Download - Fungsi phi dan teorema euler
DEFINISI 1 (SISTEM RESIDU)
Sistem residu sederhana modulo m adalah himpunan semua bilangan bulat positif ri yang memenuhi (ri,m)=1 dengan ri ≠ rj(mod m) untuk i≠ j.
Contoh:{0,1,2,3,4,5,6,7,8} adalah himpunan semua residu terkecil modulo 9. Jika dipilih elemen yang saling prima dengan 9 maka diperoleh {1,2,4,5,7,8}, maka himpunan terakhir ini disebut sebagai sistem residu sederhana modulo 9
DEFINISI 2 (FUNGSI EULER)⌽
Misalkan m suatu bilangan bulat positif, maka (m) menyatakan banyaknya ⌽elemen dari himpunan residu sederhana modulo m.
Contoh:Himpunan residu sederhana modulo 30 adalah {1,7,11,13,17,19,23,29}. Banyaknya elemen dari himpunan ini adalah 8, maka dikatakan bahwa (30)=8.⌽
TEOREMA 1
Bukti:
Pecah bilangan-bilangan bulat positif yang tidak lebih besar dan tidak saling prima terhadap pk, maka bilangan-bilangan tersebut adalah kelipatan-kelipatan dari p
{p, 2p, 3p, 4p, … , pk-1 p} = pk
Dari himpunan di atas diperoleh bahwa banyaknya bilangan bulat positif yang tidak lebih besar dan tidak saling prima terhadap pk adalah sebanyak pk-1 buah.
Berdasarkan pernyataan di atas diperoleh bahwa
⌽(pk)= pk – pk-1
= pk-1 . p – pk-1
= pk-1 (p-1)
Apabila p suatu bilangan prima da k suatu bilangan bulat positif, maka (p⌽ k)=pk-1(p-1)
Contoh:Kita akan menentukan banyaknya elemen residu sederhana dari 32.32= 25 Maka (2⌽ 5)= 25-1 (2-1) =16Sistem residu sederhana dari 16 adalah {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31), ada sebanyak 16 elemen.
DEFINISI 3 (FUNGSI GANDA)
Suatu fungsi f didefinisikan pada himpunan semua bilangan bulat positif disebut fungsi ganda apabila untuk setiap bilangan-bilangan bulat positif m dan n (mn) = 1 maka f(m,n) = f(m) f(n)
Contoh:Misalkan f(n)= n2, untuk setiap bilangan asli n. Untuk sembarang bilangan asli m dan n dengan (m,n)=1, maka f(mn)= (mn)2 = f(m) f(n). Sehingga fungsi f tersebut adalah fungsi ganda.
TEOREMA 2Fungsi-fungsi τ dan σ keduanya adalah fungsi ganda.
Bukti:
Ambil sembarang bilangan asli m dan n dengan (m,n)=1.
Misalkan bentuk-bentuk kanonik
Karena (m,n)=1, maka factor-faktor prima pi dan qi tidak ada yang sama,
sehingga bentuk kanonik dari hasil kali
dengan demikian
Jadi, τ(mn) adalah fungsi ganda
Selanjutnya,
=σ(m) σ(n)
Jadi, σ adalah fungsi ganda.
Dari kedua penjelasan di atas jelas bahwa τ dan σ adalah fungsi ganda.
Contoh:Misal m=6 dan n =5Apakah τ(mn) fungsi ganda?Apakah σ(mn) fungsi ganda?
Penyelesaian:τ(6)=4, yaitu 1,2,3,6τ(5)=2, yaitu 1,5τ(6.5)=4.2τ(30)=8
Faktor-faktor bulat positif dari 30 adalah 1,2,3,5,6,10,15,30. Faktor dari 30 tersebut ada sebanyak 8.Selanjutnya σ(6)= 1+2+3+6=12 dan σ(5)=1+5=6σ(6.5)=12.6σ(30)=72σ(30)=1+2+3+5+6+10+15+10=72
TEOREMA 3
Bukti:Misal residu dari r1, r2, r3, … , rm adalah A={0,1,2,3,…,m}. Berdasarkan definisi 1, sistem residu sederhana dari r1, r2, r3, … , rm adalah ∀a∊A, (a,m)=1.Selanjutnya, dari definisi 2 banyaknya elemen residu sederhana mod m dinyatakan dengan (m). ⏀Dari pernyataan tersebut jelas bahwa jumlah suku yang saling prima dengan m ada sebanyak (m) buah.⏀
Apabila p suatu bilangan prima da k suatu bilangan bulat positif, maka (p⌽ k)=pk-1(p-1)
Contoh:Residu terkecil modulo 11 adalah {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Sistem residu sederhana dari 11 adalah {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, maka jumlah elemen residu sederhana tersebut adalah 10 dan dinyatakan dengan (11)=10⏀
TEOREMA 4Fungsi adalah fungsi ganda⏀
Bukti:Diambil sembarang bilangan-bilangan bulat positif m dan n dengan (m,n) = 1Kita susun semua bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan mn menjadi m baris dan n kolom sebagai berikut:1 m + 1 2m +1 … (n-1)m + 12 m + 2 2m + 2 … (n-1)m + 23 m +3 2m + 3 … (n-1)m + 3. . . . .. . . . .. . . . .r m + r 2m + r … (n-1)m +r. . . . .. . . . .. . . . .m 2m 3m … mn
Perhatikan kolom pertama, yaitu 1, 2 ,3, … , m. dalam barisan ini ada (m) bilangan ⏀yang saling prima dengan m. Setiap bilangan pada baris ke-r memenuhi km + r ≡ r(mod m). Jika (m,r)=d, maka (km + r, m) = 1 pula. Jadi jika m dan r saling prima, maka setiap bilangan pada baris ke-r semuanya saling prima dengan m. karena pada kolom pertama ada (m) bilangan yang saling prima dengan m, maka ada (m) baris ⏀ ⏀yang setiap elemennya saling prima dengan m. Nah, sekarang bilangan-bilangan pada
(m) baris tersebut, berapakah yang saling prima dengan m.⏀Misalkan (r,m) =1 dan perhatikan bilangan-bilangan pada baris ke-r, yaitu r, m + r, 2m + r, 3m + r, …, (n-1)m +r. Jelas bahwa pada baris ini tidak ada dua bilangan yang kongruen modulo n, sebab jika ada dua bilangan yang kongruen mod n, misalnya, sm + r ≡ t m + r (mod n) dengan 0≤s, t<nsm ≡ t m (mod n)s ≡ t (mod n), sebab (m,n)=1Karena 0≤s, t<n dan 0≤t<1 serta s ≡ t (mod n), maka s=t. Berarti dua bilangan tersebut sama. Jadi pada baris ke-r tidak ada bilangan-bilangan yang kongruen mod n. Sehingga residu-residu terkecil mod n dari bilangan-bilangan pada baris ke-r adalah suatu permutasi dari 0, 1, 2 ,3, …, n-1. Bilangan-bilangan ini mempunyai f(n) bilangan yang saling prima dengan n, maka ada f(m) (n) bilangan yang saling prima dengan m ⏀maupun dengan n. Mengingat suatu bilangan yang saling prima dengan m maupun n, maka bilangan itu saling prima dengan mn pula. Sehingga disimpulkan bahwa
(mn)= (m) (n)⏀ ⏀ ⏀
Contoh:⏀(6)=2 dan (5)=4, maka (30)= (6) ⏀ ⏀ ⏀
(5)=2.4=8⏀Sedangkan himpunan residu sederhana modulo 30 adalah {1,7,11,17,19,23,29}, maka banyaknya elemen dari himpunan ini adalah 8, yaitu
(30)=8.⏀
TEOREMA 5Jika n suatu billangan bulat psitif yang mempunyai bentuk kanonik , maka
⏀(n) = atau (n) ⏀=
Bukti:
n = dengan pi adalah bilangan-bilangan
prima yang berbeda untuk i=1, 2, …, k.
⏀(n) = ( )⏀=
=
Selanjutnya, akan mudah dibuktikan bahwa:
Contoh:360= 23. 22.5 , maka (360)= (2⏀ ⏀ 3. 22.5)= (2⏀ 3)
(2⏀ 2) (5)= 2⏀ 2(2-1)3(3-1)(5-1)=96
TEOREMA 6. Untuk setiap bilangan bulat positif n>2, maka (n) suatu ⏀bilangan genap.
Bukti:
Misalkan n= 2k dengan k>2, maka (n) = (2⏀ ⏀ k) = 2k-1(2-1) = 2k-1
Nampak di sini bahwa (2⏀ k)suatu bilangan genap.
Sekarang ambil sembarang bilangan bulat positif n>2. Apbila n suatu bilangan prima, maka n prima ganjil sehingga (n)= n-1.⏀Jadi (n) bilangan genap. Dan apabila n suatuu bilangan komposit, ⏀maka n mempunyai factor prima ganjil p, misalnya n = pkm dengan (pk,m)=1 sehingga (n)= (p⏀ ⏀ km)= (p⏀ k) (m)= p⏀ k-1(p-1) (m)⏀Karena p bilangan prima ganjil, maka p-1 suatu bilangan genap, sehingga
pk-1(p-1) (m) suatu bilangan prima pula.⏀Jadi (n) suatu bilanngan genap.⏀
Contoh:Semua faktor bulat positif dari 12 adalah 1,2,3,4,6 dan 12. tiap faktor ini dicari nilai nya, yaitu ⏀
(1)=1, (2)=1, (3)=2, (4)=2, (6)=2 dan ⏀ ⏀ ⏀ ⏀ ⏀(12)=4.⏀
Terlihat jelas bahwa faktor yang lebih besar dari 2 nya adalah bilangan genap.⏀
TEOREMA 7Untuk setiap bilangan bulat positif n, maka
Bukti:
Perhatikan bilangan-bilangan bulat positif: 1, 2, 3 ,4, …, n.
Kita akan meletakkan bilangan-bilangan ini dalam himpunan-himpunan
dengan t|n, yaitu bilangan-bilangan itu yang dengan n, factor persekutuan
terbesarnya sama dengan t.
Dengan kata lain, m ∊ Ct jika dan hanya jika (m,n)=t.
Sedangkan (m,n)=t jika dan hanya jika
Menurut definisi fungsi Euler, banyaknya elemen dari C⏀ t adalah . ⏀
Maka banyaknya elemen dari semua gabungan himpunan Ct adalah .
Mengingat setiap bilangan 1, 2, 3, …, n hanya terdapat dalam tepat satu
himpunan dari Ct, maka
Contoh:
1,2,4,5,7,8 masing-masing adalah residu yang saling prima dengan 9. Apabila setiap bilangan tersebbut dikalikan 10 didapat 10,20,40,50,70,80.Selanjutnya, jika dari bilangan-bilangan tersebut dicari residu terkecil modulo 9 maka diperoleh:10≡1(mod9)20 ≡2(mod9)40≡4(mod9)50≡5(mod9)70≡7(mod9)80≡8(mod9)Jika ruas-ruas dari kekongruenan ini dikalikan, kita akan memperoleh 10.2040.50.70.80 ≡1.2.4.5.7.8(mod9)106 (1.2.4.5.7.8) ≡1.2.4.5.7.8(mod9)106 ≡1(mod9)
TEOREMA 8Jika (a,m)=1 dan r1, r2, r3, …, r (m)⏀ adalah bilangan-bilangan bulat positif
yang kurang dari m dan masing-masing saling prima denngan m, maka
residu-residu terkecil mod m dari bilangan-bilangan ar1, ar2, ar3, …, ar (m)⏀
adalah suatu permutasi dari r1, r2, r3, …, ar (m).⏀
Bukti:
⏀(m) adalah banyaknya elemen dari himpunan {ar1, ar2, ar3, …, ar (m)⏀ }.
Untuk membuktikan bahwa residu-residu terkcil dari {ar1, ar2, ar3, …, ar (m)⏀ }
………..(1) adalah suatu permutasi dari r1, r2, r3, …, r (m)⏀ , kita harus
menunjukkan bahwa ari≢arj (mod m) untuk 1≤I,j≤ (m) dengan i≠j serta ⏀masing-masing harus ditunjukkan saling prima dengan m.
Misalkan ari≢arj (mod m) untuk 1≤I,j≤ (m) dengan i≠j. Karena (a,m)=1, ⏀maka kita dapat melenyapkan a dari kekongruenan itu, sehingga diperoleh
ri≢rj(mod m). Dan karena ri dan rj masing-masing residu-residu terkecil mod
m, maka ri≠ rj.
Jadi jika ari≢arj (mod m), maka ri ≠ rj. sehingga kontraposisinya benar pula
bahwa jika ri = rj maka ari ≡ arj (mod m) hal ini berarti bahwa bilangan-
bilangan pada (1) tidak ada yang kongruen mod m.
Contoh:
1,3,5,7 masing-masing saling prima dengan 8 dan (8)=4, ⏀maka 9.1, 9.3, 9.5, 9.7 masing-masing mempunyai residu terkecil modulo 8 dengan tepat satu dari 1,3,5,7, karena (8,9)=1. hal ini diperiksa sebagai berikut:9.1≡1(mod 8), 9.3≡3(mod 8), 9.5≡5(mod 8), 9.7≡7(mod 8)
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa ar1, ar2, ar3, …, ar (m)⏀
masing-masing prima dengan m. Andaikan ada suatu bilangan
prima p yang merupakan factor persekutuan dari arid an m maka
p|arid an p|m. P|arid an p suatu bilangan prima, maka p|a atau p|ri.
Jadi p merupakan factor prsekutuan dari a, ri, dan m. hal ini
tidak mungkin, karena (a,m) + (m, ri) =1. Jadi (ari, m) =1 untuk
1≤I,j≤ (m). ⏀
TEOREMA 9
Jika m suatu bilangan bulat positif dan (a,m) =1, maka a (m)⏀ ≡ 1(mod m)
Bukti:
Misalkan r1, r2, r3, …, r (m)⏀ adalah bilangan-bilangan bulat positif yang kurang dari m dan masing-masing prima dengan m. menurut teorema 8, karena (a,m)=1, maka residu-residu terkeci modulo m dari r1, r2, r3, …, r (m)⏀ adalah suatu permutasi r1, r2, r3, …, r (m)⏀ . Sehingga diperoleh (ar1) (r2) (r3) … (r (m)⏀ )≡ r1r2r3 …r (m)⏀
ar (m)⏀ = [(ar1) (r2) (r3) … (r (m)⏀ )]≡ r1, r2, r3, …, r (m)⏀
Karena r1, r2, r3, …, r (m)⏀ masing-masing saling prima dengan m, maka hasil kali bilangan-bilangan itu saling prima dengan m. Sehingga kita dapat menyelenggarakan r1r2r3 …r (m)⏀ dari kekongruenan terakhir dan diperoleh a (m)⏀ ≡ 1(mod m)
Contoh:⏀(8)=4, 3 (8)⏀ = 34 =81≡1(mod 8), sebab (3,8)=1. Tetapi 2 (8)⏀ = 24 =16≢1(mod 8), sebab (2,8)≠1.
TERIMA KASIH ATAS PERHATIANNYA