⁄121
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
Voorkennis
V-1a Hester houdt e 15,00 – 2 3 e 1,85 – 2 3 e 3,29 = e 15,00 – e 3,70 – e 6,58 = e 4,72 over.
b e 15,00 – 2 3 (e 1,85 + e 3,29) = e 15,00 – 2 3 e 5,14 = e 15,00 – e 10,28 = e 4,72
V-2a 62 – 32 = 36 – 9 = 27
b 9 – (52 – 4) = 9 – (25 – 4) = 9 – 21 = –12
c 103 – 62 = 1000 – 36 = 964
d 12 – 42 = 12 – 16 = –4
e –7 3 –3 + 18 = 21 + 18 = 39
f 82 – 6 3 7 = 64 – 42 = 22
g (5 – 2)2 3 (2 + 3) = 32 3 5 = 9 3 5 = 45
h (9 – 13) 3 –2 = –4 3 –2 = 8
i –2 3 (–5)2 = –2 3 25 = –50
j –5 3 (6 – 32) = –5 3 (6 – 9) = –5 3 –3 = 15
V-3a
p –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4q 7 5 3 1 –1 –3 –5 –7 –9
2 41 3
6
8
10
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
–1–3 –2 O 5p
q
q = –2p – 1
q = 4 – 2p
–4–5
b
p –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4q 12 10 8 6 4 2 0 –2 –4
Zie de tekening hierboven.
V-4a Invullen van a = 2 geeft b = 3 3 22 = 3 3 4 = 12.
b Invullen van a = 4 geeft b = 3 3 42 = 3 3 16 = 48, invullen van a = 7 geeft
b = 3 3 72 = 3 3 49 = 147 en invullen van a = 12 geeft b = 3 3 122 = 3 3 144 = 432.
c Invullen van k = 10 in de eerste formule geeft m = 102 + 2 3 10 = 100 + 20 = 120.
Invullen van k = 10 in de tweede formule geeft m = 3 3 102 = 3 3 100 = 300.
De uitkomsten zijn niet hetzelfde, dus de formules zijn niet hetzelfde.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 121 11-04-2008 11:32:49
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄122
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
V-5a b = 9a f k = 5l + m
b t = 13s g p = 16w2 – 6
c kan niet korter h s = 5t – 4
d r = 10s2 i y = x2 + 4x – 4
e kan niet korter j r = 2p2 – 5p
V-6a q = 5p + 15 d a = 6b + 2b2
b s = 21 + 3t e w = 5z + z2
c r = 10v + 35 f y = 4x + x2
V-7a r = 2s2 + 4s + 6s + 12
r = 2s2 + 10s + 12
b k = 3p2 + 15p + 2p + 10
k = 3p2 + 17p + 10
c y = 6x2 + 12x + 3x + 6
y = 6x2 + 15x + 6
d b = 2c2 + 35c + 2,4c + 42
b = 2c2 + 37,4c + 42
e h = 15j + 35 + 3j2 + 7j
h = 3j2 + 22j + 35
f a = 6b + 24b2 + 3,5 + 14b
a = 24b2 + 20b + 3,5
V-8a De formule y = 2x2 – 1 is een kwadratische formule.
b Invullen van x = 3 geeft y = 2 3 32 –1 = 2 3 9 – 1 = 18 – 1 = 17.
c
x –3 –2 –1 0 1 2 3y 17 7 1 –1 1 7 17
5-1 Kwadratische formules
1a
nummer n 1 2 3 4
aantal driehoeken a 1 4 9 16
+3 +5 +7
b In de toenamen komt steeds 2 meer bij.
c
n = 5
Er zitten 25 driehoeken in deze figuur. Het aantal driehoeken neemt met 25 – 16 = 9 toe.
Dat is weer 2 meer dan 7. Dus het klopt.
d Bij deze rij figuren hoort de formule a n= 2 .
e In de 27e figuur zitten 272 = 729 driehoeken.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 122 11-04-2008 11:32:51
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄123
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
2a Invullen van n = 1 geeft g = × + × =12
2 121 1 1 , invullen van n = 2 geeft
g = × + × =12
2 122 2 3 , invullen van n = 3 geeft g = × + × =1
22 1
23 3 6 , invullen van n = 4
geeft g = × + × =12
2 124 4 10 en dat klopt.
b Invullen van n = 1 geeft b = × − × =12
2 121 1 0 , invullen van n = 2 geeft
b = × − × =12
2 122 2 1 , invullen van n = 3 geeft b = × − × =1
22 1
23 3 3 , invullen van n = 4
geeft b = × − × =12
2 124 4 6 en dat klopt.
Voor het aantal driehoeken geldt a g b= + . Invullen van g n n= +12
2 12 en b n n= −1
22 1
2
geeft a n n n n= + + −12
2 12
12
2 12 dus a n= 2 en dat klopt.
3a Invullen van x = −1 geeft y = − = − × − =( )1 1 1 12 .
b
x –3 –2 –1 0 1 2 3y 9 4 1 0 1 4 9
c
2 41 3
6
8
10
4
2
–2
–4
–6
–1–3 –2 O 5x
y
y = x 2 – 4
y = x 2
–4–5
d
x –3 –2 –1 0 1 2 3y 5 0 –3 –4 –3 0 5
Zie de tekening hierboven.
e De coördinaten van het laagste punt van de grafiek van y x= −2 4 zijn (0, –4).
4a Invullen van x = −1 geeft y = − − = − − × − = −( )1 1 1 12 .
b
x –3 –2 –1 0 1 2 3y –9 –4 –1 0 –1 –4 –9
c
2 41 3
4
2
–2
–4
–6
–10
–1–3 –2 O 5x
y
y = –x 2 + 1
y = –x 2
–4–5
–8
d
x –3 –2 –1 0 1 2 3y –8 –3 0 1 0 –3 –8
Zie de tekening hierboven.
e De y-as of de lijn x = 0 is in beide gevallen de symmetrieas.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 123 11-04-2008 11:32:59
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄124
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
5a Bij een stapgrootte van bijvoorbeeld 1 zou het assenstelsel veel te hoog worden.
b De coördinaten van de top zijn (0, 0).
c
x –3 –2 –1 0 1 2 3y 13 3 –3 –5 –3 3 13
d Het kwadraat van een getal en het kwadraat van het tegengestelde getal zijn altijd gelijk,
bijvoorbeeld 3 3 92 2= − =( ) .
e
2 41 3
25
15
10
5
40
35
–5–1–3 –2 O 5
x
y
y = 2x 2 – 5
y = 2x 2
–4–5
20
30
f De coördinaten van de top zijn (0, –5).
6a
200
4
20
40
60
100
120
140
160
180
200
80
61 3 5 7t in seconden
s in
met
ers
b Je krijgt een ‘halve’ parabool omdat je voor de tijd geen negatieve getallen kunt invullen.
c Bij de tabel hoort de formule s t= 5 2 .
7a/b
2 41 3
6
8
10
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
–1–3 –2 O 5x
y
y = 9 – 2x 2
y = 8 – x 2
–4–5
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 124 11-04-2008 11:33:2
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄125
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
5-2 Haakjes wegwerken met negatieve getallen
8 A x x= +2 32
9a r t t= +( )9
3 t +9t t2 +9t
r t t= +2 9 b h a a= +( )6 2
3 6 +2aa 6a +2a2
h a a= +6 2 2
c y x x= +3 5 2( )
3 5x +23x 15x2 +6x
y x x= +15 62
d b q= +7 6 412 ( )
3 6 +4q
7 1
2 45 +30q
b q= +45 30
e w t= +0 5 0 4 3, ( , )
3 0,4t +30,5 0,2t +1,5
w t= +0 2 1 5, , f a k= +1
412
2 5( )
3
12
2k +5
14
18
2k
+1 14
a k= +18
2 141
g h m m= +12 18 1( )
3 18m +1
12
m 9m2
+ 1
2m
h m m= +9 2 12
h q t t= +( )3
3 3 +tt 3t +t2
q t t= +3 2
10a
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4y 8 3 0 –1 0 3 8 15 24
b/c
2 41 3
2
6
–2–1–2–3–4–5–6 O
y
4
12
x
14
18
16
20
24
22
8
10
y = x (x + 2)
d De coördinaten van de top van de parabool zijn (–1, –1).
e Het is een dalparabool.
f De snijpunten van de grafiek met de horizontale as zijn (–2, 0) en (0, 0).
11a p b= − +5 3( )
3 b +3–5 –5b –15
p b= − −5 15 b p b= − −5 3( )
3 b –3–5 –5b +15
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 125 11-04-2008 11:33:9
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄126
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
p b= − +5 15 c k m= − −1 4 7( )
3 4m –7–1 –4m +7
k m= − +4 7
v w= − +1 8( )
3 8 +w–1 –8 –1w
v w= − −8 1
12a De oppervlakte van de boomgaard is 70 3 50 = 3500 m2.
De oppervlakte van het weiland zonder weg is 120 60× −( )b m2.
Voor de overblijvende oppervlakte A in m2 geldt dan A b= + × −3500 120 60( ) .
b Je moet eerst vermenigvuldigen en dan pas optellen.
c
3 60 –b120 7200 –120b
A b= + −3500 7200 120 d A b= −10 700 120 e Invullen van b = 6 in de formule van Ruben geeft
A = + × − = + × = + =3500 120 60 6 3500 120 54 3500 6480 998( ) 00 .
Invullen van b = 6 in de formule van opdracht d geeft
A = − × = − =10 700 120 6 10 700 720 9980 .
Ja, je krijgt dezelfde uitkomst.
13a h t= − −2 5( )
3 t –5–2 –2t +10
h t= − +2 10
b y x= − − +3 3 4( )
3 –3x +4–3 9x –12
y x= −9 12
c k t= − −( )6
3 t –6–1 –t +6
k t= − + 6 d j a a= − −5 5 5( )
3 5a –5–1 –5a +5
j a a= − +5 5 5
j = 5
e b r r r= + +14 2 6( )
3 r +62r 2r2 +12r
b r r r= + +14 2 122
b r r= +2 262
f p q= − +2 4 312 ( )
3 4q +3
−2 1
2 –10q −7 1
2
p q= − −10 7 12
g h x x= − − +8 2 3 4( )
3 –3x +4–2x 6x2 –8x
h x x= + −8 6 82
h y t= + −2 6 1213 ( )
3 6t –12
13 2t –4
y t= + −2 2 4
y t= −2 2
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 126 11-04-2008 11:33:18
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄127
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
14a b f f= − +4 3 7 16( )
3 3f –74f 12f2 –28f
b f f= − +12 28 162
b p m m= + +13 2 5 32( )
3 5m2 +32 10m2 +6
p m m= + +13 10 62
c g p p= − − +5 3 6( )
3 3 –p–5 –15 +5p
g p p= − + +15 5 6
g p= − +15 11
De formule is niet kwadratisch.
d a k= − −11 7 1012 ( )
3 7k –10
− 1
2
−3 12
k
+5
a k= − +11 3 512
a k= −16 3 12
De formule is niet kwadratisch.
e w m m= + − +10 2 5 3( )
3 –5m +32 –10m +6
w m m= − +10 10 6
w = 6
De formule is niet kwadratisch.
f k p p p= + +2 2 3 5( )
3 3p +52p 6p2 +10p
k p p p= + +2 6 102
k p p= +6 122
g t a a a= + −3 2 12 2 ( )
3 a –12a2 2a3 –2a2
t a a a= + −3 2 22 3 2
t a a= +2 3 2
De formule is niet kwadratisch.
h u b b b b= − + −2 53 2( )
3 b3 +b–2b –2b4 –2b2
u b b b= − − −2 2 54 2 2
u b b= − −2 74 2
De formule is niet kwadratisch.
5-3 Formules met dubbele haakjes
15a
2
x x 2 7x
2x 14
x 7
b A x x x= + + +2 2 7 14
A x x= + +2 9 14
16a
3 p +6
p p2 +6p
–2 –2p –12
b Samennemen van 6p en –2p geeft 4p.
c h p p= + −2 4 12
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 127 11-04-2008 11:33:26
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄128
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
17a y x x= + +( )( )5 2
3 x +2
x x2 +2x
+5 +5x +10
y x x= + +2 7 10 b k t t= + +( )( )2 41
2
3 t +4t t2 +4t
+2 1
2
+2 12
t
+10
k t t= + +2 126 10
c a n n= − +( )( )2 4
3 n +4
n n2 +4n
–2 –2n –8
a n n= + −2 2 8 d m e e= − −( )( )3 8
3 8 –e
e 8e –e2
–3 –24 +3e
m e e= − + −2 11 24
e q t t= − −( , )( )8 2 3 1 2
3 1 –2t
8,2 8,2 –16,4t
–3t –3t +6t2
q t t= − +6 19 4 8 22 , , f s c c= − −( )( )2 1
3 c –1
c c2 –c
–2 –2c +2
s c c= − +2 3 2
g p q q= + −( )( )2 3 5
3 q –5
2q 2q2 –10q
+3 +3q –15
p q q= − −2 7 152
h l m m= + −( )( )4 5 4 5
3 4m –5
4m 16m2 –20m
+5 +20m –25
l m= −16 252
18 Voor figuur 1 geldt A x x= −( )3 en A x x= −2 3 .
Voor figuur 2 geldt A x x= − −( )( )3 3 en A x x= − +2 6 9 .
19a y x x= + +( )( )2 5 82
3 x2 +8
2x 2x3 +16x
+5 +5x2 +40
y x x x= + + +2 5 16 403 2
De formule is niet kwadratisch.
b y x x= − +( )( )2 23 3
3 x2 +3
x2 x4 +3x2
–3 –3x2 –9
y x= −4 9
De formule is niet kwadratisch.
c y x x= + −( )( )2 4 43
3 x –4
2x3 2x4 –8x3
+4 +4x –16
y x x x= − + −2 8 4 164 3
De formule is niet kwadratisch.
d y x x x= + + − +3 8 42 ( )( )
3 –x +4
x –x2 +4x
+8 –8x +32
y x x x= − − +3 4 322 2
y x x= − +2 4 322
De formule is kwadratisch.
e y x x x= + + −2 3 2 6( )( )
3 2x –6
x 2x2 –6x
+3 +6x –18
y x x= + −2 22 18
y x= −3 182
De formule is kwadratisch.
f y x x x x= + − + +( )( ) ( )2 2 6 3 4
3 x –6
2x 2x2 –12x
+2 +2x –12
3 2x +43x 6x2 +12x
y x x x x= − − + +2 10 12 6 122 2
y x x= + −8 2 122
De formule is kwadratisch.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 128 11-04-2008 11:33:36
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄129
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
20a
x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3y –7 0 5 8 9 8 5 0 –7
b/c
1 3–6 2
6
8
10
4
2
–6
–4
–8
–2–1–3 –2 O 4
x
y
y = ( x + 4 )( 2 – x )
–4–5
d De coördinaten van de top zijn (–1, 9).
e De coördinaten van de snijpunten met de horizontale as zijn (–4, 0) en (2, 0).
f Invullen van x = 4 in de formule geeft y = + − = × − = −( )( )4 4 2 4 8 2 16 .
g Het punt met x = 4 ligt 5 rechts van de symmetrieas, dus het ander punt ligt 5 links van de
symmetrieas en dat is bij x = − − = −1 5 6 . Het andere punt is (–6, –16).
21a
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y x x= + −( )( )1 1 8 3 0 –1 0 3 8
y x= 2 9 4 1 0 1 4 9
b
2 41 3
6
8
10
4
2
–2–1–3 –2 O 5
x
y
y = ( x + 1 )( x – 1)
y = x 2
–4–5
c Er zijn twee dalparabolen getekend. Dat had je aan de formule kunnen zien omdat daarin
een positief getal voor de x2 staat.
d De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de formule y x x= + −( )( )1 1 met de
horizontale as zijn (–1, 0) en (1, 0). De coördinaten van het snijpunt van de grafiek bij de
formule y x= 2 met de horizontale as zijn (0, 0).
e y x= −2 1 f Je moet de grafiek bij de formule y x x= + −( )( )1 1 één naar boven verschuiven om de
grafiek bij de formule y x= 2 te krijgen.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 129 11-04-2008 11:33:40
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄130
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
22a
p –3 –2 –1 0 1 2 3
q p p= − +( )( )2 2 –5 0 3 4 3 0 –5
q p= −1 2 –8 –3 0 1 0 –3 –8
b
2 43
4
6
2
–2
–8
–6
–10
–4
1–2 –1 O 5p
q
q = (2 – p)(p + 2)
–3–4–5
q = 1 – p 2
c Er zijn twee bergparabolen getekend. Dat had je aan de formule kunnen zien omdat daarin
een negatief getal voor de x2 staat.
d De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de formule q p p= − +( )( )2 2 met de
horizontale as zijn (–2, 0) en (2, 0). De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de
formule q p= −1 2 met de horizontale as zijn (–1, 0) en (1, 0).
e q p= −4 2
f Je moet de grafiek bij de formule q p p= − +( )( )2 2 drie naar beneden verschuiven om de
grafiek bij de formule q p= −1 2 te krijgen.
23a Invullen van x = −2 geeft y = − + − × − − = − × = − = −( ) ( , ) ,2 2 0 5 2 4 2 2 5 4 5 12 .
Invullen van x = −1 geeft y = − + − × − − = − × = − = −( ) ( , ) , , ,1 1 0 5 1 1 1 1 5 1 1 5 0 52 .
Invullen van x = 0 geeft y = + × − = − × = − =0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 02 ( , ) , .
Invullen van x = 1 geeft y = + × − = + × − = − =1 1 0 5 1 1 1 0 5 1 0 5 0 52 ( , ) , , , .
Invullen van x = 2 geeft y = + × − = + × − = − =2 2 0 5 2 4 2 1 5 4 3 12 ( , ) , .
De grafiek kan bij de formule horen.
b Sacha, kijk eens wat beter naar de formule en werk de haakjes weg.
c De formule zonder haakjes schrijven geeft y x x x= + −2 20 5, oftewel y x= 0 5, en de grafiek
daarbij is een rechte lijn.
5-4 Kwadratische vergelijkingen
24a Invullen van r = 3 geeft A = × = × =6 3 6 9 542 .
b Dan moet gelden r2 4= . En dan is r = 2 .
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 130 11-04-2008 11:33:47
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄131
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
25a
x –3 –2 –1 0 1 2 3y 10 5 2 1 2 5 10
b
2 41 3
10
6
4
2
–1–3 –2 O 5x
y
y = x 2 + 1
–4–5
8
12
c Bij y = 5 horen x = −2 en x = 2 .
d Bij y = 10 horen x = −3 en x = 3 .
e Bij y = 1 hoort één waarde van x, namelijk x = 0 .
f Bij y = 0 hoort geen waarde van x, want de kleinste waarde hoort bij y = 1 .
26a x2 1 3− =
x2 4=
x = −2 of x = 2 b x2 1 1− = −
x2 0=
x = 0 c De horizontale lijn door y = −2 heeft geen snijpunten met de grafiek, want het laagste punt
van de grafiek is (0, –1), dus de vergelijking x2 1 2− = − heeft geen oplossingen.
27a
2 41 3
6
8
4
2
–6
–4
–2–1–3 –2 O 5
p
s
s = p 2 – 2
–4–5
b De vergelijking p2 4 5− = heeft twee oplossingen.
c De vergelijking p2 4 3− = − heeft twee oplossingen.
d De vergelijking p2 4 5− = − heeft geen oplossingen.
28a Dan moet gelden x2 49= .
b De vergelijking x2 1 48− = heeft de twee oplossingen x = −7 en x = 7 .
c Dan moet gelden x2 6= .
d De tweede oplossing is x = − 6 .
e Invullen van x = 6 geeft 6 1 6 1 52
− = − = en dat klopt.
Invullen van x = − 6 geeft ( )− − = − =6 1 6 1 52 en dat klopt.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 131 11-04-2008 11:33:56
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄132
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
29a x2 16=
x = 4 of x = −4
Invullen geeft 4 162 = en ( )− =4 162 en dat klopt.
b p2 1 10+ =
p2 9=
p = 3 of p = −3
Invullen geeft 3 1 9 1 102 + = + = en ( )− + = + =3 1 9 1 102 en dat klopt.
c a2 1 3− =
a2 4=
a = 2 of a = −2
Invullen geeft 2 1 4 1 32 − = − = en ( )− − = − =2 1 4 1 32 en dat klopt.
d x2 5 7+ =
x2 2=
x = 2 of x = − 2
Invullen geeft 2 5 2 5 72
+ = + = en ( )− + = + =2 5 2 5 72 en dat klopt.
e 50 2 02− =y
2 502y =
y2 25=
y = 5 of y = −5
Invullen geeft 50 2 5 50 2 25 02− × = − × = en 50 2 5 50 2 25 02− × − = − × =( ) en dat klopt.
f 1 152− = −y
y2 16=
y = 4 of y = −4
Invullen geeft 1 4 1 16 152− = − = − en 1 4 1 16 152− − = − = −( ) en dat klopt.
g 20 232+ =x
x2 3=
x = 3 of x = − 3
Invullen geeft 20 3 20 3 232
+ = + = en 20 3 20 3 232+ − = + =( ) en dat klopt.
h 5 32+ =x
x2 2= −
Dit kan niet. De vergelijking heeft geen oplossing.
i ( )x + =1 252
x + =1 5 of x + = −1 5
x = 4 of x = −6
Invullen geeft ( )4 1 5 252 2+ = = en ( ) ( )− + = − =6 1 5 252 2 en dat klopt.
j 8 2 102− = −k
2 182k =
k2 9=
k = 3 of k = −3
Invullen geeft 8 2 3 8 2 9 102− × = − × = − en 8 2 3 8 2 9 102− × − = − × = −( ) en dat klopt.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 132 11-04-2008 11:34:10
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄133
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
k ( )( )x x− + =3 3 16
x2 9 16− =
x2 25=
x = 5 of x = −5
Invullen geeft ( )( )5 3 5 3 2 8 16− + = × = en ( )( )− − − + = − × − =5 3 5 3 8 2 16 en dat klopt.
l ( )2 1 362x − =
2 1 6x − = of 2 1 6x − = −
2 7x = of 2 5x = −
x = 3 12 of x = −2 1
2
Invullen geeft ( ) ( )2 3 1 7 1 6 3612
2 2 2× − = − = = en ( ) ( ) ( )2 2 1 5 1 6 3612
2 2 2× − − = − − = − =
en dat klopt.
30a
1 2
6
4
2
–6
–4
–2–1 O
x
y
y = 4 – 2x 2
y = 2
–2
b Zie de tekening hierboven.
De coördinaten van de snijpunten van de twee grafieken zijn (–1, 2) en (1, 2).
c 4 2 22− =x
2 22x =
x2 1=
x = 1 of x = −1
De antwoorden kloppen met het antwoord bij opdracht b.
d Het hoogste punt van de grafiek bij de formule y x= −4 2 2 is het punt (0, 4).
De vergelijking 4 2 2− =x a heeft geen oplossingen als a groter dan 4 is.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 133 11-04-2008 11:34:17
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄134
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
5-5 Gemengde opdrachten
31a 90 2 012
2− =a
2 9012
2a =
a2 36=
a = 6 (of a = −6 )
Na 6 dagen zit er geen vitamine C meer in het pak.
b
a 0 1 2 3 4 5
p 90 87 1
2 80 67 1
2 50 27 1
2
c
2 41 3
30
40
20
10
00
5 6 7 8a
p
50
60
70
80
90
100
p = 90 – 2 1–2 a 2
d De grafiek snijdt de horizontale as in het punt (6, 0) en dat klopt.
32a x q= − −( )6 7
3 6q –7–1 –6q +7
x q= − +6 7
b v d d= − − −( )14 2
3 –14 –2d–d 14d +2d2
v d d= +14 2 2
c m q q q= −9 5 2 4( )
3 5q –2q4
9q 45q2 –18q5
m q q= −45 182 5
d b y= − +17 17 1( )
3 y +1–17 –17y –17
b y= − −17 17 17
b y= −17
e m e e e= + −5 3 4 2( )
3 4 –2e3e 12e –6e2
m e e e= + −5 12 6 2
m e e= −17 6 2
f k h h= − +( )( )3 4 4 1
3 4h +1
h3 4h4 +h3
–4 –16h –4
k h h h= + − −4 16 44 3
g k d d d= − +2 5 1 72( )
3 5d2 –12d 10d3 –2d
k d d d= − +10 2 73
k d d= +10 53
h p u u u= − + + −8 4 5 2 52 ( )( )
3 2u –5
4u 8u2 –20u
+5 +10u –25
p u u u= − + − −8 8 10 252 2
p u= − −10 25
33a a x x= + +( )( )2 2
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 134 11-04-2008 11:34:25
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄135
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
3 x +2
x x2 +2x
+2 +2x +4 a x x= + +2 4 4
b x= −( )3 2
3 x –3
x x2 –3x
–3 –3x +9 b x x= − +2 6 9
c x x= + −( )( )4 4
3 x –4
x x2 –4x
+4 +4x –16 c x= −2 16
d x x= − +( )( )11 11
3 x +11
x x2 +11x
–11 –11x –121 d x= −2 121
b De formules c x x= + −( )( )4 4 en d x x= − +( )( )11 11 kun je als een tweeterm schrijven.
c p a a= + −( )( )3 3
3 a –3
a a2 –3a
+3 +3a –9
p a= −2 9
q a a= + +( )( )15 15
3 a +15
a a2 +15a
+15 +15a +225
q a a= + +2 30 225
r a= −( )112 2
3 a –112
a a2 –112a
–112 –112a +12 544
r a a= − +2 224 12 544
s a a= − +( , )( , )11 2 11 2
3 a +11,2
a a2 +11,2a
–11,2 –11,2a –125,44
s a= −2 125 44,
De formules p a a= + −( )( )3 3 en s a a= − +( , )( , )11 2 11 2 kun je als een tweeterm
schrijven.
d De overeenkomst van alle vier moet zijn y x getal x getal= + −( )( ) .
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 135 11-04-2008 11:34:30
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄136
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
34a y x x= + −( )( )2 5 2 5
3 2x –5
2x 4x2 –10x
+5 +10x –25
y x= −4 252
b y x x= + +( )( )2 25 3
3 x2 +3
x2 x4 +3x2
+5 +5x2 +15
y x x= + +4 28 15 c y x x= − −( )( )2 47 7
3 x4 –7
x2 x6 –7x2
–7 –7x4 +49
y x x x= − − +6 4 27 7 49
d y x x x= + + −2 2 2 5( )( )
3 2x –5
x 2x2 –5x
+2 +4x –10
y x x x= + − −2 22 10
y x x= − −3 102
e y x x= + −( )( )3 4 2 7
3 2x –7
x3 2x4 –7x3
+4 +8x –28
y x x x= − + −2 7 8 284 3
f y x x x= − + −( )( )10 2 20 6
3 2x +20
x 2x2 +20x
–10 –20x –200
y x x= − −2 200 62
35a 99 101 100 1 100 1 100 1 10 000 1 99992 2× = − + = − = − =( )( ) b 33 27 30 3 30 3 30 3 900 9 8912 2× = + − = − = − =( )( ) c 88 112 100 12 100 12 100 12 10 000 1442 2× = − + = − = − =( )( ) 99856 d 999 1001 1000 1 1000 1 1000 1 1000 0002 2× = − + = − = −( )( ) 11 999 999=
36a x2 36=
x = 6 of x = −6
Invullen geeft 6 362 = en ( )− =6 362 en dat klopt.
b p2 1 24− =
p2 25=
p = 5 of p = −5
Invullen geeft 5 1 25 1 242 − = − = en ( )− − = − =5 1 25 1 242 en dat klopt.
c 3 52− =c
c2 2= −
Dit kan niet. De vergelijking heeft geen oplossing.
d ( )x + + =1 5 212
( )x + =1 162
x + =1 4 of x + = −1 4
x = 3 of x = −5
Invullen geeft ( )3 1 5 4 5 16 5 212 2+ + = + = + = en ( ) ( )− + + = − + = + =5 1 5 4 5 16 5 212 2
en dat klopt.
e 48 3 02− =e
3 482e =
e2 16=
e = 4 of e = −4
Invullen geeft 48 3 4 48 3 16 02− × = − × = en 48 3 4 48 3 16 02− × − = − × =( ) en dat klopt.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 136 11-04-2008 11:34:42
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄137
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
f ( )2 1 492a + =
2 1 7a + = of 2 1 7a + = −
2 6a = of 2 8a = −
a = 3 of a = −4
Invullen geeft ( ) ( )2 3 1 6 1 7 492 2 2× + = + = = en ( ) ( ) ( )2 4 1 8 1 7 492 2 2× − + = − + = − = en
dat klopt.
g 2 1 182( )+ =x
( )1 92+ =x
1 3+ =x of 1 3+ = −x
x = 2 of x = −4
Invullen geeft 2 1 2 2 3 2 9 182 2× + = × = × =( ) en 2 1 4 2 3 2 9 182 2× + − = × − = × =( ) ( ) en
dat klopt.
h 1 72+ =g
g2 6=
g = 6 of g = − 6
Invullen geeft 1 6 1 6 72
+ = + = en 1 6 1 6 72+ − = + =( ) en dat klopt.
i ( )x + =2 812
x + =2 9 of x + = −2 9
x = 7 of x = −11
Invullen geeft ( )7 2 9 812 2+ = = en ( ) ( )− + = − =11 2 9 812 2 en dat klopt.
j 2 3 212k + =
2 182k =
k2 9=
k = 3 of k = −3
Invullen geeft 2 3 3 2 9 3 18 3 212× + = × + = + = en 2 3 3 2 9 3 18 3 212× − + = × + = + =( )
en dat klopt.
k 2 3 502( )x + =
( )x + =3 252
x + =3 5 of x + = −3 5
x = 2 of x = −8
Invullen geeft 2 2 3 2 5 2 25 502 2× + = × = × =( ) en 2 8 3 2 5 2 25 502 2× − + = × − = × =( ) ( )
en dat klopt.
l 3 2 1 672+ − =( )x
( )2 1 642x − =
2 1 8x − = of 2 1 8x − = −
2 9x = of 2 7x = −
x = 4 12 of x = −3 1
2
Invullen geeft 3 2 4 1 3 9 1 3 8 3 64 6712
2 2 2+ × − = + − = + = + =( ) ( ) en
3 2 3 1 3 7 1 3 8 3 64 6712
2 2 2+ × − − = + − − = + − = + =( ) ( ) ( ) en dat klopt.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 137 11-04-2008 11:34:57
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄138
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
37a
2 41 3
6
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–1–3 –2 O 5x
y
y = 5 – 2x 2
y = –1 – 2x 2
–4–5
y = 3
b 5 2 32− =x
2 22x =
x2 1=
x = 1 of x = −1 c Zie de tekening hierboven.
De x-coördinaten van de twee snijpunten zijn x = −1 en x = 1 en dat klopt.
d De horizontale lijn door y = 7 heeft geen snijpunten met de grafiek, want het hoogste punt
van de grafiek is (0, 5), dus de vergelijking 5 2 72− =x heeft geen oplossingen.
e Zie de tekening hierboven.
Het hoogste punt van de grafiek is (0, –1), dus de vergelijking − − =1 2 02x heeft geen
oplossingen en de bijbehorende parabool snijdt de x-as nergens.
f Invullen van x = 2 en y = 2 geeft
2 2 22= − ×a
2 2 4= − ×a
2 8= −a
a = 10
Voor a = 10 gaat de parabool door het punt (2, 2).
38a/b
1 2
5
3
2
1
–1 Ox
y
a = 1
a = 2
–2
4
c Invullen van x = 12 en y = 3 geeft
3 4 12
2= − ×a ( )
3 4 14= − a
14 1a =
a = 4 d Als a een steeds groter getal wordt, dan wordt de vorm van de poorten steeds smaller.
e Bij a = −2 hoort de formule y x= +4 2 2 en de grafiek daarvan heeft niet de vorm van een
poort, maar de vorm van een dalparabool.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 138 11-04-2008 11:35:5
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄139
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
ICT Formules met dubbele haakjes
I-1a
2
x x 2 7x
2x 14
x 7
x + 7
x + 2
b A x x x= + + +2 2 7 14
A x x= + +2 9 14 c a r s s= + +2 5 32
b k n n= + +2 9 42
c y x x= + +10 9 22
d b v v= + +2 4 4
e h j j= + +4 14 122
f d c c= + +12 7 12
g z y y= + +0 2 10 6 302, ,
h p q q= + +14
2 4 12
I-2a
3 p +6
p p2 +6p
–2 –2p –12
b Samennemen van 6p en –2p geeft 4p.
c h p p= + −2 4 12
I-3a y x x= + +2 7 10 b k t t= + +2 1
26 10 c a n n= + −2 2 8 d m e e= − + −2 11 24 e q t t= − +6 19 4 8 22 , , f s c c= − +2 3 2 g p q q= − −2 7 152
h l m= −16 252
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 139 11-04-2008 11:35:12
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄140
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
I-4a y x x= + +( )( )2 5 82
3 x2 +8
2x 2x3 +16x
+5 +5x2 +40
y x x x= + + +2 5 16 403 2
De formule is niet kwadratisch.
b y x x= − +( )( )2 23 3
3 x2 +3
x2 x4 +3x2
–3 –3x2 –9
y x= −4 9
De formule is niet kwadratisch.
c y x x= + −( )( )2 4 43
3 x –4
2x3 2x4 –8x3
+4 +4x –16
y x x x= − + −2 8 4 164 3
De formule is niet kwadratisch.
d y x x x= + + − +3 8 42 ( )( )
3 –x +4
x –x2 +4x
+8 –8x +32
y x x x= − − +3 4 322 2
y x x= − +2 4 322
De formule is kwadratisch.
e y x x x= + + −2 3 2 6( )( )
3 2x –6
x 2x2 –6x
+3 +6x –18
y x x= + −2 22 18
y x= −3 182
De formule is kwadratisch.
f y x x x x= + − + +( )( ) ( )2 2 6 3 2 4
3 x –6
2x 2x2 –12x
+2 +2x –12
3 2x +4
3x 6x2 +12x
y x x x x= − − + +2 10 12 6 122 2
y x x= + −8 2 122
De formule is kwadratisch.
I-5a -
b De lijn x = 1 is de symmetrieas van de grafiek.
c De coördinaten van de top zijn (1, 1).
d De coördinaten van de snijpunten met de horizontale as zijn (0, 0) en (2, 0).
e y x x= − +2 2 f Ja, de twee grafieken vallen samen.
I-6a Je krijgt twee dalparabolen in beeld.
b De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de formule y x x= + −( )( )1 1 met de
horizontale as zijn (–1, 0) en (1, 0). De coördinaten van het snijpunt van de grafiek bij de
formule y x= 2 met de horizontale as zijn (0, 0).
c y x= −2 1 Ja, de grafiek bij deze korte formule valt samen met de grafiek bij de formule
y x x= + −( )( )1 1 .
d Je moet de grafiek bij de formule y x x= + −( )( )1 1 één naar boven verschuiven om de
grafiek bij de formule y x= 2 te krijgen.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 140 11-04-2008 11:35:18
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄141
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
I-7a Bij de bovenste parabool hoort de formule q p p= − +( )( )2 2 en bij de onderste parabool
hoort de formule q p= −1 2 .
b De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de formule q p p= − +( )( )2 2 met de
horizontale as zijn (–2, 0) en (2, 0). De coördinaten van de snijpunten van de grafiek bij de
formule q p= −1 2 met de horizontale as zijn (–1, 0) en (1, 0).
c q p= −4 2
d Je moet de grafiek bij de formule q p p= − +( )( )2 2 drie naar beneden verschuiven om de
grafiek bij de formule q p= −1 2 te krijgen.
Om de grafieken samen te laten vallen moet op de stippen dus het getal –3 staan.
I-8a Bij de grafiek op je scherm hoort de formule y x= 2 .
b Bij deze parabool hoort de formule y x= −2 1 .
c De grafiek snijdt de horizontale as in de punten (–1, 0) en (1, 0) en dat is ook het geval
bij de grafiek bij de formule y x x= − +( )( )1 1 . Verder krijg je als je in de formule
y x x= − +( )( )1 1 de haakjes wegwerkt de formule y x= −2 1 .
d y x= −2 4 en y x x= − +( )( )2 2
I-9a Je ziet nu de grafiek bij de formule y x= 2 2 op je scherm.
b Bij deze parabool hoort de formule y x= −2 22 .
c 2 2 02x − =
2 22x =
x2 1=
x = 1 of x = −1
Test jezelf
T-1a
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4y 10 3 –2 –5 –6 –5 –2 3 10
2 41 3
6
8
12
4
2
–2
–4
–6
–8
–1–3 –2 O 5x
y
–4–5
10
b Een grafiek als die uit opdracht a noem je een dalparabool.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 141 11-04-2008 11:35:25
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄142
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
T-2a 1 De coördinaten van de top zijn (0, 3) en het is een dalparabool.
2 De coördinaten van de top zijn (0, 0) en het is dalparabool.
3 De coördinaten van de top zijn (0, 23) en het is dalparabool.
4 De coördinaten van de top zijn (0, 3) en het is bergparabool.
5 De coördinaten van de top zijn (0, 3) en het is bergparabool.
6 De coördinaten van de top zijn (0, 29) en het is bergparabool.
b Bij formule A hoort parabool 2, bij formule B hoort parabool 3, bij formule C hoort
parabool 5, bij formule D hoort parabool 4, bij formule E hoort parabool 1 en bij
formule F hoort parabool 6.
T-3a t w= +4 2 1( )
3 2w +14 8w +4
t w= +8 4
b r n= −13 5( )
3 5 –n13 65 –13n
r n= −65 13
c k a= − − −9 6( )
3 –a –6–9 9a +54
k a= +9 54
d f b b= − +( )4 7
3 4b +7–b –4b2 –7
f b b= − −4 72
e p g g g= + +5 4 7( )
3 g +74g 4g2 +28g
p g g g= + +5 4 282
p g g= +4 332
f y x= − + −( )5 2 412
3 5 1
2 +2x
–1 −5 1
2 –2x
y x= − − −5 2 412
y x= − −9 212
g h c c c= + +4 2 3 9 2( )
3 3 +9c2
2c 6c +18c3
h c c c= + +4 6 18 3
h c c= +10 18 3
h q e e e= − + − −16 3 5 82 2 ( )
3 –5e –83e2 –15e3 –24e2
q e e e= − − −16 15 242 3 2
q e e= − −40 152 3
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 142 11-04-2008 11:35:31
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄143
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
T-4a q r r= − +( )( )1 10
3 r +10
r r2 +10r
–1 –r –10
q r r= + −2 9 10
b n x x= − −( )( )12 6
3 x –6x x2 –6x
− 1
2 − 1
2x
+3
n x x= − +2 126 3
c y e e= + −( )( )5 2
3 e –2
5 5e –10
+e +e2 –2e
y e e= + −2 3 10
d v h h= − −( )( )8 8
3 h –8
h h2 –8h
–8 –8h +64
v h h= − +2 16 64
e w t t t= + + +( , )( , ) ,2 8 3 5 4 2
3 t +3,5
t t2 +3,5t
+2,8 +2,8t +9,8
w t t t= + + +2 6 3 9 8 4 2, , ,
w t t= + +2 10 5 9 8, , f g b b= + −( )( )2 4 6 7
3 6b –7
b2 6b3 –7b2
+4 +24b –28
g b b b= − + −6 7 24 283 2
g d a a a a= + − + +( )( ) ( )3 4 2 4 2 2 8
3 2 –4a
3 6 –12a
+4a +8a –16a2
3 2 +8a2a 4a +16a2
d a a a a= − − + + +16 4 6 16 42 2
d = 6 h p k k= − −( )( )4 1 42 3
3 k3 –4
4k2 4k5 –16k2
–1 –k3 +4 p k k k= − − +4 16 45 3 2
T-5a a2 49 0− =
a2 49=
a = 7 of a = −7 b e2 3 0+ =
e2 3= −
Dit kan niet.
c ( )2 1 252y + =
2 1 5y + = of 2 1 5y + = −
2 4y = of 2 6y = −
y = 2 of y = −3
d 5 52− =d
d2 0=
d = 0 e 2 982x =
x2 49=
x = 7 of x = −7 f ( )( )k k− + =2 2 12
k2 4 12− =
k2 16=
k = 4 of k = −4
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 143 11-04-2008 11:35:43
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄144
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
T-6a
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4y 12 5 0 –3 –4 –3 0 5 12
b
2 41 3
6
8
14
4
2
–2
–4
–6
–1–3 –2 O 5x
y
–4–5
10
12
c De verticale as is de symmetrieas.
d (18, 320) ligt op de grafiek en dus (–18, 320) ook,
(20, 396) ligt op de grafiek en dus (–20, 396) ook
e De coördinaten van de top van de parabool zijn (0, –4).
f Het is een dalparabool.
g De coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as zijn (–2, 0) en (2, 0).
T-7a De oppervlakte van het vierkant is 10 3 10 = 100 cm2.
Elk van de vier kleine vierkantje heeft oppervlakte z 3 z = z2 cm2.
Voor de oppervlakte A in cm2 van deze figuur geldt dan A z= −100 4 2 .
b Bij de lengte van 10 cm komt links en rechts z cm bij.
Voor de lengte van die figuur geldt dan l z= +10 2 .
Voor de breedte geldt de formule b z= −10 2 .
c A z z= + −( )( )10 2 10 2 d
3 10 –2z
10 100 –20z
+2z +20z –4z2
A z= −100 4 2
Het blijkt dat de oppervlakte van figuur 4 gelijk is aan de oppervlakte van figuur 1.
Dat komt omdat figuur 4 uit figuur 1 ontstaat door te knippen te plakken.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 144 11-04-2008 11:35:45
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv
⁄145
Hoofdstuk 5 - Kwadratische formules
T-8a
2 41 3
6
8
4
2
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–1–3 –2 O 5x
y
–4–5
10
12
b 2 7 12x − =
2 82x =
x2 4=
x = 2 of x = −2
De oplossing klopt met de grafiek, want die snijdt de horizontale as in de punten met
x = −2 en x = 2 .
c De horizontale lijn door y = −11 heeft geen snijpunten met de grafiek, want het laagste punt
van de grafiek is (0, –7), dus de vergelijking 2 7 112x − = − heeft geen oplossingen.
Of:
Oplossen van de vergelijking 2 7 112x − = − geeft 2 42x = − , dus x2 2= − en een kwadraat
kan niet gelijk zijn aan een negatief getal.
0pm_MW9_VWO_2A-Uitw.indd 145 11-04-2008 11:35:49
© N
oord
hoff U
itgev
ers
bv
Moderne wiskunde 9e editie 2A vwo © Noordhoff Uitgevers bv