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11. IntroduoGeometria Descritiva
2006/2007
Geometria DescritivaPrograma
1. Introduo 2. Projeces
2.1 Sistemas de projeco plana 2.2 Propriedades das projeces cnicas e
cilndricas 2.3 Mtodos de representao plana
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2Geometria DescritivaPrograma
3. Mtodo da dupla projeco ortogonal(Mtodo de Monge) 3.1 Nomenclatura e convenes 3.2 Representao do ponto 3.3 Representao da recta 3.4 Representao do plano 3.5 Posies relativas
3.5.1 Paralelismo 3.5.2 Perpendicularidade
3.6 Interseco de rectas e planos 3.7 Mtodos auxiliares 3.8 Problemas mtricos
Geometria DescritivaPrograma
4. Estudo das superfcies e dos slidosgeomtricos 4.1 Classificao das superfcies e dos slidos
geomtricos 4.2 Representao das superfcies geomtricas
utilizando o mtodo da dupla projeco ortogonal 4.3 Seces planas de superfcies e slidos 4.4 Interseco de rectas com slidos 4.5 Sombras de slidos geomtricos
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3Geometria DescritivaPrograma
1. Introduo
2. Projeces
2.1. Sistemas de projeco plana
2.2. Propriedades das projeces cnicas e cilndricas
2.3. Mtodos de representao plana
3. Mtodo da dupla projeco ortogonal (Mtodo de Monge)
3.1. Nomenclatura e convenes
3.2. Representao do ponto
3.3. Representao da recta
3.4. Representao do plano
3.5. Posies relativas
3.6. Interseco de rectas e planos
3.7. Mtodos auxiliares
3.8. Problemas mtricos
4. Estudo das superfcies e dos slidos geomtricos
4.1. Classificao das superfcies e dos slidos geomtricos
4.2. Representao das superfcies geomtricas utilizando o mtodo de Monge
4.3. Seces planas de superfcies e slidos
4.4 Interseco de rectas com slidos
4.5. Sombras de slidos geomtricos
Geometria Descritiva
Cincia que estuda os mtodos de representao rigorosa de figuras tridimensionais num plano
Permite resolver no plano problemas de geometria em que se consideram trs dimenses
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4Resenha histrica Euclides (300 a.C.): algumas regras da
prespectiva Vitrvio (I a.C.): Cortes horizontais e verticais de
edifcios Leonardo da Vinci (XV): estudos para a
representao plana de objectos tridimensionais Gaspard Monge (XVIII): Geometria Descritiva
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82. ProjecesGeometria Descritiva
2005/2006
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9Sistemas de projeco Uma projeco fica definida pelos seguintes
elementos: Superfcie de projeco
Superfcie, normalmente plana (sistema de projeco plana), onde se forma a imagem (projeco) da figura do espao.
Origem de projeco ponto do espao, exterior superfcie de projeco, onde
concorrem todas as linhas projectantes. Linha projectante
recta que, passando pela origem de projeco e por um ponto da figura do espao, intersecta a superfcie de projeco segundo um ponto, que a imagem do referido ponto da figura.
Projeco
A
B
C
A1
B1
C1
O (Origem da projeco)
Superfcie de projeco
Pontos objecto
Linha projectante
Projeco de A sobre o plano
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Tipos de projeco Projeco central ou cnica
A origem de projeco est situada a uma distncia finita
As rectas projectantes so concorrentes Projeco paralela ou cilndrica
A origem de projeco est situada a uma distncia infinita
As linhas projectantes so paralelas
Tipos de projeco Projeco central ou cnica
A
B
C
A1
B1
C1
O (Origem da projeco)
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Tipos de projeco Projeco paralela ou cilndrica
Oblqua As linhas projectantes so oblquas ao plano de
projeco Ortogonal
As linhas projectantes so perpendiculares (ou ortogonais) ao plano de projeco
Tipos de projeco Projeco paralela ou cilndrica
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
Projeco paralela ou
cilndrica ortogonal
Projeco paralela ou
cilndrica oblqua
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Tipos de projeco - Propriedades Projeco central ou cnica
Em geral, no mantm o paralelismo de rectas Excepo: mantm o paralelismo de rectas paralelas ao plano
de projeco Em geral, no mantm a perpendicularidade de rectas
Excepo: mantm a perpendicularidade de rectas paralelas ao plano de projeco
Em geral, os segmentos no so representados na sua verdadeira grandeza
A projeco de uma circunferncia no , geralmente uma circunferncia, mas sim uma elipse A projeco de uma circunferncia apenas ser uma
circunferncia se esta for paralela ao plano de projeco.
Tipos de projeco - Propriedades Projeco central ou cnica
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Tipos de projeco - PropriedadesProjeco paralela ou cilndrica
Mantm o paralelismo de rectas Em geral, no mantm a perpendicularidade de rectas
Excepes: A projeco paralela ortogonal mantm a perpendicularidade quando uma das
rectas for paralela ao plano de projeco A projeco paralela oblqua mantm a perpendicularidade quando ambas as
rectas forem paralelas ao plano de projeco Em geral, os segmentos no so representados na sua verdadeira
grandeza Excepo: Um segmento paralelo ao plano de projeco representado
em verdadeira grandeza A projeco de uma circunferncia no , geralmente uma
circunferncia, mas sim uma elipse A projeco de uma circunferncia apenas ser uma circunferncia se
esta for paralela ao plano de projeco.
Mtodos de representao plana
Num sistema de projeco plana (O,) A cada ponto corresponde uma s projeco Mas o inverso no verdadeiro
A cada ponto projeco corresponde uma infinidade de pontos pertencentes mesma recta projectante
Se considerarmos uma figura tridimensional, a projeco no define a posio, a grandeza nem a forma do objecto.
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Mtodos de representao plana
A
B
C
A1
B1
C1
G
D
E
H
I
F
LK
J Uma projeco no traduz univocamente o objecto projectado
Mtodos de representao plana Mtodo das projeces estereoscpicas Consiste em adoptar dois sistemas de
projeco com um plano comum de projeco. Por exemplo:
Uma projeco cnica e uma projeco cilndrica ortogonal (usada na Perspectiva Central, Cnica ou Rigorosa)
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Mtodos de representao plana Mtodo das projeces estereoscpicas
A B
A1 B1
A1 B1
OO
Mtodos de representao plana Mtodo das projeces cotadas Os objectos so representados por uma
s projeco ortogonal num plano de projeco, sendo acompanhados da distncia do ponto sua projeco (cota). A cota pode ser positiva ou negativa
consoante o ponto se situa num dos semi-planos em que o plano de projeco divide o espao.
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Mtodos de representao plana Mtodo das projeces cotadas
A
B
A1(3)B1 (2)
C
C1 (-1,5)
112126
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Mtodos de representao plana Mtodo da dupla projeco ortogonal Utilizam-se simultaneamente dois
sistemas de projeco paralela ortogonal Se os planos de projeco escolhidos
forem perpendiculares (mtodo mais usual) este mtodo designado por mtodo de Monge ou geometria de Monge
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Mtodos de representao plana Mtodo da dupla projeco ortogonal
A
A1
Eixo X
Linha de terra
0
A2
0
X
z
y
y ordenada ou afastamento
Plano horizontal (0 )
Plano frontal (0 )
z cota ou altura
A1 Projeco horizontal
A2 Projeco frontal
Mtodos de representao plana Mtodo da mltipla projeco ortogonal
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Mtodos de representao plana Mtodo da mltipla projeco ortogonal
a) Alado principal
b) Planta
c) Alado lateral esquerdo
d) Alado lateral direito
e) Alado posterior
f) Vista superior
Mtodos de representao plana Axonometria
O objecto a projectar considerado solidrio a um sistema de trs eixos coordenados ortogonais;
Faz-se a projeco desses elementos, associados aos eixos, sobre um nico plano.
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Mtodos de representao plana e Desenhos
Mtodo de
representao Desenhos
Mtodo da mltipla
projeco ortogonal Desenho de vistas
Projeco cilndrica Perspectivas rpidas /
Axonometria
Perspectiva Anisomtrica
Perspectiva Dimtrica
Perspectiva Isomtrica
Perspectiva Cavaleira
Perspectiva Area
Perspectiva Militar
Projeco cnica Perspectiva rigorosa
Geometria Cotada Desenho topogrfico