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GAUSS- JORDAN
ALGEBRA LINEAL
ESTE ES UN METODO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3 A MAS INCOGNITAS. COMUNMENTE SON 3 (x, Y y z). EN GENERAL SE LLAMA METODO POR ELIMINACION DE GAUSS-
JORDAN.
PARA SABER COMO ES SU FORMULA, SERA REPRESENTADA A CONTINUACION:
PARA ECUACIONES DE 3 INCOGNITAS:
1 0 00 1 00 0 1
π₯π¦π§
PARA ECUACIONES DE 4 INCOGNITAS:
1 0 0 00 1 0 000
00
10
01
π€π₯π¦π§
Y TAMBIEN SE PUEDE HACER PARA ECUACIONES DE VARIAS INCOGNITAS, SIEMPRE Y CUANDO SEAN MAYORES DE 3. DONDE AL EMPEZAR Y ACOMODAR LOS COEFICIENTES DE LA ECUACION DEBE DE
QUEDAR DE LA SIGUENTE MANERA:
2π₯ + 3π¦ β π§ = 93π₯ β π¦ + π§ = 1π₯ + π¦ + π§ = 7
2 3 β13 β1 11 1 1
917
DANDO UNA ESTRUCTURA AL COLOCAR LOS COEFICIENTES DE CADA INCOGNITA Y SU RESULTADO DE CADA ECUACION.
5π₯ + 3π¦ β π§ = 22π₯ β π¦ + 10π§ = 9π₯ + π¦ β 2π§ = 5
5π₯ + 3π¦ β π§ = 22π₯ β π¦ + 10π§ = 9π₯ + π¦ β 2π§ = 5
5 3 β12 β1 101 1 β2
295
REALIZAREMOS UN INVERSO MULTIPLICATIVO AL PRIMER NUMERO DE LA MATRIZ PARA QUE NOS DE RESULTADO UNO, ES DECIR:
5 Γ1
5= 1
Y COMO TODA FILA SERA MULTIPLICADA POR 1/5 SE OBTIENE LO SIGUIENTE:
1
5..
5 3 β12 β1 101 1 β2
295=
13
5β
1
5
2 β1 101 1 β2
2
5
95
AHORA, PARA EMPEZAR A GENEREAR CEROS, BASTA SOLAMENTE REALIZAR UN INVERSO ADITIVO PARA LA 2da FILA Y 3ra FILA. ESTO SE HACE (PARA LA 2da FILA) MULTIPLICAR EL1 (QUE ESTA EN LA 1ra FILA) Y SUMAR O RESTAR (DEPENDIENDO DEL SIGNO) CON LA FILA SIGUIENTE (ARRIBA O ABAJO) HASTA ACOMPLETAR CREAR NUEVOS VALORES A CADA COLUMNA Y SIN
ALTERAR NADA LOS VALORES QUE ESTAN EN LA 1ra FILA.
β1 β2..
13
5β1
52 β1 101 1 β2
2
595
=
13
5β1
5
0 β11
5
52
5
02
5β9
5
2
541
523
5
SE REALIZARΓ NUEVAMENTE EL INVERSO MULTIPLICATIVO PARA LA 2da FILA (, ES DECIR:
β11
5ββββββββ β
5
11
_
β5
11_
13
5β
1
5
0 β11
5
52
5
02
5β
9
5
2
541
523
5
=
13
5β
1
5
0 1 β52
11
02
5β
9
5
2
5
β41
1123
5
Y REALIZAMOS UN INVERSO ADITIVO PARA LA TODOS LOS VALORES DE LA 1ra Y 3ra FILA PARA IRLOS CONVIRTIENDO EN CERO E IR DESCUBRIENDO NUEVOS VALORES PARA LOS RESTANTES, ES
DECIR:
.
β2
5β3
5.
13
5β1
5
0 1 β52
11
02
5β9
5
2
5
β41
1123
5
=
1 029
11
0 1 β52
11
0 01
11
29
11
β41
1167
11
CONTINUAREMOS CON EN INVERSO MULTIPLICATIVO PARA 59
9CON EL FIN DE OBTENER LA
UNIDAD
.
.11
1 029
11
0 1 β52
11
0 01
11
29
11
β41
1167
11
=
1 029
11
0 1 β52
11
0 0 11
29
11
β41
11
67
Y PARA FINALIZAR APLICAMOS EL INVERSO ADITIVO PARA LA 2da Y 1ra FILA DE LA MATRIZ PARA IR OBTENIENDO CEROS.
.
.
β29
11
52
11
1 029
11
0 1 β52
11
0 0 1
29
11
β41
11
67
=1 0 00 1 00 0 1
β17431367
DONDE SE OBTIENE LOS RESULTADOS SIGUIENTES DE LA 4ta COLUMNA:
π₯ = β174 π¦ = 313 π§ = 67
DONDE ESTOS RESULTADOS YA SON LOS VALORES DE LAS INCOGNITAS x, y y z.
AHORA PARA SABER SI ESTOS VALORES SON CORRECTOS, LOS PODEMOS COMPROBAR MEDIANTE LAS ECUACIONES DADAS EN EL EJERCICIO, ES DECIR:
1) 5π₯ + 3π¦ β π§ = 2
2) 2π₯ β π¦ + 10π§ = 9
3) π₯ + π¦ β 2π§ = 5
PRIMERO COMENZAREMOS CON LA 1ra ECUACION
1) 5π₯ + 3π¦ β π§ = 2
5 β174 + 3 313 β 67 = 2
β870 + 939 β 67 = 2
2 = 2
OBSERVAMOS QUE CONCUERDA BIEN NUESTRA COMPROBACION PERO AUN NO DEBEMOS DE CONFIAR. CONTINUAREMOS CON LA 2da ECUACION
2) 2π₯ β π¦ + 10π§ = 9
2 β174 β 313 + 10 67 = 9
β348 β 313 + 670 = 9
9 = 9
Y PARA SEGUIR COMPROBANDO, UTILIZAREMOS LA 3ra ECUACION
3) π₯ + π¦ β 2π§ = 5
β174 + 313 β 2 67 = 5
5 = 5
AHORA VEAMOS COMO PODEMOS RESOLVER EL SIGUIENTE EJEMPLO
2π₯ + 3π§ = 8π₯ + 9π¦ = β32π¦ + 9π§ = 1
2π₯ + 3π§ = 8
π₯ + 9π¦ = β3
2π¦ + 9π§ = 1
Y COMENZAMOS POR ACOMODAR LOS COEFICIENTES A LA MATRIZ QUE RESOLVEREMOS:
2 0 31 9 00 2 9
8β31
Y REALIZAREMOS LOS PASOS SIGUENTES:
1
2..
2 0 31 9 00 2 9
8β31
=1 0
3
2
1 9 00 2 9
4β31
COMO EN LA 3ra FILA DE LA 1ra COLUMNA YA TIENE CERO SOLO NOS ENCARGAREMOS EL NUMERO DE LA 2da FILA DE LA 1ra COLUMNA REALIZANDO EL INVERSO ADITIVO, ES DECIR:
β1..
1 03
2
1 9 00 2 9
4β31
=
1 03
2
0 9 β3
2
0 2 9
4β71
AHORA NOS ENCARGAREMOS DEL 9 Y LO HAREMOS MULTIPLCANDO EL INVERSO
MULTIPLICATIVO ES DECIR DE 9 A 1
9:
.1
9.
1 03
2
0 9 β3
2
0 2 9
4β71
=
1 03
2
0 1 β1
6
0 2 9
4
β7
9
1
OBSERVAMOS QUE YA HAY UN CERO EN LA 2da COLUMNA DE LA 1ra FILA, ASI QUE, NOS FALTA CONVERTIR EL CERO DE LA 2da COLUMNA DE LA 3ra FILA UTILIZANDO EL INVERSO ADITIVO, ES
DECIR:
.β2.
1 03
2
0 1 β1
6
0 2 9
4
β7
9
1
=
1 03
2
0 1 β1
6
0 028
3
4
β7
923
9
Y COMVERTIREMOS EN LA UNIDAD EL ULTIMO NUMERO QUE ESTA EN LA 3ra FILA Y COLUMNA UTILIZANDO EL INVERSO MULTIPLICATIVO, ES DECIR:
.
.3
28
1 03
2
0 1 β1
6
0 028
3
4
β7
923
9
=
1 03
2
0 1 β1
6
0 0 1
4
β7
923
84
PARA FINALIZAR, CONVERTIREMOS EN CEROS LA 3ra COLUMNA DE LA 1ra y 2da FILA, ES DECIR:
.
.
β3
2
1
6
1 03
2
0 1 β1
6
0 0 1
4
β7
923
84
=1 0 00 1 00 0 1
201
56
β41
5623
84
Y POR LO TANTO LOS VALORES DE CADA VARIABLE SON:
π₯ =201
56π¦ = β
41
56π§ =
23
84
A CONTINUACION SE REALIZARA LA COMPROBACION PARA SABER SI ESTOS VALORES DE CADA VARIABLE SON CORRECTOS.
2π₯ + 3π§ = 8
2201
56+ 3
23
84= 8
402
56+
69
84= 8
33768+3864
4704= 8
37632
4704= 8
8 = 8
π₯ + 9π¦ = β3
201
56+ 9 β
41
56= β3
201
56β
369
56= β3
201β369
56= β3
β168
56= β3
β3 = β3
2π¦ + 9π§ = 1
2 β41
56+ 9
23
84= 1
β82
56+
207
84= 1
β6888+11592
4704= 1
4704
4704= 1
1 = 1
ESTAS 3 ECUACIONES CONCUERDAN (IGUAL QUE EL EJEMPLO ANTERIOR), ESTO QUIERE DECIR QUE LOS VALORES DE X, Y y Z SON CORRECTOS. RECUERDEN QUE AL MOMENTO DE COMPROBAR
UNA ECUACION Y CONCUERDA, NO HAY QUE CONFIARNOS SOLAMENTE EN 1 PORQUE NO SABEMOS SI LAS OTRAS ECUACIONES RESTANTES CONCUERDEN CON EL RESULTADO
ESTABLECIDO. ES RECOMENDABLE QUE SI QUIERES COMPROBAR TUS VALORES DE LAS VARIABLES, TIENES QUE HACERLOS A TODAS LAS ECUACIONES NO SOLAMENTE 1 Y SI TIENES
VALORES FRACCIONARIOS SERA CON MUCHA MAS RAZON, COMO EN EL CASO DEL 2do EJEMPLO.
BIBLIOGRAFIAS
Larson, Edwards, βINTRODUCCION AL ΓLGEBRA LINEALβ, 2006, Editorial LIMUSA, MΓ©xico, 752 PΓ‘gs.