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Funções Logarítmicas O que é um logaritmo de um número?
DefiniçãoO logaritmo de um número positivo b, numa dada base a (a>0 e a ≠1) é o expoentea que é preciso elevar a base para obter esse número.
Simbolicamente: = x , b
Sabemos que existe, e que é um número entre 2 e 3, mas qual o seu valor?Resposta:
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John Napier ( 1550 – 1617)ouJonh Nepper
Joost Bürgi um relojoeiro suíço a serviço do Duque de Hesse-Kassel, foi o primeiro a formar uma concepção sobre logaritmos.
O método dos logaritmos de Napier contribuiu para o avanço da ciência, e especialmente a astronomia, fazendo com que cálculos muito difíceis se tornassem possíveis. Anterior à invenção de calculadoras e computadores, era uma ferramenta constantemente usada em observações, navegação e outros ramos da matemática prática. Além de sua imensa utilidade na realização de cálculos práticos, os logaritmos também têm um papel muito importante em matemática teórica.
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Outros matemáticos, se envolveram com os logaritmos:
Henry Briggs (1561 – 1630)
Johannes Keppler(1571 – 1630)
LOGOS = razão
ARITHOMOS = números
William Oughtred(1575 – 1660)
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No início do século XVII, o escocês John Napier inventou um dispositivo chamado Ossos de Napier que são tabelas de multiplicação gravadas em bastão, o que evitava a memorização da tabuada, e que trouxe grande auxílio ao uso de logaritmos, em execução de operações aritméticas como multiplicações e divisões longas.Hoje, o dispositivo aperfeiçoado é empregado tão frequentemente pelos engenheiros, através da régua de cálculo.
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Uma Régua de cálculo é um aparelho mecânico analógico que permite a realização de cálculos por meio de guias graduadas deslizantes.Foi criado pelo padre inglês William Oughtred, em 1638, baseando-se na tábua de logaritmos que foi criada por John Napier, pouco antes, em 1614.Apesar da semelhança com uma régua, a régua de cálculos é um dispositivo que não tem nada a ver com medição de pequenas distâncias ou de traçar rectas. A régua de cálculo é a mãe das calculadoras electrónicas modernas (até mesmo porque os engenheiros que criaram as calculadoras electrónicas provavelmente fizeram isso usando réguas de cálculo), tendo sido largamente usada até a década de 1970 quando então a versão electrónica foi largamente difundida e aceita em função de sua simplicidade e precisão.Quanto a precisão as réguas de cálculo não fornecem valores exactos e sim aproximados que são aceitos como viáveis dentro de certa aplicação. Assim, um cálculo como 1345 x 3442= ? é resolvido em poucos segundos com uma régua de cálculo mas o máximo que será possível dizer do resultado é que ele está bem próximo de 4.650.000 e raramente o valor exacto (4.629.490 neste caso).
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Como o matemático Pierre Laplace se referiu à descoberta e aplicação dos Logaritmos.
«Ao diminuírem os cálculos, os logaritmos duplicaram a vida dos
astrónomos …»
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Propriedades dos Logaritmos
Consequências da definição
log
log 1log 1
loga
a
a
ka
k
aa
a k
a k
10
Logaritmos especiaisLogaritmo Decimal log logLogaritmo Neperianolog lne
a a
a a
0
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Propriedades operatórias dos Logaritmos
log ( ) log log , ,
log log log , ,
log ( ) log , ,
a a a
a a a
pa a
x y x y x y IR
x x y x y IRy
x p x x IR p IR
Mudança de base
loglog , , , \ 1log
Por exemplo:log lnloglog ln
ba
b
a
xx x IR a b IRa
x xxa a
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Definição de Função Logarítmica
Chama-se Função Logarítmica a uma função do tipo :
( ) log ( ) ( 0, 1, )
Muito importante:O cálculo do Domínio
af x x a a x IR
2
12
1
( ) log( ) ln( ) log( ) log
( ) loge
f x xg x xh x xp x x
i x x
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Propriedades gráficas e analíticas da Função Logarítmica, com base maior que 1
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1 2 1 2
1 2 1 2
: ( ) ( ): ( ) ( )
, 1: 1, ; : 0,1
, 0lim lx
Domínio IRContradomínio IRContínua emtodoo seu domínioEstritamentecrescente x x f x f xInjetiva x x f x f xTemum zero em xPositiva Negativa
Temapenasumaassimptota vertical x
0
og log ( )
lim log log (0 )
a a
a ax
x
x
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Propriedades gráficas e analíticas da Função Logarítmica com base entre 0 e 1
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1 2 1 2
1 2 1 2
: ( ) ( ): ( ) ( )
, 1: 0,1 ; : 1,
, 0limx
Domínio IRContradomínio IRContínuaemtodoo seu domínioEstritamentedecrescente x x f x f xInjetiva x x f x f xTemum zero em xPositiva Negativa
Temapenasuma assimptota vertical x
0
log log ( )
lim log log (0 )
a a
a ax
x
x
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Nota:
Podemos sempre passar uma função Logarítmica com base entre 0 e 1, para uma função Logarítmica com base maior do que 1.
Basta fazer:
1 1
log log log( ) log log1 log 1log
a a aa
aaa
x x xf x x xa
a
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Equações com Logaritmos
log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )a ap x q x p x q x
Por vezes, teremos que recorrer a outras técnicas de resolução de equações:-Definição de Logaritmo-Lei do anulamento do produto- Fórmula resolvente
Importante:Cálculo do Domínio.As soluções têm que pertencer ao DOMÍNIO.
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Inequações com Logaritmos
Se a > 1
log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )
a a
a a
p x q x p x q xp x q x p x q x
Se 0 < a < 1
log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )
a a
a a
p x q x p x q xp x q x p x q x
Por vezes, teremos que recorrer a outras técnicas de resolução de inequações:- Quadros de sinais- resolução de inequações do 2.º grau (recurso ao gráfico)
Importante:Cálculo do Domínio.As soluções têm que pertencer ao DOMÍNIO.No final, intersecta-se o conjunto solução com o conjunto do DOMÍNIO.