![Page 1: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/1.jpg)
Funkce
Pojem funkce
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
![Page 2: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/2.jpg)
Funkce
• vyjadřuje závislost dvou veličin
• veličiny z oblasti fyziky, biologie, statistiky,
různé obory techniky, …
• závislost lze vyjádřit graficky (graf), rovnicí
nebo tabulkou
Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.
Např.: závislost dráhy na čase, hmotnost tělesa na jeho
objemu (fyzika), závislost obsahu čtverce na délce jeho
strany, ….
![Page 3: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/3.jpg)
Funkce - příklady
1. Sestavte tabulku závislosti obsahu obdélníku
na délce jeho jedné strany. Platí S = a.b,
a = 6 cm, b {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 cm}.
b (cm)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
S (cm2)
b (cm)
S (cm2)
6 12 18 24 30 36 42 48 54
![Page 4: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/4.jpg)
Funkce - příklady
2. Sestavte tabulku závislosti dráhy s ujeté autem na čase t, víte-li, že průměrná rychlost auta v = 75 km/h a pro čas t platí t {1, 2, 3, 4, 5, 6 h}.
t (h) 1 2 3 4 5 6
s (km)
Rovnice: s = v . t
s = 75 . t
t (h)
s (km) 75 150 225 300 375 450
![Page 5: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/5.jpg)
Funkce - definice
• Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo.
• Množinu D nazýváme definiční obor funkce f.
• Funkce f je dána:
vzorcem (rovnicí)
tabulkou
grafem
![Page 6: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/6.jpg)
Funkce - zápis
• Funkci zapisujeme:
f: x y, x D (čteme: prvku x množiny D je přiřazeno funkcí f reálné číslo y)
nebo: y = f(x), x D (čteme: prvku x množiny D je přiřazeno funkcí f reálné číslo y)
![Page 7: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/7.jpg)
Funkce - pojmy
• proměnná x = nezávisle proměnná
• proměnná y = závisle proměnná
• množina D = definiční obor (množina všech
reálných čísel - x, je dána s funkcí)
• množina H = množina hodnot funkce (množina všech reálných čísel - y, která jsou danou
funkcí f přiřazena prvkům jejího D - x)
![Page 8: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/8.jpg)
Funkce - graf
• Grafem funkce f: x y, x D nazýváme
množinu všech bodů roviny, které mají
souřadnice [x, y]
![Page 9: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/9.jpg)
Funkce - příklady
1. Zapište alespoň deset hodnot funkcí:
a) y = x2 + 1, D = R c)
b)
0RD,xy
0RD ,x
1y
2. Sestrojte graf funkce:
a) y = 2x, D = {-2, -1, 0, 1, 2}
b) y = 2x, D = R
3. Sestrojte na milimetrový papír grafy funkcí ze
cvičení 1.
![Page 10: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/10.jpg)
Funkce - příklady
4. Sestavte tabulku funkce dané rovnicí m = ρ.V,
kde ρ = 7,8 g/cm3 a V {1, 2, 3, 4, 5, 6 cm3}.
5. Vyberte z uvedených tabulek ty, které mohou
být zadáním funkce (znovu si přečti, jak je definována
funkce).
x 1 2 3 4 5
y 3 6 9 12 15
x 1 1 2 2 3
y 1 2 3 4 5
x 1 2 3 4 5
y 1 1 2 2 3
![Page 11: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/11.jpg)
Funkce – příklady řešení
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y = x2 + 1 10 5 2 1 2 5 10 17 26 37
x -2 -1 -0,5 -0,25 -0,1 0,1 0,25 1 2 4
-0,5 -1 -2 -4 -10 10 4 1 0,5 0,25 x
1y
1. Zapište alespoň deset hodnot funkcí:
xy
x 0 1 2 3 4 5 9 16 25 36
0 1 1,4 2 2 2,2 3 4 5 6
![Page 12: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/12.jpg)
Funkce – příklady řešení
x -2 -1 0 1 2
y = 2x -4 -2 0 2 4
2. Sestrojte graf funkce: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = 2x -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x
y
1
5
4
3
2
-5
-1
-2
-3
-4
0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x
y
1
5
4
3
2
-5
-1
-2
-3
-4
![Page 13: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/13.jpg)
Funkce – příklady řešení
V (cm3) 1 2 3 4 5 6
m (kg) 7,8 15,6 23,4 31,2 39 46,8
4. Sestavte tabulku funkce dané rovnicí m = ρ.V,
kde ρ = 7,8 g/cm3 a V {1, 2, 3, 4, 5, 6 cm3}.
![Page 14: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/14.jpg)
Funkce – příklady řešení
5. Vyberte z uvedených tabulek ty, které mohou
být zadáním funkce.
x 1 2 3 4 5
y 3 6 9 12 15
x 1 1 2 2 3
y 1 2 3 4 5
x 1 2 3 4 5
y 1 1 2 2 3
je funkce
není funkce (číslu jedna
jsou přiřazeny dvě hodnoty 1 a 2,
číslu dvě také)
je funkce
![Page 15: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/15.jpg)
Funkce
Lineární funkce
![Page 16: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/16.jpg)
Lineární funkce
Grafem lineární funkce je přímka.
Definice
Každá funkce y = ax + b,
kde a, b jsou libovolná reálná čísla
a definičním oborem je množina všech
reálných čísel, se nazývá lineární funkce.
![Page 17: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/17.jpg)
Úkol
Sestrojte graf lineární
funkce y = 3x – 2.
x 1 2
y = 3x – 2 1 4
0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x
y
1
5
4
3
2
-5
-1
-2
-3
-4
A[0; – 2] Všímej si souřadnic průsečíku grafu s osou y.
Označíme jej bodem A, platí A[0; -2],
y-nová souřadnice bodu A je rovna konstantě
b v rovnici funkce.
![Page 18: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/18.jpg)
Příklady
1. Kterému číslu je rovna konstanta b v zadání lineární funkce y = 2x + b, jestliže graf této funkce protíná osu y v bodě o souřadnicích [0; 5]?
b = 5
y = 2x + 5
2. Určete, jaké souřadnice bude mít bod, ve kterém protíná graf lineární funkce y = 3x – 5 osu y.
3. Zapište lineární funkci, jestliže víte, že platí: a = 5, b = 0. Jaké souřadnice má bod, ve kterém graf této funkce protíná osu y?
[0; – 5]
y = 5x
bodem [0; 0]
![Page 19: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/19.jpg)
Závěr
• Graf lineární funkce y = ax + b protíná osu
y v bodě o souřadnicích [0; b].
• Graf lineární funkce y = ax (b = 0)
prochází počátkem soustavy souřadnic
[0; 0].
![Page 20: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/20.jpg)
Lineární funkce Funkce je rostoucí, právě když
pro každé dvě hodnoty x1, x2
z jejího definičního oboru platí:
jestliže x1 < x2, pak y1 < y2.
x 1 2
y = 3x – 2 1 4
0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x
y
1
5
4
3
2
-5
-1
-2
-3
-4
A[0; – 2]
y = – 3x – 2
y = 3x – 2
Funkce je klesající, právě když
pro každé dvě hodnoty x1, x2
z jejího definičního oboru platí:
jestliže x1 < x2, pak y1 > y2.
x – 1 – 2
y = – 3x – 2 1 4
Pozoruj číslo a v rovnici. Co vidíš?
![Page 21: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/21.jpg)
Lineární funkce
Lineární funkce y = ax + b je rostoucí,
jestliže a > 0.
4
5x
4
3y
Lineární funkce y = ax + b je klesající,
jestliže a < 0.
Uveď příklady rostoucí funkce.
Uveď příklady klesající funkce.
Např.:
y = x – 4; y = 0,3x + 0,1; y = 1,4x – 5;
Např.:
y = – 2x – 5; y = – x + 1; y = – 0,4x – 5; 8x3
2y
![Page 22: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/22.jpg)
Lineární funkce
x -1 2
y = – 4 4 4
Lineární funkci y = ax + b, kde a = 0, nazýváme konstantní funkce. Jejím grafem je vždy přímka rovnoběžná s osou x, která prochází bodem [0, b].
Např.:
y = – 4
0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x
y
1
5
4
3
2
-1
-2
-3
-4
y = – 4
y = 2
x -3 4
y = 2 2 2
y = 2
![Page 23: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/23.jpg)
Příklady
1. Rozhodněte, která z daných funkcí je lineární. Df = R.
a) y = 2x + 1 b) y = x2 – 5 c) y = 0,5 – 2x
d) e) f)
Řešení:
a), c), e), f)
2. Určete průsečíky grafů daných funkcí s osou y:
a) y = – x + 3 b) y = 7x + 15 c) y = 0,5x - 0,6
3. Rozhodněte, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající:
a) y = – 5x b) y = 2x – 4 c) y = – 0,3x + 0,5
d) y = – 8 e) y = 1 – x
a) [0; 3]
a) [0; 15]
a) [0; - 0,6]
a) klesající
b) rostoucí
c) klesající
d) konstantní
e) klesající
3
1-xy 7
x
3y
5
24x-y
![Page 24: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/24.jpg)
Příklady
4. Sestrojte grafy lineárních funkcí. Df = R.
a) y = 2x + 1 b) y = 2x
c) y = 2x – 3 d) y = 2x + 3
Řešení:
5. Sestrojte grafy lineárních funkcí. Df = R.
a) y = – x + 3 b) y = x + 3
c) y = 6x – 2 d) y = – 6x – 2
6. a) Zapište libovolnou rostoucí lineární funkci a sestrojte její graf.
b) Zapište libovolnou klesající lineární funkci a sestrojte její graf.
Řešení:
![Page 25: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/25.jpg)
Příklad č. 4
0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x
y
1
5
4
3
2
-5
-1
-2
-3
-4
y = 2x + 1
x 1
y = 2 3
y = 2x + 1
y = 2x
x 1
y = 2 2
y = 2x
y = 2x - 3
x 2
y = 2 1
y = 2x + 3
x -1
y = 2 1
y = 2x - 3
y = 2x + 3
Co pozorujete?
Zapište závěr.
![Page 26: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/26.jpg)
Příklad č. 5
0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x
y
1
5
4
3
2
-5
-1
-2
-3
-4
y = – x + 3
x 1
y = 2 2
y = – x + 3
y = x + 3
x -2
y = 2 1
y = 6x – 2
x 1
y = 2 4
y = – 6x – 2
x -1
y = 2 4
y = 6x – 2
y = – 6x – 2
y = x + 3
Co pozorujete?
Zapište závěr.
![Page 27: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/27.jpg)
Příklady z praxe
1. V balonu je 1,8 kg tekutého propanu. Plynovým hořákem se spotřebuje každou hodinu 0,2 kg propanu. Jaké množství m propanu bude v balonu za t hodin letu? Sestrojte graf a určete z něho:
a) Kolik kg propanu bude v balonu za 3 h; 5 h; 6,5 h?
b) Za jakou dobu se zmenší zásoba propanu o 0,6 kg; 1 kg; 1,5 kg?
2. Sestrojte grafy funkcí vyjadřujících závislost velikosti proudu I na napětí U podle Ohmova zákona pro odpory: R1 = 10 , R2 = 25 , R3 = 50 .
3. Na natření 10 metrů plotu se spotřebuje 4,5 kg barvy. Natěrač má zásobu 20 kg barvy. Napište rovnici popisující závislost množství zásoby barvy (y kg) na délce natřeného plotu (x m). Určete podmínku pro x.
![Page 28: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/28.jpg)
Příklady z praxe 4. Napište rovnici funkce vyjadřující závislost počtu vyrobených
součástek n na čase t (v hodinách) na pravidelně pracujícím automatu, který vyrobí za 8 hodin vždy 120 součástek.
5. Silnice stejnoměrně klesá. Určete graficky výšku bodu, který je vzdálen od místa A 15 km, má-li bod vzdálený od místa A 5 km výšku 150 m a bod vzdálený od místa A 9 km výšku 120 metrů.
6. Cisterna na naftu se má naplnit na 55 m3. Čerpadlo dodá do cisterny 3,5 m3 nafty za minutu. Před začátkem činnosti čerpadla bylo již 6 m3 nafty. Určete graficky, za jak dlouho se cisterna naplní.
7. Auto a motorka vyjíždějí z místa B po stejné trase tak, že nejprve vyjede auto průměrnou rychlostí 50 km/h a za dvě hodiny za ním motorka průměrnou rychlostí 70 km/h. Určete graficky, kdy a v jaké vzdálenosti od výchozího místa motorka auto dohoní.
![Page 29: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/29.jpg)
Příklady z praxe - řešení
Řešení:
1) m = - 0,2t + 1,8; m3 = 1,2 kg; m5 = 0,8 kg; m6,5 = 0,5
kg; 3 h, 5 h, 7,5 h
2) I = 0,1U; I = 0,04U; I = 0,02U
3) y = - 0,45x + 20; 0 m ≤ x ≤ 400/9 m
4) n = 15t
5) 75 m
6) y = 3,5x + 6
7) y1 = 50x + 100; y2 = 70x; 5 h; 350 km
![Page 30: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/30.jpg)
Funkce
Matematika – 9. ročník
![Page 31: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/31.jpg)
Funkce Co to vlastně je?
Funkce je vlastně jakýsi matematický stroj. Do funkce vložíte nějaký vstup (materiál) a funkce vrátí nějaký výstup (výrobek).
Úkolem matematické funkce je vzít jakýsi vstup (nějaké číslo), něco s tímto vstupem udělat, změnit ho a následně toto nové číslo vrátit na výstupu.
![Page 32: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/32.jpg)
Funkce Co to vlastně je?
Funkce vyjadřuje závislost dvou veličin.
Veličiny jejichž závislost popisují funkce bývají z oblasti fyziky, chemie, technických oborů, ale i biologie či matematické statistiky…
Závislost lze popsat rovnicí, tabulkou nebo grafem.
![Page 33: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/33.jpg)
Funkce Definice
Funkce je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřadí právě jedno číslo y z množiny H.
Funkci obvykle zapisujeme ve tvaru
y = f(x), x ∈ D
nebo
f: x → y, x ∈ D
(čteme: Prvku x množiny D je funkcí f přiřazeno reálné číslo y)
![Page 34: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/34.jpg)
Funkce Definiční obor a obor hodnot funkce
Definiční obor (značíme D(f)), je množina
všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x nabývat.
Obor hodnot (značíme H(f)) je poté množina všech přípustných y, tedy množina všech prvků, kam může ukazovat funkce f.
![Page 35: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/35.jpg)
Funkce Zadání
Funkce může být zadána:
Rovnicí y = 2x – 3, x ∈ D
Tabulkou
Grafem
t (h) 1 2 3 4 5 6
s (km) 5, 5 11,0 16,5 22,0 27,5 33,0
![Page 36: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/36.jpg)
Funkce Příklady
1. Zapište rovnici a sestavte tabulku závislosti dráhy s ujeté cyklistou za čas t,
je-li průměrná rychlost cyklisty v =18 𝑘𝑚
ℎ.
Pro t platí, že 𝒕 ∈ 1; 2; 3; 4; 5; 6 .
Rovnice: s = v · t => s = 18 · t
t (h) 1 2 3 4 5 6
s (km)Tabulka: 18 36 54 72 90 108
![Page 37: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/37.jpg)
Funkce Příklady
2. Zapište rovnici a sestavte tabulku závislosti hmotnosti m železného plechu při změně objemu
V, je-li průměrná hustota železa =7,8 𝑔
𝑐𝑚3 .
Pro V platí, že 𝑽 ∈ 10; 25; 40; 50; 75; 100 .
Rovnice: m = · V => m = 7,8 · V
Tabulka: V (cm3) 10 25 40 50 75 100
m (g) 78 195 312 390 585 780
![Page 38: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/38.jpg)
Funkce Příklady
3. Sestavte tabulku, do níž zapíšete deset hodnot funkcí: a) y = 2x – 1; 𝐷 ∈ 𝑅 b) y = x2 – 2; 𝐷 ∈ 𝑅
c) y = 2
𝑥; 𝐷 ∈ 𝑅 − 0 d) y = 𝑥; 𝐷 ∈ 𝑅 ≥ 0
x -3 -2 -1 0 1 2 3 5 7 10
y = 2x - 1 -7 -5 -3 -1 1 3 5 9 13 19
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 7
y = x2 - 2 14 7 2 -1 -2 -1 2 7 14 47
x -4 -3 -2 -1 -0,5 1 2 3 4 7
y = -0,5 -0,7 -1 -2 -4 2 1 0,7 0,5 0,3
x 0 1 2 3 4 5 7 9 16 25
y = √𝑥 0 1 1,4 1,7 2 2,2 2,6 3 4 5
![Page 39: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/39.jpg)
Funkce Graf
Grafem funkce y = f(x), x ∈ D nazýváme množinu všech bodů roviny, které mají souřadnice [x; y].
![Page 40: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/40.jpg)
Funkce Graf
4. Sestrojte graf funkce:
a) y = x + 2; 𝐷 ∈ 𝑅
b) y = x + 2; 𝐷 = − 2;−1; 0; 1; 2; 3
c) y = x + 2; 𝐷 = < −2; 3 >
![Page 41: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/41.jpg)
Funkce Graf
4. a) x -2 -1 0 1 2 3
y = x + 2 0 1 2 3 4 5
![Page 42: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/42.jpg)
Funkce Graf
4. b) x -2 -1 0 1 2 3
y = x + 2 0 1 2 3 4 5
![Page 43: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/43.jpg)
Funkce Graf
4. c) x -2 -1 0 1 2 3
y = x + 2 0 1 2 3 4 5
![Page 44: Funkce - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FUNKCE_LIN_2.pdf · 2015-01-12 · Funkce - definice • Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042709/5f4e4fb0ac7e030d603b8262/html5/thumbnails/44.jpg)
Funkce Příklady
5. Zjistěte, zda dané tabulky popisují funkce:
x 1 2 3 4 6 10
y -3 -1 1 3 7 15a)
b)
c)
x 1 1 3 4 4 5
y -4 -2 1 2 5 8
x -2 -1 0 1 3 5
y -4 -2 -2 2 5 5
je funkce
je funkce
není funkce – číslu 1
jsou přiřazeny dvě
různé hodnoty, stejně
tak číslu 4