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Géométrie fractale
et
théorie du chaos
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Electrolyse d’une solution de ZnCl2
Zn2+ + 2 e Zn0
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Caractéristiques des fractals
a) itération d’un algorithmealgorithme
courbe de Koch
1re itération 2me itération 3me itération
b) Invariance à l’agrandissement (Selbstähnlichkeit)partie
ensemble
c) dimension fractionnaire
explication du nom « fractal »
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Détermination de la dimension d
* réduire l’objet d’un facteur d’échelle f
* compter le nombre n d’objets réduits compris dans l’objet initial
f = nd
segment réduit d'unfacteur d'échelle f = 4
A B
A B
le segment initial renferme n = 4segments réduits
segment de droite AB
d =log 4
log 4= 1 valeur entière !
A B
CD
carré réduit d'unfacteur d'échelle
f = 5
le carré initial renferme n = 25 carrés réduits
carré ABCD
d =log 25
log 5= 2 valeur entière !
f = n1/d log f = 1/d log n d =log n
log f
cube réduit d'unfacteur d'échelle f = 3
le cube initial renfermen = 27 cubes réduits
cube
d =log 27
log 3= 3 valeur entière !
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Courbe de Koch:
chaque segment initial est subdivisé en 3: f = 3
algorithme
chaque segment initial est remplacé par 4 segments réduits: n = 4
d =log 4
log 3= 1,261 valeur non entière !
algorithme itérations
Triangle de Sierpinski:
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Nombres complexes
z = a bi
-i
i
2i
3i
-1 0 1 2 3 4
a
b
M
zreprésentables dans le plan complexe
valeur (module):
z = a2 + b2
z = 32 + 22 = 3,61
à chaque nombre complexe z correspond une paire ordonnée de nombres réels (a,b)
Exemple:
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L’ensemble de Mandelbrot
L’écran du moniteur est placé dans le plan complexe.
axeimaginaire
axeréel
A
B
Chaque point (pixel) de l’écran correspond à une paire de coordonnées a et b. Chaque pixel est l’image d’un nombre complexe déterminé.
g = z2 + c départ: z = 0, c = affixe du pixel choisi g = c
itération: g introduit à la place de z g = c2 +c
2e itération: g = (c2 +c)2 + c = c4 + 2c3 + c2 + c
3e itération: g = (c4 + 2c3 + c2 + c) + c
etc, etc, etc
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L’ensemble de Mandelbrot
Selon le pixel choisi, l’itération tend plus ou moins rapidement vers l’infini calcul complexe.exe
Effectuer pour les valeurs: c = 1 + i
c = -1 + 0,2 i
Le pixel est coloré selon la vitesse avec laquelle l’itération tend vers l’infini
Ensemble de Mandelbrot = ensemble des points où l’itération ne passe jamais à l’infini
L’ensemble de Mandelbrot a les propriétés d’un objet fractal
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L’évolution vers le chaos
A) Différence entre:* prévisibilité (ex: éclipse solaire)
* stochasticité (ex: tirage au loto)
B) Chaos déterministe
* lois scientifiques restent valables
* non-linéarité entre cause et effet
des causes insignifiantes peuvent avoir des conséquences importantes
amplification des incertitudes initiales
impossibllité des prévisions à long terme
B) La récurrence de Poincaré
dynamique chaotique
réapparition éphémère de l’ordre initial dans la dynamique chaotique
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Récurrence de Poincaré
- image déformée selon un algorithme défini
chaos déterministe
- image initiale réapparaît à la 241e transformation
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Notion d’attracteur
Espace de phase: ensemble des variables indispensables pour décrire un phénomène
systèmes mécaniques: diagramme vitesse / position
Attracteur: lieu géométrique ( = ensemble des points) de tous les états possibles d’un système dans l’espace de phase qui décrit le système
Attracteur classique: la connaissance des conditions initiales permet le calcul pour n’importe
quel moment
Attracteur chaotique: le calcul se laisse faire de proche en proche, une prévision à long terme
est impossible
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Chaos en mathématiques
1971: découverte de Robert May sur l’équation:
y = a x ( 1 – x )y = ax(1-x) influence de R
a = 0a = 0.5a = 1a = 2a = 3a = 4
X0
0.5 1
1f(x)
a = facteur de non-linéarité
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L’auto-structuration des systèmes chaotiques en évolution
Expérience préliminaire:
réchaudsuspension de poudre d’aluminium dans
l’huile de paraffine en couche mince
chaleur
formation de cellules de convection visualisées par la poudre d’aluminium
Frottement entre cellules:
La circulation dans chaque cellule influence et est influencée par les cellules voisines
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L’auto-structuration des systèmes chaotiques en évolution
Considérations thermodynamiques
* systèmes classiques (cristallisation d’un sel)
la structuration est propulsée par la recherche d’un état d’équilibre à énergie minimale
* systèmes dissipatifs
frottements entre cellules dépense (dissipe) de l’énergie
la formation des structures ordonnées exige un apport continu d’énergie (structures dissipatives)
Thermodynamique des systèmes dissipatifs élaborée par Ilya Prigogine (Prix Nobel 1977)
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Réaction de Belousov-Zhabotinsky
- NaBrO3
- HOOC-CH2-COOH
- KBr
- H2SO4
- feroïne (Fe2+/Fe3+)
3 équations: (interprétation simplifiée)
a) BrO3- + 2 Br
- + 3 H+ + 3 HOOC-CH2-COOH 3 HOOC-CHBr-COOH + 3 H2O
b) BrO3- + 4 Fe2+•cpx + 5 H+ + 3 HOOC-CH2-COOH
4 Fe3+•cpx + 3 HOOC-CHBr-COOH + 3 H2Oréaction a) évolue jusqu’à l’épuisement de Br
-
réaction b) évolue jusqu’à l’épuisement de Fe2+•cpx
c) 4 Fe3+•cpx + HOOC-CHBr-COOH + 2 H2O
4 Fe2+•cpx + HCOOH + 2 CO2 + 5 H+ + Br -
réaction c) régénère Br – qui permet à la réaction a) de reprendre
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Réaction de Belousov-Zhabotinsky
système bistable, change entre 2 états stables (attracteurs)
Suppression de l’agitation:
le système se fractionne en « cellules » à évolution stochastique
les « cellules » voisines s’influencent par diffusion des réactifs (frottement)
structures dissipatives