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The Mathematics Vision Project Scott Hendrickson, Joleigh Honey, Barbara Kuehl, Travis Lemon, Janet Sutorius
© 2018 Mathematics Vision Project Original work © 2013 in partnership with the Utah State Office of Education
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MÓDULO 1
Funciones & sus Inversas
MATEMÁTICAS III
NIVEL SECUNDARIA
Un Enfoque Integrado
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MATEMÁTICAS III NIVEL SECUNDARIA // MÓDULO 1
FUNCIONES Y SUS INVERSAS
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MÓDULO 1 - TABLA DE CONTENIDO
FUNCIONES Y SUS INVERSAS
1.1Brutus Bites – Actividad para Desarrollar Comprensión Desarrolla el concepto de funciones inversas en un contexto de modelado lineal utilizando tablas, gráficas y ecuaciones. (F.BF.1, F.BF.4, F.BF.4a) Tarea: Preparación, Práctica, Rendimiento. Funciones y sus Inversas 1.1
1.2Ferraris – Actividad para Consolidar Comprensión Extiende los conceptos de funciones inversas en un contexto de modelado cuadrático con un enfoque en el dominio y rango, y si una función se puede invertir en un dominio dado. (F.BF.1, F.BF.4, F.BF.4c, F.BF.4d) Tarea: Preparación, Práctica, Rendimiento. Funciones y sus Inversas 1.2
1.3Monitoreando una Tortuga – Actividad para Consolidar Comprensión Afirma los conceptos de función inversa en un contexto de modelado exponencial y expone ideas sobre logaritmos. (F.BF.1, F.BF.4, F.BF.4c, F.BF.4d)Tarea: Preparación, Práctica, Rendimiento. Funciones y sus Inversas 1.3
1.4 Sacar un Conejo del Sombrero – Actividad para Consolidar Comprensión Utiliza máquinas de función para modelar funciones y sus inversas. Enfócate en encontrar funciones inversas y verificar que dos funciones son inversas. (F.BF.4, F.BF.4a, F.BF.4b) Tarea: Preparación, Práctica, Rendimiento. Funciones y sus Inversas 1.4
1.5 Universo Inverso – Actividad para Practicar Comprensión Utiliza tablas, gráficas, ecuaciones y descripciones escritas de funciones para unir funciones y sus inversas y verificar la relación inversa entre dos funciones. (F.BF.4a, F.BF.4b, F.BF.4c, F.BF.4d) Tarea: Preparación, Práctica, Rendimiento. Funciones y sus Inversas 1.5
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MATEMÁTICAS III NIVEL SECUNDARIA // MÓDULO 1
FUNCIONES Y SUS INVERSAS – 1.1
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1.1 Brutus Bites
Actividad para Desarrollar Comprensión
¿RecuerdasaCarlosyClarita?Haceunpardeaños,comenzaronaganardinerocuidandomascotasmientrassusdueñosnoestaban.Debidoasuasombrosoanálisismatemáticoysucariñoporlosgatosyperrosquereciben,CarlosyClaritahanhechoquesunegocioseamuyexitoso.Paramanteneralosperroshambrientosalimentados,debencomprarregularmenteBrutusBites,lacomidafavoritadetodoslosperros.CarlosyClaritahanestadobuscandounnuevoproveedordealimentosparaperrosyhanidentificadodosposibilidades.TheCanineCateringCompany,ubicadaensuciudad,vende7librasdealimentospor$5. Carlospensóencuántopagaríanporunacantidaddadadealimentosydibujóestagráfica:
1. EscribelaecuacióndelafunciónquegraficóCarlos.
CC B
Y Fr
anco
Van
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p/m
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1
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Claritapensóenlacantidaddecomidaquepodríancomprarporunadeterminadacantidaddedineroydibujóestagráfica:
2.EscribelaecuacióndelafunciónquegraficóClarita.
3. EscribeunapreguntaquesearespondidaconmayorfacilidadporlagráficadeCarlos.EscribeunapreguntaquesearespondidamásfácilmenteporlagráficadeClarita.¿Cuálesladiferenciaentrelasdospreguntas?
4. ¿Cuáleslarelaciónentrelasdosfunciones?¿Cómolosabes?
5.Usalanotacióndefunciónparaescribirlarelaciónentrelasfunciones.
2
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Enlínea,Carlosencontróunacompañíaquevende8librasdeBrutusBitespor$6másuncargodeenvíode$5porcadapedido.Lacompañíaanunciaquevenderáncualquiercantidaddealimentosalmismoprecioporlibra.ModelalarelaciónentreelprecioylacantidaddealimentosutilizandoelenfoquedeCarlos.
6.
ModelalarelaciónentreelprecioylacantidaddealimentosutilizandoelenfoquedeClarita.7.
8. ¿Cuáleslarelaciónentreestasdosfunciones?¿Cómolosabes?
9. Usalanotacióndefunciónparaescribirlarelaciónentrelasfunciones.
10. ¿EnquécompañíadeberíancomprarClaritayCarlossusBrutusBites?¿Porqué?
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1.1
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PREPARACIÓNTema:Operacionesinversas
Lasoperacionesinversasse"deshacen"entresí.Porejemplo,lasumaylarestasonoperaciones
inversas.Tambiénlosonlamultiplicaciónyladivisión.Enmatemáticas,amenudoesconveniente
“deshacer”variasoperacionespararesolverunavariable.
Resuelvexenlossiguientesproblemas.Luego,completaladeclaraciónidentificandola
operaciónqueutilizastepara"deshacer"laecuación.
1.24=3x Deshacerlamultiplicaciónpor3_______________________________________________
2. Deshacerladivisiónpor5______________________________________________________
3. Deshacerlasumapor17________________________________________________________
4. Deshacerlaraízcuadrada___________________________________________________
5. Deshacerlaraízcúbica_____________________________luego_______________________
6. Deshacerelexponentedexal4°poder________________________________________
7. Deshacerelexponentealcuadrado____________________luego__________________
PRÁCTICATema:Funcioneslinealesysusinversas
CarlosyClaritatienenunnegociodecuidadodemascotas.Cuandoestabantratandodedecidir
cuántosperrosygatospodríancaberensupatio,hicieronunatablabasadaenlasiguiente
información.Lasjaulasparagatosrequieren6piescuadradosdeespacio,mientrasquelasjaulas
paraperrosrequieren24piescuadrados.CarlosyClaritatienen360piescuadradosdisponiblesen
elcobertizodealmacenamientoparajaulasypistas,almismotiempo,dejandosuficienteespacio
paramoverseentrelasjaulas.Hicieronunatabladetodaslascombinacionesdegatosyperrosque
x5= −2
x +17 = 20
x = 6
x +1( )3 = 2
x4 = 81
x − 9( )2 = 49
P R E P A R A C I Ó N , P R Á C T I C A , R E N D I M I E N T O Nombre PeriodoFecha
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1.1
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podríanusarparallenarelespacio.Rápidamentesedieroncuentadequepodíancaberen4gatosen
elmismoespacioqueunperro.
gatos 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60
perros 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8.Utilizalainformacióndelatablaparaescribir5paresordenadosquetengangatoscomo
valordeentradayperroscomovalordesalida.
9.Escribeunaecuaciónexplícitaquemuestrecuántosperrospuedenacomodarsegúnla
cantidaddegatosquetengan.Elnúmerodeperros"d"seráunafuncióndelnúmerode
gatos"c"o! = #(%)
10.Usalainformacióndelatablaparaescribir5paresordenadosquetenganperroscomo
valordeentradaygatoscomovalordesalida.
11.Escribeunaecuaciónexplícitaquemuestrecuántosgatospuedenacomodarsegúnla
cantidaddeperrosquetengan.Elnúmerodegatos"c"seráunafuncióndelnúmerode
perros"d"o' = (()).
Basatusrespuestasen#12y#13enlatablaenlapartesuperiordelapágina.
12.Repasaelproblema8yelproblema10.Describecómolosparesordenadossondiferentes.
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1.1
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13.a)Repasalaecuaciónqueescribisteenelproblema9.Describeeldominiopara) = *(').
b)Describeeldominioparalaecuación' = (())queescribisteenelproblema11.
c)¿Cuáleslarelaciónentreellos?
RENDIMIENTOTEMA:USARLANOTACIÓNDEFUNCIONESPARAEVALUARUNAFUNCIÓN:
Lasfuncionesƒ(x),g(x),yh(x)sedefinenacontinuación.
Calculalosvaloresdefunciónindicadosenlossiguientesproblemas.
Simplificatusrespuestas.
14.
15. 16. 17.
18.
19. 20. 21.((, + .)
22. 23. 24. 25.
f x( ) = x g x( ) = 5x −12 h x( ) = x2 + 4x − 7
f 10( ) f −2( ) f a( ) f a + b( )
g 10( ) g −2( ) g a( )
h 10( ) h −2( ) h a( ) h a + b( )
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1.2 Ferraris
Actividad para Consolidar Comprensión
Cuandolaspersonasaprendenaconducirporprimeravez,amenudoselesdicequemientrasmásrápidoconduzcan,mástiempotomaránendetenerse.Porlotanto,cuandoconducesenlaautopista,debesdejarmásespacioentretuautomóvilyelqueestáenfrente,quecuandomanejaslentamenteporunvecindario.¿Tehaspreguntadoalgunavezsobrelarelaciónqueexisteentrelavelocidadconlaqueconducesycuántoviajasantesdedetenerte,despuésdepisarlosfrenos?
1. Piénsaloporunminuto.¿Quéfactorescreesquepuedenhacerunadiferenciaenladistanciaquerecorreunautomóvildespuésdepisarlosfrenos?
Enrealidad,seharealizadobastantetrabajoexperimental(principalmentepordepartamentosdepolicíaycompañíasdeseguros)parapodermodelarmatemáticamentelarelaciónentrelavelocidaddeunautomóvilyladistanciadefrenado(quétanlejosviajaelautomóvilhastaquesedetienedespuésqueelconductorpisalosfrenos).
2. Imaginaelautodetussueños.TalvezesunFerrari550Maranello,unautomóvilitalianosúperrápido.Losexperimentoshandemostradoque,encarreteraslisasysecas,larelaciónentreladistanciadefrenado(d)ylavelocidad(v)estádadapor!(#) = 0.03)* .Lavelocidadsedaenmillas/horayladistanciaenpies.
3. a) ¿Cuántospiesdebesdejarentretúyelautomóvilquetienesenfrentesiconducesel
Ferraria55mi/hora?
b) ¿Quédistanciadebesmantenerentretúyelautomóvilquetienesenfrentesiconducesa100millasporhora?
CC B
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c) Siunautomóvilpromediomideaproximadamente16piesdelargo,¿aproximadamentecuántaslongitudesdeautodebehaberentretúyelautomóvilfrenteatisiconducesa100millasporhora?
d) Tienesentidoparamuchaspersonasque,sielautomóvilseestámoviendoaciertavelocidadyluegovadosvecesmásrápido,ladistanciadefrenadoseaeldoble.¿Escierto?Explicaporquésíoporquéno.
4.Graficalarelaciónentreladistanciadefrenadod(v)ylavelocidad(v),acontinuación.
5.SegúnlacompañíaFerrari,lavelocidadmáximadelautomóvilesdeaproximadamente217mph.UtilizaestoparadescribirtodaslascaracterísticasmatemáticasdelarelaciónentreladistanciadefrenadoylavelocidadparaelFerrari,modeladopor!(#) = 0.03)* .
6. ¿QuépasaríasielconductordelFerrari550estuvieramanejandoaunavelocidadconstanteyderepentepisaralosfrenosparadetenerseporquevioungatoenlacarretera?Ellapatinóhastadetenerse,yafortunadamente,noatropellóalgato.Cuandosaliódelautomóvil,midiólasmarcasdedeslizamientodejadasporelautomóvilysupoquesudistanciadefrenadofuede31pies.
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a)¿Quétanrápidoibacuandoellapisóelfreno?
b)Sinovioalgatohastaqueestabaa15piesdedistancia,¿cuáleslavelocidadmásaltaalaquepodríairantesdepisarelfreno,siquiereevitaratropellaralgato?
7.Partedeltrabajodelosoficialesdepolicíaesinvestigarlosaccidentesdetráficoparadeterminarquécausóelaccidenteyquéconductortuvolaculpa.Midenladistanciadefrenadousandomarcasdedeslizamientoycalculanvelocidadesusandolasrelacionesmatemáticascomolohemoshechoaquí,aunqueamenudousanfórmulasdiferentesparatomarencuentavariosfactores,comolascondicionesdelacarretera.RegresemosalFerrarienuncaminollanoyseco,yaqueconocemoslarelación.Creaunatablaquemuestrelavelocidadconlaqueviajabaelautomóvilenfuncióndeladistanciadefrenado.
8.Escribeunaecuacióndelafunciónv(d)quedalavelocidadconlaqueelautomóvilviajabaparaunadistanciadefrenadodeterminada.
9.Graficalafunciónv(d)ydescribesuscaracterísticas.
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10.¿Quénotassobrelagráficadev(d)comparadaconlagráficaded(v)?¿Cuáleslarelaciónentrelasfuncionesd(v)yv(d)?
11.Consideralafunción!(#) = 0.03)*sobreeldominiodetodoslosnúmerosreales,nosoloeldominiodelasituacióndeesteproblema.¿Cómocambialagráficadelaotragráficaded(v)enlapregunta#3?
12.¿Cómocambiaeldominioded(v)lagráficadelinversoded(v)?
13.¿Eslainversaded(v)unafunción?Justificaturespuesta.
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1.2
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PREPARACIÓN Tema:CómoresolverunavariableResuelveparax.
1. 17 = 5% + 2
2.2%( − 5 = 3%( − 12% + 313.11 = √2% + 1
4.√%( + % − 2 = 25.−4 = √5% + 1- 6.√352- = √7%( + 9-
7.30 = 243 8.50 = 11(2 9.40 = 1
3(
PRÁCTICA Tema:Exploracióndefuncionesinversas
10 Losestudiantesrecibieronunconjuntodedatosparagraficar.Despuésdecompletarsus
gráficas,cadaestudiantecompartiósugráficaconsucompañerodeallado.CuandoEthany
Emmavieronlasgráficasdelotro,exclamaronjuntos,"¡Tugráficaestáequivocada!"
Ningunadelasgráficasestámal.ExplicaloqueEthanyEmmahanhechoconsusdatos.
GráficadeEthan
GráficadeEmma
P R E P A R A C I Ó N , P R Á C T I C A , R E N D I M I E N T O Nombre PeriodoFecha
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1.2
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11.DescribeunasecuenciadetransformacionesquellevaríalagráficadeEthanaladeEmma.
12.
Unapelotadebéisbolesgolpeadahaciaarribadesdeunaalturade3piesconunavelocidadinicialde80piesporsegundo(aproximadamente55mph).Lagráficamuestralaalturadelapelotaencualquiersegundodadodurantesuvuelo.Usalagráficapararesponderlaspreguntasacontinuación.
a. Calculaeltiempoquelapelotaestáensualturamáxima.b. Calculaeltiempoenquelapelotatocaelsuelo.
c. ¿Aquéhoralapelotaestáa67piesdelsuelo?
d. Hazunanuevagráficaquemuestreelmomentoenquelapelotaestáenlasalturasdadas.
e. ¿Estunuevagráficaunafunción?
Explica.
6
7
f
t 3
f
t
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1.2
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RENDIMIENTO Tema:Usarlanotacióndefuncionesparaevaluarunafunción
Lasfuncionesƒ(x),g(x),yh(x)sedefinenacontinuación.
Calculalosvaloresdefunciónindicados.Simplificatusrespuestas.
13.4(7) 14.4(−9) 15.4(7) 16.4(7 − 8)
17.9(7) 18.9(−9) 19.9(7) 20.9(7 − 8)
21.ℎ(7) 22.ℎ(−9) 23.ℎ(7) 24.ℎ(7 − 8)
Observaquelanotaciónf(g(x))indicaquereemplazastexenf(x)cong(x).
Simplificalosiguiente:
25.f(g(x)) 26.f(h(x)) 27.g(f(x))
f x( ) = 3x g x( ) = 10x + 4 h x( ) = x2 − x
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1.3 Monitoreando una Tortuga
Actividad para Consolidar Comprensión
Puedequerecuerdesunatareadelañopasadosobrelafamosacarreraentrelatortugaylaliebre.Enlahistoriainfantildelatortugaylaliebre,laliebreseburladelatortugaporserlenta.Latortugaresponde:"Ellentoyconstanteganalacarrera".Laliebredice:"Yaveremoseso"ydesafíaalatortugaaunacarrera.
Enlatarea,modelamosladistanciadesdelalíneadepartidaquetantolatortugacomolaliebreviajarondurantelacarrera.Hoyconsideraremossoloelviajedelatortugaenlacarrera.
Debidoaquelaliebreestátanseguradequepuedeganarlealatortuga,ledaalatortugaunaventajade1metro.Ladistanciadesdelalíneadepartidadelatortuga,incluidalaventajainicial,sedaporlafunción:
!(#) = 2( (denmetrosytensegundos)
Lafamiliadelatortugadecideverlacarreradesdeelotroladoparapoderverasuqueridahermanatortuga,Shellie,demostrarelvalordelapersistencia.
1. ¿Aquédistanciadelalíneadepartidadebeestarlafamilia,paraqueseubiqueenellugarcorrectocuandoShelliecorra5segundosdespuésdelcomienzodelacarrera?¿Despuésde10segundos?
2. Describelagráficaded(t),ladistanciadeShellieeneltiempot.¿Cuálessonlascaracterísticasimportantesded(t)?
CC B
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3. Silafamiliadelatortugaplaneaverlacarreraa64metrosdelpuntodepartidadeShellie,¿cuántotiempotendránqueesperarparaverpasaraShellie?
4. ¿CuántotiempodebenesperarparaveraShelliecorriendosiestána1024metrosdesupuntodepartida?
5. Dibujeunagráficaquemuestrecuántotiempoesperarálafamiliadelatortugaparaverlacorrerenunlugardeterminadodesdesupuntodepartida.
6. ¿CuántotiempodebeesperarlafamiliaparaveraShelliecorriendosiseencuentrana
220metrosdedistanciadesupuntodepartida?
7. ¿Cuáleslarelaciónentred(t)ylagráficaqueacabasdedibujar?¿Cómousasted(t)paradibujarlagráficaenel#5?
15
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8. Consideralafunción)(*) = 2+ .A) ¿Cuáleseldominioyrangode)(*)?¿Es)(*)-./)-.01ó.inversa?
B) Grafica)(*)y)45(*)enlacuadrículaalcalce.
C) ¿Cuáleseldominioyrangode)45(*)?
9. Si)(3) = 8,¿quées)45(8)?¿Cómolosabes?
10. Si) 95:; = 1.414,¿quées)45(1.414)?¿Cómolosabes?
11. Si)(/) = ?¿quées)45(?)?¿Turespuestacambiaríasif(x)fueraunafuncióndiferente?Explica.
16
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PREPARACIÓN Tema:Resolviendoecuacionesexponenciales.Resuelvex.
1. 5"#$ = 5&"'( 2. 7("'& = 7'&"#* 3. 4(" = 2&"'*
4. 3."'/ = 9&"'( 5. 8"#$ = 2&"#( 6. 3"#$ = $
*$
PRÁCTICA Tema:ExplorandolainversadeunafunciónexponencialEnelcuentodehadasJackandtheBeanstalk,Jackplantaunfrijolmágicoantesdeirsealacama.Porlamañana,Jackdescubreuntallodefrijolesgigantequehacrecidotantoquedesapareceenlasnubes.Peroaquíestálapartedelahistoriaquenuncaescuchaste.Escritoenlabolsaqueconteníalosfrijolesmágicosestabaestanota.Planta un frijol mágico en tierra fértil justo cuando el sol se esté poniendo. No mires el sitio de la planta por 10 horas. (Esto es parte de la magia.) Después de que el frijol ha estado en el suelo durante 1 hora, el crecimiento del tallo puede ser modelado por la función 2(4) = 36. (b en pies y t en horas). Jackeraunbuenestudiantedematemáticas,asíque,aunquenuncamirósutallodefrijolesdurantelanoche,usólafunciónparacalcularquétanaltodebíaseramedidaquecrecía.Latabladeladerechamuestraloscálculosquehizocadamediahora.
Tiempo(horas)
Altura(pies)
1 31.5 5.22 92.5 15.63 273.5 46.84 814.5 140.35 2435.5 420.96 7296.5 1,262.77 2,1877.5 3,7888 6,5618.5 11,3649 19,6839.5 34,09210 59,049
P R E P A R A C I Ó N , P R Á C T I C A , R E N D I M I E N T O Nombre PeriodoFecha
17
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Porlotanto,Jacknosesorprendiócuando,enlamañana,vioquelapartesuperiordeltallodefrijoleshabíadesaparecidoenlasnubes.7.DemuestracómoJackusóelmodelo2(4) = 36 paracalcularquétanaltoseríaeltallodefrijoles
despuésdequepasaron6horas.(Puedesusarlatabla,peroescribedóndecolocaríaslosnúmerosenlafunciónsinolatuvieras).
8.Duranteesamismanoche,unvecinoestabajugandoconsudrone.Fueprogramadoparaflotara
243pies.¿Cuántashorashabíanestadocreciendolosfrijolescuandolaplantaestabatanaltacomoeldrone?
9.¿Utilizastelatabladelamismamanerapararesponderlapregunta#8comopararesponderla#
7?Explica.10.MientrasJackpreparabasutabla,sepreguntabaquétanaltoseríaeltallodelosfrijolesmágicos
despuésdelas10horas.Rápidamenteescribiólafunciónensucalculadoraparaaveriguarlo.EscribelaecuaciónqueJackhabríaescritoensucalculadora.
11.Losavionescomercialesvuelanentre30,000y36,000pies.¿Aproximadamentecuántashorasde
crecimientopodríanpasarantesdequelosfrijolesmágicospuedaninterferirconlosavionescomerciales?Explicacómoobtuvisteturespuesta.
12.Usalatablaparaencontrar9(7)y9'$(11,364).13.Usalatablaparaencontrar9(9)y9'$(9).
18
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13.Explicaporquéesposibleresponderalgunasdelaspreguntassobrelaalturadelosfrijoles
mágicossimplementeconectandolosnúmerosalaregladelafunción,yporquéavecessolopuedesusarlatabla.
RENDIMIENTO Tema:EvaluacióndefuncionesLasfuncionesƒ(x),g(x),yh(x)sedefinenacontinuación.
f(x) = −2x g(x) = 2x + 5 h(x) = x& + 3x − 10
Calculalosvaloresdefunciónindicados.Simplificatusrespuestas.
14.f(a)
15.f(b&) 16.f(a + b) 17.fFG(H)I
18.g(a)
19.g(b&) 20.g(a + b) 21.hFf(H)I
22.h(a)
23.h(b&) 24.h(a + b) 25.hFG(H)I
19
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1.4 Sacar un Conejo del Sombrero Actividad para Consolidar Comprensión
Tengountrucodemagiaparati:
• Elijeunnúmero,cualquiernúmero• Súmale6• Multiplicaelresultadopor2• Réstale12• Divídeloentre2• ¡Larespuestaeselnúmeroconelquecomenzaste!
Laspersonasamenudosedesconciertancontalestrucos,peroaquellosdenosotrosquehemosestudiadooperacionesinversasyfuncionesinversas,podemosdescubrircómofuncionaneinclusocrearnuestrospropiostrucosnuméricos.Comencemosaveriguandocómofuncionanjuntaslasfuncionesinversas.
Paracadaunadelassiguientesmáquinasdefunciones,decidequéfunciónsepuedeusarparahacerquelasalidaseaigualqueelnúmerodeentrada.Describelaoperaciónenpalabrasyluegoescríbelasimbólicamente.
Aquíhayunejemplo:
Entrada Salida
!(#) = # + 8 !)*(#) = # − 8
# = 7 7 7 + 8 = 15
Enpalabras:Resta8delresultado
CC B
Y Ch
ristia
n Ka
dlub
a
http
s://f
lic.k
r/p/
fwNc
q
20
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1.
2.
3.
Enpalabras:
Entrada
Salida
!(#) = 2. !)*(#) =
# = 7 7 2/ = 128
Enpalabras:
Entrada Salida
!(#) = 3# !)*(#) =
# = 7 7 3 ∙ 7 = 21
Entrada
Salida
!(#) = #3 !)*(#) =
# = 7 7 73 = 49
Enpalabras:
21
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4.
5.
6.
Entrada
Salida
!(#) = 2# − 5 !)*(#) =
# = 7 7 2 ∙ 7 − 5 = 9
Entrada
Salida
!(#) = # + 53 !)*(#) =
# = 7 7 7 + 53 = 4
Entrada
Salida
!(#) = (# − 3)3 !)*(#) =
# = 7 7 (7 − 3)3 = 16
Enpalabras:
Enpalabras:
Enpalabras:
22
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7.
8.
9.Cadaunodeestosproblemascomenzóconx=7.¿Cuálesladiferenciaentrelaxutilizadaenf(x)ylaxutilizadaen!)*(#)?
10.Enel#6,podríausarsecualquiervalordexenf(x)yaunasídarelmismoresultado(salida)de!)*(#)?Explica.¿Quétalel#7?
11.Segúntutrabajoenestatareaylasotrastareasdeestemódulo,¿quérelacionesvesentrelasfuncionesysusinversas?
Entrada
Salida
!(#) = 4 − √# !)*(#) =
# = 7 7 4 − √7
Enpalabras:
Enpalabras:
Entrada
Salida
!(#) = 2. − 10 !)*(#) =
# = 7 7 2/ − 10 = 118
23
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1.4
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PREPARACIÓN Tema:PropiedadesdeexponentesUsalaregladelproductoolaregladelcocienteparasimplificar.Dejatodaslasrespuestasenformaexponencial,únicamenteconexponentespositivos.1. 3" ∙ 3$
2.7& ∙ 7" 3.10)* ∙ 10+ 4. 5- ∙ 5)"
5. .&.$
6. 2" ∙ 2)0 ∙ 2 7. 1221)$ 8. +3
+4
9.-5
-
10.03
05 11.
+67
+65 12. 8
69
83
PRÁCTICA Tema:Funcióninversa
13. Dadaslasfunciones:(<) = √< − 1BC(<) = <& + 7:
a.Calcula:(16)BC(3).
b.Escribe:(16)comounparordenado.
c.EscribeC(3)comounparordenado.
d.¿Quéimplicantusparesordenadosparaf(16)yg(3)?
e.Encuentra:(25).
f.Basadoenturespuestapara:(25),prediceC(4).
g.EncuentraC(4). ¿Turespuestacoincidiócontupredicción?
h.¿Son:(<)BC(<)funcionesinversas? Justificaturespuesta.
P R E P A R A C I Ó N , P R Á C T I C A , R E N D I M I E N T O Nombre PeriodoFecha
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1.4
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Hazcoincidirlafunciónenlaprimeracolumnaconsuinversaenlasegundacolumna.
:(<) :)2(<)16.:(<) = 3< + 5
a.:)2(<) = IJC$<
17.:(<) = <$ b.:)2(<) = √<9
18.:(<) = √< − 33 c.:)2(<) =
K)$
0
19.:(<) = <0 d.:)2(<) =K
0− 5
20.:(<) = 5K e.:)2(<) = IJC0<
21.:(<) = 3(< + 5) f.:)2(<) = <$ + 3
22.:(<) = 3K g.:)2(<) = √<3
RENDIMIENTO Tema:Funcionescompuestaseinversas
CalculaLMN(O)PQNML(O)Pparacadapardefunciones.
(Tomaencuenta:lanotación(: ∘ C)(<)B(C ∘ :)(<)significalomismoque:MC(<)PBCM:(<)P,
respectivamente).
23.:(<) = 2< + 5C(<) =K)$
&
24.:(<) = (< + 2)0C(<) = √<9 − 2
25.:(<) =0
*< + 6C(<) =
*(K)")
0
26.:(<) =)0
K+ 2C(<) =
)0
K)&
25
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1.4
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Hazcoincidirlosparesdefuncionesanteriores(23-26)consusgráficas.Etiquetaf(x)yg(x).
a. b.
c. d.
27.Graficalalíneay=xencadaunadelasgráficasanteriores.¿Quenotaste?
28.¿Creesquetusobservacionessobrelasgráficasenel#27tienenalgoqueverconlas
respuestasqueobtuvistecuandoencontraste:MC(<)PBCM:(<)P?Explica.
29.Miralagráficab.Sombrealos2triángulosformadosporelejey,elejexycadalínea.¿Qué
esinteresanteacercadeestosdostriángulos?
30.Sombrealos2triángulosenlagráficad.¿Soninteresantesdelamismamanera?Explica.
26
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1.5 Universo Inverso Actividad para Practicar Comprensión
Tuytucompañerorecibieroncadaunounconjuntodiferentedetarjetas.Lasinstruccionesson:
1.Seleccionaunatarjetaymuéstraselaatucompañero.2.Trabajenjuntosparaencontrarunatarjetaenelconjuntodetarjetasdetucompañeroquerepresenteelinversodelafunciónrepresentadaensutarjeta.3.Enelespacioacontinuación,registralastarjetasqueseleccionasteylarazónporlaquesabesquesoninversas.4.Repiteelprocesohastaquetodaslastarjetasesténemparejadas.
*Soloparaestatarea,supónquetodaslastablasrepresentanpuntosenunafuncióncontinua.
Par1: _____________________ Justificacióndelarelacióninversa:____________________________________
Par2: _____________________ Justificacióndelarelacióninversa:____________________________________
Par3: _____________________ Justificacióndelarelacióninversa:____________________________________
Par4: _____________________ Justificacióndelarelacióninversa:____________________________________
Par5: _____________________ Justificacióndelarelacióninversa:____________________________________
CC B
Y ag
uayo
_sam
uel
http
s://f
lic.k
r/p/
uUq2
eR
27
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Par6: _____________________ Justificacióndelarelacióninversa:____________________________________
Par6: _____________________ Justificacióndelarelacióninversa:____________________________________
Par7: _____________________ Justificacióndelarelacióninversa:____________________________________
Par8: _____________________ Justificacióndelarelacióninversa:____________________________________
Par9: _____________________ Justificacióndelarelacióninversa:____________________________________
Par10:_____________________ Justificacióndelarelacióninversa:____________________________________
28
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A1
!(#) = &−2# − 2, −5 < # < 0−2, # ≥ 0
A3 Cadavalordeentrada,x,secuadrayluegoseagrega3alresultado.Eldominiodelafunciónes[0,∞)
A5
x y-2 -32 30 06 54 4−43
-2
A2Lafunciónaumentaaunatasaconstantede01ylainterseccióndeyes(0,c).
A4
A6
2 = 33
29
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A8
A7
x y-5 -125-3 -27-1 -11 13 275 125
A9
A10Yasmincomenzóunacuentadeahorroscon$5.Alfinaldecadasemana,agregó3.Estafunciónmodelalacantidaddedineroenlacuentaparaunasemanadeterminada.
30
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B1
2 = log7#
B2
!(#) = 923 #, −3 < # < 32# − 4, # ≥ 3
B4
x y-216 -6-64 -4-8 -20 08 264 4216 6
B3Lainterseccióndexes(c,0)ylapendientedelalíneaes10.
B6
x y3 04 17 212 319 428 539 6
B5
31
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B7
B8
: y-2 -3-1 -20 11 62 13
B9
B10Lafunciónescontinuaycreceenunfactoriguala5enintervalosiguales.Lainterseccióndelejeyes(0,1).
32
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1.5
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PREPARACIÓN Tema:PropiedadesdelosexponentesUsalaspropiedadesdelosexponentesparasimplificarlosiguiente.Escribetusrespuestasenformaexponencialconexponentespositivos.1.√"#$ ∙ √"&$
2.√"' ∙ √"( ∙ √")
3.√*) ∙ √*#' ∙ √+&,
4.√32, ∙ √9 ∙ √27'
5.√8( ∙ √16' ∙ √2)
6.(5#)&
7.(7#)78
8.(379)7:
9.;:<(
:=>&
PRÁCTICA Tema:RepresentacionesdefuncionesinversasEscribelainversadelafuncióndada,enelmismoformatoquelafuncióndada.Funciónf(x)
Inversa?78(")
10.x f(x)
-8 0
-4 3
0 6
4 9
8 12
10.
P R E P A R A C I Ó N , P R Á C T I C A , R E N D I M I E N T O Nombre PeriodoFecha
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1.5
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11. 12.
12.?(") = −2" + 4
13.?(") = EFG&"
14.
15.x ?(")
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
15.
34
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1.5
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RENDIMIENTO Tema:FuncionescompuestasCalculaHIJ(K)LMJIH(K)Lparacadapardefunciones.
(Tomaencuenta:Lanotación(? ∘ G)(")O(G ∘ ?)(")significalomismo,respectivamente).
16.?(") = 3" + 7; G(") = −4" − 11
17.?(") = −4" + 60; G(") = − 8
9" + 15
18.?(") = 10" − 5; G(") = #
:" + 3
19.?(") = −#
&" + 4; G(") = − &
#" + 6
20.Observatuscálculosanteriorespara?IG(")LOGI?(")L.Dosdelosparesdeecuacionesson
inversasentresí.¿Cuálescreesqueson?¿Porqué?
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