G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Le macchine termiche• Il primo principio ci offre la possibilità di trasformare
energia interna, calore in lavoro meccanico
• Le macchine che realizzano queste trasformazioni di chiamano “macchine termiche”
• esempi di macchine termiche:– Il motore dell’automobile
– Le vecchie locomotive a vapore
• Gli stessi principi vengono utilizzate dai– Frigoriferi, condizionatori, pompe di calore
• Una espansione isoterma trasforma tutto il calore assorbito dal serbatoio di calore a temperatura T in lavoro meccanico
• Una volta raggiunta la pressione atmosferica l’espansione si arresta
• Così anche la produzione di lavoro
• Occorre riportare il sistema al punto di partenza e ripetere l’espansione
• La macchina termica deve operare su un ciclo
• Perché ci sia una reale produzione di lavoro occorre far tornare indietro il sistema lungo una isoterma a temperatura più bassa
V
P
i
f
Τ
V f
P f
P i
V i
U = 0 Q = W
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Rendimento di una macchina termica• Se ritorno indietro lungo una isoterma a temperatura
più bassa,– il lavoro da effettuare, area in rosa, per riportare il
sistema nello stato iniziale è più piccolo di quello ottenuto nella prima fase
– Nel ciclo si ottiene una produzione netta, positiva, di lavoro del sistema sull’ambiente esterno
• Il lavoro è rappresentato dall’area racchiusa dal ciclo
• Se il ciclo viene percorso in verso orario, come è il caso descritto, il lavoro è positivo (il sistema fa lavoro sull’esterno)
• Se il ciclo viene percorso in verso antiorario, il lavoro è negativo, allora è l’ambiente esterno ad effettuare un lavoro sul sistema
• Si osservi che sulla isoterma if il sistema assorbe un calore Q pari al lavoro effettuato (area sotto la trasformazione, grigia)
• Nella isoterma gh il calore è negativo, viene ceduto dal sistema all’ambiente esterno
• Lungo le isocore in una il calore viene assorbito (hi) nell’altra viene ceduto (gf).
• Si definisce rendimento di una macchina termica il rapporto tra il lavoro prodotto nel ciclo e il calore comunque assorbito nel ciclo:
V
P
i
f
Τ
V f
P f
P i
V i
g
h
η=W
Qass
ΔUii =0 ⇒ W =QΔU =Q−W
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Macchine termiche che lavorano tra due serbatoi
• Le macchine termiche sono sistemi termodinamici che descrivono un ciclo
• C’è una parte del ciclo in cui il sistema assorbe calore da uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno
• C’è un’altra parte del ciclo in cui il sistema cede calore ad uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno
• Nel ciclo il sistema esegue un lavoro netto positivo sull’ambiente esterno
• Un caso particolare di macchina termica è quella che lavora tra due serbatoi
– Schematizzabile come nella figura a lato
– La macchina assorbe calore Q1 dal serbatoio a temperatura più elevata T1
– Cede il calore Q2 al serbatoio a temperatura inferiore T2
– Produce il lavoro W
• Il rendimento della macchina è dato da
W
η=WQ1
η=Q1 −Q2
Q1
=1−Q2
Q1
η=W
Qass
ΔUii =0 ⇒ W =QΔU =Q−W
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La macchina e il ciclo di Carnot• La macchina di Carnot è una macchina reversibile che opera
con due soli serbatoi di calore
• Il ciclo è costituito da – due isoterme (alle temperature T1 e T2)
– e da due adiabatiche (è l’unica trasformazione reversibile che non richiede ulteriori serbatoi di calore)
– Nella figura è rappresentato il ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto
• Tutte le macchine reversibili che operano con due soli serbatoi di calore sono macchine di Carnot
• Il ciclo può essere percorso da una qualsiasi sostanza: gas perfetto, gas reale, acqua e vapor d’acqua, freon, etc.
W• Scegliendo il punto b
dove far finire l’espansione isoterma, si può variare il lavoro fatto dalla macchina in un ciclo.
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Studio del ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto
• Trasformazione ab - Espansione isoterma– U=0, Q1=Wab
– La trasformazione è reversibile: possiamo suddividerla in tratti infinitesimi
– Il lavoro in ciascun tratto infinitesimo sarà: dW=PdV
– Il lavoro complessivo
– Dato che Vb è maggiore di Va (espansione) il lavoro è positivo
– Il calore Q1 è uguale al lavoro: è anch’esso positivo (calore assorbito)
Wab = PdVa
b
∫ =nRT1
VdV
a
b
∫ =nRT1dVVa
b
∫ =
=nRT1 lnV[ ]ab=nRT1ln
Vb
Va
ΔU =Q−W
Va
Vb
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Studio del ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto
• Trasformazione bc - Espansione adiabatica– Qbc=0, Ubc =-Wbc
– La variazione di U energia del gas perfetto
– Dato che T2 è più piccolo di T1, U <0
– Il lavoro W è maggiore di zero (il lavoro viene fatto dal sistema sull’ambente esterno
ΔUbc =nCV T2 −T1( )
Wbc =−nCV T2 −T1( )
• Trasformazione cd - Compressione isoterma– U=0, Q2=Wcd
– Operando come sulla trasformazione ab, otteniamo il lavoro complessivo
Wcd =nRT2lnVd
Vc– Dato che Vd è minore di Vc (compressione), il lavoro è negativo
– Il calore Q2 è uguale al lavoro: è anch’esso negativo (calore ceduto)
ΔU =Q−W
Va
VbVc
Vd
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Studio del ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto
• Trasformazione da - Compressione adiabatica– Qda=0, Uda =-Wda
– La variazione di U energia del gas perfetto
– Dato che T2 è più piccolo di T1, U >0
– Il lavoro W è minore di zero (il lavoro viene fatto sul sistema dall’ambente esterno
ΔUda =nCV T1 −T2( )
Wda =−nCV T1 −T2( )
• Si osservi che Wda=-Wbc
• Il lavoro complessivo svolto nel ciclo sarà:
W=Wab+Wbc+Wcd+WdaW =nRT1ln
Vb
Va
+nRT2lnVd
Vc
• Il calore assorbito nel ciclo è solo Q1=Wab
ΔU =Q−W
Va
VbVc
Vd
Q1 =nRT1lnVb
Va
• Il rendimento del ciclo di Carnot η=
WQ1
=nRT1ln
Vb
Va
+nRT2lnVd
Vc
nRT1lnVb
Va
=1+T2
T1
lnVd
Vc
lnVb
Va
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Studio del ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto
• Vogliamo far vedere che:
ΔU =Q−W
Va
VbVc
Vd
η=WQ1
=nRT1ln
Vb
Va
+nRT2lnVd
Vc
nRT1lnVb
Va
=1+T2
T1
lnVd
Vc
lnVb
Va
lnVd
Vc
lnVb
Va
=−1
abisoterma PaVa =PbVb
bcadiabaticaPbVbγ =PcVc
γ
cdisoterma PcVc =PdVd
daadiabaticaPdVdγ =PaVa
γ PaVaPbVbγPcVcPdVd
γ =PbVbPcVcγPdVdPaVa
γ
• Moltiplicando tutti i primi membri e tutti i secondi membri tra loro
VaVbγVcVd
γ =VbVcγVdVa
γVb
γ−1Vdγ−1 =Vc
γ−1Vaγ−1
Vb
Va
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
γ−1
=Vc
Vd
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
γ−1 Vb
Va
=Vc
Vd
η=1−T2
T1
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Il frigorifero• Il ciclo di Carnot è un ciclo reversibile
• Quindi può essere percorso all’indietro
• Ma quando una trasformazione viene percorso al contrario
– Si invertono i segni degli scambi energetici
– Sicuramente cambia segno DU
– Ma anche W e Q
– Quelle che erano le quantità assorbite diventano cedute e viceversa
• quindi la macchina di Carnot al contrario – assorbe il lavoro W
– assorbe il calore Q2 dal serbatoio più freddo
– cede la quantità di calore Q1 al serbatoio più caldo
• Abbiamo realizzato un frigorifero
• Si definisce coefficiente di prestazione del frigorifero ε =Q2
W=
Q2
Q1 −Q2
w
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Il secondo principio della Termodinamica - Enunciato di Kelvin-Plank
• Le macchine termiche sono sistemi termodinamici che descrivono un ciclo
• C’è una parte del ciclo in cui il sistema assorbe calore da uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno
• C’è un’altra parte del ciclo in cui il sistema cede calore ad uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno
• Nel ciclo il sistema esegue un lavoro netto positivo sull’ambiente esterno
• è impossibile realizzare un processo il cui unico risultato sia quello di assorbire calore da un serbatoio e di convertirlo completamente in lavoro.
W(=Q1)
η=Q1 −Q2
Q1
=1−Q2
Q1
<1Τ
1
Q 1
W
Q1 ≤0
Macchina monoterma
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Il secondo principio della Termodinamica - Enunciato di Clausius
• non è possibile realizzare un processo il cui unico risultato sia quello di far passare del calore da un corpo più freddo ad uno più caldo.
• Il passaggio di calore da un corpo più freddo ad uno più caldo deve essere sempre accompagnato da qualche altra modifica da qualche altra parte nell’universo
• Ossia c’è bisogno di un lavoro esterno
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Verifica dell’equivalenza tra le due formulazioni
• Si può vedere che violando una formulazione è violata anche l’altra• Supponiamo che esiste una macchina termica che riesca a trasformare
tutto il calore estratto da un serbatoio a temperatura T1 in lavoro meccanico.
• Posso usare questa macchina accoppiandola ad una macchina di Carnot che facciamo lavorare come frigorifero
– Il lavoro prodotto dalla prima macchina viene utilizzato per far funzionare il frigorifero
• L’effetto cumulativo delle due macchine è un frigorifero ideale che preleva il calore Q2 dal serbatoio più freddo e lo trasferisce a quello più caldo senza richiedere alcun lavoro dall’esterno
• Questa macchina viola la seconda formulazione del II principio
Τ1
Τ 2
Q 1
W
Τ1
Τ 2
Q' 1
Q 2
W
Τ1
Τ2
Q'1= Q2+ Q1
Q2
W= Q1Q1
Τ1
Τ2
Q2
Q2
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Irreversibilità e II principio
• Il secondo principio della termodinamica ci fa capire perché alcune trasformazioni sono irreversibili
• Prendiamo il passaggio di calore tra due corpi inizialmente a temperatura differente:
– Il secondo principio ci impedisce di realizzare la condizione di partenza perché bisogna trasferire del calore da un corpo più freddo ad uno più caldo è per fare questo occorre produrre qualche altra modifica da qualche altra parte nell’universo
• prendiamo un pendolo messo in oscillazione che dopo un po’ si ferma perdendo la sua energia meccanica in energia interna dell’aria e dei corpi interessati
– Per rispristinare la situazione iniziale occorrerebbe estrarre dall’aria e dai corpi questa energia interna e ritrasformala, tutta, in lavoro (energia meccanica)
– Il secondo principio ci impedisce di fare questo: una parte dell’energia non può essere trasformata in lavoro meccanico e deve essere ceduto ad un serbatoio a temperatura più bassa.
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Il teorema di Carnot• Tutte le macchine che lavorano tra due termostati hanno
un rendimento che è minore, o al massimo uguale, a quello di una macchina di Carnot che lavori tra gli stessi due termostati.
• tutte le macchine reversibili (tutte le macchine di Carnot) che lavorano tra gli stessi termostati hanno, tutte, lo stesso rendimento.
wC
• La dimostrazione si fa per assurdo:
• Supponiamo che esista una macchina X che lavora tra i due termostati a temperatura T1 e T2 che abbia un rendimento maggiore della macchina di Carnot operante tra gli stessi termostati
• Regolando il ciclo della macchina di Carnot facciamo in modo che il lavoro fatto dalle due macchine in un ciclo sia uguale
• Consideriamo positive tutte le quantità di calore, per distinguere il calore assorbito da quello ceduto useremo esplicitamente il segno
Q’1
Q’2
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Il teorema di Carnot
wC
Q’1
Q’2
ηC =WQ1
ηX =WQ'1
ηX >ηC ⇒WQ'1
>WQ1
⇒ Q1 >Q'1
W =Q'1−Q'2W =Q1 −Q2
⇒ Q'1−Q'2 =Q1 −Q2 ⇒ Q2 −Q'2 =Q1 −Q'1
Q1 −Q'1>0
Q2 −Q'2>0
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Il teorema di Carnot• Se combiniamo le due macchine otteniamo una macchina che trasferisce il
calore Q=Q2-Q’2 (>0) dal serbatoio a temperatura più bassa a quello a temperatura più alta senza richiedere alcuna altra modificazione nell’universo.
• Contraddice il secondo Principio della Termodinamica
• L’ipotesi da cui siamo partiti è falsa. Quindi
• Dimostrazione della 2a parte
• Se la macchina X è reversibile allora il suo ciclo può essere invertito e si può scambiare il ruolo della macchina X con quello della macchina di Carnot
• Ripetendo lo stesso ragionamento a ruoli invertiti otterremo:
ηX ≤ηC cvd
ηC ≤ηXrev
• Le due relazioni precedenti devono essere vere contemporaneamente.
• Questo accade solo se ηXrev=ηC cvd
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Conseguenze del teorema di Carnot
• Dati due termostati a temperatura diversa, la maniera più efficiente per trasformare calore in lavoro meccanico è quello di utilizzare una macchina di Carnot.
• il rendimento di una macchina di Carnot è indipendente dalla sostanza impiegata per percorre il ciclo, gas perfetto, gas reale, acqua e vapore d’acqua, freon. etc, dipende solo dalle temperature dei termostati tra cui opera:
– Abbiamo già calcolato il rendimento di una macchina di Carnot operante con un gas perfetto
η=1−T2
T1
• Tutte le macchine di Carnot operanti tra questi due termostati avranno tutti lo stesso rendimento appena calcolato.
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La temperatura termodinamica o assoluta
• Il teorema di Carnot ci permette di definire una ulteriore scala di temperatura
• Infatti se prendiamo una macchina di Carnot che opera tra il corpo di cui si vuole conoscere la temperatura e il sistema del punto triplo
• Dalla definizione di rendimento
• Il calore scambiato da una macchina di Carnot gioca il ruolo di caratteristica termometrica
• Questa nuova definizione della temperatura, è equivalente alla scala di temperatura del gas perfetto per tutte le temperature misurabili col gas perfetto
• Estende fino allo zero assoluto l’intervallo di temperature misurabili, perché all’interno della macchina di Carnot ci possiamo mettere qualunque sostanza.
ηdef =1−Qtr
Q
ηC =1−Ttr
T
⇒Qtr
Q=
Ttr
T⇒ T =273.16
Ttr1 2 3
Q
Qtr
K
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Applicazio
ne
• Un inventore sostiene di aver inventato cinque motori, ciascuno operante tra i serbatoi termici a 400 e 300 K. Per ogni ciclo, i dati di ogni motore sono i seguenti:
– Qa=200 J, Qc=-175 J, W=40 J
– Qa=200 J, Qc=-150 J, W=50 J
– Qa=600 J, Qc=-200 J, W=400 J
– Qa=100 J, Qc=-90 J, W=10 J
– Qa=500 J, Qc=-200 J, W=400 J
– Dire quali dei due principi della termodinamica (eventualmente entrambi) vengono violati da ciascun motore. Nel caso invece entrambi i principi della termodinamica risultino soddisfatti, stabilire se il ciclo è reversibile
• No primo
• Ok primo, ok secondo, reversibile
• Ok primo, no secondo
• Ok primo, ok secondo, non reversibile
• No primo
ηC =1−T2
T1
=1−300400
=0.25 η≤ηC
η2 =W
Qass
=50200
=.25
η4 =W
Qass
=10100
=.10
η3 =W
Qass
=400600
=.66
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Applicazio
ne
• Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a benzina, può essere approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che la miscela aria-benzina possa essere considerato un gas perfetto e che venga utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V4 = 4V1). Si supponga inoltre che p2=3p1.
– Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma p-V in funzione di p1 e T1, e del rapporto dei calori specifici del gas.
– Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione.– Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le temperature estreme.
• Questo ciclo è denominato “ciclo Otto” ed è il ciclo secondo cui funziona il motore benzina.
• Punto 2
4
3
2
1 Adiabatica
Adiabatica
V4V1
p1
3p1
Scoppio
V2 =V1
P2 =3P1
T2 =P2V2
nR=
3P1V1
RP1V1
RT1
=3T1
• Punto 3
V3 =V4 =4V1
P3 =P2V2
γ
V3γ =3P1
V1γ
4γV1γ =3×4−γP1
T3 =P3V3
nR=
3×4−γP1 ×4×V1
RP1V1
RT1
=3×41−γT1
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Applicazio
ne
• Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a benzina, può essere approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che la miscela aria-benzina possa essere considerato un gas perfetto e che venga utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V4 = 4V1). Si supponga inoltre che p2=3p1.
– Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma p-V in funzione di p1 e T1, e del rapporto dei calori specifici del gas.
– Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione.– Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le temperature estreme.
• Punto 4
4
3
2
1 Adiabatica
Adiabatica
V4V1
p1
3p1
Scoppio
r =V4
V1
=4
V4 =4V1
P4 =P1V1
γ
V4γ =P1
V1γ
4γV1γ =4−γP1
T4 =P4V4
nR=
4−γP1 ×4×V1
RP1V1
RT1
=41−γT1
η=W
Qass
=1+Qced
Qass
=1+nCV T4 −T3( )nCV T2 −T1( )
=1+41−γ −3×41−γ
( )T1
3−1( )T1
=1+41−γ 1−3( )
3−1( )=1−
14γ−1
ηC =1−T4
T2
=1−41−γT1
3T1
=1−1
3×4γ−1
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Applicazio
ne
• In un ciclo di Carnot l'espansione isoterma di un gas ideale avviene a 412 K e la compressione isoterma a 297 K. Durante l'espansione il gas assorbe 2090 J di energia termica.
• Determinare:– Il lavoro fatto dal gas durante l'espansione isoterma– Il calore ceduto dal gas durante la compressione isoterma– Il lavoro fatto sul gas durante la compressione isoterma– Il rendimento del ciclo.
• O
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Applicazio
ne
• Una macchina termica ciclica funziona tra due sorgenti costituite rispettivamente da una massa m di vapore d'acqua a 100°C e da una massa m1=1kg di ghiaccio a 0°C. la macchina preleva calore dalla sorgente calda e viene fatta funzionare finché tutto il ghiaccio si è fuso o il vapore si è liquefatto.
– la macchina termica sia irreversibile con rendimento *=0,2: quale deve essere il valore della massa del vapore m se si vuole fondere tutto il ghiaccio?
– Si dica quale tipo di macchina si deve usare per fondere il ghiaccio facendo liquefare• la massa minima di vapore,
• la massa di vapore più grande possibile (mmax).
– Si calcoli la variazione di entropia del sistema costituito dalle sorgenti e dalla macchina termica nei tre casi considerati. Si usino i seguenti valori approssimati: calore latente di fusione del ghiaccio f = 79,7 cal/g, calore di liquefazione del vapore di acqua e = 539 cal/g.
• O
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Applicazio
ne
• Una mole di gas perfetto monoatomico viene utilizzata come sostanza di lavoro di una macchina termica che compie il ciclo mostrato in figura. Si calcoli:
• Il lavoro fatto dalla macchina in un ciclo.
• Il calore assorbito per ciclo
• Il rendimento di una macchina di carnot operante tra la più alta e la più bassa temperatura presenti nel ciclo
• Si ponga P1=3P0, V1=2V0, P0=1,01x105 Pa e V0=22,5 litri.
• O
V0,P0
V1,P1b
d
c
a
V
P