![Page 1: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/1.jpg)
De ruimte in de loop van de tijd
Gert VegterInstituut voor Wiskunde en Informatica (RUG)
HOVO, 14 maart 2017
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 1 / 63
![Page 2: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/2.jpg)
Overzicht
1 Inleiding
2 De klassieke ruimte
3 Klassieke mechanica
4 Hyperbolische meetkunde
5 Gekromde ruimten
6 De vierde dimensie
7 Ruimte en tijd in de moderne fysica
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 2 / 63
![Page 3: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/3.jpg)
Inleiding
Ruimte en tijd: overzicht
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 3 / 63
![Page 4: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/4.jpg)
Inleiding
Euclides (ca. 300 vC)
Euclides Papyrus met Elementen (Grieks)325–265 v. Chr.
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 4 / 63
![Page 5: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/5.jpg)
Inleiding
Einstein (1879–1955)
Man van de 20ste eeuw Relativiteitstheorie1879–1955
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 5 / 63
![Page 6: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/6.jpg)
Inleiding
Van Euclides naar Einstein
De klassieke ruimte (Euclides, ca. 300 vC)Klassieke mechanica (Newton, 1687)Niet-euclidische meetkunde (Bolyai, 1823 en Lobatchewski, 1829)De vierde dimensieGekromde ruimten (Gauß, 1827 en Riemann, 1854)Ruimtetijd en de relativiteitstheorie (Einstein, 1905 en 1912)
. . . en vele anderen:
Kant, Beltrami, Klein, Maxwell, Minkowski, Lorentz, Poincaré,Friedman, Hubble. . .
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 6 / 63
![Page 7: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/7.jpg)
De klassieke ruimte
De klassieke ruimteEuclides
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 7 / 63
![Page 8: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/8.jpg)
De klassieke ruimte
Meetkunde in Babylonië, Egypte en Griekenland
Egypte: vooral praktisch (landmeting, piramides, navigatie)Babylonië: praktisch (bouwkunst, astronomie), constructief(rekenmethoden)Griekenland:
Praktisch, constructief (inductief)Theoretisch: meetkunde als deductief systeem
Thales (ca. 624–546 v. Chr.)Pythagoras (ca. 569–507 v. Chr.)Aristoteles (384–322 v. Chr.)Euclides (325–265 v. Chr)
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 8 / 63
![Page 9: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/9.jpg)
De klassieke ruimte
Meetkunde in Babylonië, Egypte en Griekenland
Egypte: vooral praktisch (landmeting, piramides, navigatie)Babylonië: praktisch (bouwkunst, astronomie), constructief(rekenmethoden)Griekenland:
Praktisch, constructief (inductief)Theoretisch: meetkunde als deductief systeem
Thales (ca. 624–546 v. Chr.)Pythagoras (ca. 569–507 v. Chr.)Aristoteles (384–322 v. Chr.)Euclides (325–265 v. Chr)
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 8 / 63
![Page 10: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/10.jpg)
De klassieke ruimte
Meetkunde in Babylonië, Egypte en Griekenland
Egypte: vooral praktisch (landmeting, piramides, navigatie)Babylonië: praktisch (bouwkunst, astronomie), constructief(rekenmethoden)Griekenland:
Praktisch, constructief (inductief)Theoretisch: meetkunde als deductief systeem
Thales (ca. 624–546 v. Chr.)Pythagoras (ca. 569–507 v. Chr.)Aristoteles (384–322 v. Chr.)Euclides (325–265 v. Chr)
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 8 / 63
![Page 11: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/11.jpg)
De klassieke ruimte
Eratosthenes (ca. 276–194 vC): omtrek aarde
Bibliothecaris in AlexandriëZomersolstitium (zonnewende 21 juni): zon staat loodrecht bovenAswan, en onder hoek van 7,2◦ in Alexandrië
7.2Aswan
Alexandrie
Omtrek aarde =3607,2× afstand Alexandrië–Aswan, ongeveer
250.000 stadiën ≈ 46.250 kmWerkelijke omtrek: 40.100 km
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 9 / 63
![Page 12: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/12.jpg)
De klassieke ruimte
Diameter van de maan
Maansverduistering
0 min.
50 min.
200 min.
Diameter maan = 14 × diameter aarde.
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 10 / 63
![Page 13: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/13.jpg)
De klassieke ruimte
De klassieke ruimte van Euclides
Drie dimensiesIngrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels(1-dimensionaal), vlakken, boloppervlakken en veelvlakken(2-dimensionaal)Goed voorstelbaarAbstractie van de waarneembare ruimteStrenge opbouw in De Elementen:
Definities, Axioma’s (postulaten), Stellingen (theorema’s)
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 11 / 63
![Page 14: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/14.jpg)
De klassieke ruimte
Parallellenpostulaat
Definitie (Parallelle lijnen – I.23)Parallel zijn lijnen, die in hetzelfde platte vlak gelegen en naar weerszijde totin het oneindige verlengd, naar geen van beide zijden elkaar ontmoeten
Postulaat (I.5, versie van Playfair – 1795 na Chr.)Door een gegeven punt buiten een lijn gaat precies één lijn evenwijdigaan die lijn
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 12 / 63
![Page 15: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/15.jpg)
De klassieke ruimte
Parallellenpostulaat
Definitie (Parallelle lijnen – I.23)Parallel zijn lijnen, die in hetzelfde platte vlak gelegen en naar weerszijde totin het oneindige verlengd, naar geen van beide zijden elkaar ontmoeten
Postulaat (I.5, versie van Playfair – 1795 na Chr.)Door een gegeven punt buiten een lijn gaat precies één lijn evenwijdigaan die lijn
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 12 / 63
![Page 16: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/16.jpg)
De klassieke ruimte
Platonische veelvlakken
tetraëder kubus octaëder dodecaëder icosaëder
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 13 / 63
![Page 17: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/17.jpg)
De klassieke ruimte
Stereografische projectie
Cartografie
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 14 / 63
![Page 18: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/18.jpg)
De klassieke ruimte
Stereografische projectie van veelvlakken
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 15 / 63
![Page 19: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/19.jpg)
Klassieke mechanica
Klassieke mechanicaNewton, Kepler
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 16 / 63
![Page 20: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/20.jpg)
Klassieke mechanica
Kepler (1571–1630)
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 17 / 63
![Page 21: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/21.jpg)
Klassieke mechanica
Kepler: Mysterium Cosmographicum (1596)
Mercurius – Octaëder – Venus – Icosaëder – Aarde – Dodecaëder –Mars – Tetraëder – Jupiter – Kubus – Saturnus
"Van deze veelvlakken zijn er precies vijf en vijf zijn er nodig om de zesplaneten uit elkaar te houden. Zo werkt God’s denken!"
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 18 / 63
![Page 22: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/22.jpg)
Klassieke mechanica
Newton (1643–1727)
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 19 / 63
![Page 23: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/23.jpg)
Klassieke mechanica
Newton’s mechanica
O
O’
X
V
v
Fysische wetten hebben dezelfde vorm in elk inertiaalframe(éénparig bewegend)Gelijktijdigheid is onafhankelijk van het frame (d.w.z., van dewaarnemer)
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 20 / 63
![Page 24: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/24.jpg)
Klassieke mechanica
Newton’s mechanica
x
tXO’ O
x−vt=xx+Vt=0 0
t’
x’
O’XO
x’−(v+V)t’=x’
x’−Vt’=0
0
(x , t) in frame van O ↔ (x ′, t ′) in frame van O′
x ′ = x + Vtt ′ = t
Ook: v ′ = v + VGV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 21 / 63
![Page 25: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/25.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Hyperbolische meetkundeGauß, Bolyai en Lobatchewski
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 22 / 63
![Page 26: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/26.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Hyperbolische meetkunde: grondleggers
Karl Friedrich Nikolay Ivanovich JánosGauss (Duitsland) Lobachevsky (Rusland) Bolyai (Hongarije)
(nu: Roemenië)1777–1855 1792–1856 1802–1860
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 23 / 63
![Page 27: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/27.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Kant’s ruimte en Gauss
Kant = Euclides + NewtonKant: Onze (euclidische!) ruimte is a priori en synthetischGauss: “Ik kom meer en meer tot de overtuiging dat de noodzaakvan onze meetkunde niet kan worden bewezen. (. . . ) moet mende Meetkunde niet dezelfde status geven als de Rekenkunde, diewaarlijk a priori is, maar als de Mechanica.”[Gauss in een brief aan Olbers, 1817]
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 24 / 63
![Page 28: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/28.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Kant’s ruimte en Gauss
Kant = Euclides + NewtonKant: Onze (euclidische!) ruimte is a priori en synthetischGauss: “Ik kom meer en meer tot de overtuiging dat de noodzaakvan onze meetkunde niet kan worden bewezen. (. . . ) moet mende Meetkunde niet dezelfde status geven als de Rekenkunde, diewaarlijk a priori is, maar als de Mechanica.”[Gauss in een brief aan Olbers, 1817]
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 24 / 63
![Page 29: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/29.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Kant’s ruimte en Gauss
Kant = Euclides + NewtonKant: Onze (euclidische!) ruimte is a priori en synthetischGauss: “Ik kom meer en meer tot de overtuiging dat de noodzaakvan onze meetkunde niet kan worden bewezen. (. . . ) moet mende Meetkunde niet dezelfde status geven als de Rekenkunde, diewaarlijk a priori is, maar als de Mechanica.”[Gauss in een brief aan Olbers, 1817]
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 24 / 63
![Page 30: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/30.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Historie: Gauss
De eerste (?) die een niet-euclidische meetkunde niet uitslootEnkele resultaten op dit terreinGeen publicaties over niet-euclidische meetkunde:“Ondertussen zal ik deze uitvoerige onderzoekingen vermoedelijkniet meer tijdens mijn leven publiceren, want ik vrees de schreeuwvan de Boeötiers die zou opklinken als ik mijn kijk op deze zaakzou geven”[Brief aan Bessel, 1929]
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 25 / 63
![Page 31: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/31.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Historie: Gauss
De eerste (?) die een niet-euclidische meetkunde niet uitslootEnkele resultaten op dit terreinGeen publicaties over niet-euclidische meetkunde:“Ondertussen zal ik deze uitvoerige onderzoekingen vermoedelijkniet meer tijdens mijn leven publiceren, want ik vrees de schreeuwvan de Boeötiers die zou opklinken als ik mijn kijk op deze zaakzou geven”[Brief aan Bessel, 1929]
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 25 / 63
![Page 32: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/32.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Historie: Gauss
De eerste (?) die een niet-euclidische meetkunde niet uitslootEnkele resultaten op dit terreinGeen publicaties over niet-euclidische meetkunde:“Ondertussen zal ik deze uitvoerige onderzoekingen vermoedelijkniet meer tijdens mijn leven publiceren, want ik vrees de schreeuwvan de Boeötiers die zou opklinken als ik mijn kijk op deze zaakzou geven”[Brief aan Bessel, 1929]
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 25 / 63
![Page 33: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/33.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Het Poincaré-model
Parallel
Ultraparallel
Punt: binnen de cirkel C.Lijn: cirkelboog die punten op C verbindt, en C loodrecht snijdt.Horizon: de cirkel C (het oneindige).
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 26 / 63
![Page 34: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/34.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Het Poincaré-model
Parallel
Ultraparallel
Punt: binnen de cirkel C.Lijn: cirkelboog die punten op C verbindt, en C loodrecht snijdt.Horizon: de cirkel C (het oneindige).
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 26 / 63
![Page 35: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/35.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Het Poincaré-model
Parallel
Ultraparallel
Punt: binnen de cirkel C.Lijn: cirkelboog die punten op C verbindt, en C loodrecht snijdt.Horizon: de cirkel C (het oneindige).
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 26 / 63
![Page 36: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/36.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Het Poincaré-model
Parallel
Ultraparallel
Punt: binnen de cirkel C.Lijn: cirkelboog die punten op C verbindt, en C loodrecht snijdt.Horizon: de cirkel C (het oneindige).
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 26 / 63
![Page 37: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/37.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 38: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/38.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 39: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/39.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 40: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/40.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 41: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/41.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 42: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/42.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 43: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/43.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 44: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/44.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 45: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/45.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 46: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/46.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 47: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/47.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 48: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/48.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 49: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/49.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 50: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/50.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 51: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/51.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 52: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/52.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 53: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/53.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 54: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/54.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 55: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/55.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 56: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/56.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 57: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/57.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 58: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/58.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 59: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/59.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 60: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/60.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 61: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/61.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 62: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/62.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 63: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/63.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 64: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/64.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 65: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/65.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 66: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/66.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 67: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/67.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Geodeten in Poincaréschijf
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 27 / 63
![Page 68: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/68.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Het Poincaré-schijfmodel
Voldoet aan Postulaten I.1–4 van Euclides.Voldoet niet aan het Parallellenpostulaat.
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 28 / 63
![Page 69: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/69.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Het Poincaré-schijfmodel
Voldoet aan Postulaten I.1–4 van Euclides.Voldoet niet aan het Parallellenpostulaat.
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 28 / 63
![Page 70: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/70.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Circle Limit IV (met betegeling)
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 29 / 63
![Page 71: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/71.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Regelmatige hyperbolische veelhoeken
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 30 / 63
![Page 72: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/72.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Regelmatige betegelingen van de Poincaréschijf
Zeshoeken met hoeken van 72o (graad 5) en 60o (graad 6).
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 31 / 63
![Page 73: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/73.jpg)
Hyperbolische meetkunde
Betegelingen van de (hyperbolische) ruimte
Vier dodecaëders delen een ribbe.
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 32 / 63
![Page 74: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/74.jpg)
Gekromde ruimten
Gekromde ruimtenGauß en Riemann
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 33 / 63
![Page 75: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/75.jpg)
Gekromde ruimten
Riemann en de elliptische meetkunde
Georg Friedrich Bernhard Jules Henri PoincaréRiemann (1826-1866) 1854–1912
Leerling van GaussÜber die Hypothesen welche die Geometrie zugrunde liegenHabilitationsschrift, 1854
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 34 / 63
![Page 76: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/76.jpg)
Gekromde ruimten
Riemann en grondslagen van de meetkunde
Elliptische meetkunde Hyperbolische meetkunde
Positieve kromming Negatieve kromming
Som van de hoeken van een driehoek:> 180o < 180o
Niet-euclidische meetkundes!
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 35 / 63
![Page 77: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/77.jpg)
Gekromde ruimten
Meten van kromming m.b.v. afstanden
1 Theorema Egregrium van Gauß: Kromming is alleen afhankelijkvan afstanden (metriek)
. . . en dus niet van de inbedding in de omliggende ruimte!2 Trek cirkel met straal r om een punt. Meet de omtrek L(r).
Kromming in dat punt:
K =3π
limr↓0
2πr − L(r)r3
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 36 / 63
![Page 78: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/78.jpg)
Gekromde ruimten
Meten van kromming m.b.v. afstanden
1 Theorema Egregrium van Gauß: Kromming is alleen afhankelijkvan afstanden (metriek)
. . . en dus niet van de inbedding in de omliggende ruimte!2 Trek cirkel met straal r om een punt. Meet de omtrek L(r).
Kromming in dat punt:
K =3π
limr↓0
2πr − L(r)r3
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 36 / 63
![Page 79: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/79.jpg)
Gekromde ruimten
Meten van kromming: boloppervlak
r : straal van cirkel op boloppervlak met straal R
ru
R
u = R sinrR
Omtrek cirkel:
L(r) = 2πR sinrR
= 2πR( r
R− r3
6R3 + . . .)
Kromming:
K =3π
limr↓0
2πr − L(r)r3 =
1R2
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 37 / 63
![Page 80: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/80.jpg)
Gekromde ruimten
Kromming Poincaréschijf
Cirkel met straal r heeft omtrek
L(r) = 2πR sinhrR
Kromming:
K =3π
limr↓0
2πr − L(r)r3 = − 1
R2
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 38 / 63
![Page 81: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/81.jpg)
Gekromde ruimten
Geodeten en kromming
Positieve kromming Negatieve kromming
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 39 / 63
![Page 82: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/82.jpg)
De vierde dimensie
De vierde dimensieGauß en Riemann
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 40 / 63
![Page 83: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/83.jpg)
De vierde dimensie
Polytopen in 4D (polychoronen)
4-simplex hyperkubus 16-cel
24-cel 120-cel 600-cel
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 41 / 63
![Page 84: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/84.jpg)
De vierde dimensie
Polytopen in 4D (polychoronen)
Nm Volledig V E 2D-vlakken 3D facetten5 Pentachoron 5 10 10 drieh. 5 tetrah.8 Tesseract 16 32 24 vierk. 8 kubussen
16 Hexadecachoron 8 24 32 drieh. 16 tetrah.24 Icositetrachoron 24 96 96 drieh. 24 octah.
120 Hecatonicosachoron 600 1200 720 vijfh. 120 dodecah.600 Hexacosichoron 120 720 1200 drieh. 600 tetrah.
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 42 / 63
![Page 85: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/85.jpg)
De vierde dimensie
4-simplex (5-cel)
5 hoekpunten,(5
2
)= 10 kanten,
(53
)= 10 driehoeken,(5
4
)= 5 tetraëders
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 43 / 63
![Page 86: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/86.jpg)
De vierde dimensie
Dodecaplex (120-cel)
Dodecaëder Dodecaplex
Stereografische projectie2-sfeer→ R2 3-sfeer→ R3
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 44 / 63
![Page 87: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/87.jpg)
De vierde dimensie
Hypercubus (tesseract)
Hyperkubus in stereografische projectie S3 → R3
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 45 / 63
![Page 88: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/88.jpg)
De vierde dimensie
Stereografische projectie polychoronen
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 46 / 63
![Page 89: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/89.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Ruimte en tijd in de modernefysicaEinstein
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 47 / 63
![Page 90: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/90.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Speciale relativiteitstheorie (Einstein, 1905)
Gebaseerd op twee principes1 Equivalentie van (inertiaal)frames
Wetten uit de natuurkunde hebben dezelfde vorm in frames dieéénparig t.o.v. elkaar bewegen
2 Lichtsnelheid is constant in lege ruimte,
onafhankelijk van de waarnemer (niet relatief!)
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 48 / 63
![Page 91: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/91.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Einstein’s treinexperiment
V
A BO
O’
Tijd t = 0:
O (in trein) passeert O′ (op perron) met éénparige snelheid V .
Waarnemers O en O′ zien beiden lichtflits uit A en B.1 O: A en B flitsten gelijktijdig2 O′: A flitste voor B (want verder weg op moment van flitsen)
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 49 / 63
![Page 92: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/92.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Lorentz-transformatie
Lichtstraal1 Vertrekt op tijd t = 0 uit (0,0,0)2 Positie (x , y , z) ten tijde t in ’rust-frame’ F , correspondeert met
positie (x ′, y ′, z ′) ten tijde t ′ in frame F ′ dat (relatief) éénparigbeweegt met snelheid V in de x-richting
Dusx2 + y2 + z2 − c2t2 = x ′2 + y ′2 + z ′2 − c2t ′2
Lorentz transformatie beeldt voorvallen (x , y , z, t) in F af op voorvallen(x ′, y ′, z ′, t ′) in F ′ volgens
x ′ = γ (x − V t)
y ′ = y , z ′ = z γ =1√
1− V 2/c2
t ′ = γ(t − Vc2 x)
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 50 / 63
![Page 93: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/93.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Lorentz-transformatie
x’
ct’
x
ct
Plaats-as van F ′ in frame F : t ′ = 0, dus ct =Vc
x
Tijd-as van F ′ in frame F : x ′ = 0, dus x =Vc(ct)
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 51 / 63
![Page 94: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/94.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Lorentz-transformatie
ct’
x’
x
ct
Plaats-as van F ′ in frame F : t ′ = 0, dus ct =Vc
x
Tijd-as van F ′ in frame F : x ′ = 0, dus x =Vc(ct)
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 51 / 63
![Page 95: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/95.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Relativiteit van de gelijktijdigheid
Voorval Bis gelijktijdig met voorval A in het groene framegaat vooraf aan A in het blauwe framevolgt op A in het rode frame
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 52 / 63
![Page 96: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/96.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Einstein’s treinexperiment (vervolg)
Relativiteit van de gelijktijdigheid
x
ct
A B
O
Gelijktijdigheid alleen vast te stellen in frame van de waarnemer!
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 53 / 63
![Page 97: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/97.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Tijddilatatie
Bewegende klok
AtA
At’
ct’
x’
ct
x
F : frame waarnemer; F ′: frame van bewegende klokt ′A < tA: volgens waarnemer loopt klok te traag (tijddilatatie)
t ′A = tA√
1− V 2/c2
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 54 / 63
![Page 98: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/98.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Lichtkegel
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 55 / 63
![Page 99: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/99.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie
Gauß/Riemann: afstand en kromming zijn intrinsiek voor hetoppervlak (ook voor bolbewoners merkbaar)Einstein: lichtstralen zijn geodeten (’kortste paden’) in eengekromde ruimte-tijd (Algemene relativiteitstheorie, 1915)Ik werk nu alleen nog maar aan het gravitatieprobleem. . . Eén dingis zeker, dat ik mijzelf nooit eerder in mijn leven zo gekweld heb. . . Vergeleken met dit probleem is de originele (Speciale)Relativiteitstheorie kinderspel. Albert EinsteinZonsverduistering 1919 (West Afrika): lichte afbuiging vansterrenlicht langs de zon.Bevestiging van Einstein’s Algemene Relativiteitstheorie.Paradigmawisseling: de ruimte-tijd is gekromd (gravitatie)!
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 56 / 63
![Page 100: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/100.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie
Gauß/Riemann: afstand en kromming zijn intrinsiek voor hetoppervlak (ook voor bolbewoners merkbaar)Einstein: lichtstralen zijn geodeten (’kortste paden’) in eengekromde ruimte-tijd (Algemene relativiteitstheorie, 1915)Ik werk nu alleen nog maar aan het gravitatieprobleem. . . Eén dingis zeker, dat ik mijzelf nooit eerder in mijn leven zo gekweld heb. . . Vergeleken met dit probleem is de originele (Speciale)Relativiteitstheorie kinderspel. Albert EinsteinZonsverduistering 1919 (West Afrika): lichte afbuiging vansterrenlicht langs de zon.Bevestiging van Einstein’s Algemene Relativiteitstheorie.Paradigmawisseling: de ruimte-tijd is gekromd (gravitatie)!
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 56 / 63
![Page 101: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/101.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie
Gauß/Riemann: afstand en kromming zijn intrinsiek voor hetoppervlak (ook voor bolbewoners merkbaar)Einstein: lichtstralen zijn geodeten (’kortste paden’) in eengekromde ruimte-tijd (Algemene relativiteitstheorie, 1915)Ik werk nu alleen nog maar aan het gravitatieprobleem. . . Eén dingis zeker, dat ik mijzelf nooit eerder in mijn leven zo gekweld heb. . . Vergeleken met dit probleem is de originele (Speciale)Relativiteitstheorie kinderspel. Albert EinsteinZonsverduistering 1919 (West Afrika): lichte afbuiging vansterrenlicht langs de zon.Bevestiging van Einstein’s Algemene Relativiteitstheorie.Paradigmawisseling: de ruimte-tijd is gekromd (gravitatie)!
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 56 / 63
![Page 102: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/102.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie
Gauß/Riemann: afstand en kromming zijn intrinsiek voor hetoppervlak (ook voor bolbewoners merkbaar)Einstein: lichtstralen zijn geodeten (’kortste paden’) in eengekromde ruimte-tijd (Algemene relativiteitstheorie, 1915)Ik werk nu alleen nog maar aan het gravitatieprobleem. . . Eén dingis zeker, dat ik mijzelf nooit eerder in mijn leven zo gekweld heb. . . Vergeleken met dit probleem is de originele (Speciale)Relativiteitstheorie kinderspel. Albert EinsteinZonsverduistering 1919 (West Afrika): lichte afbuiging vansterrenlicht langs de zon.Bevestiging van Einstein’s Algemene Relativiteitstheorie.Paradigmawisseling: de ruimte-tijd is gekromd (gravitatie)!
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 56 / 63
![Page 103: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/103.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie
Gauß/Riemann: afstand en kromming zijn intrinsiek voor hetoppervlak (ook voor bolbewoners merkbaar)Einstein: lichtstralen zijn geodeten (’kortste paden’) in eengekromde ruimte-tijd (Algemene relativiteitstheorie, 1915)Ik werk nu alleen nog maar aan het gravitatieprobleem. . . Eén dingis zeker, dat ik mijzelf nooit eerder in mijn leven zo gekweld heb. . . Vergeleken met dit probleem is de originele (Speciale)Relativiteitstheorie kinderspel. Albert EinsteinZonsverduistering 1919 (West Afrika): lichte afbuiging vansterrenlicht langs de zon.Bevestiging van Einstein’s Algemene Relativiteitstheorie.Paradigmawisseling: de ruimte-tijd is gekromd (gravitatie)!
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 56 / 63
![Page 104: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/104.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Kromming Ruimtetijd
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 57 / 63
![Page 105: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/105.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Kromming Ruimtetijd
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 57 / 63
![Page 106: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/106.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Kromming Ruimtetijd
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 57 / 63
![Page 107: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/107.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Kromming Ruimtetijd
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 58 / 63
![Page 108: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/108.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Kromming Ruimtetijd
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 58 / 63
![Page 109: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/109.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Kromming Ruimtetijd
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 59 / 63
![Page 110: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/110.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Kromming Ruimtetijd
Mass grips space by telling it how to curve, space grips mass by tellingit how to move John Wheeler, 1998
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 59 / 63
![Page 111: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/111.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Hoe ziet de ruimte(tijd) eruit?
Euclidische periodiciteit (kromming nul)?
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 60 / 63
![Page 112: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/112.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Hoe ziet de ruimte(tijd) eruit?
Hyperbolische periodiciteit (negatieve kromming)?
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 61 / 63
![Page 113: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/113.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Kromming van het universum?
%: gemiddelde dichtheid van het universum
H: constante van Hubble (expansie-fractie van het universum; 7% permiljard jaar)
G: gravitatieconstante (Newton)
% >3H2
8πG: Elliptisch universum
% =3H2
8πG: Plat universum
% <3H2
8πG: Hyperbolisch universum
Echter: ’gewone’ materie draagt slechts 30% bij aan %.
Zoektocht naar donkere materie en donkere energie duurt voort!
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 62 / 63
![Page 114: Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G ...broer/uploads/Teaching/college2.pdf · Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken,](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052101/603b1e715f802366d81517e0/html5/thumbnails/114.jpg)
Ruimte en tijd in de moderne fysica
Samenvatting: paradigmawisselingen in ruimtebegrip
Euclides:(oneindige) platte ruimteNewton:klassieke mechanica in Euclidische ruimteLobatchevski/Bolyai:niet-euclidische meetkunde mogelijkGauß/Riemann:gekromde ruimtenEinstein: gekromde ruimte-tijd (Relativiteitstheorie)
GV De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 14/03/2017 63 / 63