Download - Ignacio CascosDepto. Estadística, Universidad Carlos III1 Distribuciones habituales Tema 5
Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1
Distribuciones habituales
Tema 5
Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 2
Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Objetivos Adquirir soltura con el manejo de funciones
de distribución, probabilidad y densidad. Reconocer los modelos básicos de
distribución: Binomial, Geométrica, etc. Reconocer el papel central que juega la
distribución Normal. Aplicar con soltura el Teorema Central del
Límite.
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Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Distribución de BernoulliUna variable aleatoria que describe el número de
éxitos en 1 realización de un experimento, en el
que la probabilidad de éxito es p decimos que
sigue distribución de Bernoulli de parámetro p.
X ~ B(1, p)
X“número de éxitos en 1 realización”
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Distribución de Bernoulli Función de probabilidad:
P(X = 1) = p ; P(X = 0) = 1p
Función de distribución:
Parámetros: E[X] = p ; Var[X] = p(1p)
11
101
00
)(
xsi
xsip
xsi
xF
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Distribución de Bernoulli
0 1
Bernoulli(0'8)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Bernoulli(0'8)
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Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Distribución BinomialUna variable aleatoria que describe el número de
éxitos en n realizaciones independientes de un
experimento, en el que la probabilidad de éxito
en cada realización es p decimos que sigue
distribución binomial de parámetros n y p.
X ~ B(n, p)X“número de éxitos en los n intentos indep.”
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Distribución Binomial Función de probabilidad:
Podemos escribir X=X1+…+Xn donde las Xi son variables
de Bernoulli e independientes. Parámetros: E[X] = np ; Var[X] = np(1p)
Si X~B(n1, p) e Y~B(n2, p) son independientes, entonces
X+Y~B(n1+n2, p)
.},,1,0{ ,)1()( nkppk
nkXP knk
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Distribución Binomial
0 1 2 3 4 5
B(5,0'7)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0 3 6 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49
B(50,0'7)
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
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Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
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Distribución GeométricaUna variable aleatoria que describe el número de
realizaciones independientes de un experimento para el
que la probabilidad de obtener éxito en cada realización
es p hasta obtener el primer éxito, sigue distribución
Geométrica o de Pascal de parámetro p.
X ~ G(p)X“número de veces que hay que repetir el
experimento hasta conseguir el primer éxito”
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Distribución Geométrica Función de probabilidad:
Parámetros: E[X] = 1/p ; Var[X] = (1p)/p2
.},3,2,1{ ,)1()( 1 kppkXP k
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Distribución Geométrica
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
G(0'5)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
G(0'3)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
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Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
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Distribución de PoissonUna variable aleatoria que describe el número de
sucesos ocurridos en una región, de tal modo que
dichos sucesos ocurren independientemente y
con una tasa constante decimos que sigue
distribución de Poisson de parámetro .
X ~ ()X“número de sucesos ocurridos en una región”
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Distribución de Poisson Función de probabilidad:
Parámetros: E[X] = ; Var[X] =
Si X~() e Y~() son independientes,
entonces X+Y~(+)
.},2,1,0{ ,!
)( kk
ekXPk
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Distribución de Poisson
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(3)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(1)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
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Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Distribución Uniforme (continua)Una variable aleatoria X con distribución
uniforme entre a y b (a<b) representa un número
elegido al azar entre los valores a y b,
de tal modo que la probabilidad de que dicho
número esté en cualquier subconjunto del
intervalo (a,b) depende exclusivamente del
tamaño de dicho conjunto, X~U(a,b)
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Distribución Uniforme (continua) Función de densidad:
Función de distribución:
Parámetros: E[X] = (a+b)/2 ; Var[X] = (ba)2/12
),(0
),()(
1
baxsi
baxsixf ab
bxsi
bxasi
axsi
xF abax
1
0
)(
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Distribución Uniforme (continua)
Lower limit,Upper limit
1,3
Uniform Distribution
x
dens
ity
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 40
0,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1Lower limit,Upper limit
1,3
Uniform Distribution
x
cum
ulat
ive
prob
abili
ty0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
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Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Distribución ExponencialSi el número de sucesos que ocurren en un
tiempo t sigue distribución de Poisson
proporcional a dicho tiempo (t), entonces la
variable aleatoria
X“tiempo entre sucesos”
sigue distribución exponencial de parámetro .
X ~ Exp()
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Distribución Exponencial Función de densidad:
Función de distribución:
Parámetros: E[X] = ; Var[X] =
00
0)(
xsi
xsiexf
x
00
01)(
xsi
xsiexF
x
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Distribución Exponencial
Mean10
Exponential Distribution
0 10 20 30 40 50 60
x
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
dens
ity
Mean10
Exponential Distribution
x
cum
ulat
ive
prob
abili
ty-10 0 10 20 30 40 50 60 70
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
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Distribución ExponencialLa distribución exponencial no tiene memoria.
Dados t1,t2>0 y una variable aleatoria T con
distribución exponencial
P(T > t1+t2 | T > t1) = P(T > t2)
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Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
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Distribución NormalLa distribución Normal o de Gauss es el modelo probabilístico más importante. Se utiliza para modelar gran número de fenómenos aleatorios, entre ellos el ruido y los errores en la medida. Aparece además como distribución límite en el Teorema Central del Límite. Sus parámetros son la media y la desviación típica ,
X ~ N(,)
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Distribución Normal Función de densidad normal estándar N(0,1):
Función de densidad N(,):
Parámetros: E[X] = ; Var[X] = 2
2exp
2
1)(
2xxf
2
2
2
)(exp
2
1)(
x
xf
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Distribución Normal
Mean,Std. dev.0,1
Normal Distribution
-5 -3 -1 1 3 5
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
dens
ity
Mean,Std. dev.0,1
Normal Distribution
-5 -3 -1 1 3 5
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
cum
ulat
ive
prob
abili
ty
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Distribución Normal
-6 -4 -2 0 2 4 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
N(0,0'5) rojo, N(0,1) negro, N(0,2) azul
r
-6 -4 -2 0 2 4 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
N(0,1) negro, N(2,1) rojo
r
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Distribución Normal Propiedades de la Normal.1. Si X ~ N(,) , para cualesquiera a y b,
aX+b ~ N(a+b , |a|)2. Si X ~ N(,) e Y ~ N(,) indep, para a, b
aX+bY ~ N(a+b, (ab)) Tipificación. Dada X~N(,), la variable
aleatoria (X)/ sigue distribución N(0,1). A esta transformación se le llama tipificación
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Tabla de la normal
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Teorema Central de LímiteDada X1,X2,…,Xn n variables aleatorias independientes,
con medias y varianzas finitas E[Xi]=i y Var[Xi]=i2,
su suma sigue aproximadamente distribución normal
X1+X2+…+XnN(i=1,ni , (i=1,ni2)1/2)
Buena aproximación si n > 30.
Si las variables son discretas, para aproximar su suma
por una continua, realizamos corrección por continuidad.
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Aproximaciones con la Normal Aproximación Binomial-Normal. Una binomial
B(n,p) puede construirse como suma de n variables de
Bernoulli independientes. Aplicando el TCL, si n > 30
y np(1p) > 5, aproximamos una B(n,p) por una
0 3 6 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49
B(50,0'7) y N(35,3'24)
0.0
00.0
40.0
80.1
2
)1(,N pnpnp
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Aproximaciones con la Normal Aproximación Poisson-Normal.
Una Poisson () con > 5 puede aproximarse por
una normal
N(, )
0 6 13 21 29 37 45 53 61 69 77 85 93
P(49) y N(49,7)
0.0
00.0
20.0
4
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Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Chi cuadradoSi X1,X2,…,Xn son n variables aleatorias
independientes con distribución N(0,1), entonces
Y=X12+X2
2+…+ Xn2 es una variable aleatoria con
distribución chi cuadrado con n grados de
libertad,
Y ~ n2
E[Y] = n ; Var[Y] = 2n
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Chi cuadrado
Deg. of freedom10
Chi-Square Distribution
0 10 20 30 40
x
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
dens
ity
Deg. of freedom10
Chi-Square Distribution
0 10 20 30 40
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
cum
ulat
ive
prob
abili
ty
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t de StudentSi X es una variable aleatoria normal estándar e
Y es independiente de ella con distribución chi
cuadrado con n grados de libertad, entonces
X/(Y/n)1/2 sigue distribución t con n grados de
libertad
E[Z] = 0 si n 2 ; Var[Z] = n/(n2) si n 3
ntnY
XZ ~
/
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t de Student
Deg. of freedom10
Student's t Distribution
x
dens
ity
-6 -4 -2 0 2 4 60
0,1
0,2
0,3
0,4 Deg. of freedom10
Student's t Distribution
x
cum
ulat
ive
prob
abili
ty
-6 -4 -2 0 2 4 60
0,2
0,4
0,6
0,8
1
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F de FisherSi X es una variable aleatoria chi cuadrado con n1
grados de libertad e Y es independiente de ella
con distribución chi cuadrado con n2 grados de
libertad, entonces (X/n1)/(Y/n2) sigue
distribución F con n1 y n2 grados de libertad
21 ,2
1 F~/
/nnnY
nXZ
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F de Fisher
Numerator d.f,Denominator d.f.
10,10
dens
ity
0 1 2 3 4 50
0,2
0,4
0,6
0,8 Numerator d.f,Denominator d.f.
10,10
F (variance ratio) Distribution
0 1 2 3 4 5
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
cum
ulat
ive
prob
abili
ty