29/03/2011
1
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Jacques Heyman
The Stone Skeleton, Cambridge University Press, 1982
Direttore del dipartimento di ingegneria a Cambridge fra il 1983 e il 1992
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Criteri strutturali e strutture in muratura
1 Resistenza (sopportazione delle sollecitazioni)Tipicamente le sollecitazioni massime in strutture in muratura sono 10‐20
volte inferiori alla resistenza del materiale (salvo picchi estremamentelocalizzati) grazie alla notevole dimensione delle sezioni resistenti.
2 Rigidezza (limitazione le deformazioni)Le deformazioni e gli spostamenti (esclusi, in alcuni casi, quelli provocate da
cedimenti delle fondazioni) sono in genere estremamente contenuti.
3 Stabilità (mantenimento della configurazione di equilibrio)In molte strutture in muratura è questo il criterio di progettazione più
stringente. Non tanto nei confronti di fenomeni di instabilità euleriana (datoche si tratta di elementi in genere piuttosto tozzi) quanto nei confronti dimeccanismi simili a quelli di ribaltamento (v. esempio).
4 Duttilità (deformabilità plastica prima della rottura)
29/03/2011
2
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Esempio
2b
2h
P
tanb h
Il progetto di un blocco di altezza prefissata su di unpiano di inclinazione prefissata è esclusivamentegeometrico (scelta della larghezza b), ipotizzando diescludere lo scivolamento grazie, per esempio, aduna sede scavata nel piano.
Prima del ribaltamento resistenza e deformabilitànon sono un problema
0
id adm
u
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Picchi di tensioni locali solo a ribaltamento incipiente causati dalla forza concentrata
2bcr
2h
P
,id loc
29/03/2011
3
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Dalle proporzioni geometriche alla resistenza
RN
RQ
RQRN
2 2R R R R
h hQ L N Q N
L
h
L
Le regole geometriche di proporzioni, fondate soprattutto sull’esperienza e su canoniestetici, sono state alla base della progettazione di edifici in muratura sin dall’antichità(con esempi prominenti in Antico Egitto, Grecia e Regni Ellenistici), nel mondoromano, nel Medioevo e per tutto il Rinascimento.
Fra i primi Galileo propose il concetto di resistenza (nei “Discorsi e dimostrazionimatematiche intorno a due nuove scienze”, 1638, dove discute proprio la resistenzadei materiali e la dinamica).
2
6 6R
R adm R R
N bh hQ L W Q N
bh L
Con la formula di Navier abbiamo in realtà:
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Strutture iperstatiche
Per “risolvere” le strutture iperstatiche dobbiamo introdurre iconcetti di deformabilità e di legame costitutivo.
Se vale l’ipotesi di elasticità lineare si applica il teorema diKirchhoff sull’unicità della soluzione.
Tuttavia l’idea di conoscere lo stato di sollecitazione effettivo diuna struttura è illusorio. Infatti la soluzione è fortementedipendente dalle condizioni al contorno…
6
29/03/2011
4
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
In strutture iperstatiche piccole variazioni delle condizioni al contorno producono grandi variazioni nelle sollecitazioni
q
M = 6EJ/L2
Mq = qL2/12
L a
a
L = 100 cma = 10 cm = 0.002 kgf/cm3
E = 400000 kgf/cm2
q = 2.0 kgf/cm
= 0.01 cm
Mq = 1670 kgf cm
M = 2000 kgf cm
7
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Non è possibile conoscere lo stato effettivo di una struttura
I cedimenti vincolari sono inevitabili ma non prevedibili in maniera accurata e, d’altra parte influenzano grandemente la soluzione.È impossibile conoscere lo stato “effettivo” di una struttura!
Teoria plastica
“Se due strutture molto simili che differiscono per piccole imperfezioni e sono dunque in stati tensionali molto diversi fra loro, vengono caricate progressivamente fino al collasso, il valore del carico ultimo nelle due strutture sarà lo stesso”
• Per questo nell’analisi limite delle strutture ci interessano i carichi ultimi e non lo stato della struttura (tensioni ammissibili).
• Il progetto elastico funziona nei materiali duttili perché se la struttura è verificata in una certa condizione, una condizione di poco variata darà sollecitazioni diverse ma lo stesso carico ultimo.
• NB. Materiali fragili necessitano infatti di vincoli isostatici.8
29/03/2011
5
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Muratura
Caratteristiche del materiale:• Non omogeneo• Anisotropo• Non isoresistente (resistenza a trazione trascurabile)• Non lineare (anche in compressione)• Parametri meccanici fortemente dispersi (o incogniti)• c.c. di difficile determinazione
Materiale complesso: il comportamento su larga scala è fortemente influenzato da quello della microstruttura (geometria dei blocchi, interazioni fra blocchi e letti di malta, ecc.)
MOLTI MODELLI DISPONIBILI
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Modello di Heyman
Ipotesi:
1) Assenza di resistenza a trazione• La malta, quando presente, si deteriora nel tempo• L’ipotesi è comunque a favore di sicurezza
2) Resistenza a compressione infinita• Ci possono essere schiacciamenti locali ma in genere non causano
effetti globali• È interessante stimare la resistenza di un materiale come l’altezza
massima di una colonna: h = fc/ = 400 kgf cm‐2 / 0.002 kgf cm‐3 = 2 km
3) Assenza di scorrimento• La compressione è necessaria per attivare la resistenza per attrito• È un’ipotesi che talvolta deve essere verificata a posteriori
29/03/2011
6
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Esempio: effetto dei pinnacoli nell’aumentare la resistenza per attrito
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
“Master safe theorem”
Per l’ipotesi di non resistenza a trazione, la curva delle pressioni deve essere interamente contenuta nella geometria della struttura.
Teorema:
“La struttura è stabile sotto un certo carico se e solo se è possibile trovare una funicolare dei carichi interamente contenuta nella geometria della struttura.”
29/03/2011
7
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Corollario 1: Lesioni che non alterano sostanzialmente la geometria non compromettono la stabilità
La struttura stava in piedi prima delle lesioni
La geometria non è variata in modo sostanziale
Esiste una funicolare dei carichi interamente contenuta nella geometria della struttura
La struttura è ancora stabile
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
S. Maria del Fiore: quadro fessurativoprincipale
zona di trazione
29/03/2011
8
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Corollario 2: “teorema dei 5 minuti”
Una struttura in muratura che appena tolte le centine sta in piedi per 5 minuti (dopo la rimozione delle centine), resterà in piedi per 500 anni (decadimento dei materiali).
In realtà le fondazioni possono avere anche grandi cedimenti che alterano la geometria della struttura tanto da comprometterne la stabilità. Il teorema diventa allora “dei 20 anni” con riferimento ai tempi dei cedimenti viscosi del terreno.
Tuttavia esiste un’altra eccezione: le condizioni del terreno possono cambiare (e.g. variazioni del livello dell’acqua nelle falde).
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Corollario 3: I modelli in scala funzionano
Verifica:
ft > = P / A = a3 / d2 = a3/d2
(raddoppiando la scala raddoppiano gli sforzi!)
d
a
a
Poiché la stabilità dipende solo dalla geometria una variazione di scala non altera le proporzioni e di conseguenza la stabilità.
Contrariamente, dove la verifica dipende dalla resistenza i modelli in scala non sono significativi.
29/03/2011
9
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Catenaria inversa (Hooke, 1675)
La forma di una fune che sostiene il proprio peso in trazione è la stessa dell’arco ideale che sostiene il proprio peso in compressione.
La forma dipende dalla lunghezza della fune e dalla distanza delle imposte.
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Un arco incastrato (iperstatico) contiene infinite curve delle pressioni corrispondenti al proprio peso
Una possibile curva delle pressioni in un arco semicircolare
• Il solo equilibrio non è sufficientee a determinare quale sia quella effettiva.• La soluzione elastica (Navier, 1826) è unica (Teorema di Kirchhoff) tuttavia è
fortemente dipendente dalle condizioni al contorno.
29/03/2011
10
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Movimenti fra blocchi
I blocchi non possono scorrere l’uno sull’altro né compenetrarsi, dunque sono possibili solo rotazioni rispetto ai punti di contatto all’intradosso o all’estradosso che si comportano allora come cerniere.
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Fessurazione dovuta al cedimento delle imposte
Le fessure si formano sempre (anche se nella realtà possono essere richiuse dalla deformazione elastica dei blocchi).
Si forma un arco a tre cerniere:esiste soluzione
basata sul solo equilibrio
La curva delle pressioni è univocamente determinata e passa per le zone di contatto.
Spinta orizzontale minima e indipendente dall’entità del cedimento.
isostatico
29/03/2011
11
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Cerniera all’intradosso(fessurazione con schiacciamento)
Il punto di rotazione relativa effettivo è in realtà arretrato interno all’arcoche si comporta come se avesse uno spessore inferiore
cerniera effettiva
cerniera ideale
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Arco semicircolare: spinta attiva e passiva
V
V
Allontanamento delle imposte
Avvicinamento delle imposte(ad esempio a causa della spinta di archi adiacenti)
29/03/2011
12
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Arco di spessore minimo
Esiste un’unica curva delle pressioni interamente contenuta nella geometria dell’arco.
La spinta massima e minima coincidono.
tmin ≈ R/10 È possibile definire un fattore di sicurezza basato su proporzioni geometriche:
t/tmin > 2
Le regole di progettazione basate sulla geometria ritornano!
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Rapporto fra spessore minimo e raggio per un arco circolare in funzione dell’angolo di apertura
29/03/2011
13
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Collasso di un arco semicircolare sottoposto ad un carico concentrato
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Modello meccanico
nGx
y
I
IC
mu
mvm
mG
nu
nvn
IC
IIs
Ir
2 Ib
INIM
IV
• Corpi rigidi separati da interfacce deformabili
• Azioni normali: letti di molle non resistenti a trazione
• Azioni di taglio: comportamento elastico – perfettamente plastico (attrito alla Coulomb)
• Piccole deformazioni delle interfacce
[Salvatori e Spinelli, 2007]
29/03/2011
14
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Esempio 1: Arco con forza concentrata
Confronto con modello analitico[Lucchesi, Padovani, Pasquinelli, Zani, 1997]
cr 1.6580P W
1 15
2 60
3 105 4mR
Carico critico
Posizione delle cerniere al collasso
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Modello numerico
12 3n 1.0 10 N/mk
17 3t 1.0 10 N/mk
20.0 N/mc
0.6 Discretizzazione in conci di 5°
Parametri del modello costitutivo
29/03/2011
15
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Simulazione
P
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Analisi statica
Effetto del peso proprioP.p. + carico concentrato
(config. a collasso incipiente)
• Buona stima del carico critico (‐1.5% rispetto al modello teorico)
• Corretta stima della posizione delle cerniere (15°, 60°, 105°, 145°)
29/03/2011
16
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Effetto di un cedimento vincolare
P.p. + cedimentoP.p. + cedimento + carico concentrato
(config. a collasso incipiente)
La presenza del cedimento non influenza il carico critico né il meccanismo di collasso
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Diagramma carico‐spostamento
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020
1
2
3
4
5
6
7x 10
5
[m]
P [
N]
fixed abutmentssettled abutment
• Iniziale chiusura delle fessure dovute al cedimenti
• Stesso andamento e stesso carico critico del caso con vincoli non cedevoli
29/03/2011
17
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Sollecitazioni dovute al peso proprio(analisi elastica lineare)
min ≈ –1.5·102 kN/m2 min ≈ –1.5·104 kN/m2
Vincoli perfetti Cedimento vincolare
“Small initial imperfections, while leading to different initial states of the structure, do not affect its ultimate strength” – Jacques Heyman
1 cm
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Il materiale di riempimento collabora al meccanismo resistente esercitando pressioni sull’arco vero e proprio,
aumentando così la capacità portante
29/03/2011
18
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Volte e cupole
VOLTE E CUPOLE
• 2D• Inversione dei carichi di una membrana infinitamente flessibile
• Una configurazione della membrana (se a doppia curvatura) è in grado di sostenere carichi differenti da quelli che la hanno prodotta purché non producano tensioni principali di compressione
ARCHI
• 1D• Inversione dei carichi di una fune infinitamente flessibile
• Una configurazione della fune è in equilibrio solo con il carico che la ha prodotta
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Cupola semisferica sotto peso proprio
a
• Il peso proprio è l’azione dominante per gusci in muratura
• La stabilità, anche per gusci resistenti a trazione, non è un problema cr
tkE
a
29/03/2011
19
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Membrana sferica
coordinate sferiche
Nj
Nj
Nq
Nq
Njq
Njq
sollecitazioni membranali
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Tensioni lungo i meridiani
29/03/2011
20
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Tensioni lungo i paralleli
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Risultati analitici
29/03/2011
21
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Fessurazione di una calotta sferica
Dopo la fessurazione ciascuno spicchio si comporta come un arco rampante:• Nascono spinte orizzontali• È necessario uno spessore minimo della muratura
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Arco piano a spessore variabile
29/03/2011
22
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Studio di Poleni (1743)per la cupola di S. Pietro a Roma
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Rapporto fra spessore minimo e raggio per una calotta sferica in muratura in funzione dell’angolo di apertura
29/03/2011
23
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Calcolo della spinta orizzontale
H ≈ 0.196 W
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
St. Paul a Londra (progettato nel 1668)
29/03/2011
24
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Pantheon a Roma
Spessore del tamburo di circa 6 m per contrastare le spinte orizzontali
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Una calotta sferica in muratura non necessita di coronamento…
29/03/2011
25
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
… contrariamente ad un arco
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Iglù
29/03/2011
26
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Cupola di S. Maria del Fiore a Firenze
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Una semi‐calotta è stabile(se ha uno spessore minimo)
29/03/2011
27
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Tensioni scambiate fra le due metà di una semisfera
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Semi‐calotta usata come controvento in alternativa o combinazione con volte
29/03/2011
28
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Hagia Sofia a Istanbul
Paolo Spinelli e Luca Salvatori – Corso di Progetto e Riabilitazione delle Strutture II
Se una semicupola è stabile lo è anche una qualsiasi frazione compresa fra metà e l’intero