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Technische Mechanik SS 2010 - Vorlesung Biegelinie / Folie 1
Der Biegebalken
Der Biegebalken
Der Biegebalken stellt eines der grundlegenden Konstruktionselemente der Mikrotechnik dar, z.B. als:
• Gelenk und Federelement in Mikroventilen, Beschleunigungssensoren, Drehratensensoren...,
• Kontaktzunge in Mikrorelais,
• Ventilklappe in Rückschlagventilen,
• Aktorstruktur in Piezo- und Thermobimetallwandlern,
• .....
Grundlegende Fragen zur konstruktiven Auslegung sind:
• Wie ist die Verformung abhängig von der Belastung ?
• Wie ist der Einfluß innerer Spannungen ?
• Wie verhalten sich Mehrschichtstrukturen ?
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Der Biegebalken
Die Biegelinie des geraden Balkens
Frage:
Wie ist die Verformung eines geraden Balkens bei reiner Biegebelastung ?
Wir verwenden wiederum geometrische Beziehungen...
Diese Beziehung gilt streng für beliebige Verformungen !
x
z
y
ym ax
R
d
dx
1 dx2
1 dx2
maxy
xd
R
xd max
max
xd
xd
R
y
EgiltEs max
max:
maxmax yI
M
y
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xx w(x)
zdw
dw
RR
- d
d
dx
dx
dx
y
Der Biegebalken
Die Differentialgleichung für die elastische Linie
Wir haben für beliebige Verformungen bereits eine Bezie-hung zwischen Krümmungsradius und Belastung herge-stellt. Die Frage ist nun:
Wie ist für kleine Verformungen die Beziehung zwischen Durchsenkung w und Belastung ?
Dies ist die Differentialgleichung der elastischen Linie des Biegebalkens für kleine Verformungen.
tan:xd
wdgiltWinkelkleinefür
xddR
2
21
xd
wd
xd
d
R
MR
IEmit y
:
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Der Biegebalken
Weitere Differentialgleichungen der Biegelinie
Mit Hilfe der bekannten Zusammenhänge zwischen Moment, Querkraft und Linienlast lassen sich wei-tere Differentialgleichungen für die Biegelinie ableiten:
Anmerkungen:
• Die letztgenannte Gleichung enthält keine Schnittgrößen, sondern nur die Flächenlast q(x). Sie erlaubt die Bestimmung der Biegelinie bei statisch unbestimmten Problemen (!).
• Bei nicht konstantem Querschnitt (d.h. Iy const.) muß streng nach der Produktregel differenziert werden !
xQxd
xMdmit :
xqxd
xMdoder
2
2
:
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Der Biegebalken
Randbedingungen für die Berechnung der Biegelinie
Die Berechnung der Biegelinie erfordert Randbedingungen an den Balkenenden. Man unterscheidet:
• geometrische Randbedingungen (d.h. Art der Einspannung)
• statische Randbedingungen (d.h. Art der Belastung)
Einspannung Symbol geometrische Randbedingung statische Randbedingung
w w‘ M Q
Gelenklager = 0 0 = 0 0
Parallelführung 0 = 0 0 = 0
Einspannung = 0 = 0 0 0
freies Ende 0 0 = 0 = 0
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Der Biegebalken
Die Biegelinie bei statisch bestimmter Lagerung
Wie ist die Biegelinie eines statisch bestimmt gelagerten Balkens mit konstanter Querlast ?
q 0
l
E, Iy
x
z w(x)
y
q 0
x
x
q l 2
0 x2
R M(x)
:tQuerschnitimMoment
22 0
0 xxqx
lqxM
xlq
xq
xMxd
wdIE y
22020
2
2
213040
1224CxCx
lqx
qxwIE y
:ungenRandbeding
0:0 xwx
0: xwlx 24
03
01
2
lqC
C
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Der Biegebalken
Die Biegelinie bei statisch unbestimmter Lagerung
Wie ist die Biegelinie eines statisch unbestimmt gelagerten Balkens mit konstanter Querlast ?
q 0
l
E, Iy
x
z w(x)
y
04
4
2
2
2
2
qxqxd
wdIE
xd
wdIE
xd
dy
xfyIE
y
xMCxCxq
xwIE y 2120
2''
432
23
140
2
1
6
1
24CxCxCxCx
qxwIE y
:ungenRandbeding
0:0 xwx
0' xw0;0 43
CC
0: xwlx
0xM2
0201 8
1;
8
5lqClqC
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Der Biegebalken
Die Biegelinie bei Balken mit mehreren Feldern
Häufig lassen sich
• Belastungen (q, F, M),
• Schnittgrößen (Q, M), oder
• Verformungsgrößen (w, w‘)
nicht durch eine einzige Funktion darstellen. In diesen Fällen ist abschnittsweise zu integrieren.
Vorgehensweise:
• Balken so in Felder unterteilen, daß innerhalb eines Feldes alle o.g. Größen stetig sind,
• Schnittgrößen abschnittsweise bestimmen,
• Randbedingungen aufstellen,
• Übergangsbedingungen an den Bereichsgrenzen der Felder aufstellen,
• Differentialgleichung abschnittsweise integrieren.
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Der Biegebalken
Übergangsbedingungen der Biegelinie
Bei den gezeigten Lastwechseln gilt für die Biegelinie w(x) und ihre Ableitung w‘(x) an der Feldgrenze...
q(x)F oder oderM
w
rechtslinks ww
erbardifferenzistetigxw
)(
rechtslinks ww
stetigxw
''
)('
rechtslinks ww
stetigxw
)(
rechtslinks ww
leSprungstelzeigtxw
''
)('
rechtslinks www
leSprungstelzeigtxw
)(
rechtslinks ww
erbardifferenzistetigxw
''
)('
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Der Biegebalken
Ein Beispiel für die abschnittsweise Integration der Biegelinie
Wir kennen bereits den Momentenverlauf am Balken mit Einzellast:
Abschnittsweises Integrieren liefert für...
Bereich I Bereich II
F
a b
Bereich I Bereich II
w(x)
l
A B
xz
y
lxaxll
aF
axxl
bF
xMxwIE0
''
1
2
2' C
x
l
bFxwIE I
21
3
6CxC
x
l
bFxwIE I
3
2
2' C
xl
l
aFxwIE II
43
3
6CxlC
xl
l
aFxwIE II
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Der Biegebalken
Ein Beispiel für die abschnittsweise Integration der Biegelinie
Randbedingungen in...
Bereich I Bereich II
Übergangsbedingungen:
F
a b
Bereich I Bereich II
w(x)
l
A B
xz
y
00 xwI 0lxwII
axwaxw III axwaxw III ''
l
babaFC
6
21
02 C l
abbaFC
6
23
04 C
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Der Biegebalken
Föppl-Symbole bei Mehrfeldproblemen
Die abschnittsweise Definition von Belastungsgrößen bedingt einen hohen numerischen Aufwand bei der Integration der Biegelinie (Übergangsbedingungen etc.).
Die sog. Föppl-Symbole ermöglichen, abschnittsweise definierte Größen in geschlossener Form darzustellen:
Caxn
xdax
axnaxxd
d
chenregeln
nn
nn
1
1
1
1
:Re
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Der Biegebalken
Ein Beispiel für den Einsatz von Föppl-Symbolen
Frage: Wie verläuft die Biegelinie für den dargestellten Balken mit abschnittsweise anlegender Streckenlast ?
Am dargestellten, „relativ simplen“ Balken benötigt man bereits...
• 2 Biegelinien, abschnittsweise zu integrieren,
• 2 Randbedingungen für x = 0,
• 2 Übergangsbedingungen für x = a,
d.h. die Rechnung wird zwar nicht kompliziert, aber unübersichtlich und aufwendig !
xz
y
ba
q 0
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Der Biegebalken
Ein Beispiel für den Einsatz von Föppl-Symbolen
Frage: Wie verläuft die Biegelinie für den dargestellten Balken mit abschnittsweise anlegender Streckenlast ?
xz
y
ba
q 0
432
23
1
4
0
322
1
3
0
21
2
0
1
1
0
0
0
2
1
6
1
24
12
1
6
1'
2
1''
'''
''''
CxCxCxCaxqwIE
CxCxCaxqwIE
xMCxCaxqwIE
xQCaxqwIE
axqwIE
00'''
00''
000'
000
:
1
2
3
4
QCQxwIE
MCMxwIE
CxwIE
CxwIE
ungenRandbeding
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Der Biegebalken
Das Superpositionsprinzip
Die Differentialgleichung der Biegelinie ist linear, d.h. Lastfälle und deren Lösungen können generell überlagert werden. Dieser Umstand hilft bei der Lösung statisch unbestimmter Probleme.
Vorgehensweise bei unbestimmten Systemen:
• Das unbestimmte System in statisch bestimmte Teilsysteme zerlegen,
• die allgemeinen Lösungen der Biegelinie für die Teilsysteme berechnen,
• Kompatibilitätsbedingungen für die Teilsysteme aufstellen und
• das Gesamtsystem lösen.
Was sind Kompatibilitätsbedingungen ? Kompatibilitätsbedingungen sind wahlweise Bedingungen für...
• Belastungen (F, Me, q),
• Schnittgrößen (Mb, Q) und
• Durchsenkungen (w und w‘),
die lokal, d.h. an bestimmten Stellen Beziehungen zwischen den einzelnen Teilsystemen herstellen.
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Der Biegebalken
Ein Beispiel für die Anwendung des Superpositionsprinzips
Frage: Wie groß ist das Einspannmoment MA für den gezeigten Balken ?
Das System ist einfach statisch überbestimmt, d.h. wir können das Moment bei A nicht ohne weiteres berechnen.
Lösung durch Superposition: Wir zerlegen das System in zwei statisch bestimmte Teilsysteme:
System 0: Kragbalken mit Linienlast System 1: Kragbalken mit Einzellast X als Ersatz für Lager B
q 0
l
E, I
x
z
A B
w(x)
q 0
l
E, I
x
z
A
w (x)0 l
E, I
x
z
A
X
w (x)1
+
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Der Biegebalken
Ein Beispiel für die Anwendung des Superpositionsprinzips
Die Berechnung der Biegelinien ergibt für...
• System 0:
• System 1:
Kompatibilitätsbedingung:
Am Lager B muß die Auslenkung des Gesamtsystems Null sein:
23440
0 6424 l
x
l
x
l
x
IE
lqxw
323
1 36 l
x
l
x
IE
lXxw
038
340
IE
lX
IE
lqnBiegelinieundgungitätsbedinKompatibil lqX 08
3
2000 2
1''
:
xlqxwIExM
folgtnBiegeliniedenAus
xllqxwIExM 011 8
3''
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Der Biegebalken
Eine Alternativlösung für unser Problem
In der Wahl der Teilsysteme ist man bei überbestimmten Systemen prinzipiell frei, solange die Teilsysteme für sich statisch bestimmt sind.
Eine Alternative wäre hier...
System 0: Gelenkbalken mit Linienlast System 1: Gelenkbalken mit eingeprägtem Moment Me als Ersatz für Lager A
q 0
l
E, I
x
z
A B
w(x)
q 0
l
E, I
x
z
A B
w (x)0
M e
l
E, I
x
z
A B
w (x)1+