Was ist Geometrie? Was Symmetrie?
Bei Geometrie denken viele an die Erlebnisse der Grundschule: Gerade, Dreiecke, Vielecke, platonische Körper Tetraeder, Oktaeder. Etwas weiter geht schon der Begriff der Riemannschen Geometrie und nicht-Euklidischer Geometrien - Abstraktion von 3 auf N Dim. Felder führten dann im 19. Jahrhundert zu einer Verallgemeinerung des Geometriebegriffs: auch Felder werden „transportiert“.
Unter einer Symmetrie versteht man in der Physik die Eigenschaften eines Systems, nach einer bestimmten Änderung (Transformation, insbesondere Koordinatentransformationen) unverändert zu bleiben (invariant zu sein). Wenn eine Transformation den Zustand eines
Physikalischen Systems nicht verändert, werden diese Transformationen Symmetrietransfor-mationen genannt.
Unterschieden werden diskrete Symmetrien (z. B. Spiegelsymmetrie), die nur eine endliche Anzahl an Symmetrieoperationen besitzen, sowie kontinuierliche Symmetrien (z. B. Rotationssymmetrie), die eine unendliche Anzahl an Symmetrieoperationen besitzen.
Erkenntnisse über Symmetrien erwiesen sich oft als Ausgangspunkte für gänzlich neue Theorien. So war die Invarianz der Maxwell-Gleichungen unter Lorentz-Transformationen ein Ausgangspunkt für Albert Einstein 1905 zur Entwicklung der Speziellen Relativitätstheorie, und gewisse Muster im Spektrum der Elementarteilchen führten zur Entwicklung des Quark-Modells von 1963 für Hadronen und Mesonen (z.B. für Proton, Neutron & Pi-Mesonen)
Symmetrien sind eng mit Erhaltungssätzen verknüpft Ladung erzeugt Kraftfelder.
Symmetrie als Konstruktionsprinzip
Erster Versuch der Geometrisierung J. Kepler: Mysterium Cosmographicum
Geometrisches Modell des Sonnensystems blieb erfolglos
Die Kernfrage der Naturwissenschaft lautet: Steckt die ‘gesetzmäßige’ Ordnung der Welt in der Welt selber oder ‘bloß’ in unsern Köpfen? Die Naturwissenschaft hält diese Frage für “metaphysisch” und reicht sie dankend an die Philosophie weiter. Die hat sich aber längst unter die Fuchtel der Naturwissenschaft gestellt und hält sie ebenfalls für metaphysisch.
Die Kernfrage der Physik
Stufen der Geometrisierung der Physik
• Die Fibonacci-Reihe – eine Laune der Natur?
• Die erste Geometrisierung H. Minkowski 1908
• Die zweite Geometrisierung 1915 durch Albert Einstein: Gravitation ist Geometrie.
• Auch Quantenfelder sind geometrische Objekte
• Die dritte Geometrisierung: fundamentale Wechselwirkungen als Faserbündel.
• Die Geometrisierung des Universums.
• Die vierte Geometrisierung ? – steht noch aus
• Leonardo da Pisa, auch Fibonacci genannt (* um 1170 in Pisa; † nach 1240), war Rechenmeister in Pisa und gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters. Auf seinen Reisen nach Afrika, Byzanz und Syrien machte er sich mit der arabischen Mathematik vertraut und ver-fasste mit den dabei gewonnenen Erkenntnissen das Rechenbuch Liber ab(b)aci im Jahre 1202 (Überarbeitung 1228). Bekannt ist daraus heute vor allem die nach ihm benannte Fibonacci-Folge.
Leonardo da Pisa, gen. Fibonacci
• In Pisa befindet sich im Kreuzgang des histor-ischen Friedhofes Camposanto eine Statue Leonardos, welche die Inschrift: A Leonardo Fibonacci Insigne Matematico Pisano del Secolo XII trägt. Als Porträt ist die Darstellung ein Produkt künstlerischer Phantasie, da aus Leonardos eigener Zeit keine Abbildungen und keine Überlieferung über dessen Aussehen existiert.
• Die Statue geht zurück auf die Initiative von zwei Mitgliedern der provisorischen Regierung des ehemaligen Großherzogtums Toskana, Bettino Ricasoli und Cosimo Ridolfi, die am 23. September 1859 ein Dekret zur Finanzierung der Statue herbeiführten.
Leonardo da Pisa, gen. Fibonacci
Die zeitliche Änderung des
Impulses ist proportional zur
äußeren Kraft, die auf den
Körper wirkt.
Newton2:
Aktionsprinzip
amF
g
Warum lässt sich die Mathematik “auf die Welt der Dinge anwenden”? Weil ich mir die Welt der Dinge so vorstellen kann, als ob ich sie selber konstruiert hätte; dann beschreibt die Mathematik in ihrem Zeichensystem, wie ich hätte verfahren müssen, um sie so zu konstruieren. Mathematik ist das allgemeine operative Schema der möglichen Handlungen in Raum und Zeit. Logik ist das allgemeine Schema der möglichen Handlungen in der bloßen Vorstellung.
Geometrisierung der Spez. Relativität
Die Welt ist 4-dimensional Unsere Sinnesorgane können Zeit nicht verarbeiten
Hermann Minkowski Mathematiker 1864 – 1909
war Einsteins Lehrer ETH
ging 1907 nach Göttingen
1908
Zur SR: »Ach, der Einstein?
Der schwänzte doch immer die Vorlesungen
– dem hätte ich das gar nicht zugetraut.«
Einstein: »überflüssige Gelehrsamkeit«
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Die Minkowski Metrik 1908 Messen im pseudo-Euklidischen Vektorraum
ds² = (dx)T (dx)
22222222 dzdydxdtcdcds
Lichtgeschwindigkeit Invariante Die RaumZeit von Minkowski ist flach
Zeit
Raum
ds² = c² dt² - dx² - dy² - dz²
Lichtgeschwindigkeit
bleibt konstant!
c = 299.792,458 km/s
Die Allgemeine Relativitätstheorie ist in diesem Sinn viel mehr als eine Theorie der Gravitation, sie realisiert einen Grundgedanken Einsteins, nämlich die Geometrisierung der Physik: Gravitation ist bei ihm gleichbedeutend mit Geometrie und damit unabhängig von einer starren RaumZeit. Es ist dieses Prinzip der Hintergrundunabhängigkeit der Allgemeinen Relativitätstheorie, das unvereinbar ist mit den Prinzipien der Quantentheorie. Die Vertreter der Schleifen-Quantengravitation haben diesen Gedanken konsequent umgesetzt und nicht die Gravitation, sondern die Geometrie des Raums selbst gequantelt.
Einsteins Grundidee
Die Entdeckung der Quantenmechanik im Jahre 1925/1926 entfaltete eine enorme Auswirkung auf Wissenschaft, Ökonomie und Politik, sie brachte aber auch eine gewaltige wissenschaftliche Herausforderung mit sich: Die Quantenwelt und Einsteins Sicht des Universums erwiesen sich als theoretisch unvereinbar, und diese Unverträglichkeit galt es aufzulösen. Dieses Ziel ist sicher noch nicht erreicht, aber der unermüdliche Marsch der Ideen hat unser Wissen in Mathematik und Physik beispiellos gesteigert.
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tts Schwacher
Isospin:
+1/2
+1/2
-1/2
-1/2
Farbe
Der Ouroboros oder Uroboros (griechisch Οὐροβόρος „Selbstverzehrer“, wörtlich „Schwanzverzehrer“; von griechisch ourá „Schwanz“ und bóros „verzehrend“) ist ein bereits in der Ikonographie des Alten Ägyptens belegtes Bildsymbol einer Schlange, die sich in den eigenen Schwanz beißt und so mit ihrem Körper einen geschlossenen Kreis bildet.
• Die erste Geometrisierung in der Physik wurde von Hermann Minkowski 1908 durchgeführt: er interpretierte die SRT im Rahmen eines 4D pseudo-euklidischen Vektorraums.
• Einstein selber nutzte diesen Ansatz 1911 und 1915 zur Geometrisierung der Gravitation.
• Weitere Erfolge blieben Einstein versagt.
• Die nächste Stufe war die Geometrisierung der drei fundamentalen Wechselwirkungen der Mikrowelt durch Yang-Mills Eichtheorien.
• Eine globale Geometrisierung steht noch aus.
Zusammenfassung