologia e na
medicina.
1.1.1. Estruturas de celulas. A dimensao fractal ja foi usada como medida da com-
plexidade do contorno de celulas neuronais em imagens bidimensionais; e o valor da
dimensao fractal foi recomendado como uma medida morfologica quantitativa da com-
plexidade celular a ter em conta.
1.1.2. Fısica do Solo. Determinou-se a dimensao fractal de solos a partir da dis-
tribuicao dos tamanhos das partıculas que os compoem e estudou-se a relacao da sua
dimensao com as suas propriedades de percolacao e de retencao de agua. O mesmo
metodo tambem ja foi usado para estudar a fragmentacao do solo. Este e outros
metodos utilizaram-se para estimar a dimensao fractal da massa, dos poros e da su-
perfıcie de solos arenosos e lodosos. Sugeriu-se que tambem seria interessante analisar
144 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
a relacao entre a geometria fractal do solo e a diversidade das suas micro-flora e micro-
fauna.
1.1.3. Estruturas de Plantas e de Fungos. Ja foi medida a dimensao fractal do
contorno de folhas de varias especies e pensa-se que, apesar desse valor variar bastante
dentro da mesma especie, ele podera vir a ser uma referencia taxonomica.
Tambem ja foi medida a dimensao fractal de sistemas de raızes atraves do metodo
de contagem de caixas e demonstrou-se que a dimensao fractal de um sistema de raızes
vai aumentando ao longo do tempo e varia conforme a especie.
A geometria fractal da forragem de fungos foi estudada e concluiu-se que a dimensao
fractal varia entre as especies e tende a ser maior quando ha mais nutrientes disponıveis.
Muitas plantas crescem de forma ramificada: o tronco subdivide-se em varios ramos
que, por sua vez, se subdividem em ramos mais estreitos e assim por diante. Muitas
vezes, uma parte da planta tem uma forma semelhante a planta completa.
Figura 3.1. Diversos elementos da flora que exibem a repeticao
da mesma forma a varias escalas. (Imagens retiradas respectivamente de
http://www.flickr.com/photos/marsupial, http://www.flickr.com/photos/ricardo ferreira e
http://www.flickr.com/photos/gripspix.)
1.1.4. Sistemas ramificados na fisiologia animal. Alguns dos exemplos de fractais
com estrutura mais intricada encontram-se na fisiologia animal: os sitemas respiratorio,
circulatorio e nervoso possuem uma estrutura altamente ramificada.
O sistema pulmonar e composto por tubos atraves dos quais o ar passa para os
alveolos que sao sacos microscopicos. O tubo principal do sistema pulmonar e a traqueia
que se subdivide em dois tubos mais finos, que se subdividem em bronquios que, por
1. FRACTAIS NATURAIS 145
Figura 3.2. Vegetais com estrutura fractal. Nestes dois casos e clara
a semelhanca entre uma parte da planta e a planta inteira. (Imagens reti-
radas respectivamente de http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Nature/NAtFracGallery e de
http://www.flickr.com/photos/87024394@N00).
sua vez se subdividem em tubos cada vez mais finos, e assim sucessivamente ate se
atingirem os tubinhos mais fininhos do sistema que sao os bronquıolos, que vao dar
aos alveolos. Uma analise cuidada aos pulmoes revela que este possui varios nıveis de
auto-semelhanca e notou-se que esta estrutura fractal torna os pulmoes mais tolerantes
a defeitos durante o crescimento.
Figura 3.3. Imagem do sistema pulmonar e de um modelo fractal
desse sistema. (Imagens retiradas respectivamente de http://www.imunoonco.com.br e de
http://library.thinkquest.org/26242/full/)
De forma semelhante, a subdivisao sucessiva pode tambem ser encontrada nos vasos
sanguıneos. A aorta divide-se em arterias menores, que por sua vez se vao subdividindo
146 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
em vasos sanguıneos mais estreitos ate se chegar aos vasos capilares. O coracao esta
repleto de redes fractais: as coronarias, as arterias e as veias, as fibras que ligam as
valvulas a parede do coracao, os musculos cardıacos e o sistema His-Purkinje (que
e constituıdo pelas fibras atraves das quais viajam os impulsos electricos que fazem
contrair os ventrıculos).
Figura 3.4. Modelo do sistema de irrigacao do coracao humano (Scien-
tific American, 1990. (262) February, p. 46. by Hans van Beek and
James B. Bassingthwaighte, University of Washington. Imagem retirada de
http://fractogene.com/full genome/fractal visual gallery.html.)
Os biologos investigam tambem as estruturas ramificadas de neuronios como a que
esta representada na Figura 3.5.
Para alem de proporcionar mais tolerancia a defeitos no crescimento e a danos,
a ramificacao fractal amplifica grandemente a area da superfıcie de um tecido, quer
seja ele para absorcao (caso do pulmao e do intestino), para distribuicao e colheita
(vasos sanguıneos, bronquıolos, intestino, condutas da bılis) ou para processamento de
informacao (nervos).
Em consequencia de uma pesquisa sobre tambores com formas fractais (ver pagina
168) concluiu-se que outra vantagem da forma fractal do sistema circulatorio e a de
este poder amortecer a forca com que o sangue e bombeado pelo coracao, evitando que
haja ressonancia na circulacao do sangue.
1. FRACTAIS NATURAIS 147
Figura 3.5. Neuronio. Foto de Paul De Koninck. ( Imagem retirada de
http://www.greenspine.ca/en/mGFP neuron2.html).
Ha ainda a acrescentar que o corpo humano tambem apresenta dinamicas fractais.
Por exemplo, o batimento cardıaco de um coracao saudavel e caotico e nao regular.
A representacao grafica de um batimento cardıaco revela auto-semelhanca em diversas
escalas de tempo.
O calculo da dimensao fractal e utilizado para o diagnostico de celulas tumorais. As
celulas doentes tendem a ser mais ramificadas e, por isso, terao uma dimensao fractal
maior que as celulas sas.
A geometria fractal e tambem util para caracterizar os padroes gerados por electro-
encefalogramas em estudos sobre o reconhecimento de odores familiares e em estudos
sobre os diversos estados do cerebro durante o sono.
1.1.5. O tamanho dos organismos e a sua fisiologia. A modelacao da relacao entre o
tamanho e a fisiologia (ritmo de metabolismo, velocidade de crescimento da populacao
da especie, idade da primeira reproducao, duracao do desenvolvimento do embriao,...)
de cada ser vivo so comecou a produzir previsoes de valores proximos aos obtidos
nas observacoes directas quando se entendeu que os mecanismos de distribuicao de
148 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
alimento e de energia nos organismos tinham estruturas fractais. A partir da analise
em termos geometricos e fısicos dos sistemas de tubos que fazem a distribuicao de
recursos (oxigenio, alimento) e de desperdıcios por todo o organismo, e a partir das
premissas de que a rede de distribuicao tinha que alcancar todos os pontos do corpo
tridimensional devendo, para tal, requerer o mınimo de energia para transportar esses
elementos num meio fluıdo, sendo os ultimos ”tubinhos”da rede (por exemplo os vasos
capilares num sistema circulatorio) todos do mesmo tamanho (considerando que as
celulas em todos os seres vivos sao, grosso modo, do mesmo tamanho) concluiu-se
que tal rede de distribuicao era melhor caracterizada por um sistema de ramificacao
fractal para preenchimento do espaco. Com este sistema, ao qual foram acrescentados
melhoramentos que tem em conta alguns aspectos dinamicos inicialmente desprezados
(como por exemplo a elasticidade dos vasos sanguıneos), obtiveram-se previsoes que se
aproximavam mais dos valores observados na pratica (e outras que depois teriam que
ser, ou nao, comprovadas). Este metodo preve, por exemplo, o grau de ramificacao de
um sistema circulatorio e indica que uma baleia, sendo 107 vezes mais pesada que um
rato, apenas necessita de mais 70% de ramificacoes no seu sistema circulatorio para
poder abastecer todo o seu organismo.
1.1.6. O tamanho dos organismos e o numero de indivıduos. Observou-se que a
previsao do numero de indivıduos invertebrados, baseada na sua massa corporal e nas
suas taxas metabolicas, funcionava bem para organismos maiores, mas subestimavam
constantemente os valores depois obtidos na pratica para as classes de organismos de
tamanhos menores. Essas previsoes eram depois consideravelmente melhoradas quando
a dimensao fractal do habitat era incorporada no modelo. Os organismos pequenos po-
dem ser comparativamente mais abundantes porque podem aproveitar melhor o espaco
que lhes e cedido pelas estruturas fractais do habitat. Isto foi testado atraves da
utilizacao de substratos artificiais de diferentes dimensoes fractais.
1. FRACTAIS NATURAIS 149
1.1.7. Movimento de organismos. Movimentos brownianos fractais foram usados
para caracterizar o movimento de organismos. A analise fractal foi usada para examinar
os pequenos movimentos da aranha na presenca e na ausencia de feromonas dispersas.
Foram tambem feitos varios estudos sobre como se movimentam varios organismos,
segundo o seu tamanho, num terreno de estrutura fractal.
O aglomerado de indivıduos numa colonia levanta questoes importantes acerca da
escala da estrutura e funcionamento da mesma. Modelou-se os benefıcios metabolicos
e os custos de trilhos de “saque”, tipo fractal, do genero dos que sao usados pelas
colonias de algumas especies de formigas. A area total saqueada pela colonia e, con-
sequentemente, o fluxo de recursos para o ninho e a taxa de metabolismo da colonia,
aumentam de forma nao linear com o numero F de “saqueadores” segundo F23 e os cus-
tos do “saque” aumentam linearmente com F . O modelo previu um numero optimo de
“saqueadores” e, consequentemente, a area total de saque que maximiza a boa-forma
da colonia e a alocacao de energia necessaria para a reproducao.
1.1.8. Dispersao de Organismos e de Doencas. Pensa-se que a dispersao de diasporas
e de patogenes tem propriedades fractais. O padrao formado pelo espaco ocupado numa
paisagem por especies de plantas que produzem diasporas adaptadas para percorrer
longas distancias tera uma dimensao fractal baixa. Estas plantas dispersam-se pela
paisagem, avancando com grandes intervalos entre os diversos pontos de fixacao, esta-
belecendo continuamente novas colonias e epicentros que se apresentam em diferentes
escalas. Contrariamente, as especies menos adaptadas a percorrer longas distancias,
percorrem a paisagem estabelecendo-se nela de forma contınua, apresentando novos
epicentros apenas ocasionalmente, o que origina um padrao de distribuicao do espaco
com dimensao fractal mais alta.
Assim, fazendo uma transposicao deste modelo para os agentes patogenicos, conclui-
se que serao difıceis de prever novas erupcoes de patogenes cuja distribuicao tenha
menor dimensao fractal.
150 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
As bacterias podem formar padroes muito interessantes quando crescem em labo-
ratorios em pratos petri. As estruturas das colonias formam respostas de adaptacao
as condicoes impostas em laboratorio que simulam as condicoes hostis que enfrentam
na Natureza. As imagens formadas por essas estruturas ilustram as estrategias que as
bacterias empregam e que envolvem cooperacao atraves da comunicacao. Estas mesmas
estrategias sao usadas pelas bacterias quando lutam contra os melhores antibioticos.
Portanto, se forem compreendidos os mecanismos que estao por detras dos padroes,
podera ser possıvel aprender como iludir as bacterias, interferindo, por exemplo, na
sua comunicacao.
Figura 3.6. Padrao formado por bacterias em crescimento, em laboratorio,
em prato petri. A imagem e da autoria de Eshel Ben Jacob que adicionou cor
para obter uma imagem artıstica. (Imagem retirada de http://star.tau.ac.il/ eshel/.)
1.1.9. Complexidade de Habitats. Sabe-se que a coexistencia de especies aumenta
com a dimensao fractal da paisagem e que a natureza fractal das paisagens e um
importante determinante das taxas de utilizacao de recursos.
1.1.10. Imagem e Analise de Texturas. Ha varios metodos de analise de texturas
baseados na geometria fractal. A analise de imagens tem sido usada na medicina e na
biologia celular para analisar, por exemplo, as estruturas locais e as de larga-escala de
imagens de ressonancias magneticas cardıacas e de raios-X aos ossos.
1. FRACTAIS NATURAIS 151
1.2. Fractais na Geologia, na Geografia e na Meteorologia. A invariancia
de escala nos fenomenos geologicos e um dos primeiros conceitos ensinados aos estudan-
tes de Geologia. Eles aprendem que quando fotografam um objecto geologico devem
colocar ao lado um outro objecto do qual se conheca o tamanho (por exemplo uma mo-
eda ou um martelo) que possa servir de referencia para a escala. A fotografia de uma
pedra ou um pequeno curso de agua podem parecer imagens aereas de uma montanha
e de um rio se nao se tiver tido esse cuidado.
Os rios sao bons exemplos de fractais naturais, dada a sua forma ramificada e
tortuosa. As cascatas tambem podem apresentar efeitos visuais de aspecto fractal, com
ramificacoes sucessivas do curso da agua, criadas pela combinacao da forca gravıtica e
a forma da superfıcie da rocha por onde cai a agua.
Figura 3.7. Vista aerea de uma rede fluvial e fotografia de uma cascata; em
ambas as imagens sao bem visıveis estruturas ramificadas auto-semelhantes.
(Imagens retirada de http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Nature/Rivers/Rivers.html.)
Os sitemas fluviais tem dimensao fractal [4, pag. 5], havendo uma relacao entre o
comprimento do braco principal e a area drenada. [4, pag. 209].
O movimento das ondas do mar sendo muito interessante de observar, e tambem
vital para diversas actividades. O ciclo de vida de alguma fauna e flora marinha
dependem dos ciclos das mares. Por outro lado, uma boa parte das perdas de vidas
152 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
humanas e de barcos no mar e devida a altura das ondas em momentos de tempo
severo. Por isso, observacoes detalhadas da altura das ondas, do perıodo e de outras
caracterısticas tem vindo a ser efectuadas em muitos locais por todo o mundo. Trata-se
de uma analise semelhante a do movimento browniano (ver pagina 155) com a que se
pretende, entre outras coisas, prever quando irao ocorrer ondas grandes [4, pag. 193].
As formacoes de estalactites e de estalagmites nas grutas subterraneas tambem
apresentam padroes fractais.
Figura 3.8. Duas imagens de grutas onde a geometria fractal e bem
visıvel. (Imagens retiradas respectivamente de http://www.flickr.com/photos/45995688@N00 e
de http://www.flickr.com/photos/51656349@N00).
Muito do vasto interesse pelos fractais deve-se, provavelmente, a producao por
computadores de fabulosas imagens de paisagens. A partir de imagens de satelite, ja se
fazem estudo de paisagens, relativamente ao contorno da mancha florestal, em que se
recorre a geometria fractal para analise dos dados. Modelos simples de paisagens e de
costas marıtimas podem conseguir-se rapidamente com meios computacionais bastante
reduzidos [4, pag. 3] (veja-se a Proposta 14, na pagina 258). A costa marıtima e mais
um bom exemplo de fractalidade na Natureza. A medida que se fazem ampliacoes na
curva delineadora da costa marıtima, mais e mais pormenores vao sendo revelados e
formas estatisticamente semelhantes a inicial vao surgindo.
Os tremores de terra ocorrem em estruturas de falhas com amplitudes que variam
desde os milhares de quilometros ate aos centımetros[15]. Os sismologistas usam os
1. FRACTAIS NATURAIS 153
fractais para estudar as fissuras causadas por tremores de terra[9]. As montanhas sao
construıdas por forcas tectonicas e sao esculpidas pela agua e pelo vento que actuam de
formas semelhantes, em diversas escalas. Apresentam formas fractais e podem inclusive
ser imitadas por algoritmos matematicos e software baseado na geometria fractal.
Figura 3.9. Duas imagens de montanhas onde a ge-
ometria fractal esta bem patente. (Imagens retiradas de
http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Nature/MountainsReal/MountainsReal.html).
Ecologistas e ambientalistas tentam prever o percurso dos fogos florestais e o pos-
terior processo de regeneracao da floresta. A geometria fractal e util tambem aqui.
A superfıcie das nuvens tem dimensao fractal. [4, pag. 5] As nuvens tem invariancia
estatıstica de escala. Sem uma referencia, e difıcil saber o tamanho real da nuvem. Con-
tudo, apesar da teoria dos fractais fornecer uma forma elegante de descrever grande
parte da estrutura das nuvens, ainda nao se compreende bem porque e que as nuvens
tem uma estrutura fractal. Tem sido realizados estudos, a partir de imagens de nuvens
obtidas por satelites meteorologicos, em que se estima a dimensao fractal das nuvens
para tentar perceber se existe diferenca na dimensao fractal das nuvens conforme seu
tipo e estagio (com ou sem chuva ou granizo, etc.) e, em caso afirmativo, saber se exis-
tem meios de calcular essa dimensao de maneira suficientemente precisa que permita
discriminar os diferentes tipos de nuvens. Voss (1985) conseguiu gerar computacional-
mente, imagens notaveis de nuvens fractais cuja qualidade visual so tinha sido ainda
conseguida por pintores. [4, pag. 207].
154 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
Figura 3.10. A forma das nuvens pode ser muito variada e
a sua dimensao fractal tem sido objecto de estudo, procurando-
se uma relacao entre esta e a constituicao da nuvem. (Ima-
gens retiradas de http://www.flickr.com/photos/93975313@N00/366255969/ e de
http://www.flickr.com/photos/fernandafronza/407955174/ respectivamente).
O tempo metereologico comporta-se de forma inconstante. As vezes altera-se de
forma lenta de um dia para o outro e outras vezes muda rapidamente, isto e, o tempo
apresenta padroes fractais.
Figura 3.11. ”...nem os relampagos viajam em linha recta”disse Mandel-
brot para ilustrar as propriedades fractais da Natureza. (Imagens retiradas respec-
tivamente de http://www.flickr.com/photos/thirnbeck/ e de http://www.flickr.com/photos/jirik).
O crescimento de populacoes urbanas em torno de um nucleo pode tambem formar
padroes com caracterısticas fractais.
1.3. Fractais na Fısica. O acaso e inerente a todos os fenomenos naturais. Ate o
mais perfeito dos cristais tem inumeras impureza e defeitos situados ao acaso. E mesmo
1. FRACTAIS NATURAIS 155
que o cristal fosse perfeito com todos os atomos no seu devido lugar, isso seria apenas
em termos medios, ja que cada atomo se encontra sempre em movimento termico.
Portanto, o estado de qualquer sistema, por mais perfeito que seja, tem elementos
aleatorios, por isso, muitos fenomenos ou objectos naturais terao de ser modelados
atraves de fractais aleatorios (que nao foram estudados neste trabalho).
Os percursos aleatorios, ou movimentos brownianos tem grande importancia na
fısica, na quımica e na biologia. O movimento erratico de partıculas microscopicas de
polen e fısico, e nao biologico, como se pensou inicialmente. Tudo esta sujeito a flu-
tuacoes termicas e moleculas, macromoleculas, vırus, partıculas e outros componentes
do mundo natural estao todos em constante movimento, colidindo ao acaso devido a
energia termica.
O movimento de uma partıcula browniana visto pelo microscopio consiste aparen-
temente em passos dados numa direccao aleatoria e com um comprimento que tem um
determinado valor caracterıstico. O movimento de uma partıcula num dado intervalo
de tempo e independente do seu movimento noutro intervalo de tempo. Aumentar a
resolucao do microscopio e a resolucao da escala de tempo apenas produz percursos
aleatorios semelhantes.
Muitas imagens atractivas e interessantes podem ser geradas usando teorias da
quımica e da fısica. Um exemplo disso e o processo de agregacao por difusao limitada
(DLA) que descreve, entre outras coisas, a difusao e a agregacao de ioes de zinco numa
solucao electrolıtica nos electrodos e que produz estruturas do tipo das que estao na
Figura 3.12.
O modelo de agregacao por difusao limitada conduz a estruturas que exibem au-
tosemelhanca estatıstica, constituıdas por aglomerados de partıculas, arborescentes e
altamente ramificadas. Existem varios exemplos na Fısica e na Biologia que correspon-
dem a modelos de crescimento deste tipo: solidificacao dendrıtica, colonias de bacterias,
sistema vascular da retina, etc. E e tambem compatıvel com a producao de relampagos,
a cristalizacao de lava, formacao de cristais como os dos flocos de neve e crescimento
156 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
Figura 3.12. Imagens deste tipo sao obtidas nos processos de Agregacao
por Difusao Limitada, e tambem em colonias de bacterias em crescimento.
(Imagem retirada de http://local.wasp.uwa.edu.au/∼pbourke/fractals/fracintro/).
de espacos urbanos, entre outros fenomenos. O uso da geometria fractal para o estudo
de fenomenos como a cinetica da agregacao, da congelacao e da sedimentacao ajuda a
racionalizar grandes quantidades de resultados experimentais. [4, pag. 3-4]
Quanto a deslocacao de um fluido num meio poroso (fenomeno designado por per-
colacao) sabe-se que, quando o fluido e de baixa viscosidade ou e um gas, a sua des-
locacao e matematicamente identica a cinetica do processo de agregacao.
Os engenheiros estudam o comportamento fluido imprevisıvel da agua ou do gas
quando injectado em reservatorios de petroleo e tambem esse fenomeno produz padroes
fractais.
A superfıcie de um po e de outros meios porosos e fractal [4, pag. 5]. A superfıcie
especıfica do modelo depende do tamanho das moleculas usadas. A porosidade mi-
croscopica de certas substancias pode tambem ser fractal [4, pag. 237-239].
1. FRACTAIS NATURAIS 157
Quando uma peca de metal e fracturada, a superfıcie que se forma na fractura e
aspera e irregular e pode ser modelada utilizando geometria fractal. O mesmo acontece
com o alastramento de uma fractura numa superfıcie (como num vidro, por exemplo).
Alguns cristais, nomeadamente os flocos de neve, podem apresentar uma estru-
tura fractal. Existem diversos tipos de flocos de neve e alguns deles tem uma forma
semelhante ao conjunto conhecido por Ilha de Koch (ver Proposta 4 na pagina 205).
Figura 3.13. Ha diversos tipos de flocos de neve. Alguns tem estruturas
fractais. (Imagens retiradas de http://www.its.caltech.edu/ atomic/snowcrystals/).
1.4. Fractais na Astronomia. A estrutura do Universo possui auto-semelhanca.
O Universo e composto de aglomerados gigantes de estrelas e planetas que, por sua
vez, sao compostos por aglomerados menores, que sao compostos por galaxias, que sao
compostas por sistemas de estrelas como o nosso sistema solar que, por sua vez ainda,
sao compostos por planetas com as suas respctivas luas em torno de si.
Ha um consenso geral acerca da existencia de estruturas fractais no universo a partir
de, aproximadamente, 50 milhoes de anos-luz, mas ha dificuldades em determinar as
escalas de distancia entre as galaxias. Por isto e por outros pormenores de natureza
tecnica e cientıfica onde nao ha conhecimentos ainda suficientes, ou acordo entre os
cientistas, o grau de fractalidade do universo tambem nao e ainda consensual.
158 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
Figura 3.14. Galaxia criada por computador. (Imagem retirada de
http://library.thinkquest.org/26242/full/).
2. Fractais criados pelo Homem
A partir do momento em que o aparecimento e a evolucao dos computadores per-
mitiu a construcao e a visualizacao rapidas de fractais, isso nunca mais parou de acon-
tecer. Os fractais sao desenhados nao so por motivos esteticos e por puro divertimento
e deleite dos que os constroem e observam, mas fazem tambem parte de inumeras ex-
periencias e projectos na area da informatica, do cinema, da industria e da tecnologia
e ainda de diversas expressoes de arte.
2.1. Imagem, Cinema, Informatica, Tecnologia, Industria. Imagens gera-
das por computador foram uma das primeiras aplicacoes dos fractais. Atraves dos
fractais pode conseguir-se realismo e beleza, ocupando pouco espaco de memoria por
ser facil comprimir os dados. Benoit Mandelbrot publicou no seu livro Fractal Ge-
ometry of Nature imagens de paisagens muito bonitas, geradas por computador por
Richar Voss. Mais tarde, a industria cinematografica utilizou metodos identicos para
2. FRACTAIS CRIADOS PELO HOMEM 159
criar cenarios virtuais. A geometria fractal permite simular imagens naturais nao so
de paisagens, como tambem de nuvens e de plantas (veja-se o Exemplo 14 na pagina
42).
Figura 3.15. Paisagens criadas por computador. A ultima e da auto-
ria de Sig Handelman e as restantes sao da autoria de Musgrave.(A primeira
imagem foi retirada de http://library.thinkquest.org/26242/full/. As restantes foram retiradas de
http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/.)
Ainda na area da imagem digital, quando se pretende converter uma imagem a
cores para uma escala de cinzentos e depois imprimi-la, usam-se as chamadas tecnicas
de dithering que pretendem simular que se possui uma paleta grande de cores, quando
160 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
na verdade se dispoe apenas de preto e branco. Uma delas consiste em varrer a imagem
por linhas, colocando em cada pixel uma quantidade de tinta apropriada ao tom cor-
respondente da escala de cinzentos. Mas este processo produz, habitualmente, imagens
de muito baixa qualidade, em que se nota esse varrido por linhas. A curva de Hilbert
e conhecida desde 1890 e e, portanto, muito anterior ao inıcio do desenvolvimento da
geometria fractal por Benoıt Mandelbrot, mas ha aplicacoes tecnicas desta curva no
processamento de imagens digitais. Se se aplicar um algoritmo em que esse varrido dos
pixeis seja feito segundo a curva de Hilbert, conseguem-se imagens de melhor qualidade
em que a direccao do varrido dos pixels nao se nota (veja-se a Figura 3.16).
A compressao de dados informaticos tambem pode ser feita atraves de metodos
que envolvem a geometria fractal. Uma imagem do Conjunto de Mandelbrot (ver
pagina 163 e seguintes e Figura 3.20 na pagina 165), em formato GIF, ocupando todo
o ecan, pode ocupar 35 kilobytes e pode ser armazenada segundo a formula que a gera
- z = z2 + c - que nao ocupa mais do que 7 bytes. Neste caso, tem-se uma compressao
de 99.98%. Da mesma forma, para outra imagem qualquer, podem procurar-se funcoes
que produzam, cada uma delas, uma parte da imagem dada. Para uma imagem que nao
seja fractal poderao ser necessarias centenas de funcoes dessas; no entanto isso pode,
ainda assim, ocupar menos espaco que mihares de pixels coloridos. Michael Barnsley
foi quem primeiro sistematizou os fractais gerados por sistemas de funcoes iteradas e
quem lancou a base da compressao de imagens atraves da geometria fractal, utilizando
os SFI. Para alem de se conseguirem valores muito bons de compressao, o importante
e que essa compressao e feita sem perdas, isto e, ao recuperar a imagem ela esta igual
e, alem disso, pode ainda usar-se o SFI para gerar mais detalhe e conseguir imagens
de alta-resolucao.
A estutura da Internet e constituıda por um numero relativamente pequeno de
grandes nos que se ligam a um numero maior de nos de tamanho medio que, por sua
vez se ligam a uma imensidao de pequenos nos. E uma estrutura com caracterısticas
fractais. A modelacao do trafego na internet e um ingrediente chave na planificacao
2. FRACTAIS CRIADOS PELO HOMEM 161
Figura 3.16. Em cima esta a imagen de Lena original em 256 nıveis de
cinzento (a esquerda), com dithering para imitar 256 nıveis a partir de um
conjunto menor de tons (ao centro) e com dithering baseado so em dois tons
(a direita). Na segunda linha pode comparar-se o dithering tradicional (a
esquerda) com o dithering com a curva de Hilbert (a direita). Finalmente
mostra-se como e feito o varrido dos pixeis seguindo a curva de Hilbert. (As
imagens foram retiradas de http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-15.shtm.)
e construcao de redes e na gerencia das terefas nelas processadas. Tem-se vindo a
demonstrar que o trafego na internet tambem tem caracterısticas fractais e, com base
nisso, tem-se vindo a tentar modelar melhor o trafego na internet combinando as suas
caracterısticas fractais com outras propriedades conhecidas. Para alem de modelar o
trafego, ha tambem necessidade de modelar a topologia da rede de suporte a internet.
E estes dois factores estao correlacionados; por um lado, se se alterar a rede em si, isso
provocara modificacoes no trafego e por outro, as redes sao construıdas com base no
trafego que tem que suportar.
162 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
Apesar de os fractais estarem essencialmente presentes na Natureza e de os obejctos
feitos pelo homem terem formas dominadas pela geometria euclidiana, o facto de a
geometria fractal ter vindo a ser reconhecida como importante na modelacao de muitos
fenomenos levou a que varias empresas tivessem comecado a explorar a aplicabilidade
das formas fractais nos seu produtos. Por exemplo, as antenas com formatos comuns sao
sensıveis apenas a um numero limitado de frequencias e nao sao eficientes se a frequencia
for menor que um quarto do comprimento de onda. Isto transforma o desenho de
pequenas antenas portateis, como as dos telemoveis, num desafio. As antenas com
formatos fractais podem ultrapassar algumas destas dificuldades, ja que a experiencia
demonstrou que as antenas cuja forma corresponda a imagem obtida apos um pequeno
numero de iteracoes da construcao de um fractal conseguem detectar varias frequencias.
A medida que o numero de iteracoes aumenta, o campo de frequencias detectaveis pela
antena aumenta tambem. Alem disso, as antenas fractais conseguem ser operacionais
com apenas um quarto do tamanho das antenas comuns. Varias companhias estao ja
a utilizar os fractais para a construcao de antenas multi-frequencia de telefones moveis
e de hardware militar (ver Figura 3.17).
Figura 3.17. Exemplo de antena com o formato de (uma determi-
nada iteracao no processo de construcao de) um fractal. (Imagem retirada de
http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/ManuFractals/FractalAntennas/FractalAntennas.html).
2. FRACTAIS CRIADOS PELO HOMEM 163
A construcao de feixes de fibra optica, segundo um processo iterativo, formam cabos
cujo contorno da sua seccao e fractal e que conseguem melhor rendimento no tranporte
da informacao (ver Figura 3.18).
Figura 3.18. Seccao de cabo de fibra optica com a colocacao
das fibras segundo uma estrutura fractal. (Imagem retirada de
http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/ManuFractals/FractalFiberoptics/FractalFiberoptics.html).
Na industria sao usados misturadores com estruturas fractais que permitem a mis-
tura de fluıdos com um menor grau de turbulencia que os misturadores “normais” e
ainda com consumo inferior de energia. Com este tipo de misturadores pode conseguir-
se um maior controlo das reaccoes entre os varios fluıdos quando se misturam, ja que
o fluido injectado sai de todos os pontos de injeccao ao mesmo tempo, porque todos
estao a mesma distancia da fonte (ver Figura 3.19). Salienta-se ainda que a area de
interface entre os fluidos e aumentada significativamente em relacao aos injectores de
fluidos com formas geometricas tradicionais.
Ha varios metodos de analise de texturas baseados na geometria fractal. Isto pode
ter varias aplicacoes e um exemplo e a utilizacao destes metodos para a deteccao de
falhas em tecidos na industria textil.
Imagens digitais de rara beleza e extremamente complexas sao criadas segundo o
mesmo processo com que e desenhado o Conjunto de Mandelbrot .
164 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
Figura 3.19. Misturadores de fluıdos com forma fractal, cons-
truıdos pela Amalgamated Research Inc. (Imagem retirada de
http://www.arifractal.com/ari%20engineered%20fluid%20transporting%20fractals.pdf).
Esse conjunto e um fractal definido como o conjunto de pontos c = x+ yi ∈ C para
os quais a sucessao definida recursivamente por
z0 = 0
zn+1 = z2n + c, n ∈ N
nao tende
para o infinito. Para representar este conjunto graficamente, basta pintar o ponto do
plano de coordenadas (x, y) de preto, caso c = x+yi pertenca ao conjunto, e de branco,
caso nao pertenca (ver Figura 3.20).
Este conjunto foi definido pela primeira vez em 1905 por Pierre Fatou, um ma-
tematico frances que trabalhou no campo da dinamica analıtica complexa. Na era de
Fatou ainda nao existiam computadores, mas ele tentou calcular e representar grafi-
camente os pontos do conjunto a mao. E provou que uma vez que um ponto atinja
uma distancia da origem maior que 2, a sucessao correspondente (orbita) tendera para
infinito. Fatou nunca viu uma imagem deste conjunto que deve o nome a Benoıt Man-
delbrot, a primeira pessoa a utilizar um computador para representar o conjunto gra-
ficamente. Com o computador e ainda possıvel adicionar cor a representacao grafica
do conjunto, atribuindo uma cor a cada pıxel consoante o numero de iteracoes que
sao necessarias para que se atinja uma certa distancia da origem. Usando metodos
identicos para outras formulas matematicas, podem ser criados outros conjuntos cujas
imagens sao sempre extremamente complexas e, muitas vezes, extremamente bonitas.
2. FRACTAIS CRIADOS PELO HOMEM 165
Figura 3.20. Representacao grafica do Conjunto de Mandelbrot -
os pontos a preto sao os que lhe pertencem. (Imagem retirada de
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto de Mandelbrot).
Como em todos os outros fractais verdadeiros, podem realizar-se ampliacoes sucessivas
de partes do conjunto e verificar que nele estao contidas infinitas copias (exactas ou
aproximadas) de si mesmo.
2.2. Arte. Tal como ja sugere o ultimo exemplo de aplicacao dos fractais men-
cionado na seccao anterior, eles tambem estao presentes na arte. Ou porque o ob-
jecto artıstico e construıdo segundo processos da geometria fractal, ou porque esta e
util para investigar acerca das caracterısticas desse objecto. Curiosamente, isso nao e
valido apenas para imagens ou objectos tridimensionais, como esculturas ou edifıcios
arquitectonicos, como a partida se poderia pensar; os fractais estao tambem presentes
na musica!
2.2.1. Musica. A relacao entre a musica e a matematica ha muito que e conhecida
e as ligacoes entre as duas disciplinas sao de varia ordem - simetrias entre trechos da
166 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
Figura 3.21. O Conjunto de Mandelbrot representado a cores e outra ima-
gem construıda segundo o mesmo processo. (Imagens retiradas respectivamente de
html.rincondelvago.com/fractales-y-caos.html e de http://www.faemalia.net/Fractals/Sterling-v1.7-
Part1/).
composicao e relacao entre comprimentos de cordas de um instrumento e os tons das
notas musicais que delas soam, sao dois exemplos. A geometria fractal e mais uma
forma de relacionar a matematica e a musica.
A musica fractal e o resultado de um processo iterativo no qual um algoritmo e
aplicado a uma nota musical inicial para produzir a nota seguinte, de seguida aplica-
se a mesma formula a nota obtida para determinar a terceira nota musical, e assim
sucessivamente. Este tipo de processo origina normalmente uma “melodia” caotica e
totalmente imprevisıvel, mas pelos resultados interessantes produzidos, tem vindo a
ganhar entusiastas e apreciadores. Na verdade, este estilo de musica desperta reaccoes
2. FRACTAIS CRIADOS PELO HOMEM 167
dıspares nas pessoas, entre o apreciar muito e o detestar ao ponto de se sentir mal
fisicamente ao ouvi-la.
Existe uma variedade consideravel de software disponıvel na internet para com-
posicao de musica fractal e alguns dos programas transformam imagens fractais, como
o Conjunto de Mandelbrot (ver Figura 3.21 na pagina 166), em musica. Fazem isso
associando a cor de cada pixel a uma nota. Percorrendo a imagem linha a linha obtem-
se uma melodia. Outro metodo consiste em criar as notas com base na localizacao do
“pixel” no monitor do computador, na ordem pela qual o fractal foi criado. Estes sao
apenas dois dos metodos possıveis para a transformacao de uma imagem fractal em
musica fractal, existindo ainda outros.
Existem ja alguns musicos profissionais a usar musica fractal, como e exemplo a
”New World Chaos”, uma banda de musica fractal, ou a ”Omar´s Basement”, uma
banda de jazz, que em 1995 actuou na Australia com uma musica de 4 minutos em
que a bateria, o baixo, a guitarra e o saxofone foram tocados por pessoas e o piano
sintetizado foi tocado por um computador que tinha um programa fractal. Portanto,
quando menos se esperar, a musica fractal podera ainda vir a desempenhar um papel
na sociedade, identico ao de outros estilos musicais. Um dos compositores que mais se
tem dedicado a este tipo de musica e Phil Thompson, hoje o mais conceituado autor
de musica fractal.
Por outro lado, a analise de partituras de musica nao fractal, isto e, nao produzida
da forma supracitada, pode, por vezes, tambem revelar auto-semelhanca no processo
de composicao. Ha quem encontre aspectos da geometria fractal nos trabalhos de
compositores de musica classica e barroca.
Uma das experiencias possıveis consiste em retirar o terco central da composicao
e depois retirar o terco central de cada um dos dois trechos restantes, e assim suces-
sivamente, repetindo isto diversas vezes, a semelhanca da construcao do Conjunto de
Cantor (ver Exemplo 11 na pagina 38) e de seguida verificar se o que sobra ainda soa de
forma identica a composicao inicial. Isso acontece realmente em composicoes de Bach,
168 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
Beethoven e Brahms mas nao em obras de outros compositores menos complexos. Isto
pode sugerir que a robustez de uma composicao perante um processo destes possa ser
um indicador de sofisticacao musical.
Ja foram construıdos tambores com formas fractais e analisados os movimentos da
sua superfıcie quando se bate num ponto. Verificou-se que, ao contrario dos tambores
normais em que toda a superfıcie vibra, nestes consegue-se que apenas vibre uma parte
da sua superfıcie. Em consequencia disto, foi sugerido que a razao de a costa marıtima
ser fractal (veja-se a pagina 152) e que essa e a melhor forma para travar as ondas e a
sua accao erosiva, de modo que a forma da costa fique estabilizada, sem que essa accao
consiga provocar alteracoes significativas.
Um projecto, intitulado “A Musica do coracao” consiste em transformar os da-
dos obtidos em gravacoes digitais dos sinais electicos do coracao humano (atraves de
electrocardiogramas - ECG) em musica. Os dados obtidos no ECG sao convertidos
em notas musicais e a seguir o compositor acrescenta harmonia e ritmo para tornar
a musica agradavel. Como ja foi dito antes, um coracao saudavel apresenta um bati-
mento cardıaco irregular e, por isso, a partir do metodo usado neste projeccto, produz
musicas agradaveis e melodias interessantes, enquanto que um coracao doente cria
melodias nonotonas.
2.2.2. Pintura, Fotografia. Historiadores de arte usam fractais para datar pinturas
chinesas antigas.[9]
Estruturas auto-semelhantes, com caracterısticas fractais, estao tambem patentes
em alguns padroes decorativos africanos e islamicos. A tecnica de pintura de alguns
pintores tambem produz resultados com caraterısticas fractais. E o caso de alguns
trabalhos de Jackson Polloc (ver Figura 3.22).
Podem criar-se padroes fractais muito interessantes com tinta comprimida entre
duas folhas de papel que depois se descolam (ver Figura 3.23). Ao variar a viscosidade
da tinta que se usa e a forma como se comprimem e descolam as folhas, obtem-se
padroes diferentes.
2. FRACTAIS CRIADOS PELO HOMEM 169
Figura 3.22. Detalhe do quadro Number 8, de Paul Jackson Pollock
1949; Neuberger Museum, State University of New York. (Imagem retirada de
http://www.ibiblio.org/wm/paint/auth/pollock/).
Figura 3.23. Resultado obtido por compressao de tinta en-
tre duas folhas que se separam em seguida. (Imagem retirada de
http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Art/Decalcomania/Decalcomania.html).
A imitacao de paisagens e possıvel com software adequado baseado na geometria
fractal. Podem conseguir-se imagens tao reais que parecem fotografias verdadeiras (ver
Figura 3.15 na pagina 159). Imagens abstractas, tambem dignas de galerias de arte,
sao geradas segundo processos iterativos (ver Figura 3.21 na pagina 166).
170 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
2.2.3. Arquitectura. O livro African Fractals de Ron Englash, sobre os fractais na
cultura aficana revela, entre outros aspectos, como os fractais estao patentes na ar-
quitectura de alguns povoamentos. Segundo esse autor, a arquitectura reflecte as es-
truturas social e religiosa das colonias o que, nalguns casos, da origem a aglomerados
arquitectonicos que apresentam caracterısticas fractais (ver Figura 3.24 e Figura 3.25).
Figura 3.24. Vista aerea de uma povoacao em Ba-Ila, na Zambia, antes de
1944 (American Geographic Institute) e as primeiras tres iteracoes do modelo
fractal correspondente. (Imagens retiradas de
http://www.rpi.edu/∼eglash/eglash.dir/afractal/afarch.htm).
Na arquitectura europeia podem encontrar-se exemplos de edifıcios com carac-
terısticas fractais que vao desde o estilo moderno ate aos antigos desenhos de Da
Vinci (ver Figura 3.26, Figura 3.27 e Figura 3.28). As propriedades fractais revela-
das por esses edifıcios podem ser utilitarias ou reflectir hierarquias sociais, religiosas
ou polıticas. A decoracao intrincada da arquitectura dos estilos gotico, renascentista
e barroco, especialmente expressa nas catedrais, exibe frequentemente a repeticao do
mesmo objecto em diferentes escalas.
3. FRACTAIS APLICADOS AS CIENCIAS ECONOMICAS, SOCIAIS E HUMANISTICAS 171
Figura 3.25. Vista aerea da cidade de Logone-Birni cons-
truıda pelo povo Kotoko do Camarao. (Imagem retirada de
http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Architecture/AfricanArch/Kotoko1.html).
3. Fractais aplicados as Ciencias Economicas, Sociais e Humanısticas
Mandelbrot escreveu muitos artigos que lidam com a geometria de fenomenos ob-
servados em diversas areas da ciencia. Ele estudou a geometria fractal das mudancas de
preco e da distribuicao de salarios, da estatıstica dos erros em mensagens telefonicas,
da frequencia de palavras em textos escritos e de muitos outros objectos matematicos
noutros assuntos.[4]
3.1. Economia. Na Economia e importante conseguir prever o que ira acontecer
no mercado em momentos futuros. Com base na geometria fractal, Benoit Mandelbrot
introduziu uma teoria que pode ser utilizada para analizar o mercado, segundo a qual
o comportamento do mesmo e estatisticamente igual em larga escala (um ano, por
exemplo) e em escalas menores (uma semana ou um dia). A analise dos graficos do
172 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
Figura 3.26. Projecto de Kazimir Malevich, um artista e arquitecto russo.
(Imagem retirada de http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Architecture/Arkhitektonics/Arkhitektonics.html).
comportamento dos ındices ou dos precos de accoes na bolsa, permitem visualizar essa
teoria.
3.2. Historia. A geometria fractal esta intimamente relacionada com a Teoria
do Caos segundo a qual determinados fenomenos sao muito sensıveis a alteracao das
condicoes iniciais; isto e, o mesmo tipo de mecanismo, com determinadas condicoes
iniciais ou com outras ligeiramente diferentes, pode produzir a curto, medio ou longo
prazo, resultados muito diferentes. Metaforicamente utiliza-se a imagem da borboleta
cujo suave batimento de asas aqui pode provocar grandes tempestades no lado oposto
do globo terrestre. Este tipo de abordagem pode tambem ter aplicacoes no estudo da
Historia tentando relacionar os eventos menores com os de maior escala.
Alem disso, a estrutura hierarquica de muitos sistemas sociais sugere fractalidade
no sistema polıtico: federacoes constituıdas por estados, estados compostos por paıses,
paıses que contem cidades, que se repartem em bairros que, por sua vez, abarcam
3. FRACTAIS APLICADOS AS CIENCIAS ECONOMICAS, SOCIAIS E HUMANISTICAS 173
Figura 3.27. Neste pormenor do Mosteiro da Batalha, pode observar-se
o mesmo padrao de arcos repetido em diferentes escalas. (Imagem retirada de
http://pt.wikipedia.org/wiki/Mosteiro da Batalha).
varias ruas, nas quais vivem diversas famılias, compostas por indivıduos. Isto podera
representar relacionamentos funcionais a diversos nıveis de escala.
Nas estatısticas do tamanho e frequencia de guerras foram tambem encontradas
diversas escalas sugerindo uma possıvel aplicacao da geometria fractal. Um modelo
proposto para estudar a interaccao entre os paıses e as possibilidades de guerra e
alastramento da mesma entre eles, e baseado no modelo aplicado ao estudo dos fogos
florestais, em que as arvores secas ou de mais facil combustao sao substituıdas pelos
paıses nos quais uma pequena instabilidade pode leva-lo a entrar em guerra.
3.3. Psicologia. A geometria fractal e a Teoria do Caos geraram tambem aborda-
gens diversas na psicologia. E verdade que algumas destas aplicacoes tomaram grandes
liberdades relativamente ao significado especıfico de construcao fractal, mas ainda assim
a utilizacao dos fractais nesta area do conhecimento revela-se promissora, havendo ate
uma entidade chamada Society For Chaos Theory in Psychology and Life Sciences que e
174 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
Figura 3.28. Esboco de Da Vinci de uma catedral constituıda por
abobadas de formato identico em diversas escalas diferentes (imagem retirada
de http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Architecture/daVinci/daVinci.html).
uma organizacao multidisciplinar internacional que pretende reunir os esforcos dos que
se interessam e investigam as possıveis aplicacoes da teoria de sistemas dinamicos, da
auto-organizacao, redes neuronais, fractais, automatos celulares, caos e outros topicos
relacionados. A organizacao tem membros das disciplinas de psicologia, ciencias soci-
ais, reabilitacao, biologia, fisiologia, neurociencia, matematica, filosofia, fısica, ciencias
computacionais, economia, gestao, ciencias polıticas, engenharia e artes. Exemplos de
investigacoes levadas a cabo por membros desta organizacao sao: a aplicacao de Siste-
mas de Funcoes Iteradas para modelar a memoria visual e a comparacao do formalismo
dos SFI com a dinamica de tratamento psicoanalıtico de um paciente cujos resultados
sugerem aspectos fractais do ego.
3.4. Literatura. Podem encontrar-se na literatura exemplos de assuntos fractais,
provavelmente construıdos pelos autores de forma inconsciente. Por exemplo, um texto
de Jorge Luıs Borges descreve a vida de um ansiao chines, na qual todas as bifurcacoes
4. OS FRACTAIS E A TEORIA DO CAOS 175
da historia ocorrem, isto e, cada vez que a personagem tem que escolher entre varias
alternativas, ele escolhe todas, criando diversos futuros e multiplos tempos, que por
sua vez evoluem e tambem ramificam. Os fractais tambem aparecem, por vezes, como
objectos explıcitos na literatura. Exemplos disso sao um castelo com um lago com a
forma do Conjunto de Mandelbrot (ver Figura 3.20 na pagina 165), ou descobertas
matematicas (entre as quais aspectos da geometria fractal) que vao sendo feitas pela
personagem principal, ou ainda uma experiencia psicologica na qual a observacao de
imagens fractais altera os arquetipos da percepcao, abrindo a visao a fantasticos mundos
novos.
Foi proposto um modelo de medicao da complexidade de um texto a partir da
medicao da dimensao fractal de um diagrama efectuado com base em determinadas
regras. Esse modelo sugere que quanto maior for a dimensao, maior e a complexidade
do texto. Um outro projecto envolve a desconstrucao de um poema. Retira-se a terca
parte do meio. Primeiro retira-se a terca parte das estancias, depois das linhas, a seguir
do conjunto de palavras de cada linha. Em alguns casos, o resultado final ainda se le
bem e preserva algum do sentido global, sugerindo que esses poemas possuem uma
estrutura fractal atraves da repeticao de ideias a diversas escalas.
A repeticao e um processo fundamental na poesia e os padroes de repeticao ha
muito que vem sendo estudados. Foi descoberto uma nova forma de repeticao em
determinados poemas, em que a mesma palavra (dita raiz do poema) aparece com um
padrao de repeticao na estrutura global do poema, identico ao formado pelas varias
componentes de uma determinada iteracao do Conjunto de Cantor (ver Exemplo 11
na pagina 38).
4. Os Fractais e a Teoria do Caos
No final do sec. XIX, quando Poincare tentava resolver as equacoes que lhe per-
mitiam descrever o movimento de tres corpos em interaccao gravıtica percebeu que
o problema nao tinha solucoes regulares e periodicas como, a partida, tinha suposto.
Afinal, o comportamento de um corpo sob a influencia gravıtica de outros dois corpos
176 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
muito mais pesados (por exemplo um asteroide entre o campo gravıtico do Sol e de
Jupiter) era irregular, e essencialmente imprevisıvel, pois quaisquer duas orbitas com
condicoes iniciais arbitrariamente proximas resultavam, no futuro, em orbitas muito
diferentes. Estes foram os primeiros passos para o conhecimento do caos determinista,
que nao tiveram grandes consequencias imediatas devido a falta de matematica e de
meios tecnicos suficientes na epoca.
So no inıcio dos anos 60 do seculo XX e que Lorenz, ao calcular com recurso a
um computador, solucoes aproximadas para um sistema de equacoes que modela a
convexao na atmosfera, se deparou com o mesmo fenomeno de divergencia de solucoes
inicialmente muito proximas que Poincare tinha descoberto. Este fenomeno, a que se da
o nome de sensibilidade as condicoes iniciais, deu origem, neste contexto, a metafora do
efeito borboleta, ja referida na seccao 3.2. A partir dos seus calculos, Lorenz desenhou
o primeiro esboco do atractor caotico que hoje e conhecido com o seu nome.
Figura 3.29. Atractor de Lorenz. (Imagem retirada de http://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz attractor).
A partir de entao, a utilizacao de computadores para achar solucoes aproximadas de
equacoes foi-se generalizando e foram-se multiplicando os exemplos de comportamento
caotico em contextos muito diversos.
A medida que as ferramentas matematicas foram evoluindo, foi-se entendendo que
a dinamica caotica, caracterizada por comportamentos irregulares e pela dependencia
sensıvel nas condicoes iniciais, e caracterizada por sistemas nao lineares e com feedback.
4. OS FRACTAIS E A TEORIA DO CAOS 177
Um sistema e formado por um conjunto de objectos que se relacionam entre si. Podem
considerar-se dois tipos de sistemas: os lineares e os nao-lineares. No primeiro tipo, a
resposta a um disturbio e directamente proporcional a intensidade deste; no segundo,
a resposta obtida nao e necessariamente proporcional a intensidade do disturbio. Em
sistemas nao lineares e com feedback, inclusive em sistemas bastante simples, pode
aparecer o caos.
A teoria do caos estuda o comportamento aleatorio e imprevisıvel dos sistemas e
sustenta que os comportamentos casuais (aleatorios) tambem sao governados por leis.
O comportamento do sistema dependera da sua situacao “de inıcio”. Se se alteram
essas condicoes iniciais, ainda que as alteracoes sejam pequenas, o sistema podera
comportar-se de forma muito diferente.
Bons exemplos de sistemas caoticos sao o crescimento de lavouras e a formacao de
tempestades, onde qualquer pequena alteracao da direccao ou da velocidade dos ventos,
por exemplo, pode provocar grandes mudancas ao fim de algum tempo. Outro Exemplo
e a formacao de uma nuvem no ceu, que pode ser desencadeada e desenvolver-se com
base numa grande variedade de factores tais como o calor, o frio, a evaporacao da agua,
o vento, o clima, condicoes do Sol, os eventos sobre a superfıcie e inumeros outros. Nao e
por acaso que os meteorologistas se enganam com frequencia nas previsoes atmosfericas.
Outros fenomenos, para alem dos meteorologicos, podem ser entendidos a luz da teoria
do caos: o sistema solar (que era tido como extremamente ordenado), a evolucao de
populacoes, o escoamento de fluidos, as reaccoes quımicas, as variacoes no mercado
financeiro, os movimentos de placas tectonicas, etc. O transito e outro exemplo. Basta
um pequeno acidente para provocar grandes alteracoes no fluxo das viaturas pelas
arterias de uma cidade.
Os conjuntos invariantes de muitos sistemas dinamicos nao lineares, em particular
os chamados “atractores estranhos”, tem estruturas detalhadas em todas as escalas de
magnificacao. E esta a ligacao dos fractais a teoria do caos. Ha uma ordem fractal por
detras de fenomenos aparentemente caoticos. Assim, a teoria do caos nao e uma teoria
178 3. APLICACOES DA GEOMETRIA FRACTAL
de desordem mas busca, no aparente acaso, uma ordem intrınseca determinada por
leis precisas. Nas ultimas decadas, depois de um arduo trabalho, matematicos e fısicos
elaboraram teorias para explicar o caos. Hoje sabe-se muito a respeito de fenomenos
imprevisıveis que, ao serem compreendidos, passam a ser um pouco mais previsıveis.
CAPıTULO 4
Exploracao de Fractais em contexto de Sala de Aula
179
180 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA 181
Depois de varias tentativas para seguir um criterio que uniformizasse as propostas
de actividades para a sala de aula que se apresentarao neste capıtulo, isto e, depois de
procurar que houvesse uma linha orientadora de modo a que as propostas fossem todas
dirigidas, por exemplo, para a mesma faixa etaria, ou so para a aula de Matematica, ou
so para a disciplina de Area de Projecto, decidiu-se pelo oposto: apresentar uma boa
variedade de propostas no que se refere tanto ao publico alvo, como aos conceitos abor-
dados, as tecnicas utilizadas e aos metodos de trabalho implicados. Porque? Porque as
possibilidades de exploracao de fractais ou das suas aplicacoes como mote para estudo
de outros conceitos sao tao vastas, que se concluiu que o melhor seria introduzir um
pouco de cada tipo de abordagem. Assim, antes de cada proposta serao apresentados
os objectivos de cada actividade e no final serao tecidos os comentarios considerados
necessarios para que fique clara a forma como a mesma pode ser aplicada e explorada.
Algumas das actividades serao baseadas na utilizacao de software que, ou e gratuito,
ou esta disponıvel na forma de applet na internet. Caso contrario, sugiro o tipo de
software a utilizar sem mencionar nenhum em particular, como e o caso das folhas de
calculo ou da calculadora grafica. De qualquer forma, em qualquer das abordagens aos
fractais, sera sempre importante comecar por pedir aos alunos que tentem desenhar
as primeiras iteracoes a mao, no papel. De seguida, perguntar-lhes como se poderiam
conseguir resultados melhores e de forma mais rapida. Facilmente surgira a sugestao do
uso do computador e isso permite ao professor explicar porque e que o desenvolvimento
da geometria fractal so ocorreu na segunda metade do seculo XX e tambem perscrutar
a nocao que os alunos tem sobre o que e a programacao computacional e sobre a
importancia da mesma para o mundo actual.
Deve tambem ser discutido com os alunos o problema da impossibilidade de cons-
truir um fractal verdadeiro, mesmo que se recorra ao computador. O fractal obtem-se
apos uma quantidade infinita de iteracoes, o que, por questoes de insuficiencia de
tempo, e impossıvel realizar. Alem disso, nao e possıvel desenhar segmentos de recta
abaixo de um determinado comprimento e o monitor do computador esta limitado ao
182 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
tamanho do pixel. Se o software permitir ampliacoes, havera uma altura em que so se
conseguira ver o detalhe e nao o fractal completo. Por outro lado, a partir de certa
iteracao, e impossıvel notar a diferenca entre duas iteracoes. Por exemplo na curva de
Koch, e impossıvel notar a diferenca entre a decima e a vigesima iteradas; no entanto,
essa diferenca existe e e substancial.
Ha ainda a salientar o facto de nunca nenhuma das imagens obtidas numa iteracao
de construcao de um fractal, ser auto-semelhante. Apenas o fractal o e. Sera sempre
necessario imaginar as iteracoes que faltam para identificar, a partir da imagem de uma
iteracao, as varias reducoes que o fractal contem de si mesmo.
Porque trabalhar com Fractais com alunos do Ensino Basico e Secundario? Em
primeiro lugar, o facto (ja referido no Capıtulo 3) de a forma e dimensao fractais
estarem muito presentes na Natureza devera ser, por si so, um factor de motivacao para
professores e alunos. A propriedade da auto-semelhanca e facilmente entendida por
uma crianca se visualizada, por exemplo, na folha de um feto ou na estrutura de uma
couve-flor. Por outro lado, a aplicabilidade do estudo dos fractais num numero cada
vez mais crescente de areas da ciencia e da tecnologia (ver Capıtulo 3) torna admiravel
o facto de nao haver referencias obrigatorias aos fractais nos programas oficiais de
Matematica do sistema de ensino portugues. A necessidade do uso do computador para
a execucao de algumas das propostas de trabalho e, hoje em dia, um problema menor,
visto que quase todas as escolas de Portugal vao estando suficientemente equipadas
com material informatico. A utilizacao da tecnologia pode tambem ser outro factor
de motivacao para alguns alunos estudarem e explorarem estas formas geometricas e
por outro, uma eventual entrada para o mundo da programacao e da exploracao de
software de representacao de imagens fractais. E ainda de salientar que a quantidade
de conceitos matematicos que podem ser abordados ou trabalhados quando se realizam
actividades de exploracao de fractais pode ser vastıssima, e sera tanto maior quanto
mais avancado for o nıvel dos alunos. Varios sao os conceitos matematicos que o aluno
pode adquirir, compreender ou aplicar ao realizar uma tarefa que envolva a construcao
4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA 183
ou a exploracao de fractais. Esses conceitos podem ser abordados de uma forma mais
ou menos objectiva, mais ou menos evidente, consoante a tarefa estiver dirigida e
consoante a percepcao que o aluno vai tendo das operacoes e das ideias envolvidas.
Os fractais e a geometria fractal, sao temas que suscitam o interesse de quem os
explora pelas inumeras surpresas que escondem. Ao proporcionar uma visao dife-
rente da Matematica, a geometria fractal permite suavizar a abordagem dos conteudos
programaticos, permitindo tambem a conexao entre saberes que, por vezes, sao consi-
derados pelos alunos como apartados e sem qualquer tipo de correlacao possıvel. Por
exemplo, numa actividade sobre sistemas de funcoes iteradas podem ser trabalhados os
conceitos de vector, reducao, razao de semelhanca, transformacoes no plano (rotacao,
simetria, translacao), reuniao de conjuntos, coordenadas de pontos, funcao, etc...
Nao esta previsto nos programas de Matematica portugueses o tema da geome-
tria fractal como um topico de ensino obrigatorio e muito menos lhe esta reservado
um perıodo de tempo para a sua exploracao. O unico programa que contem uma
referencia aos fractais e o de Matematica A para o 11o ano que, no Tema III, Su-
cessoes Reais, sugere o estudo da Curva de Koch ou de um Poliedro Fractal como um
problema sobre limites com progressoes. Nos programas curriculares de Matematica
para o Ensino Basico e para o Ensino Secundario, encontram-se conteudos como auto-
semelhanca, forma, dimensao, polıgonos e solidos geometricos, perımetros, areas e volu-
mes, funcoes, transformacoes geometricas, semelhanca de figuras, sucessoes, operacoes
com conjuntos, composicao de funcoes, funcao logarıtmica e limites. Todos eles podem
ser adquiridos, compreendidos e/ou aplicados pelo aluno, atraves da realizacao de uma
actividade que envolva a exploracao e/ou a construcao de fractais.
Em projectos mais completos sobre fractais, a utilizacao de software torna-se ine-
vitavel e a programacao sera um topico que, no mınimo, tera de ser abordado e discu-
tido. Nas actividades que serao propostas, a programacao aparecera sempre como uma
opcao adicional de exploracao; mas em trabalhos realizados na modalidade de projecto,
onde o tempo e os materiais disponıveis o permitirem, ela fara todo o sentido.
184 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Muitas e variadas serao, por certo, as competencias que podem ser desenvolvidas
pelos alunos que explorem os fractais. A aquisicao ou o desenvolvimento de com-
petencias diversas dependera das actividades que o aluno realizar e de como ele for
guiado atraves delas, de como estas estiverem construıdas, de como ele for motivado
para elas, das ferramentas que utilizar e ainda da apetencia e do conhecimento previo
que trouxer consigo.
Nao sera sugerido um tempo para a realizacao de cada uma das actividades porque
cada uma podera ser explorada de diversas formas, consoante o contexto em que for
realizada, o nıvel de preparacao dos alunos em causa e os objectivos pretendidos com
a realizacao da actividade.
Na seccao de Anexos (pagina 299 e seguintes) estao os materiais necessarios a
resolucao das actividades e no CD incluıdo neste trabalho esta o software de distribuicao
gratuita utilizado em algumas das actividades.
A seguir, neste capıtulo, explica-se o tipo de actividades que irao ser apresentadas,
depois e feito um resumo de alguns conteudos matematicos que poderao ser trabalhados
e de algumas das competencias que poderao ser desenvolvidas com a resolucao de
actividades envolvendo fractais; seguem-se algumas consideracoes sobre a utilizacao de
software e, finalmente, e apresentado um conjunto de varias propostas de trabalho para
realizar com os alunos.
1. Tipos de Actividades
Em consonancia com o suporte teorico deste trabalho apresentado nos dois primeiros
capıtulos, nao se propoem actividades sobre fractais definidos no conjunto dos numeros
complexos (como o Conjunto de Mandelbrot) nem sobre fractais aleatorios, nem sobre
a relacao dos fractais com a Teoria do Caos. Em contrapartida, varias sao as propostas
para trabalhar o conceito de sistema de funcoes iteradas e de dimensao fractal, para
alem do proprio conceito de fractal.
As actividades propostas mais a frente incluem:
1. TIPOS DE ACTIVIDADES 185
A possibilidade de comparacao da Geometria Fractal com a
Geometria Euclidiana;
Propostas numeros
1, 4, 7, 10, 11, 14 e 21.
A representacao e o estudo de propriedades de alguns
fractais (incluindo exemplos classicos famosos);
Propostas numeros
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
A utilizacao de software para desenhar e/ou analisar e/ou
programar fractais;
Propostas numeros
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11, 12, 14 e 22.
A identificacao/determinacao de SFI que definam um
determinado fractal;
Propostas numeros
2, 3, 5, 8, 9, 10, 11 e
12.
A construcao de modelos de fractais no plano e no espaco
recorrendo ao uso de varios materiais manipulaveis;
Propostas numeros
4, 5, 7, 8, 14, 18 e 19.
A modelacao de objectos naturais com recurso a geometria
fractal;
Propostas numeros
1, 4, 7, 11, 13, 14, 19,
22, 23, e 24.
O estudo da dimensao fractal; Propostas numeros
2, 3, 4, 5, 12, 13, 14,
22 e 23.
A investigacao sobre a aplicacao dos fractais nas diversas
areas do conhecimento.
Propostas numeros
4, 6, 15, 16, 17, 19,
20, 21, 22, 23, e 24.
186 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
2. Conexoes matematicas proporcionadas pelo topico “Fractais”
Nas Tabelas 4.1 e 4.2 apresentam-se alguns dos conteudos que podem ser abordados,
explorados e/ou aplicados em cada uma das actividades propostas. Em alguns casos, a
conexao entre a Proposta e os conteudos pode nao decorrer imediatamente da resolucao
da actividade, mas de uma exploracao mais alargada dos conceitos que estao implıcitos
ou das sugestoes que estao no final de cada Proposta. Outros conteudos, alem dos
indicados, poderao tambem estar implıcitos em cada uma das actividades propostas.
3. Competencias, Capacidades e Atitudes
A realizacao de actividades com fractais podera contribuir para o alcance de alguns
dos objectivos da disciplina de Matematica. Segundo os programas de Matematica dos
ensinos basico e secundario, o aluno deve reunir, ao longo do seu percurso escolar, um
conjunto de capacidades e de atitudes, bem como de conhecimentos de Matematica
para se poder dizer matematicamente competente. Essa dita competencia inclui al-
guns aspectos para os quais algumas das actividades que serao aqui propostas tambem
poderao contribuir.
Desde logo, a predisposicao para raciocinar matematicamente e essencial para o
estudo dos fractais, ja que o fractal e um objecto puramente matematico. Quando,
por exemplo, se estudam as caracterısticas de um fractal a partir da sucessao das
iteradas obtidas por um SFI que o defina, e necessario procurar regularidades, fazer
e testar conjecturas, formular generalizacoes... enfim, pensar de forma logica. Em
actividades nas quais se procuram as relacoes entre os “fractais matematicos” e os
“fractais naturais” esse raciocınio tera de ser elevado a um nıvel superior em que se
procuram regularidades e se fazem generalizacoes lidando com as limitacoes a que esta
imposto o conceito de fractal quando aplicado a um objecto da Natureza. O raciocınio
espacial sera necessario para a analise dos fractais.
As diversas aplicacoes da matematica ao real que a geometria fractal permite vi-
sualizar, poderao fomentar o gosto em realizar actividades que envolvem raciocınio
3. COMPETENCIAS, CAPACIDADES E ATITUDES 187
Numero da Proposta
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Con
ceit
osm
atem
atic
os
Geometria euclidiana vs geometria fractal x x x x x x x
Transformacoes geometricas
(translacao, rotacao, simetria, x x x x x x x x
reducao, contraccao)
Semelhanca de figuras x x x x x x x x
Razao de semelhanca x x x x x x x
Razao entre areas e x x
volumes de figuras semelhantes
Padroes numericos x x x x x x
Padroes geometricos x x x x x x
Propriedades de polıgonos x x x x
e de solidos geometricos
Forma, polıgonos e solidos geometricos x x x
Area x x
Volume x
Perımetro x x
Angulos x
Propriedades de angulos x
Razoes trigonometricas
Teorema de Pitagoras x
Sistemas de eixos coordenados x x x x
Representacao grafica x x x x x x
Declive x
Funcao afim x x x x x x x x
Funcao exponencial x x x x x x
Logaritmo e funcao logarıtmica x x x x x
Conceito de limite x x x x x x x
Conceito de infinito x x x x x
Tabela 4.1. Conceitos matematicos implıcitos em cada uma das Propostas.
188 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Numero da Proposta
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Con
ceit
osm
atem
atic
os
Auto-semelhanca x x x x x x x x x x x
Vectores x x x
Sucessoes x x x x x x x
(termos, termo geral, limite,
sucessao limitada,
infinitesimo, infinitamente grande
nocao de infinito, ...)
Iteracao de funcoes x x x x
Operacoes com conjuntos x x x x x
”Rugosidade”e dimensao fractal x x x x x x
Derivada num ponto x
Triangulo de Pascal x
Binomio de Newton x
Criterios de Divisibilidade x
Progressao aritmetica/geometrica x x x x
Soma de series aritmeticas/geometricas x
Equacoes e Sistemas de Equacoes x x
Escala x
Regressao Linear x
Tabela 4.2. Conceitos matematicos implıcitos em cada uma das Propostas.
matematico e, a partir daı, ajudar a que cresca a confianca pessoal do aluno para se
empenhar em actividades intelectuais.
Sugere-se que uma parte das actividades propostas sejam realizadas em grupos.
Essa metodologia de trabalho e uma das que mais fomentam a comunicacao com os
outros. As ideias, as descobertas, os conceitos que poderao ser transmitidos oralmente,
por escrito (em linguagem corrente ou matematica) ou atraves de imagens, esquemas,
graficos, etc., estarao a fomentar a capacidade de comunicacao dos alunos. Tudo isto,
de uma forma ou de outra, podera ser trabalhado no conjunto de actividades que
sera apresentado. A resolucao de algumas destas actividades permitem ainda ao aluno
3. COMPETENCIAS, CAPACIDADES E ATITUDES 189
evidenciar o seu grau de rigor e de criatividade na resolucao de questoes e revelar se tem
rigor, cuidado, organizacao e espırito crıtico na apresentacao e discussao dos resultados.
As actividades em grupo sao ainda potenciadoras da promocao da realizacao pessoal
atraves de atitudes de responsabilidade, de autonomia, de solidariedade, de tolerancia
e de cooperacao .
Quanto a resolucao de problemas, a maioria das actividades estao demasiado di-
rigidas para que possam ser consideradas um problema. No entanto, consoante a
preparacao previa dos alunos com que se esta a trabalhar e o objectivo que se preten-
der atingir, o professor podera abrir mais uma determinada proposta, nao a dirigindo
tanto, de forma a que os alunos sintam a necessidade de ensaiar diversas estrategias
de resolucao. As ultimas propostas sao essencialmente de investigacao e exigirao dos
alunos a capacidade de se munir de diversas ferramentas e de seguir diversos processos,
de modo a procurarem a informacao de que necessitam para conseguirem alcancar o
que se pretende. Em geral, o aluno e incitado a procurar ver e apreciar a estrutura ma-
tematica, em particular a geometria fractal, que esta presente numa situacao, seja ela
relativa a natureza, a arte, ou a objectos ou processos pertencentes as varias areas do
conhecimento, envolva ela elementos numericos, geometricos ou ambos. A realizacao
de tarefas deste tipo, quer seja em grupo, quer seja individualmente, ajudara o aluno
a ganhar ou a consolidar confianca em si proprio, no confronto com situacoes novas e
contribuira para o desenvolvimento de habitos de trabalho e de persistencia, na pro-
cura da realizacao do trabalho ate ao fim, de forma organizada, apresentando-o com a
devida qualidade.
Ao conjunto global de propostas esta inerente um leque vasto de instrumentos de
calculo, que vao desde o calculo mental, aos algoritmos de papel e lapis e aos meios
tecnologicos. Em muitos casos, a matematica tera de ser usada em combinacao com
outros saberes, na compreensao de situacoes da realidade. O sentido crıtico tera que
estar sempre presente tanto no que diz respeito a utilizacao de procedimentos, como
no que se refere a analise dos resultados obtidos.
190 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
O conhecimento das possıveis aplicacoes dos fractais nas diversas areas do conhe-
cimento podera ajudar a desenvolver nos alunos a capacidade de usar a Matematica
como instrumento de interpretacao do real e a promover o aprofundamento de uma
cultura cientıfica, tecnica e humanıstica que constitua um suporte cognitivo e meto-
dologico para a vida futura, contribuindo tambem para uma atitude positiva face a
Ciencia e para o desenvolvimento de cidadaos activos e participativos em areas como
o ambiente, a saude e a economia. A interdisciplinaridade revelada pela geometria
fractal e tambem um ponto de partida para a apreciacao do contributo da Matematica
para a compreensao do mundo que nos rodeia e para a evolucao da ciencia e podera
despertar no aluno a curiosidade e o gosto de aprender, de pesquisar e de investigar.
A diversidade de conexoes entre diversos conceitos matematicos que estara patente
em algumas das propostas, permitira nao so a ampliacao do conhecimento da Ma-
tematica, a aquisicao e a consolidacao de conceitos matematicos, mas tambem podera
contribuir para a compreensao da Matematica enquanto elo de coesao do pensamento
cientıfico.
Os temas transversais do programa de matematica do ensino secundario estao todos
eles patentes, de alguma forma, nas actividades que se apresentarao neste capıtulo. A
comunicacao matematica, a logica e o raciocınio matematico sao essenciais em todas
elas; a aplicacao e a modelacao matematica aparecera sempre que se descobrir geome-
tria fractal em objectos ou fenomenos e ainda na construcao de fractais no plano e/ou
no espaco; a tecnologia foi necessaria para o aparecimento e desenvolvimento desta
geometria e se-lo-a tambem para a realizacao de uma boa parte das propostas; a ac-
tividade investigativa sera um dos objectivos de algumas das propostas e, finalmente,
parte da historia da matematica devera ser tambem revelada aos alunos, ao ser-lhes
explicada a origem e o desenvolvimento da geometria fractal, a forma como esta se
imiscuiu em tantas areas do conhecimento e ainda ao serem estudados exemplos de
fractais classicos.
4. EXPLORACAO DE FRACTAIS COM SOFTWARE 191
4. Exploracao de Fractais com software
Como ensina a propria historia da geometria fractal, a representacao e o estudo
dos fractais so e possıvel gracas a tecnologia informatica. A estrutura tipicamente
intrincada dos fractais, o pormenor a escalas infinitamente pequenas e a quantidade
infinitamente grande de calculos e de processos de desenho geometrico necessarios para
construir um fractal, fazem com que o recurso aos computadores para obter repre-
sentacoes de fractais seja inevitavel.
Por outro lado, a necessidade absoluta do uso da informatica pode transformar-se
num factor de motivacao para quem estude a geometria fractal, porque permite uma
visualizacao rapida e facil da representacao grafica de elementos matematicos que, na
forma de equacoes, nao revelam a beleza, o interesse e o intrigante que se esconde em
cada fractal. Com o computador pode testar-se a alteracao de parametros em equacoes
ou em transformacoes geometricas e obter uma resposta rapida acerca dos efeitos dessa
alteracao. O trabalho difıcil e repetitivo de calculo e de desenho e feito pelo computador
e as tarefas matematicas serao essencialmente as de analise e de interpretacao do fractal
ou da sua aplicacao na modelacao de outros objectos ou fenomenos.
Existe hoje em dia uma grande quantidade de software disponıvel para repre-
sentacao de fractais atraves dos mais variados processos, estando alguns deles na forma
de applet em sites da internet.
Para alem da utilizacao dos softwares na perspectiva do utilizador e tambem impor-
tante que os alunos tenham a oportunidade de experimentar a vertente da programacao
porque isso permite-lhes nao so desenvolver capacidades de raciocınio logico e de abs-
traccao, como tambem de terem uma nocao de como sao criados outros programas que
utilizam no seu dia-a-dia. A programacao pode ser levada a cabo no computador ou na
calculadora grafica, comecando pela transcricao de algoritmos previamente fornecidos
aos alunos, podendo o professor depois incita-los a criar os seus proprios programas.
Os primeiros passos nesse sentido podem ser dados atraves da alteracao de algoritmos
192 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
ja existentes, de modo a conseguir que o programa execute a representacao de fractais
com regras de formacao ligeiramente diferentes das inicialmente programadas.
Uma das linguagens de programacao que permite a programacao ao alcance dos
alunos mais jovens e o Logo no qual o aluno da instrucoes a tartaruga (cursor) sobre
para onde ela deve dirigir-se no monitor de forma a percorrer uma linha fractal no
seu trajecto. Com este tipo de actividades o aluno, alem de aprender a construir um
fractal, de ter que verbalizar matematicamente as operacoes necessarias para tal, de
utilizar e trabalhar varios conceitos matematicos, esta tambem a adquirir a nocao de
programacao. Ao aprender a programar, o aluno tambem pode aprofundar a nocao
de variavel e de concretizacao de uma variavel e perceber como e para que se criam
sub-rotinas e se aplicam metodos recursivos. Alem disso, pode ainda dar-se conta nao
so das capacidades, como tambem das limitacoes da maquina, nomeadamente no que
diz respeito a definicao dos monitores e as capacidades de calculo. O NetLogo, cons-
tituindo uma linguagem ja bastante mais elaborada, possui um interface muito mais
apelativo e pode ser usado tanto apenas na perspectiva do utilizador (correndo algo-
ritmos ja concebidos), como na perspectiva do programador (permite a programacao
de raiz ou a alteracao de algoritmos). Ambos, Logo e NetLogo sao gratuitos. Para o
NetLogo ha um portal na internet onde estao disponıveis um tutorial e programas de
modelacao de fenomenos de diversas areas da ciencia o que proporciona a sua utilizacao
em diversas disciplinas. Na area da matematica ha, ente outros, um programa dedicado
aos fractais. Em algumas das propostas de actividades para a sala de aula apresenta-
das (Propostas numeros 3, 4, 5 e 7), utilizou-se esse modelo ao qual foram efectuadas
algumas adaptacoes, tendo-lhe sido adicionadas algumas funcoes para a construcao de
outros fractais. No caso dos fractais “Dragao de Heighway” e “Arvore” que foram adi-
cionados ao modelo original, foram programados codigos validos para cada um deles,
no entanto, pouco eficazes, na medida em que a partir da quinta ou sexta iteracao se
tornam muito lentos nao permitindo uma boa visualizacao do fractal. Algumas das
actividades que serao propostas sugerem a utilizacao do NetLogo e/ou do Logo. Nos
4. EXPLORACAO DE FRACTAIS COM SOFTWARE 193
Anexos 19 e 20 encontram-se algoritmos de programas para o NetLogo e para o Logo,
respectivamente.
Para alem destes dois programas outros softwares e applets sao recomendados nas
propostas que se seguirao, estando todos eles disponıveis de forma gratuita na internet.
Apresenta-se a listas desses programas:
•Logo
Disponıvel em http://www.softronix.com/logo.html.
Sugerido nas Propostas 2, 3, 4 e 7.
•NetLogo
Disponıvel em http://ccl.northwestern.edu/netlogo/.
Sugerido nas Propostas 3, 4, 5 e 7.
•PasFastC
Disponıvel em: http://www.its.caltech.edu/∼mamikon/PasFastC.html.
Sugerido na Proposta 6.
•Fractal Trees
Disponıvel em http://library.thinkquest.org/26242/full/progs/trees.html.
Sugerido na Proposta 7.
•L-System Based Fractals - Bush 1, 2 e 3
Disponıvel em http://arcytech.org/java/fractals/lsystems.shtml.
Sugerido na Proposta 7.
•Pythagorean Tree
Disponıvel em http://www.math.fau.edu/MLogan/Pattern Exploration
/Pythagorean Trees/PTdirections.html.
Sugerido na Proposta 7.
•Deterministic IFS
Disponıvel em http://classes.yale.edu/fractals/Software/detifs.html.
Sugerido nas Propostas 8, 9, 10 e 11.
194 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
•IFS Construction Kit
Disponıvel em http://ecademy.agnesscott.edu/∼lriddle/ifskit/index.htm.
Sugerido nas Propostas 8, 9, 10, 11 e 12.
•Relatives of Sierpinski
Disponıvel em http://www.math.fau.edu/MLogan/Pattern Exploration
/Relatives of Sierp Prec/RSprecisionDirections.html.
Sugerido na Proposta 9.
•Affine
Disponıvel em http://classes.yale.edu/fractals/Software/affine/affine.html.
Sugerido na Proposta 10.
•IFS Lab
Disponıvel em http://www.nzeldes.com/Fractals/Fractals core.htm.
Sugerido na Proposta 11.
•Coastline
Disponıvel em http://argento.bu.edu/java/java/coastline/coastlineapplet.html.
Sugerido na Proposta 14.
•Coastlines
Disponıvel em http://www.math.fau.edu/MLogan/Pattern Exploration
/Coastlines/CLdirections.html.
Sugerido na Proposta 14.
5. Propostas de Actividades para a Aula de Matematica
Com alunos que nao conhecem ainda o conceito de fractal, o professor deve comecar
por fazer uma abordagem que os motive para o tema que deve passar pela comparacao
da geometria fractal com a euclidiana, pela explicacao do conceito de fractal e pela
demonstracao da aplicabilidade da geometria fractal em contextos diversos. Depois
podera propor-se aos alunos que descubram no meio em que vivem, objectos que possam
ser representados por cada uma das geometrias: a euclidiana e a fractal.
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 195
O conceito de dimensao fractal tambem devera ser abordado. Com os alunos mais
jovens essa nocao devera ser introduzida de uma forma intuitiva para que possam
conseguir ordenar varios fractais segundo o valor da sua dimensao, consoante o seu
“grau de rugosidade”. Aos alunos do ensino secundario, sobretudo aos do 12o ano, pode
pedir-se-lhes o calculo da dimensao fractal de fractais com auto-semelhanca exacta, que
pode ser determinada por D=log(N)/log (1/r), sendo N o numero de copias que cada
iteracao contem da iteracao anterior e r a razao de semelhanca entre cada uma dessas
copias e a figura da iteracao anterior.
Note-se que se fala em “dimensao fractal” sem especificar qual a definicao a utilizar
(dimensao de Hausdorff, de contagem de caixas ou outra), porque no caso dos fractais
com auto-semelhanca exacta os valores das definicoes mais utilizadas coincidem e com
alunos dos ensinos basico e secundario nao valera a pena aprofundar o conceito de
dimensao fractal mais do que isto.
As Propostas de actividades estao numeradas, nao significando isso uma ordem
obrigatoria para a sua resolucao. Tambem nao se pretende que todas sejam realizadas
pelos mesmos alunos. Cada uma das actividades devera ser adaptada adequadamente
ao publico alvo, ao contexto em que esta a ser realizada e aos objectivos que se preten-
dem atingir.
196 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 1 (Por onde andam os fractais?). 1
Objectivos: No final desta actividade o aluno deve ser capaz de distinguir entre ob-
jectos com formas melhor modeladas pela geometria euclidiana e objectos melhor mo-
delados pela geometria fractal.
Actividade: Objectos que possam ser modelados por fractais tem caracterısticas com-
pletamente diferentes dos objectos que se assemelham mais das figuras geometricas
euclidianas.
(1) Procura dentro da tua sala de aula objectos a cujas formas possas associar
figuras geometricas euclidianas conhecidas.
Objectos Observados Figura/solido geometrica(o) associada(o)
(2) Procura tambem na tua sala de aula objectos que te parecam ter uma estrutura
fractal.
(3) Procura agora no exterior da tua sala de aula, em contacto com a Natureza
(parque, jardim, campo, quintal...) objectos a cujas formas possas associar
figuras geometricas euclidianas conhecidas.
1Adaptado de: http://www.ime.uerj.br/ progerio/monografia/1999/atividade1.html - Projecto
Final de Conclusao De Curso de Taıs Alves Moreira Barbariz
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 197
Objectos Observados Figura/solido geometrica(o) associada(o)
(4) Consegues encontrar na Natureza objectos com forma fractal?
(5) Onde e mais facil encontrar objectos com formas euclidianas, na Natureza ou
nas construcoes humanas? E os objectos fractais, onde se encontram mais?
Consegues encontrar uma possıvel explicacao para esse facto?
Sugestoes: Antes desta actividade o professor tera que fazer aos alunos uma in-
troducao a geometria fractal, focando as principais caracterısticas que um fractal pode
ter. F
As actividades que se seguem (Propostas 2, 3, 4, 5 e 7) sao actividades tıpicas de
exploracao de um fractal como aplicacao ou abordagem de conteudos relacionados com
o estudo das sucessoes de numeros reais. Porem, outros conceitos matematicos estao
subjacentes (ver a seccao 2 - Tabela 4.1 e Tabela 4.2).
O aluno deve saber que o “fractal” e o objecto que se obtem apos uma quantidade
infinita de iteracoes ou entao o professor podera aproveitar as primeiras questoes da
Proposta 2, ate a alınea 2c, para explicar isso aos alunos.
Caso os alunos nao conhecam ainda o conceito de dimensao fractal, o professor deve
explora-lo previamente com os alunos, indicando a formula D = logNlog r−1 , utilizada para
determinar a dimensao fractal de fractais com auto-semelhanca exacta, em que N e o
numero de reducoes a escala r do fractal que o compoem (ver pagina 131 e seguintes).
198 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 2 (O conjunto de Cantor).
Objectivos: No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:
• Compreender o processo iterativo e explicar a lei de formacao deste fractal;
• Organizar e analisar dados para determinar a expressao geral de uma sucessao;
• Aplicar o conceito de limite;
• Compreender o conceito de auto-semelhanca e saber assinalar copias do fractal
dentro dele mesmo, indicando a razao de semelhanca;
• Calcular a dimensao fractal de fractais com auto-semelhanca exacta.
Actividade: Vamos agora estudar o Conjunto de Cantor, um dos fractais mais fa-
mosos.
(1) As primeiras iteracoes do Conjunto de Cantor sao as seguintes:
C0
C1
C2
(a) Desenha mais duas ou tres iteracoes deste conjunto.
(b) Explica como e a lei de formacao este conjunto.
(2) Investiga o que acontece relativamente ao numero de segmentos, ao compri-
mento de cada um e ao comprimento total do conjunto a medida que aumenta
o numero de iteracoes.
(a) Regista as tuas conclusoes no quadro seguinte:
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 199
Comprimento de Numero de Comprimento total
cada segmento segmentos do conjunto
Iteracao 0
Iteracao 1
Iteracao 2
Iteracao 3
Iteracao n
(Lei de Formacao)
(b) Consegues explicar como e o conjunto ao fim de uma quantidade infinita
de iteracoes?
(c) Consegues evidenciar partes do conjunto que sejam iguais na forma ao
todo?
(d) Determina a dimensao Fractal do Conjunto de Cantor.
(3) Consegues imaginar um processo analogo a este, mas trabalhando no plano
(comecando com um quadrado) ou trabalhando no espaco (comecando com um
cubo)? Tenta construir estas duas propostas de fractais ou outros identicos e
explora algumas das suas propriedades.
Observacoes:
• Na questao 1a, o aluno pode recorrer ao papel quadriculado, como a propria
imagem sugere, ou entao a grelha do Anexo 2 ou do Anexo 4.
• Na questao 1b, o aluno pode utilizar linguagem corrente ou, tendo preparacao
para isso, explicitar as funcoes que intervem num SFI que defina este conjunto.
• Na questao 2d pretende-se determinar a dimensao D atraves da expressao D =
logN
log(1
r), sendo N o numero de reducoes de factor de reducao r que compoem
o fractal. Explicar aos alunos que esta formula so se aplica a fractais com
200 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
auto-semelhanca exacta cujas reducoes de si mesmo nao se sobreponham ou
nao se sobreponham demasiado (ver pagina 131).
Sugestoes:
• Este e um bom conjunto para se iniciar a utilizacao do Logo, visto que as
instrucoes para o desenhar se resumem a “seguir em frente” x unidades, “le-
vantar a caneta”, “seguir em frente” x unidades, “baixar a caneta”, “seguir
em frente” x unidades, ...F
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 201
Proposta 3 (A Curva de Koch).
Objectivos: No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:
• Compreender o processo iterativo e explicar a lei de formacao deste fractal;
• Organizar e analisar dados para determinar a expressao geral de uma sucessao;
• Aplicar o conceito de limite;
• Compreender o conceito de auto-semelhanca e saber assinalar copias do fractal
dentro dele mesmo, indicando a razao de semelhanca;
• Calcular a dimensao fractal de fractais com auto-semelhanca exacta;
• Compreender a relacao entre o conceito de dimensao fractal e a “rugosidade”
de um objecto.
Actividade: A Curva de von Koch tem um processo de construcao que consiste
em dividir o segmento de recta inicial em tres partes iguais e usar quatro copias de um
desses segmentos, como mostra a figura a seguir.
(1) No NetLogo, abre o modelo fractais geometricos no NetLogo e desenha as pri-
meiras tres ou quatro iteracoes da Linha de Koch (escolhe “Linha de Koch” no
botao de escolha “tipo koch”, coloca o cursor “factor reducao” em 33% (apro-
ximadamente 1/3), carrega em “Iniciar Koch” e de seguida em “Desenhar” ou
em “Desenhar uma iteracao”).
(2) Explica como e a lei de formacao da Linha de von Koch.
(3) Investiga o que acontece relativamente ao numero de lados da linha, ao com-
primento de cada um desses lados e ao comprimento total da linha a medida
que aumenta o numero de iteracoes.
202 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
(a) Regista as tuas conclusoes no quadro seguinte:
Numero Comprimento Comprimento
de lados de cada lado total da linha
Iteracao 0 1
Iteracao 1
Iteracao 2
Iteracao 3
Iteracao n
(Lei de Formacao)
(b) Consegues explicar como e a Linha de Koch ao fim de uma quantidade
infinita de iteracoes?
(c) Para que valor tende cada uma das sucessoes apresentadas no quadro de
3a?
(d) A linha de von Koch e auto-semelhante? Na iteracao mais avancada
que desenhaste, imagina nela o que falta para obter o fractal e assinala
algumas partes da figura onde estao contidas reducoes do fractal. Escolhe
regioes onde a copia do fractal apareca em escalas diferentes.
(e) Determina a dimensao fractal da Linha de Koch.
(4) Desenha novas Linhas de Koch, variando o factor de reducao atraves do slider
presente no modelo.
(a) O que acontece quando o factor de reducao usado e de 50%?
(b) Qual te parece ser a influencia do factor de reducao escolhido na dimensao
da respectiva figura obtida?
(c) Experimenta varios valores para o factor de reducao e determina a di-
mensao fractal de cada uma das respectivas linhas.
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 203
Observacoes:
• Consoante a preparacao previa dos alunos com quem se realize esta actividade,
pode haver necessidade de fornecer algumas pistas sobre como organizar os
dados na tabela da questao 3a, podendo, para tal, completar-se algumas das
suas celulas. Por exemplo, pode preencher-se a linha da iteracao 2 com os
dados 42,(
13
)2e 42
(13
)2.
• Na questao 3b, com os alunos dos 11o e 12o anos pode procurar-se que eles
concluam que a Curva de Koch nao tem derivada em nenhum dos seus pontos.
• A questao 3c pode ser respondida mesmo por alunos mais novos, bastando
que compreendam que ao multiplicar um valor por um numero maior que 1 se
obtem um valor maior que o inicial e ao multiplicar por um numero menor
que 1 se obtem um resultado inferior ao inicial.
• A questao 3d pode ser usada para explorar os conceitos de auto-semelhanca e
de razao de semelhanca.
Sugestoes:
• Pode pedir-se aos alunos que comecem por desenhar a Curva de Koch a mao,
usando a grelha de triangulos equilateros (Anexo 1) ou de pontos (Anexo 3)
sendo para isso necessario explicar a regra de formacao e retirar a questao 2 e
adaptar convenientemente a questao 4.
• Pode usar-se o Logo em vez do NetLogo, sendo para isso necessario adaptar as
questoes e fornecer, ou nao, o algoritmo, consoante as nocoes de programacao
dos alunos. O aluno pode tambem comecar por construı-lo dando as instrucoes
uma a uma e depois passar a programacao por recursividade, isto e, programar
para que o software devolva a imagem do conjunto a partir dos dados que lhe
fornecemos: comprimento do segmento da 1a iteracao e numero de iteracoes
pretendidas (ver algoritmo no Anexo 20).
204 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
• Pode pedir-se que a lei de formacao seja explicada pelos alunos indicando
quais as funcoes que compoem um SFI que defina a Curva de Koch. Mesmo
que nao indiquem a expressao analıtica de cada uma, podem identifica-las
verbalizando as transformacoes no plano envolvidas. Depois de identificadas
essas transformacoes, a expressao pode ser escrita tendo em conta as indicacoes
do Exemplo 14, na pagina 42.
• De uma forma mais arcaica, mas nao menos eficaz e divertida, pode proceder-
se a construcao da curva atraves de fotocopias sucessivas usando os Anexos 7
e 8. Conceitos como razao de semelhanca e relacao entre areas e perımetros de
figuras semelhantes poderao ser explorados usando este processo. Alem disso,
cada aluno ou grupo de alunos pode usar uma figura inicial diferente (desde
que nao seja um “segmento de recta fino” que podera desaparecer ao longo
das fotocopias sucessivas) para depois, ao compararem os trabalhos uns dos
outros, poderem compreender que o conjunto inicial ao qual se aplica um SFI
nao determina a forma do fractal.F
A actividade da Proposta 4 pode ser resolvida a seguir a da Proposta 3 de forma a
aproveitar alguns dos calculos ja aı efectuados.
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 205
Proposta 4 (A Ilha de Koch ou O Floco de Neve de Koch). 2
Objectivos: No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:
• Compreender o processo iterativo e explicar a lei de formacao deste fractal;
• Organizar e analisar dados para determinar a expressao geral de uma sucessao;
• Aplicar o conceito de limite;
• Compreender o conceito de auto-semelhanca e saber assinalar copias do fractal
dentro dele mesmo, indicando a razao de semelhanca.
Actividade: Se aplicarmos o processo de construcao da Curva de Koch a cada um
dos lados de um triangulo equilatero, obtemos progressivamente um fractal chamado
Ilha de Koch ou Floco de Neve de Koch.
(1) No NetLogo, abre o modelo fractais geometricos e desenha as primeiras tres
ou quatro iteracoes da Ilha de Koch (escolhe “Ilha de Koch” no botao de
escolha “tipo koch”, carrega em “Iniciar Koch” e de seguida em “Desenhar”
ou em “Desenhar uma iteracao”. O cursor “factor reducao” nao tem qualquer
influencia no desenho deste fractal).
2Adaptado de: “Fractais no Ensino Secundario” - Ana Paula Canavarro e Outros, APM;
http://math.rice.edu/ lanius/frac/anpr.html ; OLIVE, Oriol. Els Fractals - Introduccio practica als
fractals IFS .
206 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
(2) Explica como e a lei de formacao da Ilha de Koch.
(3) Investiga o que acontece relativamente ao perımetro da figura, a medida que
avancamos no numero de iteracoes. (Podes considerar que o comprimento do
primeiro lado da figura da iteracao zero e 1 ou entao a.)
(a) Regista as tuas conclusoes no quadro seguinte:
Perımetro
Iteracao 0
Iteracao 1
Iteracao 2
Iteracao 3
(b) Determina o termo geral da sequencia dos perımetros da alınea anterior.
(c) Como evolui esta sequencia e para que valor tende?
(4) Faz agora um estudo semelhante relativamente a area da figura correspondente
a cada iteracao.
(a) Regista as tuas conclusoes no quadro seguinte:
Area
Iteracao 0
Iteracao 1
Iteracao 2
Iteracao 3
(b) Determina o termo geral da sequencia das areas da alınea anterior.
(c) De que valor se aproxima a sequencia? (Podes utilizar uma calculadora
grafica ou uma folha de calculo e construir tabelas e/ou representar os
valores da sucessao para te ajudar a chegar a uma conclusao.)
(5) Imagina a construcao do floco de von Koch obtido apos um numero infinito de
iteracoes. Consegues assinalar onde estao partes da figura que contem o todo,
isto e, reducoes da figura completa? Este fractal e auto-semelhante?
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 207
(6) O Floco de Neve Invertido
(a) No NetLogo, abre o modelo fractais geometricos e desenha as primeiras
tres ou quatro iteracoes do Floco de Neve Invertido (escolhe “Floco de
Neve Invertido” no botao de escolha “tipo koch”, carrega em “Iniciar
Koch” e de seguida em “Desenhar” ou em “Desenhar uma iteracao”. O
cursor “factor reducao” nao tem qualquer influencia no desenho deste
fractal).
(b) A que se deve o nome de “Floco de Neve Invertido deste fractal”?
(c) Investiga o que acontece a area e ao perımetro total da figura a medida
que avancamos no numero de iteracoes.
(d) A dimensao fractal de um conjunto composto pela reuniao finita de varios
outros e igual ao maximo dos valores das suas dimensoes fractais. Com
base nisto, e conhecendo ja o valor da dimensao fractal da Curva de
Koch, determina a dimensao fractal da Ilha de Koch e do Floco de Neve
Invertido.
(e) Chama-se floco de neve a este fractal pela sua parecenca com a forma de
um floco de neve. Mas, na verdade, nao existem dois flocos de neve iguais.
Faz uma pequena investigacao e tenta descobrir como se formam os flocos
de neve e o que faz com que a forma dos mesmos seja tao diversificada.
“Milhoes de toneladas de neve caem sobre grandes areas a cada ano. Ficamos
maravilhados quando paramos para entender que toda aquela neve e composta
de flocos de neve delicados e delicadamente desenhados, cada um deles menores
do que a unha de seu dedo menor. E que desenhos lindos! As pessoas que os
estudam e fotografam continuamente descobrem, para seu espanto, que nao
208 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
existem dois iguais. Seu desenho proprio com raras excepcoes, os flocos de
neve tem sempre seis lados. As vezes os seis lados sao rectos e achatados, mas
com maior frequencia eles tem seis pontas lindamente desenhadas que saem
de um cırculo formando um centro comum e tendo este seu desenho proprio.
Cada ponta na forma de lanca faz par com as outras no mesmo floco, mas
como foi mencionado acima, nao foram encontrados dois flocos exactamente
iguais. Um cientista que fotografou mais de 400.000 flocos de neve mostrou em
suas fotos que isto verdadeiramente ocorre. Que maravilha!”
(http://www.stories.org.br/snow.html)
“Nao ha dois flocos de neve exactamente iguais. Cada um e uma coleccao de
cristais de gelo, de vapor de agua gelado, congelados juntos. As formas do
cristal sao divididas em aproximadamente 80 categorias. Podem ter a forma
de agulhas, prismas, laminas, hexagonos e colunas. A forma depende da tem-
peratura, altura e agua contida na nuvem na qual se formam. A neve pode ser
“humida” ou “seca”. A neve humida e feita de grande flocos e se forma quando
a temperatura esta quase zero. E perfeita para fazer bolas de neve, mas difıcil
de limpar. A neve seca e poeirenta e facil de limpar; forma-se quando a tempe-
ratura esta bem abaixo de zero. O granizo e normalmente neve derretida, mas
pode ser chuva semicongelada formada quando as gotas de chuva evaporam e
esfriam ao cair.”
(http://www.trabalhoescolar.hpg2.ig.com.br/neve.htm)
(f) Adapta o modelo ja construıdo em NetLogo para desenhares outros “Flocos de
Neve” com formas diferentes.
Observacoes:
• Tal como ja foi referido para a questao 3c da Proposta 3, a questao 3c desta
actividade pode ser respondida por alunos mais novos. A idade e a preparacao
dos alunos em causa, pode determinar a escolha do valor do comprimento do
lado do triangulo inicial (1 ou a).
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 209
• A questao 4 sera melhor resolvida por alunos do 12o Ano que ja dominem o
conceito de progressao geometrica e possam determinar o valor da sua soma,
nao necessitando para isso da sugestao dada na alınea 4c. O interessante
desta questao e poder concluir que a Ilha de Koch e uma linha de comprimento
infinito que delimita uma area finita.
• A questao 6c responde-se com muito poucos calculos tendo em conta o trabalho
que ja foi feito antes. E interessante comparar os dois fractais com o mesmo
perımetro.
• A questao 6d permite observar dois fractais diferentes com a mesma dimensao
fractal.
• As questoes 6e e 6f poderao fazer mais sentido no ambito de uma Area de
Projecto.
Sugestoes:
• A Ilha de Koch pode ser desenhada usando a grelha de triangulos equilateros
Anexo 1. Esta pode ser uma tarefa inicial, ou “a grande” tarefa a realizar com
alunos do 1o ou do 2o ciclo.
• Tendo ja utilizado o Logo para resolver a Actividade da Proposta 3, o mesmo
algoritmo e facilmente adaptado para desenhar a Ilha de Koch.
• Em http://www.its.caltech.edu/∼atomic/snowcrystals/ ha informacao diversa
sobre os varios tipos de flocos de neve que se podem formar. Os alunos poderao
escolher um ou dois tipos com estrutura fractal e tentar modela-los o melhor
possıvel. Poderao tambem estudar a dimensao fractal da linha que delimita
cada cristal de gelo.F
210 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 5 (O Triangulo de Sierpinski).
Esta Actividade e, em muito, identica as actividades das Propostas 3 e 4, no que diz
respeito aos conceitos matematicos envolvidos e a forma como sao abordados. Depois
das outras duas trabalhadas na sala de aula, pode ser pedido aos alunos que resolvam
esta actividade em casa.
A segunda parte, dedicada ao Tetraedro de Sierpinski (“Sierpinski no Espaco”) de-
vera ser um projecto de turma em que todos os alunos contribuirao para a construcao
de um modelo “tridimensional”.
Objectivos: Um dos interesses em resolver esta actividade e a actividade sobre
a Ilha de Koch e o de poder observar dois fractais com perımetros infinitos, tendo um
deles area positiva e o outro area nula.
No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:
• Compreender o processo iterativo e explicar a lei de formacao deste fractal;
• Organizar e analisar dados para determinar a expressao geral de uma sucessao;
• Aplicar o conceito de limite;
• Compreender o conceito de auto-semelhanca e saber assinalar copias do fractal
dentro dele mesmo, indicando a razao de semelhanca;
• Calcular a dimensao fractal de fractais com auto-semelhanca exacta.
Actividade:
(1) No NetLogo, abre o modelo fractais geometricos e desenha as primeiras tres ou
quatro iteracoes do Triangulo de Sierpinski (escolhe “Triangulo de Sierpinski”
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 211
no botao de escolha “tipo sierpinski”, carrega em “Iniciar Sierpinski” e de
seguida em “Desenhar” ou em “Desenhar uma iteracao”).
(2) Explica como e a lei de formacao do Triangulo de Sierpinski.
(3) Investiga o que acontece relativamente ao lado de cada triangulo (dos mais
pequenos que compoem a figura), o perımetro total da figura, a area de cada
triangulo e a area total, a medida que aumenta o numero de iteracoes. (Podes
considerar que o comprimento do lado do primeiro triangulo e 1 ou entao a.)
(a) Regista as tuas conclusoes no quadro seguinte:
Lado de cada Perımetro total Area de cada Area total
triangulo da figura triangulo da figura
Iteracao 0
Iteracao 1
Iteracao 2
Iteracao 3
Iteracao n
(Lei de Formacao)
(b) Consegues explicar como e o Triangulo de Sierpinski (o conjunto que se
obtem ao fim de uma quantidade infinita de iteracoes)?
(c) Como evolui e para que valor tende cada uma das sucessoes apresentadas
no quadro de 3a?
(4) Imagina a construcao triangulo de Sierpinski com um numero infinito de
iteracoes.
(a) O Triangulo de Sierpinski e auto-semelhante? Consegues assinalar onde
estao partes da figura que contem o todo, isto e, reducoes da figura com-
pleta? Indica reducoes do todo a varias escalas.
(b) Determina a dimensao fractal do Triangulo de Sierpinski.
212 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
(5) Imagina que o processo de construcao da figura era colorir o triangulo central
e em seguida dividir este em quatro triangulos colorindo o central e assim
sucessivamente.
(a) De que se aproximaria esta sequencia de figuras?
(b) Adapta o modelo ja construıdo em NetLogo para obter a sequencia de
figuras sugeridas em 5.
(c) A figura limite dessa sequencia tratar-se-a de um fractal?
(6) Sierpinski no Espaco
Pensa no processo analogo ao anterior, mas aplicado a um tetraedro. O
processo de construcao esta representado a seguir:
(a) Constroi com os teus colegas varios tetraedros de papel3 iguais. Os tetra-
edros devem ser todos do mesmo tamanho para que seja possıvel junta-los
para construir um modelo deste fractal com um determinado numero de
iteracoes. A turma deve decidir a que iteracao pretende que corresponda
o modelo e determinar previamente o numero de tetraedros necessarios.
3Em [20, pag. 20 e 21] encontram-se instrucoes para a construcao de tetraedros por dobragens.
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 213
Numero de Tetratedos
Iteracao 0
Iteracao 1
Iteracao 2
Iteracao 3
Iteracao n
(Lei de Formacao)
(b) Qual e a forma dos “buracos”?
(c) Explica como e a lei de formacao deste “tetraedro esburacado”.
(d) Segue um raciocınio analogo aos das questoes 3 e 4 sobre o Triangulo de
Sierpinski de forma a conseguires responder:
(i) Qual e o volume deste fractal?
(ii) Qual e a sua area total?
(iii) Qual e a sua dimensao?
(iv) Como e o seu aspecto?
(v) Qual e a sua dimensao fractal?
Observacoes:
• Na questao 2 a lei de formacao pode ser explicada em linguagem corrente, in-
dicando que a cada triangulo presente na figura de uma determinada iteracao,
e retirado o triangulo central cujos vertices sao os pontos medios dos lados -
este tipo de resposta e a mais adequada para alunos mais jovens - ou entao
podem ser indicadas as funcoes que constituem um SFI que defina o Triangulo
de Sierpinski.
• A investigacao sobre a area do Triangulo de Sierpinski na questao 3 quando
trabalhada por alunos que ainda nao sabem, ou tem muitas dificuldades em
214 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
trabalhar com radicais, podera ser levada a cabo a parte, considerando que o
triangulo que constitui a iteracao zero tem area 1.
• Na questao 6c a lei de formacao do tetraedro pode ser apenas explicada em lin-
guagem corrente ou entao explicando quais as funcoes que compoem o sistema
de funcoes iteradas que produzem a figura.
Sugestoes:
• Pode pedir-se aos alunos que desenhem o Triangulo de Sierpinski a mao,
usando a grelha de triangulos equilateros (Anexo 1) ou a grelha triangular
de pontos (Anexo 3) sendo para isso necessario explicar a regra de formacao e
retirar a questao 2.
• Pode usar-se o Logo em vez do NetLogo, sendo para isso necessario adaptar as
questoes e fornecer, ou nao, o algoritmo, consoante as nocoes de programacao
dos alunos.
• Pode pedir-se que a lei de formacao seja explicada pelos alunos indicando quais
as funcoes que compoem um SFI que defina o Triangulo de Sierpinski. Mesmo
que nao indiquem a expressao analıtica de cada uma, podem identifica-las
verbalizando as transformacoes no plano envolvidas. Depois de identificadas
essas transformacoes, a expressao pode ser escrita tendo em conta as indicacoes
do Exemplo 14, na pagina 42.
• Tambem neste caso pode proceder-se a construcao deste fractal atraves de
fotocopias sucessivas usando o esquema do Anexo 9 ou 10 e a imagem do
Anexo 11 como iteracao zero. Qualquer imagem diferente desta pode ser usa,
desde que nao tenha contornos demasiado finos que tendam a desaparecer com
as sucessivas reducoes.F
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 215
Proposta 6 (Relacao entre o Triangulo de Sierpinski e o Triangulo de
Pascal).
Objectivos: O interessante desta actividade e observar como estes dois triangulos
estao tao intimamente relacionados, quando a primeira vista nada os relacionaria ja
que um e um “aglomerado” de numeros e o outro contem no seu interior um padrao
geometrico.
No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:
• Visualizar a relacao entre os dois triangulos, identificando os padroes do triangulo
de Sierpinski no triangulo de Pascal;
• Saber usar os criterios de divisibilidade de um numero por 2, por 3, por 4, por
5 e por 10;
• Saber aplicar a formula do binomio de Newton para determinar o numero
correspondente a cada celula do Triangulo de Pascal;
• Relacionar a simetria do padrao numerico do triangulo de Pascal com as si-
metrias patentes nos padroes geometricos encontrados a partir de um padrao
numerico.
Actividade: Aparentemente nada relaciona o Triangulo de Sierpinski com o Triangulo
de Pascal, a nao ser o facto de serem ambos triangulos. No entanto, como se vera, ha
muito que os una.
(1) Constroi o Triangulo de Pascal com pelo menos 8 ou 16 linhas (podes usar a
grelha de hexagonos do Anexo 5 ou utilizar o Triangulo de Pascal ja construıdo
no Anexo 6) e pinta as casas correspondentes aos numeros ımpares.
(a) Que observas?
(b) Consegues encontrar uma regra que indique que celulas de uma linha
devem ser pintadas, em funcao das celulas pintadas na linha anterior?
216 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
(c) A partir da regra determinada na alınea anterior, continua a pintar o
Triangulo de Sierpinski no Triangulo de Pascal, ate a 32a linha.
(2) Sera que outros padroes numericos geram tambem padroes geometricos fractais
no triangulo de Pascal?
(a) Investiga. Escolhe um padrao numerico e, noutro Triangulo de Pascal
em branco, pinta as celulas correspondentes aos numeros do padrao esco-
lhido. (Algumas sugestoes sao: Os numeros que sao divisıveis por tres; os
numeros que sao divisıveis por quatro, os numeros que sao divisıveis por
cinco...)
(b) Se o padrao geometrico que encontraste a partir do padrao numerico for-
mar uma estrutura fractal, tenta encontrar a regra de formacao desse
fractal e desenhar as primeiras iteracoes.
Observacoes:
• Esta actividade sera realizada na sua plenitude, isto e, tocando num maior
numero de conteudos programaticos, se for realizada por alunos do 12o ano.
Sera uma oportunidade para aplicarem os seus conhecimentos sobre o binomio
de Newton, podendo ate aplicar a formula de calculo do numero que constitui
uma determinada celula, o que pode ser util para dar continuidade a um padrao
geometrico pintado no triangulo.
• Com alunos mais pequenos, nomeadamente os do 7o ano, esta podera ser uma
actividade de investigacao onde poderao aplicar os seus conhecimentos sobre
os criterios de divisibilidade de numeros por determinados divisores.
Sugestoes:
• Esta actividade, explorada a fundo, podera necessitar de bastante tempo e
eventualmente ser mais adequada para se realizar no ambito de uma Area
de Projecto. Em http://www.its.caltech.edu/∼mamikon/PasFastC.html esta
disponıvel um applet que pinta no Triangulo de Pascal, os padroes geometricos
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 217
correspondentes aos divisores de um inteiro escolhido, ate 60 linhas. Se se pre-
tender fazer uma investigacao mais completa, este applet facilita-a, tornando-a
mais rapida. E muito interessante ver os padroes que emergem na imagem!F
218 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 7 (Arvores). 4
Objectivos: Um dos aspectos importantes desta actividade e a possibilidade de pro-
porcionar aos alunos uma visao de como os sistemas de funcoes iteradas, mesmo os
bastante simples, podem simular formas naturais bastante elaboradas.
No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:
• Compreender o processo iterativo e explicar a lei de formacao destes fractais;
• Organizar e analisar dados para determinar a expressao geral de uma sucessao;
• Aplicar o conceito de limite;
• Compreender o conceito de auto-semelhanca e saber assinalar copias do fractal
dentro dele mesmo, indicando a razao de semelhanca;
• Compreender que estruturas ramificadas poderao ser modeladas, com alguma
facilidade, por SFI.
Actividade:
(1) No NetLogo, abre o modelo fractais geometricos e desenha as primeiras tres ou
quatro iteracoes da arvore (carrega em “Arvore” e de seguida em “Desenhar”
ou em “Desenhar uma iteracao”).
(a) Explica como e a lei de formacao desta arvore.
(b) Investiga o que acontece relativamente ao numero de ramos que compoem
cada iteracao, a medida que avancamos no numero de iteracoes.
(i) Regista as tuas conclusoes no quadro seguinte:
4Adaptado de: “Fractais no Ensino Secundario” - Ana Paula Canavarro e Outros, APM
http://math.rice.edu/ lanius/images/triangle.gif
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 219
Numero de ramos Numero total
terminais de ramos
Iteracao 0
Iteracao 1
Iteracao 2
Iteracao 3
Iteracao n
(Lei de Formacao)
(ii) Para que valor tende cada uma das sucessoes apresentadas no qua-
dro de 1(b)i?
(2) Observa as seguintes sucessoes de imagens contendo as tres primeiras iteracoes
para a construcao de uma arvore.
Iteracao 0 - um segmento de recta de medida 1.
Iteracao 1 - para a obter, divide-se o segmento inicial em tres partes iguais,
e no ponto de uniao entre cada uma dessas partes acrescenta-se um novo
segmento com 1/3 do comprimento do segmento inicial, de modo a formarem
com este um angulo de 60o. O segmento mais acima acrescenta-se a esquerda
do segmento inicial e o segmento mais abaixo acrescenta-se a direita.
220 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Iteracao 2 - para a obter segue-se o mesmo processo que na geracao an-
terior, aplicando-o a cada um dos cinco segmentos que compoem a figura
anterior.
(a) Adapta o modelo em NetLogo para desenhar esta arvore.
(b) Investiga o que acontece relativamente ao numero de segmentos que for-
mam a arvore, a medida que avancamos no numero de geracoes.
(i) Regista as tuas conclusoes no quadro seguinte:
Numero de segmentos novos Numero total de segmentos
Iteracao 0
Iteracao 1
Iteracao 2
Iteracao 3
(ii) Es capaz de encontrar uma formula que te permita determinar o
numero de segmentos que compoem a n-esima iteracao?
(iii) Como evolui esta sucessao?
(c) Faz agora um estudo semelhante relativamente ao comprimento de cada
segmento novo que constitui a figura em cada iteracao.
(i) Regista as tuas conclusoes no quadro seguinte:
Comprimento de cada segmento novo
Iteracao 0
Iteracao 1
Iteracao 2
Iteracao 3
(ii) Es capaz de encontrar uma formula que te permita determinar o
comprimento de cada um dos segmentos que compoem a n-esima
iteracao?
(iii) Como evolui esta sequencia?
(d) Estuda agora o comprimento total da arvore:
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 221
(i) Regista as tuas conclusoes no quadro seguinte:
Comprimento total da arvore
Iteracao 0
Iteracao 1
Iteracao 2
Iteracao 3
(ii) Es capaz de encontrar uma formula que te permita determinar o
comprimento total da n-esima iteracao?
(iii) Como evolui esta sucessao?
(iv) Consegues dizer qual seria o comprimento total da arvore completa
(i. e., depois de repetirmos o processo um numero infinito de vezes)?
(3) Imagina a construcao da arvore ate ao infinito. Consegues assinalar onde estao
partes da figura que contem o todo, isto e, reducoes da figura completa? Tenta
encontrar “o todo” em escalas diferentes em cada figura.
(4) Aproveita para descansar e, ao passear no campo, procura recolher pedacos de
plantas que te parecam desenvolver-se segundo uma forma fractal. Consegues
explicar para cada uma delas a sua lei de formacao (aproximada)?
(5) Consegues identificar outro tipo de “coisas” que tenham uma estrutura rami-
ficada?
Observacoes:
• A ideia da questao 5 e levar os alunos a perceber que os modelos de arvores aqui
estudados, ou outros similares, podem servir para modelar outras estruturas.
222 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
As arvores, o nosso sistema vascular, os rios, a internet, as estruturas gover-
namentais e a organizacao hierarquica de uma sociedade, as lınguas quando
evoluem, as varias variantes das religioes, tudo isto tem em comum uma estru-
tura que ramifica. Importa despertar nos alunos a nocao de que a matematica
e, em particular a geometria fractal, pode servir para modelar fenomenos e
objectos de diversas areas do conhecimento.
• A realizacao desta actividade pode ser mais uma oportunidade para contrapor
a geometria fractal a geometria euclidiana.
Sugestoes:
• As primeiras iteracoes das arvores tambem podem ser desenhadas na grelha
do Anexo 3.
• O software Logo tambem permite desenhar arvores fractais com alguma faci-
lidade.
• Ha aspectos da linguagem relativa a construcao das arvores que podem ser
trabalhados e generalizados. O professor pode pedir aos alunos que decidam
que nomes dar a cada parte da estrutura. Primeiro em grupos e depois optar
por uma linguagem comum para toda a turma. Sao esperados termos como
“ramo” e “no”.
• Na internet ha alguns applets que o professor pode utilizar para dinamizar
a aula, mostrando aos alunos como este tipo de processo iterativo pode criar
imagens com aspecto muito natural. Em
http://library.thinkquest.org/26242/full/progs/trees.html esta um applet que
cria arvores fractais aleatoriamente e em
http://arcytech.org/java/fractals/lsystems.shtml esta um applet que tambem
desenha arbustos a cores.
• Em http://www.math.fau.edu/MLogan/Pattern Exploration
/Pythagorean Trees/PTdirections.html esta um applet para desenhar arvores
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 223
pitagoricas, isto e, fractais resultantes de um SFI, criados a partir da repre-
sentacao geometrica do Teorema de Pitagoras.F
224 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 8 (Sistemas de Funcoes Iteradas).
Objectivos: No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:
• Compreender o conceito de ponto fixo de uma funcao;
• Compreender o conceito de SFI;
• Aplicar o conceito de limite;
• Compreender que o fractal definido por um SFI nao depende do conjunto ini-
cial.
Actividade: Vamos usar o Triangulo de Sierpinski como base para esta actividade
que introduz o conceito de Sistema de Funcoes Iteradas.
As primeiras iteradas da construcao do Triangulo de Sierpinski sao:
Pode dizer-se que a lei de formacao do Triangulo de Sierpinski e: “Inicia-se o
processo com um triangulo equilatero, marcam-se os pontos medios dos seus lados,
retira-se o triangulo cujos vertices coincidem com esses pontos e, de seguida, efectua-
se recursivamente o mesmo a todos triangulos que se mantiverem na figura.” Porem, se
se quiser representar este processo de uma forma matematica, ha que ter mais cuidado.
Uma das maneiras de o conseguir e pensar nas funcoes que transformam o triangulo
inicial, em cada um dos tres triangulos que constituem a primeira iteracao. Para isso,
coloca-se o triangulo inicial, de forma adequada, num referencial cartesiano.
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 225
(1) Observa as imagens e explica, por palavras tuas, que transformacoes sao apli-
cadas ao triangulo inicial para se obter cada um dos triangulos que compoem
a primeira iteracao.
Funcao f1
Funcao f2
Funcao f3
(2) Que se obtem se se aplicar a funcao f1 ao triangulo T1?
(3) O que acontece se se aplicar recursivamente f1, uma quantidade infinita de
vezes?
(4) Quando se aplica uma reducao, de forma iterada, a um objecto, uma quanti-
dade infinita de vezes, a sucessao dos objectos obtidos em cada iteracao tende
para um ponto. Que ponto e esse no caso da aplicacao f1?
226 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
(5) O ponto determinado na questao anterior chama-se ponto fixo de f1. E o unico
ponto do plano cuja imagem por f1 e igual a si proprio. E e para esse ponto
que tende a sucessao das iteradas sucessivas, de um objecto qualquer do plano,
por f1.
Consegues identificar o ponto fixo de f2? E o de f3?
(6) Ao iterar sucessivamente uma reducao, uma quantidade infinita de vezes, no
“final” obtem-se sempre um ponto. O interessante comeca quando se itera
um conjunto de aplicacoes em simultaneo. Na figura que se segue esta o
triangulo inicial (iteracao 0) e o resultado da aplicacao das funcoes f1, f2 e f3
a esse triangulo (iteracao 1). Desenha no terceiro referencial o que se obtem
se aplicarmos f1, f2 e f3 a primeira iteracao do Triangulo de Sierpinski.
Iteracao 0 Iteracao 1
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 227
Que obtiveste?
(7) Que se obtem se aplicarmos f1, f2 e f3 ao objecto correspondente a segunda
iteracao do Triangulo de Sierpinski?
(8) Ao conjunto das tres funcoes f1, f2 e f3 com o espaco em que estao definidas
(R2, neste caso) chama-se Sistema de Funcoes Iteradas (SFI) e e representado
por {R2; f1, f2, f3}. O Triangulo de Sierpinski e o objecto que se obtem apos
a aplicacao do SFI um numero infinito de vezes.
Que acontece se aplicarmos este SFI a um quadrado, em vez de ser a um
triangulo? (Utiliza uma fotocopiadora para obteres as iteracoes sucessivas e
os Anexos 9 ou 10 e 11 para colocares as copias na posicao correcta.)
(9) Que concluis?
Observacoes:
• Considera-se que, ao iniciar esta actividade, os alunos ja conhecem o Triangulo
de Sierpinski, a sua lei de formacao e algumas das suas propriedades (ver
Proposta 5).
• Nesta actividade, palavras como “iterada”, “recursivamente”, ... deverao pas-
sar a ser familiares para os alunos.
• Na questao 1 espera-se que os alunos identifiquem reducoes e translacoes, in-
dicando o vector associado.
Sugestoes:
• E muito provavel que a questao 5 seja difıcil para os alunos conseguirem res-
ponder a primeira. Sera necessario realizar algumas experiencias para perce-
berem bem o processo de iteracao das funcoes f2 e f3. Como, para alem da
reducao, estas aplicacoes contem uma translacao, a visualizacao do resultado
dos seus processos iterativos nao e tao imediata como para a funcao f1. A
utilizacao de uma quadro interactivo na sala de aula, caso seja possıvel, po-
dera ser uma forma muito pratica de realizar varias experiencias rapidamente
para levar os alunos a uma conclusao. Ou entao, usar o applet disponıvel em
228 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
http://classes.yale.edu/fractals/Software/detifs.html, devendo o professor co-
locar os parametros relativos as matrizes que definem as tres funcoes do SFI.
Ainda em alternativa, pode utilizar-se o software IFS Construction Kit (dis-
ponıvel gratuitamente em http://ecademy.agnesscott.edu/∼lriddle/ifskit/index.htm).F
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 229
Proposta 9 (Alterando o SFI que define o Triangulo de Sierpinski). 5
Objectivos: No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:
• Compreender e identificar transformacoes afins (reducao, simetria relativa-
mente a um eixo; rotacao e translacao) aplicadas a um conjunto do plano.
• Compreender o conceito de SFI;
• Definir um SFI atraves dos parametros associados a cada transformacao;
• Identificar as varias componentes (reducoes) de um fractal auto-semelhante;
• Aplicar o conceito de limite;
• Compreender que o fractal definido por um SFI nao depende do conjunto ini-
cial.
As Transformacoes Afins no Plano (breve revisao)
Na actividade da Proposta 8 foram identificadas as transformacoes que compoem
as funcoes f1, f2 e f3 que, por sua vez, compoem um sistema de funcoes iteradas que
define o Triangulo de Sierpinski. Nessas funcoes intervem reducoes e translacoes. No
entanto, para desenhar fractais um pouco mais elaborados e necessario entender as
transformacoes afins no plano.
Uma transformacao afim e composta por pelo menos uma das seguintes aplicacoes:
Reescalamento, Simetria, Rotacao e Translacao. Como um SFI tem que ser cons-
tituıdo apenas por contraccoes, no grupo dos reescalamentos ficam postas de parte as
ampliacoes e a funcao identidade.
5Adaptado de http://classes.yale.edu/fractals/IntroToFrac/TransfGeom/TransfGeom.html
230 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
O Reescalamento:
No caso dos reescalamentos ha a ter em conta aqueles cujo factor de reducao segundo
os dois eixos e igual (obtem-se uma reducao - uma figura semelhante a inicial) e aque-
les em que o reescalamento segundo o eixo das abcissas e diferente do reescalamento
segundo o eixo das ordenadas.
Uma contraccao sera sempre um reescalamento (com factores de reducao segundo
cada eixo que podem ser iguais ou diferentes) composta, ou nao, com pelo menos uma
das outras aplicacoes mencionadas (simetria, rotacao e translacao).
A Simetria:
Uma simetria segundo a origem e equivalente a composicao de duas simetrias, cada
uma segundo cada um dos eixos coordenados. Tambem equivale a uma rotacao de 180o
em torno da origem.
Se num reescalamento pelo menos um dos factores de reducao for negativo, obtem-
se o equivalente a um reescalamento com factor de reducao positivo composto com uma
simetria.
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 231
A Rotacao:
A rotacao de uma imagem em torno da origem do referencial corresponde a uma rotacao
igual das linhas horizontais e das linhas verticais. Quando o angulo de rotacao das li-
nhas horizontais, e diferente do angulo de rotacao das linhas verticais, obtem-se uma
distorcao da imagem original.
A Translacao:
232 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Vais agora verificar que alteracoes provoca no fractal a introducao de transformacoes
destas no SFI. Como a ordem em que as transformacoes sao aplicadas pode ter in-
fluencia no resultado, adopta-se a seguinte ordem:
1o - reescalamentos,
2o - simetrias,
3o - rotacoes,
4o - translacoes.
Apresentacao do Software a utilizar:
Utilizaremos o programa IFS Construction Kit.6 De seguida apresentam-se algumas
accoes que deves executar antes de utilizar este programa para a resolucao desta acti-
vidade.
• Abre o programa e no menu Code escolhe a opcao Scale/Rotation Form (isso
permitir-te-a definir cada uma das aplicacoes do SFI introduzindo os valores
dos parametros relativos as transformacoes que as compoem).
• Na janela principal aparece uma tabela onde serao colocados esses valores.
Scale - x: Corresponde ao valor de reducao r.
Scale - y: Corresponde ao valor de reducao s.
Rotation - x: Corresponde ao valor de rotacao θ.
Rotation - y: Corresponde ao valor de rotacao ϕ.
Translation - e: Corresponde ao valor de translacao e.
Translation - f: Corresponde ao valor de translacao f.
Probability: corresponde a probabilidade com que ocorre cada uma das
aplicacoes e nao tem interesse para os fractais que se pretende desenhar agora.
No menu Code selecciona Equal Probabilities e os valores desta coluna devem
ficar todos iguais.
• No menu Draw, selecciona Deterministic.
6Disponıvel gratuitamente em http://ecademy.agnesscott.edu/∼lriddle/ifskit/index.htm
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 233
• O programa funciona em tres janelas distintas:
Janela IFS (F2) - a janela onde estao os parametros que definem cada aplicacao;
Janela Fractal (F3) - a janela onde aparecem as representacoes de cada ite-
rada;
Janela Design (F4) - a janela onde aparece o “esquema” do SFI atraves da
representacao da primeira iterada, aplicada ao objecto inicial escolhido.
Podes aceder a todas elas tambem atraves do menu Window. Neste mesmo
menu tens ainda a opcao Maximize que maximiza o tamanho de qualquer uma
das janelas que estiver seleccionada.
• No menu Design selecciona Use Initial Polygon - Oriented Box. Isso permitir-
te-a visualizar melhor as transformacoes de que e composta cada uma das
funcoes do SFI. Estas a indicar ao programa que o objecto inicial ao qual
sera aplicado o SFI e um quadrado com um L no seu interior, o que permite
perceber se lhe sao aplicadas rotacoes ou simetrias. Se se utilizar um quadrado
simples, o fractal obtido sera o mesmo (porque?), mas na janela Design essas
transformacoes nao serao perceptıveis (porque?).
Actividade:
234 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
(1) Observa a figura dada acima onde estao representadas algumas das iteradas
de um SFI.
(a) Quantas sao as contraccoes que compoem o SFI? Identifica as suas repre-
sentacoes graficas na imagem.
(b) Quais sao as transformacoes no plano de que e composta cada uma das
aplicacoes do SFI?
(c) Na janela IFS do programa, introduz os parametros relativos a cada uma
das aplicacoes que indicaste nas alıneas anteriores.
(d) Selecciona a operacao Draw no menu Draw (ou clica CTRL+D) varias
vezes seguidas para obteres as varias iteradas. Compara com a figura e
comprova se os valores dos parametros que introduziste estao correctos.
Caso seja necessario procede a correccoes.
(2) Verifica agora o que acontece se forem introduzidas alteracoes nas funcoes
do SFI. Na figura que se segue, a esquerda esta a iteracao 0 e a direita esta
representada a primeira iterada de um SFI.
(a) Descobre as funcoes que constituem o SFI.
(b) Define este SFI no programa, introduzindo os valores dos diversos parametros
para cada funcao.
(c) Executa o comando Draw varias vezes seguidas para obteres uma apro-
ximacao do fractal.
(d) Repara na diferenca entre este fractal e o anterior. Consegues identificar
neste fractal as varias copias de si mesmo nele contidas? Identifica copias
a varias escalas e repara nas transformacoes associadas.
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 235
(3) Repete o raciocınio anterior para cada um dos SFI cujas iteracao 0 e iteracao
1 estao representadas em cada alınea:
(a)
(b)
(c)
(4) E agora ao contrario: a partir da imagem de um fractal dado, descobre as
contraccoes (de maior factor de reducao) de si mesmo que o compoem e indica
as transformacoes de que e composta cada uma delas. De seguida, introduz
os parametros correspondentes para confirmar a tua resposta. (Sugestao: Se
tiveres dificuldade em visualizar as transformacoes, recorta as imagens a direita
de cada fractal, onde estao uma copia reduzida, uma simetria segundo o eixo
vertical e outra segundo o eixo horizontal.)
236 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
(a)
(b)
(c)
(d)
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 237
(e)
(f)
(g)
(h)
238 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Observacoes:
• Dada a complexidade desta actividade e tendo em conta que nem sempre e facil
identificar as varias componentes de um fractal e as respectivas aplicacoes as-
sociadas, aconselha-se que seja realizada pelos alunos utilizando a metodologia
de trabalho de grupo.
• Em alguns dos SFI, algumas das funcoes poderao ser definidas de varios modos
diferentes; por exemplo, uma rotacao de 180o equivale a uma simetria em
relacao a origem. O professor deve aproveitar esta actividade para relembrar
isso aos alunos ao comparar a forma como cada grupo definiu os SFI’s.
Sugestoes:
• Em vez do software recomendado pode utilizar-se o applet disponıvel em
http://classes.yale.edu/fractals/Software/detifs.html onde os parametros sao
introduzidos da mesma forma.
• Ha outro applet - Relatives of Sierpinski - disponıvel em http://www.math.fau.edu/
MLogan/Pattern Exploration/Relatives of Sierp Prec/RSprecisionDirections.html
que, para os alunos mais jovens talvez seja mais indicado, na medida em que
nao precisam de introduzir valores; basta escolherem a transformacao preten-
dida entre um conjunto de opcoes disponıveis: Rotacoes de 0o, 90o, 180o e 270o
e simetrias relativamente a cada um dos eixos coordenados, ou a bissectriz dos
quadrantes pares, ou dos quadrantes ımpares. As translacoes (segundo os vec-
tores (0; 0), (0, 5; 0) e (0; 0, 5)) e as reducoes (de factor de reducao 0.5) estao
implıcitas. Esta aplicacao nao permite a visualizacao de cada uma das itera-
das pois apresenta logo a imagem de uma aproximacao do fractal. No caso de
se optar por este applet, as questoes 3b e 3c terao que ser reformuladas, visto
que as rotacoes de 45o nao estao previstas. Este applet permite ainda ao aluno
jogar um jogo7 com o computador que equivale a questao 4, isto e, dado um
7Em http://www.math.fau.edu/MLogan/Pattern Exploration/Relatives of Sierp Game/RSgameDirections.html
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 239
fractal, o aluno tem que descobrir quais sao as transformacoes que compoem
cada uma das contraccoes de um IFS que defina esse fractal.
• Por fim, ha sempre tambem a possibilidade de recorrer a uma fotocopia-
dora e aos Anexos 10 e 11 para a elaboracao dos fractais. Com alguma
paciencia tambem se pode usar um software de desenho que permita reducoes
e rotacoes.F
240 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 10 (Determinacao do SFI).
Objectivos: No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:
• Compreender o conceito de SFI;
• Definir uma funcao afim no plano atraves das coordenadas de tres pontos do
fractal e das suas respectivas imagens.
Actividade:
Os Sistemas de funcoes iteradas que construıste nas Propostas anteriores sao com-
postos apenas por semelhancas. Os resultados sao fractais com um aspecto quase
sempre “muito geometrico”. Talvez o da questao 3c da Proposta 9 seja o que tem uma
forma mais parecida com um objecto da natureza. Porem, e possıvel utilizar sistemas
de funcoes iteradas para tentar reproduzir objectos naturais com a geometria fractal.
E o caso da folha de um feto representada na Figura 4.1. Veras agora como podes
obter matematicamente um objecto deste tipo.
Pode considerar-se que a folha completa e a reuniao de tres contraccoes de si propria:
a sua “sub-folha” inferior esquerda, a sua “sub-folha” inferior direita e o restante (ver
imagem 4.2).
Repara que as imagens das contraccoes nao sao exactamente semelhantes a folha
inicial; ha pequenas distorcoes. Repara tambem que o pe da folha nao fica incluıdo em
nenhuma dessas tres imagens da folha; por isso nao ira aparecer no fractal que resultar
do SFI constituıdo por essas tres aplicacoes. Veremos mais a frente como o conseguir.
As funcoes que se pretende determinar sao funcoes afins que aplicam pontos (x, y)
do plano em pontos (x1, y1) do plano e cujas expressoes sao do tipo:ax+ by + e = x1
cx+ dy + f = y1
.
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 241
Figura 4.1. Esta folha foi, na verdade, desenhada por computador a partir
de um SFI; mas parece bem verdadeira!
Como ha seis parametros (a, b, c, d, e e f) para serem encontrados, e necessario
um sistema de seis equacoes, bastando para tal, tres correspondencias (x, y)→ (x1, y1).
Entao, para cada funcao do SFI, basta marcar tres pontos no fractal (folha) e as suas
242 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Figura 4.2. A folha e a reuniao de tres contraccoes de si mesma.
respectivas imagens na imagem da folha obtida pela contraccao que se pretende definir.
Estao ja marcados esses pontos na Figura 4.1: A; B e C na folha inicial, A1; B1 e C1
como respectivas imagens na sub-folha esquerda, A2; B2 e C2 como respectivas imagens
na sub-folha direita, e A3; B3 e C3 como respectivas imagens na parte restante da folha.
(1) Coloca a imagem do feto num referencial adequado.
(2) Determina as coordenadas dos pontosA, B, C, A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3
e C3.
(3) Determina a expressao da aplicacao afim:
(a) f1 que aplica os pontos A, B e C nos pontos A1, B1 e C1 respectivamente.
(b) f2 que aplica os pontos A, B e C nos pontos A2, B2 e C2 respectivamente.
(c) f3 que aplica os pontos A, B e C nos pontos A3, B3 e C3 respectivamente.
(4) Indica que tipo de transformacoes no plano estao associadas a cada umas das
aplicacoes f1, f2 e f3.
(5) Abre o programa IFS Construction Kit (ja apresentado na Proposta 9), indica
3 como o Number of Functions no cimo da janela IFS e introduz os coeficientes
determinados nas questoes 3a, 3b e 3c.
No menu Code selecciona Equal Probabilities.
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 243
No menu Draw selecciona a opcao Deterministic e depois, no mesmo menu,
selecciona a opcao Draw varias vezes consecutivas (ou carrega em CTRL+D)
para observares as varias iteracoes obtidas com este SFI.
Compara o que obtiveste aqui com a figura original.
(6) Na janela Design efectua alteracoes as transformacoes, usando apenas o rato ou
utilizando as opcoes disponıveis o menu Design (Scale, Rotate, Stretch/Shear,
Horizontal Reflection, Vertical Reflection) e observa a consequencia dessas
alteracoes no fractal produzido.
(7) Para obter o pe do feto, pode considerar-se que ele e uma contraccao da folha
inteira em que o factor de reducao segundo o eixo das abcissas e muito proximo
de zero. Experimenta obter uma aproximacao da folha inicial com o respectivo
pe, acrescentando uma quarta aplicacao que se ajuste ao modelo.
Observacoes:
• Uma das dificuldades desta actividade, para alguns alunos, vai ser a deter-
minacao das coordenadas dos pontos. Pode ser uma oportunidade para lhes
mostrar que a Matematica, quando aplicada a realidade, normalmente nao
produz resultados inteiros ou na forma de fraccoes “bonitas”.
• Outra dificuldade sera a resolucao de sistemas de seis equacoes a seis incognitas.
Poder-se-a “saltar” esse obstaculo utilizando software indicado nas sugestoes
que se seguem.
Sugestoes:
• Para que o trabalho de calculo nao seja tao fastidioso, pode dividir-se a turma
em tres grupos, ficando a cargo de cada um deles uma das alıneas da questao
3.
• Pode usar-se a grelha quadriculada do Anexo 2 para fotocopiar em acetato e
usar como referencial que, alias, deve ser colocado da mesma forma por todos
os alunos se se optar pela sugestao anterior.
244 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
• No caso de nao se pretender que os alunos resolvam o sistema para determi-
nar as coordenadas dos pontos, podem usar o applet “Affine” (disponıvel em
http://classes.yale.edu/fractals/Software/affine/affine.html) que, a partir da
introducao das coordenadas de tres pontos nao colineares e das coordenadas
das suas respectivas imagens, debita os coeficientes das reducoes, rotacoes e
de translacoes a serem aplicadas ao objecto inicial para obter a imagem pre-
tendida. Os coeficientes obtidos podem ser introduzidos no “IFS Construction
Kit” desde que no menu Code se escolha a opcao Scale/Rotation Form.
• Em alternativa ao software “IFS Construction Kit”, pode usar-se o applet
“Deterministic IFS” 8.
• No programa IFS Construction Kit pode ainda proceder-se da seguinte forma:
- carregar uma imagem digital da folha para o fundo da janela Design (esco-
lhendo Load Picture no meu Design);
- desenhar um quadrilatero cujos lados sejam tangentes a folha (menu Design
- Draw Initial Polygon);
-ajustar com o rato, os quadrilateros imagens desse polıgono, de forma a que
cada um cubra, de forma identica, as duas sub-folhas inferiores e o restante da
folha. (Esta funcionalidade pode nao ser muito facil de usar e podera ser con-
veniente fazer alguns ajustes na tabela de valores dos parametros.) Atencao:
nao esquecer a simetria na sub-folha direita.
• Se a imagem digital for do formato GIF com transparencia e, antes de comecar
a iterar, seleccionar no menu Draw, Add Picture - From File e escolher o
ficheiro respectivo, o objecto inicial do processo de iteracao passara a ser a
propria folha que se pretende representar. Se se seleccionar, no meu Draw,
Colors - Use Image Colors, a semelhanca entre a folha e a aproximacao de
fractal obtida sera ainda maior.F
8Disponıvel em http://classes.yale.edu/fractals/Software/detifs.html
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 245
Proposta 11 (Teorema da Colagem).
Objectivos: No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:
• Aplicar o Teorema da Colagem para modelar formas fractais com o auxılio de
software adequado.
Actividade: O Teorema da Colagem diz o seguinte:
Dado um objecto geometrico, se conseguirmos uma “colagem” de contraccoes desse objecto
cuja forma seja muito identica a forma do objecto, entao o fractal definido pelo SFI cons-
tituıdo por essas contraccoes tambem vai ser parecido com o objecto dado. Esta parecenca
sera tanto maior quanto a aproximacao da colagem ao objecto dado.
A aplicacao pratica deste Teorema faz-se como se exemplifica a seguir.
Para encontrar um SFI que defina uma imagem semelhante a folha a esquerda na Fi-
gura 4.3 procura-se uma “colagem” com varias contraccoes dessa folha que se aproxime
o maximo possıvel da folha inicial. Na mesma figura, a direita, mostra-se uma cola-
gem possıvel, constituıda por seis contraccoes da folha inicial. Cada contraccao e uma
funcao afim - pode ser composta por reescalamentos, simetrias, rotacoes e translacoes.
Os reescalamentos e as rotacoes podem ser diferentes segundo cada um dos eixos.
Determinam-se os coeficientes de cada uma das aplicacoes, que neste caso sao os
seguintes:
Contraccao r1 r2 θ1 θ2 e f
w1 0,436 0,595 -8,5 -8,5 0,18 0,55
w2 0,338 0,573 42,9 42,9 0,37 0,42
w3 0,423 0,665 -37 -37 0,22 0,53
w4 0,469 0,672 66,2 66,2 0,62 0,16
w5 0,408 0,804 -42 -42 0,15 0,21
w6 0,713 0,675 2,5 2,5 0,12 0
246 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Figura 4.3. A esquerda, a folha que se pretende representar atraves de um
fractal definido por um SFI e a direita, a reuniao de seis imagens dessa folha
atraves de seis contraccoes diferentes juntamente com o contorno da folha
original.
De seguida introduziram-se os coeficientes de cada uma das aplicacoes num software
para representacao grafica de SFI’s. Ao fim de seis iteradas obteve-se a imagem da
Figura 4.4 que revela alguma semelhanca com a folha que se pretendia representar.
Figura 4.4. Comparacao da forma original com a forma obtida ao fim de
seis iteracoes atraves de um SFI constituıdo por seis contraccoes.
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 247
Repete agora tu este processo.
(1) Encontra uma folha (ou outro objecto) que te pareca ter uma forma fractal.
(2) Produz uma imagem digital da folha, utilizando um scanner e software ade-
quado.
(3) A partir desta imagem, produz outra que consista na folha toda a branco e o
fundo a preto.
(4) Converte uma copia da imagem para o modo de escala de cinzentos (ou para
menos de 256 cores), formato bmp, com um tamanho que se aproxime dos
600x600 pixels (sem deformar a imagem).
(5) Abre o programa IFS Lab9 e no menu Outline selecciona Load Outline e escolhe
a imagem que gravaste no passo anterior. (Se for necessario fazer alguns ajustes
na imagem, existem as ferramentas lapis e borracha na regua de ferramentas
ou no mesmo menu.)
(6) Novamente no menu Outline clica em Edit Collage. Isso fara aparecer uma
reducao da imagem inicial, dentro de uma caixa rectangular cujos vertices
estao denominados por O, X, Y e Z.
(7) Cada um dos vertices tem uma funcao:
O - colocando o cursor aqui com o botao do rato premido permite mover a
imagem. O mesmo tambem se pode fazer com o cursor situado em qualquer
outra parte do ecran.
X - colocando o cursor aqui com o botao do rato premido permite reescalar
e rodar as linhas horizontais da caixa rectangular. Passando X para o outro
lado de O, consegue-se uma simetria segundo o eixo OY.
Y - colocando o cursor aqui com o botao do rato premido permite reescalar e
rodar as linhas verticais da caixa rectangular. Passando Y para o outro lado
de O, consegue-se uma simetria segundo o eixo OX.
9Disponıvel em http://www.nzeldes.com/Fractals/Fractals core.htm.
248 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Z - colocando o cursor aqui com o botao do rato premido permite reduzir ou
ampliar a imagem de forma proporcional nas duas dimensoes e roda-la em
torno de O.
Utiliza estes comandos para obteres uma contraccao da imagem inicial.
Coloca a reducao e coloca-a por cima da imagem inicial onde as duas formas
se assemelhem.
(8) No menu Collage, clica em Add Piece para criar uma nova reducao da imagem
inicial.
(9) Repete os passos 7 e 8 as vezes necessarias ate obteres um conjunto de imagens
da folha inicial que a cubram da forma o mais aproximada possıvel (deixando
o mınimo de partes por cobrir e ultrapassando o mınimo possıvel as suas
fronteiras).
No menu Collage ha ainda as ferramentas:
Duplicate Piece - permite duplicar automaticamente uma das contraccoes.
Select Next Piece - permite percorrer as varias contraccoes existentes para
proceder a ajustamentos.
Delete Piece - apaga a contraccao seleccionada no momento.
(10) No menu File, executa Save para guardar o SFI que construıste.
(11) No menu Attractor, selecciona uma das opcoes Preview e deixa passar algum
tempo ate a imagem estar suficientemente preenchida. Para parar, executa
Stop no menu Attractor.
(12) Para regressar ao SFI de forma a proceder a alteracoes escolhe Return to
Collage no menu Attractor.
Observacoes:
• A resolucao desta actividade pressupoe que os alunos possuam alguma destreza
no manuseamento e processamento de imagens digitais.
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 249
Sugestoes:
• Se os alunos nao possuirem a destreza necessaria no manuseamento e proces-
samento de imagens digitais, esta actividade podera ser um bom mote para
um trabalho interdisciplinar entre a Matematica e a Informatica. A recolha de
folhas de varias especies podera tambem originar uma pequena investigacao no
ambito da disciplina de Biologia, onde as caracterısticas das diversas especies
de plantas/arvores poderao ser abordadas.
• O software IFS Lab nao permite obter boas impressoes dos resultados obti-
dos. Uma forma de o conseguir e atraves de um Print Screen editado noutro
programa de tratamento de imagem.
• Outra possibilidade de ferramenta para trabalhar o Teorema da Colagem e
o programa IFS Construction Kit. Nao efectua as reducoes imediatamente a
partir de uma imagem dada, mas pode fazer-se o seguinte:
– No menu Design, escolher Load Picture e seleccionar a imagem digital da
folha. Tem que estar em formato bmp, gif ou jpg. Mas o ideal, para outro
passo mais adiante e que esteja em formato gif com o fundo transparente.
– No menu Design, escolher Draw Initial Polygon e, com o rato contornar
a folha da forma o mais exacta possıvel.
– Na janela IFS colocar o numero de contraccoes que forem necessarias para
cobrir a folha e construir uma “colagem” adequada, com a ajuda do rato
na janela Design. Para conseguir as rotacoes, o melhor sera colocar os
devidos valores na janela IFS devendo, para isso clicar em Scale/Rotation
Form no menu Code.
– Depois da “colagem” terminada, seleccionar no menu Draw a opcao De-
terministic, de seguida a opcao Add Picture - From File escolhendo a
imagem inicial da folha (em formato gif com o fundo transparente) e
ainda a opcao Scale to Design Window.
250 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
– De seguida proceder a iteracao do IFS clicando sucessivas vezes CTRL+D
(Draw -Draw).
– No menu File, ha as opcoes Save Fractal Picture para guardar a imagem
do resultado das iteracoes efectuadas, Save Design Picture para guardar
a imagem da “colagem”, Save Initial Polygon para guardar o polıgono
que foi desenhado como contorno da folha e ainda Save Current IFS para
guardar todos os parametros deste SFI de modo a poder utiliza-lo mais
tarde, se assim se pretender.
• Os parametros obtidos no IFS Construction Kit podem ser copiados para o
applet Deterministic IFS (disponıvel em http://classes.yale.edu/fractals
/Software/detifs.html) onde ha a possibilidade de visualizar, na construcao de
cada iterada, a colocacao da imagem da iteracao anterior por cada uma das
contraccoes. Neste programa a iteracao tera que iniciar-se com outra imagem
que nao a da folha inicial; mas isso nao importa, ja que o fractal obtido nao
depende do objecto inicial.F
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 251
Proposta 12 (O Metodo Heurıstico).
Objectivos: No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:
• Identificar num fractal, as varias contraccoes dele mesmo que o compoem;
• Determinar a dimensao fractal de fractais com auto-semelhanca exacta.
Actividade:
(1) Sabendo que:
Um fractal com auto-semelhanca exacta que e composto por N reducoes de si mesmo
a razao de semelhanca r, tem dimensao fractal
D =logN
log1
r
,
determina a dimensao destes fractais:(a) (b)
(c) (d)
252 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
(e)
(2) Quando o fractal tem auto-semelhanca exacta, mas os factores de reducao nao
sao todos iguais para todas as contraccoes que o compoem, aplica-se uma ge-
neralizacao da formula anterior - a Equacao de Moran:
Um fractal com auto-semelhanca exacta definido por um SFI, constituıdo por N
reducoes w1, w2, · · · , wN com factores de reducao s1, s2, · · · , sN respectivamente,
tem dimensao fractal D, tal que
|s1|D + |s2|D + · · ·+ |sN |D = 1.
Utiliza a Equacao de Moran para determinar a dimensao fractal de cada
um dos seguintes fractais:(a) (b)
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 253
(c) (d)
(e)
(3) Com o programa IFS Construction Kit constroi dois fractais com dimensao
log 5
log 3e dois fractais com dimensao
log 12
log 5. (Sugestao: Utiliza a opcao Examples
- Box Fractals do menu Design.)
Observacoes:
• Desde a Proposta 2 que se pede aos alunos que calculem a dimensao de fractais
com auto-semelhanca exacta; a actividade agora proposta pretende consolidar
esse metodo e generaliza-lo a fractais com auto-semelhanca exacta em que os
factores de contraccao das varias contraccoes que o compoem nao sao todos
iguais.
• Na questao 1e pode aproveitar-se para se comparar a dimensao fractal deter-
minada com a dimensao topologica do objecto. Por norma, um fractal tem
dimensao fractal superior a sua dimensao topologica. Neste caso, a dimensao
fractal e 2 e a topologica e 1. Eventualmente, os alunos poderao dizer que a
dimensao topologica deste fractal e 3, por se tratar de um objecto definido em
254 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
R3 mas, na verdade, a interseccao de qualquer vizinhanca “pequena” de qual-
quer ponto do tetraedro de Sierpinski com o fractal e um conjunto de pontos
isolados; logo, a dimensao topologica do tetraedro de Sierpinski e 1.
• O professor pode aproveitar a oportunidade para revelar, ou relembrar aos alu-
nos, que ha varias definicoes de dimensao fractal. Os valores calculados nesta
proposta coincidem com os valores da Dimensao de Hausdorff e da Dimensao
de Contagem de Caixas se calculada para os mesmos fractais. Isso so acontece
porque tem auto-semelhanca exacta e as varias reducoes de si mesmo nao se
sobrepoem.
• Ha que evidenciar o facto de a equacao de Moran ter uma unica solucao (visto
que 0 < si < 1 para i ∈ {1, 2, . . . , N}).
• Esta proposta so podera ser resolvida em toda a sua plenitude, tocando em
todas as variantes possıveis de resolucao, com os alunos do 12o ano. Os alunos
dos 10o e do 11o anos poderao resolver todas as alıneas graficamente. Nao se
aconselha esta proposta para os alunos do 3o ciclo.
• Ha aqui mais uma oportunidade de observar dois fractais com a mesma di-
mensao: os das questoes 2c e 2d.
• As questoes 2b, 2c e 2d podem resolver-se usando uma mudanca de variavel,
ou entao graficamente; a questao 2e, ao nıvel do ensino secundario, so pode
resolver-se graficamente (ver Exemplo 45 no Capıtulo 2, pagina 132).
• No ambito da questao 3 pode falar-se sobre o facto de no plano ser possıvel
construir um fractal totalmente desconexo com dimensao s, sendo s qualquer
valor do intervalo [0,2] (ver Proposicao 33, pagina 105).
Sugestoes:
• Alguns dos fractais da questao 1 podem ser construıdos facilmente no IFS
Construction Kit indo ao menu Design e escolhendo Examples - Box Fractals ;
de seguida escolher o tamanho pretendido, retirar as caixas adequadas a cada
caso, “clicar” em Create IFS e iterar diversas vezes. Para obter o fractal todo
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 255
a preto, basta alterar a cor de cada contraccao na janela IFS, “clicando” em
cima do respectivo quadrado a esquerda dos parametros.F
256 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 13 (Ordenar pela Dimensao).
Objectivos: No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:
• Associar o conceito de dimensao fractal com a “rugosidade” do objecto e a
densidade do espaco que ele ocupa.
Actividade:
(1) Apresentam-se 10 fractais e 10 valores de dimensao fractal. Efectua as corres-
pondencias correctas.
A B
C D
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 257
E F
G H
0, 631 1, 262 1 1, 404 1, 893 1, 292 1, 661 1, 760
Observacoes:
• Antes da realizacao desta proposta pode comecar-se pelas questoes 3e e 4 da
Proposta 3, pagina 201. Nesse exemplo e facil visualizar que a rugosidade e a
densidade de um fractal aumentam com a sua dimensao.
Sugestoes:
• Com alunos mais novos pode imprimir-se cada um dos fractais em folhas se-
paradas e pedir-lhes que os ordenem no quadro por ordem da sua dimensao,
sem as associar a valores.F
258 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 14 (Costa Fractal). 10
Objectivos: No final desta actividade o aluno deve ser capaz de:
• Determinar a dimensao de uma linha fractal usando o metodo da contagem de
passos ou o da contagem de caixas;
• Construir uma curva fractal aleatoria.
Actividade: A costa marıtima dos continentes apresenta tambem caracterısticas frac-
tais. O seu comprimento depende da unidade escolhida para o medir. A medida
que o observador se aproxima vai encontrando cada vez mais detalhes. Percorre-la de
carro junto ao mar, ou a pe pela praia, correspondera a comprimentos diferentes para
percursos com o mesmo ponto de partida e de chegada. Por vezes encontram-se em
enciclopedias diferentes, valores nao coincidentes para o comprimento da mesma costa
marıtima ou da mesma fronteira entre dois paıses. Isso deve-se ao facto de terem sido
usados ”passos”de tamanhos diferentes para medir a mesma linha que, sendo muito
recortada, e sempre medida segundo um determinado grau de aproximacao.
(1) Quanto mede a nossa costa?
(a) Tira fotocopia da costa marıtima portuguesa utilizando o mapa mais por-
menorizado que encontrares.
(b) Anota a escala de representacao do mapa e decide entre que pontos da
costa vais efectuar a medicao.
(c) Utiliza varias unidades de medida (10 cm, 5 cm, 1 cm... por exemplo),
cada vez mais pequenas, e com um compasso verifica, para cada uma
delas, quantos “passos” sao necessarias para percorrer a orla marıtima
10Adaptado de http://polymer.bu.edu/java/java/coastline/coastline.html e de
http://argento.bu.edu/java/java/coastline/chap1/node12.html
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 259
portuguesa. Efectua em cada caso a conversao para a medida real. Utiliza
a tabela que se segue para organizacao dos dados.
Unidade Escolhida Numero de passos Comprimento Comprimento
(L) (N) (L×N) Real
(d) Que concluis? Consegues prever de que valor se aproxima N×L a medida
que L se aproxima de zero? Que representa esse valor?
(2) Qual e a dimensao da nossa costa?
Considerando que a linha da nossa costa marıtima tem uma estrutura fractal,
nao se tratara de um fractal com auto-semelhanca exacta, mas apenas aproxi-
mada. Para determinar a dimensao fractal deste tipo de fractais nao se pode
aplicar a formula utilizada na Proposta 12, que so e valida para os fractais com
auto-semelhanca exacta. Um dos processos para o fazer e utilizar os dados ja
recolhidos na questao 1c e representa-los graficamente.
(a) Coloca um sistema de eixos coordenados e os valores adequados no papel
de escala logarıtmica do Anexo 12.
(b) Representa no referencial construıdo na questao anterior o numero de
passos em funcao da unidade escolhida.
(c) Os pontos representados no grafico devem estar aproximadamente alinha-
dos segundo uma linha recta. Desenha a recta que melhor se adapta a
esse conjunto de pontos.
(d) A dimensao fractal da costa e o simetrico do declive da recta desenhada
na questao anterior. Determina-a. (Atencao: o declive da recta deve
260 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
ser calculado usando medicoes com uma regua e nao com base na escala
logarıtmica.)
(3) Outro processo muito utilizado para determinar a dimensao fractal de uma
curva e o metodo da contagem de caixas, que determina a Dimensao de Caixas.
(a) Desenha na fotocopia do mapa da costa marıtima portuguesa, um qua-
drado que a contenha.(A este quadrado chamamos “caixa”.)
(b) Divide o quadrado grande em quadrados iguais de lado δ, e conta quantos
deles (Nδ) contem um troco de costa. Repete o processo varias vezes com
δ cada vez menor e preenche a tabela que se segue. (Sugestao: em cada
passo utiliza quadrados com o lado igual a metade do lado dos quadrados
do passo anterior.)
Lado da Caixa Numero de caixas que
− log δ logNδ(em cm) contem o contorno
(δ) (Nδ)
(c) Representa agora graficamente logNδ em funcao de − log δ.
(d) No grafico anterior obtiveste um conjunto de pontos. Procura a recta de
pontos que melhor se ajusta a esse conjunto e determina o seu declive. O
declive dessa recta e uma estimativa da dimensao de caixas da costa.
(4) Compara os dois valores que obtiveste para a dimensao da linha. Ha diferencas
significativas?
(5) Realiza o mesmo processo com outros mapas de outras costas marıtimas.
(a) Qual te parece, a primeira vista, mais “enrugada”?
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 261
(b) Compara as dimensoes de cada uma delas e tira conclusoes.
(6) Podes tu mesmo criar uma costa usando um dos seguintes metodos:
Metodo 1: Utiliza o applet disponıvel em
http://argento.bu.edu/java/java/coastline/coastlineapplet.html.
Metodo 2: Com os teus colegas, seguindo as instrucoes apresentadas a seguir:
Material necessario: corda (com cerca de 30 metros de comprimento), um
dado, uma moeda, uma maquina de fotografias instantaneas e um espaco am-
plo (interior ou ao ar livre).
Passo 1. Seleccionam-se dois alunos da turma, um para lancar o dado e outro
para lancar a moeda quando for necessario.
Passo 2. Dois alunos (aluno no1 e aluno no2), ficam em pe a cerca de 6 metros
de distancia um do outro. O aluno no1 segura numa das pontas da corda
e o aluno no2 puxa a corda do modo a formar um segmento de recta,
mantendo o que sobra da corda enrolado a seus pes.
Passo 3. Na direccao perpendicular a corda esticada, define-se qual dos sen-
tidos e o positivo e qual e o negativo e associa-se cada um deles a “cara”
e a “coroa”.
Passo 4. O aluno no3 agarra na corda aproximadamente no seu ponto medio.
Passo 5. Lanca-se a moeda e o dado. O aluno no3 avanca, perpendicular-
mente a corda, o numero de passos determinados pelo dado, no sentido
sorteado pela moeda. Os passos devem ser pequeninos, encostando o cal-
canhar a ponta do outro pe. O aluno no2 deve deixar a corda correr o
necessario para o deslocamento do aluno no3.
Passo 6. Agora os alunos no4 e no5 colocam-se nos pontos medios dos dois
segmentos formados pela corda.
Passo 7. Repete-se o Passo 5 para o aluno no4 e de seguida repete-se o Passo
5 para o aluno no5.
262 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Passo 8. Continuar este processo de aleatoriamente flectir a corda no ponto
medio de cada um dos segmentos que a compoem, ate nao haver mais
alunos ou a corda ter sido toda usada.
Passo 9. Fotografar a linha costeira resultante, de preferencia de cima.
Os fractais podem dividir-se em dois grupos: os determinısticos e os aleatorios.
Os fractais naturais, como e o caso das linhas costeiras, enquadram-se, geralmente,
no grupo dos fractais aleatorios. Dificilmente um processo natural acontece de forma
determinista.
A forma de uma linha costeira deve-se essencialmente a erosao, um processo bas-
tante aleatorio devido a diversos factores, como sao as correntes marıtimas, as condicoes
climatericas e a composicao do solo, e que nesta actividade foi modelada pelo lancamento
do dado e da moeda.
Observacoes:
• A realizacao destas actividades com mapas apresenta algumas dificuldades. O
mapa escolhido tem muita influencia nos resultados e, por vezes, ha dificuldade
em decidir onde parar, por exemplo no caso dos rios, sobretudo quando se
medem os passos com o compasso.
• Esta questao sera melhor realizada por alunos do 12o ano com conhecimento
do conceito de logaritmo. No entanto, alunos a partir do 9o ano poderao ser
capazes de a levar a cabo, com algumas ajudas por parte do professor.
• Na questao 1a ha que ter em atencao a escala, caso se amplie ou se reduza
a figura inicial. O ideal e trabalhar com o tamanho original do mapa para
evitar confusoes. Isto e importante apenas para a obtencao de valores, em
quilometros por exemplo, para o comprimento da nossa costa marıtima. Se o
objectivo fosse apenas o de determinar a sua dimensao, este cuidado ja nao
seria necessario.
• Na questao 2 o professor deve explicar aos alunos como usar e porque se utiliza
este tipo de escala.
5. PROPOSTAS DE ACTIVIDADES PARA A AULA DE MATEMATICA 263
• O processo utilizado na questao 3 sera melhor entendido pelos alunos do 12o
ano depois de adquirirem o conceito de logaritmo, contudo os alunos mais
novos poderao desenvolver todo o processo de calculo da dimensao de caixas,
utilizando uma calculadora cientıfica, sendo-lhes dada apenas a nocao de loga-
ritmo que poderao utilizar como ferramenta, mesmo sem compreenderem todas
as suas propriedades. Outra possibilidade e a de usarem o papel grafico com
escala logarıtmica, nao tendo que utilizar as duas ultimas colunas da tabela.
• As questoes 2d e 3d serao melhor adequadas a alunos a partir do 10o Ano que
ja terao conhecimentos suficientes para as compreenderem. O professor tera
que explicar ou relembrar o conceito de recta de regressao linear e como se
determina o declive da recta.
• Se varios alunos ou grupos de alunos resolverem separadamente esta actividade
podera dar-se o caso de os valores por eles obtidos para a dimensao da costa
no final das questoes 2d e 3d sejam diferentes, mesmo que utilizem o mesmo
mapa. Isso podera dever-se a varios factores:
- Escolha de uma gama diferente para os valores de δ;
- Um alinhamento diferente da linha da costa com a grelha de caixas;
- Ajustamento diferente da recta de regressao linear se esta for ajustada ma-
nualmente.
• As questoes 2 e 3 podem ser resolvidas cada uma por metade dos alunos da
turma que depois apresentam aos colegas o processo de resolucao e os resulta-
dos obtidos. Depois disso podem, em conjunto, responder a questao 4.
• Na questao 6 deve adoptar-se o metodo de construcao da costa com a corda
no caso de turmas de alunos mais jovens e usar-se o applet com os alunos do
ensino secundario. O applet usa o mesmo algoritmo que o metodo da corda
para construir a costa; permite medi-la manualmente ou automaticamente, em
caixas ou em passos, elabora uma tabela com os dados da medicao, representa-
os graficamente em varios tipos de escalas e determina a dimensao da linhas
264 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
costeira criada. Permite que os alunos sigam os processos das questoes 2 e
3 de uma forma rapida e muito apelativa. Imprimindo varias costas podem
mais rapidamente ter dados para responder a questao 5. Este applet e uma boa
ferramenta para o professor ver com os alunos as consequencias de representar
os mesmos dados em papel grafico com diferentes tipos de escalas.
Sugestoes:
• A questao 3 tambem pode ser resolvida recorrendo a utilizacao de papel grafico
de escala logarıtmica. Nesse caso, na questao 3c representar-se-ao os dados
das duas primeiras colunas da tabela da questao 3b e o declive da recta de
regressao linear sera o simetrico do pretendido na questao 3d.
• A questao 6 tambem pode ser realizada utilizando um painel de cortica,
elasticos e alfinetes, seguindo o mesmo processo que esta indicado para re-
alizar com a corda.
• A forma mais pratica de resolver esta actividade e recorrer a calculadora grafica
ou a uma folha de calculo onde se possa efectuar automaticamente a repre-
sentacao grafica dos dados introduzidos, a da recta de regressao linear e a
determinacao do seu declive. Neste caso, o tempo de resolucao da actividade
sera mais curto, o trabalho sera menos macador, todos os conceitos da pro-
posta inicial serao aplicados, no entanto os alunos perdem uma oportunidade
de ver com mais detalhe todo o raciocınio necessario para a representacao de
uma recta de regressao linear e a determinacao do seu declive.
• Uma das questoes que se pode colocar aos alunos para uma investigacao e:
qual e a dimensao da linha obtida em cada uma das iteracoes do processo de
construcao da costa? Sera que a dimensao varia ao longo desse processo?
• Outro applet para construcao de costas esta disponıvel em
http://www.math.fau.edu/MLogan/Pattern Exploration
/Coastlines/CLdirections.html.F
6. PROPOSTAS PARA A DISCIPLINA DE AREA DE PROJECTO 265
6. Propostas para a disciplina de Area de Projecto
A Area de Projecto e uma area curricular nao disciplinar inscrita no horario lectivo
dos cursos cientıfico-humanısticos no 12o ano de escolaridade, de frequencia obrigatoria,
com uma carga horaria semanal de 2 unidades lectivas de 90 minutos cada.
Segundo o documento de orientacao elaborado pelo Ministerio de Educacao para a
disciplina de Area de Projecto do 12o Ano dos Cursos Cientıfico-Humanısticos, a Area
de Projecto e de “natureza interdisciplinar e transdisciplinar, visando a realizacao de
projectos concretos por parte dos alunos, com o fim de desenvolver nestes uma visao
integradora do saber, promovendo a sua orientacao escolar e profissional e facilitando
a sua aproximacao ao mundo do trabalho.”[17, pag. 3] Deve ser “um espaco de con-
fluencia e integracao de saberes e competencias adquiridas ao longo do curso, em torno
do desenvolvimento de metodologias de estudo, investigacao e trabalho de grupo.”[17,
pag. 5]
O topico da Geometria Fractal podera ser do interesse dos alunos e pode ser ex-
plorado de variadıssimas formas, procurando-se as relacoes entre os fractais e as mais
diversas areas do saber em geral e da ciencia em particular. Visto serem inumeras as
aplicacoes praticas da geometria fractal, apresentam-se de seguida apenas algumas das
possibilidades de exploracao deste tema que deverao ser precedidas por actividades que
permitam ao aluno consolidar o conceito de fractal bem como construir alguns fractais
e analisar as suas caracterısticas.
Nao menos importante sera o trabalho do professor que dirigir uma Area de Pro-
jecto sobre este tema que devera ter os conhecimentos e a sensibilidade necessarios para
reconhecer a geometria fractal nas suas diversas aplicacoes e para poder acompanhar
os alunos nas suas investigacoes. A colaboracao com os professores de outras discipli-
nas (Biologia, Fısica, Informatica, etc) podera ser fulcral para um acompanhamento
integral aos alunos e para que se possam levar a cabo algumas actividades de ındole la-
boratorial e de interesse relevante. Neste tipo de actividades, os alunos poderao dar-se
266 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
conta da necessidade e da importancia da criacao de equipas de trabalho multidiscipli-
nares que existe hoje em dia, de forma cada vez mais patente, quer nas universidades,
quer nas empresas.
As metodologias de estudo e de trabalho que podem ser desenvolvidas ao traba-
lhar o tema da geometria fractal podem ser muito variadas. O trabalho de grupo e
essencial para realizar algumas tarefas mais complexas ou trabalhosas, a pesquisa na
internet ou em livros e fundamental (saliente-se aqui a importancia do conhecimento
de lınguas estrangeiras, nomeadamente do Ingles) e a investigacao, quer sobre carac-
terısticas proprias dos fractais, quer sobre conexoes entre eles e outros temas, pode
ser uma fonte de enriquecimento para os alunos. Estes metodos de trabalho sao po-
tenciadores do “trabalho cooperativo alicercado na exploracao e aplicacao de processos
mentais complexos, promotores da confianca em si e nos outros, do gosto pela inves-
tigacao e pela descoberta e geradores de autonomia intelectual.”[17, pag. 5] “Trata-se
de uma area em que os alunos mobilizam competencias desenvolvidas no contexto dos
conteudos das disciplinas do seu plano curricular para resolverem problemas, para es-
tudarem e compreenderem fenomenos do mundo que os rodeia, elaborando produtos
concretos de natureza diversa.”[17, pag. 7]
A Area de Projecto, segundo as orientacoes do Ministerio da Educacao constitui
“um espaco e um tempo curriculares privilegiados para que, sem se substituir ao tra-
balho desenvolvido nas diferentes disciplinas, os alunos possam relacionar-se com o
conhecimento atraves de realizacoes concretas: relatorios, ensaios, objectos tridimen-
sionais diversos, programas informaticos, filmes em suporte vıdeo ou DVD, paginas na
internet, trabalhos de suporte multimedia, etc. Neste sentido, os projectos a desen-
volver devem, sobretudo, basear-se em experiencias a que nao podem deixar de estar
associadas a observacao sistematica, a formulacao e a testagem de hipoteses, assim
como a analise e a interpretacao de factos e fenomenos do mundo real.”[17, pag. 5
e 6] Tudo isto e provavelmente mais, e possıvel acontecer com o estudo dos fractais,
pelas suas caracterısticas e pelas suas aplicacoes, proporcionando o desenvolvimento de
6. PROPOSTAS PARA A DISCIPLINA DE AREA DE PROJECTO 267
“competencias que sao proprias do pensamento e do trabalho cientıfico e tecnico”[17,
pag. 6].
Tambem existe no currıculo do ensino basico a disciplina de Area de Projecto cujo
objectivo central e envolver os alunos na concepcao, realizacao e avaliacao de projectos,
permitindo-lhe articular saberes de diversas areas curriculares em torno de problemas
ou temas de pesquisa ou de intervencao. Ha tempos lectivos destinados para o efeito
nos 2o e 3o ciclos. No 1o ciclo, o trabalho da Area de Projecto deve ser integrado
nas actividades regulares da turma e nos trabalhos de casa. Embora a componente
teorica do estudo dos fractais tenha que ficar muito mais limitada no ensino basico,
e possıvel desenvolver com os alunos pequenos projectos relacionados com os fractais.
Por exemplo, a construcao de um modelo no plano ou no espaco de um fractal, pode
envolver diversos conceitos matematicos e metodologias de estudo e de trabalho. O
conceito de dimensao pode ser abordado e a utilizacao de software para construcao
de fractais e, nao so possıvel, como apelativa para os alunos. Uma pequena pesquisa
sobre as aplicacoes dos fractais e outra actividade passıvel de ser desenvolvida com
estes alunos.
O objectivo da Area de Projecto, tanto no ensino basico como no ensino secundario,
e que os alunos se proponham a estudar, com certo grau de aprofundamento, um tema
que seja do seu interesse e que, de preferencia, possa ter importancia para a sua profissao
futura. Como o tema dos fractais e totalmente desconhecido da maior parte dos alunos,
a proposta para o estudo deste assunto tera que partir do professor que podera comecar
por uma apresentacao do que e a geometria fractal e de quais sao as suas aplicacoes.
Apresentam-se, a seguir, algumas sugestoes de actividades a desenvolver no ambito
da Area de Projecto. Algumas das actividades apresentadas atras poderao tambem
estar melhor integradas no ambito do trabalho de Area de Projecto, quer pelo tempo
necessario a sua realizacao, quer pela conexao que revelam entre conceitos matematicos
e conteudos de outras disciplinas. E o caso das Propostas numeros 1, 4, 7, 9, 10, 11 e
14.
268 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
O sentido que fara a realizacao de cada uma delas dependera do interesse manifes-
tado pelos alunos e dos seus objectivos quando se propuseram a estudar os fractais.
Em geral, as actividades estao pensadas para os alunos do 12o ano, mas poderao ser
adaptadas para alunos mais jovens. O facto de se propor estas actividades para a Area
de Projecto nao quer dizer que nao possam ser desenvolvidas no ambito de outra dis-
ciplina; e as actividades apresentadas desde o inıcio do capıtulo ate aqui e que foram
essencialmente pensadas para a disciplina de Matematica poderao igualmente ser tra-
balhadas na disciplina de Area de Projecto. Tudo depende dos objectivos estabelecidos
pelos alunos e pelos professores.
6.1. Os fractais na Arte.
As proximas propostas pretendem relacionar os fractais com as diversas formas de arte
- pintura, escultura, arquitectura, musica e fotografia sao algumas das possibilidades.
Desde a analise de objectos de arte ate a construcao de modelos tridimensionais ou a
realizacao de pinturas, muitas sao as possibilidades de trabalho com os alunos, desde
os do primeiro ciclo ate aos do ensino secundario. A analise dos objectos pode consistir
apenas na busca e reconhecimento de estruturas fractais nele patentes, mas podera ser
mais completa se se efectuarem medicoes nos padroes encontrados e se utilizarem os
valores determinados para criar modelos ou calcular a dimensao fractal da estrutura
em observacao.
Proposta 15 (Arte com fractais). 11
Objectivos: Com esta actividade pretende-se despertar a atencao dos alunos para a
aplicacao da geometria fractal na arte. A partir de alguns exemplos pretende-se que
11Adaptado de: Fractais no Ensino Secundario - Ana Paula Canavarro e Ou-
tros, APM; Projecto Final de Conclusao De Curso de Taıs Alves Moreira Barbariz
- http://www.ime.uerj.br/∼progerio/monografia/1999/atividade2.html; Fractals in the arts -
http://classes.yale.edu/99-00/math190a/ArtFrac.html e OLIVE, Oriol. Els Fractals - Introduccio
practica als fractals IFS.
6. PROPOSTAS PARA A DISCIPLINA DE AREA DE PROJECTO 269
eles olhem para os objectos de arte de um novo prisma e que eles proprios encontrem
outras ocorrencias de fractais na arte.
Actividade: Observa as figuras seguintes com alguns exemplos de arte.
Toucador Bamana
Imagem em
http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Art/AfricanArt/Headress.html
Trabalho Tuareg em pele
Imagem em
http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Art/
AfricanArt/Tuareg.html
Trabalho do artista japones Hokusai
Imagem em
http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Art/
Hokusai/Hokusai.html
270 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
O Rosto da Guerra de Salvador
Dali - 1940
Imagem em
http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Art/Dali/Dali1.html
Mandala - Sımbolo Hindu ou Budista
que representa o universo.
Imagem em
http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Art/
Mandalas/Mandala.gif
Mosaico fractal de Robert Fathauer.
Imagem em
http://members.cox.net/fractalenc/fr6g6s.577m2.html
6. PROPOSTAS PARA A DISCIPLINA DE AREA DE PROJECTO 271
Joalharia com fractais.
Imagem em
http://www.allegria.com.au/jewellery.html
Consegues reconhecer estruturas fractais nestes trabalhos? Faz uma pesquisa e
procura encontrar evidencias de formas fractais em diversos objectos artısticos.F
272 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 16 (Fractais de Tinta). 12
Objectivos: Com esta actividade pretende-se levar os alunos a descobrir padroes
com caracterısticas fractais em trabalhos efectuados com tinta e, a partir deles, ana-
lisar e sistematizar os processos de producao para conseguir padroes de diversos tipos.
Actividade:
E facil construir padroes fractais de
tinta viscosa.
(Imagem retirada de
http://classes.yale.edu/fractals/Labs/
FingerPaintLab/FPLColor.html)
(1) Coloca um pouco de tinta viscosa (tinta de oleo, por exemplo) num pedaco de
papel grosso sobre o tampo de uma mesa. Cobre o papel com outro pedaco de
papel (ou com um acetato de forma a poder projectar uma copia do padrao).
Aperta as duas folhas e espalha a tinta pressionando a folha de cima contra a
de baixo. Em seguida separa as folhas.
Enquanto as folhas se separam, o ar invade a tinta seguindo de frentes
instaveis para pequenas perturbacoes.
Observa o padrao que obtiveste. Poderas considera-lo um fractal?
(2) Investiga como se altera o padrao ramificado consoante:
- a viscosidade da tinta;
- a grossura ou qualidade do papel usado;
- a velocidade com que se separam as folhas;
- a pressao que e aplicada as folhas de papel.
12Adaptado de: http://classes.yale.edu/99-00/math190a/ArtFracNonRep1.html e de
http://classes.yale.edu/fractals/Labs/FingerPaintLab/FPLSample.html
6. PROPOSTAS PARA A DISCIPLINA DE AREA DE PROJECTO 273
Experimenta varias vezes e observa as alteracoes do padrao.
(3) Experimenta tambem rodando a folha de cima depois de a pressionar contra
a outra e antes de as separar.
(4) Inventa outras formas de variar os padroes.
(5) Aponta nas figuras que criaste caracterısticas proprias dos fractais.
Sugestoes:
• Com os alunos do ensino secundario podera fazer sentido e ser interessante
ver, com a ajuda do professor de fısica, como e o deslocamento do ar entre
as duas folhas e que tipo de fenomenos fısicos ocorrem em cada processo de
construcao destes fractais.F
274 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 17 (Fractais na Arquitectura).
Objectivos: Com esta actividade pretende-se que os alunos observem as formas
arquitectonicas de edifıcios com um olhar diferente, crıtico, que lhes permita distinguir
entre formas euclidianas simples e estruturas que, sendo eventualmente constituıdas
por formas maioritariamente euclidianas, as tenham presentes em diversas escalas, re-
velando uma organizacao fractal do todo.
Actividade:
Projecto para um bar (Cafe Fractal) em Vila do Conde.
(Imagem retirada de http://arquitectura.pt/forum/f10/fractal-bar-alvaro-leite-siza-2369.html).
(1) Investiga que aplicacoes pode ter a geometria fractal na Arquitectura. Aqui
estao alguns topicos para a tua pesquisa:
(a) Catedrais da Europa;
(b) Catedrais da India;
(c) Arquitectura Africana;
(d) Arquitectura Moderna.
Com os elementos recolhidos por ti e pelos teus colegas, elaborem uma mostra
dos mesmos.
6. PROPOSTAS PARA A DISCIPLINA DE AREA DE PROJECTO 275
Sugestoes:
• Os alunos poderao tambem construir uma maquette do seu proprio “edifıcio
fractal” e/ou desenha-lo (em perspectiva ou por vistas). O planeamento e o de-
senvolvimento desta actividade podera ocasionar discussoes acerca da relacao
entre areas e volumes de figuras semelhantes.
• A questao da presenca evidente da geometria fractal na arquitectura de po-
voacoes africanas pode levantar a discussao: Porque e que povos com poucos ou
nenhuns conhecimentos formais de Matematica escolhem a geometria fractal
para organizarem o seu espaco? Sera que retiram essa percepcao da Natureza
com a qual vivem em tao estreita ligacao?F
276 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 18 (Fractais em Papel). 13
Objectivos: Nesta actividade pretende-se que os alunos construam com papel um
modelo de um fractal contido no espaco tridimensional, atraves de corte e dobragem e
que, de seguida, analisem o modelo construıdo, efectuando algumas medicoes e estu-
dando os padroes numericos adjacentes.
Actividade:
Com alguma habilidade para cortar e dobrar, podes construir um fractal em papel.
Material necessario: Copia do esquema de construcao X−acto
Cartolina colorida A4 Regua
Cola
Cubos Contrarios Quartil Central Triangulo de Sierpinski
(1) Observa as fotografias dos modelos de fractais e escolhe o teu favorito. De
seguida constroi-o seguindo o respectivo esquema de construcao (ver Anexos
13, 14 e 15) e as indicacoes fornecidas.
(2) Observa o fractal que construıste e responde as seguintes questoes:
(a) Explica a regra de construcao das sucessivas iteracoes, caracterizando os
elementos constituintes de cada uma.
13Adaptado de: Fractais no Ensino Secundario - Ana Paula Canavarro e Outros,
APM e de Projecto Final de Conclusao De Curso de Taıs Alves Moreira Barbariz -
http://www.ime.uerj.br/∼progerio/monografia/1999/atividade2.html
6. PROPOSTAS PARA A DISCIPLINA DE AREA DE PROJECTO 277
(b) Qual e o numero de elementos acrescentados em cada iteracao? Descobre
a formula geradora da sequencia de elementos novos em cada iteracao.
(c) Tenta descobrir as sequencias que traduzem as dimensoes dos elementos.
(d) Que outras sequencias consegues construir a partir do teu fractal?
(e) Consegues perceber para que valor tende cada uma dessas sequencias?
Sugestoes:
• Com alunos do ensino secundario podera ser possıvel partir desta actividade
para um projecto mais ambicioso, de construcao de um modelo tridimensional
deste tipo, representando mais iteracoes. O fractal tera de ser maior, os alunos
terao de construir eles proprios o molde para cortar e dobrar e os materiais a
utilizar provavelmente terao que ser outros.F
278 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 19 (Construcao de modelos no Plano e no Espaco).
Objectivos: Nesta proposta apresentam-se algumas sugestoes para construcao de
modelos de fractais no espaco tridimensional. Propoe-se que este tipo de actividade
seja realizada com os alunos organizados em grupos. A construcao de modelos de frac-
tais pode constituir, por si so, um trabalho de projecto, sobretudo para os alunos do
ensino basico. Envolve uma serie de calculos sobre os elementos necessarios a cons-
truir e a quantidade e o tipo de materiais a adquirir; obriga os alunos a delineacao de
uma estrategia para a distribuicao de tarefas e exige que utilizem diversas formas de
pesquisa e de metodos de trabalho.
Actividade:
Escolhe um dos seguintes projectos para realizares com os teus colegas.
Construcao do Tetraedro de Sierpinski
com tetraedros de papel (ver Proposta
5, pagina 212).
Imagem retirada de
http://www.public.asu.edu/ starlite
Construcao do Dragao de
Harter-Heighway com dobragem de
papel.
6. PROPOSTAS PARA A DISCIPLINA DE AREA DE PROJECTO 279
Construcao da Esponja de Menger
com blocos de madeira.
Imagem retirada de
http://www.sonoma.edu/math/faculty/falbo/sierp3.jpg
Construcao de fractais tridimensionais
com dobragens.
Consultar a Proposta 18 e o livro Fractal Cuts[18]
(de Diego Uribe, edicao de Tarquin Publications
distribuıdo em Portugal pela Editora Replicacao)
para mais modelos.
Construcao de arvores fractais, com
palhinhas, no plano ou no espaco.
Escolhido o projecto, o grupo deve pesquisar sobre o fractal a construir para conhe-
cer o processo de o fazer, de seguida determinar que materiais usar e as quantidades de
cada um necessarias e, por fim, distribuir as tarefas pelos varios elementos do grupo. E
desejavel que se comece com um esboco do resultado que se pretende e com os calculos
das dimensoes dos varios elementos que irao constituir a estrutura a construir. F
280 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 20 (Musica Fractal).
Objectivos: Pretende-se com esta actividade que os alunos tomem conhecimento
da aplicacao da geometria fractal na musica e que, se possıvel, criem uma melodia
fractal.
Actividade:
“Depois de tres minutos de “Caos Organizado” tocado numa estacao de radio britanica
seguiu-se uma torrente de chamadas telefonicas de ouvintes. Queriam saber mais acerca
do que tinham ouvido. Para alguns tinha sido uma experiencia assustadora. E depois
disso, diversos fas continuam a escrever ao compositor - Phil Thompson - para des-
crever o quao profundo a musica fractal lhes toca. Para alguns tornou-se ate uma
obsessao.”
“Para criar a sua musica so precisa de um computador e de uma equacao sim-
ples que, por iteracoes sucessivas gera imagens complexas e espectaculares, ao pintar
um determinado pixel do ecran de determinada cor, consoante a solucao da equacao
obtida. Estas imagens fractais espectaculares e a matematica que a apoia inspiraram
um crescente grupo de compositores, programadores e amadores. As imagens fractais
enfeiticam nao so pela sua beleza, mas tambem pelas suas formas extremamente com-
plexas que surgem de equacoes muito simples. A mais famosa e conhecida por Conjunto
de Mandelbrot e deve o seu nome ao matematico Benoit Mandelbrot que, em 1795 usou
o termo “fractal” vindo do latim “fractus” que significa quebrar.”
“Qual e o som do caos? Nunca e o mesmo. Uma mistura de familiar e de novo, a
complexidade da musica tem notas que soam a jazz e a avant-gard. A musica prende
alguns ouvintes em quase suspensao quando pensam ter descoberto uma regularidade
na melodia e ja sabe o que se segue; mas depois a musica acaba por dar uma volta
completamente inesperada. A base para caos em musica e muito simples. Associa-se
cada nota musical a um unico numero. Por exemplo, do, re e mi podem corresponder
6. PROPOSTAS PARA A DISCIPLINA DE AREA DE PROJECTO 281
respectivamente ao numeros 1, 2 e 3. Quando a solucao da equacao que gera o fractal e
2, toca a nota re. Cada vez que se resolve a equacao obtem-se uma nova solucao e uma
nova nota de musica. O que se obtem pode ser bastante complexo. David Clark Little,
compositor e harpista usou programas de fractais para compor musica nos ultimos 10
anos. Diz que o processo e analogo ao dos compositores tradicionais que se inspiram
em antecessores seus ou na natureza. A diferenca e que, com a musica fractal nao
sabemos o resultado da nossa inspiracao ate que tocamos a musica e a ouvimos.”
“O crıtico de musica alternativa Matt Howarth ve grande parte da musica fractal
como “fraca”, a menos que criada por alguem com o dom da composicao. “A tecnologia
e muito bonita, mas e apenas uma ferramenta e requer talento para a utilizar.” (Retirado
de: http://www.apm.pt/apm/curiosidades/curio13.htm)
Podes ouvir exemplos de musicas fractais nos seguintes sites :
(1) Em http://www.fractal−vibes.com/fm/index.html ha exemplos de musicas
fractais e existe um software gratuito para criacao de musica fractal. O pro-
grama nao e simples de usar para quem nao sabe musica, mas ainda assim
podes experimenta-lo e tentar fazer alteracoes nos varios parametros, obser-
vando depois as consequencias dessas alteracoes na musica.
(2) Em http://polymer.bu.edu/music/ estao exemplos de musicas criadas a partir
de batimentos cardıacos de humanos. Hoje considera-se que um batimento
cardıaco saudavel tem um ritmo fractal.
(3) Em http://gingerbooth.com/courseware/fracmusic.html esta disponıvel um ap-
plet para composicao de musica fractal.
(4) Mais informacao em:
• http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/musica fractal.htm
• http://classes.yale.edu/fractals/Labs/FractalMusicLab/FractalMusicLab.html
• http://members.aol.com/dspondike/fractal.html
• http://thinks.com/webguide/fractal−music.htm
282 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
(5) Faz uma pesquisa por “fractal music” e visita outros sites relacionados com o
tema.
Depois de leres o texto, ouvires alguns exemplos de “musicas fractais” e de, eventu-
almente teres tentado criar a tua propria melodia fractal, escreve um texto sobre este
assunto, tocando nos seguintes pontos:
• Que sensacao te provoca este tipo de musica?
• Na tua opiniao, trata-se de arte?
• Que tipo de contribuicao traz a Matematica em geral e a geometria fractal em
particular, para a Musica?
Investiga mais se for necessario para fundamentares a tua opiniao.F
6. PROPOSTAS PARA A DISCIPLINA DE AREA DE PROJECTO 283
Proposta 21 (Exposicao Fotografica).
Objectivos: Com esta actividade pretende-se reforcar a evidencia de formas fractais
na natureza e despertar a atencao dos alunos para essas formas, incitando-os a olhar
em seu redor de modo ponderado e crıtico.
Actividade:
Fotografa objectos da Natureza ou do teu mundo que te parecam ter uma estrutura
fractal. Salienta a auto-semelhanca encontrada nas estruturas fotografadas e discute
com os teus colegas a validade de cada uma das fotos enquanto exemplo de forma
fractal.
Organiza, com os teus colegas, uma exposicao fotografica.
Nos Anexos 16, 17 e 18 estao exemplos de fotos.
Sugestoes:
• Para completar a exposicao podem tambem procurar-se outras fotos na inter-
net, tendo o cuidado de citar as fontes.F
284 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
6.2. Os fractais na Natureza. As proximas propostas de actividades pretendem
realcar a aplicabilidade e a utilidade da geometria fractal em varias ciencias que estu-
dam o mundo, os seres vivos que nele habitam e os fenomenos que nele ocorrem.
Proposta 22 (Fractais na Biologia).
Objectivos: Com esta actividade pretende-se reiterar a importancia e a utilidade
de geometria fractal para a modelacao, a representacao e o estudo das formas da Natu-
reza. E uma actividade aberta, de investigacao, que exige dos alunos a capacidade para
recolher, organizar a informacao e posteriormente apresenta-la de forma adequada.
Actividade:
(1) Investiga que aplicacoes pode ter a geometria fractal na Biologia. Aqui estao
alguns topicos para a tua pesquisa:
(a) Objectos naturais com estruturas fractais;
(b) Superfıcie de celulas cancerıgenas;
(c) Padroes formados por colonias de bacterias em crescimento;
(d) Representacao grafica de um batimento cardıaco;
(e) Movimentos aleatorios e sua relacao com o percurso de alguns animais (O
que e um movimento aleatorio?);
(f) Estrutura geometrica de proteınas.
Elabora um texto onde expliques as tuas descobertas.
(2) Escolhe duas especies de arvores ou plantas cujas folhas te parecam ter di-
mensao fractal. Recolhe varias folhas de cada uma delas e determina a di-
mensao fractal das linhas de contorno dessas folhas (ver Exemplo 43 na pagina
126).
(a) As folhas da mesma especie tem dimensao fractal identica?
6. PROPOSTAS PARA A DISCIPLINA DE AREA DE PROJECTO 285
(b) Ha diferencas significativas entre a dimensao fractal das folhas de uma
especie e a das folhas da outra especie?
Observacoes:
• A colaboracao do professor de Biologia no desenvolvimento desta actividade e
essencial.
Sugestoes:
• Com o mesmo processo apresentado na Proposta 14, pode determinar-se a
dimensao fractal da linha de contorno de varios tipos de folhas de plantas ou
de arvores.
• A Proposta 11 tambem pode ser realizada no ambito deste tema.
• Quando os alunos tiverem recolhido bastante informacao sobre objectos natu-
rais com estrutura fractal pode fomentar-se a discussao sobre: Porque e que a
Natureza elege as formas fractais? Sera que e porque estas oferecem um maior
grau de conectividade com maior economia? Se assim for, como podemos
aplicar isto em nosso benefıcio? Fara sentido pensar em utilizar estruturas
fractais, por exemplo em redes de transmissao de informacao?
• Sugere-se aos alunos a elaboracao de um texto, mas o resultado do seu trabalho
pode ser apresentado de outras formas, como por exemplo em cartazes, numa
apresentacao powerpoint ou numa pagina para a internet.F
286 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 23 (Fractais na Fısica).
Objectivos: Com esta actividade pretende-se que os alunos descubram algumas das
possibilidades de aplicacao da geometria fractal ao estudo de fenomenos fısicos. E uma
actividade aberta, de investigacao, que exige dos alunos a capacidade para recolher,
organizar a informacao e posteriormente apresenta-la de forma adequada.
Actividade:
(1) Investiga que aplicacoes pode ter a geometria fractal na Fısica. Aqui estao
alguns topicos para a tua pesquisa:
(a) Dimensao fractal de uma galaxia;
(b) Movimento browniano (Geometria da trajectoria de partıculas);
(c) Industria (mecanica de fluıdos - misturadores, antenas);
(d) Turbulencia atmosferica;
(e) Agregacao de Difusao Limitada (ADL);
(f) Flocos de neve (ver Proposta 4).
Elabora um texto onde expliques as tuas descobertas.
Observacoes:
• A colaboracao do professor de Fısica no desenvolvimento desta actividade e
essencial.
Sugestoes:
• Em http://www.math.fau.edu/Teacher/CATEs PDF/9%20TI
%2083+/TI%2083+,%20part%202.pdf encontra-se um programa (BALLAGG
(Patterns in Nature)) para a calculadora grafica TI-83 que simula a agregacao
de partıculas. No programa e possıvel definir o grau de atraccao que a estrutura
ja construıda exerce sobre as partıculas que se aproximam para depois observar
a influencia que esse valor tem na forma da estrutura final.
6. PROPOSTAS PARA A DISCIPLINA DE AREA DE PROJECTO 287
• Em http://polymer.bu.edu/ogaf/html/software.htm esta o software ADL que
permite simular ADL’s com movimentos aleatorios de partıculas e movimen-
tos lineares. Podem depois usar-se as imagens obtidas para estudar a sua
dimensao.
• Seria importante e interessante que os alunos pudessem realizar algumas ex-
periencias em laboratorio que lhes permitissem observar alguns dos fenomenos
que podem ser estudados atraves da geometria fractal.
• Sugere-se a elaboracao de um texto aos alunos, mas o resultado do seu trabalho
pode ser apresentado de outras formas, como por exemplo em cartazes, numa
apresentacao powerpoint ou numa pagina para a internet.F
288 4. EXPLORACAO DE FRACTAIS EM CONTEXTO DE SALA DE AULA
Proposta 24 (Fractais na Geografia).
Objectivos: Com esta actividade pretende-se reiterar a utilidade da geometria fractal
para a modelacao, a representacao e o estudo de fenomenos atmosfericos e geologicos,
bem como das formas geograficas.
Actividade:
(1) Investiga que aplicacoes pode ter a geometria fractal na Geografia. Aqui estao
alguns topicos para a tua pesquisa:
(a) Formas de paisagens;
(b) Redes fluviais;
(c) Manchas florestais;
(d) Costa marıtima;
(e) Nuvens;
(f) Meteorologia.
Elabora um texto onde expliques as tuas descobertas.
Observacoes:
• A colaboracao do professor de Geografia no desenvolvimento desta actividade
e essencial.
Sugestoes:
• A Proposta 14 tambem pode ser realizada no ambito deste tema.
• Sugere-se a elaboracao de um texto aos alunos, mas o resultado do seu trabalho
pode ser apresentado de outras formas, como por exemplo em cartazes, numa
apresentacao powerpoint ou numa pagina para a internet.F
Conclusao
289
290 CONCLUSAO
CONCLUSAO 291
Varias lembrancas me vem a memoria quando recordo o caminho que percorri
para realizar este trabalho bem como o que li, o que aprendi, o que experimentei e o
que descobri. Mesmo depois de ter organizado e compilado neste trabalho parte da
informacao que recebi ate agora sobre os fractais, algumas ideias soltas povoam a minha
mente e vou tentar escreve-las sem que a ordem de importancia seja necessariamente
aquela em que aparecem no texto. O trabalho foi, antes de mais, muito gratificante
porque me levou a descobrir um tema do qual eu tinha apenas uma nocao muito vaga
(e julgo que muito vaga continua, comparando com o que ainda tenho para aprender).
Ainda assim, para alem do interesse inicial que ja me despertavam os Fractais, a medida
que fui compreendendo melhor novos conceitos associados ao tema e fui sendo capaz
de os sintetizar e de os apresentar de forma ordenada, a curiosidade sobre o assunto
cresceu amplamente. Para isso tambem muito contribuiu o constatar que a geometria
fractal esta patente em tantos lugares (sobretudo em objectos e em seres naturais) e
que formas tao complexas e por vezes tao bonitas, podem ser criadas ou simuladas por
processos matematicos muito simples. Outra surpresa, foi a grande aplicabilidade da
geometria fractal, nomeadamente dos conceitos de estrutura e de dimensao fractal a um
leque tao vasto de areas, desde as ciencias naturais as economico-sociais, a tecnologia
e a industria.
A sensacao de ter pegado na ponta de uma enorme meada de fio enrolado, mas
nao muito emaranhado, porque afinal tudo a pouco e pouco vai fazendo sentido, e
agradavel e ao mesmo tempo inquietante. E estimulante pensar que neste processo,
por detras de cada porta que se abre e de cada conceito que se entende esta um mundo
de aplicabilidades do mesmo e de outros conceitos e ideias correlacionados. E assim,
cada porta que se abre leva a outras que se abrem para outras, e ainda mais outras...
tal e qual como no processo de criacao de uma estrutura fractal - sempre igual, sem
nunca acabar e tornando o todo cada vez mais complexo e mais bonito. E quanto mais
aprendo, mais descubro que muito mais ha para aprender e fica a sensacao de que so
292 CONCLUSAO
agora estaria em condicoes para realmente comecar a estudar geometria fractal. Sinto
que esta jornada serviu apenas para adquirir os conceitos basicos.
Nem tudo na Natureza e fractal e, como ja foi dito no inıcio deste trabalho, a Geo-
metria Euclidiana continua e continuara a ser fundamental nao so para a estruturacao
do raciocınio matematico, como para a modelacao de inumeros objectos e fenomenos.
Por outro lado, nao basta que um determinado padrao se repita num objecto para que
ele possa ser considerado um fractal. Por exemplo, uma parede de tijolos nao devera
ser considerada um fractal porque a repeticao que se verifica diz respeito essencial-
mente a translacoes e nao a contraccoes. Deve haver alguma auto-semelhanca num
determinado objecto para que ele possa ser considerado um fractal e e necessario que
essa auto-semelhanca se repita por, pelo menos, alguns nıveis de escala. Alem disso,
essa repeticao deve acontecer atraves de duas contraccoes no mınimo; caso contrario
o que se obtem nao devera ser considerado um fractal, porque se existir uma unica
contraccao, apos infinitas iteracoes obter-se-a um ponto.
A geometria fractal e uma nova linguagem para a interpretacao das formas e dos
padroes complexos patentes na Natureza e tem contribuıdo para o evoluir da ciencia
ao fornecer novas ferramentas para descrever, modelar, analisar e medir o mundo e
revela conexoes espantosas deste com a Matematica. A geometria fractal e excitante,
intrigante, desafiadora e importante para muitas disciplinas. O conceito de fractal
e simples de entender e julgo que com relativamente poucos conhecimentos de ma-
tematica e possıvel abordar e resolver varios tipos de problemas que envolvam fractais.
Valera a pena continuar a estudar o conceito de Fractal e as suas aplicabilidades
e a formalizar meios de apresentar esta ideia matematica aos alunos. Nao e facil, no
ambito dos currıculos actuais, um professor conseguir uma ou duas semanas de tempo
de aula para leccionar uma unidade extra especifica sobre fractais, mas esse topico
pode ser usado como uma forma diferente, rica e contemporanea de abordar muitos
dos conteudos programaticos, dada a forte conexao entre os fractais e um vasto conjunto
de conteudos programaticos ja presentes no currıculo.
CONCLUSAO 293
O ideal seria que a Geometria Fractal pudesse passar a fazer parte, de forma oficial
e consciente, do currıculo dos nossos alunos, quer do ensino basico, quer do ensino
secundario, nao so da disciplina de Matematica, mas tambem de outras disciplinas em
que a aplicabilidade da geometria fractal e mais evidente, como e o caso da Biologia,
da Geografia, da Fısica e da Quımica. Nas disciplinas das areas de Informatica e
das Artes, os alunos deveriam tambem ter a oportunidade de construir objectos com
estruturas fractais. Julgo que nao seria necessario investir muito tempo em cada ano
lectivo exclusivamente com este assunto, mas sou da opiniao de que o tema pode ser
muito enriquecedor, sobretudo se a forma como for trabalhado proporcionar aos alunos
a nocao de que todos os saberes estao, de alguma forma, interligados. Penso que poucos
temas de estudo podem proporcionar esta ideia de forma tao evidente e abrangente e
e por isso que considero que o tema e passıvel de ser explorado na disciplina de Area
de Projecto.
Com os alunos mais pequenos, pode comecar-se com actividades que explorem o
conceito de iterada, “semente” (isto e, conjunto inicial ao qual e aplicado uma funcao),
“orbita” (isto e, sequencia das iteradas) e “regra” (ou seja, qual a funcao que esta a
ser aplicada). A identificacao das contraccoes do fractal contidas em si mesmo, com
fractais mais simples, tambem e possıvel realizar com os alunos mais jovens.
Para levar isto a cabo, seria necessario comecar pela formacao dos professores, das
varias areas de estudo, onde eles proprios comecariam por aprender os conceitos basicos
e por desenvolver pequenos projectos multi e interdisciplinares para, a partir da daı,
perceberem que tipo de actividades faz sentido propor aos alunos. Posteriormente seria
interessante que esses professores testassem as conviccoes adquiridas na sua formacao,
realizando algumas sessoes de formacao para alunos do ensino secundario, dedicadas
exclusivamente a geometria fractal enquanto tema unificador do conhecimento e as suas
aplicacoes nas areas das disciplinas curriculares.
Algumas universidades tem vindo nao so a integrar disciplinas dedicadas a Geo-
metria Fractal nos seus cursos cientıficos, como tambem a desenvolver varios projectos
294 CONCLUSAO
relacionados com formacao de professores (procurando que depois alguns deles pros-
sigam com a formacao de outros professores) ou com formacao de alunos (mesmo os
que nao tem uma forte preparacao matematica ou particular interesse pela ciencia)
ou ainda com o desenvolvimento de materiais curriculares que poderao ser utilizados
pelos professores do ensino secundario. E o caso de um projecto realizado desde 1995
pelo Departamento de Ciencias Matematicas da Florida Atlantic University14, de ou-
tro concretizado pela Universidade de Yale dedicado aos alunos15 e ainda de um outro
levado a cabo pelo Center for Polymer Studies da Universidade de Boston, desde 1989,
que consiste no desenvolvimento de materiais curriculares para o ensino secundario e
universitario, baseado em investigacao da ciencia moderna e no qual se incluiu uma
parte dedicada a geometria fractal16.
Considero urgente e importante que os nossos alunos contactem com a geometria
fractal e adquiram e compreendam alguns dos seus conceitos basicos. Em primeiro
lugar porque nao faz sentido que a palavra “geometria” faca surgir nas suas mentes
apenas imagens relacionadas com a geometria euclidiana sendo o mundo natural muito
melhor descrito pela geometria fractal; em segundo lugar, porque a possibilidade de
aplicacao desta geometria a outras areas e tao elevada que podera ser uma mais valia
para os alunos terem a mente aberta e desperta para esta possibilidade; em terceiro
lugar porque a geometria fractal e muito atractiva devido as bonitas representacoes
graficas que gera e ao interesse que desperta nao so pelas propriedades interessan-
tes patentes nos fractais, como na conectividade que revela ter com outros conceitos
matematicos e com outras areas do saber; em quarto lugar porque pode fomentar o
desenvolvimento de inumeras capacidades e competencias que ja foram referidas no
Capıtulo 4 (ver pagina 186) e entre as quais destaco as mais imediatas: a predisposicao
14Projecto “Pattern Exploration: Integrating Math and Science for the
Middle School” - http://www.math.fau.edu/Teacher/Teacher homepage.htm e
http://www.math.fau.edu/Teacher/MSP/
15Projecto “Fractal Geometry” - http://classes.yale.edu/fractals/
16Projecto “Patterns in Nature” - http://polymer.bu.edu/ogaf/
CONCLUSAO 295
para raciocinar matematicamente e para aplicar conceitos matematicos em contextos
reais, a capacidade de comunicar e de trabalhar em grupo e a competencia para ma-
nusear software informatico.
A exploracao do conceito de fractal na disciplina de Matematica pode ainda cons-
tituir um topico de uniao de temas transversais da disciplina como e o caso da Comu-
nicacao Matematica, da Aplicacao e Modelacao Matematica, da Logica e Raciocınio
Matematico, da Resolucao de Problemas e Actividades de Investigacao e da Tecnologia
e Matematica que nao sao menos importantes que os conteudos especıficos da disci-
plina, visto que encerram em si o potenciamento de variadıssimas competencias que
hoje sao necessarias a qualquer cidadao activo. Alem disso, discussoes interessantes
podem surgir atraves do estudo dos fractais atraves de questoes que podem ser colo-
cadas aos alunos, tais como: Porque e que a Natureza elege as formas fractais? Como
podemos usar a Geometria Fractal em nosso benefıcio?
Ambiciono com este trabalho contribuir para que a geometria fractal, que se mostra
tao util e crescentemente importante para a compreensao do mundo em geral, possa
ser conhecida por todos, quer alunos, quer professores. Gostaria que alguns dos actuais
alunos, futuros academicos ou profissionais de qualquer area, ao terem conhecimento
sobre o conceito de fractal e da sua aplicabilidade, pudessem mais tarde encontrar
novas aplicacoes da geometria fractal e melhorar o entendimento que a humanidade
tem do mundo em que vive.
Aspiro divulgar o tema e sensibilizar alunos e professores de Matematica e de ou-
tras disciplinas para a possibilidade de realizacao trabalhos de projecto multi e inter-
disciplinar sobre fractais. Sendo assim, pretendo colaborar com professores e alunos
trabalhando com estes o conceito de fractal na sala de aula e realizando pequenas
conferencias e sessoes praticas sobre a geometria fractal. Tenciono tambem divulgar
na internet todo o material que reuni para que possa ser utilizado por mais pessoas
interessadas pela Geometria Fractal.
296 CONCLUSAO
Acredito que a Geometria Fractal proporcionara mudancas fundamentais na forma
como olhamos e entendemos o nosso mundo e como iremos interagir com ele.
Anexos
297
298 ANEXOS
ANEXOS 299
Anexo 1. Grelha Triangular
300 ANEXOS
Anexo 2. Grelha Quadriculada
ANEXOS 301
Anexo 3. Grelha Triangular de Pontos
302 ANEXOS
Anexo 4. Grelha Quadriculada de Pontos
ANEXOS 303
Anexo 5. Grelha Hexagonal
304 ANEXOS
Anexo 6. Triangulo de Pascal
ANEXOS 305
Anexo 7. Curva de Koch - Esquema de colocacao das fotocopias
306 ANEXOS
Anexo 8. Curva de Koch - Esquema de colocacao das fotocopias - Iteracao 0
ANEXOS 307
Anexo 9. Triangulo de Sierpinski (Equilatero) - Esquema de colocacao das
fotocopias
308 ANEXOS
Anexo 10. Triangulo (Rectangulo) de Sierpinski - Esquema de colocacao das
fotocopias
ANEXOS 309
Anexo 11. Triangulo de Sierpinski - Esquema de colocacao das fotocopias -
Iteracao 0
310 ANEXOS
Anexo 12. Papel para Graficos com escala log-log
ANEXOS 311
Anexo 13. Modelo e instrucoes
para construcao de Fractal Tridimensional em Papel
“Cubos Contrarios”
(Adaptado de [18, pag. 37]-Fractal Cuts de Diego Uribe, edicao de Tarquin Publicati-
ons distribuıdo em Portugal pela Editora Replicacao.)
312 ANEXOS
Anexo 14. Modelo e Instrucoes
para construcao de Fractal Tridimensional em Papel
Quartil Central
(Adaptado de [18, pag. 19]-Fractal Cuts de Diego Uribe, edicao de Tarquin Publicati-
ons distribuıdo em Portugal pela Editora Replicacao.)
ANEXOS 313
Anexo 15. Modelo e Instrucoes
para construcao de Fractal Tridimensional em Papel
Triangulo de Sierpinski
(Adaptado de [18, pag. 49]-Fractal Cuts de Diego Uribe, edicao de Tarquin Publicati-
ons distribuıdo em Portugal pela Editora Replicacao.)
314 ANEXOS
Anexo 16. Neste cacto pode observar-se a mesma forma em diferentes escalas.
ANEXOS 315
Anexo 17. Nesta foto podem observar-se dois exemplos de fractais: o padrao
gerado pelos candeeiros alinhados ao longo da avenida (que pode obter-se atraves de
um SFI com conjunto de condensacao) e as nuvens.
316 ANEXOS
Anexo 18. Nesta foto pode observar-se a mesma forma em diferentes escalas no
padrao gerado pelo rebentamento da onda.
ANEXOS 317
Anexo 19. Algoritmos para o NetLogo
Estao no ficheiro fractais geometricos.pdf no CD que acompanha esta dissertacao.
318 ANEXOS
Anexo 20. Algoritmos para o LOGO
Curvas de Peano
to peano2 :itera :size
if :itera = 0 [fd :size stop]
peano2 :itera-1 :size/3
lt 90
peano2 :itera-1 :size/3
rt 90
peano2 :itera-1 :size/3
rt 90
peano2 :itera-1 :size/3
peano2 :itera-1 :size/3
rt 90
peano2 :itera-1 :size/3
rt 90
peano2 :itera-1 :size/3
rt 90
peano2 :itera-1 :size/3
peano2 :itera-1 :size/3
end
to peano1 :itera :size
if :itera = 0 [fd :size stop]
peano1 :itera-1 :size/2
lt 90
peano1 :itera-1 :size/2
rt 180
peano1 :itera-1 :size/2
lt 90
peano1 :itera-1 :size/2
end
to peano3 :itera :size
if :itera = 0 [fd :size stop]
peano3 :itera-1 :size*9/20
lt arccos 1/9
peano3 :itera-1 :size*9/20
rt 2*arccos 1/9
peano3 :itera-1 :size*9/20
lt arccos 1/9
peano3 :itera-1 :size*9/20
end
Curva de Koch
to koch :iteration :longitud
if :iteration = 0 [fd :longitud stop]
koch :iteration-1 :longitud/3
lt 60
koch :iteration-1 :longitud/3
rt 120
koch :iteration-1 :longitud/3
lt 60
koch :iteration-1 :longitud/3
end
ANEXOS 319
Ilha de Minkowski
to Minkowski :size :level
repeat 4 [MLado :size :level rt 90]
end
to MLado :size :level
if :level = 0 [fd :size stop]
MLado :size/4 :level-1
lt 90 MLado :size/4 :level-1
rt 90 MLado :size/4 :level-1
rt 90 MLado :size/4 :level-1
MLado :size/4 :level-1
lt 90 MLado :size/4 :level-1
lt 90 MLado :size/4 :level-1
rt 90 MLado :size/4 :level-1
end
Triangulo de Sierpinski
to sierpinski :itera :size
if :itera = 0 [setpc 0
setfc pencolor
repeat 3 [fd :size lt 120]
pu
lt 10
fd :size/2
fill
bk :size/2
rt 10
pd
stop]
if :itera = 1 [sierpinski :itera-1 :size
fd :size/2 lt 60
setpc 7
setfc pencolor
repeat 3 [fd :size/2 lt 120]
pu
lt 10
fd :size/4
fill
bk :size/4
rt 10
rt 60
bk :size/2
pd
stop]
sierpinski :itera-1 :size/2
fd :size/2
sierpinski :itera-1 :size/2
bk :size/2
lt 60
fd :size/2
rt 60
sierpinski :itera-1 :size/2
lt 60
bk :size/2
rt 60
end
320 ANEXOS
Conteudo do CD que acompanha esta Dissertacao:
• NetLogo (Algoritmos)
• Imagens a cores
• Apresentacao Powerpoint “Fractais? E isso come-se com que?”- apresentada
no ambito do Projecto para a Licenca Sabatica durante a Semana Cultural na
Escola Secundaria c/3o C.E.B. da Batalha
Bibliografia
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[2] FALCONER, Keneth. Fractal Geometry - Mathmatical Foundations and Applications. Chichester:
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CIANTE, Terence H., YUNKER, Lee E.. Fractals for the Classroom, Strategic Activities, Volume
Two. New York: Springer-Verlag New York, Inc.,1992
[13] PEITGEN, Heinz-Otto, JURGENS, Hartmut, SAUPE, Dietmar, MALETSKY, Evan M., PER-
CIANTE, Terence H.. Fractals for the Classroom, Strategic Activities, Volume Three. New York:
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Ciencias e Tecnologias e de Ciencias Socioeconomicas. Ministerio da Educacao, 2001
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FONSECA, Cristina, LOPES, Ilda. Matematica A. 11o Ano. Cursos Cientıfico-Humanısticos de
Ciencias e Tecnologias e de Ciencias Socioeconomicas. Ministerio da Educacao, 2002
[24] CARVALHO E SILVA, Jaime (Coordenador), FONSECA, Maria Graziela, MARTINS, Arselio,
FONSECA, Cristina, LOPES, Ilda. Matematica A. 12o Ano. Cursos Cientıfico-Humanısticos de
Ciencias e Tecnologias e de Ciencias Socioeconomicas. Ministerio da Educacao, 2002
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FONSECA, Cristina, LOPES, Ilda. Matematica B. 10o ou 11o Anos. Cursos Cientıfico-
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trotecnia e Electronica, de Infromatica, de Administracao, de Marketing e de Desporto. Ministerio
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FONSECA, Cristina, LOPES, Ilda. Matematica B. 11o ou 12o Anos. Cursos Cientıfico-
Humanısticos de Artes Visuais. Cursos Tecnologicos de Construcao Civil e Edificacoes, de Elec-
trotecnia e Electronica, de Infromatica, de Administracao, de Marketing e de Desporto. Ministerio
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