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Fundamentos de Análise de Sinais
Fundamentos de Probabilidade
![Page 2: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/2.jpg)
Exemplos de Aplicações
Análise de probabilidades em eventos de natureza não determinística.
Análise de falhas e confiabilidade em estruturas. Análise de reações químicas, de transferência de
calor por radiação em superfícies rugosas. Caracterização de erros dimensionais em peças
fabricadas em série. Tratamento de imagens. Algoritmos de otimização pseudoaleatórios
(Simulated Annealing, AG, PSO, etc)
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Definições para uma variável aleatória
Conjunto: valores possíveis de serem assumidos por uma variável aleatória (Conj. de números reais, de números naturais, etc)
Espaço amostral: conjunto dos valores observados com uma variável aleatória.
Probabilidade: é definida como a chance de um determinado valor ser observado em uma variável aleatória.• Probabilidade nula: O evento não ocorrerá nunca.• Probabilidade 100%: O evento ocorrerá com certeza.
![Page 4: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/4.jpg)
Função distribuição probabilidade
P a P b a b
0 1P P
Probx k x x k x
![Page 5: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/5.jpg)
Função distribuição probabilidade
0p x
1p x dx
0
Prob x<x klimx
x xp x
x
Para qualquer evento x(k)
x dP x
P x p d p xdx
![Page 6: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/6.jpg)
Função distribuição probabilidade
Jogo de cara ou coroa
X(Caras)=a
X(Coroas)=b
0
12
1
x a
P x a x b
x b
1 1
2 2p x x a x b
![Page 7: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/7.jpg)
Esperança
Função distribuição probabilidade
xE x k xp x dx
E g x k g x p x dx
2 2 2xE x k x p x dx
2 2 2 2 2x x x x xE x k x k p x dx
![Page 8: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/8.jpg)
Função distribuição probabilidadeFunção densidade probabilidade uniforme
0
1
x a
x aP x a x b
b ax b
1
0 outros valores
b a a x bp x
![Page 9: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/9.jpg)
Função distribuição probabilidadeFunção probabilidade uniforme
2
2
12x
b a
2x
a b
Média Variância
![Page 10: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/10.jpg)
Função distribuição probabilidadeMudança de variáveis
Prob Probg g x k g g x x k x x
g g
Prob Probg g x k g g x x k x x x
g x g
0
0
1lim 0x
g
xdggdx
p xdxp g p x
dg dg dx np x
p gdg dx
![Page 11: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/11.jpg)
Função distribuição probabilidadeSeno
0 0sin 2x k x X f t k
k Variável aleatória com distribuição uniforme
12 0 2
0 outros valoresp
2
0p dx
p xdx d d
20 0 0 0
2 2
cos 2 1 sin 2dx
X f t k X f t kddx
X xd
![Page 12: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/12.jpg)
Função distribuição probabilidadeSeno
12 2
0
X x x Xp x
x X
1
0
1sin
2
1
x
X
x X
xP x p d X x X
X
x X
![Page 13: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/13.jpg)
Momentos Estatísticos
sx sxm s E e e p x dx
00m E e p x dx
2
22
sx
sx
dm sm s xe p x dx
ds
d m sm s x e p x dx
ds
2 2
0
0
E x m xp x dx
E x m x p x dx
0nn nE x m x p x dx
![Page 14: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/14.jpg)
Momentos Estatísticos
2 2
2
j fx j fx
j fx
C f E e p x e dx
p x C f e df
2
2
se
1j fx
j fx
p x x
C f e p x dx
x e df
2C f m j f
![Page 15: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/15.jpg)
Desigualdade de Chebyshev
2 2 2 2x x x
x p x dx x p x dx p x dx
2
2Prob x k x
xp x dx
2
2Prob x k x
x
2
2
1Prob x k
1Prob x k 1
x x
x x
cc
cc
![Page 16: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/16.jpg)
Desigualdade de Chebyshev
2
2
1Prob x k
1Prob x k 1
x x
x x
cc
cc
Prob x k 2 0.250
Prob x k 3 0.111
x x
x x
Função probabilidade desconhecida
Prob x k 2 0.050
Prob x k 3 0.003
x x
x x
Função probabilidade normal
95% dos valores possíveis de uma variável aleatória com FDP normal estão dentro do intervalo de +/-2s
![Page 17: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/17.jpg)
Duas Variáveis AleatóriasFunção probabilidade
Prob , Prob &x y x k x y k y
Prob , Prob , 0y x Prob , 1
0
0
Prob x<x k & y<y k, lim
x
y
x x y yp x y
x y
![Page 18: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/18.jpg)
Duas Variáveis AleatóriasFunção densidade probabilidade
,
,
p x p x y dy
p y p x y dx
Variáveis estatisticamente independente
,
,
p x y p x p y
P x y P x P y
![Page 19: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/19.jpg)
Duas Variáveis Aleatórias
Esperança e Coeficiente de Correlação
, , ,E g x y g x y p x y dxdy
,xy x yC x y p x y dxdy
, x y
xy x y
xy
C x y E x k y k
C E x k y k
C E x k y k E x k E y k
![Page 20: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/20.jpg)
Duas Variáveis Aleatórias
Esperança e Coeficiente de Correlação
2xx xC xy
xyx y
C
xy x yC
,E x k y k xyp x y dxdy
E x k y k xp x dx yp y dy E x k E y k
Variáveis estatisticamente independente
0xy Não significa que as variáveis são independentes
![Page 21: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/21.jpg)
Duas Variáveis Aleatórias
Momentos estatísticos e funções características
, ,sx ty sx tym s t E e e p x y dxdy
00,0 , 1m E e p x y dxdy
,, ,
,, ,
sx ty
sx ty
dm s tm s t xe p x y dxdy
ds
dm s tm s t ye p x y dxdy
dt
![Page 22: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/22.jpg)
Duas Variáveis Aleatórias
Momentos estatísticos e funções características
22
2
22
2
,,
,,
sx ty
sx ty
d m s tx e p x y dxdy
ds
d m s ty e p x y dxdy
dt
2 ,
,sx tyd m s txye p x y dxdy
dsdt
,,
r nr n r n sx ty
r n
d m s tE x y x y e p x y dxdy
ds dt
![Page 23: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/23.jpg)
Duas Variáveis Aleatórias
Momentos estatísticos e funções características
2 2
2
, ,
, ,
j fx gy j fx gy
j fx gy
C f g E e e p x y dxdy
p x y e C f g dfdg
, 2 , 2C f g m j f j g
![Page 24: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/24.jpg)
Distribuição Normal (Gaussiana)
A variável aleatória x(k) possui uma distribuição normal se:
2
21
22
desvio padrão
média
x a
bp x b e
b
a
2 2 2 2
0
0
x
x
E x m xp x dx a
E x m x p x dx b
![Page 25: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/25.jpg)
Distribuição Normal (Gaussiana)
1
2
222x
x
x
x
p x e
1
2
222x
x
x
xP x e d
![Page 26: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/26.jpg)
Princípios estatísticos
- Em análise de sistemas físicos em geral se tem variáveis aleatórias observadas através de amostras finitas.
Estimadores Propriedades estatísticas
Erros
![Page 27: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/27.jpg)
Princípios estatísticos
2 22
x
x x x
E x xp x dx
E x x p x dx
1
22 2 2
1
1ˆ
1ˆ
N
x i xi
N
b x i xi
x xN
s x xN
Estimadores
Propriedades estatísticas
Estimador com erro de tendência
![Page 28: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/28.jpg)
Princípios estatísticos
Índices de qualidade dos estimadores
ˆE Sem erro de tendência
2 2
1 2ˆ ˆE E
O estimador 1 é dito melhor que o estimador 2
ˆlim Prob 0N
Consistente
2ˆlim E 0N
![Page 29: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/29.jpg)
Princípios estatísticos
Avaliação do estimador da média
1 1
1 1 1N N
i i x xi i
E x E x E x NN N N
2 22
21 1
22 2 2
2 21
1 1
1 1
N N
x i x i xi i
Nx
x i x xi
E x E x E xN N
E x E x NN N N
![Page 30: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/30.jpg)
Princípios estatísticosAvaliação do estimador da variância
2 22
1 1
1 1N N
b i ii i
E s E x x E x xN N
2
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2
1 1 1
2 2
1
2 2
1
2
2
2
N N N N
i i x xi i i i
A B
N N N
i x x i x xi i i
N
i x x x xi
N
i x xi
x x x x A B A AB B
x x x x
x x N x N x
x N x
![Page 31: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/31.jpg)
Princípios estatísticosAvaliação do estimador da variância
2 2 2
1 1
2 2 2
1
2 2 2 21 1
N N
i i x xi i
N
i x xi
b x x x
E x x E x E N x
E x x N
NE s N
N N
22
1
2 2 2 2 2
1ˆ
1
1 11
1 1
N
ii
x x x x
s x xN
E s N NN N
![Page 32: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/32.jpg)
Funções Densidade Probabilidade Distribuição Normal
1
2
222x
x
x
x
p x e
x
x
xz
2
2
2
ze
p x
Prob 1
1 Prob
z
z
P z p z dz z z
P z p z dz z z
![Page 33: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/33.jpg)
Funções Densidade Probabilidade Distribuição Normal
Unimodal
Pontos de inflexão
Monotônica
![Page 34: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/34.jpg)
Funções Densidade Probabilidade Distribuição Qui-quadrado
2 2 2 2 2 21 2 3 4n nz z z z z
2/ 2 112 / 2 2 / 2 22 / 2 0nn
np n e
N=número de variáveis=número de graus de liberdade
2 2 2 2;2
;
Prob n nn
p d
2
2 2
2
22 2 2
n
n
E n
E n
![Page 35: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/35.jpg)
Funções Densidade Probabilidade Distribuição Qui-quadrado
- Caso geral da função distribuição GAMA
- A raiz quadrada da distribuição qui-quadrada com n=2 (Distribuição de Rayleigh):
- Distribuição bidimensional
- Valores limites da distribuição de um ruído de banda estreita quando a largura de banda tende a zero
- A raiz quadrada da distribuição qui-quadrada com n=3 (Distribuição de Maxwell):
- Distribuição tridimensional
- Se aproxima da distribuição normal quando o número de graus de liberdade aproxima do infinito.
![Page 36: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/36.jpg)
Funções Densidade Probabilidade Distribuição T-Student
n
zt
y n
1 221 / 21
/ 2
nn t
p tnn n
N=número de variáveis=número de graus de liberdade
,;
Prob n nn
p t dt t tt
2 2
0
2
n t
n t t
E t
nE t
n
![Page 37: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/37.jpg)
Funções Densidade Probabilidade Distribuição F
1 21, 2
2 1n n
y nF
y n
1 2
1 / 2 1 / 2 1
1 2 1 2
/ 2
1 2 1 2
/ 2
/ 2 / 2 1
n n
n n
n n n n Fp F
n n n F n
N=número de variáveis=número de graus de liberdade
1, 2 1, 2;
1, 2;
Prob n n n n
n n
p F dF F FF
21, 2 2
2
22 2 1 22
1, 2 22
1 2 2
22
2 24
2 4
n n F
n n F F
nE F n
n
n n nE F n
n n n
![Page 38: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/38.jpg)
Distribuição de amostragens e exemplos
Seja x1, x2, x3,…,xN N amostras observadas da variável aleatória x com probabilidade p(x):• A média estimada é uma variável
aleatória• A variância estimada é uma variável
aleatória• Outros estimadores também serão
variáveis aleatórias
![Page 39: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/39.jpg)
Distribuição de amostragens
Distribuição da média com a variância conhecida
1
1 N
ii
x xN
x x 2
2 xx N
x
x
x Nz
Prob xx
zx
N
Se N é grande p(x) se aproxima da distribuição normal
Teorema do limite central
![Page 40: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/40.jpg)
Intervalos de Confiança
x Estimador de com precisão x d
1 2 2Prob 1x
x
x Nz z
1 2 2
0Prob
1x
x
x Nz z
Antes da amostragem
Após a amostragem
![Page 41: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/41.jpg)
Intervalos de Confiança
x Estimador de com precisão x d
1 2 2Prob 1x xx
z zx x
N N
; 2 ; 2Prob 1 1n nx
st stx x n N
N N
Com variância conhecida
Com variância desconhecida
![Page 42: Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061503/552fc132497959413d8d6a88/html5/thumbnails/42.jpg)
Intervalos de Confiança
2 2 Estimador de com precisão xs d
2 22
2 2; 2 ;1 2
Prob 1 1xn n
ns nsn N