Funktionen mehrerer Veränderlicher
Betrachtet werden Funktionen f : D → R mitDe�nitionsbereich D ⊂ Rn und Wertebereich R, d. h. man hatdie Funktionsgleichung
y = f (x) = f (x1, x2, ..., xn)
Beispiele: f (x , y) = 2x2 − x · y + y 2,
g(x , y , z) = xy − ez+x2 · sin y + 3z
Anwendungen
I Beschreibung dreidimensionaler Objekte wie Kugel,Zylinder, ...
I ortsabhängige physikalische Gröÿen wie Temperatur,Druck hängen von drei Ortsvariablen ab
mehrdim13.pdf, Seite 1
Darstellung
Der Graph {(x , y , z) ∈ R3 : z = f (x , y)} einer Funktionzweier Veränderlicher ist eine Fläche im dreidimensionalenRaum.
Alternativ ist eine Darstellung durch Höhenlinien möglich.mehrdim13.pdf, Seite 2
Höhenlinien der Funktion f (x , y) = sin(x2 + y 2) · cos x · sin ymehrdim13.pdf, Seite 3
Stetigkeit (bei 2 Variablen)
Die Funktion f (x , y) ist stetig an der Stelle (x0, y0) ∈ D ⊂ R2,wenn für Folgen (xn)→ x0 und (yn)→ y0 giltlimn→∞ f (xn, yn) = f (x0, y0).
Das heiÿt: Wenn sich (x , y) in der x , y�Ebene dem Punkt(x0, y0) annähert, so nähern sich die Funktionswerte f (x , y)dem Wert f (x0, y0) an.
Stetigkeit auf D
f (x , y) heiÿt stetig auf D, wenn f in jedem Punkt (x0, y0) ∈ Dstetig ist.
Anschaulich: Die Funktion f (x , y) ist stetig, wenn ihr Grapheine zusammenhängende Fläche ohne �Sprungstellen�, �Risse�etc. ist.
mehrdim13.pdf, Seite 4
Beispiel f (x , y) = x2 · sin yIst (x0, y0) ∈ R2 beliebig sowie (xn) und (yn) Folgen mitlim xn = x0 und lim yn = y0, so gilt nach den Rechenregeln fürGrenzwerte
limn→∞ f (xn, yn) = limn→∞(x2n · sin yn)
= (limn→∞ x2n ) · (limn→∞ sin yn)
= (limn→∞ xn)2 · sin(limn→∞ yn)
= x20 · sin y0 = f (x0, y0)
Also ist f an der Stelle (x0, y0) stetig. Da (x0, y0) beliebig war,ist f (x , y) auf D = R2 stetig.
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Eigenschaften stetiger Funktionen
Summen, Di�erenzen, Produkte und Quotienten (fallsNenner 6= 0) stetiger Fuktionen von D ⊂ Rn nach R sindwieder stetig, ebenso die Verkettung f ◦ g , wenn g : D → Rund f : R→ R stetig sind.
Damit gilt: Aus �Standardfunktionen� wie Polynomen,Wurzel-, Exponential-, Logarithmus- undSinus-/Cosinusfunktionen zusammengesetzte Funktionenmehrerer Variablen sind i. d. R. stetig.
Fall D ⊂ Rn mit n > 2
Stetigkeit für Funktionen mit n Variablen wird analog de�niert,z. B. im Fall n = 3 muss gelten
limn→∞ f (xn, yn, zn) = f (x0, y0, z0),
wenn xn → x0, yn → y0 und zn → z0,
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Partielle Ableitungen
einer Funktion f : D → R sind de�niert als Ableitungen nacheiner Variablen, wobei die übrigen Variablen als Konstantenbetrachtet werden:
∂f
∂xi= lim
∆x→0
f (x1, ..., xi−1, xi + ∆x , xi+1, ..., xn)− f (x1, ..., xi , ..., xn)
∆x,
falls der Grenzwert existiert.
Alternative Notation: fxi
Berechnung
Berechnet werden partielle Ableitungen fxi = ∂f∂xi
wieAbleitungen einer Funktion einer Variablen, indem alleVariabeln bis auf xi als Konstanten betrachtet werden.
Dabei können alle bekannten Ableitungsregeln benutzt werden.
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BeispieleI Für f (x , y) = 2x2−x · y + y 2 ist
fx = fx(x , y) = ∂f∂x
= ∂f∂x
(x , y) = 4x−y und
fy = fy (x , y) = ∂f∂y
= ∂f∂y
(x , y) = −x + 2y
I f (x , y , z) = ex2−y2 + 2xz · sin z − 3xyz + y
z· cos y
⇒ fx = fx(x , y , z) = 2x · ex2−y2 + 2z · sin z − 3yz ,
fy = −2y · ex2−y2 − 3xz + 1z· cos y − y
z· sin y und
fz = 2x · sin z + 2xz · cos z − 3xy − 1z2· y · cos y .
BemerkungDie partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen von nVariablen, was in der Notation fx(x , y) etc. zum Ausdruckgebracht wird.
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Der Gradient
einer Abbildung f : D → R ist der n�dimensionale Vektor, dersich aus den partiellen Ableitungen zusammensetzt:
grad f = ∇f =
(∂f
∂x1,∂f
∂x2, ...,
∂f
∂xn
),
oft auch als Spaltenvektor geschrieben.
BeispielFür f (x , y) = 2x2 − xy + y 2 ist
grad f (x , y) =(fx(x , y)fy (x , y)
)=(
4x − y−x + 2y
)bzw. für spezielle Werte von (x , y)
grad f (0; 0) =(
0
0
), grad f (0; 1) =
(−12
),
grad f (1; 0) =(
4
−1
)oder grad f (1; 2) =
(2
3
).
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Gradient geometrisch
Der Gradientenvektor zeigt immer in Richtung der gröÿtenSteigung, sein Betrag entspricht dem Betrag der Steigung.
Beispiel: Gradient von f (x , y) = cos x · cos y
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Linearisierung
Ähnlich wie bei der Tangente einer Funktion einer Variablenkann zu einer Funktion f (x , y) eine lineare Funktion T (x , y)bestimmt werden, deren Graph sich an einer vorgegebenenStelle (x0, y0) an den Graphen von f �anschmiegt�.
T (x , y) wird so gewählt, dass gilt T (x0, y0) = f (x0, y0),
Tx(x0, y0) = fx(x0, y0) und Ty (x0, y0) = fy (x0, y0),
d. h. an der Stelle (x0, y0) stimmen der Funktionswert undbeide partielle Ableitungen von f und T überein.
Im Fall (x0; y0) = (0; 0) erhält man
T (x , y) = f (0; 0) + fx(0; 0) · x + fy (0; 0) · y
= f (0; 0) +
⟨(fx(0; 0)fy (0; 0)
),(xy
)⟩= f (0; 0) +
⟨grad f (0; 0),
(xy
)⟩mehrdim13.pdf, Seite 11
Geometrisch
Der Graph der linearisierten Funktion T (x , y) ist eineTangentialebene am Graphen von f .
mehrdim13.pdf, Seite 12
Beispiel
Für f(xy
)= ey · sin x + (x − 1) · y ist
grad f(
xy
)=(
ey · cos x + y
ey · sin x + x − 1
)⇒ grad f
(0
0
)=(
1
−1
).
Die Tangentialebene an der Stelle(
xy
)=
(0
0
)ist damit
gegeben durch
T(xy
)= f
(0
0
)+
⟨(1
−1
),(xy
)⟩= 0 + x − y
Damit können Funktionswerte für (x , y) nahe (0, 0)näherungsweise bestimmt werden. Z. B. erhält man
f(
0, 2−0, 1
)≈ T
(0, 2−0, 1
)= 0, 2− (−0, 1) = 0, 3.
Der exakte Wert liegt bei 0,26.
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Entwicklungspunkt 6= 0
An der Stelle(x0y0
)erhält man die Tangentialebenedurch die Gleichung
T(xy
)
= f(x0y0
)+
⟨grad f
(x0y0
),(x − x0y − y0
)⟩
= f(x0y0
)+∂f
∂x
(x0y0
)·(x−x0)+
∂f
∂y
(x0y0
)·(y−y0)
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Beispiel
Die Tangentialebene an f(xy
)= 2x − 1
2(x2 + y 2) an der
Stelle(x0y0
)=(
1
1
)hat die Gleichung
T(xy
)= f
(1
1
)+ fx
(1
1
)· (x − 1) + fy
(1
1
)· (y − 1)
= 1 + (x − 1)− (y − 1) = 1 + x − y
Benutzt wurde dabei fx = ∂f∂x
= 2− x ⇒ fx
(1
1
)= 1
und fy = ∂f∂y
= −y ⇒ fy
(1
1
)= −1.
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Verallgemeinerung: Tangentialraum im Rn
Der Tangentialraum einer di�erenzierbaren Funktionf : D → R im Punkt x0 ∈ D mit D ⊂ Rn hat die Gleichung
T (x) = f (x0) + 〈grad f (x0), x − x0〉
Beispiel
f (x1, x2, x3, x4) = x1 · ex2 + x23 + x24 − 1 hat an der Stelle
(x1, x2, x3, x4) = (1; 0;−1; 1) den Tangentialraum
T (x) = T (x1, x2, x3, x4) = 2 +
⟨ 1
1
−22
,
x1 − 1
x2x3 + 1
x4 − 1
⟩
= 2 + x1 − 1 + x2 − 2(x3 + 1) + 2(x4 − 1)
mehrdim13.pdf, Seite 16
Totale Di�erenzierbarkeit
Die Existenz der partiellen Ableitungen garantiert noch nicht,dass die Tangentialebene T (x) die Funktion f (x) tatsächlichapproximiert.
Dazu muss f in x0 total di�erenzierbar sein:
De�nition
f : D → R heiÿt total di�erenzierbar im Punkt x0 ∈ D, wennin x0 alle partiellen Ableitungen fx1(x0), ..., fxn(x0) existierenund für den Tangentialraum T (x) gilt
|f (x)− T (x)| = o(‖x − x0‖)⇔ limx→x0
|f (x)− T (x)|‖x − x0‖
= 0.
Satz
Ist f auf D stetig partiell di�erenzierbar, d. h. die partiellenAbleitungen fx1 , ..., fxn existieren für alle x ∈ D und sind stetig,so ist f auf ganz D total di�erenzierbar.
mehrdim13.pdf, Seite 17
Bemerkung
Die Existenz der partiellen Ableitungen im Punkt x0 reichtnicht aus für totale Di�erenzierbarkeit. Wichtig ist, dass allepartiellen Ableitungen in einer Umgebung von x0 de�niert undstetig sind.
Beispiel f : R2 → R,
f (x , y) = sgn (x · y) =
1, falls x , y > 0 oder x , y < 00, falls x = 0 oder y = 0−1, falls x > 0 und y < 0 oder umgekehrt
Im Punkt (x0, y0) = (0, 0) ist f nicht stetig. Für festes y0 = 0gilt jedoch f (x , 0) ≡ 0, ebenso f (0, y) ≡ 0 für festes x0 = 0.
Daher existieren die partiellen Ableitungen ∂f∂x
(0, 0) = ∂f∂y
(0, 0) = 0.
Diese liefern jedoch keine lineare Approximation von f (x , y)�in der Nähe� von (0, 0).
mehrdim13.pdf, Seite 18
Beispiel f (x , y) = − 5
√x2 · y 2
Entlang beider Koordinatenachsen ist die Funktion konstant 0.Daher ist f an der Stelle (x0; y0) = (0; 0) partielldi�erenzierbar, wobei beide partiellen Ableitungen gleich 0sind. Die Tangentialebene liefert jedoch keine guteApproximation �in der Nähe�.
mehrdim13.pdf, Seite 19
Totales Di�erential
Mit ∆x = x − x0 ∈ Rn und ∆y = f (x)− f (x0) ∈ R gilt füreine total di�erenzierbare Funktion y = f (x) in der Nähe vonx0 mit dem Tangentialraum T (x)
∆y = f (x)− f (x0) ≈ T (x)− f (x0) = 〈grad f (x0),∆x〉
= fx1(x0) ·∆x1 + fx2(x0) ·∆x2 + ... + fxn(x0) ·∆xn
Mit ∆x → 0 erhält man als symbolischen Ausdruck das totaleDi�erential
dy = fx1dx1 + fx2dx2 + ... + fxndxn
Die partielle Ableitung fxi ist der Faktor, um den mulipliziertsich kleine Änderungen der Variable xi auf den Funktionswerty = f (x) auswirken.
mehrdim13.pdf, Seite 20
Beispiel
Die Funktion z = f (x , y) = x2 · sin y hat das totale Di�erential
dz = fx dx + fy dy = 2x · sin y dx + x2 · cos y dy
Interpretation im Beispiel
An der Stelle (x ; y) = (1; 0) hat eine kleine Änderung desx�Wertes um ∆x und des y�Wertes um ∆y eine Änderungdes z�Wertes um
∆z = 2x · sin y ·∆x + x2 · cos y ·∆y = 0 ·∆x + 1 ·∆y = ∆y
zur Folge. Mit ∆x = ∆y = 0, 1 erhält man dann z. B.
f (1, 1; 0, 1) ≈ f (1; 0) + 0, 1 = 0, 1.
Diese Rechnung beruht auf der Annäherung von f (x , y) an dieTangebtialebene an der Stelle (1; 0).Nichtlineare E�ekte bleiben dabei unberücksichtigt.
mehrdim13.pdf, Seite 21
Anwendung: Fehlerrechnung
Beispiel: Sei R = R(u, i) = uider elektrische Widerstand, der
als Funktion der zwei Variablen u und i betrachtet wird.
Gemessen wurde u = 110± 2 und i = 22± 0, 4, daraus wirdR = 110
22= 5 berechnet. Gefragt ist, wie sich Messfehler bei u
und i auf die Genauigkeit für R auswirken.
Dazu betrachtet man das totale Di�erential
dR =∂R
∂udu +
∂R
∂idi =
1idu − u
i2di
Bei den gemessenen Werten ist 1i
= 122
und − ui2
= − 522.
Damit hat ein Messfehler ∆u bei u eine Ungenauigkeit von≈ 1
22∆U für R zur Folge, ein Messfehler ∆i ergibt eine
Ungenauigkeit ≈ − 522
∆i für R .
mehrdim13.pdf, Seite 22
Fortsetzung Beispiel Fehler bei R = ui
Da für u und i jeweils Abweichungen nach unten und nachoben möglich sind, muss der maximale Gesamtfehler alsBetrag abgeschätzt werden:
|∆R | ≈∣∣∣∣ 122∆u − 5
22∆i
∣∣∣∣ ≤ 122|∆u|+ 5
22|∆i |
Mit |∆u| ≤ 2 und |∆i | ≤ 0, 4 erhält man somit
|∆R | ≤ 111
+ 111. d. h. die Messung liefert R = 5± 2
11.
Allgemeines Fehlerfortp�anzungsgesetz
Für y = f (x1, ..., xn) gilt für �kleine� ∆xi
|∆y | ≤∣∣∣∣ ∂f∂x1
∣∣∣∣ · |∆x1|+∣∣∣∣ ∂f∂x2
∣∣∣∣ · |∆x2|+ ... +
∣∣∣∣ ∂f∂xn∣∣∣∣ · |∆xn|
mehrdim13.pdf, Seite 23
Weiteres Beispiel
Der Radius r = 10 cm eines Zylinders wird mit einerGenauigkeit ∆r = ±0, 1 cm gemessen, die Höhe h = 20 cmmit einer Genauigkeit ∆h = ±0, 5 cm.
Für das Volumen V = V (r , h) = π · r 2 · h erhält man damiteine Genauigkeit (in cm3)
|∆V | ≤∣∣∂V∂r
∣∣ · |∆r | +∣∣∂V∂h
∣∣ · |∆h|= 2πr · h · |∆r |+ π · r 2 · |∆h|= 400π · 0, 1 + 100π · 0, 5 = 90π ≈ 283
Somit kann das Volumen V = 2000π ≈ 6283 cm3 mit einerGenauigkeit von ±283 cm3 berechnet werden.
mehrdim13.pdf, Seite 24
Richtungsableitung
Für einen Vektor v ∈ Rn und t ∈ R erhält man durchApproximation über die Tangentialebene in x0 fürx = x0 + t · v :f (x0 + t · v)− f (x0) ≈ T (x)− f (x0)
= 〈grad f (x0), t · v〉 = t · 〈grad f (x0), v〉Der Ausdruck ∂f
∂v(x0) = 〈grad f (x0), v〉 ist die
Richtungsableitung von f : D → R im Punkt x0 in Richtungdes Vektors v ∈ Rn.
Sie gibt die Steigung an, mit der sich die Funktionswerteändern, wenn sich x vom Punkt x0 in Richtung des Vektors vändert.
BemerkungDa der Vektor v i. d. R. nur eine Richtung anzeigen soll, ist esoft sinnvoll, ihn als Einheitsvektor zu wählen.
mehrdim13.pdf, Seite 25
BeispielMit f (x , y) = 2x − 1
2(x2 + y 2) ist grad f
(1
1
)=(
1
−1
).
Die Richtungsableitung in Richtung des Vektors v = 1√5
(2
1
)ist damit
∂f
∂v
(1
1
)=
⟨(1
−1
),1√5
(2
1
)⟩=
1√5
Mit v =(
1
0
)erhält man
∂f
∂v
(1
1
)=
⟨(1
−1
),(
1
0
)⟩= 1 =
∂f
∂x
(1
1
)
Allgemein ist die Richtungsableitung in Richtung des i�tenStandard�Einheitsvektors gleich der partiellen Ableitung nachder zugehörigen Variable xi (dies folgt unmittelbar aus derDe�nition).
mehrdim13.pdf, Seite 26
Vektorwertige Funktionen
Analog zu Funktionen f : D → R lassen sich auf D ⊂ Rn
Funktionen
f : D → Rm, f (x) =
f1(x1, ..., xn)f2(x1, ..., xn)
.
.
.
fm(x1, ..., xn)
betrachten.
Beispiele dafür sind lineare Abbildungen
f : Rn → Rm, f (x) = Ax mit einer n ×m�Matrix A.
mehrdim13.pdf, Seite 27
Bemerkung
Jede vektorwertige Funktion f : D → Rm setzt sich zusammenaus ihren Komponenten, den n skalarwertigen Funktionen
f1 : D → R, f2 : D → R, ..., fm : D → R.
f ist genau dann stetig, wenn alle Komponenten stetig sind.
Auch Ableitungen lassen sich für alle Komponenten getrenntbestimmen.
Beispiel
f(xy
)=(
4x − y2
2xy + 1
)ist eine stetige Funktion R2 → R2
mit den Komponenten
f1(x , y) = 4x − y 2 und f2(x , y) = 2xy + 1.
mehrdim13.pdf, Seite 28
Ableitung vektorwertiger Funktionen
Zu f : D → Rn können m · n partielle Ableitungen ∂fi∂xj
füri = 1, ...,m und j = 1, ..., n betrachtet werden.
Diese werden zusammengefasst in der Jacobi�Matrix
∂f
∂x=
∂f1∂x1
... ∂f1∂xn
.
.
....
∂fm∂x1
... ∂fm∂xn
Dabei ist die i�te Zeile der Jacobi�Matrix der Gradient deri�ten Komponente fi von f .
Beispiel
Die Jacobi�Matrix von
f (x , y) =
(4x − y2
2xy + 1
)ist
∂f
∂x=
(4 −2y2y 2x
)mehrdim13.pdf, Seite 29
Totale Ableitung
Sind alle partiellen Ableitungen stetig in x0, so gilt mit derJacobi�Matrix A = ∂f
∂x(x0)
f (x) = f (x0) + A(x − x0) + R(x) mit limx→x0
‖R(x)‖‖x − x0‖
= 0,
d. h. die Jacobi�Matrix liefert die Approximation von f in derNähe von x0 durch eine lineare Abbildung.
Beispiel
f (x , y) =
(4x − y2
2xy + 1
)mit (x0, y0) = (1; 1):
f (x , y) ≈ f (1; 1) + ∂f∂x
(1; 1) ·((
xy
)−(
1
1
))=
(3
3
)+
(4 −22 2
)((xy
)−(
1
1
))mehrdim13.pdf, Seite 30
Extremwerte für Funktionen f : D → RHat f in einem inneren Punkt des De�nitionsbereichs einrelatives (lokales) Maximum oder Minimum, so muss gelten
grad f = 0⇔ fx1 = fx2 = ... = fxn = 0
Beispiel f (x , y) = x2 − 3x + x · y + y 2
Es folgt
grad f = 0⇔{
2x + y = 3x + 2y = 0
⇔{
x = 2y = −1
Um festzustellen, ob es sich um ein Maximum, Minimum odereinen Sattelpunkt handelt, können die zweiten partiellen
Ableitungen betrachtet werden.
mehrdim13.pdf, Seite 31
Zweite partielle Ableitungen
Di�erenziert man die partielle Ableitung fxi nach xj , so erhältman die zweite partielle Ableitung
fxixj =∂2f
∂xi∂xj=∂fxi∂xj
Beispiel f (x , y) = x2 − 3x + x · y + y 2
Aus fx = ∂f∂x
= 2x − 3 + y und fy = ∂f∂y
= x + 2y folgt
fxx = ∂2f∂x2
= 2, fxy = ∂2f∂y∂x
= fyx = ∂2f∂x∂y
= 1
und fyy = ∂2f∂y2
= 2
Allgemein gilt fxixj = fxjxi , d. h. die Reihenfolge derDi�erenziation kann vertauscht werden.
mehrdim13.pdf, Seite 32
Hesse�Matrix
Die Hesse�Matrix Hf fasst die zweiten partiellen Ableitungenzusammen (d. h. Hf ist die Jacobi�Matrix des Gradienten):
Hf =∂2f
∂x2= (aij) =
(fxixj)ni ,j=1
Im Beispiel f (x , y) = x2 − 3x + x · y + y 2 ist
Hf =(
fxx fxyfyx fyy
)=(
2 1
1 2
)unabhängig von x und y .
Im Allgemeinen jedoch sind die Einträge der Hesse�MatrixFunktionen.
Die Hesse�Matrix ist immer symmetrisch, d. h. aji = aij .
mehrdim13.pdf, Seite 33
Kriterien für Maximum und Minimum
Ist grad f(x0y0
)= 0, so ist zu prüfen, ob Hf = Hf
(x0y0
)an der
Stelle(x0y0
)positiv de�nit, negativ de�nit oder inde�nit ist,
um zu entscheiden, ob ein Minimum, Maximum oder einSattelpunkt vorliegt.
I Sind alle Eigenwerte von Hf > 0 (Hf ist positiv de�nit),so liegt ein lokales Minimum vor.
I Sind alle Eigenwerte von Hf < 0 (Hf ist negativ de�nit),so liegt ein lokales Maximum vor.
I Hat Hf sowohl positive als auch negative Eigenwerte (Hf
ist inde�nit), so liegt weder ein Maximum noch einMinimum, sondern ein Sattelpunkt vor.
I Hat Hf den Eigenwert 0, so ist keine allgemeine Aussagemöglich.
mehrdim13.pdf, Seite 34
Spezialfall n = 2Bei einer Funktion f (x , y) mit zwei Veränderlichen kann wiefolgt vorgegangen werden:
Ist grad f (x0; y0) =(fx(x0; y0)fy (x0; y0)
)=(
0
0
), so kann die
Determinante der Hesse�Matrix
Hf = Hf (x0; y0) =(
fxx(x0; y0) fxy (x0; y0)fyx(x0; y0) fyy (x0; y0)
)bestimmt werden.
Dabei gilt:I Ist detHf = fxx · fyy − f 2xy < 0, so so hat f weder einMinimum noch ein Maximum, sondern einen Sattelpunkt.
I Ist detHf > 0 und fxx < 0, so hat f ein lokales Maximum.I Ist detHf > 0 und fxx > 0, so hat f ein lokales Minimum.I Ist detHf = 0, so lässt sich keine allgemeine Aussagemachen, ob ein Maximum, Minimum oder ein Sattelpunktvorliegt.
mehrdim13.pdf, Seite 35
Im Beispiel f (x , y) = x2 − 3x + x · y + y 2
war die einzige Nullstelle des Gradienten gegeben durch(x0; y0) = (2; −1).
Weiter ist
detHf (x0; y0) = det(
2 1
1 2
)= 2 · 2− 1 · 1 = 3 > 0
und fxx(x0; y0) = 2 > 0, also hat f in (x0; y0) = (2; −1) einlokales Minimum.
Bemerkung/WarnungDie obigen Kriterien für Maxima/Minima mit Hilfe derDeterminante sind nur für Funktionen mit zwei Variablenanwendbar. Im Fall n ≥ 3 müssen die Eigenwerte oder dieHauptminoren der Hesse�Matrix betrachtet werden.
mehrdim13.pdf, Seite 36
Weiteres Beispiel
Gesucht sind die relativen Extremstellen vonf (x , y) = sin x · cos y im Bereich 0 ≤ x , y < 2π.
Zunächst wird der Gradient berechnet:
grad f(xy
)=(
cos x · cos y− sin x · sin y
).
Damit der Gradient der Nullvektor ist, müssen zweiGleichungen erfüllt sein:
(1) cos x · cos y = 0⇔ x = π
2oder x = 3
2π oder y = π
2oder y = 3
2π,
(2) sin x · sin y = 0⇔ x = 0 oder x = π oder y = 0 oder y = π.
mehrdim13.pdf, Seite 37
Fortsetzung Beispiel f (x , y) = sin x · cos yEs gibt 8 Punkte, die beide Bedingungen erfüllen:(x1y1
)=(π/20
),(x2y2
)=(π/2π
),(x3y3
)=(
3π/20
),(
x4y4
)=(
3π/2π
),(x5y5
)=(
0
π/2
),(x6y6
)=(
0
3π/2
),(
x7y7
)=(
ππ/2
)und
(x8y8
)=(
π3π/2
).
Um festzustellen, welche dieser Nullstellen des GradientenMinima, welche Maxima und welche Sattelpunkte sind, mussdie Hesse�Matrix bestimmt werden:
Hf
(xy
)=(− sin x · cos y − cos x · sin y− cos x · sin y − sin x · cos y
)
mehrdim13.pdf, Seite 38
Fortsetzung Beispiel f (x , y) = sin x · cos yDie �Kandidaten� für Minima/Maxima in die Hesse�Matrixeingesetzt liefern:
Hf
(x1y1
)= Hf
(x4y4
)=(−1 0
0 −1
).
Hier ist die Determinante +1 > 0. Wegen fxx = −1 < 0 liegenlokale Maxima vor.
Hf
(x2y2
)= Hf
(x3y3
)=(
1 0
0 1
).
Hier ist die Determinante ebenfalls +1 > 0. Wegenfxx = +1 > 0 liegen lokale Minima vor.
Hf
(x5y5
)= Hf
(x8y8
)=(
0 −1−1 0
).
Hier ist die Determinante −1 < 0, also liegen Sattelpunkte vor.
Ein ähnliches Ergebnis erhält man für die beiden übrigenKandidaten (x6, y6) und (x7, y7).
mehrdim13.pdf, Seite 39
Quadratische Approximation
Die �mehrdimensionale Version� der quadratischenApproximationf (x + h) ≈ T2(x + h) = f (x) + f ′(x) · h + f ′′(x)
2· h2 erfolgt mit
Hilfe der durch die Hesse�Matrix A = Hf (x0) de�niertenquadratischen Form:
f (x + h) = f (x) + 〈grad f (x), h〉+12〈h,Ah〉+ R2(x + h),
wobei limh→0‖R2(x+h)‖‖h‖2 = 0.
mehrdim13.pdf, Seite 40
Im Beispiel f (x , y) = x2 − 3x + x · y + y 2
mit Entwicklungspunkt (x , y) = 0:
f (h1, h2) ≈
0 +
⟨(−30
),
(h1h2
)⟩+
12
⟨(h1h2
),
(2 1
1 2
)(h1h2
)⟩
= −3h1 + 12
⟨(h1h2
),(
2h1 + h2h1 + 2h2
)⟩= −3h1 + h21 + h1h2 + h22.
Hier stimmt f mit seiner quadratischen Approximationüberein, d. h. R2(h) ≡ 0. Dies liegt daran, dass f selbst einPolynom 2. Grades in (x , y) ist.
mehrdim13.pdf, Seite 41
Höhere partielle Ableitungen
Ähnlich wie 2. partielle Ableitungen könnnen durch mehrfachesDi�erentieren auch Ableitungen der Ordnung 3 und höherberechnet werden.
Beispiele
fxxx = ∂fxx∂x
, fxyz = ∂fxy∂z
, fxyzz = ∂fxyz∂z
, fxyxy = ∂fxyx∂y
Allgemein gilt:
Die Reihenfolge der Di�erenziation ist vertauschbar.
Zum Beispiel ist fxyz = fxzy = fyzx sowie fyxyx = fxxyy .
mehrdim13.pdf, Seite 42
Beispiel
f (x , y , z) = ex2−y2 + 2xz · sin z − 3xyz + y
z· cos y
Zu den 1. partiellen Ableitungen
fx = 2x · ex2−y2 + 2z · sin z − 3yz ,
fy = −2y · ex2−y2 − 3xz + 1z· cos y − y
z· sin y und
fz = 2x · sin z + 2xz · cos z − 3xy − 1z2· y · cos y .
siehe früheres Beispiel.
Weiter ist fxy = ∂fx∂y
= −4xyex2−y2 − 3z = ∂fy∂x
= fyx sowie
fxyz = ∂fxy∂z
= −3 = fyxz = fyxz = fyzx = fzxy = fzyx
Andere höhere partielle Ableitungen sind z. B.
fxyx = −4y(1 + 2x2)ex2−y2 = fyxx = fxxy und
fxyxy = −4(1− 2y 2)(1 + 2x2)ex2−y2
= fxxyy = fxyyx = fyyxx = fyxxy = fyxyxmehrdim13.pdf, Seite 43