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FUNCIONES HIPERBÓLICAS
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS
• Johann Heinrich Lambert (1728-1777) fue un importante astrónomo, físico y matemático alemán, también fue el primero en publicar un tratado relacionado con de las funciones Hiperbólicas.
• La denominación de función hiperbólica, surge de la comparación del área de una superficie con forma semicircular, con el área de una superficie con límites dentro de una hipérbola.
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• Las funciones trigonométricas se definieron en base a una circunferencia unitaria + = 1 , de manera semejante las funciones hiperbólicas se definen en base a una hipérbola = 1 .
• Las funciones trigonométricas sen(t) y cos(t) pueden ser las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P sobre la circunferencia unitaria centrada en el origen, donde es t el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo X, y el segmento OP, según las siguientes igualdades:
• Lo que quiere decir que las coordenadas del punto P serán (cost, sent)
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• También puede interpretarse el parámetro t como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto P, o como el doble del áreadel sector circular determinado por el semieje positivo X, el segmento OP y la circunferencia unitaria.
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• De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es
= 1 • siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje
positivo X, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:
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• Por lo que las coordenadas del punto P serán (cosht, senht).• Donde cosht y senht se pueden representar mediante funciones
exponenciales, de la siguiente manera:
Y si sustituimos esto en la ecuación de la hipérbola, la satisface:
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• Las funciones hiperbólicas, entonces, se definen en base a operaciones con la función exponencial y son análogas a las funciones trigonométricas.
Estas son:
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Funciones hiperbólicas
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GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
• Seno hiperbólico
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COSENO HIPERBÓLICO
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TANGENTE HIPERBÓLICA
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COTANGENTE HIPERBÓLICA
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SECANTE HIPERBÓLICA
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COSECANTE HIPERBÓLICA
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IDENTIDADES
Debido a esto, es lógico pensar que habrá una relación equivalente al Teorema de Pitágoras. Así, para las funciones hiperbólicas se sabe que
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DEMOSTRACIÓN
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IDENTIDADES
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DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
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DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
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INTEGRALES
• Utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo se puede establecer que
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EJEMPLOS
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS• Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las
funciones trigonométricas inversas
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• El mismo método se puede utilizar para encontrar cualquiera de las siguientes fórmulas.
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INTEGRALES DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
• Las fórmulas para la integración salen utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo y a partir de las fórmulas de derivación.
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
• Gráfica de la función