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IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE
ACCELERATOProfessoressa CORONA PAOLA
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Il moto di una mela che cade
Per misurare gli spostamenti è stato fissato un asse verticale orientato verso il basso che ha origine nella posizione iniziale della mela.
Durante il moto di caduta la velocità istantanea della mela aumenta e le distanze da essa percorse in intervalli di tempo uguali aumentano.
La figura mostra una sequenza di scatti fotografici a intervalli regolari (0,1 s) di una mela che cade.
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Il moto rettilineo uniformemente accelerato
nel moto rettilineo uniformemente accelerato le variazioni di velocità sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo in cui esse avvengono.
Dal grafico velocità-tempo si osserva che:
20,98 m/s 9,8 m/s0,1 sm
va at
D= = = =
D
Si dice moto rettilineo uniformemente accelerato il movimento di un punto materiale che si sposta lungo una retta con accelerazione costante.
Dai dati della mela che cade si ricava:
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Il grafico spazio-tempo del moto
Infatti:
nel moto rettilineo uniformemente accelerato di un punto materiale che parte da fermo la distanza percorsa è direttamente proporzionale al quadrato del tempo trascorso.
Riportando su un grafico spazio-tempo le posizioni della mela che cade da ferma, si ottiene un arco di parabola.
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L’accelerazione dei corpi che cadono
Gli esperimenti nel vuoto confermano che, per esempio, una mela e una piuma restano affiancate per tutta la caduta.
Tutti i corpi che cadono da fermi vicino alla superficie terrestre scendono verticalmente verso il basso con la stessa accelerazione g = 9,8 m/s2 (accelerazione di gravità).
Galileo per primo sostenne che, in assenza dell’aria, tutti i corpi cadrebbero di moto uniformemente accelerato con la stessa accelerazione.
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Le leggi del moto (con v0 = 0)
uLa legge della velocità
La legge della velocità fornisce la velocità istantanea di un punto materiale a ogni istante successivo all’inizio del moto (t = 0).
Se la velocità iniziale è nulla (partenza da fermo) e l’accelerazione è costante, la legge della velocità è:
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Le leggi del moto (con v0 = 0)
uLa legge della velocità - grafico
Il grafico velocità-tempo di un corpo che parte da fermo con accelerazione costante è una retta che passa per l’origine (la velocità v e il tempo t sono direttamente proporzionali).
La legge della velocità - dimostrazione
Dalla definizione di accelerazione media tra l’istante iniziale t0 = 0 e un generico istante t in cui la velocità è v, vale la relazione:
0
0
00
v vv v vat t t t t
-D -= = = =D - -
da cui: v at=
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Le leggi del moto (con s0 = 0,v0 = 0)
uLa legge della posizione
Per un punto materiale che parte da fermo dall’origine all’istante t = 0 e che si muove con accelerazione costante, la legge della posizione (o legge oraria del moto) è:
Il grafico spazio-tempo di un corpo che parte da fermo con accelerazione costante è un arco di parabola con vertice nell’origine.
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Le leggi del moto (con s0 = 0,v0 = 0)
uArea e spostamento
Moto rettilineo uniforme:
Lo spostamento compiuto in un intervallo di tempo è dato dall’area sotto il grafico velocità-tempo entro tale intervallo.
area = vt
= s vt
Moto uniformemente accelerato:
( ) 21 1area = 2 2t at at=
21 = 2
s at
tD
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Le leggi del moto (con s0 = 0,v0 = 0)
uIl calcolo del tempo
Perciò, per un punto materiale che parte
§ da fermo, § dall’origine degli assi, § con accelerazione costante,
il tempo per raggiungere la posizione s è dato da:
2 21 2 2 = 2
s ss at t ta a
Þ = Þ =
Dalla legge della posizione segue che:
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Le leggi del moto (con v0 ≠ 0)
uLa legge generale della velocità istantanea
Il corrispondente grafico velocità-tempo è una retta che interseca l’asse verticale nel punto di ordinata v0.
Per un moto rettilineo uniformemente accelerato con velocità iniziale v0, la legge della velocità è:
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Le leggi del moto (con s0 ≠ 0, v0 ≠ 0)
uLa legge generale della posizione
Il corrispondente grafico spazio-tempo è un ramo di parabola che interseca l’asse verticale nel punto di ordinata s0.
Per un moto rettilineo uniformemente accelerato con posizione iniziale s0 e velocità iniziale v0, la legge della posizione è:
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Le leggi del moto (con s0 ≠ 0, v0 ≠ 0)
uLa legge generale della posizione - dimostrazione
Lo spostamento dopo un tempo tdall’istante iniziale si calcola come area della superficie sottesa dal grafico velocità-tempo in tale intervallo (cioè l’area del trapezio evidenziato nel grafico):
sD
area
20 0
1area 2
s s s v t at= D = - = +da cui:
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Le leggi del moto (con s0 ≠ 0, v0 ≠ 0)
uSpostamento e velocità
Mettendo a sistema le leggi del moto uniformemente accelerato è possibile ricavare una formula che lega direttamente lo spostamento alla velocità, utile ad esempio, per il calcolo della distanza di arresto:
00
220 00 0
0 0
1 12 2
v vtv v at av v v vs s v t at s s v aa a
-ì == +ì ïï ïÞí í- -= + + æ öï ï = + +î ç ÷ï è øî
Da cui, con semplici passaggi algebrici, si ottiene:
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Il grafico accelerazione-tempo
Poiché l’accelerazione nel moto uniformemente accelerato è costante, il grafico accelerazione-tempo è un segmento orizzontale
§ nel semipiano positivo se a > 0 (velocità crescente);
§ nel semipiano negativo se a < 0 (velocità decrescente);
§ sull’asse dei tempi se a = 0 (moto uniforme).
Grafico velocità-tempo Grafico accelerazione-tempo
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Il lancio verticale verso l’altouLa salita
L’accelerazione di gravità g agisce su tutti i corpi vicini alla superficie terrestre, siano essi in caduta o lanciati verso l’alto.
Se l’asse verticale è verso l’alto, con l’origine nel punto di lancio, durante la salita la palla ha:
§ velocità iniziale v0 positiva (stesso verso dell’asse)
§ accelerazione di gravità negativa(verso opposto rispetto all’asse).
Le leggi del moto diventano: 20 0
1; 2
v v gt s v t gt= - = -
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Il lancio verticale verso l’altouIl tempo di salita
La posizione più alta raggiunta dalla palla è quella in cui la velocità si annulla istantaneamente, prima di invertire il moto.Dalla legge della velocità si ricava l’istante di tempo in cui si raggiunge l’altezza massima:
da cui:
0 max0 v gt= -
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Il lancio verticale verso l’altouL’altezza massima
Per ricavare l’altezza massima si pone t = tmax
nella legge della posizione:
da cui:
2 2 22 0 0 0 0
max 0 max max 01 12 2 2
v v v vs v t gt v gg g g g
æ ö= - = - = -ç ÷
è ø
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Il lancio verticale verso l’altouTempo di volo e velocità al ritorno
L’accelerazione è sempre la stessa (pari a -g) durante tutto il lancio.
Ne consegue che:
Il moto di salita e il moto di discesa sono simmetrici.Ovvero che:
Il tempo di volo è il doppio del tempo di salita tmax e la velocità al ritorno è -v0, uguale in modulo alla velocità di lancio, ma con verso opposto.
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Il lancio verticale verso l’altouGrafici spazio-tempo e velocità-tempo
Il grafico v-t è una retta inclinata verso il basso, che taglia l’asse del tempo in corrispondenza dell’istante di inversione del moto.
Il grafico s-t è un arco di parabola con la concavità verso il basso, il cui vertice corrisponde al punto di inversione (altezza massima).
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Grafici spazio-tempo e velocità-tempouDiscesa con velocità iniziale nulla
L’atleta parte da fermo. Nel tratto rettilineo l’accelerazione è circa 4 m/s2.
Il grafico v-t è una semiretta uscente dall’origine. In ogni secondo la velocità aumenta di 4 m/s.
Il grafico s-t è un arco di parabola con vertice nell’origine. In ogni secondo l’atleta percorre 4 m in più del secondo precedente.
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Grafici spazio-tempo e velocità-tempouPiù veloce
Dopo 10 m alla velocità di 3 m/s il conducente accelera di 2 m/s2
per 5 s.
Il grafico v-t è una semiretta che non passa per l’origine perché la velocità iniziale non è nulla.
Il grafico s-t è un arco di parabola con vertice che non è nell’origine. Le distanze percorse in intervalli di tempo uguali aumentano.
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Grafici spazio-tempo e velocità-tempouSalita e discesa
Con velocità iniziale di 8 m/s e accelerazione di 4 m/s2 il ragazzo arriva in cima con velocità nulla, si gira e scende sempre più veloce.
La velocità si riduce di 4 m/s in ogni secondo: è positiva (in salita), si annulla all’inversione, diventa negativa (in discesa).
Il vertice della parabola è il punto di inversione del moto. Le distanze percorse in intervalli di tempo uguali si accorciano in salita e aumentano in discesa.