Download - Funcoes gaia
www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br
FUNFUNÇÇÕESÕES
P
x
y
O
y
x
P(x, y)
abscissa do ponto P
ordenado do ponto P
No caso, x e y são as coordenadas de P.
xO
y
E
A
F
B
C D
E (x, 0)
A (+, +)
C (0, y)
B (–, +)
C (–, –)
D (+, –)
FUNFUNÇÇÃOÃODEFINIDEFINIÇÇÃOÃOSejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relaSejam A e B dois conjuntos não vazios e uma rela çção R de A ão R de A em B, essa relaem B, essa rela çção serão ser áá chamada de funchamada de fun çção quando ão quando para para todotodo e qualquer elemento de A estiver associado a e qualquer elemento de A estiver associado a um um úúniconicoelemento em B.elemento em B.
A relaA rela çção binão bin áária h = {(x;y)| x > y}ria h = {(x;y)| x > y}
y>x
A B2
4
1
3
5
h: {(2;1), (4;1), (4,3)}h: {(2;1), (4;1), (4,3)}
A relaA rela çção binão bin áária g = {(x;y)| y= x + 3}ria g = {(x;y)| y= x + 3}
3xy +=
2
4
1
3
5
g: {(2;5)}g: {(2;5)}
A B
NÃO NÃO ÉÉ FUNFUNÇÇÃOÃO NÃO NÃO ÉÉ FUNFUNÇÇÃOÃO
c) A relac) A rela çção binão bin áária f = {(x;y)| y = x + 1}ria f = {(x;y)| y = x + 1}
1+= xy
A B2
4
1
3
5
f: {(2;3), (4;5)}f: {(2;3), (4;5)}
f f éé uma funuma fun çção de A em B, pois ão de A em B, pois todotodoelemento de A estelemento de A est áá associado a associado a um um úúniconico elemento em Belemento em B
ELEMENTOS DE UMA FUNELEMENTOS DE UMA FUN ÇÇÃO: f: A ÃO: f: A →→→→→→→→ BB
DOMDOMÍÍNIO: A = {2, 4}NIO: A = {2, 4}CONTRA DOMCONTRA DOMÍÍNIO: B = {1, 3, 5}NIO: B = {1, 3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}
x
y
0 1 2 3 4
Não é função
Não é função
x
y
0 1 2 3 4
É função
Considere a funConsidere a fun çção f: A ão f: A →→→→→→→→ B definida por B definida por y = 3x + 2, podey = 3x + 2, pode --se se afirmar que o conjunto imagem de f afirmar que o conjunto imagem de f éé::
23 += xy
A B 23 += xy521.3 =+=y1
2
3
58
11
15
17
822.3 =+=y
1123.3 =+=y
23)( += xxf
→→→
5)1( =f
8)2( =f
11)3( =f
}11,8,5{)Im( =∴ f
GRGRÁÁFICO DA FUNFICO DA FUNÇÇÃO f: A ÃO f: A →→→→→→→→ B definida por y = 3x + 2B definida por y = 3x + 2
Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}
1 2 3
11
8
5
x
y
1 2 3
11
8
5
x
y
GRGRÁÁFICO DA FUNFICO DA FUNÇÇÃO f: ÃO f: ℜℜℜℜℜℜℜℜ →→→→→→→→ ℜℜℜℜℜℜℜℜ definida por y = 3x + 2definida por y = 3x + 2
x
y
0
2
4 10
8
D = [4, 10[
Im = [2, 8[
D = {x ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ/4 ≤≤≤≤ x < 10}
Im = {y ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ/2 ≤≤≤≤ x < 8}
Domínio
Imagem
Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3} 02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3} 04. para x = 3, tem-se y = 308. para x = 0, tem-se y = 216. para x = - 3, tem-se y = 032. A função é decrescente em todo seu domínio
VV
(3,3) ou f(3) = 3
(0,2) ou f(0) = 2
(-3,2) ou f(-3) = 2
VVFF
www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br
FUNFUNÇÇÃO POLINOMIAL DO 1ÃO POLINOMIAL DO 1 ºº GRAUGRAU
y = f(x) = ax + b
a > 0
yD = ℜℜℜℜ Im = ℜℜℜℜ
FUNÇÃO CRESCENTE
(0, b)
x
y
(0, b)
x
FUNÇÃO DECRESCENTE
a < 0
Raiz ou zero da funçãoy = 0
y = x – 2
y
(0, -2)
x2 3
1
4
2
5
3
y = 3x – 6 y
(0, -6)
x2 3
3
4
6
5
9
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR – TAXA DE VARIAÇÃO
∆x∆y
a =
Seja f(x) = ax + b. Sabe-se que f(3) = 5 e f(-1) = - 3. Dê o valor de f(8).
f(3) = 5
f(-1) = -3
(3, 5)
(-1, -3)
y = ax + b
5 = a(3) + b
-3 = a(-1) + b
=+=+
3- b a-
5 b 3a
a = 2 b = - 1
f(x) = ax + b
f(x) = 2x – 1
Logo: f(8) = 2.8 – 1 f(8) = 15
Sabe-se que o valor de um carro novo é R$ 30 000,00 e, com 4 anos de uso, passa a ser R$ 20 000,00. Considerando o decrescimento li near, obtenha o valor desse carro depois de 8 anos de uso.
x(anos)
y(reais)
0 4
30 000
20 000
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,30000)
P2(4,20000)
30000 = a.0 + b
b = 30000
20000 = a. 4 + 30000
a = -2500
f(x) = a.x+ b
f(x) = -2500x+ 30000
f(8) = -2500.8+ 30000f(8)f(8) = = 10 00010 000
Portanto após 8 anos o valor do carro será R$ 10000,00
y = a.x+ b
y = a.x+ b
O valor de uma máquina decresce linearmente com o t empo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será:
x(anos)
y(reais)
0 5
160
800
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,800)
P2(5,160)
800 = a.0 + b
b = 800
160 = a. 5 + 800
-640 = 5a
a = -128
f(x) = a.x+ bf(x) = -128.x+ 800
f(3) = -128.3+ 800f(3)f(3) = = 416416Portanto após 3 anos a Máquina valerá R$ 416,00
A semi-reta representada no gráfico seguinte expres sa o custo de produção C, em reais, de n quilos de certo produto.
C(reais)
x(quilogramas)0 20
80
180
Se o fabricante vender esse produto a R$ 102,00 o quilo, a sua porcentagem de lucro em cada venda será?
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,80)
P2(20,180)
80 = a.0 + b
b = 80
180 = a. 20 + 80
20a = 100
a = 5
f(x) = a.x+ b
f(x) = 5.x+ 80
f(1) = 5.1+ 80 ⇒⇒ f(1) = 85f(1) = 85
R$ 85 ⇔ 100%
R$102 ⇔ x
x = 120%
LUCRO DE 20%
Um camponês adquire um moinho ao preço de R$860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto afirmar:
x(anos)
y(reais)
0 6
500
860
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
A(0,860)
B(6,500)
860 = a.0 + b
b = 860
500 = a. 6 + 860
-360 = 6a
a = -60
f(x) = a.x+ b
f(x) = -60.x+ 860
a) f(3) = -60.3+ 860f(3) = 680
A
B
F
b) f(9) = -60.9+ 860f(9) = 320
F
c) f(7) = -60.7+ 860f(7) = 440
F
d) - 60x + 860 < 200-60x < -660
x > 11anos
F
e) f(13) = -60.13+ 860f(13) = 440f(13) = 80
V
Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma fu nção afim (função do 1 o
grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as tempera turas 0 oC e 100oC correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 2 70 ml do mercú rio, então a temperatura correspondente a 112,5 ml é
ml
temperatura0 100
20
270
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,20)
P2(100,270)
20 = a.0 + b
b = 20
270 = a. 100 + 20
100a = 250
a = 2,5
f(x) = a.x+ b
f(x) = 2,5.x+ 20
y = 2,5x + 20
112,5 = 2,5x + 20
92,5=2,5x
37°C = x
www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br
FUNFUNÇÇÃO POLINOMIAL DO 2ÃO POLINOMIAL DO 2 ºº GRAUGRAU
y = f(x) = ax2 + bx + c
Vértice
(0,c)
xV
yV
x1 x2
Vértice
(0,c)
xV
yV
x1 x2
y
x x
y
a > 0 a < 0
RaRaíízeszes : x: x11 ee xx22
ax2 + bx + c = 0 2 4V V
bx e y
a a
− −∆= =
RESUMO GRÁFICO
∆∆∆∆ > 0
x1 ≠≠≠≠ x2
x1 x2
y
x
∆∆∆∆ = 0
x1 = x2
x1 = x2 x
y
∆∆∆∆ < 0
x1, x2 ∉∉∉∉ R
x
y
Após o lançamento de um projétil, sua altura h, em metros, t segundos após o seu lançamento é dada por h(t) = – t 2 + 20t. Em relação a este lançamento, analise as afirmações a seguir.
l. A altura máxima atingida pelo projétil foi de 10m.ll. O projétil atingiu a altura máxima quando t=10s.lll. A altura do projétil é representada por uma função polinomial quadrática cujo domínio é [0,20].lV. Quando t = 11, o projétil ainda não atingiu sua altura máxima.Todas as afirmações corretas estão em:
a) I – III b) I – II – IV c) II – III d) III – IV
ACAFE – SC PUC – PR
O lucro de uma determinada empresa é dado pela lei L(x) = L(x) = -- xx22 + 8+ 8x x -- 77, em que x é a quantidade vendida (em milhares de unidades) e L é o lucro (em reais). A quantidade que se deve vender para que o lucro seja máximo bem como o valor desse lucro são, respectivamente:
A) 3.000 unidades e R$ 6.000,00B) 4.000 unidades e R$ 9.000,00C) 4.000 unidades e R$ 8.000,00D) 5.000 unidades e R$ 12.000,00E) 4.500 unidades e R$ 9.000,00
UFSC – SC
Se o lucro de uma empresa é dado por L(x) = 4(3 – x)(x – 2) , onde x é a quantidade vendida, então o lucro da empresa é máximo quando x é igual a:
UFSC – SC
O lucro, em reais, para a comercialização de x unidades de um determinado produto é dado por L(x) = - 1120 + 148x – x 2. Então, para que se tenha lucro máximo, deve-se vender quantos produtos?
UFSC - SC
Tem-se uma folha de cartolina com forma retangular, cujos lados medem 56cm e 32cm e deseja-se cortar as quinas, conforme ilustração a seguir. Quanto deve medir x, em centímetros, para que a área da região hachurada seja a maior possível?
GABARITO: 11
UFSC – SC
GABARITO: 1/2
www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br
PARIDADE DE FUNPARIDADE DE FUN ÇÇÕESÕES
FUNFUNÇÇÃO PAR OU ÃO PAR OU ÍÍMPARMPAR
FUNÇÃO PAR
VALORES SIMÉTRICOS DE XIMAGENS IGUAIS
f(x) = x 2 – 4 f(-3) = (-3)2 – 4 =
f(3) = (3)2 – 4 =
5
5
FUNÇÃO ÍMPAR
VALORES SIMÉTRICOS DE X
IMAGENS SIMÉTRICAS
f(x) = x 3
f(-4) = (-4)3 =
f(4) = 43 =
- 64
64
f(-x) = f(x) f(-x) = - f(x)
FUNÇÃO PAR
VALORES SIMÉTRICOS DE XIMAGENS IGUAIS
FUNÇÃO ÍMPAR
VALORES SIMÉTRICOS DE X
IMAGENS SIMÉTRICAS
f(-x) = f(x)
f(-x) = - f(x)
FUNFUNÇÇÃO PAR OU ÃO PAR OU ÍÍMPAR?MPAR?
1) f(x) = 4x 3 + xGRÁFICO SIMÉTRICO AO EIXO Y
GRÁFICO SIMÉTRICO EM RELAÇÃO A ORIGEM
2) f(x) = 3x 4 + 5x2
3) f(x) = 5x 4 + 2x3
4) f(x) = sen x
5) f(x) = cos x
6) f(x) = tg x
ÍÍMPARMPAR f(-x) = - f(x)f(-2) = - f(2)
PARPAR f(-x) = f(x)f(-3) = f(3)
SEM SEM PARIDADEPARIDADE
ÍÍMPARMPAR sen(-x) = - sen(x)sen(-30°) = - sen(30°)
PARPAR cos(-x) = cos(x)cos(-30°) = cos(30°)
ÍÍMPARMPAR tg(-x) = - tg(x)tg(-30°) = - tg(30°)
UFSC 2013 UFSC 2013
f f éé uma funuma fun çção ão ÍÍMPAR?MPAR?
NÃO, POIS f(NÃO, POIS f( --2) 2) ≠≠ --f(2)f(2)
Observe o gráfico da função cujo dom ínio é o conjunto D={x∈∈∈∈ R/- 2 < x < 4} e analise as afirmações a seguir.
ACAFE 2013.1 ACAFE 2013.1
l. A função é par.ll. A função possui 3 raízes reais.lll. No intervalo A=[1,3] a função édecrescente.IV. A funç ão pode ser representada por y = x³ - 3x² - x +3, sendo D={x∈∈∈∈ R/- 2 < x < 4}
Todas as afirmações corretas estão em:a) I - II - IIIb) II - IVc) II - III - IVd) III - IV
www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br
FUNFUNÇÇÃO COMPOSTAÃO COMPOSTA
( ) 34xxg −= ( ) 12xxf +=
A B C
FUNFUNÇÇÃO COMPOSTAÃO COMPOSTA
f(g(x)) = fog (x)g(f(x) ) = gof (x)f(f(x) ) = fof(x)g(g(x) ) = gog(x)
NOTANOTAÇÇÕESÕES
2 5 11
( ) 5-8xg(x)f =
f(x) = 2x + 1
f(…) = 2(…) + 1
f(g(x)) = 2g(x) + 1f(g(x)) = 2(4x – 3) + 1
CCÁÁLCULO de f(g(x))LCULO de f(g(x))
f(g(x)) = 8x – 5
FUNFUNÇÇÃO COMPOSTAÃO COMPOSTA
Sejam f(x) = 2x + 3, g(x) = x – 5 e h(x) = 3x – 1. Calcule f(g(h(3))
f(x) = 2x + 3 g(x) = x – 5 h(x) = 3x – 1
h(3) = 3.3 – 1h(3) = 9 – 1 h(3) = 8
g(8) = 8 – 5 g(8) = 3
f(3) = 2.3 + 3f(3) = 6 + 3f(3) = 9
Portanto f(g(h(3)) = 9
O número N de caminhões produzidos em uma montadora dura nte um dia, após t horas de operação, é dado por N(t) = 20t – t 2, sendo que 0 ≤ t ≤ 10. Suponha que o custo C (em milhares de reais) para se p roduzir N caminhões seja dado por C(N) = 50 + 30N.
a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de o peração da montadora.
b) Em que instante t, de um dia de produção, o cust o alcançará o valor de 2300 milhares de reais?
UFPR UFPR –– 2013 2013 –– SEGUNDA FASESEGUNDA FASE
UFSC UFSC –– VERDADEIRO OU FALSOVERDADEIRO OU FALSO
Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = sen x e g(x) = x 2 + 1. Então (fog)(x) = (fog)(– x) para todo x real.
UFSC 2012UFSC 2012
VV
Sejam h e k, duas funções, dadas por h(x) = 2x - 1 e k(x) = 3x + 2. Então h(k(1)) é igual a 9.
UFSC 2002UFSC 2002
VV
UFSC 2006UFSC 2006
UFSC UFSC –– QUESTÃO ABERTAQUESTÃO ABERTA
www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br
FUNFUNÇÇÃO INJETORA SOBREJETORA ÃO INJETORA SOBREJETORA E BIJETORAE BIJETORA
FUNFUNÇÇÃO INJETORAÃO INJETORA
GRÁFICO ESTRITAMENTE CRESCENTE OU ESTRITAMENTE DEC RESCENTE
FUNFUNÇÇÃO SOBREJETORAÃO SOBREJETORA
FUNFUNÇÇÃO BIJETORAÃO BIJETORA
UFSC 2013 UFSC 2013
f f éé uma funuma fun çção INJETORA?ão INJETORA?
NÃO, POIS f(2,3) = NÃO, POIS f(2,3) = f(2,7)f(2,7)
FUNFUNÇÇÃO INVERSAÃO INVERSA
3x 1-2x
f(x)−
=
Encontre a inversa da função
3x1-2x
f(x)−
=
x = 312
−−
y
y
x(y – 3) = 2y – 1
xy – 3x = 2y – 1
xy – 2y = 3x – 1
xy – 2y = 3x – 1
y(x – 2) = 3x – 1
y = 213
−−
x
x
2x13x
(x)f 1
−−=−
GABARITO: 27