![Page 1: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/1.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
196
Chuyeân ñeà 7:
HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY
Vaán ñeà 1: TÌM TOÏA ÑOÄ CUÛA MOÄT ÑIEÅM
TÌM PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
A. TOÏA ÑOÄ CUÛA VECTÔ VAØ CUÛA ÑIEÅM
I. TOÏA ÑOÄ VECTÔ
1 2 1 2
a (a ;a ) a a i a j
Vôùi i = (1; 0) veùctô ñôn vò cuûa truïc Ox
j = (0; 1) veùctô ñôn vò cuûa truïc Oy
II. TOÏA ÑOÄ MOÄT ÑIEÅM
M M M M
OM (x ; y ) M(x ; y )
Cho A(xA; yA), B(xB; yB) ta coù keát quaû sau.
B A B A
2 2
B A B A
i) AB (x x ;y y )
ii) AB AB (x x ) (y y )
iii) M chia ñoaïn AB theo tæ soá k: MA kMB; k 1
Khi ñoù toïa ñoä ñieåm M laø:
A B
M
A B
M
x kxx
1 k
y kyy
1 k
iv) M trung ñieåm AB toïa ñoä ñieåm M
A B
M
A B
M
x xx
2
y yy
2
III. TÍNH CHAÁT VECTÔ
Cho 1 2 1 2
a (a ; a ), b (b ; b )
1 1 2 2 1 2 1 2
1. a b (a b ; a b ) 2. ka k(a ;a ) (ka ;ka )
1 1 2 2
3. a.b a b a b 2 2
1 24. a a a
1 1 1 1 2 2
2 2 2 22 2
1 2 1 2
a b a b a ba.b5. a b 6. cos(a,b)
a b a . b a a b b
O
y
x
B
A j
a
j
![Page 2: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/2.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
197
7. a cuøng phöông 1 2 2 1
b a kbhayb ka a b a b 0
8. 1 1 2 2
a b a.b 0 a b a b 0
B. ÑÖÔØNG THAÚNG
a 0 : a goïi laø vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng
khi giaù cuûa a cuøng phöông vôùi ñöôøng thaúng
Neáu a laø vectô chæ phöông cuûa thì
k a cuõng laø vectô chæ phöông cuûa (k 0)
n 0 : n goïi laø vectô phaùp tuyeán cuûa ñöôøng thaúng khi n
Neáu n laø vectô phaùp tuyeán cuûa thì kn cuõng laø vectô phaùp tuyeán cuûa
(k 0)
Caùch ñoåi giöõa vectô chæ phöông u vaø vectô phaùp tuyeán n cuûa ñöôøng thaúng
Coù: n = (A; B) u = (B; A) hay u ( B; A)
Coù 1 2 2 1
u (a ; a ) n (a ; a ) hay 2 1
n ( a ; a )
I. PHÖÔNG TRÌNH TOÅNG QUAÙT CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG
2 2
: Ax By C 0; A B 0
n (A ; B) ,
Neáu A = 0 C
: y
B
neân // Ox (C = 0 thì Ox)
Neáu B = 0 C
: x
A
neân // Oy (C = 0 thì Oy)
Ox: y = 0, Oy: x = 0 .
II. CAÙCH LAÄP PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG
1. Phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm M(x0; y0)
vaø coù vectô phaùp tuyeán n (A; B); (A2
+ B2
> 0)
Phöông trình toång quaùt d: A(x x0) + B(y y0) = 0
2. Phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua M(x0; y0)
vaø coù vectô chæ phöông 1 2
u (a ; a ) (a1
2
+ a2
2
0)
Phöông trình tham soá d: 0 1
0 2
x x a t
t
y y a t
a
a n
![Page 3: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/3.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
198
Phöông trình chính taéc d: 0 0
1 2
x x y y
a a
Phöông trình toång quaùt d: a2(x x0) a1y (y y0) = 0
3. Phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua 2 ñieåm A(xA; yA), B(xB; yB)
Phöông trình chính taéc d: A A
B A B A
x x y y
x x y y
4. Phöông trình ñöôøng thaúng theo ñoaïn chaén. Ñöôøng thaúng d caét Ox, Oy laàn löôït
taïi A(a; 0), B(0, b) coù daïng d: x y
1
a b
(a 0, b 0)
Löu yù: Cho d: Ax + By + C = 0
d' // d d': Ax + By + C' = 0 (C' C)
d' d d': Bx Ay + C' = 0 hay Bx + Ay + C' = 0
III. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG
Cho d1: A1x + B1y + C1 = 0
d2: A2x + B2y + C2 = 0
Laäp 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
A B C B A C
D , Dx , Dy
A B C B A C
i/ d1 caét d2 D 0
ii/ d1 // d2
D 0 D 0
hoaëc
Dx 0 Dy 0
iii/ d1 d2 D = Dx = Dy = 0
IV. GOÙC GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG
Cho d1: A1x + B1y + C1 = 0 1 1 1
n (A ;B )
d2: A2x + B2y + C2 = 0 2 2 2
n (A ;B )
1 2 1 2 1 2
2 2 2 21 2 1 1 2 2
n .n A A B B
cos
n . n A B A B
Neáu d1, d2 laø caùc ñöôøng thaúng khoâng ñöùng.
d1 : y = k1x + b1; d2 : y = k2x + b2
tan(d1, d2) 2 1
1 2
k k
1 k .k
V. KHOAÛNG CAÙCH
1. Khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A, B laø: 2 2
B A B AAB (x x ) (y y )
![Page 4: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/4.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
199
2. Khoaûng caùch töø M(x0; y0) ñeán ñöôøng thaúng d: Ax + By + C = 0
d(M, d) 0 0
2 2
Ax Bx C
A B
Löu yù: d(M, Ox) = yM
d(M, Oy) = xM
VI. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG PHAÂN GIAÙC TAÏO BÔÛI HAI
ÑÖÔØNG THAÚNG
Cho d1: A1x + B1y + C1 = 0, d2: A2x + B2y + C2 = 0
Khi ñoù phöông trình hai ñöôøng phaân giaùc laø:
1 1 1 2 2 2
1 22 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y Ct t
A B A B
Tìm phaân giaùc goùc nhoïn hay goùc tuø.
Daáu 1 2
n .n Phaân giaùc goùc tuø Phaân giaùc goùc nhoïn
1 2
1 2
n .n 0
n .n 0
t1 = t2
t1 = t2
t1 = t2
t1 = t2
B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011
Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho hai ñöôøng thaúng : x – y – 4 = 0 vaø
d: 2x – y – 2 = 0. Tìm toïa ñoä ñieåm N thuoäc ñöôøng thaúng d sao cho ñöôøng thaúng
ON caét ñöôøng thaúng taïi ñieåm M thoûa maõn OM.ON = 8.
Giaûi
M M(m; m – 4) vaø N d N(n; 2n – 2).
OM m; m 4 , ON n; 2n 2 .
O, M, N thaúng haøng OM cuøng phöông ON
m(2n – 2) – n(m – 4) = 0 mn – 2m + 4n = 0 4n
m
2 n
OM.ON = 8 2 22 2
m m 4 n 2n 2 64
2 2
224n 4n4 n 2n 2 64
2 n 2 n
2 2
22n n16 16 1 n 2n 2 64
2 n 2 n
d1
d2 2
1
O
d
N
M
![Page 5: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/5.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
200
2 2
22n 2n 2n 2n 2 4
2 n 2 n
2 2 22 2
n 2n 2 n 2n 2 4 2 n
2
225n 8n 4 4 2n
2 25n 8n 4 4 2n 5n 8n 4 4 2n 0
2 2
5n 6n 5n 10n 8 0
n = 0 hoaëc 6
n
5
.
Vaäy N(0; –2) hoaëc 6 2
N ;
5 5
.
Caùch 2: Nhaän thaáy raèng O, M, N thaúng haøng, do ñoù ta coù theå chuyeån ñieàu kieän
OM.ON = 8 sang heä thöùc vectô baèng caùch: Veõ hai ñöôøng thaúng d vaø trong maët
phaúng (Oxy), ta coù hai vectô OM vaø ON cuøng höôùng, neân:
OM.ON = 8 OM . ON = 8 mn + (m – 4)(2n – 2) = 8
3mn – 2m – 8n = 0. Khi ñoù ta coù heä phöông trình:
3mn 2m 8n 0
mn 2m 4n 0
3 2m 4n 2m 8n 0
mn 2m 4n 0
m 5n
5n n 2 5n 4n 0
n = 0 hoaëc
6n
5
.
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2011
Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù ñænh B(–4; 1), troïng taâm
G(1; 1) vaø ñöôøng thaúng chöùa phaân giaùc trong cuûa goùc A coù phöông trình x – y – 1 = 0.
Tìm toïa ñoä caùc ñænh A vaø C.
Giaûi
Goïi d laø ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc A d: x – y – 1 = 0,
vaø goïi B' ñoái xöùng vôùi B qua d B' AC.
BB' ñi qua B(–4; 1) vaø vuoâng goùc vôùi d.
suy ra: BB': (x + 4) + (y – 1) = 0 x + y + 3 = 0.
Goïi I laø giao ñieåm cuûa BB' vaø d,
suy ra toïa ñoä I laø nghieäm cuûa heä phöông trình:
x y 3 0 x 1
x y 1 0 y 2
I(–1; –2).
I laø trung ñieåm cuûa BB' B' I B
B' I B
x 2x x 2
y 2y y 5
B'(2; –5).
A C
B
I
M
G
d
B’
![Page 6: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/6.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
201
Goïi M laø trung ñieåm cuûa AC BG 2GM
G B M G
G B M G
x x 2 x x
y y 2 y y
G B
M
G B
M
3x x 7x
2 2
3y yy 1
2
7
M ; 1
2
.
AC ñi qua hai ñieåm B' vaø M AC: x 2 y 5
7 1 52
2
4x – y – 13 = 0.
A laø giao ñieåm cuûa d vaø AC neân toïa ñoä A laø nghieäm cuûa heä phöông trình:
4x y 13 0 x 4
x y 1 0 y 3
A(4; 3).
M laø trung ñieåm cuûa AC neân:C M A
C M A
x 2x x 3
y 2y y 1
C(3; –1).
Baøi 3: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011
Trong maët phaúng vôùi heä toaï ñoä Oxy, cho ñöôøng thaúng d: x + y + 3 = 0.
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm A(2; –4) vaø taïo vôùi ñöôøng thaúng d
moät goùc baèng 45o
.
Giaûi
Goïi : a( x - 2 ) + b( y + 4 ) = 0 vôùi a2
+ b2
0
Ta coù: 0
2 2
a b 1cos45
22. a b
2 2
a b a b
2 2 2 2
a b 2ab a b ab 0 a 0 b 0
Vaäy 1: y + 4 = 0 vaø 2: x – 2 = 0
Caùch 2: d: x + y + 3 = 0 goùc giöõa Ox vaø d laø 450
hôïp vôùi d moät goùc 450
cuøng phöông vôùi Ox hoaëc Oy
Maø qua A (2; –4) phöông trình laø x = 2 hoaëc y = –4.
Baøi 4: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011
Trong maët phaúng vôùi heä toaï ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù phöông trình caùc
caïnh laø AB: x + 3y – 7 = 0, BC: 4x + 5y – 7 = 0, CA: 3x + 2y – 7 = 0. Vieát phöông
trình ñöôøng cao keû töø ñænh A cuûa tam giaùc ABC.
Giaûi
Toaï ñoä A laø nghieäm heä phöông trình:
x 3y 7
3x 2y 7
x 1
y 2
Ñöôøng cao AH qua A vaø coù 1 vectô phaùp laø n = (5; –4) AH: 5x 4y 3 0 .
![Page 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/7.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
202
Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2010
Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC caân taïi A coù ñænh A(6; 6), ñöôøng
thaúng ñi qua trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AC coù phöông trình x + y 4 = 0. Tìm
toïa ñoä caùc ñænh B vaø C, bieát ñieåm E(1; 3) naèm treân ñöôøng cao ñi qua ñænh C cuûa
tam giaùc ñaõ cho
Giaûi
Phöông trình ñöôøng cao AH: 1(x – 6) – 1(y – 6) = 0 x – y = 0
Goïi K laø giao ñieåm cuûa IJ vaø AH (vôùi IJ: x + y – 4 = 0)
suy ra K laø nghieäm cuûa heä x y 0x y 4
K (2; 2)
K laø trung ñieåm cuûa AH H K A
H K A
x 2x x 4 6 2
y 2y y 4 6 2
H (–2; –2)
Phöông trình BC: 1(x + 2) + 1(y + 2) = 0 x + y + 4 = 0
Goïi B (b; –b – 4) BC
Do H laø trung ñieåm cuûa BC C (–4 – b; b); E (1; –3)
Ta coù: CE (5 b; b 3) vuoâng goùc vôùi BA (6 b;b 10)
Neân (5 + b)(6 – b) + (b – 3)(b + 10) = 0
2b2
+ 12b = 0 b = 0 hay b = –6
Vaäy B(0; –4); C(–4; 0) hay B(–6; 2); C(2; –6) .
Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2010
Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, coù ñænh C(4; 1),
phaân giaùc trong goùc A coù phöông trình x + y – 5 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng
thaúng BC, bieát dieän tích tam giaùc ABC baèng 24 vaø ñænh A coù hoaønh ñoä döông.
Giaûi
Ta coù phaân giaùc trong goùc A laø (d): x + y – 5 = 0
song song vôùi ñöôøng phaân giaùc d’ cuûa goùc phaàn tö
thöù II, neân goùc M1 baèng goùc A1 baèng 450
.
Suy ra AC // Ox phöông trình AC:
y = 1
Ta coù A = AC d neân A(4; 1)
AC = 8
Maø dieän tích ABC = 24
neân 1
2AC.AB = 24 AB = 6
Maët khaùc, AB vuoâng goùc vôùi truïc hoaønh neân B (4; 7).
Vaäy phöông trình cuûa BC laø: 3x – 4y + 16 = 0
A
B
C
d O
x
y
d’
M 1
1 1
– 4
![Page 8: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/8.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
203
Baøi 7: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2010
Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho ñieåm A(0; 2) vaø laø ñöôøng thaúng ñi qua O.
Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ,
bieát khoaûng caùch töø H ñeán truïc hoaønh baèng AH.
Giaûi
Caùch 1: Goïi H(x0 ; y0) laø hình chieáu cuûa A treân
Ta coù: 0 0 0 0
AH (x ; y 2), OH (x ; y )
Töø giaû thieát ta coù
2 2 2
0 0 0 0 0 0
22 2
0 00 0 0
x y (y 2) 0 x y 2y 0AH.OH 0
AH d(H,Ox) x 4y 4 0x (y 2) y
0
22
000 0
22
0 00 0 0
2
0
y 1 5
x 8 4 5y 1 5y 2y 4 0
x 4y 4x 4y 4 0 y 1 5
x 8 4 5 0 (loaïi)
0
0
x 4 5 8H 4 5 8; 1 5
y 1 5
.
Phöông trình : ( 5 1)x 4 5 8 y 0
Caùch 2:
Oy H A: khoâng thoûa AH = d(H, Ox)
Ox H O: khoâng thoûa AH = d(H, Ox)
Phöông trình : y = kx (k 0)
AH 1y x 2
AHquaA k
laø phöông trình ñöôøng AH
Toïa ñoä H = AH thoûa heä
2 2
2 2 2
2
2kxy kx
k 1 2k 2kH ;1
y x 2 2k k 1 k 1yk
k 1
22 2 2
4 2
2 2 2
2k 2k 2kAH d(H;Ox) 2 k k 1 0
k 1 k 1 k 1
![Page 9: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/9.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
204
2
2
1 5k
2 2 52k
21 5k 0 (loaïi)
2
. Vaäy : 2 2 5
y x
2
.
Baøi 8: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2009
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hình chöõ nhaät ABCD coù ñieåm I (6; 2) laø
giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo AC vaø BD. Ñieåm M (1; 5) thuoäc ñöôøng thaúng AB vaø
trung ñieåm E cuûa caïnh CD thuoäc ñöôøng thaúng : x + y – 5 = 0. Vieát phöông trình
ñöôøng thaúng AB.
Giaûi
Goïi N ñoái xöùng vôùi M qua I, suy ra N(11; 1)
vaø N thuoäc ñöôøng thaúng CD
E E (x; 5 – x); IE = (x – 6; 3 – x)
Vaø NE = (x – 11; 6 – x)
E laø trung ñieåm CD IE EN hay IE.EN 0
(x – 6)(x – 11) + (3 – x)(6 – x) = 0 x = 6 hoaëc x = 7
x = 6 IE = (0; 3); phöông trình AB: y – 5 = 0.
x = 7 IE = (1; 4); phöông trình AB: x – 4y + 19 = 0.
Baøi 9: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2009
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC caân taïi A coù ñænh A
(1; 4) vaø caùc ñænh B, C thuoäc ñöôøng thaúng : x – y – 4 = 0. Xaùc ñònh toïa ñoä caùc
ñieåm B vaø C, bieát dieän tích tam giaùc ABC baèng 18.
Giaûi
Goïi H laø hình chieáu cuûa A treân , suy ra H laø trung ñieåm BC
ABC2S9
AH d A,BC ; BC 4 2
AH2
2
2 BC 97AB AC AH
4 2
Toïa ñoä B vaø C laø nghieäm cuûa heä:
2 2 97x 1 y 4
2
x y 4 0
Giaûi heä ta ñöôïc: 11 3
x; y ;
2 2
; 3 5
x; y ;
2 2
Vaäy 11 3 3 5 3 5 11 3
B ; , C ; hoaëc B ; , C ;
2 2 2 2 2 2 2 2
A M B
C
I
E N D
A
B H C
![Page 10: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/10.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
205
Baøi 10: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2009
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù M(2; 0) laø trung ñieåm
cuûa caïnh AB. Ñöôøng trung tuyeán vaø ñöôøng cao qua ñænh A laàn löôït coù phöông trình
laø 7x – 2y – 3 = 0 vaø 6x – y – 4 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng AC
Giaûi
Toïa ñoä A thoûa maõn heä: 7x 2y 3 0
A 1; 2
6x y 4 0
B ñoái xöùng vôùi A qua M, suy ra B = (3; 2)
Ñöôøng thaúng BC ñi qua B vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng: 6x – y – 4 = 0
Phöông trình BC: x + 6y + 9 = 0
Toïa ñoä trung ñieåm N cuûa ñoaïn thaúng BC thoûa maõn heä:
7x 2y 3 0 3N 0;
x 6y 9 0 2
AC 2MN 4; 3 ;
Phöông trình ñöôøng thaúng AC: 3x – 4y + 5 = 0
Baøi 11: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù C(1; 2), ñöôøng
trung tuyeán keû töø A vaø ñöôøng cao keû töø B laàn löôït coù phöông trình laø 5x + y – 9 = 0
vaø x + 3y – 5 = 0. Tìm toïa ñoä caùc ñænh A vaø B .
Giaûi
Giaû söû AM: 5x + y – 9 = 0, BH: x + 3y – 5 = 0
AC: 3(x + 1) – 1(y + 2) = 0 3x – y + 1 = 0
A = AC AM A(1; 4)
B BH B (5 – 3m; m)
M laø trung ñieåm BC M 4 3m m 2
;
2 2
M AM 5. 4 3m m 2
9 0
2 2
m = 0. Vaäy B(5; 0)
Baøi 12: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho caùc ñöôøng thaúng 1: x – 2y – 3 = 0
vaø 2: x + y + 1 = 0. Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng 1 sao cho khoaûng
caùch töø ñieåm M ñeán ñöôøng thaúng 2 baèng 1
2
.
Giaûi
M 1 M(2m + 3; m)
2
2m 3 m 11 1d M, 3m 4 1
2 2 2
m = 1 hay m =
5
3
![Page 11: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/11.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
206
Vaäy M(1; 1) hay 1 5
M ;
3 3
Baøi 13: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2008
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, haõy xaùc ñònh toïa ñoä ñænh C cuûa tam giaùc
ABC, bieát raèng hình chieáu vuoâng goùc cuûa C treân ñöôøng thaúng AB laø ñieåm
H(–1; –1), ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc A coù phöông trình x – y + 2 = 0 vaø
ñöôøng cao keû töø B coù phöông trình 4x + 3y – 1 = 0.
Giaûi
Kí hieäu: d1: x – y + 2 = 0; d2: 4x + 3y – 1 = 0
Goïi H'(a; b) ñoái xöùng H(1; 1) qua d1. Khi ñoù H' AC.
1
a = (1; 1) laø VTCP cuûa d1, HH = (a + 1; b + 1) vuoâng goùc vôùi 1
a vaø trung
ñieåm a 1 b 1
I ;
2 2
cuûa HH' thuoäc d1.
Do ñoù toïa ñoä H' laø nghieäm cuûa heä
1(a 1) 1(b 1) 0
a 1 b 12 0
2 2
H'(3; 1)
Ñöôøng thaúng AC qua H' vuoâng goùc d2 neân coù vectô phaùp tuyeán laø
n (3; 4) vaø pt AC: 3(x + 3) – 4(y – 1) = 0 3x – 4y + 13 = 0
Toïa ñoä A laø nghieäm cuûa heä:
3x 4y 13 0
x y 2 0
A(5; 7)
Ñöôøng thaúng CH ñi qua H(1; 1) coù VTPT 1
HA (3; 4)
2
neân coù pt:
3(x + 1) + 4(y + 1) = 0 3x + 4y + 7 = 0
Toïa ñoä cuûa C laø nghieäm cuûa heä:
3x 4y 7 0 10 3C ;
3x 4y 13 0 3 4
Baøi 14: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2007
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñieåm A(2; 2) vaø caùc ñöôøng thaúng:
d1: x + y – 2 = 0 , d2: x + y – 8 = 0
Tìm toïa ñoä caùc ñieåm B vaø C laàn löôït thuoäc d1 vaø d2 sao cho tam giaùc ABC
vuoâng caân taïi A.
Giaûi
Vì B d1, C d2 neân B(b; 2 b), C(c; 8 c). Töø giaû thieát ta coù heä:
2 2 2 2
bc 4b c 2 0 (b 1)(c 4) 2AB.AC 0
AB AC b 2b c 8c 18 (b 1) (c 4) 3
![Page 12: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/12.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
207
Ñaët x = b 1, y = c 4 ta coù heä 2 2
xy 2
x y 3
Giaûi heä treân ta ñöôïc x = 2, y = 1 hoaëc x = 2, y = 1
Suy ra: B(1; 3), C(3; 5) hoaëc B(3; 1), C(5; 3).
Baøi 15: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ba ñöôøng thaúng:
d1: x + y + 3 = 0; d2: x y 4 = 0; d3: x 2y = 0.
Tìm toïa ñoä ñieåm M naèm treân ñöôøng thaúng d3 sao cho khoaûng caùch töø M ñeán
ñöôøng thaúng d1 baèng hai laàn khoaûng caùch töø M ñeán ñöôøng thaúng d2.
Giaûi
Vì M d3 neân M(2y; y)
Ta coù: 1 2
2 2 2 2
2y y 3 3y 3 2y y 4 y 4
d(M,d ) ; d(M,d )
2 21 1 1 ( 1)
1 2
3y 3 y 4
d(M; d ) 2d(M,d ) 2
2 2
y = 11 ; y = 1.
Vôùi y = 11 ñöôïc ñieåm M1(22; 11).
Vôùi y = 1 ñöôïc ñieåm M2(2; 1).
Baøi 16: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2005
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñöôøng thaúng
d1: x y = 0 vaø d2: 2x + y 1 = 0.
Tìm toïa ñoä caùc ñænh hình vuoâng ABCD bieát raèng ñænh A thuoäc d1, ñænh C thuoäc
d2 vaø caùc ñænh B, D thuoäc truïc hoaønh.
Giaûi
Vì A d1 A(t; t).
Laïi do A vaø C ñoái xöùng nhau qua BD vaø B, D Ox neân C(t; t).
Maø C d2 neân 2t t 1 = 0 t = 1. Vaäy A(1; 1), C(1; 1).
Trung ñieåm cuûa AC laø I(1; 0). Vì I laø taâm cuûa hình vuoâng neân:
IB IA 1
ID IA 1
b 1 1B Ox B(b; 0) b 0, b 2
D Ox D(d; 0) d 0, d 2d 1 1
Suy ra, B(0; 0) vaø D(2; 0) hoaëc B(2; 0) vaø D(0; 0).
Vaäy boán ñænh cuûa hình vuoâng laø A(1; 1), B(0; 0), C(1; 1), D(2; 0), hoaëc A(1; 1),
B(2; 0), C(1; 1), D(0; 0).
![Page 13: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/13.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
208
Baøi 17:
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñieåm A(1; 1), B(4; 3). Tìm ñieåm
C thuoäc ñöôøng thaúng x 2y – 1 = 0 sao cho khoaûng caùch töø C ñeán ñöôøng thaúng
AB baèng 6.
Giaûi
A(1; 1); B(4; 3) pt AB: x 1 y 1
4x + 3y 7 0
3 4
C AB C(2t + 1; t)
Ta coù d(C, AB) = 6
8t 4 3t 7
6
5
t = 311t 3 30
11t 3 30 2711t 3 30 t =
11
Vaäy C(7; 3) hay C43 27
;
11 11
Baøi 18:
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho tam giaùc ABC coù caùc ñænh A(1; 0),
B(4; 0), C(0; m) vôùi m 0. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC theo m.
Xaùc ñònh m ñeå tam giaùc GAB vuoâng taïi G.
Giaûi
m m m
G 1; ; GA 2; ; GB 3;
3 3 3
Tam giaùc GAB vuoâng taïi G GA.GB 0
2m
6 0 m = 3 6
9
.
Baøi 19:
Trong maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy. Cho tam giaùc ABC
coù AB = AC, ABC = 900
. Bieát M(1; 1) laø trung ñieåm caïnh BC vaø G2
; 0
3
laø
troïng taâm tam giaùc ABC. Tìm toïa ñoä caùc ñænh A, B, C.
Giaûi
G laø troïng taâm ABC AG 3GM
A A
A
A
2 2 2x 2 1 x 0
3 3 3
y 2
y 2 1 0 2
A(0; 2)
Phöông trình BC qua M(1; 1) AM = (1; 3) laø: x 3y 4 = 0
![Page 14: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/14.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
209
Phöông trình ñöôøng troøn (C) taâm M, baùn kính R = AM = 10 laø
2 2
x 1 y 1 = 10
Toïa ñoä B, C thoûa
2 2
x 3y 4 0
x 1 y 1 10
2 2
x 3y 4 x = 4 x = 2
V
y = 0 y = 23y 3 y 1 10
Vaäy B(4; 0); C(2; 2) hay B(2; 2); C(4; 0)
Baøi 20:
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy. Xeùt tam giaùc ABC
vuoâng taïi A, phöông trình ñöôøng thaúng BC laø 3x y 3 0 , caùc ñænh A vaø B
thuoäc truïc hoaønh vaø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp baèng 2. Tìm toïa ñoä troïng taâm G
cuûa tam giaùc ABC.
Giaûi
Goïi A(a; 0), BC: y = 3 x 3
B (1; 0), xC = xA = a, yC = 3 (a 1)
AB = a 1, AC = 3 a 1
BC2
= (a 1)2
+ 3(a 1)2
= 4(a 1)2
, BC = 2 a 1
S = pr 3 (a 1)2
= 2 (3 + 3 ) a 1
a 1 = 0 (loaïi) hoaëc 3 a 1 = 2 (3 + 3 )
a 1 = 2 ( 3 + 1)
a 3 2 3
a 1 2 3
A(3 + 2 3 ; 0); B(1; 0); C(3 + 2 3 ; 6 + 2 3 )
hay A(1 2 3 ; 0); B(1; 0); C (1 2 3 ; 6 2 3 )
7 4 3 6 + 2 3 1 4 3 6 2 3
G ; hay G ;
3 3 3 3
.
Baøi 21:
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy cho hình chöõ nhaät
ABCD coù taâm 1
I ; 0
2
, phöông trình ñöôøng thaúng AB laø x 2y + 2 = 0 vaø
AB = 2AD. Tìm toïa ñoä caùc ñænh A, B, C, D bieát raèng ñænh A coù hoaønh ñoä aâm.
Giaûi
A AB: x 2y + 2 = 0 A(2a 2; a) vôùi a < 1
I laø trung ñieåm AC C(3 2a; a)
![Page 15: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/15.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
210
BC qua C vaø BC AB pt BC: 2x + y + 5a 6 = 0
AB BC = B B(2 2a; 2 a)
Ta coù AB = 2AD (1 a)2
= 1
a 0
a 2 (loaïi)
Vaäy A(2; 0); B(2; 2); C(3; 0); D(1; 2).
Baøi 22: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2008
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, tìm ñieåm A thuoäc truïc hoaønh vaø ñieåm B
thuoäc truïc tung sao cho A vaø B ñoái xöùng vôùi nhau qua ñöôøng thaúng d:
x – 2y + 3 = 0.
Giaûi
Goïi A(a; 0) Ox, B(0; b) Oy
Ta coù: AB a; b vaø trung ñieåm AB laø a b
I ;
2 2
Töø d: x – 2y + 3 = 0 a 2;1
A, B ñoái xöùng qua d:AB a
I d
2a b 0
a 2
a b2 3 0 b 4
2 2
.
Vaäy A(2; 0), B(0; 4)
Vaán ñeà 2: ÑÖÔØNG TROØN
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
I. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG TROØN
Ñöôøng troøn (C) coù taâm I(a; b) baùn kính R.
1. Phöông trình chính taéc: (C): (x a)2
+ (y b)2
= R2
2. Phöông trình toång quaùt: (C): x2
+ y2
2ax 2by + c = 0
Trong ñoù c = a2
+ b2
R2
2 2
R a b c
Cho ñöôøng cong (C): x2
+ y2
2ax 2by + c = 0
Ñieàu kieän ñeå (C) laø ñöôøng troøn laø: a2
+ b2
c > 0
II. SÖÏ TÖÔNG GIAO GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ ÑÖÔØNG TROØN
Cho (C): x2
+ y2
2ax 2by + c = 0, coù taâm I(a; b), baùn kính R
d: Ax + By + C = 0
Xeùt vò trí töông ñoái giöõa (C) vaø d.
Phöông phaùp 1:
A
B
I
d
![Page 16: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/16.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
211
i) d(I, d) > R d khoâng caét (C)
ii) d(I, d) = R d tieáp xuùc (C)
iii) d(I, d) < R d caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät.
Phöông phaùp 2:
Xeùt heä phöông trình taïo bôûi d vaø (C):
2 2x y 2ax 2by c 0
Ax By C 0
(I) voâ nghieäm d khoâng caét (C)
(I) coù nghieäm keùp d tieáp xuùc (C)
(I) coù hai nghieäm phaân bieät d caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät.
III. PHÖÔNG TRÌNH TIEÁP TUYEÁN CUÛA ÑÖÔØNG TROØN.
Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñöôøng thaúng d: Ax + By + C = 0
laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn d(I, d) = R
1. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M(x0; y0) coù daïng:
0 0
0 0
x x y y: x.x y.y 2a 2b C 0
2 2
hay 2
0 0: (x a)(x a) (y b)(y b) R
2. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) qua M(x0; y0)
Goïi d laø ñöôøng thaúng qua M(x0; y0) coù heä soá goùc k
d: y = k(x x0) + y0 : kx y + y0 kx0 = 0
d tieáp xuùc (C) d(I, d) = R
Giaûi (*) tìm ñöôïc 2 nghieäm k baøi toaùn ñaõ xong, neáu chæ coù 1 nghieäm K ta xeùt
theâm ñöôøng thaúng: d1:x = xM (kieåm tra ñieàu kieän tieáp xuùc)
3. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) song song (hoaëc vuoâng goùc) vôùi ñöôøng thaúng
: Ax + By + C = 0
d // d: Ax+By+C =0 (C C)
Goïi d
d d: Bx Ay+C =0 (hay Bx Ay C 0)
d tieáp xuùc (C) d(I, d) = R
4. Phöông trình tieáp cuûa (C) bieát tröôùc heä soá goùc k .
Tieáp tuyeán coù heä soá goùc k coù daïng
: y = kx + b : kx y + b = 0
tieáp xuùc (C) d(I, ) = R
IV. PHÖÔNG TÍCH CUÛA MOÄT ÑIEÅM M(x0; y0) ÑOÁI VÔÙI ÑÖÔØNG TROØN (C)
2 2
M/(C) 0 0 0 0x y 2ax 2by c P
I
d
R
![Page 17: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/17.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
212
i) M/(C)
0 :P M naèm ngoaøi ñöôøng troøn
ii) M/(C)
0 :P M naèm trong ñöôøng troøn
iii) M/(C)
0 :P M naèm treân ñöôøng troøn.
V. TRUÏC ÑAÚNG PHÖÔNG
Cho (C1): x2
+ y2
2a1x 2b1y +c1 = 0, (C2): x2
+ y2
2a2x 2b2y +c2 = 0
Phöông trình truïc ñaúng phöông: : 2(a1 a2)x + 2(b1 b2)y (c1 c2) = 0
B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2011
Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho ñöôøng thaúng : x + y + 2 = 0 vaø ñöôøng troøn
(C): x2
+ y2
– 4x – 2y = 0. Goïi I laø taâm cuûa (C), M laø ñieåm thuoäc . Qua M keû caùc
tieáp tuyeán MA vaø MB ñeán (C) (A vaø B laø caùc tieáp ñieåm). Tìm toïa ñoä ñieåm M,
bieát töù giaùc MAIB coù dieän tích baèng 10.
Giaûi
Ñöôøng troøn (C) coù taâm I(2; 1) vaø baùn kính: R = 4 1 0 5 = IA .
Hai tam giaùc IAM vaø IBM baèng nhau neân
SIAM = 1
2
SMAIB = 5 1
2
IA.MA = 5
1
2
5 MA = 5 MA = 2 5 .
M M( m; –m – 2 )
MI2
= IA2
+ MA2
= 5 + 20 = 25 (m – 2)2
+ (–m – 3)2
= 25
m2
+ m – 6 = 0 m = 2 hoaëc m = –3
Vaäy: M (2; –4) hoaëc M (–3; 1) .
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011
Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù ñænh 1
B ; 1
2
. Ñöôøng troøn
noäi tieáp tam giaùc ABC tieáp xuùc vôùi caùc caïnh BC, CA, AB töông öùng taïi caùc ñieåm
D, E, F. Cho D(3; 1) vaø ñöôøng thaúng EF coù phöông trình y – 3 = 0. Tìm toïa ñoä
ñænh A, bieát A coù tung ñoä döông.
Giaûi
Vì yB = yD = 1 neân BD coù phöông trình y – 1 = 0.
Ta laïi coù phöông trình EF laø y – 3 = 0 neân BD // EF.
Suy ra: Tam giaùc ABC caân taïi A.
A
B
I
M
![Page 18: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/18.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
213
Vì tam giaùc ABC caân taïi A neân AD EF,
maët khaùc AD ñi qua D(3; 1) neân AD coù phöông trình x – 3 = 0.
F EF: y – 3 = 0 neân F(x; 3)
Ta coù: BF = BD
2 2
2 21 1x 3 1 3 1 1
2 2
x2
– x – 2 = 0 x = –1 hoaëc x = 2.
+) Vôùi x = –1 thì F(–1; 3), suy ra BF coù phöông trình 4x + 3y – 5 = 0.
A laø giao ñieåm cuûa AD vaø BF neân A
73;
3
loaïi vì yA < 0.
+) Vôùi x = 2 thì F(2; 3), suy ra BF coù phöông trình 4x –3y + 1 = 0.
A laø giao ñieåm cuûa AD vaø BF neân A
133;
3
nhaän vì yA > 0.
Vaäy A
133;
3
.
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2011
Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, ñieåm A(1; 0) vaø ñöôøng troøn (C):
x2
+ y2
– 2x + 4y – 5 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng caét (C) taïi ñieåm M vaø
N sao cho tam giaùc AMN vuoâng caân taïi A.
Giaûi
Ñöôøng troøn (C) coù taâm I(1; –2) vaø baùn kính R = 10 .
Tam giaùc AMN vuoâng caân taïi A neân AI
Suy ra: coù veùctô phaùp tuyeán laø AI = (0; –2).
Do ñoù phöông trình coù daïng: y = m.
Ta coù: +) MN = 2.d(A, ) = 2 m .
+) d(I, ) = m 2 .
+) IM = R = 10 .
+) 2
22 MNIM d I,
2
10 = (m + 2)
2
+ m2
2m2
+ 4m – 6 = 0 m = 1 hoaëc m = –3.
Vaäy phöông trình laø : y = 1 hoaëc y = –3.
A
B C D
F E
M N
A
I
(C
)
![Page 19: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/19.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
214
Caùch 2:
Phöông trình coù daïng: y = m, do ñoù hoaønh ñoä ñieåm M vaø N laø nghieäm cuûa
phöông trình: x2
+ m2
– 2x + 4m – 5 = 0 x2
– 2x + m2
+ 4m – 5 = 0 (*).
Phöông trình (*) coù 2 nghieäm x1, x2 ' = –m2
– 4m + 6 > 0. (1)
Khi ñoù: M(x1; m) vaø N(x2; m) 1AM x 1; m vaø 2
AN x 1; m .
Ta coù: AM AN AM.AN 0 2
1 2x 1 . x 1 m 0
x1.x2 – (x1 + x2) + m2
+ 1 = 0 (**).
Maët khaùc x1, x2 laø nghieäm cuûa (*) neân x1.x2 = m2
+ 4m – 5 vaø x1 + x2 = 2
Do ñoù: (**) (m2
+ 4m – 5) – 2 + m2
+ 1 = 0 2m2
+ 4m – 6 = 0
m = 1 hoaëc m = –3. (Thoûa (1))
Vaäy, phöông trình laø: y = 1 hoaëc y = –3.
Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2010
Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho hai ñöôøng thaúng d1: 3 0 x y vaø
d2: 3 0 x y . Goïi (T) laø ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi d1 taïi A, caét d2 taïi hai ñieåm B
vaø C sao cho tam giaùc ABC vuoâng taïi B. Vieát phöông trình cuûa (T), bieát tam giaùc
ABC coù dieän tích baèng 3
2 vaø ñieåm A coù hoaønh ñoä döông.
Giaûi
A d1 neân A (a; 3a ) (a > 0)
Ñöôøng thaúng AC qua A vaø vuoâng goùc vôùi d1 coù phöông trình laø:
1 x a 3 y a 3 0 3 4 0 x y a
Neân AC d2 = C(2a; 2 3 a )
Ñöôøng thaúng AB qua A vaø vuoâng goùc
vôùi d2 coù phöông trình laø:
1 x a 3 y a 3 0 x 3y 2a 0
AB d2 = B a a 3
;
2 2
3
S BA.BC 3ABC
2
22
a a 3a a 3
2 2
22
a a 32a 2a 3
2 2
= 3
![Page 20: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/20.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
215
3a .3a = 3 1 1 2
a A ; 1 ; C ; 2
3 3 3
1 3
Tâm I ;
22 3
laø trung ñieåm AC vaø baùn kính R = IA = 1
Suy ra phöông trình ñöôøng troøn (T):
2 2
1 3x y 1
22 3
Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2010
Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù ñænh A(3; 7), tröïc taâm laø
H(3; 1), taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp laø I(2; 0). Xaùc ñònh toaï ñoä ñænh C, bieát C coù
hoaønh ñoä döông.
Giaûi
Caùch 1: Noái daøi AH caét ñöôøng troøn (C) taâm I taïi ñieåm H'
BC ñi qua trung ñieåm HH'.
Phöông trình AH: x = 3
Ñöôøng troøn (C) coù phöông trình:
2 2
(x 2) y 74
H' laø giao ñieåm cuûa AH vaø ñöôøng troøn (C)
H' (3; 7)
Ñöôøng thaúng BC coù phöông trình : y = 3 caét
ñöôøng troøn (C) taïi ñieåm C coù hoaønh ñoä laø nghieäm
phöông trình: 2 2( 2) 3 74 x
65 2 x (laáy hoaønh ñoä döông); y = 3.
Vaäy C ( 65 2 ; 3)
Caùch 2: Goïi (C) laø ñöôøng troøn taâm I(2; 0),
baùn kính R = IA 74
Phöông trình ñöôøng troøn (C): 2 2
(x 2) y 74
Goïi AA1 laø ñöôøng kính
BHCA1 laø hình bình haønh
HA1 qua M trung ñieåm BC
Ta coù IM laø ñöôøng trung bình cuûa A1AH
Neân : M
M
x 21IM AH M( 2; 3)
y 32
Phöông trình BC qua M vaø vuoâng goùc AH: y 3 = 0
M
I
BC
A
H
H'
A1
H'
M
IH
BC
A
![Page 21: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/21.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
216
Toaï ñoä C thoaû heä phöông trình:
2 2(x 2) y 74
x 2 65y 3 0
y 3x 0
.
Vaäy C ( 65 2 ; 3)
Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2009
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñöôøng troøn (C): x2
+ y2
+ 4x + 4y + 6 = 0
vaø ñöôøng thaúng : x + my – 2m + 3 = 0 vôùi m laø tham soá thöïc. Goïi I laø taâm cuûa
ñöôøng troøn (C). Tìm m ñeå caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A vaø B sao cho dieän tích
tam giaùc IAB lôùn nhaát.
Giaûi
(C) coù taâm I (2; 2), baùn kính R = 2
Dieän tích tam giaùc IAB: S = 21 1IA.IB.sinAIB R 1
2 2
S lôùn nhaát khi vaø chæ khi IA IB
Khi ñoù, khoaûng caùch töø I ñeán : d(I, ) = R
1
2
2
2 2m 2m 3
1
1 m
(1 – 4m)2
= 1 + m2
m = 0 hoaëc m = 8
15
Baøi 7: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2009
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñöôøng troøn (C): (x – 2)2
+ y2
= 4
5
vaø
hai ñöôøng thaúng 1: x – y = 0, 2 = x – 7y = 0. Xaùc ñònh toïa ñoä taâm K vaø tính baùn
kính cuûa ñöôøng troøn (C1); bieát ñöôøng troøn (C1) tieáp xuùc vôùi caùc ñöôøng thaúng 1, 2
vaø taâm K thuoäc ñöôøng troøn (C).
Giaûi
Goïi K(a; b); K (C) (a – 2)2
+ b2
= 4
5
(1);
(C1) tieáp xuùc 1, 2
a b a 7b
2 5 2
(2).
(1) vaø (2), cho ta:
2 25 a 2 5b 4
5 a b a 7b
2 25 a 2 5b 4
I
5 a b a 7b
hoaëc
2 25 a 2 5b 4
II
5 a b 7b a
![Page 22: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/22.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
217
2
25a 20a 16 0I
b 2a
voâ nghieäm;
(II) 2
a 2b 8 4a;b ;
5 525b 40b 16 0
Baùn kính (C1):
a b 2 2R
52
. Vaäy:
8 4 2 2K ; vaø R
5 5 5
Baøi 8: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2009
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñöôøng troøn (C): (x – 1)2
+ y2
= 1. Goïi
I laø taâm cuûa (C). Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm M thuoäc (C) sao cho o
IMO 30
Giaûi
Goïi ñieåm M(a; b). Do M(a; b) thuoäc (C) neân (a – 1)2
+ b2
= 1;
O (C) IO = IM = 1 Tam giaùc IMO coù o
OIM 120
Neân OM2
= IO2
+ IM2
– 2IO.IM.cos1200
a2
+ b2
= 3
Toïa ñoä ñieåm M laø nghieäm cuûa heä
2 2
2 2
3a
a 1 b 1 2
3a b 3b
2
. Vaäy M = 3 3
;
2 2
Baøi 9: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2007
Trong maët phaúng vôùi heä toaï ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC coù A(0; 2), B(–2; –2)
vaø C(4; –2). Goïi H laø chaân ñöôøng cao keû töø B; M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa
caùc caïnh AB vaø BC. Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua caùc ñieåm H, M, N
Giaûi
Ta coù M(1; 0), N(1; 2), AC (4; 4). Giaû söû H (x, y). Ta coù:
4(x 2) 4(y 2) 0 x 1BH ACH(1; 1)
4x 4(y 2) 0 y 1H AC
Giaû söû phöông trình ñöôøng troøn caàn tìm laø: x2
+ y2
+ 2ax + 2by + c = 0 (1)
Thay toïa ñoä cuûa M, N, H vaøo (1) ta coù heä ñieàu kieän:
1a
2a c 1 2
2a 4b c 5 1b
22a 2b c 2
c 2
Vaäy phöông trình ñöôøng troøn caàn tìm laø: x2
+ y2
x + y 2 = 0
![Page 23: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/23.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
218
Baøi 10: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2007
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñöôøng troøn (C): (x– 1)2
+ (y + 2)2
= 9 vaø
ñöôøng thaúng d: 3x – 4y + m = 0. Tìm m ñeå treân d coù duy nhaát moät ñieåm P maø töø
ñoù coù theå keû ñöôïc hai tieáp tuyeán PA, PB tôùi (C) (A, B laø caùc tieáp ñieåm) sao cho
tam giaùc PAB ñeàu .
Giaûi
(C) coù taâm I(1; 2) vaø baùn kính R = 3.
Ta coù: PAB ñeàu neân IP = 2IA = 2R = 6 P thuoäc ñöôøng troøn (C') taâm I, baùn
kính R' = 6. Treân d coù duy nhaát moät ñieåm P thoaû maõn yeâu caàu baøi toaùn khi vaø chæ khi
d tieáp xuùc vôùi (C') taïi P d(I; d) = 6 m = 19 hay m = 41.
Baøi 11: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñöôøng troøn
(C) : x2
+ y2
2x 6y + 6 = 0 vaø ñieåm M(3; 1).
Goïi T1 vaø T2 laø caùc tieáp ñieåm cuûa caùc tieáp tuyeán keû töø M ñeán (C).
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng T1T2.
Giaûi
Ñöôøng troøn (C) coù taâm I(1; 3) vaø baùn kính R = 2. MI = 2 5 > R neân M naèm ngoaøi
(C). Neáu T(xo; yo) laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán keû töø M ñeán (C) thì:
T (C) T (C)
MT IT MT.IT 0
o o o o
MT (x 3; y 1),IT (x 1; y 3). Do ñoù ta coù:
2 2
o o o o
o o o o
x y 2x 6y 6 0
(x 3)(x 1) (y 1)(y 3) 0
2 2
o o o o
o o2 2
o o o o
x y 2x 6y 6 0
2x y 3 0
x y 2x 4y 0
(1)
Vaäy, toïa ñoä caùc tieáp ñieåm T1 vaø T2 cuûa caùc tieáp tuyeán keû töø ñieåm M ñeán (C) ñeàu
thoûa maõn ñaúng thöùc (1). Do ñoù phöông trình ñöôøng thaúng T1T2 laø:
2x + y 3 = 0.
Baøi 12: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñöôøng troøn:
(C): x2
+ y2
2x 2y + 1 = 0 vaø ñöôøng thaúng d: x y + 3 = 0. Tìm toïa ñoä ñieåm
M naèm treân d sao cho ñöôøng troøn taâm M, coù baùn kính gaáp ñoâi baùn kính ñöôøng troøn
(C), tieáp xuùc ngoaøi vôùi ñöôøng troøn (C).
![Page 24: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/24.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
219
Giaûi
Ñöôøng troøn (C) coù taâm I(1; 1), baùn kính R = 1. Vì M d neân M(x; x + 3).
Yeâu caàu cuûa baøi toaùn töông ñöông vôùi:
2 2
MI R 2R (x 1) (x 2) 9 x 1, x 2
Vaäy coù 2 ñieåm M thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn laø: M1(1; 4), M2(2; 1)
Baøi 13: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2005
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñieåm A(2; 0) vaø B(6; 4).
Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh taïi ñieåm A vaø khoaûng
caùch töø taâm cuûa (C) ñeán ñieåm B baèng 5.
Giaûi
Goïi taâm cuûa (C) laø I(a; b) vaø baùn kính cuûa (C) laø R.
(C) tieáp xuùc vôùi Ox taïi A a = 2 vaø |b| = R
IB = 5 (6 2)2
+ (4 b)2
= 25 b2
8b + 7 = 0 b = 1, b = 7
Vôùi a = 2, b = 1 ta coù ñöôøng troøn: (C1): (x 2)2
+ (y 1)2
= 1
Vôùi a = 2, b = 7 ta coù ñöôøng troøn: (C2): (x 2)2
+ (y 7)2
= 49.
Baøi 14:
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy cho 2 ñieåm A(0; 2) vaø
B( 3 ; 1). Tìm toïa ñoä tröïc taâm vaø toïa ñoä taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa OAB
Giaûi
Goïi H(x, y) laø tröïc taâm AOB
AH OB AH coù VTPT OB 3, 1
Phöông trình AH: 3 x 0 y 2 0 hay 3x y 2 0
BH.OA BH coù vtpt OA 0; 2
Phöông trình BH: 0 x 3 2 y 1 0 hay y + 1 = 0 H 3; 1
Goïi I (x0; y0) laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp AOB, ta coù: 2 2 2
IA IO IB
22 2 2
0 0 0 0 0
222 2
00 0 0 0
x y x y 2 y 1
I 3;1
x 3x y x 3 y 1
Baøi 15:
Trong maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy. Cho ñöôøng troøn
(C): (x 1)2
+ (y 2)2
= 4 vaø ñöôøng thaúng d: x y 1 = 0.
Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C') ñoái xöùng vôùi ñöôøng troøn (C) qua ñöôøng
thaúng d. Tìm toïa ñoä caùc giao ñieåm cuûa (C) vaø (C').
![Page 25: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/25.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
220
Giaûi
(C1) coù taâm I(1; 2), R = 2
Goïi I' laø ñieåm ñoái xöùng cuûa I qua (d)
Goïi () laø ñöôøng thaúng qua I vaø d : x + y 3 = 0
() (d) = H(2; 1)
Vì H laø trung ñieåm cuûa II' neân:
x 12
x = 32
y 2 y = 01
2
vôùi I' (x; y) I' (3; 0)
Vaäy ñöôøng troøn (C) coù taâm I'(3; 0) R = R' = 2
Vaäy (C'): (x 3)2
+ y2
= 4
* Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (C), (C').
Giaûi heä
2 2
2 2
2 2
x 1 y 2 4 x 3 y 4
x y 1 0x 3 y 4
2
x y 1 x = 1 x = 3
y = 0 y = 22y 4y 0
Vaäy giao ñieåm cuûa (C), (C') laø A(1; 0) B(3; 2).
Baøi 16:
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy, cho hai ñöôøng troøn
(C1): x2
+ y2
10x = 0, C2: x2
+ y2
+ 4x 2y 20 = 0.
1/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua caùc giao ñieåm cuûa (C1), (C2) vaø coù taâm
naèm treân ñöôøng thaúng x + 6y 6 = 0.
2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa caùc ñöôøng troøn (C1) vaø (C2).
Giaûi
1/ Ñöôøng troøn (C) qua giao ñieåm cuûa hai ñöôøng troøn (C1) vaø (C2) (C), (C1), (C2)
thuoäc chuøm ñöôøng troøn.
(C): m(x2
+ y2
– 10x) + n(x2
+ y2
– 2y – 20) = 0; (Vôùi m2
+ n2
0).
(m + n)x2
+ (m + n)y2
+ (4n – 10m)x – 2ny – 20n = 0
x2
+ y2
+
4n 10m 2n 20nx y 0
m n m n m n
Taâm 2n 5m n
I ;
m n m n
Vì I d: x + 6y – 6 = 0
5m 2n 6n6 0 m 2n
m n m n
Ta choïn n = 1 m = 2. Vaäy (C): x2
+ y2
– 24x + 2y + 20 = 0.
![Page 26: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/26.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
221
2/ Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2)
(C1) coù taâm I1(5; 0), baùn kính R1 = 5
(C2) coù taâm I2(2; 1), baùn kính R2 = 5; I1I2 = 5 2
I1I2 < R1 + R2 (C1) vaø (c2) caét nhau taïi hai ñieåm
(C1) vaø (C2) coù hai tieáp tuyeán chung
Nhaän xeùt x = x0 khoâng theå coù tieáp tuyeán chung. Phöông trình tieáp tuyeán chung
cuûa (C1) vaø (C2) coù daïng : y = ax + b ax – y + b = 0
ycbt
21 1
2 2
2
5a b
5 (1)
d I , R a 1
d I , R 2a 1 b
5 (2)
a 1
Töø (1), (2) 5a b 2a 1 b
1a
5a b 2a 1 b 7
5a b 2a 1 b 3a 1b
2
Thay 1
a
7
vaøo (1) ta coù:
1 2
5 25 2 5 25 2b ; b
7 7
Thay
3a 1
b
2
vaøo (1)
ta coù: 23a 1
5a 5 a 1
2
51a
2
– 14a + 99 = 0 phöông trình voâ nghieäm
Vaäy ta coù 2 tieáp tuyeán laø: 1: x + 7y – 5 + 25 2 = 0
2: x + 7y – 5 – 25 2 = 0
Baøi 17:
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxy cho hai ñöôøng troøn
(C1): x2
+ y2
4y 5 = 0, (C2): x2
+ y2
6x + 8y + 16 = 0. Vieát phöông trình caùc
tieáp tuyeán chung hai ñöôøng troøn (C1) vaø (C2).
Giaûi
(C1): x2
+ y2
– 4y – 5 = 0 I1(0; 2), R1 = 3
(C2): x2
+ y2
– 6x + 8y + 16 = 0 I2(3; 4), R2 = 3
Ta coù I1I2 = 22
1 23 6 3 5 3 3 R R
Vaäy C1) vaø (C2) naèm ngoaøi nhau coù 4 tieáp tuyeán chung
![Page 27: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/27.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
222
Nhaän xeùt: Tieáp tuyeán ñöùng cuûa (C1) laø x = 3
Tieáp tuyeán ñöùng cuûa (C2) laø x = 0 x = 6
(C1) vaø (C2) tieáp tuyeán chung cuûa chuùng coù daïng
: y = ax + b ax – y + b = 0
ycbt
2
1 1
22 2
b 2 3 a 1 (1)d I , R
d I , R3a b 4 3 a 1 (2)
Töø (1), (2) b 2 3a b 4
a 2b 2 3a b 4
3a 2b 2 3a b 4 b
2
Theá a = 2 vaøo (1) ta ñöôïc: 1
2
b 2 3 5
2 b 3 5
b 2 3 5
Coù hai tieáp tuyeán: 1: 2x – y + 2 + 3 5 = 0 ; 2: 2x – y + 2 3 5 = 0
Theá 3a 2
b
2
vaøo (1) ta ñöôïc: 3a
2
– 4a = 0
1 1
2 2
a 0 b 1
4a b 3
3
Coù hai tieáp tuyeán: 3: y = 1; 4 = 4
x 3
3
Baøi 18:
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy. Cho ñöôøng thaúng
d: x y + 1 = 0 vaø ñöôøng troøn (C): x2
+ y2
+ 2x 4y = 0.
Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng d maø qua ñoù ta keû ñöôïc hai ñöôøng
thaúng tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (C) taïi A vaø B sao cho goùc AMB baèng 600
.
Giaûi
Ta coù (C): (x + 1)2
+ (y – 2)2
= 5 Taâm I (1; 2), R = 5
Do 0
AMB 60 vaø MI laø phaân giaùc AMI laø nöûa tam giaùc ñeàu
Coù 0
AMI 30 MI 2.IA 2 5
Vaäy M naèm treân ñöôøng troøn taâm I, baùn kính 2 5 coù phöông trình laø:
(C1): (x + 1)2
+ (y – 2)2
= 20
Do ñoù: Toïa ñoä M laø nghieäm cuûa heä:
2 2
x y 1 0
(x 1) (y 2) 20
22
y x 1 x 3 x 3
hay
y 4 y 2y y 2 20
Vaäy toïa ñoä M1(3; 4), M2(3; 2) thoûa maõn ycbt
Baøi 19:
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy cho ñöôøng thaúng
![Page 28: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/28.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
223
d: x 7y + 10 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng troøn coù taâm thuoäc ñöôøng thaúng
: 2x + y = 0 vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng d taïi A(4; 2).
Giaûi
d: x – 7y + 10 = 0, : 2x + y = 0, A(4; 2)
Goïi I(a; b) taâm ñöôøng troøn (C)
Vì (C) tieáp xuùc d taïi A IA d phöông trình ñöôøng thaúng IA: 7x + y + m = 0
A IA: 28 + 2 + m = 0 m = 30
Vaäy phöông trình cuûa IA: 7x + y – 30 = 0
Do ñoù I laø giao ñieåm cuûa IA vaø ta giaûi heä 7x y 30 0
I 6; 12
2x y 0
R = IA = 2 2
4 6 2 12 200 10 2
Vaäy (C): (x – 6)2
+ (y + 12)2
= 200
Vaán ñeà 3: ELIP – HYPERBOL – PARABOL
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Elip
I. ÑÒNH NGHÓA: (E) = M MF1 + MF2 = 2a; F1F2 = 2c; a > c
II. CAÙC PHAÀN TÖÛ ELIP:
Caùc phaàn töû cuûa elip Phöông trình chính taéc:
(E):
2 2
2 2
x y1
a b
(a > b > 0)
Phöông trình khoâng chính
taéc: (E) :
2 2
2 2
x y1
a b
(b > a > 0)
1. Ñoà thò
2. Truïc lôùn
Truïc nhoû
A1A2 = 2a
B1B2 = 2b
A1A2 = 2a
B1B2 = 2b
3. Ñænh A1(a; 0), A2(a; 0)
B1(0; b), B2(0; b)
A1(0; a), A2(0; a)
B1(b; 0), B2(b; 0)
B1
B2
O A1 A2
x
y
F1 F2
B1 B2
x
y
A2
A1
F1
F2
O
![Page 29: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/29.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
224
4. Tieâu ñieåm F1(c; 0), F2(c; 0) F1 (0; c), F2(0; c)
5. Tieâu cöï F1F2 = 2c F1F2 = 2c
6. Taâm sai ce 1
a
c
e 1
a
7. c2
= a2
b2
c2
= b2
a2
8. Baùn kính qua tieâu
ñieåm
MF1 = a + exm
MF2 = a exm
MF1 = a + eym
MF2 = a eym
9. Ñöôøng chuaån 2a
x
c
2a
y
c
10. Hình chöõ nhaät
cô soá
x = a; y = b y = a; x = b
11. Khoaûng caùch
giöõa 2 ñöôøng chuaån
22a
c
22a
c
III. TIEÁP TUYEÁN ELIP: Cho (E):
2 2
2 2
x y1
a b
1. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) taïi M(x0, y0)
0 0
2 2
x.x y.yd : 1
a b
b2
x.x0 + a2
y.y0 = a2
b2
2. Ñöôøng thaúng d: Ax + By + C = 0 tieáp xuùc (E) 2 2 2 2 2
a A b B C
HYPERBOL
I. ÑÒNH NGHÓA: (H) = M MF1 MF2 = 2a, F1F2 = 2c, 0 < a < c
II. CAÙC PHAÀN TÖÛ CUÛA HYPERBOL
Caùc phaàn töû PTCT: (H):
2 2
2 2
x y1
a b
Daïng khoâng chính taéc
2 2
2 2
y x1
a b
1. Truïc thöïc
A1A2 = 2a
A1A2 = 2a
2. Ñænh A1(a; 0), A2(a; 0) A1(0; a), A2(0; a)
3. Tieâu ñieåm F1(c; 0), F2(c; 0) F1(0; c), F2(0; c)
x
y
A1 A2
F1 F2
O x
y
A1
A2
F1
F2
O
![Page 30: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/30.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
225
4. Tieâu cöï F1F2 = 2c F1F2 = 2c
5. Taâm sai
ce 1
a
c
e 1
a
6. c2
= a2
+ b2
c2
= a2
+ b2
7. Ñöôøng chuaån
2a
x
c
2a
y
c
8. Tieäm caän by x
a
b
x y
a
9. Baùn kính qua
tieâu ñieåm
MF1 = exm + a
MF2 = exm a
(M thuoäc nhaùnh phaûi boû
trò tuyeät ñoái.
M thuoäc nhaùnh traùi boû vaø
ñoåi daáu trò tuyeät ñoái)
MF1 = eym + a
MF2 = eym a
10. Caùc caïnh hình
chöõ nhaät cô sôû
x = a; y = b y = a; x = b
11. Khoaûng caùch
giöõa 2 ñöôøng
chuaån baèng
22a
c
22a
c
III. Tieáp tuyeán cuûa Hyperbol:
Cho
2 2
2 2
x y(H) : 1
a b
1/ Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (H) taïi M(x0; y0) 0 0
2 2
x.x y.yd : 1
a b
2/ Ñöôøng thaúng d: Ax + By + C = 0 tieáp xuùc (H) 2 2 2 2 2
a A b B C
PARABOL
I. ÑÒNH NGHÓA: (P) = M MF = d(M, )
II. CAÙC PHAÀN TÖÛ CUÛA PARABOL.
1. Phöông trình chính taéc: (P): y2
= 2px.
Ñænh 0, truïc ñoái xöùng Ox
Tieâu ñieåm p
F ,0
2
Ñöôøng chuaån: p
: x
2
Baùn kính qua tieâu: M
pMF x
2
y
x O
M
P
2
pF ,0
2
![Page 31: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/31.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
226
2. Caùc daïng khaùc:
Caùc phaàn töû Daïng y2
= 2py x2
= 2px x2
= 2py
1. Ñoà thò
2. Tieâu ñieåm
pF ,0
2
p
F 0,
2
p
F 0,
2
3. Ñöôøng
chuaån
p: x
2
p
: y
2
p
: y
2
4. Baùn kính
qua tieâu ñieåm 1 m
pMF x
2
m
pMF y
2
m
pMF y
2
III. Tieáp tuyeán cuûa parabol: (P): y2
= 2px
1/ Phöông trình tieáp tuyeán cuûa (P) taïi M (x0; y0) coù daïng d: y.y0 = p(x + x0)
2/ Ñieàu kieän ñeå ñöôøng thaúng : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc (P) B2
p = 2AC
B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2011
Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho elip (E):
2 2x y
1
4 1
. Tìm toïa ñoä caùc ñieåm A
vaø B thuoäc (E), coù hoaønh ñoä döông sao cho tam giaùc OAB caân taïi O vaø coù dieän
tích lôùn nhaát .
Giaûi
Vì xA vaø xB döông vaø tam giaùc OAB caân taïi O neân
A, B ñoái xöùng nhau qua truïc Ox vaø xA = xB, yA = –yB .
Ta coù: A (E)
2 2
A Ax y1
4 1 .
SOAB = A A A A
1 1AB.d(O,AB) 2 y . x x y
2 2 .
AÙp duïng baát ñaúng thöùc Cauchy ta coù:
1 =
2 2 2
2A A A
A A A OAB
x y x2 .y x y S
4 1 4 .
y
x
O
p
2
F
p
2
y
x O
F
y
x
O
F p
2
A
B
O
x
y
2
1
–2
–1
![Page 32: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/32.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
227
SOAB lôùn nhaát khi vaø chæ khi
2
2A
A
2
2A
A
xy
4
xy 1
4
2
A
2
A
x 1
4 2
1y
2
A
A
x 2
2y
2
.
Vaäy : A 2
2;
2
; B2
2;
2
hoaëc A
22;
2
; B
22;
2
.
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2010
Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, cho ñieåm A(2; 3 ) vaø elip (E):
2 2x y
1
3 2
.
Goïi F1 vaø F2 laø caùc tieâu ñieåm cuûa (E) (F1 coù hoaønh ñoä aâm); M laø giao ñieåm coù
tung ñoä döông cuûa ñöôøng thaúng AF1 vôùi (E); N laø ñieåm ñoái xöùng cuûa F2 qua M.
Vieát phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ANF2.
Giaûi
2 2
2 2 2x y(E) : 1 c a b 3 2 1
3 2
. Do ñoù F1(–1; 0); F2(1; 0).
Phöông trình AF1 coù daïng x 1 y 0
2 1 3 0
x y 3 1 0 .
M = AF1 (E) neân toïa ñoä ñieåm M (vôùi yM > 0) thoûa heä phöông trình
2 2
x y 3 1 0
2x 3y 6
x 1
2y
3
(vì y > 0) M 2
1;
3
N laø ñieåm ñoái xöùng cuûa F2 qua M M laø trung ñieåm NF2 N 4
1;
3
1
NA 1;
3
; 2F A 1; 3
2NA.F A 0 .
ANF2 vuoâng taïi A neân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp cuûa noù coù ñöôøng kính laø F2N.
Ñöôøng troøn naøy coù taâm I2
1;
3
laø trung ñieåm ñoaïn F2N vaø coù baùn kính
R = IF2 = 2
3
neân coù phöông trình laø:
2
2 2 4(x 1) y
33
.
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2008
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, haõy vieát phöông trình chính taéc cuûa elíp (E)
bieát raèng (E) coù taâm sai baèng 5
3
vaø hình chöõ nhaät cô sôû cuûa (E) coù chu vi baèng 20.
Giaûi
![Page 33: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/33.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
228
Goïi (E): 2 2
2 2
x y1 vôùia b 0
a b
Taâm sai baèng 5 c 5
e
3 a 3
9c2
= 5a2
9(a2
– b2
) = 5a2
(1)
Chu vi hình chöõ nhaät cô sôû baèng 20 a + b = 5 b = 5 – a (2)
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: a2
– 18a + 45 a 3haya 15 loaïi vì b 10 0
Vôùi a = 3 b = 2 (nhaän)
Vaäy phöông trình chính taéc cuûa (E): 2 2
x y1
9 4
Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2008
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho parabol (P): y2
= 16x vaø ñieåm A(1; 4).
Hai ñieåm phaân bieät B, C (B vaø C khaùc A) di ñoäng treân (P) sao cho goùc 0BAC 90 .
Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng BC luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh.
Giaûi
B, C (P)
2 2b c
B ;b , C ,c
16 16
(b c, b, c 4)
2 2b c
AB 1; b 4 , AC 1; c 4
16 16
Do AB AC neân
2 2b c
AB.AC 0 1 1 (b 4)(c 4) 0
16 16
272 + 4(b + c) + bc = 0 (1)
Phöông trình ñöôøng thaúng BC laø:
2
2 2
cx
y c1616x (b c)y bc 0
b cb c
16 16
(2)
Töø (1) vaø (2) suy ra ñöôøng thaúng BC luoân ñi qua ñieåm coá ñònh I(17; 4).
Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2005
Trong maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä Oxy cho ñieåm C(2; 0) vaø elip (E):
2 2x y
1
4 1
. Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm A, B thuoäc (E), bieát raèng hai ñieåm A, B ñoái
xöùng vôùi nhau qua truïc hoaønh vaø tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu.
Giaûi
Giaû söû A(xo; yo). Do A, B ñoái xöùng nhau qua Ox neân B(xo; yo).
Ta coù AB2
= 42
oy vaø AC
2
= (xo 2)2
+ 2
oy .
![Page 34: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/34.jpg)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
229
Vì A (E) neân
4 2
2 2o o
o o
x xy 1 y 1
4 4
(1)
Vì AB = AC neân 2 2 2
o o o(x 2) y 4y (2)
Thay (1) vaøo (2) vaø ruùt goïn ta ñöôïc:
o
2
o o
o
x 2
7x 16x 4 0 2x
7
Vôùi xo = 2 thay vaøo (1) ta coù yo = 0. Tröôøng hôïp naøy loaïi vì A C.
Vôùi xo = 2
7
thay vaøo (1) ta coù o
4 3y
7
(nhaän)
Vaäy 2 4 3 2 4 3
A ; ;B ;
7 7 7 7
hoaëc
2 4 3 2 4 3B ; ;A ;
7 7 7 7
Baøi 6:
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy. Cho Parabol (P) coù
phöông trình y2
= x vaø ñieåm I(0; 2). Tìm toïa ñoä hai ñieåm M, N thuoäc (P) sao
cho IM 4IN .
Giaûi
Ta coù: (P) y2
= x vaø I(0; 2). Goïi M(m2
; m ), N(n2
; n) (P)
2 2 2IM m ; m 2 , IN n ; n 2 4IN 4n ; 4n 8
ycbt:
2 2
1 2
2
1 2
m 4n 6 n 1 n 3m 4nIM 4IN hay
m 2 m 6m 2 4n 8 n 4n 3 0
Vaäy ta coù 2 caëp ñieåm M1(4; 2), N1(1; 1) vaø M2(36; 6), N2(9; 6).
Baøi 7:
Trong maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy. Cho elip (E) coù
phöông trình
2 2x y
1
16 9
. Xeùt ñieåm M chuyển ñộng treân tia Ox vaø ñieåm N
chuyeån ñoäng treân tia Oy sao cho ñöôøng thaúng MN luoân tieáp xuùc vôùi (E).
Xaùc ñònh toïa ñoä cuûa M, N ñeå ñoaïn MN coù ñoä daøi nhoû nhaát. Tính giaù trò nhoû nhaát ñoù
Giaûi
M(m; 0) Ox, N(0; n) Oy m, n > 0
(E):
2 2x y
1
16 9
Ñöôøng thaúng MN coù phöông trình: nx + my mn = 0
MN tieáp xuùc vôùi (E) 2 2 216n 9m mn
Ta coù MN2
= m2
+ n2
. Theo baát ñaúng thöùc Bunhia ta coù:
![Page 35: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG OXY fileHöôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 196 Chuyeân ñeà 7: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040422/5e138a1e1fae580acf5b9e84/html5/thumbnails/35.jpg)
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
230
2 2
2 2
4 3 16 97 .m .n m n MN
m n m n
MN nhoû nhaát
2 2
2 2m n m n 3m 4n
4 3 4 3
m n
Vaø m2
+ n2
= 49 m2
= 28 vaø n2
= 21
Do ñoù MN nhoû nhaát m = 2 7 vaø n = 21 (vì m, n > 0)
M (2 7 ; 0) N (0; 21 ) khi ñoù min MN = 7.
Baøi 8:
Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcaùc vuoâng goùc Oxy, cho elíp (E):
2 2x y
1
9 4
vaø ñöôøng thaúng dm: mx y 1 = 0.
a/ Chöùng minh raèng vôùi moïi giaù trò cuûa m, ñöôøng thaúng dm luoân caét elíp (E)
taïi hai ñieåm phaân bieät.
b/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E), bieát raèng tieáp tuyeán ñoù ñi qua ñieåm
N(1; 3).
Giaûi
a/ (E):
2 2x y
1
9 4
4x2
+ 9y2
= 36
Ta coù phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (E) vaø (dm)
4x2
+ 9(mx – 1)2
– 36 = 0 (4 + 9m2
)x2
– 18mx – 25 = 0
' = 81m2
+ 25(4 + 9m2
) > 0, m
Vaäy dm caét (E) taïi hai ñieåm m
b/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) qua N(1; 3)
Do x = 1 khoâng laø tieáp tuyeán cuûa (E) neân goïi laø tieáp tuyeán vôùi (E) qua N(1; 3)
coù heä soá goùc k
: y = k(x – 1) – 3 kx – y – 3 – k = 0.
tieáp xuùc (E) 9k2
+ 4 = (3 – k)2
8k2
– 6k – 5 = 0
1 5
k hay k
2 4
Vaäy coù 2 tieáp tuyeán 1: x + 2y + 5 = 0, 2: 5x – 4y – 17 = 0