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Geometria AnalíticaProf. M.Sc. Guilherme Schünemann
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Ponto de partida
• Um ponto é a unidade básica de toda a geometria analítica. A partir dele, definem-se retas, segmentos, vetores, planos, etc.
• Reta – definida por dois pontos
. .
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Reta e segmento orientados
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Tipos de segmentos
• Segmento nulo – sua extremidade coincide com sua origem
• Segmento oposto – se AB é um segmento orientado, o segmento BA é oposto de AB
• Segmentos equipolentes – dois segmentos orientados são equipolentes quando tem a mesma direção, o mesmo sentidoe o mesmo comprimento
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Direção, sentido e comprimento• Direção – dois segmentos tem a mesma direção se suas retas suporte são
paralelas
• Sentido – diz respeito à orientação de um segmento. Dois segmentos podem ter a mesma direção mas não necessariamente o mesmo sentido!
• Comprimento – número de unidades de comprimento associado a um segmento orientado. Este número descreve seu tamanho ou módulo
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Propriedades da equipolência
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Vetores
• Um vetor 𝐴𝐵 é determinado por uma infinidade de segmentos orientados equipolentes, chamados representantes desse vetor.
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Propriedades de vetores• Um vetor é definido por seu módulo, direção e sentido
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Propriedades de vetores
• Apenas 𝑢1 é um versor de 𝑣
• Ex1 – Se 𝑣 = 5,
qual seu versor?
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Propriedades de vetores
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Propriedades de vetores
• Podemos afirmar que dois vetores serão sempre coplanares?
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Propriedades de vetores• Exercício – Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas
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Propriedades de vetores• Exercício – Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas
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Operações com vetores
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Operações com vetores
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Operações com vetores
𝑢 − 𝑣 = 𝑣 − 𝑢?
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Operações com vetores
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Operações com vetores
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Operações com vetores
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Operações com vetores
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Ângulos entre vetores
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Ângulos entre vetores
• Ex4 – Determine a direção e o sentido dos vetores (desenhe) u e v da figura nos seguintes casos:• 𝜃 = 90º
• 𝜃 = 𝜋 (180º)
• 𝜃 = 0º
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Exercícios
• Exercícios para estudo:
• Steinbruch, Winterle. Geometria analítica: capítulo 1, problemas propostos 1 e 2
• Winterle. Vetores e Geometria analítica: capítulo 1, problemas propostos 1, 2, 10 e 13
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Decomposição de um vetor no plano
• Qualquer vetor 𝑥 pode ser representado por outros dois vetores coplanares a ele, 𝑢 e 𝑣
• Só existe uma dupla de números reais 𝑎1 e 𝑎2 tal que:
𝑥 = 𝑎1 𝑣 + 𝑎2𝑢
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Decomposição de um vetor no plano
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Base ortonormal e base canônica
• 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 diz-se que v é uma combinação linear de v1 e v2
• O conjunto 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2} é denominado base do plano
• Se os vetores que formam uma base são ortogonais e unitários, essa base é chamada ortonormal
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Base ortonormal e base canônica
• A base que determina o plano cartesiano, com vetores ortogonais unitários i e j, com origem em zero é chamada de base canônica
• 𝑖 = 1,0 ; 𝑗 = (0,1)
• Qualquer vetor pode ser escrito como:
• 𝑣 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗
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Base ortonormal e base canônica
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• Exemplo 1: quais os valores de x e y para que o vetor u = (x+1, 4) seja igual ao vetor v = (5, 2y-6)?
• Exemplo 2: Dados os mesmos vetores do exemplo anterior, determine: 3u+2v; -2u+v
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Propriedades de vetores
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• Quiz: como podemos representar o ponto médio de
um vetor?
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• Exercício: dados os pontos: P(1,2,4), Q(2,3,2), R(2,1,-1), determine as coordenadas do ponto S, tal que P, Q, R E S sejam vértices de um paralelogramo.
• Resposta: S(1,0,1)
• Exercícios para estudo: Steinbruch, Winterle, GA. Capítulo 2, problemas propostos: 2, 3, 10, 11
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Aplicações do produto vetorial
O produto vetorial ocorre na fórmula do operador vetorial rotacional. É também utilizado para descrever a Força de Lorentz experimentada por uma carga elétrica movendo-se em um campo magnético. As definições de torque e momento angular também envolvem produto vetorial.
O produto vetorial pode também ser utilizado para calcular a normal de um triângulo ou outro polígono, o que é importante no ramo da computação gráfica e do desenvolvimento de jogos eletrônicos, para permitir efeitos que simulam iluminação e assim obter gráficos mais realistas.
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Exercícios para estudo:
Steinbruch e Winterle, Geometria analítica. Capítulo 3, problemas propostos: 1, 7, 15, 16, 18, 34, 40 e 42