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5/18/2018 FUN ES 1
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FUNES
1. Par Ordenado:A noo de par ordenado um conceito primitivo. Entende-se porpar ordenadoum conjunto de dois
elementos com as seguintes caractersticas:
I) (a,) ! (,a) a !
II) (a,) ! (c,d) a ! c e ! d
Essas duas condi"es #i$am a ordem dos elementos do par.
Obs.: % par ordenado ($,&) no a mesma coisa 'ue o conjunto $,& por'ue $,& ! &,$ sempre, mas ($,&) ! (&,$)
somente 'uando $ ! &.
Aplicao: A soluo do sistema x + y ! e x " y 1 $ ! * e & ! +, ao passo 'ue $ ! + e & ! * no soluo. e
representssemos por um conjunto, teramos: *,+ seria soluo e +,*, no seria soluo. uma contradio pois,
sendo *,+ ! +,*, o mesmo conjunto e no soluo. /or causa disso di0emos 'ue a soluo o par ordenado (*,+)
em 'ue #ica suentendido 'ue o primeiro elemento * re#ere-se 1 inc2gnita $ e o segundo elemento + re#ere-se a
inc2gnita &.
#. Prod$%o &ar%esiano de $' con($n%o A por $' con($n%o ) *sendo A e ) no a,ios-: o conjunto de todos os pares
ordenados otidos tomando-se o primeiro elemento em A e o segundo elemento em 3. Indica-se: A x )
*a/b-0a A e b ).
Indicamos a 'uantidade de elementos do produto cartesiano por: n*A x )- n*A- . n*)-/ onde n(A) e n(3) so
respectivamente a 'uantidade de elementos no conjunto A e 3.
Exe'plos:
eja A ! 4,+ e 3 ! *,5, temos: A $ 3 ! (4,*),(4,5),(+,*),(+,5)
3 $ A ! (*,4),(*,+),(5,4),(5,+)
A $ A ! (4,4),(4,+),(+,4),(+,+), indica-se tamm A $ A ! A+
2. 3epresen%ao 4r56ica de Pares Ordenados no Sis%e'a &ar%esiano Or%o7onal
% istema 6artesiano %rtogonal um sistema 'ue estabelece uma correspondncia biunvoca entre o conjunto de
todos os pontos P de um plano e o conjunto de todos os pares ordenados (ap, bp) de nmeros reais. /ara estaelecer
tal correspond7ncia inicialmente traamos duas retas dos n8meros reais, perpendiculares entre si no 0ero, dividindo o
plano em 5 regi"es com os dois ei$os, o 9ori0ontal c9amado de ei$o das ascissas e o vertical de ei$o das ordenadas.
% ponto de interseo tem coordenadas, par ordenado de reais associado a ele, O(0,0). A cada ponto P podemos
associar um par ordenado (a, b), otido da construo de retas perpendiculares neste ponto, onde o a o ponto de
interseo de uma das perpendiculares com o ei$o das ascissas (Ox) e o b o ponto de interseo da outra
perpendicular com o ei$o das ordenadas (Oy).
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Exe'plos: epresentar, no plano cartesiano, os pares ordenados dos produtos cartesianos:
a) eja A ! 4,+ e 3 ! -4,;. epresente A$3 ! (4,-4),(4,;),(+,-4),(+,;) e 3$A ! (-4,4),(-4,+),(;,4),(;,+).
) eja A ! a?$?.
c) eja A ! I. epresente I+! I $ I.
d) eja A ! (circun#er7ncia) e 3 ! 6@ (segmento de reta). epresente A $ 3 ! $ 6@.
a) )
/ontos pretos do plano representam os pares ordenados. egio cin0a do plano representa os pares
ordenados com e$ceo das lin9as pontil9adas.
c) d)
odos os pontos do plano. % cilindro 'ue intercepta o plano.
8. 3elao de $' con($n%o A e' $' con($n%o ): 'ual'uer subconjuntodo produto cartesiano A $ 3.
Indica-se: R rela!o de " em # R " x #. Buando o par ($,&) pertence 1 relao , escrevemos x3y.
Exe'plo
epresentar, no plano cartesiano ou diagramas de #lec9as, as rela"es aai$o:
a) e A ! 4,+, 3 ! *,5 e ! ($,&) A $ 3 > $ C & ! D ) e A !
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x
y
y 9
;1 1
*x/ 21 x -
c) e @ o disco de centro A*a/b-e raio r#ormado pelos pontos / ! ($,&) cuja distncia ao ponto A ? r. epresente a
relao < *x / y- =3 x =30*x ; a-#+ *y " b-#> r.
!. FUN?O
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$ C 2
e) #($) !53
12
xx @(#) ! $ I > $ ; e $
3
5
#) #($) ! x2 @(#) ! IC ! $ I > $ K ;
g) #($) !2
x @(#) ! ;.
D- #($) ! 932 ++ xx @(#) ! $ I > $ K2
3 $ I > $ K M, isto , @(#) ! $ I > $ K M
i) #($) ! 13 ++ xx @(#) ! $ I > $ K -4 .
j) #($) !x
1 @(#) ! $ I > $ K ; , isto , @(#) ! *
+IR
N) #($) !
4
32
x
x @(#) ! $ I > $ K
2
3e $ 5
l) #($) !1
1
+x @(#) ! $ I > $ K -4
m)#($) !2
2
+
x
x @(#) ! $ I > $ + e $ K -+
n) #($) !3 32
1
+x @(#) ! $ I > $ -
2
3
o) #($) !xxx
xx
242
2323
2
+
+ @(#) ! I- -J, ;, 5, pois )4).(6.()242(242
223+++ xxxxxxxxx
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p) #($) ! 1282
+ xx @(#) ! $ I > $ ? + e $ K J %s.: resolver a ine'uao: $ +L O$ C 4+ K ;.
') #($) ! 33
8
1
+
x
x @(#) ! I L +
r) #($) !23
32
+
xx
x @(#) ! $ = 4 , + < ou $ < * , < %s.: resolver a ine'uao 'uociente.
s) #($) ! 23 9xx @(#) ! < M , < %s.: resolver a ine'uao produto: $+.($ L M) K ;.
Exe'plo 2: @etermine a imagem de cada #uno:
a) #($) ! 5 ='*6- 8
) #($) !5
34 +x Haa & !
5
34 +x , isole $ em termos de & e oserve se 9 restri"es ao &,
oteremos: & !5
34 +x $ !4
35 y . o7o ='*6- =3, pois no 9 restri"es para &.
c) #($) ! 5$ L $+ & ! 5$ L $+L& % &! $+L 5$ % & $ ! + C y4 (completando o 'uadrado).
Pogo, 9 restri"es, pois devemos ter & K 5, isto , ='*6- ; /8.
d) #($) !
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3ijetiva (ver conjunto imagem)
c) #: I I, com #($) ! $*
3ijetiva (ver conjunto imagem)
d) #: I IC, com #($) ! $+
So-injetiva, pois #(+) ! #(-+) ! 5
orejetiva (ver conjunto imagem)
e) #: ICIC, com #($) ! x
Injetiva, pois #(u) ! #(v) vu = 22
)()( vu = u ! v,+
IRvu,
So-sorejetiva(ver conjunto imagem)
#) #: I I, com #($) ! $5
So-injetiva, pois #(+) ! #(-+) ! 4J, isto , #(v) ! #(u) no implica em u ! v.
So-sorejetiva(ver conjunto imagem)
g) #: IS I, com #($) ! -+$ C 4
Injetiva, pois #(u) ! #(v) -+uC4 ! -+vC4 u ! v
orejetiva(ver conjunto imagem)
Pogo 3ijetiva.
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) #: I IC, com #($) ! +$ e g: ICI, com g($) ! x
@etermine go# e #og.
SOU?O: (go#)($) ! g(#($)) ! g(+$) ! x2 . Pogo go#: I I, com (go#)($) !x
2
(#og)($) ! #(g($)) ! #( x ) ! x2 . Pogo #og: ICC, com (#og)($) !x
2
%s.: go# #og, o ' mostra 'ue a operao composio de #un"es no comutativa.
c) #: IS IS, com #($) ! $ C 4 e g: IS V, com g($) ! 4 L +$
@etermine go# e #og, se possvel.
SOU?O: (go#)($) ! g(#($)) ! g($C4) ! 4 L +($ C 4) ! - +$ L 4.Pogo go#: IS V, com (go#)($) ! - +$ - 4
(#og)($) no est de#inida, pois V IS, isto , 6(g) @(#).
Aplicao: % custo c de produo de p unidades de um produto dado por c(p) p % p reais e o n8mero p deunidades produ0idas, em #uno do tempo t, em 9oras, dado porp(t) t % *. /ede-se:
a) % custo das unidades produ0idas durante D 9oras.
SOU?O: p(D) ! +.D C 4 ! 44 unidades
c(D) ! 44+C +.44 ! *&+ reais.
) A #uno custo de produo (c) como #uno do tempo (t).
SOU?O: cop(t): c(p(t)) ! c(+t C 4) ! (+t C 4)+C +(+t C 4) ! &t% t % +
c) % custo das unidades produ0idas em D 9oras. Fse cop(t).
%PFWX%: cop(D) ! 5t+ C Ot C * ! 5.D+C O.D C * ! *&+ reais.
K. FUN?O =NLE3SA
@ada a #uno #: A 3 ijetiva, di0emos 'ue #- 4
: 3 A a #uno inversa de # se, e somente se, para todo ($,&) #,tivermos (&, $) # L 4.
%serva"es:
@(#) ! Im(# L 4) ! AY
Im(#) ! @(#L 4) ! 3Y
% gr#ico de # e # L 4so simtricos em relao a issetri0 do 4Z e *Z 'uadrantesY
@ado uma #uno #: A 3, ijetiva, de#inida por & ! #($) podemos oter a sentena 'ue de#ine a
#uno inversa # L 4do seguinte modo:
a) Em & ! #($), troca-se $ por & e & por $, otendo-se $ ! #(&)Y
) E$pressamos & em #uno de $ (isolando &), trans#ormando a e$presso $ ! #(&) em & ! # L 4($).
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Exe'plo 1: %ten9a a #uno inversa das #un"es ijetivas:
a) #: I I, com #($) ! *$ C + ) #: ICIC, com #($) ! $+
& ! *$ C + & ! $+
$ ! *& C + $ ! &+
*& ! $ L + &+! $
& !
3
2x & ! C x , mas - x IC
#L 4($) !3
2x #L 4($) ! x
Exe'plo #:A #uno #: I I, com #($) ! ($-5)+no injetora. Encontre a inversa da #uno de#inida pela restrio do
domnio de # para:
a) @(#) ! $ I > $ K 5
/rimeiro devemos mostrar 'ue a #uno # injetora para esse domnio.
Assuma: #(u) ! #(v). Ento, segue-se 'ue (u-5)+! (v-5)+ u, v K 5
u L 5 ! C 2)4( v
u ! 5 C (v L 5)
[as, como u K 5, o sinal positivo deve ser escol9ido
u ! 5 C v L 5
u ! 5
/ortanto, # injetiva.
Agora encontremos a inversa:
& ! ($-5)+
$ ! (&-5)+
x ! (&-5), desde 'ue $ K 5
& ! 5 C x
# L 4($) ! 5 C x
) @(#) ! $ I > $ ? 5
/rimeiro devemos mostrar 'ue a #uno # injetora para esse domnio.
Assuma: #(u) ! #(v). Ento, segue-se 'ue (u-5)+! (v-5)+ u, v ? 5
u L 5 ! C 2)4( v
u ! 5 C (v L 5)
[as, como u ? 5, o sinal negativo deve ser escol9ido
u ! 5 L (v L 5)
u ! v
/ortanto, injetora.
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Agora encontremos a inversa:
& ! ($-5)+
$ ! (&-5)+
- x ! 2)4( y , desde 'ue $ ? 5
& ! 5 - x
# L 4($) ! 5 - x
M. OUJ3AS AP=&AES
1. A ta$a do imposto de renda em um determinado estado 5\ sore a renda triutvel de at ] *;.;;;,;;, D\ para a
renda triutvel entre ] *;.;;;,;; e ] D;.;;;,;; e J\ sore a renda triutvel acima de ] D;.;;;,;;. E$presse a
ta$a do imposto de renda ($) como uma #uno da renda triutvel $.
SOU?O:
a-J*x- /8x se > x > 2.
%s.: 5\ ! 5^4;; ! ;,;5
b- J*x- 1# + /!.*x " 2.- se 2. > x > !.
%s.: /ara renda at *;.;;; teremos uma ta$a de 5\, isto , 4+;; e para o restante da renda ($ L *;.;;) teremos uma
ta$a de D\.
c- J*x- 1# + 1 + /G.*x;!.- se !. > x
%s: /ara renda at D;.;;; teremos 5\ sore os primeiros *;.;;;, isto , 4+;; mais D\ sore os outros +;.;;;, isto ,
4;;; e #inalmente mais J\ sore o restante da renda ($ L D;.;;;).
#. Fm #uncionrio de teatro estima 'ue D;; ingressos podem ser vendidos se os mesmos #orem o#ertados a ] T,;;
cada e 'ue, para cada ] ;,+D de aumento no preo do il9ete, dois ingressos a menos sero vendidos. E$presse a
renda 3como uma #uno do n8mero de naumentos de ] ;,+D para cada ingresso.
SOU?O:
% preo de um ingresso T C ;,+D.n e o n8mero de ingressos vendidos D;; L +.n. 6omo renda ! (n8mero de ingressos
vendidos) . (preo de cada ingresso), temos R (- % 0,./n)/(.00 /n).