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Hyperbelfunktionen
Simone KoppRuprecht-Karls-Universität HeidelbergPS Analysis, WS 08/09Dozentin: PD Dr. Gudrun Thäter
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InhaltMotivationHyperbelfunktionenZusammenhangUmkehrfunktionenGeometrische Definition
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Bedeutung von Hyperbel
Griechisch: ὑπερβολή, hyperbolé –
die Übertreffung, Übertreibung, von altgriechisch hyperbállein -
übertreffen
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AnwendungSpinnwebenKettenlinie:
◦Griechische Tempelsäulen◦Hochspannungsleitungen◦Stahlseile
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Kettenlinie
Homogenes Seil hängt wegen Eigenlast durch und beschreibt eine Kosinus-Hyperbolicus Funktion
Kettenlinie = Seilkurve
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Kettenlinie
y -Achse
x -Achse
a
a = positive Konstante
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Hyperbelfunktionen
◦Kosinus Hyperbolicus (cosh)◦Sinus Hyperbolicus (sinh)◦Tangens Hyperbolicus (tanh)◦Cotangens Hyperbolicus (coth)
◦Sekans Hyperbolicus (sech)◦Kosekans Hyperbolicus (csch)
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Kosinus Hyperbolicus
Gerade Funktion f(x)=f(-x)
Def.bereich:– ∞ < x < +∞
Wertebereich: 1≤ f(x) < +∞
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Sinus Hyperbolicus
Ungerade Funktion f(x)=-f(-x)
Def.bereich:– ∞ < x < +∞
Wertebereich:– ∞ < f(x) < +∞
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Tangens Hyperbolicus
Def.bereich:– ∞ < x < +∞
Wertebereich:– 1 < f(x) < +1
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Cotangens Hyperbolicus
Def.bereich:– ∞ < x < +∞ ;x ≠ 0
Wertebereich:– ∞ < f(x) < – 1 ;1 < f(x) < + ∞
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Zusammenhang
Additionstheoreme:
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ZusammenhangDifferentiationsformeln:
◦
◦
◦
◦
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Zusammenhang
Viele Übereinstimmungen zu Sinus und Kosinus, usw Name: Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus, usw
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Umkehrfunktionenwerden Areafunktionen genannt
(lat. area –Fläche)
◦Area Kosinus Hyperbolicus (arcosh)◦Area Sinus Hyperbolicus (arsinh)◦Area Tangens Hyperbolicus (artanh)◦Area Cotangens Hyberbolicus
(arcoth)
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Umkehrfunktionen
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Umkehrfunktionen
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Einheitshyperbel/Einheitskreis
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Geometrische Definition
tanh(a)
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Einheitshyperbel
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Einheitshyperbel
sin, cos, tansinh, cosh, tanh
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Einheitshyperbel
sin, cos, tansinh, cosh, tanh
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Einheitshyperbel
sin, cos, tansinh, cosh, tanh
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Einheitshyperbel
sin, cos, tansinh, cosh, tanh
![Page 25: Hyperbelfunktionen Simone Kopp Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg PS Analysis, WS 08/09 Dozentin: PD Dr. Gudrun Thäter](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062223/55204d7349795902118c8623/html5/thumbnails/25.jpg)
Einheitshyperbel- sinh & coshsinhcoshArgument
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