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Função do 1º grau
A temperatura de uma substância é 30 ºC. Vamos analisar duas
situações distintas.
• Sua temperatura varia com o tempo de maneira
uniforme, aumentando 10 ºC por minuto.
t(min) 0 1 2 3 4 5
T(oC) 30 40 50 60 70 80
Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto.
A taxa de variação da temperatura é positiva (10 oC/min).
Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é,
T = 30 + 10.t
• Sua temperatura varia com o tempo de maneira
uniforme, diminuindo 10 ºC por minuto.
t(min) 0 1 2 3 4 5
T(oC) 30 20 10 0 –10 – 20
Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto.
A taxa de variação da temperatura é negativa (10 oC/min).
Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é,
T = 30 – 10.t
Veja os gráficos cartesianos das duas funções
t(min)
T(oC)
0 1 2 3 4
t(min) T(oC)
0 30
1 40
2 50
3 60
4 70
5 8020
40
60
80
5T = 30 + 10.t
Veja os gráficos cartesianos das duas funções
t(min)
T(oC)
0 1 2 3 4
t(min) T(oC)
0 30
1 20
2 10
3 0
4 –10
5 –20–20
–40
20
40
5
T = 30 – 10.t
60
Função de 1º grau é toda função do tipo
y = f(x) = ax + b
Em que a e b são constantes reais, com a ≠ 0.
Se b = 0, temos a função y = f(x) = ax, chamada, também, função
linear.
Exemplos
• y = f(x) = 5x – 3
é uma função do 1º grau com a = 5 e b = –3.
• y = f(x) = –2x
é uma função do 1º grau, com a = –2 e b = 0
Nesse caso a função é chamada de linear.
Características da função do 1º grau y = ax + b.
• A fórmula que a define é um polinômio de 1º grau; seu termo independente pode ser nulo ou não.
• Se b = 0, temos a função f(x) = ax, chamada de função linear.
• A constante real a, não-nula, é o coeficiente angular. Ela é a mesma, qualquer que seja o intervalo considerado.
Características da função do 1º grau y = ax + b.
• A constante real b é o coeficiente linear.
• Seu gráfico cartesiano é uma linha reta, não paralela aos eixos. Ela pode conter a origem (caso b = 0) ou não conter origem (caso b ≠ 0).
• O crescimento ou o decrescimento da função estão relacionados com o sinal de a. A reta é ascendente para a > 0 e descendente para a < 0.
Crescimento e decrescimento.
a > 0 função crescente
reta ascendente (sobe da esquerda p/
direita)
a < 0 função decrescente
reta descendente (desce da esquerda p/
direita)
Exemplos • Veja o gráficos das funções y = x; y = 2x e y = x/2.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–14 5–4–5
–5
–4
4
5y = x
y = x/2
y = 2xa > 0
Exemplos
• Veja o gráficos das funções y = –x; y = –2x e y = –x/2 em que
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–14 5–4–5
–5
–4
4
5
y = –x
y = –x/2
y = –2x
a < 0
A partir do gráfico da função linear y = ax, podemos obter os gráficos de todas as funções afins y = ax + b. Deslocamos o gráfico da função y = ax para cima ou para baixo, de acordo com o valor da constante b.
Exemplos
• Veja o gráficos das funções y = x; y = x + 2 e y = x – 3.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–14 5–4–5
–5
–4
4
5y = x
a > 0
y = x – 3
y = x + 2
Exemplos
• Veja o gráficos das funções y = –2x; y = –2x – 3 e y = –2x + 4.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–14 5–4–5
–5
–4
4
5
y = –2x + 4
y = –2x
a < 0
y = –2x – 3
A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções do
tipo y = ax + b.
• Que relação existe entre o coeficiente b e o ponto onde cada reta corta o eixo y?
b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y. Ou seja, a reta intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, b).
Construir o gráfico da função y = 2x + 3.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–14 5–4–5
–5
–4
4
5
y = 2x + 3
x y = 2x + 3
0 y = 2.0 + 3 = 3
1 y = 2.1 + 3 = 5
Construir o gráfico da função y = –2x – 2.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–14 5–4–5
–5
–4
4
5y = –2x – 2
x y = –2x – 2
0 y = –2.0 – 2 = –2
1 y = –2.1 – 2 = –4
Dois pontos determinam uma reta. Por isso, se conhecermos dois de seus pontos, podemos obter a função afim que ela representa. Ou seja, podemos obter os coeficientes a e b da função.
Exemplos
• A semi-reta da figura mostra a despesa mensal y (em milhares de
reais) de uma empresa, para produzir x toneladas no mês.
a) Escrever y em função de x.b) Obter a despesa na produção
de 76 t.c) Obter o número de toneladas
produzidas, para uma despesa de 93 mil reais.
x
y
0 20 3010
20
40
40
60
Despesa (milhares de reais)
Produção (t)
Exemplos
• Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função.
x
y
0 2
4
A função é do tipo y = ax + b, com a e b reais (a ≠ 0).
Para x = 0 temos y = 4
Para x = 2 temos y = 0, substituindo em y = ax + b, temos
0 = a.2 + 4 –2a = 4
a = –2
y = –2x + 4
b = 4.
Exemplos
• Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função.
A função é do tipo y = ax + b, com a e b reais (a ≠ 0).
Para x = 0 temos y = 1
Para x = –2 temos y = –1, substituindo em y = ax + b, temos
–1 = a.(–2) + 1 ⇒ 2a = 2
a = 1
y = x + 1
b = 1.
x
y
0–2
1
–1