Géométrie analytique
équations d’une droite :
- forme fonctionnelle (canonique) : y = mx + b
- forme symétrique : x
a+ y
= 1b
- forme générale : Ax + By + C = 0
Une droite ( un segment ) peut être représentée par plusieurs formes d’équations.
La forme fonctionnelle :
Elle utilise la pente et l’ordonnée à l’origine.
La forme symétrique :x
+y
a b= 1
Elle utilise les coordonnées à l’origine.
La forme générale : Ax + By + C = 0
C’est l’écriture géométrique d’une droite. Elle utilise la notion de vecteurs;
y = mx + b
les paramètres représentent des variations.
P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
m = x1x2 -
y1y2 - =
02 -
15 - =
2
4 = 2
Cette forme d’équation peut se déterminer en 2 étapes.
1 ) Déterminer la pente :
2 ) Déterminer l’ordonnée à l’origine en
utilisant la forme théorique de la
droite, la pente et un point :
y = mx + b
y = 2x + b avec le point ( 2 , 5 )
5 = 2 X 2 + b
5 = 4 + b
1 = b
donc y = 2x + 1
Forme fonctionnelle: y = mx + b
Tout segment d’une droite a la même pente.
Cette propriété nous permet de trouver une nouvelle formule pour déterminer l’équation d’une droite.
P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6Plaçons un point quelconque et notons-le P .
P ( x , y )
La pente entre le point P et le point P1 peut se calculer comme suit :
m = x1x -
y1y -
La pente entre le point P2 et le point P1 peut se calculer comme suit :
m = x1x2 -
y1y2 -
Tout segment d’une droite a la même pente.
x1x -
y1y - =
x1x2 -
y1y2 -donc
en remplaçant par les valeurs numériques, nous obtenons :
0x -
1y - =
02 -
15 -
0x -
1y - =
2
4
P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
P ( x , y )
2 ( y – 1 ) = 4 ( x – 0 )
2 y – 2 = 4 x
2 y = 4 x + 2
y = 2 x + 1
P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 )
P1 ( 0 , 1 ) P2 ( 2 , 5 )
Remarques :
La forme fonctionnelle est la forme que l’on connaît le mieux.
C’est la forme utilisée pour exprimer une fonction car elle est exprimée en fonction de x .
C’est la forme la plus facile à utiliser pour tracer une courbe dans le plan cartésien surtout avec une calculatrice à affichage graphique ou une table de valeurs.
Elle ne permet pas d’exprimer toutes les droites.
Exemple:
P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
y
1 2 3 4
1
2
3
4
Un segment vertical a une pente indéterminée donc on ne peut pas déterminer son équation par la forme fonctionnelle.
Dans cette forme, y est isolé.
Dans la forme fonctionnelle : y = mx + b
La pente est donnée par m.
L’ordonnée à l’origine est donnée par b.
L’abscisse à l’origine est donnée par- b
m
Démonstration :
On sait que l’abscisse à l’origine est la valeur de x quand y = 0 .
donc y = mx + b
0 = mx + b
- b = mx
- b
m= x
Forme symétrique :x
+y
a b= 1
P1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
x
y
P ( x , y )
( 0 , b )
( a , 0 )
Elle est obtenue en utilisant les coordonnées à l’origine.
x1x -
y1y - =
x1x2 -
y1y2 -
0x -
by - =
0 a -
b 0 -
y - b
x=
- b
a
a ( y - b ) = - bx
ay - ab = - bx
bx + ay = ab
bx + ay = ab
ab ab ab
+x
a
y
b= 1
bx + ay = ab
ab ab ab
P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 )
P1 ( 0 , b ) P2 ( a , 0 )
Remarques :
Dans cette forme, l’équation est égale à 1 .
Dans cette forme :
b est l’ordonnée à l’origine.
a est l’abscisse à l’origine;
Exemple :x
+y
6 5= 1
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
Elle permet donc de tracer très rapidement la droite dans le plan cartésien.
Les coefficients aux numérateurs sont positifs.
x+
-y
3 2= 1Exemple : n’est pas encore la forme symétrique, car le
numérateur de y est négatif.
Il faut rendre ce numérateur positif en descendant le signe négatif au dénominateur.
x+
y
3 -2= 1 la courbe ainsi obtenue sera :
y
x1
1
Démonstration :
Créons un terme équivalent à :-y
2
-y
2÷
÷
-1
-1=
y
-2
Remarque : Normalement, dans une fraction, le dénominateur n’est jamais négatif.
3
-5J’ai mangé 3 morceaux d’une tarte découpée en – 5 morceaux ???????
Il est plus normal de voir un numérateur négatif.
-3
5Il manque 3 morceaux de la tarte que j’avais découpé en 5 morceaux.
Dans le cas de la forme symétrique, un dénominateur négatif est très significatif.
Exemple:
x+
y
3 2= 1
Traçons la courbe de :
x+
y
3 -2= 1
x+
y
-3 2= 1
x+
y
-3 -2= 1
y
x1
1
Dans la forme symétrique : - les coefficients de x et y doivent être positifs.
- les dénominateurs peuvent être négatifs.
Les droites horizontales car il n’y a pas
d’abscisse à l’origine.
La forme symétrique ne permet pas de représenter :
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6Les droites verticales car il n’y a pas
d’ordonnée à l’origine.
Les droites passant pas l’origine car les termes sont indéterminés.
x+
y
0 0= ?
Dans la forme symétrique :
x+
y
a b= 1
L’ordonnée à l’origine est donnée par b.
L’abscisse à l’origine est donnée par a.
La pente est donnée par - b
a
Démonstration :
Prenons la forme symétrique, ramenons-la sous la forme fonctionnelle et isolons y.
bx + ay = ab
ab ab ab
bx + ay = ab
ay = - bx + ab
aa a
y = - bx + b
a
x+
y
a b= 1
Forme générale : Ax + By + C = 0
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
P1(x1 , y1)
P2(x2 , y2)
P(x , y)a
b
Elle est obtenue en utilisant la formule suivante :
x1x -
y1y - =
x1x2 -
y1y2 -
On peut représenter
La formule devient doncx1x -
y1y - =
∆ y
∆ x
y2 – y1 par ∆ y
x2 – x1 par ∆ x et
Développons :
y1 )( y -x1 )( x - = ∆ x∆ y
∆yx - ∆yx1 = ∆xy - ∆xy1
Ramenons l’équation à zéro : ∆yx - ∆yx1 - ∆xy + ∆xy1 = 0
x1x -
y1y - =
∆ y
∆ x
Associons les termes dont on ne connaît pas les coordonnées :
∆yx - ∆xy + ∆xy1 - ∆yx1 = 0
Remplaçons les variations par
des paramètres plus simples :Ax + By + C = 0
Les paramètres A et B ne correspondent pas aux paramètres a et b des formes fonctionnelle et symétrique. Pour les distinguer, on les écrit en lettres majuscules.
Remarques :
Dans la forme générale d’une droite, les paramètres A , B et C représentent des variations.
L’équation est égale à zéro.
C’est la seule forme pouvant représenter toutes les droites du plan cartésien.
Il n’est pas facile de tracer la courbe d’une droite représentée sous la forme générale.
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
C’est la seule forme pouvant représenter toutes les droites du plan cartésien.
∆yx - ∆xy + ∆xy1 - ∆yx1 = 0
Ax + By + C = 0
Pour une droite horizontale :
0x + By + C = 0 By + C = 0
Pour une droite verticale :
Ax + 0y + C = 0 Ax + C = 0
Pour une droite passant pas l’origine ( 0 , 0 ) :
∆y = 0
∆x = 0
∆xy1 - ∆yx1
∆x0 - ∆y0 = 0
Ax + By + 0 = 0 Ax + By = 0
Dans la forme générale :
L’abscisse à l’origine est donnée par
Ax + By + C = 0
- C
A
Démonstration :
L’abscisse à l’origine est la valeur de x quand y = 0 ;
Ax + By + C = 0
Ax + B X 0 + C = 0
Ax + C = 0
Ax = - C
x =- C
A
Dans la forme générale :
L’ordonnée à l’origine est donnée par
Ax + By + C = 0
- C
B
Démonstration :
L’ordonnée à l’origine est la valeur de y quand x = 0 ;
Ax + By + C = 0
A X 0 + By + C = 0
By + C = 0
By = - C
y =- C
B
Dans la forme générale : Ax + By + C = 0
Démonstration :
La pente est donnée par- A
B
Ax + By + C = 0
Prenons la forme générale, ramenons-la sous la forme fonctionnelle et isolons y.
By = - Ax - C
B BB
y = - Ax - C
BB
Passer d’une forme à l’autre.
Démarche :
Faire disparaître les coefficients fractionnaires ( s’il y en a ), en créant une équation équivalente.
Pour obtenir : la forme fonctionnelle, on isole y .
la forme générale, on ramène l’équation égale à 0 .
la forme symétrique, on isole le terme constant et on ramène l’équation égale à 1 .
y = mx + b
Ax + By + C = 0
x+
y
a b= 1
Exemples
x+
y
5 2= 1
Donne la forme générale et la forme fonctionnelle de l’équation suivante:
Créons une équation équivalente sans dénominateur :
2x+
5y
10 10=
10
10
2x + 5y = 10
1) On transforme, en premier, chaque membre de l’équation en les écrivant
tous sur le même dénominateur.
2) On supprime, en deuxième, le dénominateur de chaque côté de l’équation.
x+
y
5 2= 1 2x + 5y = 10
Forme générale :
2x + 5y - 10 = 0
Forme fonctionnelle :
2x + 5y - 10 = 0
5y = -2x + 10
y = -2x + 2
5
ramener l’équation égale à 0.
ramener l’équation égale à y.
5 55
2x + 5y = 10
Donne la forme générale et la forme symétrique de l’équation suivante:
y = - 2x + 4
Forme générale : ramener l’équation égale à 0.
2x + y - 4 = 0
Forme symétrique:
- ramener l’équation égale au terme constant:
2x + y = 4
- diviser chaque membre de l’équation afin d’obtenir un terme constant égale à 1 :
2x + y = 44 4 4
- simplifier : x+
y
2 4= 1
Remarque:
Donne la forme symétrique de l’équation suivante: y = - 4x + 14
Forme symétrique: 4x + y = 14 4x + y = 14
14 14 14
2x + y
7 14= 1
ce n’est pas encore la forme symétrique
car le numérateur de x ≠ 1 .
Créons un terme équivalent à :2x
7
2x
7÷
÷
2
2=
x
7
2
yx
7/2+
14= 1
L’abscisse à l’origine est donc l’inverse du coefficient de x .
2x
7 7/2
x
=x
7 ÷ 2
Une division est une fraction.
Donne la forme générale et la forme fonctionnelle de l’équation suivante :
yx5/3
+ = 1- 1/2
Il faut, en premier, transformer les termes contenant les variables.
y=
- 1/2
x5/3
=
Une fraction est une division.
x ÷
53
= x X 35
= 3x5
On multiplie par l’inverse.
y ÷ -12
=y X 2
-1=
y X 21
=- -2y
Donne la forme générale et la forme fonctionnelle de l’équation suivante :
yx
5/3+ = 1
- 1/2
Forme générale :
3x
5
- 2y
1= 1+ -3x
52y = 1
-3x
5
10y = 5
5 53x - 10y = 5
3x - 10y - 5 = 0
Forme fonctionnelle : -10y = -3 x + 5
-10y = - 3x + 5
-10 -10 -10
y = 3x - 110 2
y = mx + b
Ax + By + C = 0
x+
y
a b= 1
- b
mm b
- b
aa b
- C
A
- C
B
- A
B
En résumé
Forme fonctionnelle :
Forme générale :
Forme symétrique :
Pente Abscisse à l’origine
Ordonnée à l’origine
Remarques: Pour trouver la pente sous n’importe quelle forme, retiens la première colonne
Pour déterminer l’abscisse à l’origine et l’ordonnée à l’origine sous n’importe quelle forme, retiens leur définition.
- abscisse à l’origine : valeur de x quand y = 0 .
- ordonnée à l’origine : valeur de y quand x = 0 .
ou ramène l’équation sous la forme fonctionnelle.
La pente, l’ordonnée à l’origine et l’abscisse à l’origine sont trois informations importantes en géométrie analytique.
Exemples: pente : m =
abscisse à l’origine : valeur de x quand y = 0 .
- 10 = - 2x
5 = x
ordonnée à l’origine : valeur de y quand x = 0
y = -2x + 2
5 5-2
y = -2x + 2
5
0 = -2x + 2
5
0 = -2x + 105 5 5
0 = -2x + 10
y = -2x + 2
5
y = -2 X 0 + 2
5
y = 2
Exemples: 2x + 5y - 10 = 0
abscisse à l’origine : valeur de x quand y = 0 .
ordonnée à l’origine : valeur de y quand x = 0
pente : - A
B=
- 2
5
2x + 5y - 10 = 0
2x + 5 X 0 - 10 = 0
2x - 10 = 0
2x = 10
x = 5
2 X 0 + 5y - 10 = 0
5y - 10 = 0
5y = 10
y = 2
ou ramener l’équation sous la forme fonctionnelle:
2x + 5y - 10 = 0 5y = -2x + 10 5y = -2x + 10
5 5 5 5
y = -2x + 10
5
2x + 5y - 10 = 0
Exemples: pente : - b
a=
- 2
5
ou ramener l’équation sous la forme fonctionnelle:
x+
y
5 2=1
x+
y
5 2=1
2x + 5y = 10
10 10 102x + 5y = 10 5y = -2x +10
5
y = -2x + 10
5
Exemples:
abscisse à l’origine : valeur de x quand y = 0 .
ordonnée à l’origine : valeur de y quand x = 0
x+
y
5 2= 1
x+
0
5 2= 1
x
5= 1
x = 5
x+
y
5 2= 1
0+
y
5 2= 1
y
2= 1
y = 2
Remarque: L’habilité à jouer avec les lois algébriques est ici importante.
x+
y
5 2=1