Processos k-Factor GARMA
Estimação de Processos k-Factor GARMA
Aishameriane V. Schmidt
Prof. Dr. Cleber BisogninOrientador
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Matemática
Departamento de Estatística
Defesa de Monografia - Dezembro de 2009
Processos k-Factor GARMA
Roteiro
1 O fenômeno da longa dependência
2 Objetivos
3 Processos k-Factor GARMA(p,u,λ,q)
4 Estimação
5 Simulações
6 Conclusões
7 Bibliografia
Processos k-Factor GARMA
O fenômeno da longa dependência
Longa dependênciaEm séries temporais, a característica de longa dependência dosdados pode ser percebida no domínio do tempo e no domínioda frequência;No domínio da frequência, através da função densidadeespectral;No domínio do tempo, através da função de autocorrelação.
Figura: Função periodograma e função de autocorrelação amostral de um processoARFIMA(p, d , q) onde p = 0 = q e d = 0.4.
Processos k-Factor GARMA
O fenômeno da longa dependência
Longa dependênciaEm algumas aplicações, observou-se que os picos na funçãoperiodograma não ocorriam na origem, o que motivou a criaçãode novos processos para modelagem destes problemas.
Figura: Função periodograma dos processos k-Factor GARMA(p,u,λ, q) comp = 0 = q onde: (a) u = 0.4 e λ = 0.2; (b)u = (0.4, 0.45) e λ = (0.2, 0.45).
Processos k-Factor GARMA
Objetivos
Objetivos do estudo
i) Gerar o processo k-Factor GARMA;
ii) Estudar os diferentes métodos de estimação dosparâmetros λ e u para o processo k-Factor GARMA paradiferentes valores de k;
iii) Simulações de Monte Carlo;
Processos k-Factor GARMA
Objetivos
Objetivos do estudo
i) Gerar o processo k-Factor GARMA;ii) Estudar os diferentes métodos de estimação dos
parâmetros λ e u para o processo k-Factor GARMA paradiferentes valores de k;
iii) Simulações de Monte Carlo;
Processos k-Factor GARMA
Objetivos
Objetivos do estudo
i) Gerar o processo k-Factor GARMA;ii) Estudar os diferentes métodos de estimação dos
parâmetros λ e u para o processo k-Factor GARMA paradiferentes valores de k;
iii) Simulações de Monte Carlo;
Processos k-Factor GARMA
Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)
Definição dos processos k-Factor GARMA
DefiniçãoSeja {Xt}t∈Z um processo estocástico que satisfaz a equação
φ(B)k∏
j=1
(1− 2ujB + B2)λj (Xt − µ) = θ(B)εt , (1)
onde k é um inteiro finito, |uj | 6 1 e λj é um número fracionário,para j = 1, · · · , k , µ é a média do processo, {εt}t∈Z é um processoruído branco e φ(·) e θ(·) são polinômios de grau p e q. Então,{Xt}t∈Z é um processo auto-regressivo de média móvel k -FactorGegenbauer de ordem (p,u,λ,q), denotado por k -FactorGARMA(p,u,λ,q), onde u = (u1, · · · ,uk )′ e λ = (λ1, · · · , λk )′.
Processos k-Factor GARMA
Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)
Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q)
Na proposição a seguir, apresentamos alguns resultados sobrek -Factor GARMA(p,u,λ,q) estabelecidos e provados emGiraitis e Leipus (1995) e Woodward et al. (1998).
ProposiçãoSeja {Xt}t∈Z um processo k-Factor GARMA(p,u,λ,q)conforme a Definição 1. Então,
i) o processo {Xt}t∈Z é estacionário se todas as raízes daequação φ(z) = 0 estão fora do círculo unitário, e alémdisso, uj e λj , para 1 6 j 6 k, satisfazem λj < 0.5, quando|uj | < 1 e λj < 0.25, quando |uj | = 1, para j = 1, · · · , k;
ii) o processo estacionário {Xt}t∈Z possui longa dependênciase satisfaz as condições do item i) desta proposição e,além disso, λj > 0, para 1 6 j 6 k;
Processos k-Factor GARMA
Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)
Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q)
Na proposição a seguir, apresentamos alguns resultados sobrek -Factor GARMA(p,u,λ,q) estabelecidos e provados emGiraitis e Leipus (1995) e Woodward et al. (1998).
ProposiçãoSeja {Xt}t∈Z um processo k-Factor GARMA(p,u,λ,q)conforme a Definição 1. Então,
i) o processo {Xt}t∈Z é estacionário se todas as raízes daequação φ(z) = 0 estão fora do círculo unitário, e alémdisso, uj e λj , para 1 6 j 6 k, satisfazem λj < 0.5, quando|uj | < 1 e λj < 0.25, quando |uj | = 1, para j = 1, · · · , k;
ii) o processo estacionário {Xt}t∈Z possui longa dependênciase satisfaz as condições do item i) desta proposição e,além disso, λj > 0, para 1 6 j 6 k;
Processos k-Factor GARMA
Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)
Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q)
Na proposição a seguir, apresentamos alguns resultados sobrek -Factor GARMA(p,u,λ,q) estabelecidos e provados emGiraitis e Leipus (1995) e Woodward et al. (1998).
ProposiçãoSeja {Xt}t∈Z um processo k-Factor GARMA(p,u,λ,q)conforme a Definição 1. Então,
i) o processo {Xt}t∈Z é estacionário se todas as raízes daequação φ(z) = 0 estão fora do círculo unitário, e alémdisso, uj e λj , para 1 6 j 6 k, satisfazem λj < 0.5, quando|uj | < 1 e λj < 0.25, quando |uj | = 1, para j = 1, · · · , k;
ii) o processo estacionário {Xt}t∈Z possui longa dependênciase satisfaz as condições do item i) desta proposição e,além disso, λj > 0, para 1 6 j 6 k;
Processos k-Factor GARMA
Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)
Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q)
Na proposição a seguir, apresentamos alguns resultados sobrek -Factor GARMA(p,u,λ,q) estabelecidos e provados emGiraitis e Leipus (1995) e Woodward et al. (1998).
ProposiçãoSeja {Xt}t∈Z um processo k-Factor GARMA(p,u,λ,q)conforme a Definição 1. Então,
i) o processo {Xt}t∈Z é estacionário se todas as raízes daequação φ(z) = 0 estão fora do círculo unitário, e alémdisso, uj e λj , para 1 6 j 6 k, satisfazem λj < 0.5, quando|uj | < 1 e λj < 0.25, quando |uj | = 1, para j = 1, · · · , k;
ii) o processo estacionário {Xt}t∈Z possui longa dependênciase satisfaz as condições do item i) desta proposição e,além disso, λj > 0, para 1 6 j 6 k;
Processos k-Factor GARMA
Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)
Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q) (cont.)
Proposição
iii) a função densidade espectral do processo k-FactorGARMA, definido pela expressão (1), é dada por
fX (w) =σ2ε
2π|θ(e−iw )|2
|φ(e−iw )|2k∏
j=1
[2(cos(w)− uj)]−2λj , (2)
onde 0 < w 6 π e Gj = cos−1(uj) são as chamadasfrequências de Gegenbauer. fX (·) é ilimitada nasfrequências Gj = cos−1(uj), j = 1, · · · , k.
Processos k-Factor GARMA
Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)
Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q) (cont.)
Figura: Função densidade espectral dos processos k -Factor GARMA(p,u,λ, q) comp = 0 = q onde: (a) λ = (0.2, 0.2) e u = (−0.4, 0.8); (b) u = (−0.7, 0.3, 0.9) eλ = (0.2, 0.2, 0.2).
Processos k-Factor GARMA
Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)
Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q) (cont.)
(Causalidade) Suposições:
uj distintos;0 < λj < 0.5 quando |uj | = 1 ou0 < λj < 0.25 quando |uj | < 1 para j = 1,2, · · · ,n.
Então {Xt}t∈Z é um processo causal se e somente se φ(z) 6= 0para todo z ∈ C, tal que |z| ≤ 1.
ψ(z) =∑`>0
ψ`z` =θ(z)
φ(z)
k∏j=1
(1− 2ujB+B2)−λj , para todo |z| ≤ 1
(3)
Processos k-Factor GARMA
Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)
Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q) (cont.)
(Causalidade) Suposições:uj distintos;0 < λj < 0.5 quando |uj | = 1 ou0 < λj < 0.25 quando |uj | < 1 para j = 1,2, · · · ,n.
Então {Xt}t∈Z é um processo causal se e somente se φ(z) 6= 0para todo z ∈ C, tal que |z| ≤ 1.
ψ(z) =∑`>0
ψ`z` =θ(z)
φ(z)
k∏j=1
(1− 2ujB+B2)−λj , para todo |z| ≤ 1
(3)
Processos k-Factor GARMA
Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)
Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q) (cont.)
(Causalidade) Suposições:uj distintos;0 < λj < 0.5 quando |uj | = 1 ou0 < λj < 0.25 quando |uj | < 1 para j = 1,2, · · · ,n.
Então {Xt}t∈Z é um processo causal se e somente se φ(z) 6= 0para todo z ∈ C, tal que |z| ≤ 1.
ψ(z) =∑`>0
ψ`z` =θ(z)
φ(z)
k∏j=1
(1− 2ujB+B2)−λj , para todo |z| ≤ 1
(3)
Processos k-Factor GARMA
Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)
Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q) (cont.)
(Invertibilidade) Suposições:
uj distintos;0 < λj < 0.5 quando |uj | = 1 ou0 < λj < 0.25 quando |uj | < 1 para j = 1,2, · · · ,n.
Então {Xt}t∈Z é um processo inversível se e somente seθ(z) 6= 0 para todo z ∈ C, tal que |z| ≤ 1.
π(z) =∑l>0
πlz l =φ(z)
θ(z)
k∏j=1
(1− 2ujB + B2)λj , para todo |z| ≤ 1
(4)
Processos k-Factor GARMA
Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)
Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q) (cont.)
(Invertibilidade) Suposições:uj distintos;0 < λj < 0.5 quando |uj | = 1 ou0 < λj < 0.25 quando |uj | < 1 para j = 1,2, · · · ,n.
Então {Xt}t∈Z é um processo inversível se e somente seθ(z) 6= 0 para todo z ∈ C, tal que |z| ≤ 1.
π(z) =∑l>0
πlz l =φ(z)
θ(z)
k∏j=1
(1− 2ujB + B2)λj , para todo |z| ≤ 1
(4)
Processos k-Factor GARMA
Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)
Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q) (cont.)
(Invertibilidade) Suposições:uj distintos;0 < λj < 0.5 quando |uj | = 1 ou0 < λj < 0.25 quando |uj | < 1 para j = 1,2, · · · ,n.
Então {Xt}t∈Z é um processo inversível se e somente seθ(z) 6= 0 para todo z ∈ C, tal que |z| ≤ 1.
π(z) =∑l>0
πlz l =φ(z)
θ(z)
k∏j=1
(1− 2ujB + B2)λj , para todo |z| ≤ 1
(4)
Processos k-Factor GARMA
Processos k-Factor GARMA(p, u,λ, q)
Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,λ,q) (cont.)
Proposição
Seja {Xt}t∈Z um processo k-Factor GARMA(p,u,λ,q)causal. Então a função de autocovariância γx (h), h ∈ Z≤ édada por:
γx (h) = σ2ε
∑j∈Z
ΨjΨj+h, (5)
onde {Ψj}j∈Z≤ são os coeficientes da representaçãoMA(∞) dados pela equação (3).
Processos k-Factor GARMA
Estimação
Estimadores utilizados
GPH: Estimador semi-paramétrico que utiliza a funçãoperiodograma;BA: É baseado no uso da função periodograma suavizadode covariâncias;
EMLE: É obtido maximizando-se a função deverossimilhança;W: Utiliza uma aproximação para a matriz de covariâncias.
Processos k-Factor GARMA
Estimação
Estimadores utilizados
GPH: Estimador semi-paramétrico que utiliza a funçãoperiodograma;BA: É baseado no uso da função periodograma suavizadode covariâncias;EMLE: É obtido maximizando-se a função deverossimilhança;W: Utiliza uma aproximação para a matriz de covariâncias.
Processos k-Factor GARMA
Simulações
SimulaçõesCenário 1a: Estimação paramétrica com o estimador W para oprocesso k -Factor GARMA(p,u,λ,q) com k = 4 e p = 1 = qcomparado com p = 0 = q
Figura: Gráfico do intervalo de confiança a 95% para a média da estimação paramétrica (W) dos parâmetrosna série de um k-Factor GARMA (p,λ, u, q), onde λ = (0.1, 0.2, 0.5, 0.6, 0.8), u = (0.1, 0.2, 0.25, 0.3, 0.4),p = 0 = q e n = 1000.
Processos k-Factor GARMA
Simulações
SimulaçõesCenário 1a: Estimação paramétrica com o estimador W para oprocesso k -Factor GARMA(p,u,λ,q) com k = 4 e p = 1 = qcomparado com p = 0 = q
Figura: Gráfico do intervalo de confiança a 95% para a média da estimação paramétrica (W) dos parâmetrosde um k-Factor GARMA (p,λ, u, q), onde λ = (0.1, 0.2, 0.5, 0.6, 0.8), u = (0.1, 0.2, 0.25, 0.3, 0.4),p = 1 = q, φ = 0.3 e θ = 0.5 para n = 1000.
Processos k-Factor GARMA
Simulações
SimulaçõesCenário 1b: Vício estimadores semiparamétricos para k = 4
Figura: Gráfico do vício da estimação semiparamétrica do parâmetroλ = λ1, λ2 de um k-Factor GARMA (p,λ,u,q), ondeλ = (0.1,0.2,0.5,0.6,0.8), u = (0.1,0.2,0.25,0.3,0.4) paran = 1000: (a) p = 1 = q, φ = 0.3 e θ = 0.5; (b) p = q = 0.
Processos k-Factor GARMA
Simulações
Simulações
Cenário 1c: Estimativa média dos semiparamétricos para k = 4
Tabela: Média, EQM e Variância para as estimativas semiparamétricas do parâmetro λ = λ1, λ2 de umk-Factor GARMA (p,λ, u, q), onde λ = (0.1, 0.2, 0.5, 0.6, 0.8), u = (0.1, 0.2, 0.25, 0.3, 0.4) para n = 1000 eα = 0.80.
α = 0.80GPH.MQ GPH.MM GPH.MPQ
p = 0 = q p = 1 = q p = 0 = q p = 1 = q p = 0 = q p = 1 = qMédia 0,1259 0,4039 0,2131 0,5406 0,1386 0,4283EQM 0,0007 0,0923 0,0128 0,1942 0,0015 0,1078VAR 0,0446 0,0461 0,2371 0,2970 0,0835 0,0898
α = 0.80BA.MQ BA.MM BA.MQP
p = 0 = q p = 1 = q p = 0 = q p = 1 = q p = 0 = q p = 1 = qMédia 0,1700 0,4407 0,1258 0,4674 0,1230 0,4483EQM 0,0049 0,1161 0,0007 0,1350 0,0005 0,1213VAR 0,0231 0,0234 0,1123 0,1329 0,0679 0,0701
Processos k-Factor GARMA
Simulações
Simulações
Cenário 1c: Estimativa média dos semiparamétricos para k = 4
Tabela: Média, EQM e Variância para as estimativas semiparamétricas do parâmetro λ = λ1, λ2 de umk-Factor GARMA (p,λ, u, q), onde λ = (0.1, 0.2, 0.5, 0.6, 0.8), u = (0.1, 0.2, 0.25, 0.3, 0.4) para n = 1000 eα = 0.89.
α = 0.89GPH.MQ GPH.MM GPH.MPQ
p = 0 = q p = 1 = q p = 0 = q p = 1 = q p = 0 = q p = 1 = qMédia 0,1018 0,1267 0,1014 0,1244 0,1023 0,1255EQM 0,0000 0,0007 0,0000 0,0006 0,0000 0,0007VAR 0,0019 0,0018 0,0047 0,0040 0,0033 0,0032
α = 0.89BA.MQ BA.MM BA.MQP
p = 0 = q p = 1 = q p = 0 = q p = 1 = q p = 0 = q p = 1 = qMédia 0,1019 0,1274 0,0994 0,1202 0,0986 0,1187EQM 0,0000 0,0008 0,0000 0,0004 0,0000 0,0004VAR 0,0010 0,0010 0,0020 0,0019 0,0019 0,0018
Processos k-Factor GARMA
Simulações
SimulaçõesCenário 2: A presença ou não de mínimos locais na FV
Figura: Gráfico da Função de Verossimilhança estimada pelo estimador W para o processo k -Factor GARMA(p, u,λ, q), onde λ = 0.3, u = 0.6, p = 0 = q, n = 1000.
Processos k-Factor GARMA
Simulações
SimulaçõesCenário 2: A presença ou não de mínimos locais na FV
Figura: Gráfico da Função de Verossimilhança pelo estimada pelo estimador de máxima verossimilhança parao processo k -Factor GARMA (p, u,λ, q), onde λ = 0.3, u = 0.6, p = 0 = q, n = 1000.
Processos k-Factor GARMA
Simulações
SimulaçõesCenário 3: Vício ao quadrado e variância dos estimadoressemiparamétricos para k = 1
Figura: Gráfico do vício ao quadrado (cinza-triângulo) e variância (escuro-círculo) de um k -Factor GARMA(p, u,λ, q), com µ = 0, k = 1, λ = 0.3, u = 0.9, p = 0 = q, n = 1000,α ∈ {0.60, 0.62, 0.64, · · · , 0.88, 0.89} e re = 5000 para o estimador BA em suas três versões: (a) BA.MQ; (b)BA.MM; (c) BA.MQP.
Processos k-Factor GARMA
Simulações
SimulaçõesCenário 3: Vício ao quadrado e variância dos estimadoressemiparamétricos para k = 2
Figura: Gráfico do vício ao quadrado (cinza-triângulo) e variância (escuro-círculo) de λ2 de um k -FactorGARMA (p, u,λ, q), com µ = 0, k = 2, λ = {0.1, 0.3}, u = {0.2, 0.9}, p = 0 = q, n = 1000,α ∈ {0.60, 0.62, 0.64, · · · , 0.88, 0.89} e re = 5000 para o estimador BA em suas três versões: (a) BA.MQ; (b)BA.MM; (c) BA.MQP.
Processos k-Factor GARMA
Simulações
Simulações
Cenário 4: Comparação dos estimadores paramétricos
Tabela: Estimação paramétrica dos parâmetros do processo GARMA(0,u, λ,0), para diferentes pares de valores de u e λ.
λ = 0.3 e u = 0.6 λ = 0.4 e u = 0.6W EMLE W EMLE
λ u λ u λ u λ uMédia 0,2947 0,6005 0,3089 0,5973 0,3928 0,6001 0,4019 0,6005Vício -0,0053 0,0005 0,0089 -0,0027 -0,0072 0,0001 0,0019 0,0005EQM 0,0007 0,0002 0,0059 0,0011 0,0007 0,0001 0,0005 0,0000
Var 0,0007 0,0002 0,0058 0,0011 0,0007 0,0001 0,0005 0,0000
Processos k-Factor GARMA
Conclusões
Conclusões
Convergência em quadrado médio e quase certamentedas representações MA(∞) e AR(∞);
Previsões para os processos k-Factor GARMA (p,u,λ,q);Expressão para a função de autocovariância γx (h)baseada na representação MA(∞);Apresentados dois estimadores da classesemiparamétrica e dois na classe paramétrica;
Processos k-Factor GARMA
Conclusões
Conclusões
Convergência em quadrado médio e quase certamentedas representações MA(∞) e AR(∞);Previsões para os processos k-Factor GARMA (p,u,λ,q);
Expressão para a função de autocovariância γx (h)baseada na representação MA(∞);Apresentados dois estimadores da classesemiparamétrica e dois na classe paramétrica;
Processos k-Factor GARMA
Conclusões
Conclusões
Convergência em quadrado médio e quase certamentedas representações MA(∞) e AR(∞);Previsões para os processos k-Factor GARMA (p,u,λ,q);Expressão para a função de autocovariância γx (h)baseada na representação MA(∞);
Apresentados dois estimadores da classesemiparamétrica e dois na classe paramétrica;
Processos k-Factor GARMA
Conclusões
Conclusões
Convergência em quadrado médio e quase certamentedas representações MA(∞) e AR(∞);Previsões para os processos k-Factor GARMA (p,u,λ,q);Expressão para a função de autocovariância γx (h)baseada na representação MA(∞);Apresentados dois estimadores da classesemiparamétrica e dois na classe paramétrica;
Processos k-Factor GARMA
Conclusões
Conclusões
Convergência em quadrado médio e quase certamentedas representações MA(∞) e AR(∞);Previsões para os processos k-Factor GARMA (p,u,λ,q);Expressão para a função de autocovariância γx (h)baseada na representação MA(∞);Apresentados dois estimadores da classesemiparamétrica e dois na classe paramétrica;
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Conclusões
Conclusões
Na estimação semiparamétrica, os estimadores robustosem geral apresentam melhores características;
Necessidade de utilizar valores de α altos para osestimadores semiparamétricos;Os estimadores paramétricos necessitam uma estimativainicial boa;A presença de φ e θ apresentou forte influência nasestimativas semiparamétricas.
Processos k-Factor GARMA
Conclusões
Conclusões
Na estimação semiparamétrica, os estimadores robustosem geral apresentam melhores características;Necessidade de utilizar valores de α altos para osestimadores semiparamétricos;
Os estimadores paramétricos necessitam uma estimativainicial boa;A presença de φ e θ apresentou forte influência nasestimativas semiparamétricas.
Processos k-Factor GARMA
Conclusões
Conclusões
Na estimação semiparamétrica, os estimadores robustosem geral apresentam melhores características;Necessidade de utilizar valores de α altos para osestimadores semiparamétricos;Os estimadores paramétricos necessitam uma estimativainicial boa;
A presença de φ e θ apresentou forte influência nasestimativas semiparamétricas.
Processos k-Factor GARMA
Conclusões
Conclusões
Na estimação semiparamétrica, os estimadores robustosem geral apresentam melhores características;Necessidade de utilizar valores de α altos para osestimadores semiparamétricos;Os estimadores paramétricos necessitam uma estimativainicial boa;A presença de φ e θ apresentou forte influência nasestimativas semiparamétricas.
Processos k-Factor GARMA
Conclusões
Conclusões
Na estimação semiparamétrica, os estimadores robustosem geral apresentam melhores características;Necessidade de utilizar valores de α altos para osestimadores semiparamétricos;Os estimadores paramétricos necessitam uma estimativainicial boa;A presença de φ e θ apresentou forte influência nasestimativas semiparamétricas.
Processos k-Factor GARMA
Bibliografia
Referências BibliográficasBrockwell, P.J. e R.A. Davis (1991). Time Series: Theoryand Methods. New York: Springer-Verlag.
Bisognin, C. (2007). Estimação e Previsão em ProcessosSARFIMA(p,d ,q)x(P,D,Q)s na Presença de Outliers.Tese de Doutorado, Instituto de Matemática, UFRGS.
Ferrara , L. e D. Guégan (2001). “Forecasting with k-factorGegenbauer processes: Theory and Applications". Journal ofForecasting, Vol. 20, pp. 581-601.
Fox, R. e M.S. Taqqu (1986). “Large-sample Properties ofParameter Estimates for Strongly Dependent StationaryGaussian Time Series”. The Annals of Statistics, Vol. 14, pp.517-532.
Geweke, J. e S. Porter-Hudak (1983). “The Estimation andApplication of Long Memory Time Series Model”. Journal of TimeSeries Analysis, Vol. 4(4), pp. 221-238.
Processos k-Factor GARMA
Bibliografia
Referências Bibliográficas
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Sowell, F. (1992). “Maximum Likelihood Estimation ofStationary Univariate Fractionally Integrated Time SeriesModels”. Journal of Econometrics, Vol. 53, pp. 165-188.
Woodward, W.A., Q.C. Cheng e H.L. Gray (1998). “Ak -Factor GARMA Long-Memory Model”. Journal of TimeSeries Analysis, Vol. 19(4), pp. 485-504.
Processos k-Factor GARMA
Estimação de Processos k-Factor GARMA
Aishameriane V. Schmidt
Prof. Dr. Cleber BisogninOrientador
Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Matemática
Departamento de Estatística
Defesa de Monografia - Dezembro de 2009