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Funções de várias Funções de várias variáveisvariáveis
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Derivadas Parciais de ordens superioresCalculam-se as derivadas parciais de ordem superior
computando as derivadas parciais das funções já derivadas. Essas derivadas são derivadas obtidas parcialmente e de uma ordem a menos.
ExemploCalcule as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y) = 2x3.e5y.
Temos que: yexyxx
f 52.6),(
yexyxy
f 53.10),(
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Portanto, a segunda derivada, em relação a x é:
E a segunda derivada, em relação a y é:
yexyxx
f 52
2
.12),(
yexyxy
f 532
2
.50),(
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Ainda podemos calcular a segunda derivada da derivada parcial em relação a y, calculada agora em relação a x:
E a segunda derivada da derivada parcial em relação a x, calculada agora em relação a y:
yy exexx
yxyx
f 52532
.30)10(),(
yy exexy
yxxy
f 52522
.30)6(),(
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Derivadas Parciais de ordens superioresAs duas primeiras derivadas parciais apresentadas acima
são chamadas de puras ;
As duas últimas são chamadas de mistas.
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NotaçãoSe z=f(x,y), podem-se computar quatro derivadas parciais
de segunda ordem com suas respectivas notações de acordo com as expressões abaixo:
),(),(2
2
yxfyxzx
z
xx
zxxxx
),(),(2
2
yxfyxzy
z
yy
zyyyy
),(),(2
yxfyxzx
z
xyx
zyxyx
),(),(2
yxfyxzx
z
yxy
zxyxy
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Derivadas Parciais de ordens superioresEm nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas)
deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas.
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Derivadas Parciais de ordens superioresEm nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas)
deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas.
Proposição
Se f(x,y) está definida numa certa vizinhança de (x0,y0) e é
tal que as derivadas existem e são
contínuas nessa vizinhança, então .
xy
feyx
f
y
f
x
f
22
,,
xy
f
yx
f
22
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Regra da CadeiaA regra da cadeia para funções de várias variáveis tem o
intuito de calcular derivadas parciais de funções compostas de várias variáveis.
Suponha que a função P = p(x,y) com derivadas parciais contínuas represente a quantidade produzida de um determinado bem a partir de matérias-primas x e y, que por sua vez, variam com o tempo, ou seja, x = x(t) e y = y(t).
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A quantidade produzida expressa-se como função do tempo, de acordo com a seguinte expressão:
P = p(x(t) , y(t)) = P(t)
A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por:
dt
dy
x
p
dt
dx
x
ptP ..)('
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ExemploConsidere uma firma cuja receita expressa-se através da
função R(x,y) = xy2, onde x e y representam as quantidades de dois bens produzidos. Suponha que estas quantidades dependam do capital k e do trabalho l, de acordo com as funções x = 4k + 3l e y = 3k + l. Calcule as derivadas parciais da receita em relação ao capital e ao trabalho, como funções de tais variáveis.
Antes de aplicar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as
seguintes derivadas parciais: .l
yek
y
l
x
k
x
y
R
x
R
,,,,
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Exemplo
3l
x
22 )13(
kyx
R
)13)(34(22
klkxyy
R
4k
x
3k
y
1l
y
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ExemploAplicando a Regra da Cadeia, temos:
3).3)(34(24.)3( 2 lklklkk
y
y
R
k
x
x
R
k
R
1).3)(34(23.)3( 2 lklklkl
y
y
R
l
x
x
R
l
R
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AplicaçãoA temperatura no ponto (x,y) de uma placa de metal situada
no plano XY é dada por: T = 10.(x2 + y2)2.
Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto (-1, 2) e na direção de do eixo Y;
Partindo-se do ponto (-1, 2) e deslocando-se na direção do eixo X a temperatura aumenta ou diminui?
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Solução
)(402)(20 2222 yxyyyxy
T
)(402)(20 2222 yxxxyxx
T
400)21(2.402.2)21(20)2,1( 2222 y
T
200)1.(2]2)1[(20)2,1( 22 x
T
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Curvas de nívelPara traduzir um gráfico de z = f(x,y) em curvas de nível,
basta esboçar as curvas-intersecção de f(x,y) com z = c, para diferentes valores de c.
Exemplo-1Reconhecer e representar graficamente o gráfico da função
z = f(x,y) = x2 + y2.Fazendo z=c, desde que c > 0, obtemos a equação:
x2+y2=c. Isto significa que a projeção no plano xy da curva-intersecção do plano horizontal z = c com o gráfico da função possui tal equação. Essa projeção é a circunferência de centro na origem e raio .
Como o corte z = c é um círculo, o gráfico desta função é um parabolóide de revolução obtido pela rotação da parábola z = x2 em torno do eixo z.
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Exemplo 1
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Exemplo 1
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Exemplos de outras curvas
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Exemplos de outras curvas
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Gradiente de uma funçãoO gradiente de uma função f(x,y) num ponto (x0,y0),
designado por f(x0,y0) ou grad f(x0,y0), é o vetor livre cujas coordenadas são:
),( 00 yxx
f
),( 00 yxy
f
e
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Simbolicamente:
Exemplo 2Calcule o gradiente da função f(x,y) = 3x2y-x2/3.y2 no ponto
(1,3).
),(),,(),( 000000 yxy
fyx
x
fyxf
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ResoluçãoCalculemos a derivada parcial da função f(x,y) em relação
a x e y:
No ponto (1,3):
23
1
00 3
26),( yxxyyx
x
f
yxxyx
y
f 3
22
00 23),(
)3,1(),3,1()3,1(y
f
x
ff
12618)3()1(3
23.1.6)3,1( 23
1
x
f
3)3()1(2)1(3)3,1( 3
22
y
f
Portanto, o gradiente da função f(x,y) no ponto (1,3)
é o vetor f(1,3)=[12,-3].
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Gradiente de uma função
Convenciona-se representar este vetor com origem no ponto em relação ao qual se calcula o gradiente.
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Gradiente de uma funçãoDessas considerações é possível pensar num campo de
vetores gradiente de uma função, que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornecem em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da função.
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Relação entre Gradiente Curvas de NívelDizemos que um vetor u é ortogonal a uma curva plana,
dada pelas equações paramétricas x = x(t) e y = y(t), se ele é ortogonal ao vetor [x’(t), y’(t)], que é o vetor tangente à curva.
TeoremaO gradiente de uma função f(x,y) no ponto (x0,y0) é
ortogonal à curva de nível da função que passa por esse ponto.
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ProvaOs pontos (x,y) sobre uma curva de nível podem ser
parametrizados por uma variável t: x = x(t) e y = y(t);
Como f(x0,y0) = C, então, f(x(t),y(t)) = C;
Derivando ambos os membros da igualdade em relação a t, obtemos, pela regra da cadeia:
0)(')].(),([)(')].(),([
tytytxy
ftxtytx
x
f
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ProvaO primeiro membro dessa igualdade é o produto escalar dos
vetores f(x(t),y(t)) e [x’(t),y’(t)];
Mas, [x’(t),y’(t)] é o vetor tangente à curva de nível no ponto (x(t),y(t));
Portanto, o gradiente da função f no ponto (x,y) é ortogonal ao vetor tangente à curva de nível no ponto (x,y).