Download - I 4. Conductori
Bazele fizice ale electromagnetismului
I. 4. CÂMPUL ELECTROSTATIC ÎN PREZENŢA
CONDUCTORILOR
4. a. Intensitatea câmpului electric, potenţialul şi distribuţia de sarcină în
conductorii aflaţi la echilibrul electrostatic.
4. b. Câmpul electric în interiorul unei cavităţi dintr-un conductor aflat în
echilibrul electrostatic.
4. c. Câmpul electric în vecinătatea şi pe suprafaţa unui conductor aflat la
echilibrul electrostatic.
4. d. Dependenţa densităţii de sarcină de curbura suprafeţei conductorului.
Scurgerea sarcinilor electrice prin vârfuri.
4. e. Influenţa electrostatică.
4. f. Problema fundamentală a electrostaticii.
4. g. Aplicaţii.
4. a. Intensitatea câmpului electric, potenţialul şi distribuţia de sarcină
După cum se ştie, dacă printr-un proces oarecare (de exemplu prin
introducerea în câmp electric extern), într-o anumită regiune a unui corp,
apare o cantitate de electricitate se pot întâmpla două lucruri:
a) sarcina electrică rămâne în regiunea unde a fost produsă;
b) sarcina electrică se distribuie şi pe alte regiuni.
Corpurile din grupa a) se numesc izolatori sau dielectrici iar corpurile din
grupa b) conducători.
60
Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor
Cei mai buni conductori sunt metalele. Metalele sunt alcătuite din
ioni pozitivi, aşezaţi în nodurile reţelei cristaline, şi din electroni ce se pot
mişca liberi în interiorul metalului. Într-o regiune de pe un metal, poate
apărea o anumită cantitate de electricitate, dacă în acea regiune se află mai
mulţi sau mai puţini electroni decât cei ce sunt necesari menţinerii
neutralităţii electrice.
Un conductor este în echilibru electrostatic dacă, la nivel
macroscopic, sarcinile electrice ce se află pe el sunt în repaus. Acest lucru se
poate realiza numai dacă asupra sarcinii electrice macroscopice, din fiecare
punct, nu acţionează nici o forţă care s-o deplaseze.
Dacă forţa F = 0, înseamnă că în orice punct din interiorul unui
conductor câmpul electric este nul:
(I.52)
Din legea lui Gauss (vezi formula I.29), rezultă că:
(I.53)
În interiorul unui conductor aflat la echilibru electrostatic densitatea
volumică de sarcină este nulă.
+ + + + ++
- - - - - -
E
61
Bazele fizice ale electromagnetismului
Fig. 39 Conductor aflat la echilibru electrostatic
Din relaţia ce există între câmpul electric şi potenţial (vezi formula
I.49) rezultă:
(I.54)
În interiorul unui conductor aflat la echilibru electrostatic potenţialul
electric este constant.
Deoarece sarcina electrică nu se poate distribui în interiorul unui
conductor aflat la echilibru electrostatic ea se va distribui la suprafaţa
acestuia sub forma unei distribuţii superficiale de sarcină (în realitate un
strat cu grosimea de câteva diametre atomice).
4. b. Câmpul electric în interiorul unei cavităţi dintr-un conductor aflat în
echilibrul electrostatic
Fie o cavitate în interiorul unui conductor aflat la echilibru
electrostatic. Presupunem ca în interiorul cavităţii, din interiorul
conductorului, nu există sarcini electrice.
Fig. 40 Cavitate în interiorul unui conductor
E=0
E
+
++++
+
-
-
-
-
-
62
Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor
Vrem să vedem care este câmpul electric şi potenţialul în interiorul
acestei cavităţi. Deoarece potenţialul electric este o funcţie continuă (vezi
paragraful I.3.e.), potenţialul suprafeţei interioare coincide cu potenţialul din
interiorul conductorului şi deci este acelaşi în orice punct. Să presupunem
că, într-un punct P, din interiorul cavităţii, potenţialul electric prezintă un
maxim. După cum am arătat în paragraful I.3.e., liniile de câmp electric
sunt îndreptate de la zona cu potenţial mai mare spre zonele cu potenţial mai
mic. Deoarece punctul P este un punct de maxim, rezultă că toate liniile de
câmp pleacă din punctul P. În aceste condiţii, fluxul electric printr-o
suprafaţă gaussiană ce înconjoară punctul este pozitiv. Conform legii lui
Gauss rezultă că în acel punct ar trebui să existe o sarcină electrică pozitivă.
Deoarece am presupus că în interiorul cavităţii nu există sarcini electrice,
rezultă că ipoteza existenţei unui maxim al potenţialului electric în interiorul
cavităţii este falsă. În mod analog se poate arăta că, ipoteza existenţei unui
minim de potenţial într-un punct din interiorul cavităţii duce la o
contradicţie cu ipoteza inexistenţei sarcinii electrice în cavitate. Deoarece
potenţialul electric este o funcţie continuă, rezultă că potenţialul electric este
constant în interiorul cavităţii şi egal cu potenţialul din interiorul
conductorului:
(I.55)
Conform cu relaţia I.49 de legătură dintre intensitatea câmpului
electric şi potenţial, ţinând cont că potenţialul este constant în interiorul
cavităţii, rezultă că intensitatea câmpului electric în interiorul acesteia este
nulă:
(I.56)Deoarece derivata potenţialului electric la suprafaţa de separaţie
metal-cavitate este nulă pe orice direcţie rezultă că densitatea de sarcină electrică pe suprafaţa interioară este zero:
63
Bazele fizice ale electromagnetismului
(I.57)
4. c. Câmpul electric în vecinătatea şi pe suprafaţa unui conductor aflat la
echilibrul electrostatic.
Fie o porţiune infinitezimală ds de la suprafaţa unui conductor aflat
la echilibru electrostatic. Gaussiana ce conţine suprafaţa elementară ds se
află în interiorul şi exteriorul conductorului ca în fig. 41.
Fig. 41 Câmpul electric în imediata vecinătate a unei suprafeţe conductoare
Presupunem că partea exterioară, a gaussienei ∑, este un cilindru
drept a cărui înălţime h este mult mai mică decât dimensiunea liniară a
bazei, l (se spune că h este un infinit mic de ordin superior în raport cu l). În
aceste condiţii, liniile de câmp electric trec practic numai prin baza ds’ a
cilindrului.
Fluxul electric prin gaussiana Σ este:
SO
B∑
A A’
dS
dS’
Mi
M Me
B’σ
neE
64
Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor
şi este dat de componenta normală la suprafaţa conductorului a intensităţii
câmpului electric din imediata vecinătate a suprafeţei conductorului:
Pentru a afla componenta tangenţială a intensităţii câmpului electric
din imediata vecinătate a suprafeţei să considerăm curba din fig. 42.
Fig. 42 Circulaţia câmpului electric la suprafaţa conductorului
Circulaţia câmpului electric pe curba Γ, în conformitate cu formula
I.33, trebuie să fie nulă. Presupunând latura AD mult mai mică decât latura
AB, rezultă că:
Din ecuaţia precedentă, deoarece AB 0, rezultă:
Deci câmpul electric din imediata vecinătate a conductorului este
normal pe suprafaţa acestuia. Acest lucru se poate exprima vectorial prin
relaţia:
A
D
B
CΓ
neE
65
Bazele fizice ale electromagnetismului
(I.58)
Sarcinile electrice de pe suprafaţa conductorului se află sub influenţa
câmpului electric ce există chiar pe suprafaţa acestuia. Pentru a afla câmpul
electric de pe suprafaţa conductorului vom proceda astfel:
Fie elementul ds de pe suprafaţa conductorului (vezi fig. 43).
Câmpul creat de acest element de suprafaţă în imediata vecinătate a lui
(distanţa suprafaţă - punctul unde se calculează câmpul este mult mai mică
decât dimensiunile liniare ale lui ds) este egală cu Eds.
Fig. 43 Calculul câmpului electric la suprafaţa unui conductor
Restul suprafeţei conductorului va crea un câmp electric E1. Câmpul
electric total în punctul Me este:
În conformitate cu relaţia I.58., rezultă că:
E1
Mi
Me
MdS
+ +
1E
66
Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor
În punctul interior Mi câmpul electric este nul:
Din ultimele două relaţii rezultă că:
(I.59)
4. d. Dependenţa densităţii de sarcină de curbura suprafeţei conductorului.
Scurgerea sarcinilor electrice prin vârfuri.
Fie două sfere, de raze R1 şi R2, încărcate electric, legate printr-un fir
metalic lung, ca în figura 44.
Fig. 44. Sistem de două sfere conductoare aflate la acelaşi potenţial.
Deoarece potenţialul celor două conductoare este acelaşi rezultă:
şi deci:
(I.60)
Σ1Σ2
Q1
S1
O1
C1
R1
σ1
V
V
S2
C2
Q2
O2
R2
σ2
67
Bazele fizice ale electromagnetismului
Cu alte cuvinte, densitatea de sarcină electrică de pe un conductor
aflat la echilibru electrostatic este invers proporţională cu raza de curbură a
conductorului în punctul dat. Din acest motiv intensitatea câmpului electric
este mare pe vârfurile ascuţite.
Aerul din vecinătatea vârfului unui conductor încărcat electric
conţine sarcini electrice (ioni şi electroni). Aşa cum se vede din fig.45,
electronii sunt atraşi, iar ionii sunt respinşi. Electronul ce soseşte pe
suprafaţa vârfului, sub influenţa forţei transferă vârfului un impuls egal
şi de sens contrar celui căpătat de sarcinile pozitive sub influenţa forţei
. Ca rezultat al compunerii celor două impulsuri, impulsul total al
vârfului nu se modifică. Nu acelaşi lucru se întâmplă în urma interacţiunii
cu sarcinile de acelaşi fel.
Fig. 45 Interacţiunea sarcinilor electrice din aer cu vârful conductor
Sub influenţa forţei ionii se deplasează dinspre vârf. Vârful, sub
influenţa forţei , capătă un impuls în sens contrar. În urma sosirii
electronilor pe vârful conductor sarcina totală a conductorului se
micşorează. Acest fenomen se numeşte scurgerea sarcinilor electrice prin
vârfuri.
)(F
)(F
E
+ + + ++
)(F
)(F
68
Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor
O demonstraţie efectivă a apariţiei „forţei reactive” se poate face cu
ajutorul „moriştii electrostatice” prezentată în fig. 46.
Fig. 46 Morişca electrostatică
4. e. Influenţa electrostatică
Fie două conductoare electrice, C1 şi C2, aflate la potenţiale electrice
diferite. Să presupunem că liniile de câmp electric pleacă de pe suprafaţa
elementară ds1 şi ajung pe suprafaţa elementară ds2 (vezi fig. 47).
F
F
69
Bazele fizice ale electromagnetismului
Fig. 47 Suprafeţe elementare corespondente
Cele două elemente de suprafaţă ds1 şi ds2,care se află la capetele
unui tub de linii de câmp, se numesc elemente de suprafaţă corespondente.
Fie o suprafaţă gaussiană, Σ, ce este formată din suprafaţa laterală a
tubului de linii de câmp şi din două suprafeţe aflate în interiorul celor doi
conductori. În conformitate cu legea lui Gauss, rezultă:
(I.61)
Relaţia (I.61) se numeşte legea elementelor corespondente şi se
enunţă astfel: sarcinile electrice de pe două elemente corespondente sunt
egale în modul dar de semne contrarii.
Dacă două sau mai multe conductoare, aflate iniţial la distanţă foarte
mare unul de altul, sunt apropiate, distribuţia sarcinilor electrice pe acestea
se modifică. Acest fenomen se numeşte influenţă electrică.
Pe baza fenomenului de influenţă electrică se pot încărca cu
electricitate corpurile conductoare aflate la potenţial constant.
Fie sistemul de conductori din fig. 48.
C1
V1
A1
B1
∑1
V2
C2
A2
B2
∑2
T
dS2dS1
+dq-dq
+ + + + + ++
+
+
+
++ ----- - -
--
- - ---
--
++++
--- - -- -
70
Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor
Fig. 48 Încărcare prin influenţă a unui conductor
Corpul A este încărcat electric şi izolat. Corpul B este iniţial neutru şi
legat la pământ. Deoarece corpul A este încărcat cu sarcină electrică
pozitivă, o parte din liniile de câmp electric de pe corpul A vor ajunge pe
corpul B. În conformitate cu legea elementelor corespondente, pe corpul B
vor apărea sarcini electrice negative ce sunt atrase din pământ. Izolând
corpul B el va rămâne cu sarcină electrică efectivă negativă.
Dacă unul din conductorii ce se influenţează îl înconjoară complet
pe celălalt (vezi fig. 49) atunci toate liniile de câmp ce pleacă de pe
conductorul interior ajung pe cel exterior.
-Qb b’
B
+Q
a’ a
A
+Q0
- --- - -
+
+
++ + + +
+
++
++
+
++
+
++
++
+
+++
+++++
71
Bazele fizice ale electromagnetismului
Fig. 49 Influenţa totală între doi conductori
În conformitate cu legea elementelor corespondente, sarcina electrică
de pe suprafaţa interioară a conductorului extern este egală cu sarcina de pe
conductorul intern:
Acest fenomen se numeşte influenţă totală.
Pe baza fenomenului de influenţă totală se bazează funcţionarea
ecranelor electrice (vezi figura 50).
+Q0
AVA
-Qi
Si
Se
VB
B
+Qe
72
Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor
Fig. 50 Ecran electric
În exteriorul corpului B, câmpul electric rămâne tot timpul nul,
corpul C nu resimte influenţa sarcinii de pe corpul A. Dacă corpul C este
încărcat electric, deoarece în masa conductorului câmpul este mereu nul,
corpul A nu resimte influenţa acestei sarcini. Deci corpul B separă, din punct
de vedere al influenţei electrice spaţiul interior lui de cel exterior. Datorită
acestei proprietăţi corpul B se numeşte ecran electric.
4. f. Problema fundamentală a electrostaticii
În practica electronicii şi electrotehnicii se folosesc sisteme de
conductori aflate la diferite potenţiale electrice constante. În aceste condiţii
se doreşte să se afle potenţialul şi câmpul electric în diferite puncte din
spaţiu. Fie sistemul de conductori din figura 51.
A
C
B
Se
Si
-Q0
+Q0
73
Bazele fizice ale electromagnetismului
Fig. 51- Sistem de conductori aflaţi la potenţiale constante
Pentru a afla potenţialul electric într-un punct exterior conductorilor,
trebuie rezolvată ecuaţia Laplace (I.51).
Găsirea soluţiilor care îndeplinesc ecuaţia Laplace cu condiţiile la
suprafaţa conductorilor date poartă denumirea de problema fundamentală
a electrostaticii.
Din punct de vedere fizic este evident că această problemă are cel
puţin o soluţie deoarece în afara conductorilor trebuie să existe un anumit
câmp electric. Se pune întrebarea dacă această problemă are o soluţie sau
mai multe.
Presupunem că (x,y,z) este o soluţie şi Ψ(x,y,z) este o altă soluţie
care îndeplineşte aceleaşi condiţii la limită. Deoarece ecuaţia lui Laplace
este liniară, orice combinare a celor două soluţii este şi ea o soluţie. Deci şi
funcţia:
Q1C1
Ci
CnQn
Qi Q2C2
V1V2
Vn
Vi
74
Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor
este şi ea o soluţie a problemei. Dar, deoarece pe suprafaţa unui conductor
de potenţial Vi 0,
rezultă că, pe această suprafaţă,
ceea ce vine în contradicţie cu condiţia la limită dată. Deci soluţia problemei
este unică.
Fie un ansamblu de conductoare aflate într-o stare de echilibru
electrostatic ca în fig. 52.
Fig. 52 Potenţialul într-un punct P al unui sistem de conductori
Pentru o stare de echilibru cu distribuţiile de sarcină superficială
σ1,σ2,…,σn, potenţialul produs în punctul P de sarcina de pe suprafaţa ds1 va
fi:
C1
C2
Cn
P
r1dS1
σ1
σn
σ2
75
Bazele fizice ale electromagnetismului
potenţialul total în punctul P este suma potenţialelor produse de toate
sarcinile:
Fie o altă stare de echilibru cu distribuţiile de sarcină electrică
superficială σ1’,σ2
’,…,σn’. Potenţialul punctului P va fi:
Pentru starea de echilibru cu distribuţiile de sarcină electrică
superficială
σ01 = σ1+σ1’ ,σ02 = σ2+σ2
’,…,σon = σn+σn’, potenţialul punctului P este:
Se constată că starea finală este suprapunerea celor două stări de
echilibru iniţiale. Acest lucru rămâne valabil şi în general, putând scrie,
pentru starea cu distribuţia de sarcină:
cu i = 1,2,3,.., n că:
(I.62)
Formula (I.62) se numeşte legea suprapunerii stărilor de echilibru
electrostatic. Sarcina electrică de pe fiecare conductor în starea finală este
dată de relaţia:
76
Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor
În cuvinte, legea suprapunerii stărilor de echilibru se enunţă astfel: în
cazul unui sistem de conductoare în repaus, prin suprapunerea a două sau a
mai multor stări de echilibru, se obţine o nouă stare de echilibru. În fiecare
punct din spaţiu aflat în conductoare sau în afara acestora, densităţile de
sarcini, potenţialele şi sarcinile sunt egale cu suma algebrică a celor
corespunzătoare stărilor suprapuse.
4. g. Aplicaţii
Problema 4. 1.
O sarcină punctuală q este situată la distanţa d de un conductor
infinit care ocupă semispaţiu din stânga. Să se determine intensitatea
câmpului electric într-un punct oarecare din semispaţiu din dreapta şi
densitatea sarcinilor induse de sarcina q pe suprafaţa conductorului.
Considerăm nul potenţialul conductorului. Să presupunem că
înlăturăm conductorul, dar pe prelungirea perpendicularei coborâtă din q pe
suprafaţa conductorului aducem, la aceeaşi distanţă d de suprafaţa lui, o
sarcină q’ = - q.
d dqq’
P
n
'r
r
77
Bazele fizice ale electromagnetismului
Fig. 53 Referitor la problema 4. 1
În consecinţă, pentru domeniul D, constituit de semispaţiul din
dreapta şi numai pentru el, avem o perfectă identitate în privinţa datelor
problemelor în ambele situaţii: sarcina q în prezenţa planului conductor şi
sarcinile q şi q’ în absenţa conductorului. În ambele cazuri, planul ce
constituie suprafaţa conductorului, va avea tot potenţialul nul, deoarece
potenţialele create de cele două sarcini vor fi egale şi de semn opus în
punctele lui. Conform teoremei unicităţii, câmpul în domeniul D este univoc
determinat de distribuţia sarcinilor şi de condiţiile de frontieră. Or, în cele
două situaţii precedente, în semispaţiul din dreapta, distribuţia sarcinilor este
aceeaşi şi condiţiile de frontieră sunt aceleaşi.
Deci, în loc de a rezolva problema “sarcina q în prezenţa planului
conductor”, rezolvăm problema “sarcinile q şi q’ ”, care este mai simplă.
Pentru un punct oarecare P, cu notaţiile din fig. 53 avem:
Dacă este versorul normalei pe plan, atunci :
Densitatea sarcinii electrice σ în punctul considerat se deduce din
expresia:
valabilă pentru suprafaţa unui conductor. Deci:
78
Câmpul electrostatic în prezenţa conductorilor
Metoda folosită pentru rezolvarea acestei probleme se numeşte
metoda imaginilor electrice şi este foarte folosită în electrostatică.
79