HITUNG HITUNG DIFERENSIALDIFERENSIAL
Widita Kurniasari, SE, MEWidita Kurniasari, SE, ME
ALJABAR KALKULUSKonsep matematika yg mempelajari
tk perubahan dr suatu fungsi
DIFERENSIAL•Mempelajari tk. perubahan rata-rata/seketika dr suatu fungsi•Mencari turunan dr suatu fungsi
INTEGRAL•Mencari fungsi asal jika diketahui nilai perubahannya•Menentukan luas bidang
APLIKASI•Menghitung nilai optimal•Analisis marginal
APLIKASI•Surplus konsumen dan surplus produsen
PENGERTIAN LIMIT• Konsep dasar diferensial• Adalah harga batas tertentu, L, yang
dicapai oleh suatu fungsi, f(x), jika variabelnya mendekati harga tertentu, a.
• Kegunaan Limit :– Perhitungan bentuk-bentuk tak tentu– Menentukan kontinuitas/diskontinuitas
suatu fungsi– Perhitungan hasil bagi diferensial/turunan
fungsi
Lxfax
)(lim
PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU
• Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 1~, ~ - ~ • Contoh :
629lim.1
2
3
XX
x
xfxf
XXxfDik
x
)2()2(lim
3)(:.2
0
2
1871042lim.3 2
2
XXXX
x
1871042lim.4 2
23
XXXXX
x
PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU
XXXx
10lim.8 2
x
x XXX
2
2
2
5222lim.7
x
x X
6
311lim.6
XXXXX
x 1871042lim.5 23
2
Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 1~, ~ - ~ Contoh :
KONTINUITAS FUNGSI• Suatu fungsi Y = f(x) dikatakan kontinyu
untuk x = a dari suatu interval tertentu jika memenuhi 3 syarat:– Y = f(a) terdefinisi– mempunyai harga tertentu,
misal = L– L = f(a)
)(lim xfax
Jika salah satu syarat tidak dipenuhi, fungsi f(x) untuk x = a, tidak kontinyu atau disebut diskontinyu
Contoh1. Y = f(x) = 4x + 1 tidak kontinyu untuk x = 2
2. hanya ada kalau x ≥ 3
2x – 1 untuk x < 23. Y = 5 – x untuk 2 ≤ x < 4
x²- 10 untuk x ≥ 4karena pada saat x = 4 harga y = 4²-10 = 6 dan
, sehingga grafik fungsi kedua dan ketiga tidak bersambungan
(tidak kontinyu)
X – 2 124 Xy
145lim4
x
PERHITUNGAN HASIL BAGI DIFERENSIAL
• Menunjukkan perubahan rata-rata Y terhadap X
• Jika perubahan X (X) cukup kecil sehingga mendekati nol, maka :
– Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE PERTAMA =
xxfxxf
XY
)()(
xxfxxf
XY
xx
)()(limlim00
'' )( YxfXY
TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISIT• Y = c Y’ = 0• Y = aX + b Y’ = a• Y = Xn Y’ = n Xn-1
• Y = Un Y’ = n Un-1 . U’• Y = U ± V Y’ = U’ ± V’• Y = U/V Y’ = (U’V – V’U)/V2
• Y = ex Y’ = ex
• Y = eu Y’ = u’.eu
• Y = ln X Y’ = 1/X• Y = ln U Y’ = U’/U• Y = ax Y’ = ax ln a
Latihan Soal1. Y = 4x1. Y = 4x33+3x+3x22–5x+7–5x+7x-10x-102. Y = ln(6x2. Y = ln(6x22+x)-e+x)-e3x-23x-2
3. Y = (4x3. Y = (4x22-1)/(2x+3)-1)/(2x+3)4. Y = 3x4. Y = 3x22ee-2x-2x
5. Y = ln((4x+5)/(2x-1))5. Y = ln((4x+5)/(2x-1))6. Y = (3x–7)6. Y = (3x–7)66
7. Y = 2t7. Y = 2t22-4t dan X = 3t+1-4t dan X = 3t+1
APLIKASI TURUNAN PERTAMA• Menentukan gradien/slope garis singgung
Y – Y1 = m (X – X1) m = Y’• Menentukan koordinat titik stasioner
– Titik stasioner terjadi ketika garis singgung sejajar dengan sumbu X atau gradien = 0 f’(x) = 0
– Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), maka fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner.
Contoh• Y = x³-3x²+6x+2 • Y’ = 3x²-6x+6 tidak mempunyai titik stationer
sebab tidak memiliki akar-akar nyata (D < 0)
• Y = x³-3x²-9x+10 stationer pada y’ = 0• Y’ = 3x²-6x-9 = 0 atau 3(x²-2x-3) = 3(x-3)(x+1) = 0• X1 = 3 dan x2 = -1 yakni absis titik-titik stationer• Untuk x1 = 3 y1= (3)³-3(3)²-9(3)+10 = -17• Untuk x2 = -1 y2= (-1)³-3(-1)²-9(-1)+10 = 15 •
Jadi titik stationer fungsi y = x³-3x²-9x+10 adalah titik : A (3,-17) dan B (-1,15)
• Menentukan bagian kurva yang monoton naik/turun– Monoton naik : X > 0 Y > 0– Monoton turun : X > 0 Y < 0• Contoh:• Y = x²- 4x Y’ = 2x – 4• Untuk menentukan di bagian mana kurva Y = x²-
4x monoton naik maka harus ditentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan Y’ > 0 atau 2x-4 > 0 sehingga himpunan penyelesaiannya adalah A = {x/x > 2}. Jadi untuk interval x > 2 fungsi tersebut akan monoton naik.
APLIKASI TURUNAN PERTAMA
APLIKASI TURUNAN KEDUA
• Menentukan bentuk kurva– Cekung ke atas (concave upward) :
• Harga Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg X
• Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0– Cekung ke bawah (concave downward) :
• Harga Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg X
• Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0
• Menentukan titik belok dan titik sadel– Batas antara bag kurva yg cekung ke atas
dan cekung ke bwh atau sebaliknya– Syarat : Y” = f”(x) = 0– Titik Belok : untuk X = 0 Y’ ≠ 0, Y” = 0– Titik Sadel : untuk X = 0 Y’ = 0, Y” = 0
APLIKASI TURUNAN KEDUA
CONTOH SOAL• Diketahui fungsi Y = X3 – 3X2 – 9X +
22, tentukan :1. Persamaan garis singgung di titik
dengan absis 22. Koordinat titik esktrim (maks/min)3. Koordinat titik belok/titik sadel
APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI
• Analisis marginal – Laju pertumbuhan– Menghitung Marginal Revenue (MR) dan
Marginal Cost (MC)MR = TR’MC = TC’
APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI
• Harga Ekstrim– Total Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0– Laba maksimum (rugi minimum),
= TR – TC’ = 0 MR = MC
– Output optimum• Terjadi ketika Average Cost (AC) minimum• AC minimum AC’ = 0 AC = MC
APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI
• Elastisitas – Mengukur perubahan suatu variabel akibat
perubahan variabel lain– Jenis elastisitas :permintaan/harga (Ed),
penawaran (Es), dll– Perhitungan elastisitas :
•Elastisitas Titik (Point Elasticity)
•Elastisitas Busur (Arc Elasticity)QPx
PQE
12
12
12
12
PPPPx
QQQQE
CONTOH SOAL• Diketahui D : Q = 500 – 0,5P dan
TC = Q2 + 790Q + 1.8001. Hitung TR, MR, AR, TC, MC, dan AC
ketika Q = 102. Hitung TR maksimum 3. Hitung laba maksimum/rugi minimum4. Hitung output optimum5. Hitung elastisitas permintaan ketika Q
= 100