![Page 1: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/1.jpg)
š2004š 1
Šime Šuljić
Funkcije
Zadavanje funkcije i područje definicije
![Page 2: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/2.jpg)
š2004š 2
Iz povijesti
Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode u geometriju
Omogućili su pretvaranje krivulje u jednadžbu i time primjenu snažne algebre na geometrijske probleme
![Page 3: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/3.jpg)
š2004š 3
Pierre de Fermat
Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija
Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva (posljednji teorem dokazan 1993)
1629. piše djelo u kojem primjenjuje algebru i koordinatnu metodu za proučavanje geometrijskih krivulja
Btw. Posljednji teorem dokazao je Andrew Wiles 1993.
![Page 4: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/4.jpg)
š2004š 4
Rene Descartes
1596. – 1650. Prvi veliki moderni
filozof, biolog, fizičar i matematičar
Uveo pojam promjenljive veličine i koordinatnog sustava
![Page 5: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/5.jpg)
š2004š 5
Uvod
Znanstvenici se često bave istraživanjem odnosa jedne varijable o drugoj
To može biti vrlo jednostavna veza. Primjerice zavisnost površine kruga o njegovom radijusu
Ponekad veza može biti vrlo složena. Za koliko vremena će biti završen neki posao zavisi o broju radnika, ali i njihovoj motivaciji (i o još mnogim čimbenicima?)
![Page 6: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/6.jpg)
š2004š 6
Opis
funkcijaulaz izlaz
argument funkcije vrijednost funkcije
![Page 7: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/7.jpg)
š2004š 7
Matematička definicija
Funkcija ili preslikavanje sa skupa A u skup B je pravilo koje svakom elementu x skupa A pridružuje točno jedan element y skupa B
yDomena ili područje definicije
Kodomena ili područje vrijednosti
fA B
x
![Page 8: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/8.jpg)
š2004š 8
Je li ovo funkcija?
domena
kodomena
x
f(x)
![Page 9: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/9.jpg)
š2004š 9
Je li ovo funkcija?
![Page 10: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/10.jpg)
š2004š 10
Je li ovo funkcija?
![Page 11: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/11.jpg)
š2004š 11
Je li ovo funkcija?
![Page 12: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/12.jpg)
š2004š 12
Oznake
f: A Bx iz A – argument ili nezavisna
varijablay iz B – vrijednost funkcije, zavisna
varijablay = f(x)
![Page 13: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/13.jpg)
š2004š 13
Realne funkcije
Ako je domena funkcije neki podskup skupa realnih brojeva i ako su vrijednosti te funkcije realni brojevi, onda se ta funkcija zove realna funkcija
Slika je link
![Page 14: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/14.jpg)
š2004š 14
Načini zadavanja funkcijax f(x)
-2 -3
0 -1
2 3
4 7
6 12
log2x
x3-1f(x) =
Opisom
![Page 15: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/15.jpg)
š2004š 15
Tablično (numeričko) zadavanje funkcije
Tablično zadavanje funkcije je jednostavan način prikaza domene u jednom, a vrijednosti funkcija u drugom stupcu ili retku
Uspostavljena je jednoznačna veza između elemenata domene i kodomene:
• f(-2) = -3• f(0) = -1• f(2) = 3 itd.
Primjer: stare logaritamske tablice
x f(x)
-2 -3
0 -1
2 3
4 7
6 12
![Page 16: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/16.jpg)
š2004š 16
Tablično (numeričko) zadavanje funkcije
Svaka tablica ne predstavlja funkciju
Predstavlja li ova tablica funkciju?
x f(x)
2 -3
1 -2
0 -1
2 0
-1 -5
![Page 17: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/17.jpg)
š2004š 17
Grafičko zadavanje funkcije
Slika je link
f = (x,y): xD, y=f(x)
![Page 18: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/18.jpg)
š2004š 18
Grafičko zadavanje funkcije: vertikalni test za funkcije
![Page 19: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/19.jpg)
š2004š 19
Grafičko zadavanje funkcije: vertikalni test za funkcije
![Page 20: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/20.jpg)
š2004š 20
Funkcije zadane opisom
Pravilo pridruživanja je dano riječima, opisom Primjeri
• v(t) je brzina tijela u vremenu t
• T(t) je temperatura tijela ovisna o vremenu t
• V(a) je volumen kocke koji ovisi o njenom bridu a
• E(v) je kinetička energija tijela koja ovisi o brzini
Matematičari će radije pribjeći izražavanju opisa formulom, zar ne?
![Page 21: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/21.jpg)
š2004š 21
Analitičko zadavanje funkcija
Za funkciju zadanu formulom kažemo da je zadana analitički
Formula predstavlja algebarske operacije koje svakom realnom broju x iz domene pridružuju realni broj f(x) kodomene.
log2x
x3-1f(x) =
![Page 22: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/22.jpg)
š2004š 22
Analitičko zadavanje funkcija
Pridružuju li algebarske operacije baš svakom realnom broju x jedinstveni realni broj f(x)?
Primjer f(x) = x + 3 Primjer f(x) = x2
Primjer f(x) = sin x
![Page 23: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/23.jpg)
š2004š 23
Analitičko zadavanje funkcijaPrirodno područje definicije
Što je s funkcijom f(x) = √x? Ona jest funkcija, jer korijen nekog pozitivnog
broja je jedinstven pozitivan broj Ali njezina domena nije cijeli skup R, jer je
korijen definiran samo za nenegativne realne brojeve
Skup realnih brojeva za koje je pojedina funkcija definirana moguće je izračunati i naziva se prirodna domena funkcije. Oznaka D(f)
![Page 24: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/24.jpg)
š2004š 24
Analitičko zadavanje funkcija:Prirodno područje definicije
Postoje tri elementa na koja moramo obraditi pažnju u algebarskim operacijama:
1. Nazivnik razlomka mora biti različit od nule f(x)=x/(1-x2)
2. Radikand korijena ne smije biti negativan f(x)=sqrt(1-x)
3. Argument logaritamske funkcije mora biti pozitivan f(x)= log(1-x2)
![Page 25: Šime Šuljić Funkcije - cdn.geogebra.org · š2004š 3 Pierre de Fermat Pravnik koji se bavio matematikom iz hobija Problemi maksimuma i minimuma, vjerojatnost, teorija brojeva](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022041220/5e0a2bc3f30d386f7e442b17/html5/thumbnails/25.jpg)
š2004š 25
Izvori:
Dakić, Elezović: Matematika 4, Element Šikić: Matematika 2, Profil Kavka i dr.: Matematika 1, Linea, Ljubljana Warberg: Precalculus,Prentice Hall,Englewood
Cliffs Visual Calculus
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/index.html