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Frozen Development in Graph Coloring
Sarah Tauscher
16. Juni 2008
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Gliederung
Motivation Vorstellung des Verfahrens
Vergleich der Implementierungsvarianten Ergebnisse
Weiterführende Untersuchungen Einfluss freier Paare Entwicklung der Äquivalenzklassen
Minimale Graphen Konstruktion kritischer Graphen
Ausblick
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Motivation
Average-Case-Analyse np-vollständiger Probleme Ziel: Eigenschaften zu identifizieren die Einfluss auf die
Schwierigkeiten der Lösung einzelner Instanzen haben Untersuchung von Zufallsinstanzen mit Methoden aus
der statistischen Mechanik Phasenübergang von färbbaren zu unfärbaren Graphen
in Zufallsgraphprozessen bei Erhöhung des Durchschnittsgrads
Schwellwert: Wert des Durchschnittsgrads zu dem der Phasenübergang erfolgt
Ordnungsparameter: Eigenschaften die Veränderung beim Phasenübergang charakterisieren
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Full Frozen Development
Zufallsgraphprozess in dessen Verlauf nur Kanten hinzugefügt werden, falls der Graph färbbar bleibt
Bestimmung der Paartypen fixierte Paare, sind diejenigen die in allen gültigen Färbungen
gleich gefärbt sind freie Paare sind in allen gültigen Färbungen unterschiedlich
gefärbt, obwohl sie nicht verbunden sind Paare die weder frei noch fixiert sind, sind effektiv Die Bestimmung erfolgt durch Widerspruch
Bestimmung der Kristallisationsindices Backbone wird als Approximation des Ordnungs-
parameters verwendet
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Implementierungsvarianten
Vorwärtsscan (VS) bei jedem Index,
werden alle Paare mit größeren Index kontrolliert, ob ihr Typ bestimmt ist
Anzahl der Aufrufe des Graphfärbeprogramms O(n4)
es werden hauptsächlich färbbare Graphen getestet
Rückwärtsscan (RS) zu dem aktuellem
Paar wird sein Typ und Kristallisations-index bestimmt
O(n2log(n2)) Verhältnis von
färbbaren zu unfärbbaren Graphen ist ungefähr gleich
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Optimierungen
Wiederverwenden schon erstellter gültiger Färbungen Reduzierung gültiger Aufrufe Beim RS muss gespeichert werden bis zu welchem
Index die Färbung gültig ist Ausnutzen der Äquivalenzrelation
Reduzierung ungültiger Aufrufe bei beiden Varianten Bei RS auch Einsparung gültiger Aufrufe bei der
Bestimmung des Kristallisationsindex Vorrausberechnung des Schwellwertes
Alle Paare mit kleinerem Index als der Schwellwert sind nicht fixiert
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Experimente für den Vergleich der Varianten je 30 Zufallsgraphprozesse der Ordnungen 50,75,..., 225 VS, RS ohne und mit Ausnutzen der Äquivalenzfunktion
und diese wiederum mit und ohne Schwellwertvorraus-berechnung
gesammelte Daten: Anzahl der Aufrufe und Suchknoten, getrennt nach färbbar und
unfärbbar Anzahl der durch die Äquivalenzrelation bestimmbaren
Paartypen Aufrufe für die Schwellwertvorausberechnung Für RS die Anzahl der Färbungen die durch Wiederverwenden
von Färbungen eingespart werden Laufzeit
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Anzahl der Aufrufe
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Eigenschaften der untersuchten Graphen
Anzahl der Knoten pro Farbe in vollständigen Graphen annähernd gleich
Verteilung der Typen abhängig vom Zufallsgraphprozess
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Kantentypen
Kantenmaximaler Graph ist eindeutig färbbar, aber nicht minimal
Zwei Kantentypen: effektive Kanten: Wird dies Kante entfernt können ihre
Knoten gleich gefärbt werden freie Kanten: Nach Entfernung der Kante bilden die
Knoten ein freies Paar Untere Schranke: 2* (n-3) + 3 Bestimmung der Kantentypen nicht eindeutig Anteil freier Kanten liegt bei ca17%
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Ergebnisse
Anzahl fixierter Paare steigt beim Phasenübergang stark an
Anstieg wird für Graphprozesse höherer Ordnung steiler
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Auftreten freier Paare
Auftreten analog zu dem fixierter Paare
Alle Nachbarn eines Knoten eines fixierten Paares bilden ein freies Paar mit dem anderen Knoten
Freie Paare treten auch ohne fixierte Paare auf
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Einfluss freier Paare auf die Kosten der Färbungen
Werden beim VS alle bekannten freien Paare als Kante hinzugefügt, werden die Färbungen „einfacher“
Es treten deutlich mehr 4-Cliquen auf Erhöhung des Durchschnittsgrades Struktur der Graphen nach Hinzufügen freier Paare
Vereinfachung der Färbungen ist auch bei 4-COL zu beobachten
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Beweise
F+(K-COL) ist np-vollständig Graphen sind entweder k-färbbar, oder besitzen eine
N4C mit Sehne s und ohne s ist der Graph k-färbbar und besitzt keine freien Paare
Reduktion: Die Bestimmung eines freien Paares ist np-
vollständig Die Bestimmung, ob ein Paar frei ist, ist np-
vollständig
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Kollabierter Graph
Äquivalenzklassen werden zu einem Knoten zusammengefasst
Größe des kollabierten Graphen reduziert sich bei einem Index um ca 28% (min. 10%)
Index der die größte Reduzierung verursacht wird als Max-Drop bezeichnet
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Äquivalenzklassen
Mögliche Ursachen für Max-Drop Entstehung neuer Äquivalenzklassen Hinzufügen von Knoten zu vorhandenen Klassen Zusammenfall von Äquivalenzklassen
Anstieg der Anzahl der Äquivalenzklassen Typischerweise stärker in Schwellwertnähe
Wachstum der Äquivalenzklassen Großteil der Klassen wächst nur um wenige Knoten Maximale Werte werden für Graphprozesse höherer
Ordnung größer, treten sehr selten auf
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Minimale Graphen (1)
Graphen enthalten mindestens ein freies oder fixiertes Paar
Nach Entfernung einer beliebigen Kante, weist der Graph weder freie noch fixierte Paare auf
Zur Konstruktion minimaler Graphen ist es hilfreich die Bedingungen die von den Nachbarn freier und fixierter Paare erfüllt sein müssen zu betrachten
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Minimale Graphen (2)
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Konstruktion minimale Graphen mit mehreren freien und fixierten Paaren Ein Dreieck und ein Kreis
dessen Länge durch 3 teilbar ist
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Minimale Graphen (3)
Ein Dreieck und ein Kreis dessen Länge durch 3 teilbar ist
Verbinde die Knoten des Kreises abwechselnd mit einem Knoten des Dreiecks
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Minimale Graphen (3)
Ein Dreieck und ein Kreis dessen Länge durch 3 teilbar ist
Verbinde die Knoten des Kreises abwechselnd mit einem Knoten des Dreiecks
Alle Knoten die mit dem gleichen Dreiecksknoten verbunden sind gehören zu einer Äquivalenz-klasse
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Konstruktion kritischer Graphen
Ausgangspunkt ein kritischer Graph
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Konstruktion kritischer Graphen
Ausgangspunkt ein kritischer Graph
Ersetzen einer Kante durch ein freies Paar, eines minimalen Graphen
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Konstruktion kritischer Graphen
Ausgangspunkt ein kritischer Graph
Ersetzen einer Kante durch ein freies Paar eines minimalen Graphen
Ersetzen eines Knotens durch ein fixiertes Paar eines minimalen Graphen
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Ausblick
Optimierung der Laufzeit des Full Frozen Developments Testen der konstruierten kritischen Graphen Entwicklung von Algorithmen zur Konstruktion kritischer
Graphen aus minimalen Graphen Bestimmung minimaler Strukturen für k > 3 Anwendung des Frozen Developments zur Bestimmung
minimaler Graphen Testen anderer Färbeprogramme Durchführen des Full Frozen Developments für k > 3
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Vielen Dank für die Aufmerksamkeit
Fragen ?
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Berechnung der Anzahl der Färbungen ohne Optimierungen
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Kristalisationsindices
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Variablen-Gadgets
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Klausel-Gadgets
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Laufzeit
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Kritische Graphen
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Formeln
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Kollabierter Graph