Download - Historia Da Algebra
UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ – UVACENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS – CCET
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
HISTÓRIA DA ÁLGEBRA: DESENVOLVIMENTO E PRECURSORES
PEDRO CLEDISON BRAGA GOMES
SOBRAL - CEARÁMAIO – 2007
PEDRO CLEDISON BRAGA GOMES
HISTÓRIA DA ÁLGEBRA:
DESENVOLVIMENTO E PRECURSORES
Monografia apresentada como requisito
parcial para obtenção do título de
Graduado em Matemática, através da
Universidade Estadual Vale do Acaraú -
UVA, sob a orientação da Profª. Maria
José Araújo Souza.
Sobral - CearáMaio – 2007
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HISTÓRIA DA ÁLGEBRA: DESENVOLVIMENTO E PRECURSORES
Monografia aprovada em _____/_____/_______
____________________________________________
Orientando – Pedro Cledison Braga Gomes
____________________________________________
Orientadora - Profª. Ms. Maria José Araújo Souza
Banca Examinadora:
____________________________________________
Profª. Ms. Maria José Araújo Souza
____________________________________________
2° Examinador
____________________________________________
3° Examinador
____________________________________________
Coordenador: Nilton José Cordeiro Neves
Sobral - CearáMaio - 2007
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AGRADECIMENTOS
A Deus, que me protegeu durante todas as idas e vindas de Itapajé para Sobral e pela realização de mais um dos meus sonhos.
A minha querida esposa, Maria da Conceição da Cruz Silva, pela paciência que teve em ficar sempre sozinha enquanto eu estava na Universidade.
Ao meu querido avô, Pedro Gomes de Sousa, que sempre acreditou em mim e sempre deu condições para que eu estudasse.
A minha querida mãe, Maria Zuleide Braga Gomes, que sempre me apoiou e deu forças para que eu fosse adiante.
A todos os meus professores, que me guiaram e fizeram com que eu chegasse até aqui, e quem sabe seguir adiante.
Em especial à professora Maria José Araújo Sousa que me preparou e me ajudou a realizar este trabalho.
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Então o que me diz dessa equação? Se eu lhe vendo um cavalo tendo quatro ferraduras e cada ferradura tem 6 pregos, com a condição que você pague pelo primeiro prego um ob; pelo segundo dois ob; pelo terceiro quatro ob; e assim por diante, dobrando até terminarem todos os pregos, agora pergunto-lhe, a quanto chegará o preço do cavalo?
Robert Recorde (Ground of Artes 1541)
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RESUMO
GOMES, PEDRO C. B. História da Álgebra: Desenvolvimento e Precursores. 2007. Monografia (Licenciatura em Matemática) Universidade Estadual Vale do Acaraú, Sobral, 2007.
Este trabalho tem como objetivo tornar conhecidos alguns dos grandes matemáticos que se destacaram em álgebra. Identificar as pessoas que fizeram à álgebra que estudamos hoje. Para tanto, procuramos apresentar a evolução dessa ciência partindo da sua forma mais primitiva, a que o homem moderno teve acesso, até chegar ao nível atual de abstração; estudamos as civilizações do Egito, Mesopotâmea, Grécia, China, Índia, Arábia e Europa Oriental e Ocidental, mostrando o estágio de desenvolvimento algébrico de cada uma delas. Estudamos a história da vida de seis grandes algebristas: Al-Khowrizme, Viét, Cardano, Bombelli, Euler e Gauss. Procuramos mostrar o tipo de pessoas que eles eram, suas profissões, áreas de conhecimento, obras publicadas, e principalmente, saber quais foram as suas contribuições para a Matemática em geral. Escolhemos algebristas, e apenas seis, para não prolongar muito o nosso trabalho, visto que se trata de uma pesquisa de graduação e que poderá ser mais aprofundado em momentos posteriores.
A fundamentação teórica está baseada em vários autores dentre os quais destacamos: Baumgart, Milies e Boyer (1996) e no site: http//www.somatematica.com.br. Esta pesquisa foi de grande valor para a compreensão do conhecimento histórico-matemático e nos permitiu saber mais sobre a vida de alguns dos grandes algebristas da história da Matemática.
Palavras Chave: História. Álgebra. Precursores.
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SUMÁRIO
RESUMO....................................................................................................................... 06
INTRODUÇÃO............................................................................................................ 08
1. BREVE HISTÓRIA DA ÁLGEBRA....................................................................... 11
1.1. A álgebra Antiga................................................................................................. 11
1.1.1. A Álgebra no Egito........................................................................................ 13
1.1.2. A Álgebra na Mesopotâmea.......................................................................... 15
1.1.3 A Álgebra na Grécia....................................................................................... 17
1.1.4 A Álgebra na China........................................................................................ 19
1.1.5 A Álgebra na Índia......................................................................................... 20
1.1.6 A Álgebra na Arábia....................................................................................... 20
1.1.7 A Álgebra na Europa...................................................................................... 21
1.2. A álgebra a Moderna.......................................................................................... 24
1.2.1 Os Números Complexos................................................................................. 25
1.2.2 O Teorema Fundamental da Álgebra............................................................. 26
1.2.3 Os Quatérnions............................................................................................... 27
1.2.4 Grupos e Matrizes.......................................................................................... 28
1.2.5 Teoria dos Corpos.......................................................................................... 29
1.2.6 Anéis e Álgebras............................................................................................. 30
2. PRECURSORES DA ÁLGEBRA: VIDA E CONTRIBUIÇÕES......................... 32
2.1 Al-Khowarizmi.................................................................................................. 32
2.2 François Viét..................................................................................................... 32
2.3 Girolamo Cardano............................................................................................. 34
2.4 Rafael Bombelli................................................................................................. 35
2.5 Leonard Euler.................................................................................................... 38
2.6 Friederich Gauss................................................................................................ 40
3. CONCLUSÕES......................................................................................................... 42
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................... 43
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INTRODUÇÃO
A matemática é a ciência das grandezas, formas e relações numéricas entre
associações lógicas e abstratas. È uma ciência que abrange diversas áreas do
conhecimento humano, em especial o conhecimento tecnológico. Do ponto de vista
histórico, a matemática pode ser considerada uma ciência em constante construção, uma
obra inacabada que a qualquer momento o homem poderá preencher alguma lacuna
deixada por outros.
A álgebra é o ramo da matemática que generaliza os problemas aritméticos e
geométricos, analisando de um ponto de vista geral todas as soluções possíveis. A
palavra álgebra é uma variável latina da palavra árabe al-jabr usada no título do livro
Al-jabr Wa’l Mugabalah (Ciência da Restauração e Equilíbrio) escrito por Al-
Khowarizmi, matemático árebe que viveu entre 780 e 850 aproximadamente, escrito em
Bagdá por volta de 825. Foi através deste livro que a álgebra se tornou conhecida na
Europa onde “Al-jabr Wa’l Mugabalah” foi traduzido para o latim “Líber Algebrae et
Al mucabala” no século XII ficando clara a origem da palavra álgebra.
A álgebra que estudamos atualmente é muito diferente da estudada por nossos
antepassados. Durante séculos a ciência algébrica não possuiu a simbologia e a
complexidade que possui na atualidade. E para se chegar a tal evolução foi necessário
muito tempo de estudo bem como a criação e convenção dos símbolos que são
fundamentais na álgebra atual.
Ao longo dos nossos estudos é bastante comum nos indagarmos sobre as pessoas
que descobriram ou inventaram a matemática. Qualquer pessoa que tenha algum
interesse por essa área do conhecimento, como eu, gostaria de saber um pouco sobre
essas pessoas. É comum o estudioso da matemática ser imaginado como uma pessoa
mau humorada, relaxada, despenteada, e etc. As pessoas curiosas pelo assunto
especulam sobre a personalidade e até o físico dos matemáticos. Afinal quem são esses
estudiosos? Onde viveram? Quais as suas ocupações?
Tentando responder a essas perguntas e a outras do tipo, decidimos escrever
sobre a vida de alguns dos grandes matemáticos do ramo da álgebra colaborando assim
para um melhor conhecimento dessas pessoas por parte de nós estudantes de matemática
e de outros que possam vir a se interessar pelo assunto. Este trabalho reuniu, de acordo
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com as fontes pesquisadas, alguns dos maiores algebristas contendo suas histórias de
vida e principais contribuições que nos legaram com suas descobertas podendo vir a ser
útil como fonte de pesquisa para outros alunos no futuro visto que poucos são os livros
com este fim. Trata-se de uma ferramenta de ajuda para consulta e para qualquer
aprofundamento teórico ou prático o interessado poderá recorrer à bibliografia sugerida
no final deste trabalho.
Este trabalho foi elaborado através de uma pesquisa bibliográfica. No primeiro
momento foi feito o levantamento dos dados e leitura destes. A formação do trabalho foi
feita com transcrições de partes das fontes estudadas, principalmente do livro História
da Matemática de Boyer-1996 e pelas nossas interpretações das leituras. È composto
por dois capítulos: o primeiro serve como uma ambientação para que o leitor possa
compreender o campo de atuação dos matemáticos descritos no capítulo seguinte. O
segundo capítulo trata da história de vida e contribuições de alguns dos grandes
matemáticos da álgebra.
Objtivos
Objetivo Geral
Fazer uma investigação sobre o desenvolvimento da Álgebra buscando conhecer
alguns dos estudiosos que contribuíram para essa ciência.
Objetivos Específicos
- Elaborar uma síntese da História da Álgebra buscando saber quem foram os
matemáticos que se destacaram nessa área;
- Identificar as pessoas que contribuíram para o desenvolvimento da álgebra que
estudamos hoje buscando saber quais foram as suas contribuições: principais
publicações, profissões que exerceram, onde viveram.
Envolvimento com o tema
Enquanto estudava Matemática a fim de me aprofundar em alguns assuntos
básicos para o curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual Vale do
Acaraú - UVA, percebi que de vez em quando há, em alguns livros, um espaço
reservado para homenagear alguns matemáticos. Um pouco da vida de alguns homens
que se destacaram por suas descobertas em muitos ramos da matemática.
Durante o curso da disciplina História da Matemática, pude ver um pouco da
evolução dessa ciência ao longo dos séculos e conhecer alguns estudiosos que se
destacaram por importantes contribuições para essa evolução. Alguns trabalharam mais
a parte abstrata da matemática, daí a maior importância dos seus estudos por se
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aplicarem de forma generalizada.
Devido a minha curiosidade em saber mais sobre a vida destes estudiosos
nesta monografia destacarei a história da álgebra e de alguns dos matemáticos que se
destacaram nesse ramo da matemática.
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Capítulo 1 - Breve História da Álgebra
Para uma melhor compreensão do desenvolvimento histórico da Álgebra, de acordo com Baumgart, a história da Álgebra está dividida em duas fazes: Antiga e Moderna. A faze Antiga caracteriza-se pelo estudo de equações e dos métodos de resolução enquanto que a faze Moderna caracteriza-se pelo estudo de estruturas como grupos e anéis. O marco da passagem da faze Antiga para Moderna,Segundo Boyer, 1996 foi a dedução das fórmulas de resolução para as equações cúbicas e quárticas por Cardano em 1545.
1.1 A Álgebra Antiga
A álgebra, assim como a matemática em geral, surgiu como conseqüência das
necessidades do homem em saber lidar com o meio para sobreviver. Para melhor se
adaptar ao meio no qual vivia o homem da antiguidade foi descobrindo com o passar
dos séculos, maneiras de representar as diversas quantidades com as quais estavam
envolvidos. Através das semelhanças como: cinco dedos em cada mãos e em cada pés;
dois olhos e ouvidos, e diferenças como: uma ovelha e muitas ovelhas; uma árvore e
muitas árvores, encontradas no cotidiano, o homem foi aos poucos estabelecendo
relações entre quantidades semelhantes e/ou diferentes surgindo assim o conceito de
número que serviu como base para uma representação simbólica das quantidades.
A partir da representação do concreto pelo abstrato, do uso do não palpável para
representar o palpável, e das semelhanças entre as quantidades o homem percebeu que
poderia manipular tais relações e assim usar uma dada quantidade conhecida para
determinar uma outra desconhecida. Levando em consideração que os primeiros
sistemas de medidas estavam relacionados com as partes do corpo podemos concluir
que a álgebra surgiu através de tais manipulações.
Exemplo:
“... 1/4 da largura + comprimento = 7 mãos e comprimento + largura = 10 mãos. Boyer, 1996: 21.”
Nestas duas equações que podem ser modernamente escritas como X + 4Y = 28
e X +Y = 10, observando que nesta época não existiam ainda os sinais de + para a soma
e = para a igualdade, podemos perceber que se trata de um sistema de equações
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lineares e está claro o uso de partes do corpo relacionadas com uma largura e um
comprimento que eram medidos em mãos, ou dedos (uma mão = cinco dedos). Desta
forma X = 4 mãos ou vinte dedos é a largura procurada e Y = 6 mãos ou 30 dedos, o
comprimento procurado.
Durante aproximadamente um milênio (1700 a.C. a 1700 d. C.) a álgebra tratava
somente do estudo das equações. Era uma ciência voltada para a descoberta dos
diferentes tipos de equações e das formas de se chegar à solução. Teve como principais
características a invenção gradual do símbolo para representar a quantidade
desconhecida e a descoberta se resoluções gerais para ás equações cúbicas e quárticas.
Sendo que durante a maior parte deste período as equações mais estudadas eram as
lineares e as quadráticas.
A notação algébrica teve uma evolução lenta e gradual passando por três
estágios importantes (Segundo Baumgart): o retórico (ou verbal), no qual eram usadas
palavras para representar a “coisa” a ser determinada; o sincópado, onde as palavras
foram substituídas por suas abreviações; e por último, o simbólico no qual foram
implantados símbolos para representar a quantidade desconhecida. No estágio simbólico
a notação sofreu muitas mudanças, pois ainda não tinham (os matemáticos) encontrado
uma forma de representação específica para a álgebra, já que existia, a possibilidade
desses símbolos serem confundidos com outros já aplicados na geometria, por exemplo.
Desta forma surgiram muitas tentativas infrutíferas de representar o
desconhecido através de um símbolo até que François Viéte, matemático francês que
viveu de 1504 a 1603 representou a incógnita por uma vogal e os coeficientes
(parâmetros) por consoantes o que representou um importante passo rumo a convenção
dos símbolos na álgebra. É interessante observar que mesmo hoje alguns países
europeus usam o símbolo “÷” para subtração ao invés da divisão. Apesar de todas as
convenções necessárias para o entendimento da álgebra por todo o mundo matemático,
ainda persistem formas diferentes de representação. Daí pode-se sugerir quão tamanhas
foram às dificuldades para se chegar a um consenso de representação da matemática.
1.1.1 A álgebra no Egito
Desde muito tempo, aproximadamente 3000 a.C. quando foram construídas as
pirâmides, os egípcios sabiam contar e medir com precisão e foram adquirindo um
considerável conhecimento matemático aplicado ao dia-a-dia. Influenciados a melhor
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lidarem com as cheias do rio Nilo, começaram cedo a se interessarem por astronomia
para melhor compreenderem o ciclo das águas e se prepararem para a convivência com
as cheias. Usavam um sistema primitivo de numeração decimal com símbolos
diferentes, da primeira á sexta, para as potências de dez; e usavam a escrita hieroglífica,
que eram escritos considerados sagrados, por meio da qual se pode saber muito sobre
esta civilização.
Apesar da fragilidade dos papiros, papel primitivo feito à base de folhas de uma
erva originária das margens do Nilo, muitos resistiram ao tempo até serem encontrados
e traduzidos pelas civilizações modernas. Do ponto de vista algébrico destacam-se dois
papiros em especial: o primeiro com cerca de 30 centímetros de largura e 5 metros de
comprimento, comprado em 1858, ás margens do Nilo, conhecido como Papiro Rind ou
Papiro Ahmes, Ahmes em homenagem ao escriba que o copiou por volta de 1650 a.C. e
o segundo, o Papiro de Moscou tem quase o comprimento do Ahmes ou Rind, mas só
um quarto da largura. Foi escrito por um escriba desconhecido em 1890 a.C.
aproximadamente, comprado em 1893 (Segundo Boyer, 1996).
• O Papiro Ahmes trata de vários problemas matemáticos dentre os quais alguns
são algébricos. Trata-se de expressões algébricas simples, equações lineares do
tipo x + ax + bx = c, onde a, b, c são quantidades conhecidas e x, a quantidade
desconhecida. O problema 24, contido no Papiro Ahmes, pede o valor de “aha”
sabendo que aha mais um sétimo de aha é igual a dezenove. A solução de
Ahmes não é a dos livros modernos, mas é característica de um método
conhecido como “método da falsa posição” ou “regra do falso”. Esse método
consiste em atribuir um valor, provavelmente falso, para aha, e as operações
indicadas à esquerda da igualdade são efetuadas sobre esse número suposto. O
resultado é então comparado com o resultado que se pretende e usando
proporção chega-se à resposta correta. Na equação dada à quantidade a ser
descoberta é aha e os egípcios usavam uma decomposição dos números por
frações para chegar à solução. A solução dada por Ahmes é a seguinte: o valor
tentado para aha é 7, de modo que aha + 1/7 aha é 8, em vez de 19, como se
queria. Como 8(2 + 1/4 + 1/8) = 19, deve-se multiplicar 7 por 2 + 1/4 + 1/8 para
obter a resposta. Ahmes achou 16 + 1/2 + 1/8, então conferiu a resposta
mostrando que se a 16 + 1/2 + 1/8 somarmos 1/7 (que é 2 + 1/4 + 1/8), de fato,
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obteremos19. Neste exemplo já se usava a prova saber se o valor encontrado
estava correto, o que já era uma evolução para a matemática da época.
• O Papiro de Moscou tem 25 problemas matemáticos quase todos da vida prática,
exceto os problemas 10 e 14. O problema 10 apresenta uma questão que pede a
área do que parece ser um cesto com um diâmetro 4 1/2. Para encontrar a
solução o escriba procede como se usasse o equivalente da fórmula S = (1 –
1/9)2 (2x)x, onde x é 4 1/2 obtendo como resposta 32 unidades. O problema 14
questiona; qual o volume de um troco de pirâmide quadrada com altura de seis
unidades, se as arestas das bases superior e inferior medem 2 e 4 unidades. A
solução é encontrada usando-se o equivalente a fórmula moderna V = h(a2 + ab
+ b2)/3, onde h é a altura e a, b são os lados das bases quadradas, encontrando 56
como resposta.
Papiro Rind (Ahmes)
14
Papiro de Moscow
A álgebra egípcia era retórica e não teve uma evolução significativa devido ao
sistema de numeração que era muito primitivo impossibilitando uma possível
sofisticação rumo a novos métodos de solução e extensão a outros tipos de equações.
1.1.2 A Álgebra na Mesopotâmea
Assim como no Egito, pelo final do quarto milênio antes da era cristã, também
no vale mesopotâmico havia por essa época uma civilização de alto nível. Ali, os
sumérios construíram casas e templos decorados com cerâmica, e mosaicos artísticos
com desenhos geométricos e os grandes governantes realizaram vastas obras públicas
como um sistema para irrigar a terra e controlar as inundações.
As civilizações antigas da Mesopotâmea são freqüentemente chamadas de
babilônicas devido a uma convensão do uso informal do nome “babilônica” para a
região entre os rios Tigre e Eufrates, durante um período de cerca de 2000 anos que se
estendeu até aproximadamente 600 a.C. quando em 538 a.C. a Babilônia, cidade capital
do Império Babilônico, foi dominada por Ciro da Pércia terminando assim o império, no
entanto, a cidade foi poupada.
Os babilônicos usavam um sistema de numeração sexagesimal. Usavam a escrita
cuneiforme, que eram marcas em forma de cunhas feitas com estilete sobre tabletas de
barro mole que eram cozidas em fornos ou ao calor do sol. Foram encontradas muitas
destas tabletas que tratam de problemas algébricos.
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A álgebra babilônica, assim como a egípcia, também era retórica, porém, os
babilônicos detinham um maior conhecimento algébrico que os egípcios, pois, nos
registros cuneiformes foram encontradas além das equações lineares, outras como as
quadráticas dos tipos: x2 = px + q, x2 + q = px; e as cúbicas dos tipos: x3 + x2 = a, px3 +
qx2 = r. A álgebra babilônica tinha atingido um bom nível de abstração pois as equações
do tipo ax4 + bx2 = c e ax8 + bx4 = c eram reconhecidas como sendo apenas equações
quadráticas disfarçadas, isto é, quadráticas em x2 e x4. Os babilônios também foram
mais longe no que diz respeito a resolução de equações. Vejamos um exemplo típico de
problemas encontrados em escrita cuneiforme que remontam ao tempo do rei Hamurabi.
A notação é feita usando a notação indo-arábica em vez da sexagesimal cuneiforme. A
coluna à direita fornece as passagens correspondentes em notação moderna. Eis o
exemplo (Segundo Baumgart)
[1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim
a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.
[2] [Dado] 32 soma; 252 área.x+y=k
xy=P } ... (A)[3] [Resposta] 18 comprimento;
14 largura.
[4] Segue-se este método: Tome
metade de 32 [que é 16].k/2
16 x 16 = 256 (k/2)2
256 - 252 = 4 (k/2)2 - P = t2 } ... (B)
A raiz quadrada de 4 é 2.
16 + 2 = 18 comprimento. (k/2) + t = x.16 - 2 = 14 largura (k/2) - t = y.[5] [Prova] Multipliquei 18
comprimento por 14 largura.
18 x 14 = 252 área
((k/2)+t) ((k/2)-t)
= (k2/4) - t2 = P = xy.
Nota-se que na etapa [1] o problema é formulado, na [2] os dados são
apresentados, na [3] a resposta é dada, na [4] o método de solução é explicado com
números e, finalmente, na [5] a resposta é testada. Esse método era repetido em
problemas semelhantes e por isso é conhecido como receita.
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Modernamente podemos representar o problema dado através de um sistema de
equações lineares: x + y = 32, xy = 252 que seria facilmente resolvido pelo método da
substituição. Os babilônios também sabiam resolver sistemas por substituição, mas
freqüentemente preferiam usar seu método paramétrico.
Do mesmo modo que no Egito, o sistema de numeração primitivo babilônico não
permitiu que eles evoluíssem mais no estudo da álgebra tanto que para poderem se
estender aos resultados egípcios e babilônicos os matemáticos europeus tiveram que
recorrer a notação indo-arábica de numeração.
1.1.3 A álgebra na Grécia
As atividades intelectuais das civilizações egípcias e mesopotâmicas tinham
perdido sua inspiração bem antes da era cristã, dando vez a novas e vigorosas culturas
que estavam surgindo ao longo de todo o litoral mediterrâneo. Dentre elas a civilização
grega.
A história grega pode ser recuada até o segundo milênio a.C. quando, como
invasores analfabetos vindos do norte, os povos que formaram essa civilização, abriram
caminho até o mar. Não trouxeram tradição matemática ou literária consigo; no entanto,
tiveram desejo ansioso de aprender, e não demoraram a melhorar o que lhes ensinavam.
Por exemplo, tomaram, talvez de fenícios, um alfabeto existente, constituído só por
consoantes, e lhe acrescentaram as vogais, conforme destaca Boyer, 1996:
Através das rotas mercantis os gregos tiveram acesso às culturas egípcia e babilônica. Entraram em contato com a matemática dessas civilizações; mas não estavam dispostos a apenas receber as antigas tradições, e se apropriaram tão completamente do assunto que logo deram uma forma drasticamente diferente.
Os gregos usavam um alfabeto composto por vinte e sete letras que
representavam os números: nove para os inteiros menores do que dez, nove para os
múltiplos de dez menores do que cem e nove para os múltiplos de cem menores do que
mil.
A álgebra grega foi formulada pelos pitagóricos (sociedade secreta que estudava
matemática e filosofia liderada por Pitágoras de Samos, 569 a.C. a 475 a.C.,
aproximadamente) e por Euclides de Alexandria (325 a.C a 265 a.C.,
aproximadamente). Era uma álgebra geométrica, já que os gregos, em especial Euclides,
eram grandes geômetras e não conheciam os números racionais e só sabiam lidar com
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os números inteiros, assim o número representado por raiz quadrada de 2 não podia ser
compreendido pelos gregos. A descoberta dessas grandezas que não podiam ser
medidas exigia um novo método para tratar á álgebra herdada dos babilônicos. Os
velhos problemas em que dados a soma e o produto de dois lados de um retângulo se
pediam as dimensões tinham de ser tratados de um modo diferente dos de até então
usados. Uma álgebra geométrica tomara o lugar da antiga álgebra aritmética e nessa
nova álgebra não podia haver somas de segmentos com áreas ou de áreas com volumes.
Assim, para (a + b)2 = a2 +2ab + b2, os gregos representavam da seguinte forma:
b2 ab
a+b
ab a2
a + b
Usando figuras geométricas os gregos puderam demonstrar as soluções para
diversos tipos de equações bem como deduziram fórmulas que poderiam ser aplicadas a
qualquer exemplo do mesmo tipo. Para representar a Lei Distributiva a (b + c + d) = ab
+ ac + ad, era feito como se segue:
b c d
O retângulo sobre a e a soma dos segmentos b, c, d é igual à soma dos
retângulos sobre a e cada um dos segmentos b, c, d tomados separadamente.
A matemática grega deu uma parada brusca devido à ocupação romana. Devido
ao estilo da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita,
era necessário um meio de comunicação vivo, oral o que não foi possível visto que as
escolas de instrução direta não sobreviveram ao domínio romano.
a ab ac ad
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1.1.4 A álgebra na China
A civilização da China é mais antiga do que a da Grécia, porém, não mais antiga
do que as do Egito e Mesopotâmea. Foi uma civilização que pouco contribuiu para o
desenvolvimento da matemática. Ao contrário dos gregos, os chineses não se
interessaram em ampliar os conhecimentos vindos de outras culturas.
Enquanto os gregos dominavam um amplo conhecimento matemático, os
chineses repetiam os velhos hábitos dos babilônios de reunir coleções de problemas do
mesmo tipo e usavam o método da falsa posição dos egípcios. Os problemas
matemáticos criados pelos chineses muitas vezes parecem mais bonitos do que práticos,
e, no entanto a civilização chinesa foi responsável por um número surpreendente de
inovações tecnológicas como a impressão e a pólvora (século VIII); o papel e a bússola
(século IX) que surgiram mais cedo na China do que em outros lugares.
A álgebra chinesa apresenta equações que vão até as de grau quatorze e um
método de transformação que usa aproximações decimais para encontrar a raiz
(aproximada). Esse método se chama “fan-fa” cujos elementos podem ter surgido muito
antes do século III na China, mas que tem o nome de “Horner”, que viveu meio milênio
depois. Para resolver a equação x2 + 252x – 5292 = 0, por exemplo, Chu Shih-Cheih
(matemático que viveu de 1280 a 1303) primeiro obteve x = 19 como aproximação
(uma raiz cai entre x = 19 e x = 20) depois usou o método de Horner, nesse caso a
transformação y = x – 19 para obter a equação y2 + 290y – 143 = 0 (com uma raiz entre
y = 0 e y = 1) deu então a raíz dessa como, aproximadamente, y = 143/(1 + 290) daí o
valor correspondente de x é 19 + 143/291.
Apesar de os chineses terem desenvolvido muitos tipos de equações, a aplicação
dessas para a vida prática não estava definida e por isso não houve uma contribuição
significante para a álgebra por parte dessa civilização.
1.1.5 A álgebra na Índia
A civilização indiana também é mais antiga do que a civilização grega, no
entanto, assim como os chineses, num primeiro momento não tiveram empenho em
aprender e melhorar a matemática de outras civilizações. Assim como os egípcios os
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indianos usavam cordas para fazer medições e tinham noções geométricas primitivas
adquiridas com o traçado de templos e medida e construção de altares.
A álgebra da Índia era voltada para o estudo de equações indeterminadas. Era
uma álgebra sincopada e os seus maiores colaboradores foram Bhamagupta (viveu em
628) e Bháskara (1114 a 1185). O primeiro encontrou soluções gerais de equações
quadráticas, inclusive duas raízes mesmo quando uma é negativa; aparentemente foi o
primeiro a dar uma solução geral da equação Diofantina (Diofante foi um matemático
grego que viveu entre 250 e 350) ax + by = c, onde a, b e c são inteiros. O segundo,
Bháskara, o mais importante matemático do século XII, preencheu algumas lacunas na
obra de Bhamagupta, por exemplo, dando uma solução geral da equação x2 = 1 + py2
proposta por Bhamagupta.
Foi uma infelicidade o fato de os matemáticos indianos terem se apaixonado por
análise indeterminada em particular, pois esse tema não serviu de base para a
matemática moderna e dessa forma a Índia ficou de fora no que diz respeito a
contribuições significativas para a álgebra.
1.1.6 A álgebra na Arábia
A civilização árabe, ou islâmica, sob a influência do profeta Maomé expandiu
seus domínios territoriais a partir de 632 conquistando Damasco, Jerusalém, grande
parte do vale mesopotâmico, Alexandria e etc. Os conquistadores não sabiam ler e
escrever e a princípio não se interessaram pela cultura dos seus dominados. Somente a
partir de 750 os árabes começaram a absorverem os conhecimentos alheios e em mais
ou menos 775, traduziram o Surya Siddhanta (obra indiana do século V) para o árabe.
Os árabes foram tomando gosto por traduções, foram conquistados pelo saber
dos seus dominados, e logo traduziram muitas outras obras, em especial as gregas, para
o árabe. Fundaram a Casa da Sabedoria em Bagdá onde reuniram estudiosos da Síria e
Mesopotâmea, além de estudiosos árabes. Dentre os mestres havia um matemático
árabe, Mohammed ibu-Musa Al-Khowrizmi, que fez importantes contribuições para o
desenvolvimento da matamática.
Na álgebra, Al-Khowrizmi uniu a geometria grega com a aritmética resultando
numa álgebra geométrica mais compreensível que a dos gregos por ser mais elementar;
classificou equações em seis tipos, todas relacionadas com raízes, quadrados e números:
20
1 - quadrados iguais a raízes [ax2 = bx] 2 - quadrados iguais a um número [ax2 = c]
3 - raízes iguais a um número [ax = c]
4 - quadrados e raízes iguais a um número [ax2+bx= c]
5 - quadrados e número iguais a raízes [ax2 + c = bx] 6 - raízes e número iguais a quadrados [bx + c = ax2]
As soluções são dadas por regras “culinárias” para encontrar a raiz positiva da
equação dada desconsiderando a raiz negativa
A inspiração árabe para a matemática é uma mesclagem da matemática da
Babilônia antiga e da Índia medieval. Partindo do pré-suposto que a álgebra árabe era
retórica, podemos concluir que a mesopotâmea foi a mais provável fonte inspiradora já
que os árabes não se ateram a indeterminação indiana.
Os árabes contribuíram para as civilizações modernas com os algarismos que
que usamos atualmente que foi uma contribuição fundamental para o desenvolvimento
da matemática em geral.
1.1.7 A álgebra na Europa
Durante a Idade Média a história da matemática concentrou-se na Europa. Foi lá
que essa ciência teve seu mais notável desenvolvimento. Primeiramente na sua parte
oriental, islâmica, Império Bizantino, com centro em Constantinopla, onde a língua
oficial era a grega; e depois na sua parte Ocidental, Império Romano, que não tinha um
centro único e nem uma única língua, mas o latim era a língua falada pelos estudiosos
da época.
A matemática bizantina era uma espécie de ação conservadora, destinada a
preservar o legado da antiguidade até que o Ocidente estivesse pronto para ir adiante.
Até que, como no século IX na Arábia, os europeus latinos superaram a barreira com a
cultura árabe no século XII. Aprenderam à língua árabe e traduziram as principais obras
matemáticas da época: obras de Euclides, como os Elementos, que tinham sido
traduzidas para o árabe e Al-jabr Wa’l Mugabalah, de Al-Khowarizm. A época foi de
transição de um ponto de vista antigo para um mais novo.
Pelo final do século XII foram fundadas muitas das universidades famosas como
Bolonha, Oxford e Cambridge. Dessa forma, o século XIII apresentou um grandioso
21
progresso matemático com relação ao século que o precede, na Idade Média, os
progressos até então alcançados. Tanto que a Europa Ocidental veio a rivalizar com
outras civilizações no nível de suas realizações matemáticas.
O progresso matemático não foi contínuo em nenhuma parte do mundo e
também não o foi na Europa Ocidental que no século XIV enfrentou a pior peste que já
assolou a Europa, a Peste Negra. Nesta época a Inglaterra e a França tinham assumido a
liderança na matemática, porém, além da Peste Negra, foram devastadas pela Guerra
dos Cem Anos e pela Guerra das Rosas, daí o declínio da cultura européia que só
voltaria a evoluir no século seguinte.
Pela metade do século XV a atividade matemática estava outra vez aumentando
impulsionada pela facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de
numeração indo-arábico, muito superior ao romano, que requeria o uso do ábaco; pela
invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do simbolismo
mediante a melhoria das comunicações baseada em ampla distribuição; pelo
ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; pela retomada do
comércio e viagens facilitando o intercâmbio de idéias. Cidades comercialmente fortes
foram surgindo, primeiramente na Itália, e foi lá que o renascimento matemático teve
início na Europa.
A álgebra entrou na Europa através do livro Al-jabr Wa’l Mugabalah de al-
Khowarizmi que foi traduzido para o latim por Robert de Chester, em 1140. Vale
lembrar que na tradução de Chester à palavra al-jabr aparece como algebrae que mais
tarde se tornou tal como é hoje, álgebra. Devido a influência de Al-Khowarizmi a
álgebra européia apresentava uma mistura de geometria com aritmética, mas aos poucos
foi deixando de ser tão elementar quanto a álgebra árabe. O estudo dessa “nova” (nova
na Europa) ciência se espalhou pela Europa e logo alguns países se destacaram ao
apresentarem novidades rumo a modernidade. A contribuição algébrica mais
significante veio da Itália. Em 1545 Girolamo Cardano, ou Cardan (1501-1575)
publicou na sua obra Ars Magna, a resolução das equações cúbicas e quárticas com a
colaboração de Nicolo Tartáglia (cerca de 1500-1557) para as equações cúbicas e de
Ludovico Ferrari (1522-1565), sendo os três italianos, para as equações quárticas. Para
a equação cúbica x3 + 6x = 20 (o cubo e seis vezes o lado igual a vinte) Cardano achou
x = 2 como uma das raízes do seguinte modo.
“... substitua-se x por u – v e suponha-se u e v relacionados de modo que seu produto (pensando como área) é um terço do coeficiente de x
22
na equação cúbica, isto é, uv = 2. Substituindo na equação vem u3 - v3
= 20 e, eliminando v, temos u6 = 20u3 + 8, uma equação quadrática em relação à u3. Portanto, como é sabido, u3 vale 108 + 10. Da relação u3 - v3 = 20 vemos que v3 = 108 – 10; donde, de x = u – v
temos x = 3 10108 + - 3 10108 − ...Cardano termina como formulação verbal da regra equivalente à nossa solução de x3 + px = q como x = ( ) ( ) ( ) −++3 23 223 qqp ( ) ( ) ( )3 23 223 qqp −+ “. ( Boye, 1996: 196.)
Para a resolução da equação quártica, Cardano apresenta seis passos para se chegar ao valor de x como segue:
“... então os passos para a resolução de x4 + 36 = 60x... 1) primeiro somar os coeficientes quadrados e números a ambos os lados para que o primeiro membro fique um quadrado perfeito, nesse caso x2 + 12x + 36, ou (x + 6 + y)2 ; 2) agora somar a ambos os membros da equação termos envolvendo uma incógnita y de modo que o primeiro membro permaneça um quadrado perfeito, como (x + 6 + y)2. A equação fica; 3) o passo crucial seguinte consiste em escolher y de modo que o trinômio no segundo membro fique um quadrado perfeito. Isso se faz, é claro, igualando a zero o discriminante – uma regra antiga e bem conhecida; 4) do passo 3 resulta uma equação cúbica em y – y3 + 15y2 + 36y = 450 – hoje chamada a “cúbica resolvente” da equação quártica dada. Essa é agora resolvida em relação a y e pelas regras previamente dadas para a resolução de equações cúbicas, sendo o resultado y=
54180449
21287
4180449
21287 33 −−++ ; 5) substituir o valor
de y obtido em 4 na equação para x no passo 2 e extrair de ambos os membros; 6) o resultado do passo 5 é uma equação quadrática, que deve agora ser resolvida afim de achar o valor de x desejado.”(Boyer, 1996: 196)
Essas descobertas representaram muito para a evolução da álgebra, pois serviram
de impulso para pesquisas e novos estudos rumo a uma maior generalização. Foi um
alicerce tão importante para o progresso da matemática, como um todo, que o ano de
1545 é tido como marco inicial da matemática moderna.
A álgebra deixara de ser tão elementar e a partir de agora os algebristas estavam
preparados para ir adiante rumo novas descobertas. O conjunto dessas “novas”
descobertas proporcionou a modernização da álgebra.
23
1.2 A Álgebra Moderna
Os resultados publicados por Cardano na sua Ars Magna impulsionaram a
pesquisa em álgebra e quando surgia algum entrave para a sua evolução, algum
matemático, mesmo que levasse anos de estudo, apresentava uma saída para se seguir
em frente e dessa forma à álgebra foi se tornando cada vez mais complexa. A Europa
serviu como berço para tal evolução e agora os países se revezavam com as suas
contribuições. Embora nem sempre as fórmulas de resolução para equações representem
uma ferramenta para a vida prática, elas abrem novos horizontes para os estudiosos e
dessa forma podem ser à base de grandes descobertas.
Outro fator muito importante para a abstração da álgebra foi à evolução da
notação, nesse aspecto destacam-se François Viét (ou Vieta, em latim) que usou uma
vogal para representar a quantidade a ser determinada, e uma consoante para representar
as quantidades, grandezas ou números supostos ou conhecidos. Mas foi um outro
matemático francês que primeiro usou os símbolos que usamos atualmente, René
Descartes (1596-1650). Ele usou as letras iniciais do alfabeto para representar as
quantidades conhecidas, e as letras do final do alfabeto para as desconhecidas, bem
como os expoentes para as incógnitas (xx = x2 e xxx = x3) com a diferença de que
Descartes não via x2 e x3 apenas como área e cubo, como faziam os gregos antigos, ele
também os interpretava como segmentos o que tornou sua álgebra bem mais flexível e
contribuiu para a convenção da simbologia em álgebra.
Mas o processo que levou à introdução de abstração em álgebra foi iniciado em
1815, quando vários matemáticos da Universidade de Cambridge fundaram a Analitical
Society, que tinha como objetivo imediato reformular o ensino do cálculo, adotando as
notações em uso no continente, no entanto, sua principal contribuição foi discutir os
fundamentos da álgebra.
1.2.1 Os números Complexos
Segundo Milies até meados do século XVI os matemáticos não aceitavam e nem
sabiam lidar com raízes quadradas de números negativos. Cardano já tinha se deparado
24
com tal tipo de questão ao aplicar a sua fórmula para ás cúbicas na equação x3 = 15x + 4
que dava
x = 33 21212121 −−−+− , mesmo sabendo que x = 4 era raiz, Cardano não
conseguia entender como sua fórmula seria válida nesta situação. Classificou as raízes
quadradas de números negativos como “sofisticas” e não conseguiu encontrar a saída
para a solução. No ano de 1572, Rafael Bombelli (cerca de 1526 – 1573), matemático
italiano e admirador de Cardano, apresentou uma proposta para a solução do problema
de Cardano: como x = 4 é raiz da equação.
“Bombelli supôs que exista uma expressão do tipo a + b− que possa ser considerada como raiz cúbica de 2 + 121− , ou seja, (a + b− )3 = 2 + 121− . Para calcular essa raiz ele assumiu que a raiz cúbica de 2 - 121− seja da forma a - b− . Somando-se a +
b− com a - b− = 4 obteve a = 2. Com esse resultado achou b = 1, pois (a + b− )3 = 2 + 11 1− . Milies:17”
Felizmente as partes + b− e - b− se anulam, mas como podemos anular o
que não existe? Visto que a compreensão de raiz quadrada de número negativo não
existia, por parte dos matemáticos da época. Apesar de aceitar somente os números
reais, era necessário levar em consideração esses números fictícios para poderem seguir
adiante toda vez que ocorresse uma situação como esta, e Bombelli mostrara uma saída.
O método de Bombelli só se aplica a uma equação quando já se conhece uma
das raízes e, portanto não pode ser considerado como uma fórmula geral. A importância
desse método esta em explicar como se pode obter a solução de uma equação apesar de
surgir pelo caminho raiz quadrada de número negativo. Seu raciocínio mostrou o papel
importante que os números imaginários iriam desempenhar no futuro. Em 1833,
William Rowan Hamilton (1805-1865), matemático e físico irlandês, deu a
fundamentação definitiva dos números complexos como sendo pares ordenados de
números reais tal como é apresentada atualmente.
Hamilton observou à expressão a + bi e percebeu que a + bi não é uma soma
genuína, do mesmo tipo que 2 + 3, pois bi não pode ser adicionado com a. Assim
percebeu que escrever um número complexo da forma a + bi não é mais do que dar o
par ordenado de números reais (a, b). Dessa forma Hamilton introduziu uma álgebra
formal de pares de números complexos cujas regras e combinação são precisamente as
que usamos hoje e definiu a soma e o produto de pares ordenados da seguinte forma: b
(a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)
25
(a, b) x (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Segundo Boyer (1996), Hamilton interpretava seus pares ordenados como sendo
vetores e o produto de dois desses pares como rotação. E tentou estender a sua idéia a
três dimensões não o conseguindo devido à multiplicação de n-uplas, para n maior que
dois que ele não conseguiu formular.
1.2.2 O Teorema Fundamental da Álgebra
Resolver problemas por radicais se tornou o centro de estudo da álgebra depois
do livro L-Álgebra de Bombelli e agora os matemáticos se questionavam quanto a
solução de equações de grau superior como as de grau maior do que quatro. Provar que
uma equação de grau n tem exatamente n raízes parecia uma conseqüência da extensão
dos resultados até aqui obtidos para as equações já estudadas. Para isso, antes de
qualquer coisa, era necessário provar se uma equação com coeficientes reais pode ou
não ser expressa como produto de fatores lineares e quadráticos com coeficientes
também reais.
Muitas foram às tentativas de resolver tal questão: em 1702, Gottfied Wilhem
Leibniz (1646 – 1716), matemático alemão que foi um dos criadores do Cálculo,
mostrou que não era possível fazer tal fatoração, mas Nicholaus Bernoulli (1687 –
1759) o corrigiu em 1719 mostrando que Leibniz havia cometido um erro na sua
demonstração; Em 1742, Leonard Euler (1707 – 1783), matemático suíço, observou que
se um polinômio com coeficientes reais tem uma raiz complexa a + b 1− também tem
a conjugada a – b 1− e que o produto [x – (a + b 1− )] [x – (a - b 1− )] é uma
expressão quadrática com coeficientes reais. A partir dessa observação a questão da
fatoração ficou reduzida a provar a existência de raízes. Este resultado é hoje conhecido
como “O Teorema Fundamental da Álgebra”:
Todo polinômio com coeficientes reais admite pelo menos uma raiz complexa.
Muitos matemáticos tentaram provar esse teorema, mas nem mesmo o próprio
Euler o conseguiu até que em 1799, Carl Friederich Gauss (1777 – 1855), matemático
alemão, o conseguiu na sua tese de Doutorado.
1.2.3 Os Quatérnions
26
Após a formulação definitiva dos números complexos, Hamilton (1805-1865),
matemático Irlandês, queria compreender como poderia ser feita a seguinte
multiplicação: (a + bi + cj) (x + yi + zj) de forma que os termos desse produto também
fosse um terno. Esperava que o comprimento do produto de vetores fosse igual ao
produto dos comprimentos e para tal considerou i2 = j2 = -1, mas a dificuldade estava em
determinar ij e ji. Certo dia enquanto caminhava ao lado de sua esposa veio a
revelação: era necessária a introdução de um quarto termo de forma que i2 = j2 = k2 =
ijk = -1 que contém a solução do problema. Partindo dessa fórmula, Hamilton deduziu
que:
ij = - ji = k
jk = - kj = i
ki = - ik = j
Uma vez definido o produto Hamilton definiu o conjugado α = a + bi + cj + dk
como sendo o quatérnion: α’ = a - bi - cj - dk. Para o módulo ele usou a seguinte
definição:
|| α || = α α’ = a2 + b2 + c2 + d2 e observou que || α || ≠ 0 se, e somente se, α ≠ 0.
Das definições resulta que dados dois quatérnions α e β, tem-se:
|| α β || = || α ||. || β || e para α ≠ 0 tem-se: α -1 = 1/|| α ||. α’ que é, de fato, o inverso de α,
uma vez que um cálculo simples mostra que α α’ = 1.
Com a multiplicação definida, o conjunto dos quatérnions constitui o primeiro
exemplo de anel não comutativo com divisão, embora esse conceito ainda não estivesse
em uso. Dessa forma, dados dois quatérnions quaisquer, a soma e o produto são também
quatérnions.
Essa descoberta teve um papel decisivo no desenvolvimento da álgebra. Em
especial para a abstração que estava em crescimento. Hamilton mostrou pela primeira
vez um exemplo de álgebra não comutativa e a possibilidade de estender o conjunto das
álgebras conhecidas.
Dois meses após a descoberta dos quatérnions John T. Graves introduziu os
octônions. Esse sistema foi redescoberto independentemente por Arthur Cayley (1821 –
1895), matemático inglês, em 1845 e por isso os octônions são freqüentemente
27
chamados números de Cayley. Estava assim aberto o caminho para as generalizações.
Em 1853 Hamilton introduziu os biquatérnions que nada mais são do que quatérnions
com coeficientes complexos e constituem assim uma álgebra de dimensão oito.
Ainda no mesmo artigo que fala dos biquatérnions uma nova generalização se
inicia e em 1848 é apresentado a Royal Irish Academy os Números Hipercomplexos
como o conjunto de todos os símbolos da forma: x1e1 + x2e2 + ... + xnen, onde x1, x2, ... xn
são números reais, e eventualmente, complexos e e1, e2, ... en são símbolos, chamados de
unidades do sistema que apresenta as mesmas propriedades dos quatérnios para a soma
e o produto.
1.2.4 Grupos e Matrizes
Nos anos seguintes dois novos exemplos de estruturas algébricas, de grande
importância foram introduzidos por Athur Cayley: o conceito de grupo e de matriz.
Cayley tinha uma grande habilidade para as formulações abstratas: sabia enxergar uma
generalização por traz de um exemplo particular e isto lhe permitiu ser o primeiro a dar
o conceito de grupo abstrato. O primeiro matemático que usou o termo grupo foi
Evariste Galois (1811 – 1832), um francês. O estudo das permutações estava em alta na
época e muitos matemáticos estavam envolvidos com o estudo desse tema.
Para definir a noção de grupo abstrato, Cayley usou uma notação multiplicativa
e, para explicar o fato de num grupo uma só operação está definida, ele observou que no
seu conjunto os símbolos “+ e 0” não têm nenhum significado. Para introduzir a adição
ele denotou os elementos do grupo por letras gregas α , β, ... e considerou combinações
lineares do tipo aα +bβ + ... que tratou como elementos de um sistemas hipercomplexo.
Definiu a soma de quaisquer dois elementos desse tipo somando coeficiente a
coeficiente e a multiplicação distributivamente, a partir do produto de elementos do
grupo.
Pouco tempo depois, em 1855, Cayley introduziu o conceito de matriz. Partindo
do estudo de determinantes ou como uma forma conveniente de expressar as equações:
x1 = ax + by
y1 = cx + dy
Segundo Milies o estudo de determinantes estava em uso desde muito tempo,
introduzidos em conexão com a resolução de sistemas lineares. È interessante observar
que na atualidade ocorre o contrário: o conceito de matriz é estudado como pré-requisito
28
para os determinantes, que por sua vez são pré-requisitos para os sistemas lineares.
Como Cayley estava interessado nas transformações lineares, a composição das
matrizes lhe sugeriu a definição de produto de matrizes e conseqüentemente, a inversa
de uma matriz. Em 1858, Cayley introduziu o conceito de soma de matrizes e de
produto por escalares. Aqui novamente a visão de Cayley lhe permitiu ver um novo
sistema algébrico semelhante aos que vinham sendo observados: o fato de as matrizes se
comportarem como quantidades, pois elas podem ser somadas, multiplicadas ou
compostas. Cayley observou aí uma clara relação com os quatérnions; notou que se M e
N são duas matrizes de ordem 2x2 que verificam M2 = N2 = - 1 e MN = - NM então, L =
MN, tem-se que as matrizes L, M e N satisfazem um sistema de relações precisamente
similar aquele da teoria dos quatérnions. Daí a demonstração atual de que M2(C), o anel
das matrizes de ordem 2x2 com coeficientes complexos é isomorfo ao anel dos
quatérnions nos números complexos, de Hamilton. Neste momento resulta, por fim, que
as matrizes também são sistemas hipercomplexos.
1.2.5 Teoria dos Corpos
O conceito de corpo como sendo um conjunto fechado para as operações de
soma e multiplicação onde existem oposto e inverso de qualquer elemento (com
exceção do inverso do zero), bem como o conceito de corpo gerado por n números
complexos α 1,..., α n, como o conjunto de todos os números que podem ser obtidos por
soma, subtração, multiplicação e divisão ( exceto a divisão por zero) já aparecem no
trabalho de Galois sobre resolução de equações polinomiais. Essencialmente Galois
usou as idéias de Gauss de considerar congruências módulo um número primo p e
construiu o corpo dos inteiros módulo p denotado por Zp. Depois considerou o anel de
polinômios com coeficientes em Zp e tomou congruências módulo um polinômio
irredutível f. A partir daí pode -se mostrar que se f tem grau n, então o conjunto das
classes dos restos assim construído é um corpo finito com pn elementos. Assim, Galois
construiu os corpos que hoje são conhecidos como Corpos de Galois e são denotados
por GF(pn).
Tempos depois E. H. Moore (1862 – 1932), matemático inglês, provou, em
1903, que todos os corpos finitos de mesma ordem são isomorfos entre si e, portanto,
são isomorfos aos corpos de Galois dessa ordem. Uma outra linha de pesquisa que
contribuiu para a Teoria dos Corpos foi a Teoria dos Números de Gauss a qual estudou
29
os resíduos quadráticos, ou seja, dado um número primo p e um número inteiro a que
não é múltiplo de p, um inteiro x diz-se um resíduo quadrático de a, em relação a p se x2
≡ a (mod p). Anos mais tarde Gauss considerou também resíduos cúbicos e bi
quadráticos. A Teoria dos Números de Gauss foi o primeiro passo rumo a uma área de
grande importância na álgebra atual: a Teoria dos Números Algébricos. Esta teoria foi
desenvolvida a partir dos esforços de inúmeros matemáticos para provar o Teorema de
Fermat que diz: numa equação da forma xn + yn = zn não tem solução inteira para n > 2.
As inúmeras tentativas de demonstrar esse teorema levaram Richard Dedekind (1831 –
1916), matemático alemão, a definir um número algébrico como sendo raiz de uma
equação da forma anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0, onde a0, a1,... , an-1, an-2, an são
números inteiros e diz-se um inteiro algébrico se é raiz de uma equação da forma acima,
com an = 1.
Com estas definições prova-se que os números algébricos formam um corpo, os
inteiros algébricos formam um domínio de integridade e que se um inteiro algébrico é
um número racional, então é um inteiro ordinário. Neste contexto Dedekind deu a
primeira definição formal de corpo e de anel.
1.2.6 Anéis e Álgebras
Desde o começo os sistemas hipercomplexos, hoje chamados de álgebras
lineares associativas, eram definidos a partir de elementos básicos, definindo a soma da
forma natural e o produto distributivamente, a partir da multiplicação de elementos da
base. Em 1903 Leonard Eugene Dickson (1874 – 1954), matemático americano, deu a
primeira definição abstrata de álgebra. Deu duas definições de álgebras lineares
associativas: a primeira é a álgebra já conhecida, em termos de elementos básicos
constantes estruturais com a novidade de impor certas condições as constantes
estruturais, os postulados do sistema, e mostra que estas condições são independentes
entre si e que nenhuma delas é congruência lógica das restantes; sua segunda definição
se aproxima bastante da forma atual, apesar do uso de coordenadas. Ele considerou um
sistema de elementos da forma A = (a1, a2,..., an) onde os coeficientes ai, que ele chamou
de coordenadas do elemento, pertencem a um dado corpo F. Definiu a soma
componente a componente e fez a seguinte observação: dados dois elementos A e B
sempre existe um outro elemento D tal que A + D = B. Depois ele provou as seguintes
características:
30
1) para quaisquer dois elementos A e B do sistema A∙B é outro elemento do
sistema cujas coordenadas são funções bi lineares das coordenadas A e B com
coeficientes em F;
2) (A∙B) ∙C = A∙ (B∙C), se A∙B, B∙C, (A∙B)∙C, A∙(B∙C) pertencem ao sistema;
3) existe no sistema um elemento I tal que A∙I = A para todo elemento do
sistema;
4) existe no sistema pelo menos um elemento A tal que A∙Z ≠ 0 para qualquer
elemento Z ≠ 0.
Feinalmente, em 1923, Dickson deu a definição definitiva puramente abstrata,
livre de coordenadas, que é a álgebra atual.
Quanto ao conceito de anel, Dedekind e Leopold Kronecker (1823 – 1891), já
trabalhavam com esse conceito nos seus estudos sobre teoria dos números algébricos,
embora o termo usado fosse ordem. Quem introduziu o termo anel foi um matemático
nascido na Prússia Oriental, David Hilbert (1862 – 1943) ainda no contexto dos
números algébricos. A definição abstrata, com toda a sua generalização foi dada em
1914 por Adolf Abraham H. Fraenkel (1891 – 1965) matemático alemão. A sua
definição á muito próxima da atual. Ele considerou um sistema com duas operações que
ele chamou de soma e produto e estabeleceu que, em relação a soma o sistema deve
formar um grupo. Sobre o produto ele especifica que deve ser associativo e distributivo
em relação à soma e inclui a existência de um elemento unidade. A partir destes
axiomas é possível provar a comutatividade da soma bem como uma série de resultados
elementares.
O objetivo de Fraenkel era dar uma teoria abstrata e compreensiva da Teoria dos
Anéis, no entanto, esta tarefa não pode ser desenvolvida na época.
A álgebra se tornara uma ciência de alto grau de abstração. Agora é possível
fazer cálculos em dimensões superiores a dois, lidar com estruturas inimagináveis pelos
nossos antepassados. Muitos foram os matemáticos que contribuíram para esse tão
elevado nível de desenvolvimento algébrico, e o capítulo seguinte é dedicado a alguns
deles.
31
32
Capítulo 2 – Precursores da Álgebra: Vida e Contribuições
Como pudemos perceber no capítulo anterior, a álgebra, assim como a
matemática em geral, é o resultado de uma constante construção e ao longo dos séculos
foi sendo transformada nesta brilhante ciência tal como conhecemos hoje. Também
pudemos conhecer os personagens que contribuíram para essa construção, pessoas que
dedicaram suas vidas ao estudo da álgebra e que para com estas pessoas temos uma
dívida impagável.
No capítulo que se segue fizemos um levantamento biográfico sobre as vidas
dessas pessoas no sentido de identificá-las e conhece-las um pouco mais. Como não
podemos falar de todos, em função da abrangência do trabalho, destacamos seis grandes
algebristas que assim como muitos outros, foram responsáveis pelas descobertas que
transformaram a álgebra nesta ciência que estudamos atualmente. Cada um com a sua
contribuição de modo que a partir delas pode-se desenvolver outras.
2.1 Al-Khowarizmi (Arábia, 780-850)
Abu Abdullah Mohammed ben Musa Al-Khowarizmi nasceu em torno de 780 da
era cristã em Khowarizmi, região sul do Mar Aral, na parte Perça ocupada pelos árabes
(atualmente parte do Uzbequistão). Quando criança mudou-se com seus pais para um
lugar ao sul de Bagdá. Na época do califa al-Mamum (809 – 833) trabalhou na Casa da
Sabedoria, onde estavam reunidos estudiosos da Síria e Mesopotâmea, bem como
estavam reunidas grandes obras científicas da Antigüidade. Escreveu sobre aritmética,
álgebra, astronomia, geografia e sobre o calendário. È possível que também tenha
escrito sobre o astrolábio e sobre relógios de sol, no entanto, pouco da sua obra chegou
aos nossos dias. Os trabalhos sobre aritmética e álgebra foram muito importantes para o
desenvolvimento da matemática visto que foi a partir destes que a Europa pode expandir
para novas descobertas.
Na aritmética, Al-Khowarizmi escreveu um pequeno tratado que se perdeu, mas
antes de se perder, foi traduzido para o espanhol. No texto ele introduziu os nove
símbolos indianos para representar os algarismos e um círculo para representar o zero.
Depois explicou como escrever um número no sistema decimal usando os dez símbolos.
Descreveu as operações de cálculo (adição, subtração, multiplicação e divisão) segundo
33
o método indiano e explicou a extração da raiz quadrada. Depois do calculo com
números inteiros aborda também o calculo com frações unitárias.
Em 830 aproximadamente, época das traduções das ciências gregas, hindus,
perças e etc para a língua árabe, Al-Khowarizmi publicou sua álgebra, intitulada al-
jaber Wa’l Mugabalah (ciência da restauração e equilíbrio), que é composto de seis
capítulos breves onde cada um destes trata de um tipo específico de equação quadrática
que ele classificara em seis tipos. Por ser o primeiro a escrever sobre álgebra e pelo
modo simples e claro de explicar seus conteúdos ele é considerado o Pai da Álgebra.
As suas contribuições não param por aí, traduções do seu nome levaram à
palavra algorismo ou algoritmo; a palavra “xoy”, usada por ele para a incógnita, deu
origem ao “x” da álgebra moderna; al-jaber deu origem á palavra álgebra. Também deve
a ele a introdução do calculo hindu no mundo islâmico, que depois pôde ser
aprofundado e ampliado por outros matemáticos árabes que o seguiram.
Na astronomia destaca-se a sua participação na medição do comprimento de um
grau da Terra. Considerando que a Terra é redonda o objetivo era calcular o seu
tamanho e circunferência. Obtiveram um resultado impressionante para a época, século
IX, encontraram 91176 metros como resultado, ficando a apenas 877 metros do
resultado moderno.
Al-Khowarizmi morreu em 846 aproximadamente. Pouco se sabe sobre a sua
vida, mas o que sabemos já é o bastante para que ele seja considerado uma das maiores
capacidades científicas do islã.
2.2 Viet (França, 1540-1603)
François Viét ou Franciscus Vieta, em latim, nasceu na França, em 1540.
Formou-se em direito, mas estudava matemática nas horas vagas. Tornou-se membro do
Parlamento da Bretanha e depois se tornou membro do Conselho do Rei, servindo
durante os reinados de Henrique III e Henrique IV. Durante o reinado de Henrique IV a
França estava em guerra com a Espanha e Viét decifrou as mensagens em código,
usadas pelo inimigo. Tratava-se de um sistema de caracteres secretos que envolvia cerca
de 600 desses símbolos que eram periodicamente mudados. Pelo feito ele foi acusado,
pelos espanhóis, de ter um pacto com o demônio.
Apesar de não ser matemático profissional fez importantes contribuições
para esta ciência, principalmente no ramo da álgebra. Nessa época a álgebra estava
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resumida a um receituário para resolver equações numa incógnita ou sistemas de duas
equações e duas incógnitas, os nossos sistemas de equações lineares, derivadas de
problemas comercial ou geométrico. Ao contrário da Geometria, a álgebra não dispunha
de uma forma universal de representação. Existia uma mistura entre simbolismo e
sincopação que não ajudavam no entendimento geral desse ramo da matemática. Ele
deu um passo profundo seguindo rumo à convensão dos símbolos ao usar uma vogal
maiúscula para representar à incógnita e uma consoante, também maiúscula, para
representar o coeficiente. Foi o primeiro a mostrar a diferença que existe entre
coeficiente e variável e a partir de suas representações o matemático, também francês,
René Descartes (1596 – 1650) formulou as representações atuais para os termos
integrantes de uma equação.
Era defensor da representação decimal (contra a sexagesimal). Calculou o seno
de um grau com treze algarismos e com base nesse valor preparou extensas tábuas para
as seis funções trigonométricas. Foi o primeiro a aplicar a álgebra na Trigonometria.
François Viét morreu em 1603, deixando um bom alicerce preparado para
maiores construções na Matemática.
2.3 Cardano (Itália, 1501-1576)
Girolamo Cardano nasceu em 24 de setembro de 1501na cidade de Pávia, Itália.
Filho de pais não casados, Cardano sofreu tentativas de morte ainda no ventre de sua
mãe, mas para o bem da matemática sobreviveu. Seu pai era um intelectual que se
dedicava à medicina, advocacia, matemática e as ciências ocultas. O filho seguiu os
caminhos do pai: estudou nas Universidades de Pávia e Pádua e recebeu o grau de
doutor em medicina em 1525, aos 24 anos, e se tornou um grande médico (depois de
Versalius foi o médico mais renomado de toda a Europa na sua época). Cardano
também se dedicou á matemática, leis, astrologia e probabilidade.
Aos 44 anos, publicou o trabalho que o tornaria conhecido e através do qual o
seu nome entraria para a história da matemática: o livro Ars Magna (a Grande Arte) no
qual apareceram impressas pela primeira vez as fórmulas de resolução para as equações
cúbicas e quárticas.
Cardano era viciado em jogo e assumiu ter jogado xadrez, por quarenta anos, e
dados por 25, diariamente. Nesta época era comum jogar para passar o tempo e como
valia dinheiro, era uma atividade que poderia render algum para prover suas
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necessidades, mas na verdade ele acabou perdendo boa parte da sua vida e fortuna nesta
atividade. Mas soube tirar proveito dos jogos e desenvolveu a primeira análise
matemática de jogos. Formulou o conceito de espaço amostral com resultados
igualmente prováveis. Escreveu um pequeno manual do jogador intitulado Líber de
Ludo Aleae (O Livro dos Jogos de Azar), que pode ter sido a sua maior contribuição
para a matemática. Neste livro ele discutiu o montante correto da aposta a ser feita por
um jogador que tem probabilidade p de ganhar a importância s, estabeleceu a Lei pn =
pn, que dá a probabilidade de que um evento ocorra independentemente n vezes
sucessivas.
Cardano foi um dos primeiros a desenvolver o estudo das probabilidades.
Faleceu em 21 de setembro de 1576, em Roma, a três dias de completar 75 anos de
idade.
2.4 Bombelli (Itália, 1526-1573)
Rafael Bombelli nasceu em 1526, na cidade de Bolonha, Itália. Era o mais velho
dos seis filhos de Antonio Mazzoli. O pai de Rafael era um próspero negociante de lãs e
tinha posses. Em 1506, a cidade de Bolonha estava sob o domínio de Giovanne II e
Antonio Mazzoli envolveu-se em manifestações contra o seu governo, como não
conseguiram tirar Giovanne do poder a família de Rafael teve seus bens confiscados e
foi exilada e somente depois de muitos anos a família Mazzoli obteve o perdão e pode
voltar à Bolonha e recuperar os seus bens.
Na tentativa de disfarçar a sua descendência, Rafael mudou seu sobre nome para
Bombelli. Trabalhou para um nobre romano, Alessandro Rufini, futuro bispo de Melfi.
Neste período interessou-se por matemática e envolveu-se no desafio do momento que
era determinar as fórmulas geral para a resolução das equações cúbicas e quárticas,
quando conheceu vários outros estudiosos, dentre os quais Girolamo Cardano, do qual
se tornaria um admirador. Em 1549 foi encarregado pelo seu patrão, que agora já era
bispo, de demarcar as fronteiras da região do Val di Chiana. Enquanto realizava o seu
trabalho (1551 – 1555), enfrentou reclamações dos vizinhos fronteiriços e por isso
interrompeu o serviço temporariamente.
Enquanto aguardava o recomeço das demarcações, escreveu seu famoso livro de
álgebra denominado L’Álgebra, a partir dos estudos de Cardano. Quando o trabalho
recomeçou, em 1560, o livro ainda não estava concluído e Bombelli passou a visitar o
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professor Antonio Maria Pazzi, da Universidade de Roma. Nesse período teve acesso a
um manuscrito de Diofante, que foi um matemático grego da antiguidade. Tratava-se de
um texto sobre aritmética que o deixou apaixonado e os dois, ele e o professor,
resolveram traduzir tal obra. A influencia de Diofante foi tão grande que dos 272
problemas existentes no sue livro, 143 eram baseados nos escritos diofantino.
Rafael Bombelli Foi o primeiro matemático a usar o jogo de sinais. No seu livro
sobre álgebra ele escreveu:
• mais vezes mais é igual a mais;
• menos vezes menos é igual a mais;
• mais vezes menos é igual a menos;
• menos vezes mais é igual a menos;
• mais raiz quadrada de menos n vezes mais raiz quadrada de menos n é igual a
menos n;
• mais raiz quadrada de menos n vezes menos raiz quadrada de menos n é igual a
mais n;
• menos raiz quadrada de menos n vezes mais raiz quadrada de menos n é igual a
mais n;
• menos raiz quadrada de menos n vezes menos raiz quadrada de menos n é igual
a menos n.
Também foi o primeiro a mostrar uma saída para a solução de uma equação em
que aparecia raiz quadrada de número negativo. Usou os símbolos: a + b− e a - b−
que mais tarde se tornaria a base para a definição final de número complexo. Ao todo
ele escreveu cinco livros, deixando o quarto e o quinto por terminar, pois faleceu em
1573, provavelmente em Roma, aos 47 anos.
Bombelli não era um matemático profissional, pois não fora universitário, no
entanto, foi importante para o desenvolvimento da álgebra, que era a sua área. Em 1923,
seus escritos foram encontrados numa biblioteca de Bolonha e seus cinco livros foram
republicados em 1929.
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2.5 Euler (Suíça. 1707-1783)
Leonard Euler nasceu no dia 15 de abril de 1707 em Basiléia, Suiça. Seu pai,
Paul Euler, era um ministro religioso que possuía algum conhecimento matemático e era
casado com Margaret Brucker, filha de um outro homem da igreja.
Teve suas primeiras aulas de matemática com o pai o que pode ter despertado
seu gosto pelo assunto. Paul Euler queria mesmo era que seu filho se tornasse um
teólogo e sonhava em ver seu filho estudando Teologia. Quando completou a idade de ir
para a escola, Euler foi morar com a sua avó materna e como não tinha muitas aulas de
matemática, passou a ler livros e a ter aulas, às escondidas, sobre o assunto.
Aos 14 anos entrou para a Universidade e logo fez um exame, com o professor
Jean Bernoulli (1667-1748), que foi seu professor de matemática e descobriu o
potencial do garoto. Em 1723, aos 16 anos, obteve o grau de mestre em filosofia e
passou a Estudar Teologia seguindo o desejo do seu pai. Também teve instrução de
medicina, astronomia, física e línguas orientais. Mas gostava mesmo era de matemática
e com a ajuda de Jean Bernoulli, convenceu o seu pai a deixá-lo estudar matemática.
Aos 19 anos, após concluir os estudos na Universidade de Basiléia, tentou uma vaga
para professor de Física na própria Universidade, mas não conseguiu devido a sua
juventude. Aos vinte anos foi indicado para o Grande Prêmio da Academia de Paris no
qual obteve o segundo lugar. Foi convidado a trabalhar na Academia de São
Petersburgo na Rússia, mais chegando lá não conseguiu o emprego devido à morte de
Catarina I, que fundara a escola e como gostava da idéia de trazer estrangeiros para
trabalharem nela, convidara a Euler.
Desiludido com a carreira de professor, Euler entrou para a marinha Russa onde
se tornou tenente. Mas a esperança não havia morrido e em 1730, com a Academia já
em melhores condições, assumiu o seu lugar de professor de física na escola. Aos 26
anos, se tornou o principal matemático da academia com a saída de seu amigo Daniel
Bernoulli (1700-1782), filho de Jean Bernoulli. Com esse novo cargo passou a ganhar
melhor e pode investir mais na sua pesquisa matemática. Casou-se em sete de janeiro de
1734, com Katharin Gsell e tiveram 13 filhos dos quais apenas 5 sobreviveram à
infância.
A academia de São Petersburgo editava, periodicamente, uma revista de
matemática, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, na qual ele
publicava inúmeros dos seus artigos. Eram tantos que o francês François Arago
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(1786-1853) disse que Euler podia calcular sem qualquer esforço tal como o homem
respira e as águias se sustentam no ar.
Sua facilidade em escrever era tanto que chegava a estar com um filho no colo,
um bloco de notas sobre a perna e os outros filhos a brincarem à volta dos seus pés. Em
1735, aos 28 anos, perdeu a visão do olho direito. Convidado por Frederico, o Grande,
deixou a Academia de São Petersburgo e foi para a Academia de Berlim, na Alemanha,
onde passou 25 anos, voltando à Rússia em 1766, aos 59 anos.
Dentre as contribuições de Euler para a Matemática estão:
• o uso da letra “e” como base do sistema de logaritmos naturais;
• ouso da letra grega “π” para representar a razão entre o comprimento e diâmetro
de uma circunferência;
• o uso do símbolo “i” para 1− ;
• o uso de letras maiúsculas “A, B, C” para representar os lados de um triângulo e
minúsculas “a, b, c” para seus ângulos opostos;
• o uso do símbolo “lx” para logaritmo de x;
• o uso de símbolo “∑” para adição;
• o uso de “f (x)” para representar a função de x;
• na álgebra formulou o teorema fundamental da álgebra além de outras notações
em Geometria, Trigonometria e Analise.
Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500
livros e artigos. Por volta de 1770 perdeu a visão do olho esquerdo e agora precisava
ditar suas idéias para que um dos seus filhos escrevesse, ou escrever com giz em
grandes quadros negros. No entanto o fluxo de suas pesquisas e publicações não
diminuiu. Em 1776, aos 59 anos perdeu todos os seus bens, a exceção dos manuscritos
de matemática, num incêndio na sua casa.
A sua capacidade para o cálculo mental era tão grande que conseguia fazer, de
cabeça, cálculos que outros matemáticos tinham dificuldade de fazer no papel. Ele foi
descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria analise encarnada.
Após passar 17 anos de cegueira total, Euler morreu em 18 de Setembro de
1783, aos 76 anos, de uma hemorragia cerebral.
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2.6 Gauss (Alemanha, 1777-1855)
Johann Carl Friederich Gauss nasceu num casebre em Brunswich, Alemanha.
Seu pai, Gerhard Diederich era jardineiro e pedreiro e não queria que o filho estudasse,
mas a sua mãe Dorothea e seu tio Friederich, que percebeu a inteligência do sobrinho, o
incentivaram e o ajudaram nos seus primeiros passos como estudante..
Gauss era um gênio; tinha uma memória fotográfica conseguia lembrar dos
acontecimentos da sua infância; aos dois anos impressionava as pessoas que
acompanhavam o seu desenvolvimento; antes dos três anos corrigiu uma longa soma
que seu pai fazia, ao seu lado, em voz alta; aprendeu a ler e a somar sozinho. Aos sete
anos entrou para a escola. Certo dia o professor pediu que os alunos somassem de um 1
a 100 e Gauss logo achou a resposta, 5050, aparentemente sem cálculos, supõe-se que já
aí ele tivesse descoberto a fórmula para calcular a soma dos termos de uma progressão
aritmética.
Aos 10 anos ele foi admitido na classe de aritmética e na primeira aula, sem que
os alunos ali presentes jamais tivessem ouvido falar de uma progressão aritmética, o
professor deu-lhes um longo problema de soma, cujo resultado, através de uma fórmula
poderia ser encontrado em poucos segundos. O problema era o seguinte:
81297+81395+81693+...+100899, em que a diferença de um número para o próximo
era sempre a mesma (aqui 198) e um determinado número de termos (aqui 100) para ser
somado, o que tornava a obtenção do resultado simples, caso se soubesse deste macete.
O professor disse “quem for terminando vá colocando a lousa sobre a minha
mesa”. Terminando o ditado Gauss colocou sua lousa na mesa. Quando o professor
olhou na lousa estava escrito apenas um único número, o certo. Ele descobrira,
instantaneamente, o macete. Todos os outros alunos tinham enormes somas erradas. O
professor ficou tão atônito com a proeza do menino de 10 anos que pagou do próprio
bolso livros de aritmética para ele, que as absorvia ligeiramente. Reconhecendo que fora
ultrapassado pelo aluno, o professor passou o ensino para seu jovem assistente, Johann
Martin Bartelo (1769-1856), que era apaixonado por matemática. Entre Bartelo, com
dezessete anos, e Gauss, com 10, nasceu uma amizade que durou toda a vida. Eles
estudavam juntos e ajudavam um ao outro nas suas dificuldades.
Gauss sempre contou com a ajuda financeira do Duque de Brunswick para os
seus estudos. Em 30 de Março de 1796 decidiu-se pela matemática e em 1798 tornou-se
doutor pela Universidade de Helmstädt e sua tese foi a demonstração do “Teorema
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Fundamental da Álgebra” provando que toda equação polinominal f(x) = 0 tem pelo
menos uma raiz real ou imaginária e para isso baseou-se em considerações geométricas.
Foi o primeiro a construir um polígono regular de dezessete lados usando somente régua
e compasso como auxiliares. Também foi o primeiro a representar graficamente os
números complexos pensando em partes real e imaginária como ordenadas de um plano.
No seu livro “Disquisitiones Arithmtical” (pesquisas aritméticas), desenvolveu notações
da Teoria dos Números, nele apresentando a notação b ≡ c(mod a), para a relação de
congruência; apresentou a lei da reciprocidade quadrática e demonstrou o teorema
segundo o qual todo número inteiro positivo pode ser representado de uma só maneira
como produto de números primos.
No inicio do século XIX deixou de lado a aritmética para dedicar-se à
Astronomia e nesta área criou um método para acompanhar a órbita dos satélites, usado
até hoje, o que lhe proporcionou em 1807, o cargo de diretor do observatório de
Göttinger, onde passou 40 anos. Em Geodésia inventou o helitropo, aparelho que
transmite sinais por meio de luz refletida e em eletromagnetismo inventou o
magnetômetro bifiliar e o telégrafo elétrico.
Gauss casou-se em 1805, com a idade de 28 anos com Johanne Osthof de
Brunswisck. Não era ambicioso por dinheiro e poucas obras suas foram publicadas
durante sua vida. Queria mesmo era o progresso da matemática pelo qual lutou até
descobrir que sofria de dilatação cardíaca.
Gauss morreu em 1855, aos 78 anos e é considerado o “Príncipe da
Matemática”.
A contribuição de cada um dos matemáticos funciona como um tijolo numa
construção, onde essa construção é a própria matemática. Ao longo do tempo foram
sendo acrescentadas as descobertas de muitos estudiosos ao passo que a matemática foi
ficando cada vez mais completa, no entanto, essa obra ainda não acabou e ainda poderão
surgir novas descobertas.
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4. CONCLUSÕES
A álgebra foi aos poucos ganhando espaço e aplicações em diversas atividades
do ser humano, e o seu desenvolvimento se deu de forma gradual. Diversos homens
dedicaram suas vidas ao estudo da Matemática e de várias partes do mundo surgiram
novos conceitos, fórmulas e problemas de difícil resolução, de modo que os
responsáveis por tais feitos entraram para a história devido aos mais variados tipos de
contribuição.
Os matemáticos são pessoas como as outras: têm problemas, defeitos,
qualidades, estão sujeitos a doenças e a morte, mas também são pessoas determinadas a
alcançar os seus objetivos; são pacientes, investigadores, capazes de tentar muitas vezes,
embora nem sempre consigam êxito. O matemático é uma pessoa que aceita desafios e
não se deixa vencer facilmente pelos fracassos e esta característica sua é talvez mais
importante que a sua inteligência.
Graças a essas pessoas a humanidade hoje dispõe de um alto poder tecnológico e
um alto conhecimento matemático que são o resultado de milênios de estudos e
construções.
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5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• BAUMGART, JOHN K. Tópicos de História da Matemática: História da Álgebra. Disponível em <http://www.somatematica.com.br/cgi-bin/busca/search.pl?lang=en&q=historia+da+%E1lgebra>. Acesso em: 10 de janeiro de 2007.
• BOWERS, J. Como Vivem os Matemáticos: uma Gente Original. In: Convite à Matemática. Lisboa: Edições Sílabo LDA, 1991, pg. 199-231.
• BOYER, C. B. História da Matemática. New York: Edgard Blücher LTDA, 1996.
• COXFORD, A.F. & SHULTE, A.P. As Idéias da Álgebra. Tradução: Higino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1995.
• EURECA: A Matemática Divertida e Emocionante. Revista Galileu, Edição Especial, Editora Globo - Abril, 2003.
• MILIES, P.C. Breve História da Álgebra Abstrata. Instituto de Matemática e Estatística - IME, USP.
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