Download - II Geom 6to Grado 2da
TRIÁNGULO
DEFINICIÓN.Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos. O también, se llama triángulo al polígono que tiene tres lados.
Elementos: - Vértices: A, B y C- Lados: AB, BC y AC - Ángulos interiores:
BAC, ABC y ACB- Ángulos exteriores: e1, e2 y e3
- Perímetro (2P):
Notación:Triángulo ABC:
REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL TRIÁNGULO
Observación: Para hallar el
semiperimetro:
PROPIEDADES FUNDAMENTALESA. Suma de medidas de los ángulos internos.En el
B. Suma de las medidas de los ángulos externos.En el
C. Medida del ángulo exterior.En el
D) Relación de existencia o desigualdad triangular.
En el Si a > b > cSe cumple:
E) Propiedad de correspondenciaEn el Si a > c
CLASIFICACIÓN
A. SEGÚN SUS LADOS.
Triángulo Equilátero.Es aquel cuyos lados son de igual medida (congruentes). Y sus tres ángulos también.
2
A
B
C
1e
2e
3e
c a
b
A C
B
Área o Región Triangular
Región Exterior relativa a
BC
Región Exterior relativa a
AB
Región Exterior relativa a AC
A C
B
a
a
a
A C
B
x
z
y
AC
B
x
A C
B
b
ac
A C
B
ac
A C
B
En la figura, si AB = BC =AC :
: es EquiláteroEntonces:
Triángulo IsóscelesEs aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud; el lado desigual se recibe el nombre de base. Los ángulos en la base son congruentes.
En la figura, si AB = BC (laterales)
: es Isósceles Se cumple:
Triángulo Escaleno.Es aquel triángulo, en el cual sus lados y ángulos tienen diferente longitud (no son congruentes).
En la figura: Si a, b y c son diferentes entre sí, entonces:
: Escaleno
Además: también son diferentes.
B. SEGÚN SUS ÁNGULOS.
Triángulo Acutángulo.Es aquel triángulo, que tiene sus ángulos internos agudos.
En la figura: ; ; : Acutángulo
Triángulo Obtusángulo.Es aquel triángulo que tiene un ángulo interior obtuso. El lado opuesto al ángulo obtuso es el lado mayor del triángulo.
En la figura: : Obtusángulo
Además Triángulo RectánguloEs aquel triángulo que tiene un ángulo recto.
En la figura: m ABC = 90º
3
a a
bA C
B
c a
bA C
B
c a
bA C
B
AC
B
b
ac
A C
B
b
c a
AB y BC : CatetosAC : HipotenusaAdemás:
TALLER # 1
01. Observa estos triángulos y completa la tabla.
Triángulo Vértices Lados Ángulos
02. Dibuja y clasifica cada triángulo según las medidas dadas (en tu cuaderno).
Triángulo ABC Triángulo EFG
es ......... es ..........
Triángulo MNQ
es .........
03. Marca con un aspa (X) la alternativa correcta en cada caso:
Un Triángulo equilátero tiene:3 lados congruentes ( )2 ángulos de congruentes ( )3 lados de igual medida ( )
Un triángulo acutángulo tiene:3 lados de igual medida ( )Un ángulo interior < 90º ( )3 ángulos interiores son agudos ( )
Un Triángulo Escaleno2 lados de igual medida ( )3 ángulos congruentes ( )3 lados distintos ( )
Un Triángulo Isósceles tiene:2 ángulos congruentes ( )2 lados de igual medida ( )3 lados de igual medida ( )
Un Triángulo oblicuángulo puede ser:Un rectángulo ( )Un acutángulo ( )Un recto ( )
04. Puedes construir el triángulo que tenga por lados las medidas:
a) a = 14 mm b) a = 9 cmb = 4 mm b = 12 cmc = 2 mm c = 18 cm
4
A
C B
NM O
P
R QFE
G
YX
Z
05. Observa estos triángulos y completa:
AB = …………. EF = …………. RP = …………. MN = ………….
AC = …………. EG = …………. PQ = …………. NT = ………….
AC = …………. FG = …………. RQ = …………. MT = ………….
06. Marca con un aspa (X) los casilleros correspondientes a la clasificación de cada
triángulo según sus lados y según sus ángulos.
Escaleno
Isósceles
Equilátero
Rectángulo
Acutángulo
Obtusángulo
07. Escribe V o F, según corresponda.a. Los triángulos isósceles tienen dos ángulos de igual medida ( )b. Todo triángulo rectángulo tiene dos ángulos obtusos ( )c. Un triangulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso ( )d. No es posible construir un triangulo rectángulo que sea isósceles ( )e. Todo triángulo equilátero es oblicuángulo ( )
08. ¿Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 3m, 5m y 11m?
09. ¿Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 2cm, 4cm y 10cm?
10. ¿Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 6cm, 7cm y 12cm?
5
B
A
C
GE
F P
Q
RM
N
T
LINEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
CEVIANA.Es aquel segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto o de su prolongación.
En el
pertenece a
: ceviana interior relativa a
En el
pertenece a la prolongación
: ceviana exterior relativa a
MEDIANAEs la ceviana que biseca el lado al cual es relativa.
En el
es punto medio de
: mediana relativa a
MEDIATRIZEs aquella recta perpendicular a un lado que biseca dicho lado.
En el : L y
L : mediatriz de
ALTURA Es una ceviana perpendicular al lado, al cual es relativa; la posición de una altura respecto al triángulo depende del tipo de triángulo.
En el
: altura relativa a
En el
: altura relativa a la hipotenusa
A
B
CD
A
B
C E
A
B
M Cl l
A
B
M Cb b
L
A
B
H C
CA
B
H
H
P
A
B
Q
C
SEXTO GRADO
En el : obtusángulo
: altura relativa a
: altura relativa a
: altura relativa a
BISECTRIZEs aquella ceviana interior o exterior que biseca a un ángulo interior o exterior respectivamente.
En el :
: bisectriz interior relativa a
En el :
: bisectriz exterior relativa a
TEOREMAS
A)
B)
C)
D) En el BH: altura y BM: bisectriz
E)
En el : mediana relativa a la hipotenusa
Teorema de los Puntos Medios
D
A C
B
EA C
B
x
x
x
ºa ºbH
MC
B
A
x
CA
B
Ma a
a
A C
B
NM
En el
Si MN//AC y “M” Punto Medio de AB;
entonces: “N” punto medio de BC
TALLER # 2
01. Trace las alturas en los siguientes triángulos, que partan del vértice A.
PROBLEMAS 01
01. Calcular la medida del menor ángulo de un triángulo, si sus ángulos miden
, y
A) 17º B) 16º C) 25ºD) 18º E) 22º
02. En la figura, calcular “ ”
A) 60° B) 40° C)30°
D) 80° E) 70°
03. De la figura calcular “ ”
A) 18° B) 15° C) 16°
A
C B
A
B
CA
BC
A
BC
AB
C
AB
C
A
BC
º40
)º( ax )º( ax
º5
º7
º6
D) 24° E) 20°
04. Si AB = BC, calcular la
A) 100° B) 90° C) 80°D) 75° E) 60°
05. Calcular “x”
A) 10º B) 12º C) 15ºD) 18º E) 20º
06. En la figura , calcular “x”
A) 15º B) 20º C) 25ºD) 30º E) 35º
07. Del grafico, calcular el valor de “ ”
A) 12º B) 10º C) 15ºD) 18º E) 20º
08. Del grafico calcular “ ”
A) 54º B) 48º C) 72º D) 45º E) 36º
09. Del grafico, calcule la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar “ ”
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
10. Calcule el valor de “ ”.
A) 6º B) 10º C) 30ºD) 20º E) 5º
11. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, el ángulo C mide 40º. Sobre AC se toma el punto M de modo que
. Halle AC, si
A) 16 B) 14 C) 18D) 20 E) 24
TAREA DOMICILIARIA
01. Calcule el valor de “x” en cada figura:
º3x
ºx
A
B
C
20º
º5x
º2x
º80
xA
B
D C
4
3
2
8 3
x
2
6
02. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?
A) Un triángulo equilátero es un triángulo acutángulo.
B) Si dos ángulos internos de un triángulo suman 50º, entonces se trata de un triángulo obtusángulo.
C) Un triángulo oblicuángulo es un triángulo rectángulo.
D) La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360º.
E) Un triángulo escaleno tiene todos sus lados diferentes.
03. Calcular la , si PQ = QR.
A) 55° B) 65° C) 50°D) 45° E) 70°
04. en la figura mostrada, calcule “x”
A) 26° B) 36° C) 82°D) 62° E) 70°
05. Dado el ABC. ¿Cuál es el menor perímetro entero que puede tener dicho triángulo?
A) 26cm B) 13cm C) 14cmD) 16cm E) 20cm
06. Calcula la medida del menor ángulo de un triángulo ABC si las medidas de sus ángulos interiores son proporcionales a 4, 5 y 6.
A) 12 B) 48 C) 24D) 20 E) 36
07. En la figura mostrada, calcula “ ”
A) 36° B) 18° C) 40°D) 90° E) 36
08. En la figura mostrada, hallar “x”.
º118
x
º75 º40
x
º70 º65
x
º110
º130x
º122
x
º70P
R
Q
20xP
R
Q 26x
x
A
B
C
x cm4
cm6
A
B
C
A) 120° B) 130° C) 60°D) 90° E) 110°
PROBLEMAS 03
01. En un triángulo , se traza su mediana tal que: y
. Halle “ ”.
A) 2 B) 3 C) 4D) 1 E) 1,5
02. La recta L es mediatriz del lado , si y . Halle “x”.
A) 2 B) 3 C) 4D) 6 E) 7
03. En un triángulo se traza su bisectriz interior de modo que:
y . Halle el valor de “ ”.
A) 50º B) 10º C) 40ºD) 20º E) 30º
04. En un triángulo , , y . Halle el valor
de“ ”.
A) 50º B) 10º C) 40º
D) 20º E) 30º
05. En la figura, si es bisectriz del y , halle
A) 125° B) 35° C) 55°
D) 75° E) 95°
06. En la figura, es un triángulo. Se tiene que es bisectriz, y . Halle el valor de
A) 130° B) 140° C) 150°D) 110° E) 115°
07. En el triángulo ABC. Se tiene que
, , y
, Halle . Además, es
punto medio de y
A) 16cm B) 8cm C) 4cmD) 2cm E) 1cm
08. De la figura, calcular “ ”
A
B
C40
4
3 x
L
A
B
C
F
DA
B C
C
D
A
B E
P
A
B
CQN
M
A) 40° B) 45° C) 50 D) 55° E) 35°
09. En la figura, es un triángulo, halle la
A) 47º B) 133º C) 130ºD) 120º E) 110º
10. En la figura, es mediatriz. Halle el valor de “ ”.
A) 10º B) 20º C) 30ºD) 40º E) 60º
TAREA DOMICILIARIA
01. ¿Cuánto miden los ángulos congruentes de un triángulo isósceles, si su ángulo desigual mide 30º?
A) 60º B) 50º C) 90ºD) 75º E) 85º
02. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden y . Halle el valor de “ ”.
A) 5º B) 6º C) 8ºD) 10º E) 12º
03. Si los lados de un triángulo miden 2, 5, 3; ¿indicar la naturaleza del triángulo?
A) Acutángulo B) ObtusánguloC) Rectángulo D) EscalenoE) No existe
04. Calcule “ ” en:
A) 110º B) 105º C) 120ºD) 115º E) 130º
05. En un triángulo es equilátero, encuentra el valor de “ ”.
A) 115º B) 120º C) 130ºD) 135º E) 140º
06. En el triángulo de la figura, encuentra “ ”, si .
A) 5º B) 10º C) 20ºD) 15º E) 25º
07. Calcule“ ” en:
40º
100º60º
A
B
C
x
A
B
D
E
C110º
x
A
BF
E C
20º
x
30º 40ºx
AD
C
B
º55
º20
ºx
º30
A
B
C
N
M
º86
M
N
A) 90º B) 85º C) 105ºD) 95º E) 100º
08. Encuentra “ ”, el triángulo es equilátero.
A) 60º B) 30º C) 15ºD) 45º E) 20º
09. Calcule“ ” en:
A) 25º B) 20º C) 40ºD) 50º E) 30º
10. Calcule “ ”.
A) 50º B) 60º C) 70ºD) 20º E) 40º
11. Halle “ ”, si .
A) 40º B) 50º C) 60ºD) 30º E) 45º
12. Halle “ ”, si .
A) 15º B) 30º C) 10ºD) 5º E) 20º
13. Si es mediatriz de , calcule su longitud.
A) 7 B) 8 C) 9D) 10 E) 11
PROF. HENRY E. JURADO VELIZ
L
A B7x 12x
xA D
C
B
C
ED
B
A
125º
105º
x
x
20º CH
A
B
x
20º
CH
A
B
75º D
CA
B
D
X