Funcionespolinomiales
El estudiante:
• Resolverá problemas defuncionespolinomiales,teó-ricosoprácticos,utilizandosus propiedades algebrai-cas y geométricas, en unambiente escolar que fa-vorezca la reflexión sobreel análisis y razonamientopráctico,asícomoeldesa-rrollo de actitudes de res-ponsabilidad,cooperación,iniciativa y colaboraciónhaciaelentornoenelquesedesenvuelve.
INTRODUCCIÓN
Enlavidadiariahacemosusodelasmatemáticassinpercibirlo,porlocualcree-mosquenotienenutilidadpráctica,perocadavezquenosplanteamosunainte-rrogantequeimpliquecantidades,indudablemente,éstaquedarepresentadaporunavariable.Ytepreguntarás¿porqué?Bueno,sencillamenteporquepuedeto-marcualquiervalor,aunqueanosotrosnosimporteunosolo.Porejemplo:¿cuálseráellargoidealdeunautomóvilparaqueentreennuestrogaraje?Enestecaso,nuestravariableesellargodelautomóvil:comotúsabes,enelmercadoexistenmuchosmodelosdeautomóvilesquevaríanenellargo.Cuando,además,nuestravariabledependedeotravariable,estamosaplicandounafunción.Volviendoalmismoejemplo,podemosestablecerlosiguiente:ellargodelautomóvilqueunapersonadeseacomprardependedelalongituddisponibleensugarajeparaquepuedaguardarlo.Estafunciónverificaque,aunquenoestésconscientedequeplanteasyresuelvesunproblemamatemático,enlavidacotidianahacesusodelasfunciones.Además,debeseñalarsequesehaceusodeéstasenlaadministración,lascienciassociales,lafísicayenlasdiversasaplicacionestecnológicas.
Alolargodeestaunidadnosólotemostraremosejemplosdeaplicacióndelasfuncionespolinomiales,sinoquetambiéntúpodrásconstruirfuncionessencillasydarsoluciónavariosproblemasquesetepresentanentuvidadiaria;esperamosquedesarrollestushabilidadesyquelostemasaquípresentadostesirvancomoherramientaenlosámbitosdelsaberdondetedesarrollas,ynosóloesosinoquetambiénlospuedasaplicarenelfuturo.
Competencia genérica a desarrollar:Expresa ideas y conceptosmediante representa-cioneslingüísticas,matemáticasygráficas.
Competencias disciplinares a desarrollar:• Propone,formula,defineyresuelvediferentes
tiposdeproblemasmatemáticosbuscandodi-ferentesenfoques.
• Argumentalasoluciónobtenidadeunproble-ma,conmétodosnuméricos,gráficos,analíti-cosyvariacionales,medianteellenguajeverbalymatemático.
• Analiza las relacionesentredosomásvaria-blesdeunprocesosocialonaturalparadeter-minaroestimarsucomportamiento.
• Vinculalainformaciónobtenidaconlosfenó-menosfísicosyeconómicosdelaregiónparaentender el comportamiento y evolución decadaproblemáticaenparticular.
49FUNCIONES POLINOMIALES
NOMBREDELALUMNO:
GRUPO: NÚMERODELISTA: ACIERTOS:
INSTRUCCIÓN:Contestabrevementeloquesepide.
1. ¿Quéesunafunción?
2. ¿Quéeseldominio?
3. ¿Quéeselcontradominio?
4. ¿Cómoseclasificanlasfuncionespolinomiales?
5. ¿Quéesunarecta?
6. ¿Quéesunaparábola?
7. Aquéselellamaraízdeunaecuación?
8. Resuelvelassiguientesecuaciones: a) 2x–3+2x–1=x+7 b) x2–7x+10=0 c) x3–x=0
9. Graficalassiguientesfunciones: 1. f(x)=5 2. f(x)=x+1 3. f(x)=x2
4. f(x)=x3–2
50 UNIDAD II
2.1 LA FUNCIÓN POLINOMIAL
2.1.1 Concepto de función polinomial
Lafunciónpolinomialsellamaasíporquegeneralmentesuexpresiónalgebraicaesunpolino-mio;suformagenerales:
f(x)=anxn+an–1
xn–1+an–2xn–2+...+a0x
0
Comorecordarásdetuscursosdeálgebra,unaexpresiónalgebraicasepuedeclasificarpordoscaracterísticasimportantes: a) Elnúmerodetérminosquelacomponen. b) Elgradodeexpresión.
Paraentenderloanterior,veamoselsiguienteejemplo:5x3
5=coeficientex=base,tambiénllamadovariableenlasfunciones3=exponente
Untérminoestarácompuestode:coeficiente,base(s)ovariable(s)yexponente,osimplementedeunaconstante.Enunaexpresiónalgebraica,cadatérminoestaráseparadoporsignosposi-tivosonegativos.
Elgradodeunafunciónestarádadoporelmayordelosexponentes.
f x x x x x( ) = + − + −4 3 25 8 26
16
Podemosdecirquesetratadeunafunciónconcincotérminosyademásesdecuartogrado,porqueelmayordelosexponentesescuatro.
Ahoraanalicemoscadatérmino:
x4= elcoeficientees1(aunquenoseescriba);labaseovariable,esxyelexponentees4.5x3= elcoeficientees5;labaseovariableesxyelexponenteesel3.–8x2= elcoeficientees-8;labaseovariableesxyelexponentees2.
25x= elcoeficientees
25;labaseovariableesxyelexponentees1(aunquenoseescriba).
–16= eltérminoesunaconstanteyaqueelexponentevaleceroytodacantidadelevadaaceroesuno;poreso,almultiplicarsepor-16seobtiene-16.
Eldominiodeunafunciónpolinomialeselconjuntodelosnúmerosreales,esdecir,estádefi-nidaparatodonúmeroreal.Estoocurrecuandolaexpresiónpolinomialesunpolinomio en-
En matemáticas seacostumbra no escri-bir lamenorcantidadya sea en coeficiente,por ejemplo: x o 1x,en este caso se omi-teeluno;oexponen-te,porejemplolaraízcuadrada de un nú-mero se puede escri-bir n o n2 ,encuyocasoseomiteel2.
51FUNCIONES POLINOMIALES
tero enx,porlotantoesnecesariosaberqueunpolinomioenteroenxesaquelcuyaexpresiónalgebraicaNOcontienexeneldenominador,niexponentesnegativos.
Laexpresiónalgebraicadelasiguientefuncióncorrespondeaunpolinomioenteroenx:
f x x x x x( ) = − + − +5 27
8 3 12
43
2
Porloque:Dominio={x∈R/–∞<x<∞}
Lasiguientefunciónnoespolinomioenteroenx:
f x x xx
( ) = − + −3 5 2 42
debidoaquelaxapareceenelcuartotérminoeneldenominador.Realizandounasimpleope-raciónmatemática,podemosobservarquelafunciónenrealidadesracional:
f x x xx
x x xx
( ) = − + − = − + −3 5 2 4 3 5 2 423 2
Lasiguientefuncióntampocoesunpolinomioenteroenx:f(x)=17x–7+2x2
yaqueelprimertérminotieneexponentenegativo,yaplicandopropiedadesdelosexponentesyunpocodeálgebralafunciónquedaasí:
f x x xx
x xx
( ) = + = + = +−17 2 17 2 17 27 27
29
7
Yvemosqueesenrealidadunafunciónracional,cuyascaracterísticasestudiaremosenlaunidad3.
Elcoeficienteprincipaldeunafunciónpolinomialesaquelqueestámultiplicandoporlavariableconmayorexponente;dependiendodelvalorquetomeylafuncióndequesetrate,vaaprovo-carcambiosespecíficosenlagráficadelafunción.Porejemplo:siesunafunciónlinealysuco-eficienteprincipalespositivo,entremásgrandeseasuvalorlarectaserámásinclinada,esdecir,seráunarectacreciente(unángulodeinclinaciónentre0y90°);perosielcoeficienteprincipales negativo, entoncesla recta será decre-ciente (un ángulo deinclinaciónentre90°y180°) y su inclinaciónvariaráconelvalordelmismo.
Pero si la función escuadrática,elsignode-
52 UNIDAD II
terminarásilaparábolaabrehaciaarribaohaciaabajo;elvalordelcoeficientemodificarálafunciónenlalongituddesuladorecto.
Másadelanteestudiaremosconmayorprofundidadlosefectosdelcoeficienteprincipalenlagráficadelasfunciones.
Determinación del grado y el coeficiente principal de una función polinomial a partir de su forma tabular por el método de diferencias
Paradeterminarelgradodelafunciónpolinomialyelcoeficienteprincipalaplicaremoselmé-tododediferenciarlaformatabulardelafunción.
Podemosdecirquediferenciarensumássimpleacepciónsignificarestarasíque,enesencia,primerocomenzamosporrestarcadaimagenasuinmediataanterior;veamos:
Terecomendamosqueuseseltriánguloparaseñalarcuálvaloresrestadodeotro.Siobservaslalíneahorizontal,indicaqueelnúmeroseñaladoserestaalnúmeroexpresadoenlarectaincli-nada,deestamaneraserámásdifícilquetepierdas.
Luegoobservamoslasdiferencias.Sielresultadodeéstasnoeselmismo,entoncesrepetiremosesteprocesohastaqueencontremosquetodaslasdiferenciasseaniguales,esdecir,cuandoto-doslosresultadosdelasdiferenciasseaniguales,habremosencontradoelgradodelaexpresiónyestaremosenposibilidaddehallarelcoeficienteprincipal(vertabla2.1).
Númerodediferencias
Gradodelaexpresión Dividirelvalordelaconstanteentre:(paraobtenerelcoeficienteprincipal)
1 Primergradolineal 1o1!2 Segundogradoocuadrática 2o2!3 Tercergradoocúbica 6o3!4 Cuartogrado 24o4!5 Quintogrado 120o5!Tabla2.1
53FUNCIONES POLINOMIALES
Hallarelvalordelcoeficienteprincipalyelgradodelafunciónpolinomialapartirdesutabu-lación:
Alrealizarlarestadelasprimerasdosimágenes16–21=–5,yluegoladiferenciadelasotrasdos11–16=–5,finalmente6–11=–5.Observamosentoncesque,alrealizartodaslasrestas,elresultadoeselmismoysólohicimosunavezladiferencia,porlotantolafuncióneslinealy,apartirdelatabla2.1decimos:–5/1=–5,porloquesucoeficienteprincipales–5.
Hallarelvalordelcoeficienteprincipalyelgradodelafunciónpolinomialapartirdesutabu-lación:
Porsiaúnnotequedaclarocómoseefectuaronlasrestas,veamoslatabla2.2:
Primera diferencia Segunda diferencia Tercera diferencia Cuarta diferencia16–76=–6012–16=–4 –4–(–60)=–6416–12=4 4–(–4)=8 8–56=–4876–16=60 60–4=56 56–8=48 48–(–48)=96336–76=260 260–60=200 200–56=144 144–48=96
Enestecaso,laconstanteaparecióhastalacuartadiferencia;entonces,apoyándonosenlatabla2.1,podemosdecirqueesunafuncióndecuartogradoy,parahallarelvalordelcoeficienteprincipal96/4!=96/24=4.Porlocualéstees4.
Unadelaslimitacionesdeestemétodoesquedebesconocersuficientesparescoordenadosparapoderobtenerlasdiferenciasyaquecomoves,deunadiferenciaaotrasevanefectuandocadavezmenosrestas,yalmenostedebenquedaralfinaltresrestasparapoderencontrarlaconstantecomomínimodosvecesenlasiguientediferencia.
Másadelantedaremosunaaplicaciónprácticaaestemétodo.
54 UNIDAD II
Completalasiguientetablaconlosdatosfaltantes.
Función No. de términos
Grado Su dominio son todos los valores de X
∈ R.SÍ o NO
Valor del coeficiente principal
f(x)=9x7+8x–3f(x)=–4+7x2
5 8 NO –6
f x x x x xx
x( ) = − + − + − −7 9 3 512 8 61
1234
f(x)=–12x12
4 6 SÍ 5
Enbinas,hallenelvalordelcoeficienteprincipalyelgradodelafunciónpolinomial.Resuelvanlosejer-ciciosycomparensusresultadosconlosdeotroscompañeros.
X y x Y x Y X y–3 –36 –7 246 –2 –1/2 2 56–2 –20 –6 181 –1 0 3 189–1 –10 –5 126 0 1/2 4 4480 –6 –4 81 1 1 5 8751 –8 –3 46 2 3/2 6 1,5122 –16 –2 21 3 2 7 2,4013 –30 –1 6 4 2.5 8 3,584
Rango de la función polinomial
Elrangodelafunciónpolinomialvaadependerprincipalmentedesugrado:
a) Silafunciónpolinomialesdegradoimpar,entoncessucontradominioserá: rango={y∈R/–∞<y<∞},sinimportarsielcoeficienteprincipalesnegativoopositivo. b) Si la funciónpolinomial esdegradopar, su contradominio estará limitadocomoel
deunaparábola,ydependerádel sig-no del coeficiente principal; parte dedondeseencuentraelpuntomásbajoyhaciaelinfinitooelpuntomásaltoyhaciaelmenosinfinito.
55FUNCIONES POLINOMIALES
2.1.2 La función constante como un caso particular de la función polinomial
Lafunciónconstantetienelaforma:
f(x)=anx0,porloquelapodemosrepresentarenformageneralcomo:
f(x)=a
Sedicequeesuncasoparticulardelafunciónpolinomialyaqueconstadeunsolotérmino—elcualtienegradocero(x0)—yelvalordelcoeficienteprincipaleselvalorquesehaceconstante,conundominioqueeselmismodelafunciónpolinomial:
dominio={x∈R/–∞<x<∞}
Surangoquedadefinidopor:
rango={y∈R/y=a}
Asíquesugráficaesunalínearectaparalelaalejedelasabscisas(x),queintersectaalejedelasordenadas(y)enelvalorconstante(a).
Dadalasiguientegráficadelafunción,hallasuformatabularysuexpresiónalgebraica:
56 UNIDAD II
Dadaslassiguientesfuncioneshallasudominio,surangoyhazunbosquejodesugráfica:
1. y=–4 2. f x( ) = − 5
3. y = −12 4. f x( ) =
34
5. y=7 6. f x( ) =2
4
3
7. y=p 8. f x( ) = −2 23
9. y=e 10. f x sen( )
=p2
2.1.3 La función lineal como un caso particular de la función polinomial
Suformaes:
f(x)=anx1+an–1x
0,demaneragenerallarepresentamos:
f(x)=mx+b
Donde:m=eslapendientedelarectab=eslaordenadaalorigenolaintercepciónconelejey.
Dominio y rango
Estafunciónesconsideradauncasoparticulardelafunciónpolinomialyaqueesunaexpresiónalgebraicadedostérminos,degradounoycuyodominiotambiénes:
dominio={x∈R/–∞<x<∞}
Todafunciónlinealcuentaconunrangodefinidodelasiguienteforma:
rango={y∈R/–∞<y<∞}
Pendiente y razón de cambio
Llamamosrazóndecambioalapendientedeunarecta.Estevalorindicacómocambiaunavariablecuandocambialaotra;estosignificaquepodemosrepresentarlavariaciónlinealdedosvariablespormediodelapendientedeinclinacióndelarecta.
57FUNCIONES POLINOMIALES
RecordemostucursodeGeometríaanalítica:
m y yx x
= −−
2 1
2 1
Ahora,delcursodeFísicaI,recordemoselconceptodevelocidadpromedio:
V d dt tprom = −
−2 1
2 1
Mientrasque,enelprimercaso,larazóndecambioquedarepresentadaentrelavariable“x”y“y”,enelsegundocasoquedarepresentadalarazóndecambiodelasvariablestiempo(t)ydistancia(d).
Comoestoscasos,podemosrepresentarlarazóndecambiodemuchosfenómenos,talescomotiempo-depreciación,cantidadproducida-costo,etcétera.
SiLuispartedesucasayrecorre120metrosen2minutos,determinalarazóndecambiodelmovimientodeLuisencadainstantedesumovimientoasícomoladistanciaquehabráreco-rridoalos45segundos.Realizaunagráficatiempo-desplazamiento.
V m minprom = −−
=120 02 0
60, /
Enestecaso,larazóndecambionosindicaqueladistancia(y)cambia60unidadescuandoeltiempo(x)cambiaunaunidad:
Porlotanto,Luishabráavanzado45metrosen45segundos,yaque45segundosequivalena3/4deminuto.
Porparejas,observenlasiguientegráficatiempo-distancia,endondeserepresentaelmovimientodeunobjetodivididoentrespartes.Primero,elobjetopartedelreposoyavanza40metrosen8minutos;con-tinúasurecorridoyavanzaotros60metrosen4minutos,parafinalmenteregresaralpuntodepartidaen2minutos
58 UNIDAD II
Enbinasdiscutanycontestenlassiguientespreguntas:
1. ¿Enquémomentoelmóviltieneunarazóndecambiomayor?2. ¿Enquémomentoelmóviltieneunarazóndecambiomenor?3. ¿Quévelocidadalcanzaráelmóvilalos6minutos?4. ¿Cuálfueladistanciatotalrecorridaporelmóvil?5. Ahora,conayudadesuprofesor,debatanlasrespuestasdetodoelgrupoyobtenganunaconclu-
sióngeneral.
ComopodrásrecordardetucursodeGeometríaanalítica,existenvariasformasparahallarlaecuacióndelarecta.Bien,puesestasformasatitepuedenayudaraencontrarlaexpresiónalge-braicadelafunciónlineal,lacualconocistecomoformaordinariadelaecuacióndelarecta.
Hallalaexpresiónalgebraicadelarectadelasiguientegráfica:
Comodebesrecordar,primerolocalizamosdoscoordenadascualesquieradelarecta:
A
B
− −( )( )
2 3
4 3
,
,
Ahoraencontramoslaecuacióndelarectaapartirdelaformadospuntos:
y y y yx x
x x−( ) = −−
−( )12 1
2 11
Delascoordenadaselegimos
59FUNCIONES POLINOMIALES
x1=–2,y1=–3,x2=4,y2=3Ahorasólodespejamoslavariabledependienteyobtenemoslafunciónlineal:
sustituyendo:
y x
y x
y xy x
− −( ) =− −( )− −( )
− −( )( )
+ = +( )
+ = +( )+ = +
33 34 2
2
3 66
2
3 1 23 2
Hallalaexpresiónalgebraicadelarecta:
Primeroseleccionamosconquéformadelarectacalculamoslaexpresiónalgebraica:
Enestecasoelegimoslaformasimétrica:
xa
yb
+ = 1
lacualnecesitalasinterseccionesconlosejes,esdecir,aqueeslainterseccióncon“x”ybqueeslainterseccióncon“y”,enestecaso:a =2yb =4
Sustituyendo,tenemos:
x y2 4
1+ =
Multiplicandopor4todosloselementosdelaexpresión,tenemos:
42
44
1 4( ) + ( ) = ( )x y
Simplificando:
2x+y=4
60 UNIDAD II
Despejandoy:y x
f x x= − += − +
2 42 4( )
Lagráficadelafunciónlinealesunalínearecta,peroéstapuedesercrecienteodecreciente;todovaadependerdelvalordelcoeficienteprincipal(a)ysusigno.Alcoeficienteprincipaldelafunciónlinealtambiénlellamamospendientedelarecta(m).
Porlogeneral,lagráficadelafunciónlinealsiemprevaacortarlosdosejes,aexcepcióndeloscasosenquepasaporelorigen.Alaintersecciónconelejey selellamaordenadaalorigenyserepresentaconlaletrab,yalaintersecciónconelejexselellamaabscisaalorigenyserepresentaconlaletraa.
Conoceralmenosdosdelosparámetrosdeunarectatepermiterealizarunbosquejodesugráfica.
Determinarlapendiente,laordenadaalorigenylaabscisaalorigenapartirdelaexpresiónalgebraica:
y x= − +3 25
Comoyavimosanteriormentelapendientedelarectaeselcoeficienteprincipaldelafunciónlineal,detalmaneraque:
m=–3
ylaordenadaalorigenes
b = 25
Escribiren lacolumnaderechadelcuadro losdatosquesetepiden, loscualespuedesobtenerde lagráfica,delatablaodelaexpresiónalgebraica:
1. X Y–1 9/20 31 1.52 03 –3/2
ValordelapendienteValordelaordenadaValordelaabscisaalorigen¿Crecienteodecreciente?
Un bosquejo es untrazonoexactode lagrafica de una fun-ción, pero que te daunaideageneraldelaformadelamisma.
Las generalizacionessobrealgúnsaberma-temático te permitenresolver los proble-mas con mayor faci-lidad.
61FUNCIONES POLINOMIALES
2.ValordelapendienteValordelaordenadaValordelaabscisaalorigen¿Crecienteodecreciente?
3. ValordelapendienteValordelaordenadaValordelaabscisaalorigen¿Crecienteodecreciente?
y=7x–5
Gráfica y parámetros
Solicitarporanticipadoelsiguientematerial:
3hojasdepapelmilimétrico1cajacondocecoloresdemadera2pliegosdepapelbondcuadriculadoCintaadhesiva(diurex)3plumonesdedistintoscoloresomarcadores
1. Observalassiguientesfuncionesyacontinuacióncontestalaspreguntas.
y=5x+3 y=5x–2 y=5x y=5x+2 y=5x–1
¿Cuálessonlasdiferenciasentrecadaexpresión?
¿Cuálessonlassemejanzasentrecadaexpresión?
El hallar la expre-siónalgebraicadeunafunción te permiteconstruir su gráfica apartirdehallarsuspa-res coordenados. Esdecir, si tú proponesvaloresdex, al susti-tuirlosenlaexpresiónobtendrás el valor dey, y entre más cerca-nosesténcadaunodelosvaloresdexquetúpropongas, la gráficade la función tendrámásexactitud.
62 UNIDAD II
Ahoragraficaenunahojadepapelmilimétricocadafunciónenelintervalode[-2,2],todasenunmismoplano.
Comparalasgráficasymencionalasdiferenciasysemejanzasentreellas.
Obténuna conclusión relacionando loobservado en las expresiones algebraicas y las gráficasde lasfunciones.
2. Observaelsiguientegrupodefuncionesycontestalaspreguntas.
y=–2x+3 y=x+3 y=3x+3 y=–x+3 y=4x+3
¿Cuálessonlasdiferenciasentrecadaexpresión?
¿Cuálessonlassemejanzasentrecadaexpresión?
Ahoragraficacadafunciónenunahojadepapelmilimétrico,enelintervalode[-2,2],todasenunmismoplano.
Comparalasgráficasymencionalasdiferenciasysemejanzasentreellas.
Obténuna conclusión relacionando loobservado en las expresiones algebraicas y las gráficasde lasfunciones.
63FUNCIONES POLINOMIALES
Conbaseentusobservacionesyconclusiones,graficalassiguientesfunciones,peroahorasintabular.
f(x)=2x+3 f(x)=5x–3
Preparaunaláminaenpapelbondcuadriculadoyexpónalgrupotantotusrespuestasalaspreguntas,comolasgráficasdelasdosúltimasfunciones.Enplenaria,obtenganlasconclusionesgeneralesdetodoelgrupo.
Elejercicioanteriortienecomoobjetivoquerelacioneslaimportanciadelosprincipalespará-metrosdelafunciónlineal,lapendientedelarectaylaordenadaalorigen.
Recordemosalgunascaracterísticasdelapendientedeunarecta:
Sabemos:
• Quelapendienteeselgradodeinclinacióndeunarecta;entendamosporgradodeincli-naciónquétaninclinadaestá;esdecir,estápocoinclinadaomuyinclinada.
• Quelapendientedeinclinaciónesigualalatangentedelángulo:
m=tanθ
Veamosporqué.
Conbaseenlafigura,podemosdecirque:
tanθ = cat.op.cat.ady.
Ycomoresultadeltriánguloentoncessecumpleque
m=tanq
Lapendientedeunarectasecalcula,nosemide.
64 UNIDAD II
Tambiénsabemosquelapendientedeunarectapuedeserpositivaonegativa.Éstassonposi-tivascuandolasrectassoncrecientes,esdecir,queentremásgrandeeselvalorde“x”,mayoreselvalorquetomalafunción,estomayorseráelvalordey;portanto,laspendientesseránnegativassiavaloresmayoresde“x”lescorrespondenvalorescadavezmáspequeñosde“y”.Verfiguras:
Elotroparámetroimportanteeslaordenadaalorigen.Éstatienecomofunciónregirelpuntoenelcuallafuncióninterceptaaleje“y”,deahíelnombredeordenada(valordey)alorigen(distanciamedidadelorigenadichovalordey).
Lacombinacióndeambosnospermitehacerbosquejosdelafunción,sinnecesidaddetabularyconlafinalidaddedarnosunaideadelcomportamientodelosmismos.
Realizaunbosquejodelafunción
f(x)=3x–3
Primerodeterminamoscadaparámetro:
m =3yb =–3
Conestosdatos,sabemosquelafunciónlinealescreciente,quecortaalejey en-3yquetienependientem=3.Conlapendientecalculamoselángulo:
65FUNCIONES POLINOMIALES
q=tan–13=71.56
Conestosdatos,ahorasípodemosrealizarelbosquejo:trazamosunarectacrecienteconunángulodeaproximadamente71°quecortealejeyen-3.
Realizaunbosquejoapartirdelosparámetrosdelassiguientesrectas:
1. m=–5yb=1 2. m =34yb=7
3. m=11yb=6 4. m =68yb=–7
5. m=–3yb=0
Variación directa
Sepresentacuandolavariabledependiente(y)varíadirectamentedelavariableindependiente(x),esdecir,siunaaumentalaotratambién;siunadisminuye,laotratambiénlohace.Lapen-dientedelarectaes1cuandolarectapasaporelorigen;acadavalordeylecorrespondeunúnicovalordex,yestánrepresentadasdemanerageneralporunaecuacióndelaforma:
y=CxdondeCesunaconstantedistintadecero.
Modelos lineales
Llamamosmodelaciónlinealalusodefuncioneslinealesparadescribirrelacionesdelmundoreal;esdecir,cuandoencontramosunasituacióndelavidacotidianaporcuyascaracterísticaslapodemosrepresentarconunafunciónlinealyobtenerconéstaconclusiones.
Enelparquedediversiones“ReinoMágico”,enlaciudaddeVeracruz,elcostodelboletodeentradaesde$7.00pesosporpersona.Parapoderdisfrutardelosjuegosmecánicossedeben
66 UNIDAD II
pagar$5.00porcadajuego.¿Cuálseráelmodelomatemáticoquenospermitacalculareldinerototalgastadoenelparqueporxjuegosjugados?¿Cuántodinerogastarésimesuboa12juegosmecánicos?Realizargráficarepresentativa.
Sidecidojugarenunjuego:
Dinerogastado=$5por1juegojugado+$7delaentrada=$12.0;eldinerogastadoporjugarenunjuegomecánicoenelparque“ReinoMágico”esdedocepesos.
Sidecidojugarendosjuegos:
Dinerogastado=$5por2juegosutilizado+$7delaentrada=$17.0;eldinerogastadoporjugarendosjuegosmecánicosenelparque“ReinoMágico”esdediecisietepesos.
Detalformaque,alobservarelcomportamiento,podemosconcluirquelafunciónlinealqueseajustaalproblemaes:
G(x)=5x+7
DondeG(x)=eseldinerogastadoporjuegosjugados.x=eselnúmerodejuegosmecánicosenlosquehejugado.
Siquierosabereldinerogastadosimesuboa12juegos:G(12)=5(12)+7=$67.00
Siduranteundíavoyadivertirmea“ReinoMágico”ydecidosubirmeadocejuegos,gastaréentotal$67.00
Elresultadodenuestromodelomatemáticoesunarectacreciente.
Unresorteacompresióntieneunalongitudde0.50m.Sileaplicamosunafuerzade120Nsulongitudseráde0.485m.¿Cuálserálalongituddelresortesileaplicamosunafuerzade145.5N?¿Quéfuerzasenecesitaparaqueelresortetengaunalongitudde0.475m?
67FUNCIONES POLINOMIALES
Comopuedesobservar,escomplicadodeterminarestosvaloresyaquealparecersólotengoundato.Porlotanto,esnecesariocrearunmodelomatemáticoquenospermitadeterminarlalongituddenuestroresortecadavezqueapliquemosunadeterminadafuerza.Veamos:
Primero:lalongituddemiresorteestáenfuncióndelafuerzaaplicada,porlotanto,mivariabledependiente(y)serálalongituddelresorteymivariableindependienteserálafuerzaaplicada(x).
Segundo:nuestroprimerpardevaloreses(0,0.5),yaquecuandonoleapliconingunafuerzamiresortenosecomprime(deforma).
Tercero:nuestrosegundopardevaloreses(120,0.485)porquecuandoaplicamosunafuerzade120Nlalongituddenuestroresorteseráde0.485m.
Cuarto:elcomportamientodeunresorteeslinealsegúnlaleydeHooke(estedatonoesne-cesarioqueloconozcas).
Conestosvalorespuedocrearmimodelomatemático,alutilizar la formadospuntosde laecuaciónlineal: 0 0 50
120 0 485
, .
, .
( )( )
y y y yx x
x x
y x
y
− = −−
−( )
− = −−
−( )
− = −
12 1
2 11
0 50 0 485 0 5120 0
0
0 50 125
. . .
. xx x
y x x
10
1 25 10 0 50
4
4
−
−
( )= ( ) +. .
Porlotanto,elmodeloquemepermitiráresolvermiscuestionamientoses:
y=–1.25x10–4(x)+0.50
¿Cuálserálalongituddelresortesileaplicamosunafuerzade145.5N?
y=–125x10-4(145.5)+0.50y =0.4818m
¿Quéfuerzasenecesitaparaqueelresortetengaunalongitudde0.475m?
0.475=–125x10-4(x)+0.50
Despejamosxporqueahorasenospideelvalordelafuerza:
68 UNIDAD II
x y
x
x
= −− ×
= −− ×
=
−
−
0 51 25 100 475 0 51 25 10200
4
4
... ..N
Elresultadodenuestromodelomatemáticoesunarectadecrecienteconunapendientenega-tivamuypequeña.
Resuelvelossiguientesproblemas.
1. Siunobreroilegalgana$4dólaresporhora,suponemosquetrabaja12horasdiarias,perodebepagaralcapataz$60dólaresalasemanaportrabajar.Construyeunmodelomatemáticoycontes-talassiguientespreguntas:¿Cuántoganará?si:
a) Trabaja3díasalasemana, b) Trabajasólodosdías, c) Trabajalos5días, d) ¿Despuésdecuantashorasdetrabajoalasemanaelobreroempiezaaganar?
2. Undepósitoderefrescostiene1,300rejasdeunabebidaal iniciode lasemana.Sisevenden300rejasdiariamente,encuentralaexpresiónmatemáticaquerepresentalaventaderejasdeeserefrescoydeterminacuántasrejasquedanparaeljueves.
3. Juanestacionasumoto-cicletaenunpuntoa30metrosdesucasayconrumboalaescuela;siladistanciadesucasaalaescuela es de 800 me-tros y él toma su mo-tocicletaysedirigealaescuelaaunavelocidadconstantede8m/s(verfigura):
69FUNCIONES POLINOMIALES
a) ConstruyeunmodeloquerepresenteladistanciarecorridaporJuanconrespectoaltiempo. b) ¿AquédistanciaestaráJuandesucasaalostressegundos? c) ¿Enquétiempollegaráalaescuela? d) ¿Aquédistanciadesucasaestaráalos5.25segundos?
4. Lallantadeunautomóvilesinfladaporlamañana,cuandolatemperaturaesde288K(15°C)aunapresiónde32Lb/plg2.
Sialmediodíalatemperaturaaumentaa305K(32°C)ylapresiónaumentaa33.88Lb/plg2:
a) Construyeelmodelomatemáticodelproblema b) ¿Cuálserálapresióndelallantacuandolatemperaturaseade293K(20°C)? c) ¿Cuálserálapresióndelallantacuandolatemperaturaseade295.5K(22.5°C)? d) Realizaunagráficadelproblema.
5. ElcostototalendólaresdeproducirxMercedes-Benzestádadoporlaecuación:
C(x)=350x+35000
a) ¿CuántolecuestaaMercedes-Benzfabricar300automóviles?
6. LadepreciacióndeunvehículoStratusesdel17%alaño;sielpreciodelistaen2005erade$165000
a) Construyeunmodelomatemático. b) DeterminaelvalordelStratusen2008. c) DeterminaelvalordelStratusen2010. d) Graficatusresultados.
7. ParacomprarenCostconecesitotramitarunacredencialquemecuesta$400.00;sicompro53libretas,mecuestancontodoycredencial$506.00
a) Construyeunmodelomatemático. b) Sideseocomprar110libretas,¿cuántomecostaráncontodoycredencial?
2.1.4 La función cuadrática como caso particular de la función polinomial
Lafuncióncuadráticaesuncasoparticulardelafunciónpolinomial,seexpresadelasiguienteforma:
f(x)=anx2+an–1x
1+an–2x0deformageneral:
f(x)=ax2+bx+c,dondea≠0
70 UNIDAD II
Donde:
ax2= eseltérminocuadrático.bx= eseltérminolineal.c= eseltérminoindependiente.
Suexpresióngeneralpuedevariardeacuerdoconlaexistenciadecadatérmino,esdecir,silafunciónesincompleta:
Sic=0,alafunciónseledenominamixta: f x ax bx( ) = +2
Sib=0,alafunciónseledenominapura: f x ax c( ) = +2
yensuformaestándar:f(x)=a(x–h)2+k,dondea≠0
A= eselcoeficienteprincipal.h= coordenadaen“x”delvérticedelaparábola.k= lacoordenadade“y”delvértice.
Ensuformamássimple,suexpresiónalgebraicaysugráficatomanlaforma:
f(x)=x2
Gráficas de funciones cuadráticas
Lagráficadelafuncióncuadráticaesunaparábola;enMatemáticasiiianalizastevarioselemen-tosquenosserviránenestecurso.Porejemplo:suvértice,suladorecto,susraíces,haciadóndeabreysuexpresiónalgebraica.
71FUNCIONES POLINOMIALES
Cadaunodeestoselementosycomportamientosdelaparábolapodránseridentificadosynospermitiránconstruirsugráfica,suexpresiónalgebraicayobtenerinformacióndelafunciónengeneral.
Lamagnituddelcoeficienteprincipalnosvaadarinformaciónsobreelladorectoyhaciadón-deabrelaparábola.Verlasiguientetabla:
Coeficiente principal Efecto en la parábolaa<1 Longituddeladorectomayora>1 LongituddeladorectomenorPositivo AbrehaciaarribaNegativo Abrehaciaabajo
Veamoslassiguientesgráficas:
Lafuncióny1tieneuncoeficienteprincipala=5,esdecir,esmayorqueunoypositivo.Porlotanto,sugráficatendráunalongitudde lado recto menor y abrirá hacia arriba(gráficaa).
Lafuncióny2tieneuncoeficienteprincipala=1/2,esdecir,esmenordeunoypositi-vo,loqueindicaquetieneunalongituddeladorectomenorytambiénabriráhaciaarriba(gráficaa).
Lafuncióny1tieneuncoeficien-teprincipala=−3,esdecir,esmayorqueunoynegativo,porlotanto,sugráficatendráunalon-gituddesuladorectomenor(es-tarámás cerrada) y abrirá haciaabajo(gráficab).
Gráficaa.
Gráficab.
72 UNIDAD II
Lafuncióny2tieneuncoeficienteprincipala=−1/3,esdecir,esmenordeunoynegativo,loqueindicaquetienelalongituddesuladorectomayor(estarámásabierto)ytambiénabriráhaciaabajo(gráficab).
Ceros o raíces de una función cuadrática
Loscerosoraícesdeunafuncióncuadráticasonaquellosvaloresrealesdondelafunción“corta”alejedelas“x”.
Dichodeotramanera,sonaquellosvaloresdondef(x)=0(y =0),deahíelnombredecerosdelafunción.Éstosseencuentranlimitadosporelgradodelaexpresiónalgebraica,esdecir,unafuncióncuadráticatienecomomáximo2cerosoraícesdelafunción.Paradeterminarelnúmeroderaícesrealesquetieneunafuncióncuadráticaserealizaelanálisisdeldiscriminante;éstesetomadelafórmulageneraldesegundogrado:
x b b aca1 2
2 42, = − ± −
Dondeeldiscriminantees:D b ac= −2 4
Si:D>0,entonceslafuncióntienedoscerosoraíces. D=0,entonceslafuncióntiene1cero. D<0,entonceslafunciónnotieneceros.
Parahallar losceros,podemosusar la fórmulageneraldesegundogradoqueeselmétodomásefectivodefactorizacióny,enelcasodequelafuncióncuadráticaestéensuformapura,usaremoseldespeje.Paraahorraroperacionesdespuésdelanálisisdeldiscriminante,lafórmulageneraldesegundogradopuedesimplificarse:
x b Da1 2 2, = − ±
Hallaloscerosrealesdelafuncióny=x2–18x+81ycompruebaconsugráfica.
Localizamoslosvaloresdea,b,c: a=1 b=–18 c=81
Comobuscamoslosvaloresde“x”dondey=0,igualamosconcerolafunción:x x2 18 81 0− + =
Hacemoselanálisisdeldiscriminante:
D=(–18)2–4(1)(81)D=324–324D=0
73FUNCIONES POLINOMIALES
Porlotanto,nuestrafuncióntieneunaraízrealycalculamoslaraízocerodelafunción:
x
x
x
1 2
18 02 1
182
9
, =− −( ) ±
( )
=
=
Porlotanto,lafuncióncuadráticatieneunceroenx=9
Comoformaalternativadesolución,podemosusarelmétododefactorización:
1º Obtenemoslaraízdelprimeroytercertérminos,suponiendoquesetratadeuntrinomiocuadradoperfecto(TCP):
x x2
81 9
=
=
Despuésdeverificarsicadaunodelostérminostieneunaraízcuadradaexacta,multiplicamospordoselproductodeéstosparaversiobtenemoselsegundotérmino:
2(x)(9)=18x
Comoelresultadoesparecidoperolefaltaelsignonegativo,concluimosquesetratadeuntrinomiocuadradoperfectoyquesufactorizacióncorrespondealadedosnegativosiguales:
(x–9)(x–9)=(x–9)2
Ahoraigualamosconcerocadafactor:
x–9=0x–9=0
Comoyalohabíamosdeterminadoconeldiscriminante,lafunciónsólotieneuncero,yobser-vamosqueambasigualdadesnosdanelmismoresultado;porlotanto,tieneunasolasolución:
Elcerorealdelafunciónestálocalizadoenx=9
Hallaloscerosrealesdelafunciónf(x)=7x2+27x–4ycompruebaconsugráfica:
a=7 b=27 c=−4
Igualamosconcero:
74 UNIDAD II
7x2+27x–4=0
Hacemoselanálisisdeldiscriminante:
DDD
= ( ) − ( ) −( )= +=
27 4 7 4729 112841
2
ComoD>0,lafuncióntienedoscerosreales;hallemosesosceros:
x
x
x
x
1 2
1 2
1
2
27 8412 7
27 2914
27 2914
214
17
27 29
,
,
=−( ) ±
( )
= − ±
= − + = =
= − −114
5614
4= − = −
Lafuncióntienecerosrealesen:x = 17y,x=–4
Ysugráficaes:
Por elmétodode factorización, buscamosdosnúmeros que almultiplicarlos suproductoseael término independiente,enestecaso–4;ahorahacemosunatablacon losresultadosobtenidos:
–1 4–4 1–2 2
Elegimoselnúmeroquemásserepiteyformamosunbinomiodelaformax+aylodividimosentrenuestraexpresión;paraestecasoseleccionamos−1,detalmaneraquenuestrobinomioesx –1.
)x x x− + −1 7 27 42
75FUNCIONES POLINOMIALES
Setomaelvalorde“x”deldividendoconmayorexponenteysedivideporelelementodeldivisorconmayorexponente;enestecasosonx2yx,respectivamente:
7 72x
xx=
Ysecolocaenelcociente.Esteprocedimientoserepitehastaqueeneldividendonoquedenxconexponentemayoroigualaldeldivisor,ohastaqueelresiduoseacero:1
)7 4
1 7 27 4
7 70 28 4
28 40 0
2
x
x x x
x xx
+
− + −
− +−
− +
Sielresiduoescero,entoncestenemoslacertezadequehemosfactorizadolaexpresión;lafactorizacióneselproductodelcocienteyeldivisor:
7 27 4 0
7 1 4 0
2x xx x
+ − =−( ) +( ) =
Igualamosconcerocadafactoryresolvemos7 1 0
7 117
4 04
xx
x
xx
−( ) ==
=
+( ) == −
Loscerosdelafunciónson:
x
x
=
= −
174
Existenotrasformasdefactorizar,estaesunaentrevarias.Enequiposde4integrantesdiscuteyencuen-traotrasformasmássimplesodistintasalaaquípropuesta;puedesapoyarteenalgúnlibrodeálgebraoentusapuntes.
1 ParamayorinformaciónpuedesconsultartulibrodeÁlgebradeprimersemestreoellibrodeBaldorA.Álgebra;capítulodiez.
AActividad
76 UNIDAD II
Hallaloscerosrealesdelafuncióncuadráticaf(x)=4x2–16,ycompruebaconsugráfica.
Igualamosconcero:
4x2–16=0a =4 b =0 c =16
Analizamoseldiscriminante
D=(0)2–4(4)(–16)D=0+256D=256
ComoeldiscriminanteD >0,nuestrafuncióntienedoscerosoraícesrealesyconstatarmosquelafunciónespura,porloquepodemosutilizar lafórmulageneraldesegundogradoosimplementedespejarelvalordex.Parafinesprácticos,despejemoslax:
4 16164
42
2
2
x
x
xx
=
=
= ±= ±
Porlotanto,lafuncióntienecerosenx=2yx=−2.Vea-mossugráficaysudominio,aligualquelapolinomial,es:
Hallaloscerosrealesdelafunción f(x)=x2+5xycompruebaconsugráfica.Igualamosconcero:x2+5x=0
a =1 b =5 c =0
Analizamoseldiscriminante:
D=(5)2–4(1)(0)D=25–0D=25
EldiscriminanteD>0delafuncióntiene2cerosoraícesreales.
Al obtener la raízcuadrada de un nú-meroobtienesdosva-lores: uno positivo yunonegativo.Estoesasí porque si realizasla operación inversa―queeselevaralcua-drado― existen dosnúmerosquecumplencon esta condición,precisamenteunopo-sitivoyunonegativo:
32=9y(−3)2=9,porlotanto:
9 3= ±
77FUNCIONES POLINOMIALES
Factorizamoslafunciónutilizandoelmétododefactorizaciónporfactorcomún;debidoaqueambostérminosdelaexpresióntienen“x”,podemos“sacar”comofactorcomúnla“x”demenorexponente:
x xx x
2 5 0
5 0
+ =+( ) =
Igualamosconcerocadafactor:x
x=
+ =0
5 0
Resolvemos:xx
== −0
5
Concluimosquelafuncióntienecerosrealesenx=0yx=−5.
Comprobamosconsugráfica.
Hallaloscerosrealesdelafuncióny=x2–4x+6,ycompruebaconsugráfica.
Igualamosconcero:
x2–4x+6=0
a=1 b=–4 c=6
Analizamoseldiscriminante:
D=(–4)2–4(1)(6)D=16–24D=–8
Como el discriminanteD< 0, concluimos que la funciónNO tienecerosoraícesreales.
Comprobamosconsugráficayobservamosquelafunciónno“toca”ni“corta”elejex.
78 UNIDAD II
Hallaloscerosrealesdelafunciónf(x)=–x2+x+6,ycompruebaconsugráficatusresul-tados.
Igualamosconcero.
–x2+x+6=0a=–1 b =1 c =6
Analizamoseldiscriminante:
D=(1)2–4(–1)(6)D=1+24D=25
ComoeldiscriminanteD>0,lafuncióntiene2cerosoraícesreales.
Usemoselmétododefactorización:
–x2+x+6=0
“Sacamos”elsignonegativo:
–(x2–x–6)=0
Buscamosdosnúmeroscuyoproductosea−6ycuyasumasea−1.Losnúmerosquecumplenconestacondiciónson:−3y+2,luegoentonceslafactorizaciónqueda:
–(x–3)(x+2)=0
Igualamosconcerocadafactoryresolvemoslasecuacionesresultantes:
xx
xx
− =+ =
== −
3 02 0
32
Lafuncióntienecerosrealesenx=3yx=−2.Además,comoelcoeficienteprincipaldelafunciónes−1,podemossaberquelaparábolaabrehaciaabajo.
Comprobamosconsugráfica:
79FUNCIONES POLINOMIALES
Tambiénesposiblehallarloscerosdeunafuncióncuadráticaapartirdesuformaestándar.Veamos:
f(x)=a(x–h)2+k
Igualamosconcerolafunción:a(x–h)2+k=0
Despejamosx:x h k
a
x h ka
x ka
h
−( ) = −
− = ± −
= ± − +
2
1 2,
Hallarloscerosdelafunción f x x( ) = −
−32
254
2
,ycomprobarconsugráfica.
Igualamosconcerolafunción:x −
− =32
254
02
a=1 h=3/2 K=−25/4
Sustituimosenlaexpresiónyresolvemos:
x
x
x
x
1 2
1 2
1 2
1
254
132
254
32
52
32
52
32
82
4
,
,
,
= ±− −
+
= ± +
= ± +
= + + = =
xx 252
32
22
1= − + = − = −
80 UNIDAD II
Enconclusión,lafuncióncuadráticatienesuscerosoraícesrealesenx=4yx=−1.
Comprobandoconsugráfica:
Trabajoenbinas
Hallarloscerosrealesdelassiguientesfunciones.Incluyanelanálisisdeldiscriminantesólocuandosetratede funcionescuadráticasensu formageneral;compruebengraficando la funciónconayudadealgúnsoftwareyentreguenasuprofesor.Puedencompararsusresultadosconlosdeotrasparejas.
1. y=x2+16x+63 2. f(x)=–x2–3x+103. y=–4x2–36x–32 4. f(x)=x2+14x+495. y=x2–64 6. f(x)=x2+167. y=–2x2–2x+5 8. f(x)=2x2–13x+15
9. f(x)=–(x–3)2+8 10. y x= − − +
414
23
2
11. f x x( ) ( )= + −12
7 162 12. y x= − − +( )11 11
162
13. f x x( )
= − − −334
37
2
Conociendoloscerosy,aveces,cuandoesnecesarioalgunosparámetrosdelafuncióncuadrática,espo-sibleconstruirsuexpresiónalgebraica;esdecir,podemosinvertirelprocesoqueacabamosderealizar.
Dadosloscerosdelafuncióncuadráticax =−2yx=3,queabrehaciaarriba,determinasuexpresiónalgebraicayrealizaunbosquejodesugráfica.
Comox =−2yx=3soncerosdelafunción,perotambiénsonecuaciones,entonces:
Igualamosacerocadaecuación.
x+2=0x−3=0
81FUNCIONES POLINOMIALES
Ahoralosmultiplicamos:
(x−3)(x+2)=0
Loigualamosalafunción:
f(x)=(x–3)(x+2)
Desarrollamosytenemoslaexpresiónalgebraica:
f(x)=x2–x–6
Yhacemoselbosquejodeunaparábolaquepaseporx=−2yx=3
Comopodrásobservar,elbosquejoesunpocoirregular,perosufinalidadesdarunaideageneraldelagráficadelafunción.
Determinalaexpresiónalgebraicadelafuncióncuyoscerossonx = 43yx=–2;sesabeque
laparábolaabrehaciaabajo.Realizaunbosquejodelafunción.
Igualamosconcerocadaecuación:
x
xx
=
=− =
43
3 43 4 0
y
xx
= −+ =
22 0
Ahora losmultiplicamos,perorecordemosquelaparábolaabrehaciaabajo,por lotantoesnegativayagregamoselsignonegativo:
–(x+2)(3x–4)=0
Loigualamosaf(x):
f(x)=–(x+2)(3x–4)
Ydesarrollamos:
f(x)=–(3x2–4x+6x–8)
82 UNIDAD II
Simplificamos:
f x x x
f x x x
( ) = − + −( )( ) = − − +
3 2 8
3 2 8
2
2
Yobtenemoslaexpresiónalgebraica.
Ahorahacemoselbosquejo:
Hallalaexpresiónalgebraicaapartirdeloscerosdelassiguientesfuncionescuadráticasyrealizaelbos-quejocorrespondienteasugráfica:
1. x =–7,x–4;laparábolaabrehaciaarriba.2. x =5,x =8;laparábolaabrehaciaarriba.
3. x =–1,x =13;laparábolaabrehaciaarriba.
4. x =–9,x =7;laparábolaabrehaciaarriba.5. x =0,x =–4;laparábolaabrehaciaarriba.6. x =0,x =3;laparábolaabrehaciaabajo.7. x=2;laparábolaabrehaciaabajo.
8. x =7,x =94;laparábolaabrehaciaabajo.
9. x =–8,x =5;laparábolaabrehaciaabajo.10. x =–8,x =8;laparábolaabrehaciaabajo.
11. x =5,x =45;laparábolaabrehaciaabajo.
12. x = −37laparábolaabrehaciaabajo.
Muchasdelassolucionesqueformulesalosproblemasaquípropuestosdependerándetucreatividadydelosconocimientosquehayasobtenido.
83FUNCIONES POLINOMIALES
Forma estándar de una función cuadrática
Comoyasabemos,laformageneraldelafuncióncuadráticaes:
f(x)=ax2+bx+c
Paraobtenerlafunciónensuformaestándar,latenemosqueconvertirutilizandoelmétododecompletareltrinomiocuadradoperfecto,realizandolossiguientespasos:
Paso1. Agrupamoseltérminocuadráticoyeltérminolineal: f(x)=(ax2+bx)+c
Paso2. Factorizamoselcoeficienteprincipal:
f x a x ba
x c( ) = +
+2 .Nota:simplificalafracciónsiesposible.
Paso3. Dividimosentredoselcoeficientedeltérminolineal:
ba b
a2 2=
Paso4. Loelevamosalcuadrado:
ba
ba2 4
2 2
2
=
Paso5. Completamoseltrinomiocuadradoperfecto(tcp):
f x a x ba
x ba
c aba
( ) = + +
+ −2
2
2
2
24 4Nota:semultiplicapor“a”porque,comopue-
desver,“a”estámultiplicandoaltcp;porlotanto,paranoafectarlaexpresión,semultiplica b
a
2
24por“a”yseagregadespuésdelparéntesis.
Simplificamos:
f x a x ba
x ba
c ba
( ) = + +
+ −2
2
2
2
4 4
Paso6. RepresentamosalTCPcomounbinomioalcuadrado:
f x a x ba
c ba
( ) = +
+ −
2 4
2 2
2
Simplificamosestaexpresiónyllegamosalafunciónensuformaestándar:
h ba
= −2yk c b
a= −
2
4
Sustituyendo,obtenemoslaexpresióndelafuncióncuadráticaensuformaestándar:
84 UNIDAD II
f(x)=a(x–h)2+k
Talvezquierasusarestospasoscomosólounasimplefórmula,peroterecomendamosquetratesdeentenderelmétodo.
Transformalafunciónf(x)=x2+14x+60asuformaestándar.
Paso1. Agrupamoseltérminocuadráticoyeltérminolineal. f(x)=(x2+14x)+60
Paso2. Factorizamoselcoeficienteprincipal:
f x x x
f x x x
( ) = +
+
( ) = +( ) +
1 141
60
1 14 60
2
2
Paso3. Dividimosentredoselcoeficientedeltérminolineal:
142
7=
Paso4. Loelevamosalcuadrado: (7)2=49Paso5. Completamoseltcp: f(x)=1(x2+14x+49)+60–49Paso6. Representamosaltcpcomounbinomioalcuadradoyobtenemoslaformaestándar: f(x)=1(x+7)2+11
Paracomprobarnuestroresultadosimplementeinvertimoselproceso:
f(x)=1(x+7)2+11 f(x)=x2+14x+49+11 f(x)=x2+14x+60
Enconclusión,laformaestándardelafunciónf(x)=x2+14x+60esf(x)=1(x+7)2+11
Transformalafunciónf(x)=–x2–8x–23asuformaestándar.
Paso1. Agrupamoseltérminocuadráticoyeltérminolineal: f(x)=(–x2–8x)–23
Paso2. Factorizamoselcoeficienteprincipal.
f x x x
f x x x
( ) = − −−
−
( ) = − +( ) −
1 81
23
1 8 23
2
2
85FUNCIONES POLINOMIALES
Paso3. Dividimosentredoselcoeficientedeltérminolineal:
82
4=
Paso4. Loelevamosalcuadrado: (4)2=16
Paso5. CompletamoselTrinomioCuadradoPerfecto: f(x)=–1(x2+8x+16)–23+(–1)(–16)
Paso6. RepresentamosalTCPcomounbinomioalcuadradoyobtenemoslaformaestándar: f(x)=–1(x+4)2–23+16 f(x)=–1(x+4)2–7
Comprobación:
f(x)=–1(x+4)2–7 f(x)=–1(x2+8x+16)–7 f(x)=–x2–8x–16–7 f(x)=–x2–8x–23
Enconclusión,laformaestándardelafunciónf(x)=–x2–8x–23esf(x)=–1(x+4)2–7
Transformalafunciónf(x)=5x2–60x+187asuformaestándar.
Paso1. Agrupamoseltérminocuadráticoyeltérminolineal: f(x)=(5x2–60x)+187
Paso2. Factorizamoselcoeficienteprincipal:
f x x x
f x x x
( ) = −
+
( ) = −( ) +
5 605
187
12 187
2
2
Paso3. Dividimosentredoselcoeficientedeltérminolineal:
− = −12
26
Paso4. Loelevamosalcuadrado: (–6)2=36
Paso5. CompletamoselTrinomioCuadradoPerfecto: f(x)=5(x2–12x+36)+187–(5)(36)
86 UNIDAD II
Paso6. Representamosaltcpcomounbinomioalcuadradoyobtenemoslaformaestándar: f(x)=5(x–6)2+187–180 f(x)=5(x–6)2+7
Comprobación: f(x)=5(x–6)2+7 f(x)=5(x2–12x+36)+7 f(x)=5x2–60x+180+7 f(x)=5x2–60x+187
Enconclusión,laformaestándardelafunciónf(x)=5x2–60x+187esf(x)=5(x–6)2+7
Transformalafuncióny=–3x2+12x–17asuformaestándar.
Paso1. Agrupemoseltérminocuadráticoyeltérminolineal: y=(–3x2+12x)–17
Paso2. Factorizamoselcoeficienteprincipal:
y x x= − +−
−3 123
172
Paso3. Dividimosentredoselcoeficientedeltérminolineal:
− = −42
2
Paso4. Loelevamosalcuadrado: (–2)2=4
Paso5. CompletamoselTrinomioCuadradoPerfecto: y=–3(x2–4x+4)–17+(–3)(–4)
Paso6. Representamosaltcpcomounbinomioalcuadradoyobtenemoslaformaestándar: y=–3(x–2)2–17+12 y=–3(x–2)2–5
Comprobación: y=–3(x–2)2–5 y=–3(x2–4x+4)–5 y=3x2+12x–12–5 y=–3x2+12x–17
Enconclusiónlaformaestándardelafuncióny=–3x2+12x–17esy=–3(x–2)2–5
En matemáticas, casitodas las operacio-nesquehacemosnospermiten comprobarnuestros resultados.Esto nos puede lle-var a verificar si co-metimos o no algúnerror durante el pro-ceso, y el verificar,encontrar y corregirnuestros errores de-sarrollanuestrameta-cognición.
87FUNCIONES POLINOMIALES
Transforma lassiguientesfuncionesdesuformageneralasuformaestándar.Antesdeformular tusconclusionescompruebatusresultados:
1. f(x)=x2+2x–18 2. f(x)=x2–22x+1343. f(x)=–x2–26x–158 4. f(x)=–x2–34x–3345. f(x)=2x2+60x+402 6. y=–7x+98x–3507. y=–9x2–144x–570 8. y=–4x2+4x–99. y=5x2+80x 10. y=x2–49
Transformalassiguientesfuncionesdesuformaestándaralaformageneralycompruebatusresultados:
1. y=(x+3)2–52. f(x)=(x–2)2+33. y=(x+4)2– 1
2
4. f x x( )
= − +12
22
5. y x= + −
34
15
2
Vértice de una parábola
Elvérticedelaparábolaesunelementoqueseencuentralocalizadoenelpuntodondeseinter-ceptanlaparábolaysuejedesimetría.Tambiénestádefinidocomoelpuntodelaparáboladondeéstacambiadecrecienteadecrecienteoviceversa.
Esteparámetroesmuyimportanteysehalladeformamuysencilla.Porejemplo,silafuncióncuadráticaestáensuformageneralf(x)=ax2+bx+c,vérticetendrácoordenadas:
V ba
c ba
− −
2 4
2
,
88 UNIDAD II
Ysilafuncióncuadráticaestáensuformaestándar:
f x a x h k
V h k( ) = −( ) +
( )
2
,
Hallaelvérticedelaparábolacuyafunciónes f(x)=4x2–56x+198;compruébaloconsugráfica.
Sabemosque:
a=4 b=−56 c =198
Sustituyendo:
h
k
=− −( )
( )= =
= −−( )
( )= − = − =
562 4
568
7
19856
4 4198 3136
16198 196 2
2
89FUNCIONES POLINOMIALES
Porlotanto,nuestraparábolatienecoordenadas:V(7,2)
Efectivamente,observamosqueelvérticedelaparábolatienecoordenadasV(7,2).
Dadalafuncióny=–(x+3)2+4,hallarelvérticedelaparábolaycomprobarconsugráfica.
Partimosdelaecuación:
y=a(x–h)2+k
Siobservamosqueenlaformaestándarestá–hyennuestrafuncióntenemos+3,entoncespodemosdecirque:
y=–(x–(–3))2+4
Porlotanto,elvérticedelaparábolatienecoordenadas:
V(–3,4)
Veamossugráfica:
VemosqueefectivamentesuvérticeestálocalizadoenV(–3,4):
Eldominiodelafuncióncuadráticaodesegundogrado,quedadeterminadopor:
90 UNIDAD II
dominio={x∈R/–∞<x<∞}
debidoaqueesuncasoparticulardelafunciónpolinomial,precisamenteporquecompartesudominio.
Además,surangoquedadefinidopor:
Cuandoelcoeficienteprincipalespositivo(a>0)rango
rango
= ∈ ≥ −
= ∈ ≥{ }
y R y c ba
y R y k
/
/
2
4
Ocuandoelcoeficienteprincipalesnegativo(a <0)rango
rango
= ∈ ≤ −
= ∈ ≤{ }
y R y c ba
y R y k
/
/
2
4
Esimportantehacernotarqueelrangodelafuncióncuadráticaestáíntimamenterelacionadoconelvérticedelafunción,enespecíficoconsuordenada,detalformaquesiconocemosodeterminamoselvértice,confacilidadobtendremossurango.
Hallareldominioyelrangodelasiguientefuncióncuadrática:
f(x)=x2+8x+18
Alobservarsuexpresión,nosdamoscuentadequeesunpolinomioenteroen“x”,yporlotantosudominioefectivamentees:
dominio={x∈R/–∞<x<∞}
Comolafuncióncuadráticaestáensuformageneral,surangoloobtenemosdelaexpresión:
rango = ∈ ≤ −
y R y c ba
/2
4
Primerodeterminamoslosvaloresdea,b,c:
a =1 b =8 c =18
Loscualessustituimosenlaexpresión:c b
a− = −
( )
= −
= −=
2 2
418 8
4 1
18 644
18 162
91FUNCIONES POLINOMIALES
Entoncesconcluimos:
rango={y∈R/y≥2}
Veamossugráfica:
Comprobamosqueel rango (valoresde“y”de la función)empiezaen y =2yseprolongahacialasYpositivasinfinitamente.Enlafigurapodemosobservarelrecorridodelavariabledependiente.
Determinaeldominioyelrangodelafuncióncuadrática:
f(x)=–5(x–4)2–3
Sabemosqueeldominiodelafunciónes:
dominio={x∈R/–∞<x<∞}
Suvérticetienecoordenadas:
V(4,–3)
Paradeterminarelrango,sabemosquelaordenadadelvérticedelaparábolaesk=−3yqueelvalordelcoeficienteprincipalesnegativo,porloquenuestraparábolaabrehaciaabajoysurangoes:
rango={y∈R/y≤–3}
Enlafiguraobservamoselrecorridodelavariabledependienteyvemosqueefectivamentelaparábolaabrehaciaabajoyquelosvaloresdelrangoempiezandesdelosvaloresmásnegativosde“y”hastaelvalorde−3.
92 UNIDAD II
Conociendoelvérticedelafunción,podemos“transportar”lagráficadelafuncióndegradodosatravésdelplanocartesiano.Veamos:
Silaformaestándardelafunciónesf(x)=2(x–1)2+3,“mover”laparábolaporlosejes,detalmaneraquesuvérticetengacoordenadasV(–3,4).
Paralograrmoverlaparábolaconelmismoladorectoylasmismascaracterísticas,loúnicoquetenemosquehacerescambiarelvérticeactualporelvérticenuevo,conlarestriccióndequetenemosqueescribirelsignocontrarioalquetienehenelvértice.Veamoscómoessugráficaactual:
Ahora,modifiquemoslaexpresiónalgebraicaparamodificarsugráfica;queremosqueelvérti-ceselocaliceenV(−3,4)
Hacemoselcambiodevaloresymodificamoselsignodeh:
f(x)=2(x+3)2+4
Graficamosycomparamos:
Laformadelagráficaeslamisma;loquecambiaeslaposiciónysuexpresiónalgebraica,lacualse“adapta”alasnuevascoordenadas.
93FUNCIONES POLINOMIALES
Hallaelvértice,eldominioyelrangodelassiguientesfuncionescuadráticasyrealizasugráfica,señalan-doenrojoelvérticeytrazandounarectaperpendiculardelvérticeacadaeje.
1. y x= + −( )452
2 2. f(x)=–3(x+5)2+7
3. y x= − +
5163
162
4. f x x( ) ( )= − − +454
2
5. y x= − −
73
1612
6. f(x)=x2+7x+32
7. y=4x2–5x+2 8. f x x x( ) = − − −3 732
2
9. y x x= + −32
532
2 10. f(x)=x2–16
Organizadosenparejas,unodeloscompañeroselegiráunnuevovérticeparalaparábola,mientraselotrocompañeropredicedóndevaaquedarlanuevaparábola.Finalmentecompruebensusresultadosconunsoftwareograficandopuntoporpunto.
Complementarios:Estebloquedeejercicioslospuedesresolverenequipodecuatro,yseentregaránalprofesor.Esim-portantequecadaintegranterealiceunejerciciocompletoycompruebenresultadoso,ensudefecto,comentensusdudaspararealimentarloaprendidoenlaunidad.
Dadaslassiguientesfunciones,determina:
a) Suformaestándar. b) Elvérticedelafunción. c) Loscerosdelafunción. d) Sudominio. e) Surango. f) Elintervaloenquelafunciónescreciente. g) Elintervaloenquelafunciónesdecreciente. h) Realizaunbosquejodesugráfica. 1. y=5x2+6x+2 2. f(x)=x2–14x+45 3. y=–3x2–18x–33 4. f(x)=2x2+5x–3
2.1.5 Funciones polinomiales de grado tres y cuatro
Lafunciónpolinomialdegradotienelaforma:
f(x)=anx3+an–1x
2+an–2x1+an–3x
0
94 UNIDAD II
Deformageneral:
f(x)=ax3+bx2+cx+ddondea≠0
Lafuncióndegradocuatrotienelaforma:
f(x)=anx4+an–1x
3+an–2x2+an–3x
1+an–3x0
Ysuformagenerales:
f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+ea ≠ 0
Eldominiodeambasestádefinidoasí:
dominio={x∈R/–∞<x<∞}
Elrangodelafuncióndegradotreses:
rango={y∈R/–∞<y<∞}
Elrangodelafuncióndegradocuatrosecomportarádemanerasimilaraldelafuncióncua-drática,conlavariantedequesiempresetomaráelpuntomásbajodelasordenadasyhacialasordenadaspositivas,talycomolomuestralasiguientegráfica;laflechaindicaelrango.
Sisucoeficienteprincipalesnegativo,surangocomprenderádesdesupuntomásaltoloca-lizadoenlasordenadashacialasordenadasnegativas;comosemuestraenlafigura,laflechaindicaelrango.
95FUNCIONES POLINOMIALES
Comportamiento y bosquejo de gráficas de funciones
Ensuformamássimple,suexpresiónalgebraicaysugráficatomanlaforma:
Debidoasugrado,estafunciónpuedetenercomomáximo3cerosrealesycomomínimouno.Sugráficaesunaparábolacúbica.
Elcomportamientogeneraldetodaslasfuncionesdegradotres,encuantoasurangoserefie-re,estábasadoenestecasoparticular.
Gráficas de funciones cúbicas con coeficiente positivo
Funcionescúbicasconunaraíz
96 UNIDAD II
Gráficas de funciones cúbicas con coeficiente negativo
Pararealizarunbosquejodelagráficadelafunciónreal,debemosobservarprincipalmentesuscerosreales.
Realizaunbosquejodelagráficadelafuncióncuyoscerosestánlocalizadosen:x=−3,x=−2yx=3
a) Considerandoqueelcoeficienteprincipalespositivo. b) Considerandoqueelcoeficienteprincipalesnegativo.
Comotienetrescerosrealesynosespecificanqueelsignodelcoeficienteprincipalespositivo,en-toncessetratadeunafuncióndegradotrespositivayelbosquejodesugráficaseconstruyeasí:
Primerolocalizamossuscerosenelejecoordenado
97FUNCIONES POLINOMIALES
a) Al tener coeficientepositivo, sugráfica comienza en lasordenadasmásnegativas, esdecir,enlaparteinferiordelplano,yapartirdelaraízmásnegativa.
b) Comotienetrescerosrealesyelsignodelcoeficienteprincipalesnegativo,entoncessetratadeunafuncióndegradotresnegativoyelbosquejodesugráficaseconstruyeempezandoporlasordenadasmáspositivas:
Parafinesprácticos,sólosemuestranestosdoscasos.Sinembargo,másadelanteretomaremosestetema.
Ensuformamássimplelafuncióndegradocuatroes:f(x)=x4ysugráficaesmuysimilaralagráficadelafuncióncuadrática:
Ladiferenciaentrelagráficadelafuncióncuadráticaylagráficadelafuncióngradocuatroradicaprincipalmenteenquelosvaloresdelasordenadasenelintervalo[-1y1]“crecen”muy
98 UNIDAD II
lentamente,peroantesydespuésdeestosvaloresdecrecenycrecenmás“rápidamente”queenladegradodos.
Porsuscaracterísticas,lafuncióndegradocuatrotienecomomáximo4cerosrealesycomomínimopuedenotenerningúnceroreal.
Elcomportamientodelafuncióndegradocuatroseráigualaldelaparábola.Enelcasodequelafuncióndegradocuatrotengacoeficienteprincipalpositivo,lagráficadelafuncióniniciaráenlasordenadaspositivasyconcluiráenelmismolado,esdecir,hacialasordenadaspositivas,talycomoseobservaenlassiguientesgráficas.
Gráficas de funciones de grado cuatro, con coeficiente positivo
Gráficas de funciones de grado cuatro, con coeficiente negativo
99FUNCIONES POLINOMIALES
Elbosquejodeestetipodefuncionessiguelasmismasreglasquelasdegradotres,ylaformaquelascaracterizalatomaránapartir,tantodeloscerosreales,comodelasraícescomplejas.
Ceros y raíces reales
Paraobtener los ceros realesdeuna función, es recomendable elmétodode factorización;paraello,podemosutilizarelmétododelfactorcomún,ladivisióndeexpresionesalgebraicasyladivisiónsintética.Anteriormente,hemoshalladoloscerosdelafuncióncuadráticaydelafunciónlinealempleandodiversosmétodos.
División sintética
Ladivisiónsintéticaesunavariantede ladivisiónalgebraica,aunqueestá limitadayaqueeldivisordebetenerlaformax±a,dondeapuedesercualquierconstante.
Sabemosqueuna funciónpolinomialdegradon tendrán +1 términos,al igualquecomomáximotendrán +1coeficientes;estoesimportantetenerlopresenteyaquenospermitirádesarrollarelmétodoadecuadamente.
Parapoderexplicarladivisiónsintética,tomemoselsiguienteejemplo,elcualdesarrollaremosporpasos:x x x
x
3 25 2 244
+ − −+
Paso1. Seobservaelgradodelafunciónysesabequedebetenern+1términos.Enestecaso,lafunciónenelnumeradoresdegrado3,porlotantodebetenercomomáximo3+1términos,esdecir,4;efectivamente,tienecuatrotérminos.
Paso2. Seescribecadacoeficiente.
Paso3. Deldenominador,setomaelvalorde“a”peroconsignocontrarioyseescribealladodecadacoeficiente;esdecir,enellugarqueocupaeldivisor.Enestepasosege-
100 UNIDAD II
neraautomáticamenteelcambiodesignoquesedebehacerenladivisiónalgebraica,enestecasoelvalordea =4,porlotantoescribimos–4:
Paso4. Sebajaelcoeficienteprincipalalcocienteysemultiplicaporelvalorde−a;yelre-
sultadosecolocaabajodelsegundocoeficiente,1por−4iguala−4:
Paso5. Serealizalasumaorestayelresultadosecolocaenelcociente;5–4=1
Paso6. Seefectúaesteprocedimientocuantasveceslopermitanlasfunciones.
Paso7. Aldividirentreunaexpresiónlinealelgradodelcociente,serámenorenunaunidadqueelcoeficienteprincipalqueteníaelnumeradoraliniciarelproblema,yseinter-pretadisminuyendodeunoenunoelexponenteacadavalordelresiduo;esdecir,elprimerunocorrespondeahoraalvalorcuadrático,elsegundounocorrespondealvalorlinealyfinalmenteelmenos6correspondealtérminoindependiente:
x x x
xx x
3 225 2 24
46+ − −
+= + −
Sielresiduoesceronuestradivisiónesexacta,comoenestecasoocurrió.
Efectuemoslasiguientedivisión:x xx
3 93
−+
Paso1. Lafunciónadividiresnuevamenteunaexpresióncúbica,ysabemosquedebetenern+1términos;esdecir,4términos.Nosdamoscuentaquelefaltaneltérminocua-dráticoyelindependiente,porloqueensulugarcolocamoscerosendondevanloscoeficientescorrespondientesadichostérminos.
Paso2. Seescribecadacoeficiente:
101FUNCIONES POLINOMIALES
Paso3. Deldenominador,setomaelvalorde“a”peroconsignocontrarioyseescribealladodecadacoeficiente;esdecir,enellugarqueocupaeldivisor;enestecasoelvalordea=3.Porlotanto,escribimos−3.
Paso4. Bajamoselcoeficienteprincipalalcocienteylomultiplicamosporelvalorde–a;elresultadosecolocaabajodelsegundocoeficiente,1por–3iguala–3:
Paso5. Serealizalasumaorestayelresultadosecolocaenelcociente;0−3=–3
Paso6. Seefectúaesteprocedimientocuantasveceslopermitanlasfunciones:
Paso7. Delresultado,tomamosel1quecorrespondeax2y−3quecorrespondea−3x,que-dandoasí:
x xx
x x3
293
3−+
= −
Realizalassiguientesoperacionesutilizandoladivisiónsintética:
1. x x
x
2 2 31
− −+
2. x x
x
2 7 102
+ ++
3. x x x
x
3 22 17 153
+ − +−
4. x x xx
3 23 16 484
− − +−
5. 2 23 63
2 9
2x xx
− +−
6. 28 31 5
4 5
2x xx+ −
+
7. x x x
x
4 35 20 164
− + −−
8. x x x x
x
4 3 23 8 12 162
− + + +−
9. 2 3
2 3
2x xx+ −
+ 10.
22 1
2 2x xx
−−
Factores y residuos
Unfactoresunelementodelamultiplicación,yalresultadodelamultiplicacióndedosomáscan-tidadesselellamaproducto.
102 UNIDAD II
Sialefectuarunadivisión,elresiduoesigualacero,elcocienteyeldivisorsonfactoresdeldividendo.
Enladivisióndeestasexpresiones:x xx
x x3
293
3−+
= − ,elresiduofueceroy,segúnloanterior,podemosdecirque:(x+3)(x2–3x)=x3–9x.
Todoestosebasaenelteoremadelfactor,quedice:
Cuandounpolinomiof(x)sedivideentreunbinomiox–cysuresiduoescero,entoncespodemosafir-marquecesraízdelpolinomio.
Conesteteorema,nosotrospodemoshallarlasraícesocerosdecualquierfunción,siempreycuandoalefectuarladivisiónelresiduoseacero.Tambiénpodremosconstruirbosquejosdesugráfica.
Loscerosoraícespuedenserraícesrealesyraícesracionales;lasraícesracionalessonaquellasquepuedenrepresentarsepormediodeunadivisión.
Encuentraelcocienteyelresiduodelassiguientesexpresiones;utilizaladivisiónsintética:
1. xx
++
71 2.
5 27 105
2x xx
+ +−
3. − + +
+10 3
4
2x xx
4. − − + +
− +x x x
x
3 22 11 121
5. x x
x
2 7 64
− −+
6. 3 2 19 6
3
3 2x x xx
− − −+
7. 2 3 5 6
1
3 2x x xx
+ − −−
8. x x x
x
3 210 31 305
+ + +−
9. x x x x
x
4 3 211 41 61 304
+ + + ++
10.6 61 196 211 30
4
4 3 2x x x xx
+ + + ++
Ceros racionales
Teoremadelasraícesracionales:
Sitenemosunpolinomiodelaforma:f(x)=anxn+an–1x
n–1+an–2xn–2+...+a1x
1+a0,esposibleencontrarloscocientesformadosporlosfactoresdelcoeficienteanylosfactoresdelcoeficien-tea0paraencontrarunaraízracionaldelpolinomio,sipesfactordelcoeficientea0yqesunfactordelcoeficienteprincipalan.Entonces,loscerosracionalesdelpolinomioson:
pq
103FUNCIONES POLINOMIALES
Paraverificarqueencontramoselceroracionaldelpolinomioalsustituirelcocientepq enel
polinomio,sedebecumplir:
P(x)=0
Esdecir,quealsustituirloscocientespq enelpolinomio,elresultadodeestasustitucióndeberá
sercero.Sólosisecumpleestacondiciónpodremosdecirquehemoshalladoelceroracionaldelafunción.
Encuentraloscerosracionalesdelsiguientepolinomio:
P(x)=x2–x–2
Losposiblesfactoresde1queeselcoeficienteprincipal,son:
q=1
Losposiblesfactoresde–2queeseltérminoindependiente,son:
p=1,−1,2,–2
Con estos números formamos los cocientes que nos permitirán encontrar los factores delpolinomio:
pq
= − − = − −11
11
21
21
1 1 2 2, , , , , ,
Ahoradebemosprobarcadaunodeellosenelpolinomio,paravercuálcumpleconlacondi-ciónP(x)=0
P(1)=(1)2–(1)–2=1–1–2=–2P(–1)=(–1)2–(–1)–2=1+1–2=0P(2)=(2)2–(2)–2=4–2–2=0P(–2)=(–2)2–(–2)–2=4–4–2=–2
Losvaloresquehacenceroalpolinomioson:x=−1yx=2,podemosdecirqueambossonraícesdelpolinomioyque,porlotanto,x+1yx−2sonfactoresdelpolinomio:
Comprobamos:
x xx
x2 2
12− −
+= −
Porlotanto,loscerosrealesdelafunciónsonx=−1yx=2
104 UNIDAD II
Nota:Noesnecesarioquepruebestodosloscocientesenelpolinomio,sólohazlohastaqueencuentresunoquehagaceroalpolinomioylosdemásfactoreslospuedeslocalizarpordivi-siónsintéticaosimplementemediantedivisiónalgebraica.
Encuentraloscerosracionalesdelsiguientepolinomio:P(x)=7x2+19x–6
Losposiblesfactoresdelcoeficienteprincipal,7,son:q=+7,+1
Losposiblesfactoresdeltérminoindependiente,–6,son:p =±1,±2,±3,±6
Conestosnúmeros,formamosloscocientesquenospermitiránencontrarlosfactoresdelpo-linomio: p
q= − − − −1
71
727
27
37
37
67
67
, , , , , , , .
P
P
17
7 17
19 17
6 17
197
6 227
17
2
=
+
− = + − = −
−
= 77 17
19 17
197
6 607
27
7 27
19
2
2
−
+ −
− − = −
=
+P 227
6 47
387
6 0
− = + − =
Encontramosquex = 27esceroracionaldelpolinomio.
Si x
xx
=
=− =
72
7 27 2 0
entonces7x−2esunfactordelpolinomio,
7 19 67 2
32x x
xx+ −
−= +
Six+3esunpolinomio,entoncesx=−3esotrocerodelpolinomio.Porlotanto,concluimosquelafuncióntienecerosracionalesenx = 2
7yx=–3
Elprocesoinversoahallarloscerosdeunafunciónesencontrarlaexpresiónalgebraicaysugráficaapartirdesusceros.
Dadosloscerosdelafuncióncúbica:x=4,x=2,x=−1,sesabequeelcoeficienteprincipalespositivo.Hallalaexpresiónalgebraicaydibujasugráfica.
105FUNCIONES POLINOMIALES
Primerodespejamoscadaceroyloigualamosconcero:xxx
− =− =+ =
4 02 01 0
Ahoracadaexpresiónlamultiplicamosconlaotraeigualamosconcero:
(x–4)(x–2)(x+1)=0
Loigualamosconlavariabledependiente:
y=(x–4)(x–2)(x+1)
Desarrollamos:
y x x x x
y x x x
y x x x x x
y x
= − − +( ) +( )= − +( ) +( )= + − − + +
=
2
2
3 2 2
3
2 4 8 1
6 8 1
6 6 8 8
−− + +
( ) = − + +
5 2 8
5 2 8
2
3 2
x x
f x x x x
Porlotanto,lafuncióncuyoscerossonx=4,x=2,x=−1,yconcoeficienteprincipalposi-tivo,tienecomoexpresiónalgebraicaf(x)=x3–5x2+2x+8
Dadosloscerosdelafuncióncuadrática:x =−2,x=−1,x=1,x=2,sesabequeelcoefi-cienteprincipalesnegativo.Hallalaexpresiónalgebraicaydibujasugráfica:
Seigualanconcero:xxxx
+ =+ =− =− =
2 01 01 02 0
Semultiplicanyseagregaalinicioelsignonegativo,yaqueelcoeficienteprincipalesnegativo:
106 UNIDAD II
− +( ) +( ) −( ) −( ) == − +( ) +( ) −( ) −( )= − + + +
x x x x
y x x x x
y x x x
2 1 1 2 0
2 1 1 2
2 22(( ) −( ) −( )= − + +( ) −( ) −( )= − − + − + −( )
x x
y x x x x
y x x x x x x
1 2
3 2 1 2
3 3 2 2
2
3 2 2 −−( )= − + − −( ) −( )= − − + − − + − +( )= −
2
2 2 2
2 2 4 2 2 4
3 2
4 3 3 2 2
y x x x x
y x x x x x x x
y xx x
f x x x
4 2
4 2
5 4
5 4
− +( )( ) = − + −
Porlotanto,lafuncióncuyoscerosson:x =−2,x=−1,x=1,x=2ycuyocoeficienteesnegativo,tienecomoexpresiónalgebraicaf(x)=–x4+5x2–4
Enequiposdecuatrointegrantes,hallarloscerosdelassiguientesfuncionesutilizandoelmétododelceroracionalyladivisiónsintética.Construyanunbosquejodesugráfica:
1. f(x)=x3+x2–4x–4 2. f(x)=x3+x2–22x–403. f(x)=x3+x2–21x–45 4. f(x)=x4–4x3–26x2+60x+2255. f(x)=2x3+5x2–11x–14 6. f(x)=3x3+5x2–12x–207. f(x)=x3+7x2+8x–16 8. f(x)=x3–x2–14x+249. f(x)=–x4+2x3+35x2–36x–180 10. f(x)=–x4–3x3+6x2+28x+2411. f(x)=x4–2x3+23x2+24x–144 12. f(x)=–3x4–7x3+71x2+175x+10013. f(x)=–5x3+6x2+27x 14. f(x)=–x4–4x3+21x2
15. f(x)=8x3+32x2–168x 16. f(x)=x3+7x2+9x+6317. f(x)=x3–8x2+5x+57 18. f(x)=–2x3–10x2–6x+20
Dadosloscerosdelafunción,hallasuexpresiónalgebraicayrealizaunbosquejodesugráficao,ensudefecto,graficautilizandounsoftwareparaelefecto.
1. x=0,x=3,x=4,coeficienteprincipalpositivo.2. x=2,x=–2,x=2,coeficienteprincipalnegativo.3. x=1,x=–5,x=3,coeficienteprincipalpositivo.
107FUNCIONES POLINOMIALES
4. x=0,x=8,x=2,coeficienteprincipalnegativo.5. x=3,x=3,x=3,coeficienteprincipalpositivo.6. x=2,x=3,x=4,x=1,coeficienteprincipalpositivo.7. x=–1,x=–3,x=2,x=4,coeficienteprincipalnegativo.8. x=4,x=4,x=4,x=4,coeficienteprincipalpositivo.9. x=0,x=–3,x=–3,x=2,coeficienteprincipalnegativo.10. x=4,x=7,x=7,x=7,coeficienteprincipalpositivo.
Ceros y raíces complejas
Hastaestemomento,hemosdeterminadolasraícesocerosrealesdeunafunción;sinembargo,existenalgunasque,porsuscaracterísticasespecíficas,notienencerosreales,esdecir,nopre-sentaninterseccionesconelejedelasabscisas(x).Alresolverfuncionesconestascaracterísti-cas,encontramosquesepresentanraícesdenúmerosnegativosysabemosqueestosnúmerosnosonreales,porloquelesllamamosimaginarios.
Launidadimaginariaes:
− =1 i ,detalmaneraquesecumpleque:i2=−1
Conlosnúmerosimaginariosseformanotrosnúmeros,aloscualesllamamoscomplejosylosrepresentamosconlaletraz.Éstosseencuentranformadosporunnúmerorealyunnúmeroimaginario;engeneraltenemos:
z=a+bi
Dondeaybsonreales.
Sitenemos,porejemplo, −16entonces,paratransformarloaimaginariohacemoslosiguiente:factorizamoselnúmerodetalmaneraquequedecomofactorde−1.
− = ∗ −16 16 1
Ahoraaplicamoslaspropiedadesdelosradicales:
16 1 4 1 4− = − = i
ytenemosalnúmeroimaginario:4i
108 UNIDAD II
Determinalasraícesdelafunción f(x)=x2+9.Comprobamosconsugráficasiesqueenrealidadtienecerosimaginarios:
Secompruebaquesítienesusceroscomplejos;loscalculamos:
a=1 b=0 c=9
D=(0)–4(1)(9)D=–36
Concluimosquenuestrafuncióntieneceroscomplejos:
x i i1 20 36
2 136 12
36 12
62
3, = ± −( )
= ± ∗ − = ± − = ± = ±
Lafuncióntieneceroscomplejosoimaginariosen:x1=3iyx1=–3i
Determinalasraícesdelasiguientefunción:
f(x)=x2–8x+18
Estoseverificaalrealizarsugráfica:
Busquemoslasraícesdelafunciónparaverquéobtenemos:
a=1 b=–8 c=18
D=(–8)2–4(1)(18)=64–72D=(–8)2–4(1)(18)=64–72D=–8
109FUNCIONES POLINOMIALES
Alhacerelanálisisdeldiscriminante,nosdamoscuentaqueenverdadnuestrafunciónnotienecerosreales.Sinembargo,alresolverlaecuaciónobtenemos:
x
x
1 2
1
8 82 1
8 82
8 4 2 12
8 2 2 12
82
2 2 12
4 2
, =− −( ) ± −
( )
= + + − = + + ∗ ∗ − = + − = + − = + −− = +
= + − − = + − ∗ ∗ − = − − = + − = − − = −
1 4 2
8 82
8 4 2 12
8 2 2 12
82
2 2 12
4 2 1 4 22
i
x i
Porlotanto,lafuncióntieneraícescomplejasen:
x i
x i1
2
4 2
4 2
= +
= −
Determinaloscerosdelafunción:f(x)=x3+x2+2x+2x3+x2+2x+2=0
Utilizandoladivisiónsintética,obtenemos:
Lafactorizacióndelafunciónes:x3+x2+2x+2=(x+1)(x2+2)=0.Tieneuncerorealenx=−1
Ahoraresolvemoslacuadrática:x
x
x i
2
2
2 0
2
2 2 1 2 1 2
+ =
= −
= ± − = ± ∗ − = ± − = ±
Concluimosquelafuncióntieneuncerorealenx=–1ydosceroscomplejosx i= 2 yx i= − 2 ;veamossugráficaaladerecha:
Determinaloscerosdelassiguientesfunciones,incluyendoelcálculodeaquellosqueseancomplejos;graficayobservasucomportamiento.Entregaunreporteescritodetusobservacionesatuprofesor.
1. y=2(x–4)2+1 2. y=(x+5)2+33. y=–(x–3)2–2 4. y=–(x+6)2–45. y=x3+14x2+60x+77 6. f(x)=x3+x2+9x+97. f(x)=x3+5x2+x+5 8. f(x)=x3+9x2+9x+819. f(x)=x3–27 10. f(x)=x3+8
110 UNIDAD II
Número de ceros de una función polinomial
Engeneral,elnúmeromáximodecerosdecualquierfunciónpolinomialestarádadoporelgradodelafunción.Esdecir,sisetratadeunafuncióndegradoseis,éstatendrácomomáximoseisceros;sisetratadeunafuncióndegradotrestendrácomomáximotresceros.Ahoraelnú-meromínimodecerossedeterminaalclasificaralafunciónpolinomialengradoparoimpar;silafunciónesdegradoIMPAR,tendrácomomínimounaraízoceroreal;sinembargo,silafunciónesdegradoPARpuedenotenerningúncerooraízreal.Porejemplo,sisetratadeunafuncióndegradosiete,tendrácomomínimounceroysiesunafuncióndegradoseis,puedenotenerningúncerooraízreal.
Factores lineales y multiplicidad
Sialfactorizarunpolinomioalgunodelosfactoreslinealesserepiteunaomásveces,en-toncestendremosunamultiplicidad.Siunfactorserepiteunavez,entoncestenemosmul-tiplicidad 2; si se repite dos veces, entonces decimos que tenemosmultiplicidad 3, y asísucesivamente.
Factorizarx2+8x+16
Sufactorizaciónes:(x+4)(x+4).Vemosqueelfactorserepitióunasolavez,porlotantoestaexpresiónpresentamultiplicidad2.
Factorizarx4+13x3+63x2+135x+108
Lafactorizacióndeestaexpresiónes(x+3)(x+3)(x+3)(x+4).Observemosqueunfactoraparecetresveces,porloquedecimosqueestaexpresióntienemultiplicidad3.
Delosejerciciosrealizadosanteriormente,verificacuálespresentanmultiplicidad,2,3o4.
Trabajoenbinas.Cadaalumnorealizaráuncrucigramaeligiendo10términosempleadosenlapresenteunidadqueseencuentranenlasiguientelista;lasdefinicioneshorizontalesyverticaleslaspuedeobtenerdelainformacióndellibro.Alfinalizar,cadaunointercambiaráconsuparejasucrucigramaparaqueloresuelva,hecholocualserádevueltoparasercalificadoporelcompañeroquelorealizó.
- Funciónpolinomial - Funciónconstante - Funciónlineal - Funcióncuadrática - Funcióngradotres - Funcióngradocuatro - Númeromáximodecerosreales - Númeroimaginario - Númerocomplejo - Parábola - Parábolacúbica - Línearecta
111FUNCIONES POLINOMIALES
- Ceroracional - Dominio - Rango - Divisiónsintética - Multiplicidad - Factorizar - Producto - Factor - Cociente - Divisor - Residuo - Dividendo
112 UNIDAD II
NOMBREDELALUMNO: ACIERTOS
I. Contestabrevementeloquesetepide.
1. Lacantidadmínimadecerosdeunafunción,cuyogradoesimpar
2. Eslacantidadmínimadecerosdeunafuncióncuyogradoespar:
3. Eselmáximodecerosquepuedetenerlafunciónf(x)=3x3-4x2–109x–70:
4. Eseldominiodelafunciónf(x)=3x5–7:
5. EselcontradominiodelafunciónR x( ) = 34
II. Relacionaambascolumnas,segúncorresponda.
III. Hallalascoordenadasdelvérticedecadaparábolayrealizaunbosquejodesugráfica.
a) y=−5(x–3)2+2 b) y=x2+2x+2
6. () y=2(x–3)2+77. () y=x2–8x+168. () y=x2+169. () y=0.5x2+3x–110.() y=x2–x–1211.() y=x2+5x+612.() y=(x+5)2–313.() y=x2–4x–2
a) Parábolaqueabrehaciaabajob) Funcióncuadráticacuyaformagenerales:
y=x2+10x+22c) Funcióncuyocontradominioes:[–6,∞)d) Funciónconúnicoceroen(4,0)e) Funcióncuyoladorectoeselmáspequeñof) Funcióncuyodiscriminanteesmenorquecero
g) Funcióncuyoladorectoeselmásgrandeh) Funcióncuyoscerosson:(–3,0)y(4,0)
113FUNCIONES POLINOMIALES
IV. Dadalasiguientegráfica,hallalaexpresiónalgebraicadelafunción.
V. Hallaloscerosdelafunción,sudominio,sucontradominioyrealizaunbosquejo.
y=2x3+5x2−13x−30
VI. Resuelveelsiguienteproblema:
ParacomprarenSam’s,necesitosacarunacredencialquemecuesta$130.00.Sicom-pro40libretas,mecuestancontodoycredencial$210.00.Deseocomprar90libretas,¿cuántomecostaránúnicamentelaslibretas?¿Quéexpresiónalgebraicaseajustaríaalproblema?
VII. Dadaslasdosfuncioneslineales,identificayseñalalafunciónquetienependientenega-tivaylaqueintersectaalejeyenlosvaloresnegativos.
Función Respuestay=11x–3y=11x+3