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Fundamentos de Modelagem Hidrológica
Prof. Benedito Cláudio da Silva
Instituto de Recursos Naturais - IRNUniversidade Federal de Itajubá – UNIFEI
Adaptado de Ruberto Fragoso Júnior
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Modelos Hidrológicos
• Por que modelos hidrológicos? O modelo é a representação de algum objeto ou
sistema, numa linguagem ou forma de fácil acesso e uso, com o objetivo de entendê-lo e buscar suas respostas para diferentes entradas.
O modelo deve ser visto como uma ferramenta não um objetivo
Se é possível medir as variáveis hidrológicas por que necessito do modelo?
Se eu disponho de um modelo por que necessito medir a vazão de um rio ou outras variáveis hidrológicas?
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• As limitações básicas dos modelos hidrológicos são a quantidade e a qualidade dos dados hidrológicos, além da dificuldade de formular matematicamente alguns processos e a simplificação do comportamento espacial de variáveis e fenômenos
• • Nenhuma metodologia cria informações
apenas explora melhor os dados existentes
Modelos Hidrológicos
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Terminologia• Risco e incerteza: o risco de ocorrência de uma
determinada variável aleatória é a chance aceita pelo projetista que a variável seja maior que um determinado valor (menor no caso de mínimos). A incerteza refere-se a diferença entre as estatísticas da amostra e da população, que pode ser devido a representatividade da amostra ou devido aos erros de coleta e processamento dos dados da variável aleatória
• Série estacionária ou não-estacionária: uma série é estacionária quando as estatísticas da mesma não se alteram com o tempo. Uma série é não-estacionária no caso contrário.
• Parcimônia: a representação adequada do comportamento de um processo ou um sistema por um modelo com o menor número possível de parâmetros é entendido como o princípio da parcimônia.
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Sistema, modelo e simulação• Sistema é qualquer estrutura, esquema ou
procedimento, real ou abstrato, que num dado tempo de referência interrelaciona-se com uma entrada, causa ou estímulo de energia ou informação, e uma saída, efeito ou resposta de energia ou informação.
SISTEMA
• Exemplos: Bacia hidrográfica, trecho de rio, aqüífero
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Modelos• Modelo é uma representação do comportamento do
sistema tipos de modelos: físicos, analógicos e matemáticos Os modelos analógicos valem-se da analogia das
equações que regem diferentes fenômenos, para modelar no sistema mais conveniente, o processo desejado;
Os modelos matemáticos: são os que representam a
natureza do sistema, através de equações matemáticas,
O modelo físico representa o sistema por um protótipo em escala menor, na maior parte dos casos
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Classificação de Modelo
Memória: é o espaço de tempo, no passado, durante o qual a entrada afeta o estado presente do sistema. Memória zero, para um sistema, significa que a entrada afeta o sistema somente no tempo em que ela ocorre. A memória infinita existe quando o sistema depende de todo o seu passado. Uma memória é finita quando o sistema depende da entrada ocorrida dentro de um período finito no passado.Exemplo: a memória de uma bacia hidrográfica (sistema) a uma determinada precipitação é o tempo que a água leva para infiltrar, percolar e escoar até a seção do rio que delimita a bacia.
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Linearidade Um sistema linear se baseia no princípio da superposição: y1 é
uma entrada do sistema que produz a saída x1. Da mesma forma, a entrada y2 resulta na saída x2 do mesmo sistema. O princípio de superposição é válido quando, a entrada y1+y2 produzir a saída x1 + x2 neste mesmo sistema.
propriedade de homogeneidade: Se existem n entradas no sistema, de tal forma que
y1 = y 2 = y3 .......... = yn
o sistema é linear quando n y1 produz a saída n x1
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Linearidade
MODELO
InIn OutOut
MODELO
In
MODELO
InIn OutOut
MODELO
In Out
MODELO
In Out
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Sistemas lineares e não-lineares
)t(yxAdtdxA .........
dtxdA
dtxdA 011n
1n
n
nn 1n
Matematicamente:
Linear : quando Ai f(X) para i = 1,2,...n
linear invariante: quando Ai f(X,t)
linear variante : quando Ai f(X)
não-linear: quando pelo menos um Ai = f(X,t)
Exemplo: IQ
dtdQK
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Contínuo e Discreto• um sistema é dito contínuo quando os fenômenos são
contínuos no tempo, enquanto que o sistema é discreto quando as mudanças de estado se dão em intervalos discretos.
• Um sistema pode se modificar continuamente, mas para efeito de projeto os registros são efetuados em intervalos de tempo.
• A escolha deste intervalo é função da economia desejada e da precisão dos resultados, que são conflitantes, já que à medida que o intervalo diminui, o custo para medir os dados da computação aumenta em favor da melhoria da precisão dos resultados.
• Exemplos: linígrafo
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Contínuo e Discreto
Tempo
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Concentrado e distribuído• um modelo é concentrado ("lumped") quando não
leva em conta a variabilidade espacial. A precipitação média de uma bacia é um exemplo da integração espacial da variável de entrada. Em geral, os modelos concentrados utilizam somente o tempo como variável independente.
• distribuído (distributed) quando as variáveis e parâmetros do modelo dependem do espaço e/ou do tempo. Em termos matemáticos, a equação diferencial ordinária possui uma variável independente, neste caso, o tempo, e representa um modelo concentrado
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Exemplo
concentrado
distribuído
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Estocástico e determinístico
Se a chance de ocorrência das variáveis é levada em conta, e o conceito de probabilidade é introduzido na formulação do modelo, o processo e o modelo são ditos Estocásticos. Se a chance de ocorrência das variáveis envolvidas no processo é ignorada, e o modelo segue uma lei definida que não a lei das probabilidades, o modelo e os processos são ditos Determinísticos.
Quando uma variável de entrada de um sistema é aleatória, a variável de saída também será aleatória, no entanto o sistema pode ter comportamento determinístico ou representado por um modelo determinístico. Exemplo, a vazão de entrada e saída de um reservatório são variáveis aleatórias, mas a determinação da vazão de saída com base na de entrada e nas características do reservatório é um processo determinístico bem conhecido.
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CaosUm sistema com comportamento aparentemente aleatório também pode ser determinístico. Quando o sistema é não-linear e altamente dependente das suas condições iniciais, a resposta pode apresentar características de uma variável aleatória e passar pelos testes estatísticos e estocásticos. Este processo é denominado na literatura de "caos determinístico".
x (k+1) = r x (k)[ 1 - x(k)]
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Exemplo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10 15 20 25 30
k
x
Valores da função para: (i) curva pontilhada r=2,5 e xo=0,1; (i) curva cheia r= 3,95 e xo= 0,8
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Conceitual e Empírico• conceitual, quando as funções utilizadas na sua
elaboração levam em consideração os processos físicos. Esta definição é estabelecida para diferenciar os modelos que consideram os processos físicos, dos modelos ditos "caixa-preta".
• Os modelos do tipo "caixa-preta" ou empíricos são aqueles em que se ajustam os valores calculados aos dados observados, através de funções que não têm nenhuma relação com os processos físicos envolvidos.
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Conceitual e Empírico
Peixes
Zoo
Fito
NO3 NH3 Norg
PO4 Porg
Peixes
Zoo
Fito
NO3 NH3 Norg
PO4 Porg
P
Chlo
Chlo a = 2,318.ln(P) R2=0,97
(a) (b)
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Elementos da Modelagem
Funções governantes ou
Variáveis externas Processos
Parâmetros
Parâmetros
Fenômeno de interesse
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Elementos da Modelagem • Fenômeno é um processo físico, que
produz alteração de estado no sistema. Por exemplo, precipitação, evaporação e infiltração são fenômenos;
• Variável é um valor que descreve quantitativamente um fenômeno, variando no espaço e no tempo. Por exemplo, vazão é uma variável que descreve o estado do escoamento;
• Parâmetro é um valor que caracteriza o sistema, o parâmetro também pode variar com o espaço e o tempo. Exemplos de parâmetros são: rugosidade de uma seção de um rio, área de uma bacia hidrográfica e áreas impermeáveis de um bacia.
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Exemplo
QIdtdS
Equação da continuidade
SKQ. Relação entre volume e saída
Derivando a segunda equação e substituindo na primeira, resulta a equação diferencial do modelo
IQdtdQK
Onde K é o parâmetro, Q a variável dependente e de saída e I a variável de entrada
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Etapas da ModelagemDefinição do problema
Simplificação e formulação de hipótese
Dedução do modelo
Resolução do problema
Calibração e validação
Aplicação do modelo
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Etapas da ModelagemDefinição do problema
Simplificação e formulação de hipótese
Dedução do modelo
Resolução do problema
Calibração e validação
Aplicação do modelo
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Etapas da Modelagem
Problemas em Hidrologia
Cheias
Planejamento
EstadosalternativosUsos da águaRegime
hidrológico
Extensão de Séries hidrológica
Floração decianobactérias Eutrofização
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Etapas da ModelagemDefinição do problema
Simplificação e formulação de hipótese
Dedução do modelo
Resolução do problema
Calibração e validação
Aplicação do modelo
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Etapas da Modelagem
Quais são as
variáveis?Quais são
as hipóteses
?Quais são
os processos?
Essa é a minha
proposta!!!
Simplificações e formulação de hipóteses
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Etapas da ModelagemSimplificações e formulação de hipóteses
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Etapas da ModelagemSimplificações e formulação de hipóteses
Produção
Luz Temperatura Nutrientes
Taxa constante
NkN
NN
20TTmaxT G
Hk
eef781,2
e
21
L
NTLP NTP TP tetanconsP
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Etapas da ModelagemSimplificações e formulação de hipóteses
Nº de parâmetros
ComplexidadeAproximação
Nº ótimo de parâmetros
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Etapas da ModelagemDefinição do problema
Simplificação e formulação de hipótese
Dedução do modelo
Resolução do problema
Calibração e validação
Aplicação do modelo
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Modelos Qualidade Água e Hidrodinâmica
Derivado aplicação Leias de Conservação
Propriedades conservativas intrínsecas internasmomentum, calor energia, massa água, massa contaminantes
Prediz:Mudanças em propriedades conservativas;Mudanças estado sistema resulta de mudanças em uma ou mais propriedades intrínsecas.
Conservação de EnergiaBalanço Calor e EvaporaçãoRelações de mistura
Conservação de MassaMassa água na hidrodinâmica e transporteMassa materiais dissolvidos ou suspensos na águaBalanço massa expandido para incluir mudanças
cinéticas
Conservação de MomentoÁgua: movimentoÁgua: Fluxo
Acumulação Líquida = Transporte Fonte/Sumidouro (transformações)
Fluxo Propriedades Conservativas devido movimento água (advecção,
mistura turbulenta, difusão)
Funções Forçantes
As Leis da Natureza!!
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Etapas da ModelagemDedução do modelo matemático
consumoproduçãohA
AZgKA1rA
dtdA
az
emortalidadocrescimentZmhA
AZgedtdZ
za
zz
Modelo conceitual
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Etapas da ModelagemDedução do modelo matemático
Parâmetro Descrição Valor Unidade
R Taxa de crescimento do fitoplâncton 0,5 dia-1
K Capacidade máxima de biomassa algal 10 mg.l-1
gz Taxa de consumo algal pelo zooplâncton 0,6 dia-1
Há Coeficiente de meia-saturação para o consumo de algas 0,4 mg.l-1
ez Eficiência de conversão de biomassa algal para zooplanctônica 0,6 -
mz Taxa de mortalidade do zooplâncton 0,15 dia-1
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Etapas da ModelagemDefinição do problema
Simplificação e formulação de hipótese
Dedução do modelo
Resolução do problema
Calibração e validação
Aplicação do modelo
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Etapas da ModelagemResolução do problema
Solução das equações diferenciais através de um método numérico:
Métodosanalíticos Métodos
numéricos
EulerDiferenças
finitasElementos
Finitos
Elementosde contorno
Runge-Kutta
Método dosCoeficientes
Não-determinados
Transformadasde
Laplace
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Etapas da ModelagemResolução do problema
Discretização temporal
Discretização espacial
Método numérico
x
y
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Etapas da ModelagemResolução do problema
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Etapas da ModelagemDefinição do problema
Simplificação e formulação de hipótese
Dedução do modelo
Resolução do problema
Calibração e validação
Aplicação do modelo
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Etapas da ModelagemCalibração e validação do modelo
ObservadoCalculado
Período de calibração Período de validação
A
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Etapas da ModelagemCalibração e validação do modelo
Coeficientes Equação1
Coeficiente de determinação de Nash-Sutcliffe (R2)
2
ObsObs
2CalObs2
tYtY
tYtY1R
Erro médio padrão (RMSE) N
tYtYRMSE2
CalObs
Erro médio padrão invertido (RMSEI)
NtY
1tY
1
RMSEI
2
CalObs
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Etapas da ModelagemDefinição do problema
Simplificação e formulação de hipótese
Dedução do modelo
Resolução do problema
Calibração e validação
Aplicação do modelo
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Etapas da ModelagemAplicação do modelo
0 200 400 600 800 10000
2
4
6
8
10
Tempo (dias)
AZ
K
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Simulação• Simulação é o processo de utilização do modelo. Na
simulação existe, em geral, três fases que são classificadas como estimativa ou ajuste, verificação e previsão.
• A estimativa dos parâmetros é a fase da simulação onde os parâmetros devem ser determinados.
• A verificação é a simulação do modelo com os parâmetros estimados onde se verifica a validade do ajuste realizado.
• A previsão é a simulação do sistema pelo modelo com parâmetros ajustados para quantificação de sua respostas a diferentes entradas
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Simulação
Modelo Estimativa(ajuste)
Existem Uso
Verificação
Existem Uso
Previsão
Existem UsoDados deentrada
x x x x x x
Parâmetros ? ? x x x xDados de saída x x x ? ? ?
*Uso: indica se a informação é utilizada na simulação.
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Ajuste
Estimativa sem dados históricos - quando não existem dados sobre as variáveis do sistema, pode-se estimar os valores dos parâmetros baseando-se em informações das características físicas do sistemaAjuste por tentativas: é o processo em que existindo valores das variáveis de entrada e saída, são obtidos por tentativas os parâmetros que melhor representem os valores observados através do modelo utilizado.Ajuste por otimização: utiliza os mesmos dados do processo por tentativa, mas por métodos matemáticos otimiza uma função objetiva que retrata a diferença entre os dados observados e calculados pelo modelo.Amostragem: os valores dos parâmetros são obtidos através de medições específicas no sistema.
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VerificaçãoA verificação é a fase da simulação em que o modelo,
calibrado anteriormente, é verificado com outros dados.
• As fases de ajuste e verificação devem ser representativas da fase de aplicação, caso contrário não possuem utilidade
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Previsão e aplicação• Os limites de uso das fases anteriores devem respeitar a etapa de
aplicação do modelo;• a fase de aplicação pode sofrer correções para compatibilizar com
este cenário;• o ajuste parte do princípio de estacionariedade. Caso isto não ocorra
o modelo deve permitir sua adaptabilidade aos novos cenários.
oceano
A
B
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Modelos de Gerenciamento• Modelos de comportamento: são modelos
utilizados para descrever o comportamento de um sistema. O modelo é utilizado para prognosticar a resposta de um sistema sujeito a diferentes entradas ou devido a modificações nas suas características.
• Modelos de otimização: estão preocupados com as melhores soluções, a nível de projeto, de um sistema específico.
• Modelos de planejamento: simulam condições globais de um sistema maior.
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Nome Tipo Estrutura Características UsosPrecipitação-Vazão determinístico;
empírico;Conceitual
Comportamento calcula a vazão de uma bacia apartir da precipitação
extensão de séries de vazão;dimensionamento; previsão emtempo atual, avaliação do usoda terra
Vazão-Vazão determinístico:empírico;conceitual
calcula a vazão de uma seção apartir de um ponto a montante
extensão de séries de vazões;dimensionamento; previsão decheia
Geração estocásticade vazão
estocástico calcula a vazão com base nascaracterísticas da série histórica
dimensionamento do volumede um reservatório
Fluxo saturado determinístico determina o movimento, vazãopotencial de águas subterrâneas àpartir de dados de realimentação,bombeamento,etc
capacidade de bombeamento;nível do lençol freático;iteração rio-aqüífero,etc
Hidrodinâmico determinístico sintetiza vazões em rios e rede decanais
simulação de alterações dosistema; efeitos de escoamentode jusante
Qualidade de Águade rios ereservatórios
determinístico simula a concentração deparâmetros de qualidade da água
impacto de efluentes;eutrofização de reservatórios;condições ambientais
Rede de canais econdutos
determinístico Comportamento eotimização
otimiza o diâmetro dos condutos everifica as condições de projeto
rede abastecimento de água;rede de irrigação
operação dereservatórios
estocástico,determinístico
determina a operação ótima desistemas de reservatórios
usos múltiplos
planejamento egestão de sistemasmúltiplos
estocástico,determinístico
Comportamento,otimização eplanejamento
simula condições de projeto eoperação de sistemas (usa váriosmodelos)
Reservatórios, canais, estaçõesde tratamento, irrigação,navegação fluvial, etc
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Avaliação e equacionamento: definiçãodo problema, objetivos e justificativa
Representação do sistema: escolha dosmodelos para atender os objetivos
Modelos:•hidrológicos•hidráulicos•meio ambiente•planejamento
Técnicas matemáticas•métodos numéricos•otimização•estatística•geoprocessamento
Coleta eanálise dosdados eparâmetros
Simulação
Modelo
Ajuste eVerificação Previsão dos
cenários
AnáliseEconômicaSocial eAmbiental
Tomada deDecisão
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Evolução do modelos hidrológicos
• Início com o computador e década de 50• os modelos distribuídos na década de 70-80• a evolução com o GIS e a integração espacial com a
modelagem física;• limitação da escala• a relação dos modelos hidrológicos e meteorológicos.
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Escala dos processos na bacia
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Usos dos modelos hidrológicos
Tipos de usos• Extensão de séries hidrológicas;• planejamento e projeto de sistemas hídricos• previsão tempo real• avaliação do impacto das modificações dos sistemas
hídricos.
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Áreas de aplicação• Usos dos recursos hídricos: abastecimento de água, energia,
irrigação, navegação,etc• impactos sobre a população: controle de inundações• impactos no meio ambiente: desmatamento, qualidade da
água, etc.