1. Resolvamos los Sigts. Ejercicios sobre fracciones.
FRACCIONES
Escribir las fracciones:
A
C
B
Escribir las fracciones:
36
816
612
A
C
B
12
28
13
68
88
Colorear las fracciones:
12
28
13
68
88
Une cada fracción con su dibujo:
46
26
612
1218
Une cada fracción con su dibujo:
46
26
612
1218
Une cada fracción con su dibujo:
810
45
410
48
Une cada fracción con su dibujo:
810
45
410
48
2. Aplicaciones de áreas y volúmenes.
1. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de diagonales 12 y 18 cm.
2. Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.
5. Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.
6. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.
Ángulos de elevación y de depresiónLos ángulos de elevación y de depresión, son los que se forman por la línea visual y la línea horizontal.
Se llama línea visual (o de visión) a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado.
A
B
línea visual
En la imagen, A observa a B
3.Resolución de Triángulos Rectángulos.
Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado, cuando éste está situado arriba del observador.
• Ángulo de elevación
a: ángulo de elevación
H : horizontal del observador
En la imagen, A observa a B.
A
B
línea visual
Ha
Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.
• Ángulo de depresión
En la imagen, el observador ahora está en la torre, hablaremos entonces de un ángulo de depresión.
b: ángulo de depresión H : horizontal del observador
En la imagen B observa a A.
A
B
línea visual
Hb
Ejemplo:
1. Una piedra que está en el suelo se encuentra a 20 metros de un árbol con un ángulo de elevación de
60°. ¿Cuál es la altura del árbol?
Solución:
El árbol es perpendicular al suelo, entonces su dibujo es:
20 m
h
60°
Los datos corresponden a los catetos del triángulo rectángulo y la función trigonométrica que los relaciona es la tangente, entonces:
tg a cateto opuesto
cateto adyacente=
tg 60° h
20=
Pero la tg 60°= 3
Por lo tanto, la altura del árbol es 20 m3
h
20=3
3 = h2020 m
h
60°
2. Una persona se encuentra en la parte superior de un faro de 30 metros de altura y observa un gato que se encuentra en el techo de una casa de 5 metros de altura, con un ángulo de depresión de 30º.
¿Cuál es la distancia entre el gato y la persona?
Los datos que se tienen corresponden al cateto opuesto y a la hipotenusa, del triángulo rectángulo formado. La función trigonométrica que los relaciona es el seno, entonces:
sen a = cateto opuestohipotenusa
Como sen 30° = 12
= 25x
12
x = 50
sen 30° = 25x
30°
30°30
5
25
x
Calcular la medida del ángulo “x”
B
A
X P130º
Resolución
4. La circunferencia Problema de aplicación
RESOLUCIÓN
B
A
X P130º C
Medida del ángulo inscrito:
En la circunferencia:
260º
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
X = 80º
2
mABº130 mAB = 260º
mACB = 100º
mACB + x = 100º
260º + mACB = 360º
Pendiente de la recta secante = ( ) ( )f x h f x
h
5. Explicación a la derivada de las funciones
PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE
Es posible calcular la pendiente de la recta tangente,así:
Aproximamos la recta secante hacia la recta tangentey se observa en este proceso que h tiende a cero, veamos las siguientes gráficas:
De tal manera que usando el concepto de límitecuando h tiende a cero obtenemos:
Pendiente de la recta tangente
0
( ) ( )limh
f x h f x
h
= Derivada de f(x)