Kalkulus I
Fungsi Dan Grafik FungsiFungsi Dan Grafik Fungsi
Dr. Eko Pujiyanto, S.Si., M.T.
081 2278 3991
eko.staff.uns.ac.id/kalkulus1
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Materi
� Fungsi ( Daerah definisi, daerah asal dan daerah hasil )
� Fungsi Surjektif, Injektif, Bijektif danInversInvers
� Operasi Pada Fungsi dan Fungsi Komposisi
� Grafik Fungsi Dalam Sistem KoordinatKartesius
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Hubungan atau Relasi
� Dalam berbagai aplikasi, hubungan/relasiantara dua himpunan ( sering disederhanakanmenjadi variabel ) sering terjadi.
� Misalnya, volume bola dengan jari-jari r diberikanoleh relasioleh relasi
� Definisi : Diketahui R relasi dari A ke B. Apabilasetiap berelasi R dengan tepat satu
maka R disebut fungsi dari A ke B.
3
3
4rV π=
Ax ∈By ∈
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi
� Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst.
� Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:
f : A → Bf : A → B
� Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan Bdinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f.
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Daerah Asal dan Nilai
� Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df,
� Himpunan semua anggota B yang
{ })ikanterdefinis(ada)(: xfxD f R∈=
� Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakanrange atau daerah nilai fungsi f, ditulisatau Im(f) → Perhatikan gambar berikut
fR
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi : Daerah Asal dan Nilai
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi
• Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen • Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen x ∈ A mempunyai kawan y ∈ B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).
• Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas.
• Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Daerah Asal dan Nilai
� Daerah asal (Df)
{ }RxfRxD f ∈∈= )(:
{ })ikanterdefinis(ada)(xfxD f sehingga R∈=
� Daerah nilai (Rf)
{ })ikanterdefinis(ada)(xfxD f sehingga R∈=
{ }ff DxRxfR ∈∈= :)(
{ }ff DxsemuauntukRxfberapaR ∈∈= )(Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Mencari daerah asal dan daerah nilai
1)( dan1)( 2 −−=+= xxgxxf
01
),(0akarbawah Di
∞<<∞−≥+=
∞−∞=≥= gf
xx
DD
Contoh 1
[ ) ]1,(,0
1)(
11
1011
0
0),1[
01
2
2
2
2
−−∞=∞=−≤<∞−
−≤−−<∞−−≤−−<−∞−
≤−<∞−
∞<≤∞−=∞<<∞−≥+=
gf
f
RR
xg
x
x
x
xD
xx
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Hubungan Df dan Rf
dengan Grafik Fungsi
Ilustrasi grafik fungsi f
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Hubungan Dg dan Rg
dengan Grafik Fungsi
Ilustrasi grafik fungsi g
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Surjektif
Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Injektif
Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Bijektif
� Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1.
� Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Invers
� Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga invers f juga merupakan fungsi.
� Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi . 1−f
)()(1 xfyyfx =⇔= −
ffffDRRD == −− 11 dan
dengan
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Operasi Pada Fungsi
Diberikan skalar real α dan fungsi-fungsi f dan g. , maka :
,
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Operasi Pada Fungsi
Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisandomain f dan domain g, kecuali untuk gf
{ }0)(: ≠∩∈= xgDDxD gfgf
,
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Operasi Pada Fungsi
Contoh 2
,
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Komposisi
foggof
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Komposisi
fog
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Komposisi
gof
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Syarat Fungsi Komposisi
fog φ≠∩ fg DR
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Syarat Fungsi Komposisi
gof φ≠∩ gf DR
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Daerah asal dan daerah nilai
Fungsi Komposisi
{ }fggf DxgDxD ∈∈= )(:o
{ }gfgf RttfyRyR ∈=∈= ),(:o
fog
{ }gfgf RttfyRyR ∈=∈= ),(:o
{ }gffg DxfDxD ∈∈= )(:o
{ }fgfg RttgyRyR ∈=∈= ),(:o
gof
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Diberikan fungsi berikut
1)(dan 1)( 2 −−=+= xxgxxf
Contoh 3
Tentukan
gfgf RDaoo
dan .
fgfg RDboo
dan .
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
gfgf RDaoo
dan .
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Contoh 3
Lihat Contoh 1 → Df, Rf , Dg dan RgLihat Contoh 1 → Df, Rf , Dg dan Rg
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
gfgf RDaoo
dan .
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Contoh 3
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
fgfg RDboo
dan .
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Contoh 3
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
fgfg RDboo
dan .
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Contoh 3
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Selingan
Asal ulet yang Mustahil pasti bisaAsal ulet yang Mustahil pasti bisa
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius
� Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi:
� Fungsi Aljabar
� Fungsi Transenden
� Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak.
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius
� Contoh fungsi aljabar :
1
)1(3)(
2
322
+
+−=x
xxxxf
� Fungsi yang bukan fungsi aljabardisebut fungsi transenden.
� Beberapa contoh fungsi transendenadalah fungsi trigonometri, fungsilogaritma, dsb.
12 +x
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius
� Fungsi Aljabar meliputi :
� Fungsi rasional :
� Fungsi bulat (fungsi suku banyak)
� Fungsi pecah.� Fungsi pecah.
� Fungsi irasional.
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius
� Fungsi suku banyak berderajat nmempunyai persamaan
f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xnf(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xn
dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan real dan an ≠ 0.
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi Suku Banyak
a. Fungsi konstan cxf =)(
b. Fungsi linear: f(x)= mx + n
Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik .
c. Fungsi kuadrat 0,)( 2 ≠++= acbxaxxf
d. Fungsi kubik 0,)( 3012
23
3 ≠+++= aaxaxaxaxf
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi Pecah
� Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak
nn xaxaa
xf+++
=...
)( 10
disebut fungsi pecah.
mm
n
xbxbb
xaxaaxf
+++
+++=
...
...)(
10
10
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi Pecah
� Contoh grafik f(x) = 1
)(dan1
−=
x
xxf
x
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi Irasional
� Contoh
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Transenden
( Fungsi Trigonometri )
� Contoh
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Transenden
( Fungsi Trigonometri )
Pelajari hubungan fungsi trigonometri
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Kata inspirasi pertemuan ini
Berfikir
Banyak orang yang berfikir. Tapi, sedikit yang bertindak. Ingat, tak sedikit yang bertindak. Ingat, tak
seorangpun akan sukes hanya dengan berfikir, tanpa bertindak. Semua
fikiran, harus diikuti oleh tindakan.
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret