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Fısica Matematica:a teoria das teorias
Victor Chabu
22 de fevereiro de 2019 – Bem vindos!
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Provocacao: teoria das teorias?
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Relatividade
Intervalos de luz
I Coisas que podem estar ligadas por efeitos fısicos:
∆x
∆t6 c
⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 > 0.
I Coisas que se movem a velocidade da luz:
∆x
∆t= c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 = 0.
I Coisas que nao podem estar ligadas por efeitos fısicos:
∆x
∆t> c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 < 0.
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Relatividade
Intervalos de luz
I Coisas que podem estar ligadas por efeitos fısicos:
∆x
∆t6 c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 > 0.
I Coisas que se movem a velocidade da luz:
∆x
∆t= c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 = 0.
I Coisas que nao podem estar ligadas por efeitos fısicos:
∆x
∆t> c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 < 0.
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Relatividade
Intervalos de luz
I Coisas que podem estar ligadas por efeitos fısicos:
∆x
∆t6 c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 > 0.
I Coisas que se movem a velocidade da luz:
∆x
∆t= c
⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 = 0.
I Coisas que nao podem estar ligadas por efeitos fısicos:
∆x
∆t> c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 < 0.
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Relatividade
Intervalos de luz
I Coisas que podem estar ligadas por efeitos fısicos:
∆x
∆t6 c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 > 0.
I Coisas que se movem a velocidade da luz:
∆x
∆t= c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 = 0.
I Coisas que nao podem estar ligadas por efeitos fısicos:
∆x
∆t> c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 < 0.
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Relatividade
Intervalos de luz
I Coisas que podem estar ligadas por efeitos fısicos:
∆x
∆t6 c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 > 0.
I Coisas que se movem a velocidade da luz:
∆x
∆t= c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 = 0.
I Coisas que nao podem estar ligadas por efeitos fısicos:
∆x
∆t> c
⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 < 0.
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Relatividade
Intervalos de luz
I Coisas que podem estar ligadas por efeitos fısicos:
∆x
∆t6 c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 > 0.
I Coisas que se movem a velocidade da luz:
∆x
∆t= c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 = 0.
I Coisas que nao podem estar ligadas por efeitos fısicos:
∆x
∆t> c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 < 0.
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Relatividade
Intervalos de luz
O importante e avaliar o sinal da quantidade
c2(∆t)2 − (∆x)2,
ou seja, estudar a funcao:
D(t, x) = c2t2 − x2.
Esperteza:
D(t, x) =(ct x
)(1 00 −1
)︸ ︷︷ ︸
M
(ctx
).
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Relatividade
Intervalos de luz
O importante e avaliar o sinal da quantidade
c2(∆t)2 − (∆x)2,
ou seja, estudar a funcao:
D(t, x) = c2t2 − x2.
Esperteza:
D(t, x) =(ct x
)(1 00 −1
)︸ ︷︷ ︸
M
(ctx
).
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Relatividade
Mudanca de coordenadas
I Novas coordenadas:(ctx
)=
(a1 a2
a3 a4
)︸ ︷︷ ︸
L
(ctx
).
I Preservacao da causalidade: D (t, x) tem que ter omesmo sinal de D(t, x); em particular:
D (t, x) = 0 ⇔ D (t, x) = 0.
I Teorema: se L preserva o sinal de D e os intervalos tipoluz, entao D (t, x) = D (t, x) sempre.
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Relatividade
Mudanca de coordenadas
I Novas coordenadas:(ctx
)=
(a1 a2
a3 a4
)︸ ︷︷ ︸
L
(ctx
).
I Preservacao da causalidade: D (t, x) tem que ter omesmo sinal de D(t, x); em particular:
D (t, x) = 0 ⇔ D (t, x) = 0.
I Teorema: se L preserva o sinal de D e os intervalos tipoluz, entao D (t, x) = D (t, x) sempre.
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Relatividade
Mudanca de coordenadas
I Novas coordenadas:(ctx
)=
(a1 a2
a3 a4
)︸ ︷︷ ︸
L
(ctx
).
I Preservacao da causalidade: D (t, x) tem que ter omesmo sinal de D(t, x); em particular:
D (t, x) = 0 ⇔ D (t, x) = 0.
I Teorema: se L preserva o sinal de D e os intervalos tipoluz, entao D (t, x) = D (t, x) sempre.
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Relatividade
Mudanca de coordenadas
Em palavras, para todo vetor u =
(ctx
), deve-se ter
uT LTMLu = uT M u,
o que da:LTML = M .
I Examinando o determinante: det(L) = ±1.Em componentes: a1a4 − a2a3 = 1.
I Examinando a inversa: L−1 = MLTM .
Em componentes:
(a4 −a2
−a3 a1
)=
(a1 −a3
−a2 a4
)⇒{
a1 = a4
a2 = a3.
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Relatividade
Mudanca de coordenadas
Em palavras, para todo vetor u =
(ctx
), deve-se ter
uT LTMLu = uT M u,
o que da:LTML = M .
I Examinando o determinante: det(L) = ±1.Em componentes: a1a4 − a2a3 = 1.
I Examinando a inversa: L−1 = MLTM .
Em componentes:
(a4 −a2
−a3 a1
)=
(a1 −a3
−a2 a4
)⇒{
a1 = a4
a2 = a3.
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Relatividade
Mudanca de coordenadas
Em palavras, para todo vetor u =
(ctx
), deve-se ter
uT LTMLu = uT M u,
o que da:LTML = M .
I Examinando o determinante: det(L) = ±1.Em componentes: a1a4 − a2a3 = 1.
I Examinando a inversa: L−1 = MLTM .
Em componentes:
(a4 −a2
−a3 a1
)=
(a1 −a3
−a2 a4
)⇒{
a1 = a4
a2 = a3.
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Relatividade
Mudanca de coordenadas
Em palavras, para todo vetor u =
(ctx
), deve-se ter
uT LTMLu = uT M u,
o que da:LTML = M .
I Examinando o determinante: det(L) = ±1.Em componentes: a1a4 − a2a3 = 1.
I Examinando a inversa: L−1 = MLTM .
Em componentes:
(a4 −a2
−a3 a1
)=
(a1 −a3
−a2 a4
)⇒{
a1 = a4
a2 = a3.
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Relatividade
Transformacoes de Lorentz
Juntando tudo: a21 = 1 + a2
2 e obtem-se
L =
(√1 + a2
2 a2
a2
√1 + a2
2
);
pondo 1 + a22 = 1
1−( vc )
2
?? (fator de Lorentz, γ2(v)):
L(v) =
(γ(v) − v
cγ(v)
− vcγ(v) γ(v)
).
I Transformacoes de Lorentz:
x =x − vt√1−
(vc
)2e t =
t − vc2 x√
1−(
vc
)2
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Relatividade
Transformacoes de Lorentz
Juntando tudo: a21 = 1 + a2
2 e obtem-se
L =
(√1 + a2
2 a2
a2
√1 + a2
2
);
pondo 1 + a22 = 1
1−( vc )
2 ??
(fator de Lorentz, γ2(v)):
L(v) =
(γ(v) − v
cγ(v)
− vcγ(v) γ(v)
).
I Transformacoes de Lorentz:
x =x − vt√1−
(vc
)2e t =
t − vc2 x√
1−(
vc
)2
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Relatividade
Transformacoes de Lorentz
Juntando tudo: a21 = 1 + a2
2 e obtem-se
L =
(√1 + a2
2 a2
a2
√1 + a2
2
);
pondo 1 + a22 = 1
1−( vc )
2 ?? (fator de Lorentz, γ2(v)):
L(v) =
(γ(v) − v
cγ(v)
− vcγ(v) γ(v)
).
I Transformacoes de Lorentz:
x =x − vt√1−
(vc
)2e t =
t − vc2 x√
1−(
vc
)2
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Relatividade
Transformacoes de Lorentz
Juntando tudo: a21 = 1 + a2
2 e obtem-se
L =
(√1 + a2
2 a2
a2
√1 + a2
2
);
pondo 1 + a22 = 1
1−( vc )
2 ?? (fator de Lorentz, γ2(v)):
L(v) =
(γ(v) − v
cγ(v)
− vcγ(v) γ(v)
).
I Transformacoes de Lorentz:
x =x − vt√1−
(vc
)2e t =
t − vc2 x√
1−(
vc
)2
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Mecanica Quantica
Panorama classico
I Descricao:I Um estado fısico e um ponto (x , p) do espaco de fases.I O sistema evolui segundo uma trajetoria no espaco de fases:
Φ(t) = ((x(t), p(t)) .I Dinamica:
I O sistema e descrito por uma energia E no espaco de fases.I As trajetorias sao dadas pelas equacoes de Hamilton:
∆Φ(t)
∆t=
(∆E
∆p,−∆E
∆x
).
I Medida:I Um observavel e uma funcao A sobre o espaco de fases.I A evolucao de A e dada pela composicao com a trajetoria:
A(t) = A (x(t), p(t)) .
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∆E∆p
= pm
e −∆E∆x
= ∓1 se x ≷ 0
Figura: Campo vetorial para: E (x , p) = 12m p2 + |x |.
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∆Φ(t)∆t
=(
∆x(t)∆t
, ∆p(t)∆t
)=(
∆E∆p,−∆E
∆x
)
Figura: Trajetorias para: E (x , p) = 12m p2 + |x |.
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Mecanica Quantica
Panorama quantico
I Descricao:I Um estado fısico e uma funcao Ψ ∈ L2.
Ex.: a nıveis de energia n1, n2, ..., associa-se Ψ(ni ).
I |Ψ|2 representa uma densidade de probabilidade.
Ex.: |Ψ(ni )|2 e a probabilidade do sistema estar no nıvel ni .
I Dinamica:I O sistema e descrito por um operador H.I A evolucao de Ψ e dada pela equacao de Schrodinger:
i~ ∂tΨ = H Ψ.(Nao vai ter desenho para essa equacao.)
I Medida:I Um observavel e um tipo de operador A.I Calcula-se a media de A para um sistema no estado Ψ.
Ex.: A = (λ1, λ2, ...),⟨
A⟩
Ψ=∑∞
n=1 λi |Ψ(ni )|2.
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Mecanica Quantica
Limite semiclassico
I Pergunta: entre dois mundos tao diferentes, algumaconexao?
Mecanica Classica Mecanica Quantica
Descricaoespaco de fase espaco L2
determinıstico probabilıstico
Dinamicatrajetorias princıpio de incerteza
equacoes de Hamilton equacao de Schrodinger
Medicaocomposicao com trajetorias produto internopreserva o estado medido destroi o estado medido
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Mecanica Quantica
Limite semiclassico
I Resposta: sejam U(x , p) operadores de translacao emespaco e momento:⟨
X⟩
U(x ,p)Ψ=
⟨X⟩
Ψ+ x ;⟨
P⟩
U(x ,p)Ψ=
⟨P⟩
Ψ+ p.
Isso induz uma funcao sobre o espaco de fase. E atransformada de Wigner, WΨ(x , p).
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Mecanica Quantica
Limite semiclassico
I Resposta: sejam U(x , p) operadores de translacao emespaco e momento:⟨
X⟩
U(x ,p)Ψ=
⟨X⟩
Ψ+ x ;⟨
P⟩
U(x ,p)Ψ=
⟨P⟩
Ψ+ p.
Isso induz uma funcao sobre o espaco de fase. E atransformada de Wigner, WΨ(x , p).
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Mecanica Quantica
Limite semiclassico
I Limite semiclassico: e quando ~ −→ 0. Nesse limitetem-se:
WΨ −→ µ,µ(x , p) densidade de probabilidade
no sentido que, para todo observavel A:⟨A⟩
Ψ−→ 〈A〉µ .
I Teorema: µ obedece as equacoes de Hamilton, ou seja,evolui conforme a Mecanica Classica:
∂tµt(x , p) + p · ∂xµt(x , p)−∇V (x) · ∂pµt(x , p) = 0.
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Mecanica Quantica
Limite semiclassico
I Limite semiclassico: e quando ~ −→ 0. Nesse limitetem-se:
WΨ −→ µ,µ(x , p) densidade de probabilidade
no sentido que, para todo observavel A:⟨A⟩
Ψ−→ 〈A〉µ .
I Teorema: µ obedece as equacoes de Hamilton, ou seja,evolui conforme a Mecanica Classica:
∂tµt(x , p) + p · ∂xµt(x , p)−∇V (x) · ∂pµt(x , p) = 0.
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Fısica Matematica
A fısica e a matematica
I Transformacoes de coordenadas: algebra linear.
I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.
I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.
I Espaco de fase: geometria diferencial.
I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...
: teoria de equacoes diferenciais.
I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.
I Estados quanticos: analise funcional.
I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.
I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.
I Em que sentido as coisas convergem: topologia.
I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.
I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.
I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?
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Fısica Matematica
A fısica e a matematica
I Transformacoes de coordenadas: algebra linear.
I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.
I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.
I Espaco de fase: geometria diferencial.
I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...
: teoria de equacoes diferenciais.
I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.
I Estados quanticos: analise funcional.
I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.
I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.
I Em que sentido as coisas convergem: topologia.
I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.
I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.
I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?
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Fısica Matematica
A fısica e a matematica
I Transformacoes de coordenadas: algebra linear.
I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.
I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.
I Espaco de fase: geometria diferencial.
I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...
: teoria de equacoes diferenciais.
I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.
I Estados quanticos: analise funcional.
I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.
I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.
I Em que sentido as coisas convergem: topologia.
I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.
I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.
I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?
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Fısica Matematica
A fısica e a matematica
I Transformacoes de coordenadas: algebra linear.
I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.
I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.
I Espaco de fase: geometria diferencial.
I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...
: teoria de equacoes diferenciais.
I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.
I Estados quanticos: analise funcional.
I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.
I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.
I Em que sentido as coisas convergem: topologia.
I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.
I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.
I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?
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Fısica Matematica
A fısica e a matematica
I Transformacoes de coordenadas: algebra linear.
I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.
I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.
I Espaco de fase: geometria diferencial.
I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...
: teoria de equacoes diferenciais.
I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.
I Estados quanticos: analise funcional.
I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.
I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.
I Em que sentido as coisas convergem: topologia.
I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.
I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.
I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?
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Fısica Matematica
A fısica e a matematica
I Transformacoes de coordenadas: algebra linear.
I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.
I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.
I Espaco de fase: geometria diferencial.
I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...
: teoria de equacoes diferenciais.
I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.
I Estados quanticos: analise funcional.
I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.
I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.
I Em que sentido as coisas convergem: topologia.
I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.
I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.
I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?
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Fısica Matematica
A fısica e a matematica
I Transformacoes de coordenadas: algebra linear.
I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.
I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.
I Espaco de fase: geometria diferencial.
I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...
: teoria de equacoes diferenciais.
I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.
I Estados quanticos: analise funcional.
I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.
I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.
I Em que sentido as coisas convergem: topologia.
I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.
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A fısica e a matematica
I Transformacoes de coordenadas: algebra linear.
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I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...
: teoria de equacoes diferenciais.
I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.
I Estados quanticos: analise funcional.
I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.
I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.
I Em que sentido as coisas convergem: topologia.
I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.
I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.
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A fısica e a matematica
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I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.
I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.
I Espaco de fase: geometria diferencial.
I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...
: teoria de equacoes diferenciais.
I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.
I Estados quanticos: analise funcional.
I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.
I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.
I Em que sentido as coisas convergem: topologia.
I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.
I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.
I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?
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I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.
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I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...
: teoria de equacoes diferenciais.
I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.
I Estados quanticos: analise funcional.
I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.
I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.
I Em que sentido as coisas convergem: topologia.
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I Transformacoes de coordenadas: algebra linear.
I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.
I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.
I Espaco de fase: geometria diferencial.
I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...
: teoria de equacoes diferenciais.
I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.
I Estados quanticos: analise funcional.
I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.
I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.
I Em que sentido as coisas convergem: topologia.
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I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...
: teoria de equacoes diferenciais.
I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.
I Estados quanticos: analise funcional.
I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.
I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.
I Em que sentido as coisas convergem: topologia.
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I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.
I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.
I Espaco de fase: geometria diferencial.
I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...
: teoria de equacoes diferenciais.
I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.
I Estados quanticos: analise funcional.
I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.
I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.
I Em que sentido as coisas convergem: topologia.
I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.
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Obrigado pela atencao!