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GruppenwettbewerbGruppenwettbewerb
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Aufgabe G1 (8 Punkte)
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Aufgabe G1 (8 Punkte)
Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:
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Jeweils durch die Mitten gegenüberliegender Flächen:
• 3 Achsen
Drehwinkel:
• 90°
• 180°
• 270°
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Drehwinkel:
• 120°
• 240°
Jeweils durch gegenüberliegende Ecken (längs der 4 Raumdiagonalen)
• 4 Achsen
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Drehwinkel:
• 180°
Jeweils durch die Mitte gegenüberliegender Kanten.
• 6 Achsen
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Aufgabe G2 (8 Punkte)
Frage:
Wie muss der Punkt P gewählt werden, damit der Abstand zwischen den Punkten A und B minimal wird?
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Gegeben war folgende Konstellation:
Aufgabe G2 (8 Punkte)
Frage:
Wie muss der Punkt P gewählt werden, damit der Abstand zwischen den Punkten A und B minimal wird?
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Lösung:
(1) Gleichung der Tangenten aufstellen
(2) Achsenschnittpunkte bestimmen
(3) Länge der Strecke AB in Abhängigkeit von Punkt P als Funktion darstellen
(4) Minimum der Funktion suchen
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(1) Gleichung der Tangenten aufstellen: y=mx+b
Funktionsgleichung der Parabel: f(x) = 9 - x²
Punkt P (a / 9-a²)
a) Die Tangente hat im Punkt P(a / 9-a²) die Steigung f‘(a):f‘(a) = -2a Tangentengleichung: y = -2ax + b
b) Setzt man nun den Punkt P in diese ein, erhält man:-a²+9 = -2aa+bb = a²+9
Insgesamt erhält man für so für die Gleichung der Tangenten:
y = -2ax + (a²+9)
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a) Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0
b) Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0
)9²/0( aB
(2) Achsenschnittpunkte
)0/2
9²(
2
9²
9²2
9²2
09²2
a
aA
a
ax
aax
aax
aax
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(3) Bestimmen der Streckenlänge AB
)²4
11()²9²(²
)²4
)²9²(()²9²(²
²)²2
9²()²9²(
aad
a
aad
da
aa
Satz des Pythagoras:
Folgende Funktion stellt also den Abstand zwischen A und B in Abhängigkeit von der Lage von P dar:
)4
11()²9²()(
aaag
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(4) Minimum der Funktion suchenBestimmen der Ableitung g‘(a) mit Hilfe der Produktregel:
)1²)(9²8(2
9²)('
)9²8(2
9²)('
'')('
2
1'2)9²(2'
)²4
11()9²(
)²4
11()9²()(
3
43
3
aaa
aag
aaa
aag
uvvuag
avaau
avau
aaag
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a) Notwendiges Kriterium: g‘(a)=0
b) Vorzeichenwechselkriterium
Damit ist ein Minimum gefunden Also ist P(1/8)
1
09²801²
0)('
a
aodera
ag
)1²)(9²8(2
9²)(':
3
aa
a
aagAbleitung
9375,99)2('
25,305)5,0('
g
g
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Aufgabe G3 (8 Punkte)
![Page 17: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/17.jpg)
Glücksspiel (2 faire Würfel) mit Einsatz 2,-€ Pasch: 5,-€ Differenz von 5: 10,-€ Differenz von 1: 2,-€ (= Einsatz)
Aufgabe G3 (8 Punkte)
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Ereignis(Symbol)
Pasch O
∆1□
∆5 ∆
sonst
günstig 11, 22, 33
44, 55, 66
12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16
16, 61 Rest
Wahrsch.(p)
Gewinn in € 5-2 2-2 10-2 0-236
6
36
236
18
36
10
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Ereignis Pasch ∆1 ∆5 sonst
günstig 11, 22, 33
44, 55, 66
12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16
16, 61 Rest
Wahrsch.(p)
Gewinn in € 3 0 8 -236
6
36
2
36
18
36
10
a) Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn?
Berechnung des durchschnittlichen Gewinns E(X):
€06,018
1)2(
36
188
36
20
36
103
36
6)( XE
Das heißt man macht bei diesem Spiel durchschnittlich 6 Cent Verlust!
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b) Bei welchem Einsatz wäre das Spiel fair, also E(X)=0?
92,113
25
0)0(36
18)10(
36
2)(
36
10)5(
36
6
x
xxxxx
Der durchschnittliche Gewinn wird durch folgende Gleichung berechnet:
Der Einsatz müsste als ungefähr 1,92€ betragen, damit das Spiel fair ist.
Ereignis Pasch ∆1 ∆5 sonst
günstig 11, 22, 33
44, 55, 66
12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16
16, 61 Rest
Wahrsch.(p)
Gewinn in € 5-x x-x 10-x 0-x36
6
36
2
36
18
36
10
![Page 21: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/21.jpg)
Aufgabe G4 (8 Punkte)
![Page 22: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/22.jpg)
Definiert wurde folgende Multiplikation:
Aufgabe G4 (8 Punkte)
),(:),(),( bcadbdacdcba
)0,0(
)343)4(,343)4(()3,3()4,4(
)1,2(
)0)2(11,1)2(01()1,0()2,1(
II
I
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Wie muss (x,y) gewählt werden, damit für alle (a,b) mit a²≠b² gilt, dass:
ayb
aaxII
abyaxI
b
abaybxII
abyaxI
giltbayxbai
²
?),(),(),()(
III
0
0)²
(
y
yb
ab
1
0
x
abaxIin
![Page 24: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/24.jpg)
Wie muss (x,y) gewählt werden, damit für alle (a,b) mit a²≠b² gilt, dass:
0²)²(0
²
0²
²
0
1
?)0,1(),(),()(
ybaII
bybabxI
IIIyaabxII
bybabxI
aaybxII
bbyaxI
giltyxbaii
²²
²²
ba
axIin
ba
byII
![Page 25: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/25.jpg)
EinzelwettbewerbEinzelwettbewerb
![Page 26: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/26.jpg)
Aufgabe E1 (8 Punkte)
Wie groß sind
Länge und Breite
des Rechtecks?
![Page 27: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/27.jpg)
1) Berechnung der Länge des Rechtecks:
Die Länge des Rechtecks entspricht 4 mal dem Radius
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2) Berechnung der Breite des Rechtecks:
Wir fügen 2 Dreiecke ein:
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2) Berechnung der Breite des Rechtecks:
Wir fügen 2 Dreiecke ein:
Diese sind nach SsW kongruent.
Also gilt:
DGDF
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2) Berechnung der Breite des Rechtecks:
Analog folgt:
rHB
istDabei
GBHB
3
![Page 31: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/31.jpg)
2) Berechnung der Breite des Rechtecks:
Mit Hilfe des Satz des Pythagoras gilt:
rxalso
rxrrx
2
)²3()²4()²(
Für die Breite des Rechtecks ergibt sich damit 3r
![Page 32: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/32.jpg)
„Im Jahre 2010 sind beide Töchter so alt, wie die Quersumme ihrer Geburtsjahre!“
Wie alt sind die beiden Töchter?
Aufgabe E2 (8 Punkte)
![Page 33: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/33.jpg)
1) Geburtsjahr der jüngeren Tochter
Das Geburtsjahr der jüngeren Schwester sei angenommen 200a:
4
82
210
200020102
)2000(2010002
a
a
aa
aa
aa
Somit ist die jüngere Schwester 2004 geboren!
![Page 34: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/34.jpg)
2) Geburtsjahr der älteren Tochter
Für das Geburtsjahr der älteren Schwester kommen nur die 80er oder 90er Jahre in Frage:
Also muss das Geburtsjahr der älteren Tochter 19ab sein!
)1991192010(
2819199
)1983282010(
2718198
)1983272010(
2617197
möglichwäre
JahreAltermögliches
möglichwäre
JahreAltermögliches
aber
JahreAltermögliches
![Page 35: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/35.jpg)
2) Geburtsjahr der älteren Tochter
Das Geburtsjahr der älteren Schwester sei angenommen 19ab:
Wir verwenden nun:
2
11100
111002
100211
10100
109001000201010
)109001000(201091
ab
ab
ba
baba
baba
baba
8,8 aalsoseingerademussaunda
TochterälterediefürrGeburtsjahdassichergibtAlso
bliefertEinsetzen
1986
6:
![Page 36: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/36.jpg)
Lösung Aufgabe:
Geburtsjahr Alter 2010
Quersumme
Ältere Tochter
1986 24 24
Jüngere Tochter
2004 6 6
![Page 37: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/37.jpg)
Für jede reelle Zahl z sei [z] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich z.
Aufgabe E3 (8 Punkte)
zzz][
Zeichnen Sie im KOS alle Punkte (x/y), für die [x]² + [y]² = 4 gilt!
![Page 38: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/38.jpg)
Zeichnen Sie im KOS alle Punkte (x/y), für die [x]² + [y]² = 4 gilt
[1;0[[1;2[ yundx
[1;2[[1;0[ yundx
(i) [2]² + [0]² = 4
(ii) [-2]² + [0]² = 4
(iii) [0]² + [2]² = 4
(iv) [0]² + [-2]² = 4
[3;2[[1;0[ yundx
[1;0[[3;2[ yundx
![Page 39: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/39.jpg)
SchnelligkeitswettbewerbSchnelligkeitswettbewerb
![Page 40: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/40.jpg)
Wie lang ist der Weg des Lichtstrahls?
Aufgabe H1 (3 Punkte)
![Page 41: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/41.jpg)
Lösung:
• Reflexionsgesetz: Einfallswinkel =Reflexionswinkel
Weg des Lichts = Strecke P‘Q‘
61
)²32()²24(
²²''
xyQP
Rechung:
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Aufgabe H2 (3 Punkte)
![Page 43: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/43.jpg)
Lösung:
Mit istBAC:
![Page 44: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/44.jpg)
Lösung:
Mit istBAC:
![Page 45: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/45.jpg)
Lösung:
Mit istBAC:
![Page 46: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/46.jpg)
Lösung:
Mit istBAC:
![Page 47: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/47.jpg)
Lösung:
Mit istBAC:
![Page 48: Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062303/55204d6149795902118b484d/html5/thumbnails/48.jpg)
Lösung:
Mit istBAC:
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Lösung:
Mit istBAC:
10
1803140
:ABCDreieck Betrachte
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Aufgabe H3 (3 Punkte)
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Lösung:
Damit f(g(x)) = x gilt, muss g(x)=y die Umkehrfunktion von f(x)
sein.
23
4
4)23(
423
243
43
2
x
xy
xxy
xyxy
yxxy
y
yx
:f(x) von ermFunktionst imy undn von x Vertausche
x
xxg
32
4)(
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Berechnen Sie die schraffierte Fläche in Abhängigkeit von a und b!
Aufgabe H4 (3 Punkte)
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Lösung:
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Aufgabe H5 (3 Punkte)
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Lösung:
013²
0)]1([)1(1
0
:
aa
aaaaab
abba
abbaIin
1
²²:
ab
babaII
²² babaII
babaI
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Lösung:
Für b ergibt sich durch Einsetzen:
1b (1 5)
2
)53(2
1
4
5
2
3
013²
a
aa
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Die Seitenflächen eines Quadrats sind 18cm2, 40cm2 und 80cm2.
Wie groß ist sein Volumen?
Aufgabe H6 (3 Punkte)
b
ac
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b
ac
Lösung:
I II
III
2IA 18cm a b
2IIA 40cm a c
2IIIA 80cm b c
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b
ac
Lösung:
I II
III
bcacab 804018
²²²57600 cba
abc57600³240cmVQ