I poliedri
Abbiamo visto che i solidi si suddividono in…
• Poliedri, se la sua superficie è formata esclusivamente da poligoni
• Solidi a superficie curva se, la sua superficie è parzialmente curva
Poliedri regolari
• Un poliedro è regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari e congruenti e tutti i diedri e gli angoloidi sono congruenti fra loro
• I Poliedri regolari sono solo cinque e prendono il nome di solidi platonici
I poliedri non regolariI prismi e le piramidi
Un prisma è
• Un poliedro costituito da due poligoni congruenti, posti su piani paralleli, e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due poligoni di base
• I poligoni di base danno il nome al prisma
Riconosci i prismi
Le parti di un prisma
Faccia laterale
Base
Spigolo di base
Spigolo laterale
Altezza
•L’insieme delle facce laterali del prisma prende il nome di SUPERFICIE LATERALE•L’insieme delle superficie di base del solido prende il nome di Superficie di base Sb•L’insieme di tutte le facce del prisma laterale e di base prende il nome di SUPERFICIE TOTALE
Diagonale
• Prisma obliquo: se tutte le facce laterali sono parallelogrammi e
l’altezza non coincide con uno degli spigoli
• Prisma retto: se tutte le facce laterali sono perpendicolari alle basi e
l’altezza coincide con uno degli spigoli
• Prisma regolare: se è retto e le basi sono poligoni regolari (le facce
laterali sono rettangoli uguali fra loro).
Per visualizzare la superficie di un solido si ricorre ad una
operazione chiamata “sviluppo sul piano del solido” e ci
permette di
capire come si calcola la misura dell’area di un solido
Lo sviluppo di un solido è la superficie che si ottiene
riportando su un piano le facce che lo compongono.
Lo sviluppo di un solido consiste
nel distendere su una superficie piana tutte le facce,
laterali e di base, del solido.
La superficie di un solido
Osservando lo sviluppo sul piano del
prisma ci accorgiamo che la superficie
laterale del prisma coincide con il
rettangolo ABCD.
Questo rettangolo ha la base AB
congruente al perimetro di base del
prisma e l’altezza AD congruente
all’altezza del prisma.
Superficie laterale e totale dei prismi
A
C
B
D
In definitiva la superficie laterale del prisma si ottiene
moltiplicando il perimetro del poligono di base del
prisma per l’altezza:
Sl = p x h P= Sl : h h = Sl : p
P.s. ricorda dire superficie o dire Area è la stessa
cosa
Superficie totale
La superficie totale è data dalla somma della superficie laterale e dell’area delle due basi:
St = Sl + 2Ab
Formule inverse
Sl = St – 2Ab Ab = St - Sl
Esempio • un prisma retto ha per base un rettangolo le cui dimensioni
misurano 4 cm e 7 cm. Sapendo che l’altezza del prisma misura 20 cm, calcolane l’area della superficie laterale e totale
AB = A’B’= 7cm
BC = B’C’ = 4cm
BB’ = 20 cm
Sl = p x h =
P b = (AB + BC) x 2 = (7+4) x 2 = 22 cm
Sl = 22 x 20 = 440 cm2
St = Sl + 2 x Ab =
Ab = b x h = 7 x4 = 28 cm2
St = 440 + 2 x 28 = 496 cm2
Il volume dei prismi
• Per comprendere la formula che ci permette di calcolare il volume di un prisma, consideriamo il caso di un parallelepipedo rettangolo avente le dimensioni di base di 4 cm e 6 cm e l’altezza di 5 cm. Scegliamo come unità di misura il cm3, calcolare il volume del parallelepipedo significa trovare quanti cubetti con lo spigolo da 1 cm3, esso può contenere.
= 1 cm3
6 cm4 cm
5 cm
6 cm 4 cm 5 cm x = 24 cm x = 120cm3
In definitiva e in generale per calcolare il volume di un prisma basta calcolare l’area del poligono di base (rettangolo rosa) e moltiplicarla per l’altezza del prisma V = Abase ∙ h da cui Abase = V / h h = V/ A base
Avvertimento !!!!!
• Quando devi trovare il Volume dei solidi ricordati che devi stare attento all’unità di misura
Se V è in Allora P è in E Ps è in
dm3 Kg Kg/dm3
cm3 g g/cm3
m3 t t/m3
• Il rapporto tra peso e volume di una sostanza prende il nome di peso specifico (ps)
• Quindi Ps = P/V
• Dalle formule inverse P = Ps x V
• V = P / Ps
• Quindi il volume di un corpo si può ricavare dal peso specifico della sostanza
Un prisma particolare Il parallelepipedo
È un prisma retto le cui basi sono dei
parallelogrammi.
Ovviamente anche le facce saranno dei
parallelogrammi
Nel parallelepipedo retto le diagonali sono
quattro e si incontrano in un punto O
che li divide a metà
In generale per il calcolo dell’Area
laterale e totale del parallelepipedo
valgono le stesse formule dei prismi
A
E
D
F
I G
B
C
O
il parallelepipedo rettangolo
Se i poligoni di base sono dei
rettangoli abbiamo il parallelepipedo
rettangolo, tutte e 6 le facce sono
quindi dei rettangoli a due a due
congruenti e paralleli. I tre spigoli
che escono da uno stesso vertice si
chiamano dimensioni del
parallelepipedo e sono lunghezza
larghezza e altezza
V = a ∙ b ∙ c
a = V / b∙c
b = V / a∙c
c = V / a ∙b
ab
c
Slaterale = Abase ∙ 4 = l2 ∙ 4
l =
Stotale = Abase ∙ 6 = l2 ∙ 6
l =
Il cubo è un particolare
parallelepipedo rettangolo
avente le tre dimensioni
congruenti
Nel caso del cubo, poiché le facce
sono quadrati congruenti sarà
sufficiente trovare l’area di una
faccia e moltiplicarla per 4 per
avere l’area della superficie
laterale e per 6 per avere l’area
della superficie totale
Misura della diagonale di un parallelepipedo retto
Nel parallelepipedo rettangolo vi sono 4
diagonali congruenti.
C
A
E
D
F
I G
Ba
b
cConsideriamo una diagonale e osserviamo il
triangolo ACG. Poiché si tratta di un triangolo
rettangolo e la diagonale è ipotenusa del
triangolo, possiamo applicare il teorema di
Pitagora.
diagonale =
Ma, poiché AC, diagonale del rettangolo di
base, è ipotenusa del triangolo rettangolo ABC,
AC =
AC2 + CG2
AB2 + BC2
In definitiva la diagonale
del parallelepipedo è ….
AB2 + BC2 + CG2
Poiché il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo possiamo applicare la stessa formula.
Ma nel cubo le tre dimensioni sono uguali, allora
Perché? Riflettiamoci insieme
d = l ∙
La diagonale nel cubo
3
AB2 + BC2 + CG2
l = d / 3 l2 + l2 + l2 l2 ∙ 3 = =
Esercizio
• Calcola la misura della diagonale di un parallelepipedo sapendo che le dimensione di base sono 12 cm e 16 cm e l’altezza è di 21 cm
• (29 cm)
• La diagonale di un parallelepipedo rettangolo misura 10 cm mentre le dimensioni di base sono 3,6 cm e 4,8 cm. Determina la misura dell’altezza del prisma
La piramide
Si dice piramide un poliedro limitato da un poligono qualunque, detto base, e da tanti
triangoli quanti sono i lati del poligono, aventi tutti
un vertice comune.
Una piramide prende il nome dal numero di lati del poligono di base.
PIRAMIDE TRIANGOLARE
PIRAMIDE QUADRANGOLARE
PIRAMIDE PENTAGONALE
faccialaterale
Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile a una circonferenza, il cui centro coincide con il piede dell’altezza.
Una piramide si dice regolare se è retta e se ha per base
un poligono regolare.
QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO
PENTAGONOREGOLARE
Il solido P è una piramide quadrangolare regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base.
Le sue facce laterali sono quattro triangoli T isosceli congruenti, la sua base è un quadrato Q.
• Quante sono le facce laterali di una piramide regolare esagonale? …….
Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati? ……………………..
6
isoscele
In una piramide retta le facce triangolari laterali hanno tutti la stessa altezza, che prende il nome di apotema
ATTENZIONE!!!! Non confondere l’apotema della piramide con l’apotema del poligono di base che coincide con il raggio della circonferenza
Come avrai notato l’apotema di una
piramide coincide con l’ipotenusa di
un triangolo rettangolo che ha come
cateti l’altezza della piramide e il
raggio della circonferenza inscritta
nel poligono.
POSSIAMO ALLORA RICORRERE AL
TEOREMA DI PITAGORA PER
TROVARE I TRE SEGMENTI?
LO HAI NOTATO?!!!!?
apotema
altezzaraggio
• Trova l’apotema di una piramide reqolare quadrangolare, che
ha l’altezza di 12 cm e il raggio di 3,5 cm. (12,5 cm)
• Trova lo spigolo di base di una piramide regolare triangolare
alta 60 cm e con l’apotema di 61 cm (22 cm)
• Una piramide retta a base quadrata ha lo spigolo di base di 16
cm e l’apotema di 15 cm. Trova la lunghezza dello spigolo
laterale. (17 cm)
Osservando lo sviluppo sul piano di una piramide regolare si nota che la superficie
laterale è formato da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono di base.
Questi triangoli, hanno tutti la stessa altezza (apotema della piramide).
Questi triangoli sono equivalenti a un unico triangolo che ha per base il perimetro del
poligono di base e per altezza l’apotema della piramide.
Poiché l’area del triangolo è
A = (b ∙ h) : 2
la superficie laterale è
Sl = (2p ∙ a) : 2
da cui
2p = (2 ∙ Sl) : a a = (2 ∙ Sl ) : 2p
La superficie totale si trova come nei prismi
Il volume della piramide
Per capire come si calcola il volume della piramide possiamo ricorrere ad un
esperimento.
Costruiamo una piramide e un prisma con lo stesso poligono di base e la stessa altezza.
Riempiamo la piramide di sabbia e versiamola nel prisma.
Che cosa noti?
Poiché il volume del prisma si ottiene
V = Abase ∙ h
Il volume della piramide è
V = (Abase ∙ h) : 3