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Grafos
Histórico, exemplos e problemas
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Pontes de KönigsbergKönigsberg, Prússia (atual Калинингра$ д), Rússia
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Pontes de KönigsbergÉ possível cruzar cada ponte uma única vez e
voltar ao ponto de partida?
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Pontes de KönigsbergÉ possível cruzar cada ponte uma única vez e
voltar ao ponto de partida?
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Pontes de KönigsbergNinguém conseguia uma solução. Alguns
achavam que era impossível.
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Leonhard Euler (“Óiler”)• Um dos matemáticos mais
produtivos da história– 13 filhos– mais de 800 artigos publicados
• séries – Cálculo• equações diferenciais – Cálculo e
Cálculo Numérico
– Ficou cego e continuou escrevendo artigos por mais 17 anos até sua morte
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– Resolvido em 1736 por Leonhard Euler
– Necessário um modelo para representar o problema
– Abstração de detalhes irrelevantes:• Área de cada ilha• Formato de cada ilha• Tipo da ponte, etc.
Pontes de Königsberg
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Pontes de Königsberg• Euler demonstrou que o problema das pontes de
Königsberg não tem solução• Ele usou um modelo simplificado das ligaçõesentre as regiões• Euler usou um raciocínio muito simples. Transformou os
caminhos em retas e suas intersecções em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da história.
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Pontes de Königsberg
• Então percebeu que só seria possível atravessar o caminho inteiro passando uma única vez em cada ponte se houvesse no máximo dois pontos de onde saia um número ímpar de caminhos.
• A razão de tal coisa é: de cada ponto deve haver um número par de caminhos, pois será preciso um caminho para "entrar" e outro para "sair".
• Os dois pontos com caminhos ímpares referem-se ao início e ao final do percurso, pois estes não precisam de um para entrar e um para sair, respectivamente
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Pontes de Königsberg• Euler estabeleceu um teorema que diz em que
condições é possível percorrer cada linha exatamente uma vez e voltar ao ponto inicial– Foi o primeiro teorema da Teoria dos Grafos
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Pontes de Königsberg
• Como os graus de todos os vértices são impares, é fácil verificar que este grafo não apresenta nem uma trilha, nem um ciclo euleriano, visto que ele não satisfaz o teorema de euler, nem tampouco é um grafo atravessável. Logo, a travessia proposta não é possível.
– Teorema de euler: Um multigrafo M é euleriano se e somente se M é conexo e cada vértice de M tem grau par.
– Teorema de grafo atravessável: Um multigrafo M é atravessável se e somente se M é conexo e tem exatamente dois vértices de grau impar. Consequentemente, qualquer trilha euleriana de M começa em um dos vértices de grau impar e termina no outro vértice de grau impar.
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• Euler mostrou que não existe o trajeto proposto utilizando o modelo em grafos
• Verifique nos grafos abaixo se o trajeto proposto é possível
Pontes de Königsberg
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Mais história• Um século sem estudos em grafos
• Leis de Kirchoff (Kirchoff, 1847)
• Problema das 4 cores (De Morgan, 1852)
• Aplicações em Química orgânica (Cayley, 1857)
• Problema do ciclo Hamiltoniano (Hamilton 1859)
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• É possível conectar os 3 serviços às 3 casas sem haver cruzamento de tubulação?
água luz telefone
A teoria dos grafos mostra que não é possível
O problema das 3 casas
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Mapas
• Quantas cores são necessárias?
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Mapas
• Quantas cores são necessárias?
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Questões sobre o caminho mínimo
• De forma a reduzir seus custos operacionais, uma empresa de transporte de cargas deseja oferecer aos motoristas de sua frota um mecanismo que os auxilie a selecionar o melhor caminho (o de menor distância) entre quaisquer duas cidades por ela servidas, de forma a que sejam minimizados os custos de transporte.
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• Estamos interessados em objetos e nas relações entre eles
• Quem são eles nos problemas apresentados?
• Como representar graficamente?
Modelagem com grafos
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Modelagem com grafos
No problema das casas– Vértices são casas e serviços– Arestas são as tubulações entre casas e serviços
• No problema da coloração de mapas– Vértices são estados– Arestas relacionam estados vizinhos
• No problema do caminho mais curto– Vértices são as cidades– Arestas são as ligações entre as cidades
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Três desenvolvimentos isolados despertaram o interesse pela área
• Formulação do problema das 4 cores (De Morgan 1852).
• Qual a quantidade mínima de cores para colorir um mapa de tal forma que países fronteiriços possuam cores diferentes?
• Apresenta-se um exemplo em que 3 cores não são suficientes. Uma prova de que 5 cores é suficiente foi formulada. Conjecturou-se então que 4 cores seriam suficientes. Esta questão ficou em aberto até 1976 quando Appel e Haken provaram para 4 cores.
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Três desenvolvimentos isolados despertaram o interesse pela área
• Problema do ciclo Hamiltoniano (Hamilton 1859)
Existem n cidades. Cada par de cidades pode ser adjacente ou não arbitrariamente. Partindo de uma cidade qualquer, o problema consiste em determinar um trajeto que passe exatamente uma vez em cada cidade e retorne ao ponto de partida.
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Três desenvolvimentos isolados despertaram o interesse pela área
• Teoria das árvores
- Kirchoff (1847) - problemas de circuitos elétricos
- Cayley (1857) - Química Orgânica
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Então, o que é um grafo?• Informalmente, um conjunto de objetos e
ligações (relações) entre eles
• Alguns chamam de rede
• Muitas vezes representado graficamente (pontos e linhas)
• Os objetos são chamados de vértices e as
• ligações, de arestas
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O que são Grafos
• Diagrama - Corresponde a soma de pontos e linhas, onde os pontos apresentam alguma informação e as linhas indicam o relacionamento entre dois pontos quaisquer
• Ferramenta de modelagem• Abstração matemática que representa situações
reais através de um diagrama.
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Grafo vs gráfico• Um grafo pode ser representado graficamente de
diversas maneiras
![Page 26: Grafos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062422/568139fc550346895da1c09a/html5/thumbnails/26.jpg)
Grafo vs gráfico• O que importa são as relações que existem entre os
vértices
![Page 27: Grafos](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062422/568139fc550346895da1c09a/html5/thumbnails/27.jpg)
– Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento • Genética, química, pesquisa operacional,
telecomunicações, engenharia elétrica, redes de computadores, conexão de vôos aéreos, restrições de precedência, fluxo de programas, dentre outros
– Utilizados na definição e/ou resolução de problemas
Porque estudar Grafos ?
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Porque estudar Grafos
– Em computação: estudar grafos é mais uma forma de solucionar problemas computáveis
– Os estudos teóricos em grafos, buscam o desenvolvimento de algoritmos mais eficientes.