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Il piano fattoriale a due fattori
• Esempio di piano fattoriale: il caso della progettazione robusta di batterie
Tipo di Materiale
Temperatura (°F)
15 70 125
1130 155 34 40 20 70
74 180 80 75 82 58
2150 188 136 122 25 70
159 126 106 115 58 45
3138 110 174 120 96 104
168 160 150 139 82 60
1. Che effetti hanno il tipo di materiale e la temperatura sulla durata delle batterie?2. C’è una scelta di materiale suscettibile di dare una durata elevata,
indipendentemente dalla temperatura (batteria robusta al temperatura)
Durata Batterie
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Il piano fattoriale a due fattori
• Piano completamente causalizzato
abnababnaaanaaa
bnbbnn
bnbbnn
yyyyyyyyy
yyyyyyyyy
yyyyyyyyy
,...,,...,...,,,...,,
............
,...,,...,...,,,...,,
,...,,...,...,,,...,,
212222111211
222122222222121212211
121111212212111112111
Fattore B1 2 … b
Fat
tore
A
1
2
…
a
Osservazione generica alla k-esima replicazione: yijk
nereplicazioesima k
B Fattorelivello esimoj
A Fattorelivello esimoi
k
j
i
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Il piano fattoriale a due fattori
• Piano completamente causalizzato
abnababnaaanaaa
bnbbnn
bnbbnn
yyyyyyyyy
yyyyyyyyy
yyyyyyyyy
,...,,...,...,,,...,,
............
,...,,...,...,,,...,,
,...,,...,...,,,...,,
212222111211
222122222222121212211
121111212212111112111
Fattore B1 2 … b
Fat
tore
A
1
2
…
a
Modello a fattori fissi con effetti dei trattamenti definiti come scarti dalla media generale:
colonna eriga di fattori tra einteraziondell' effetto
colonna B di Fattoredel livello esimoj del effetto
Ariga di Fattoredel livello esimoidell' effetto
generale medio effetto
ji
j
i
jijiij
ijkijijkjijiijkY
dove
,
0
0
0
11
1
1
b
j ij
a
i ij
b
j j
a
i i
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Il piano fattoriale a due fattori
• L’interesse è rivolto a valutare ipotesi sull’eguaglianza di effetti di riga, colonna e di interazione
0)( un almeno:
,0)(:
:eInterazion
0 un almeno:
0...:
:colonna di Effetto
0 un almeno:
0...:
:riga di Effetto
1
0
1
210
1
210
ij
ij
i
a
i
a
H
i,jH
H
H
H
H
H0 = Nessun Effetto
H1 = Presenza Effetto
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Il piano fattoriale a due fattori
abn
YYYY
bj
ai
n
YYYY
bjan
YYYY
aibn
YYYY
yyyy
y
y
y
y
a
i
b
j
n
k ijk
ijij
n
k ijkij
jj
a
i
n
k ijkj
ii
b
j
n
k ijki
ij..j.i
ij.
.j.
i
......1 1 1...
..1.
....1 1..
....1 1..
.....
...
..
;
,...,2,1
,...,2,1 , ;
,...,2,1 , ;
,...,2,1 , ;
:mentematematica Espresso
,, ,:medie rispettive le con
niosservazio le tuttedi generale totale
esima-ijcella nella niosservazio delle totale
Bfattore del esimo-j livello col effettuate niosservazio delle totale
A fattore del esimo-i livello col effettuate niosservazio delle totale
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Il piano fattoriale a due fattori
• La somma dei quadrati totale corretta può essere scritta come:
2
1 1 1 .
1 1
2
........1
2
.....1
2
.....
2
1 1 1.........
..........2
1 1 1 ...
a
i
b
j
n
k ijijk
a
i
b
j jiij
b
j j
a
i i
a
i
b
j
n
kijijkjiij
jia
i
b
j
n
k ijk
YY
YYYYnYYanYYbn
YYYYYY
YYYYYY
Giacché i sei prodotti incrociati che provengono dallo sviluppo del lato destro sono nulli, si noti che la somma dei quadrati totale è stata scomposta in una somma dei quadrati dovuta alle sole righe, alle sole colonne, all’interazione tra i fattori A e B e all’errore:
EABBAT SSSSSSSSSS
Riarrangiando
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Il piano fattoriale a due fattori
• Il numero di gradi di libertà associati a ciascuna somma dei quadrati è:
1
1
11
1
1
abnTotale
nabErrore
baABeInterazion
bB
aA
libertàdiGradiEffetto
I gradi di libertà dei fattori sono pari al numero di livello meno 1. I gradi di libertà delle interazioni sono dati dal numero delle celle – 1 a cui vanno sottratti i gradi di libertà dei singoli fattori. Infine, il grado di libertà dell’errore è dato dal grado di libertà di ciascuna casella del piano sperimentale, cioè n-1, moltiplicato il numero di caselle ab.
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Il piano fattoriale a due fattori
• Ciascuna somma dei quadrati divisa per i propri gradi di libertà è un quadrato medio con valore atteso E(MS) dato da (D.C. Montgomery, Progettazione ed Analisi degli Esperimenti, pp. 74-79):
2
1 1
2
2
1
2
2
1
22
1)(
1111)(
11)(
11)(
nab
SSEMSE
ba
n
ba
SSEMSE
b
an
b
SSEMSE
a
bn
a
SSEMSE
EE
a
i
b
jABAB
b
jBB
a
iAA
ij
j
i
Termini pari a 0 solo in caso di validità dell’ipotesi nulla H0, cioè in caso di assenza di effetti di riga, colonna e incrociati
Dimostrazione esemplificativa
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Il piano fattoriale a due fattori
ti! trattameniper opera si Similmente
)(
:ha si nullo atteso valorehanno contengono che prodotti doppi i che infine, ed, erroredell' atteso valoreil nullo assunto
stato essendo termineil che presente tenendoquantità, delle atteso valoreil calcolando quadrato, al Elevando
1
1
1)(
:modello il poi, o,Sostituend
1
1
1)(
:quindi e ,/1/21
1)(
,...,2,1
,...,2,1 , ; :che presente però Tenendo
21
1
1)(
:cui da , :edefinizionPer
1)(
2
22
1 1 1 1
2
11
2
1 1 1 1
2
1
2
1 1 1 1 1
2
1
2
1
2
..1.
1 1 1
2.
2
2
1 1 1 .
2
1 1 1 .
2
.
..
.
E
ijk
a
i
b
j
a
i
b
j
n
k ijkjiji
n
k ijkjijiE
ijkjijiijk
a
i
b
j
a
i
b
j
n
kE
a
i
b
j
a
i
a
i
b
j
b
j
n
kE
ijij
n
k ijkij
a
i
b
j
n
k ijijk
a
i
b
j
n
k ijijk
E
a
i
b
j
n
k ijijkE
EE
MSE
nE
nabMSE
Y
Yn
YEnab
MSE
YnYnYEnab
MSE
bj
ai
n
YYYY
YYYYEnabnab
YYEMSE
YYSS
nab
SSEMSE
ijk
ijijk
ijijijk
ijijk
![Page 10: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/10.jpg)
Il piano fattoriale a due fattori
• Per verificare la significatività di entrambi i fattori e della loro interazione è sufficiente dividere il corrispondente quadrato medio per il quadrato medio dell’errore.
• Valori elevati di tale rapporto stanno ad indicare che i dati non confermano l’ipotesi nulla H0 e che quindi vige l’ipotesi H1
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Il piano fattoriale a due fattori
• Se i termini di errore ijk sono distribuiti normalmente ed indipendentemente con varianza costante 2:Origine della
variabilitàSomma dei
quadratiGradi di libertà
Media dei Quadrati F0
A trattamenti SSA a-1 MSA= SSA/(a-1) MSA/MSE
B trattamenti SSB b-1 MSB= SSB/(b-1) MSB/MSE
Interazione SSAB (a-1)(b-1) MSAB= SSAB/(a-1)(b-1) MSAB/MSE
Errore SSE ab(n-1) MSE= SSE/(ab(n-1))
Totale SST abn-1
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Il piano fattoriale a due fattori
• Le somme dei quadrati possono essere anche calcolate manualmente, comunque si suggerisce l’uso di un calcolatore
ABBATE
BA
a
i
b
jAB
b
jB
a
iA
a
i
b
j
n
kT
SSSSSSSSSS
SSSSabn
YY
nSS
abn
YY
anSS
abn
YY
bnSS
abn
YYSS
ij
j
i
ijk
2...
1 1
2
2...
1
2
2...
1
2
2...
1 1 1
2
.
..
..
1
1
1
SSSubtotali
![Page 13: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/13.jpg)
Progettazione batteria
![Page 14: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/14.jpg)
Progettazione batteria
![Page 15: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/15.jpg)
Progettazione batteria
![Page 16: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/16.jpg)
Progettazione batteria
![Page 17: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/17.jpg)
Progettazione batteria
![Page 18: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/18.jpg)
Progettazione batteria
![Page 19: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/19.jpg)
Progettazione batteria
![Page 20: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/20.jpg)
Progettazione batteria
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Progettazione batteria
![Page 22: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/22.jpg)
Progettazione batteria
![Page 23: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/23.jpg)
Progettazione batteria
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Progettazione batteria
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Progettazione batteria
![Page 26: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/26.jpg)
Progettazione batteriaM
ean o
f R
ispost
a
321
150
140
130
120
110
100
90
80
70
601257015
Materiale Temperatura
Main Effects Plot (fitted means) for Risposta
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Progettazione batteria
ABBATE
BA
a
i
b
jAB
b
jB
a
iA
a
i
b
j
n
kT
SSSSSSSSSS
SSSSabn
YYSS
abn
YY
anSS
abn
YY
bnSS
abn
YYSS
ij
j
i
ijk
2...
1 1
2
2...
1
2
2...
1
2
2...
1 1 1
2
.
..
..
1
1
![Page 28: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/28.jpg)
Progettazione batteria
ABBATE
BA
a
i
b
jAB
b
jB
a
iA
a
i
b
j
n
kT
SSSSSSSSSS
SSSSabn
YYSS
abn
YY
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abn
YY
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abn
YYSS
ij
j
i
ijk
2...
1 1
2
2...
1
2
2...
1
2
2...
1 1 1
2
.
..
..
1
1
![Page 29: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/29.jpg)
Progettazione batteria
ABBATE
BA
a
i
b
jAB
b
jB
a
iA
a
i
b
j
n
kT
SSSSSSSSSS
SSSSabn
YYSS
abn
YY
anSS
abn
YY
bnSS
abn
YYSS
ij
j
i
ijk
2...
1 1
2
2...
1
2
2...
1
2
2...
1 1 1
2
.
..
..
1
1
![Page 30: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/30.jpg)
Progettazione batteria
ABBATE
BA
a
i
b
jAB
b
jB
a
iA
a
i
b
j
n
kT
SSSSSSSSSS
SSSSabn
YYSS
abn
YY
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abn
YY
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abn
YYSS
ij
j
i
ijk
2...
1 1
2
2...
1
2
2...
1
2
2...
1 1 1
2
.
..
..
1
1
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Progettazione batteria
ABBATE
BA
a
i
b
jAB
b
jB
a
iA
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i
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j
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kT
SSSSSSSSSS
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YYSS
ij
j
i
ijk
2...
1 1
2
2...
1
2
2...
1
2
2...
1 1 1
2
.
..
..
1
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Progettazione batteria
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Progettazione batteria
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Progettazione batteria
![Page 35: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/35.jpg)
Progettazione batteria
ABBATE
BA
a
i
b
jAB
b
jB
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iA
a
i
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j
n
kT
SSSSSSSSSS
SSSSabn
YYSS
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YY
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abn
YY
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abn
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ij
j
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ijk
2...
1 1
2
2...
1
2
2...
1
2
2...
1 1 1
2
.
..
..
1
1
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Progettazione batteria
ABBATE
BA
a
i
b
jAB
b
jB
a
iA
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i
b
j
n
kT
SSSSSSSSSS
SSSSabn
YYSS
abn
YY
anSS
abn
YY
bnSS
abn
YYSS
ij
j
i
ijk
2...
1 1
2
2...
1
2
2...
1
2
2...
1 1 1
2
.
..
..
1
1
![Page 37: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/37.jpg)
Progettazione batteria
ABBATE
BA
a
i
b
jAB
b
jB
a
iA
a
i
b
j
n
kT
SSSSSSSSSS
SSSSabn
YYSS
abn
YY
anSS
abn
YY
bnSS
abn
YYSS
ij
j
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ijk
2...
1 1
2
2...
1
2
2...
1
2
2...
1 1 1
2
.
..
..
1
1
![Page 38: Il piano fattoriale a due fattori](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062409/56815022550346895dbe0799/html5/thumbnails/38.jpg)
Progettazione batteria